SHM of Simple Pendulum Questions in Gujarati

(C) સાદા લોલક પર લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દોલનના નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin(\theta) \approx \theta$ લઈ શકાય છે. આ ધારણા હેઠળ,પુનઃસ્થાપક બળ $F = -mg\theta = -mg(x/L)$ બને છે,જે સ્થાનાંતર $x$ ના સમપ્રમાણમાં છે. આ સરળ આવર્ત ગતિની શરત $(F \propto -x)$ સંતોષે છે. જો કંપવિસ્તાર મોટો હોય,તો $\sin(\theta)$ ને $\theta$ તરીકે લઈ શકાતું નથી,અને ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ રહેતી નથી.

(D) હિંચકાની ગતિ આવર્ત ગતિ છે અને તેને સરળ આવર્ત ગતિ અથવા લોલકની ગતિ તરીકે ગણી શકાય છે.
હિંચકાના અંતિમ બિંદુઓ (extreme positions) પર,છોકરો દિશા બદલતા પહેલા ક્ષણિક સ્થિર થાય છે.
તેથી,આ અંતિમ બિંદુઓ પર છોકરાનો વેગ $0\, m/s$ હોય છે.
પ્રશ્નમાં લઘુત્તમ વેગ પૂછવામાં આવ્યો હોવાથી,સાચો જવાબ $0\, m/s$ છે.

(A) સાદા લોલકનું સંતુલન સ્થિતિથી સ્થાનાંતર $x(t) = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
અહીં $A = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને આવર્તકાળ $T = 4 \ s$ આપેલ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2} \ rad/s$ થાય.
લોલકનો વેગ $v(t) = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ દ્વારા મળે છે.
$t = 1 \ s$ સમયે,વેગ $v(1) = 0.1 \times \frac{\pi}{2} \times \cos(\frac{\pi}{2} \times 1)$ થશે.
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ છે,તેથી વેગ $v(1) = 0 \ m/s$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,$t = \frac{T}{4} = 1 \ s$ સમયે,લોલક તેના અંતિમ બિંદુએ પહોંચે છે,જ્યાં ઝડપ ક્ષણિક રીતે શૂન્ય હોય છે.

(A) સાદા લોલકમાં,લોલકનો ગોળો બે અંતિમ સ્થાનો વચ્ચે દોલન કરે છે.
ચાપના અંતિમ સ્થાને,દોલન કરતા ગોળાનો તત્કાલીન વેગ $0$ હોય છે.
વેગમાન $p$ એ $p = mv$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,અને અંતિમ સ્થાને વેગ $v$ શૂન્ય હોવાથી,દોલન કરતા દડાનું વેગમાન $0$ થાય છે.
તેથી,ચાપના અંતે સ્થિર મૂકવામાં આવેલા દડાને કોઈ વેગમાન સ્થાનાંતરિત થઈ શકતું નથી.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) જ્યારે કાર $a$ જેટલા સમાન પ્રવેગથી ગતિ કરતી હોય,ત્યારે લોલક દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ થાય છે.
સાદા લોલકની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{l}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
$g_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + a^2}}{l}}$ મળે છે.
કારણ કે કાર પ્રવેગિત થાય ત્યારે $g_{eff} > g$ થાય છે,તેથી સ્થિર કારની સરખામણીમાં આવૃત્તિ $n$ માં વધારો થાય છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $(T)$ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે આવર્તકાળ $(T)$ ફક્ત લોલકની લંબાઈ $(L)$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ પર આધાર રાખે છે.
તે દોલનના કંપનવિસ્તારથી સ્વતંત્ર છે,જો કંપનવિસ્તાર નાનો હોય.
લોલકની લંબાઈ બદલાતી નથી $(1\, m)$,તેથી જો કંપનવિસ્તાર $2\, cm$ થી વધારીને $4\, cm$ કરવામાં આવે તો પણ આવર્તકાળ $5\, s$ જ રહેશે.

(D) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $n$ નું સૂત્ર $n = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $n \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$.
આપેલ આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{2}{3}$ છે.
કારણ કે $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$,તેથી $\frac{2}{3} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{4}{9} = \frac{l_2}{l_1}$ મળે છે.
તેથી,તેમની લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \frac{9}{4}$ થાય છે.

(D) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ છે.
આમ,આવૃત્તિ $f$ એ લંબાઈ $l$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$.
આપેલ આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{f_1}{f_2} = \frac{7}{8}$ છે.
કારણ કે $\frac{f_1}{f_2} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$,તેથી $\frac{7}{8} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\frac{49}{64} = \frac{l_2}{l_1}$ મળે છે.
તેથી,લંબાઈનો ગુણોત્તર $\frac{l_1}{l_2} = \frac{64}{49}$ થશે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,લિફ્ટ સ્થિર છે,તેથી $g_{eff} = g$. આમ,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
બીજા કિસ્સામાં,લિફ્ટ અચળ વેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે. વેગ અચળ હોવાથી,લિફ્ટનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a = 0)$ છે.
તેથી,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a = g - 0 = g$ રહે છે.
બંને કિસ્સામાં $g_{eff}$ સમાન હોવાથી,આવર્તકાળ સમાન રહે છે,એટલે કે $T_2 = T_1$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
આ સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે $T \propto \sqrt{l}$.
જો લંબાઈ $l$ ને $9$ ગણી કરવામાં આવે $(l' = 9l)$,તો નવો આવર્તકાળ $T'$ આ મુજબ થશે: $T' = 2\pi \sqrt{\frac{9l}{g}} = 3 \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = 3T$.
વધુમાં,સાદા લોલકનો આવર્તકાળ બોબના દળ પર આધાર રાખતો નથી. તેથી,દળ બદલવાથી આવર્તકાળ પર કોઈ અસર થતી નથી.
આમ,નવો આવર્તકાળ $3T$ થશે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે $g_{eff} = g$,તેથી $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = T$.
જ્યારે પરિણામી પ્રવેગ $g_{eff} = g/4$ થાય,ત્યારે નવો આવર્તકાળ $T_2$ નીચે મુજબ મળે:
$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g/4}} = 2\pi \sqrt{\frac{4L}{g}} = 2 \times (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}})$.
$T_1 = T$ મૂકતા,આપણને $T_2 = 2T$ મળે છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર લિફ્ટ માટે,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g$ છે,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3l}{4g}}$ દ્વારા મળે છે.
આને આપણે $T' = \frac{\sqrt{3}}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \right)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
શરૂઆતના આવર્તકાળ $T$ ને મૂકતા,આપણને $T' = \frac{\sqrt{3}}{2}T$ મળે છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{l}$.
જો આપણે આવર્તકાળને બમણો $(T' = 2T)$ કરવા માંગતા હોઈએ,તો આપણે તેને પ્રમાણભૂત સંબંધમાં મૂકીએ:
$2T \propto \sqrt{l'}$
$T \propto \sqrt{\frac{l'}{4}}$
આને મૂળ સંબંધ $T \propto \sqrt{l}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $l' = 4l$.
તેથી,લંબાઈ $4$ ગણી વધારવી જોઈએ.

(D) સાદા લોલકની ગતિઊર્જા તેના મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ હોય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મધ્યમાન સ્થાને મહત્તમ ગતિઊર્જા એ મહત્તમ સ્થાનાંતરિત સ્થાને રહેલી સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પર લોલકના ગોળાની ઉર્ધ્વ ઊંચાઈ $h$ એ $h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = mgh = mgl(1 - \cos \theta)$ થશે.

(C) સાદા લોલકના ગોળાનો વેગ તેના અંતિમ સ્થાનો પર શૂન્ય હોય છે.
ગોળાનો વેગ મધ્યમાન સ્થિતિ પર મહત્તમ હોય છે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2}mv^2$ હોવાથી,મધ્યમાન સ્થિતિ પર વેગ મહત્તમ હોવાથી ગતિઊર્જા પણ ત્યાં મહત્તમ હોય છે.

(B) શૂન્યાવકાશિત ચેમ્બરમાં,સાદા લોલકના ગોળા પર હવાના અવરોધ કે અન્ય કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઘર્ષણ કે હવાના અવરોધ જેવા બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં,તંત્રની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
સાદા લોલકની ઉર્જા તેના કંપવિસ્તારના વર્ગના સમપ્રમાણમાં $(E \propto A^2)$ હોવાથી,અચળ ઉર્જાનો અર્થ એ છે કે કંપવિસ્તાર પણ અચળ રહેશે.
તેથી,લોલક અચળ કંપવિસ્તાર સાથે દોલન કરશે.

(C) $a = g/3$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરતી લિફ્ટમાં સાદા લોલકનો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$g_{eff} = g - \frac{g}{3} = \frac{2g}{3}$ મળે છે.
સાદા લોલકના આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ છે.
આ સૂત્રમાં $g_{eff} = \frac{2g}{3}$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{2g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{2g}}$ મળે છે.

(C) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,મધ્યમાન સ્થિતિએ ગતિ ઉર્જા એ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$
$v^2 = 2gh$
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $h = 10\,cm = 0.1\,m$ અને $g = 9.8\,m/s^2$ આપેલ છે.
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1}$
$v = \sqrt{1.96}$
$v = 1.4\,m/s$
તેથી,મધ્યમાન સ્થિતિએ ગોળાનો વેગ $1.4\,m/s$ છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે લોલકના ગોળાને ઋણ વીજભારિત કરવામાં આવે છે અને નીચેની સપાટીને ધન વીજભારિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ ઉપરની દિશામાં (ધન સપાટીથી ઋણ ગોળા તરફ) કાર્ય કરે છે.
સ્થિત વિદ્યુત બળ $F_e = qE$ ગોળા પર ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a_e$ થાય છે,જ્યાં $a_e = \frac{qE}{m}$ એ વિદ્યુત બળને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ છે.
આમ,$g_{eff} = g - \frac{qE}{m}$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - \frac{qE}{m}}}$ થશે.
અહીં છેદ $(g - \frac{qE}{m})$ એ $g$ કરતા નાનો હોવાથી,નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T$ કરતા વધારે હશે.

(D) ઉર્ધ્વ સમતલમાં દોલન કરતા સાદા લોલક માટે,બોબ પર લાગતા બળો દોરીમાં તણાવ $T$ (ધરી તરફ) અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $Mg$ (સીધું નીચેની તરફ) છે.
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી દિશા: વર્તુળાકાર પથના કેન્દ્ર તરફ લાગતું ચોખ્ખું બળ એ કેન્દ્રગામી બળ છે,જે $\frac{Mv^2}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક $Mg \cos \theta$ છે (ધરીથી દૂર). આમ,ચોખ્ખું ત્રિજ્યાવર્તી બળ $T - Mg \cos \theta$ છે. આને સરખાવતા,આપણને $T - Mg \cos \theta = \frac{Mv^2}{L}$ મળે છે. આ વિકલ્પ $(b)$ સાથે મેળ ખાય છે.
$2$. સ્પર્શક દિશા: પથને સ્પર્શકની દિશામાં લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો ઘટક $Mg \sin \theta$ છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_T = Ma_T$,તેથી $Mg \sin \theta = Ma_T$. તેથી,સ્પર્શક પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a_T| = g \sin \theta$ છે. આ વિકલ્પ $(c)$ સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,$(b)$ અને $(c)$ બંને સાચા હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(C) ધારો કે ટૂંકા લોલકનો આવર્તકાળ $T_S$ છે અને લાંબા લોલકનો આવર્તકાળ $T_L$ છે.
આપેલ લંબાઈ $l_S = 0.5\, m$ અને $l_L = 2.0\, m$ છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$T_S = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{g}}$ અને $T_L = 2\pi \sqrt{\frac{2.0}{g}}$.
ગુણોત્તર લેતા,$\frac{T_L}{T_S} = \sqrt{\frac{2.0}{0.5}} = \sqrt{4} = 2$.
આમ,$T_L = 2T_S$.
ધારો કે જ્યારે તેઓ ફરીથી સમાન કળામાં હોય ત્યારે ટૂંકા લોલકના દોલનોની સંખ્યા $N_S$ છે અને લાંબા લોલકના દોલનોની સંખ્યા $N_L$ છે.
આ સમયે $t$ માટે,$t = N_S T_S = N_L T_L$.
$T_L = 2T_S$ મૂકતા,આપણને $N_S T_S = N_L (2T_S)$ મળે છે.
તેથી,$N_S = 2N_L$.
જ્યારે તેઓ પ્રથમ વખત ફરીથી સમાન કળામાં હોય,ત્યારે આપણે સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમતો લઈએ છીએ,$N_L = 1$,જે $N_S = 2$ આપે છે.

(A) જ્યારે ગોળાને $h$ ઊંચાઈથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૌથી નીચલા બિંદુ $O$ પર તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ મળે છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ $O$ પર,ગોળા પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજન $mg$ છે. પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T - mg = \frac{mv^2}{L}$,જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
$T = mg + \frac{m(2gh)}{L}$.
આવર્તકાળ $T_p = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = 2.0 \, s$ હોવાથી,$\frac{L}{g} = \frac{1}{\pi^2}$ મળે છે.
આ કિંમત મૂકતા,$T = mg + \frac{2mgh}{L}$ માં $L = \frac{g}{\pi^2}$ મૂકતા $T = mg + 2\pi^2 mh$ મળે છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(D) જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું અસરકારક વજન $W_{eff}$ એ વાસ્તવિક વજન અને ઉત્પ્લાવક બળનો તફાવત છે.
$W_{eff} = mg - F_B = mg - V\rho_w g$
સાપેક્ષ ઘનતા $\rho = \frac{\rho_{bob}}{\rho_w}$ હોવાથી,$V = \frac{m}{\rho_{bob}} = \frac{m}{\rho \rho_w}$ થાય.
$W_{eff} = mg - \left(\frac{m}{\rho \rho_w}\right) \rho_w g = mg \left(1 - \frac{1}{\rho}\right) = mg \left(\frac{\rho - 1}{\rho}\right)$.
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g \left(\frac{\rho - 1}{\rho}\right)$ મળે છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g \left(\frac{\rho - 1}{\rho}\right)}} = T \sqrt{\frac{\rho}{\rho - 1}}$ થશે.

(A) વાહન ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર $a = g\sin \alpha$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
વાહનના ફ્રેમમાં,લોલકના ગોળા પર ઉપરની દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma = mg\sin \alpha$ લાગે છે.
અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $\vec{g}$ અને વાહનના પ્રવેગના વિરોધી સદિશ $-\vec{a}$ નો સદિશ સરવાળો છે.
ઘટકોને વિભાજિત કરતા,ઢળતા સમતલને લંબ $g$ નો ઘટક $g\cos \alpha$ છે અને ઢળતા સમતલને સમાંતર $g$ નો ઘટક $g\sin \alpha$ છે. સ્યુડો બળ $g\sin \alpha$ ઘટકને રદ કરે છે.
આમ,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g\cos \alpha$ થાય છે.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g\cos \alpha}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.

(C) હવામાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ ${t_0} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ અનુભવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ ${g_{eff}}$ નીચે મુજબ છે:
${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}}\right)$.
અહીં $\rho_{bob} = \frac{4}{3} \times 10^3 \ kg/m^3$ અને $\rho_{water} = 10^3 \ kg/m^3$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\rho_{water}}{\rho_{bob}} = \frac{10^3}{(4/3) \times 10^3} = \frac{3}{4}$.
આમ,${g_{eff}} = g \left(1 - \frac{3}{4}\right) = \frac{g}{4}$.
પાણીમાં આવર્તકાળ $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g/4}} = 2 \times 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
${t_0}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $t = 2{t_0}$ મળે છે.

(C) આધારબિંદુનું સ્થાનાંતર $y = kt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આધારબિંદુનો પ્રવેગ $a_y = \frac{d^2y}{dt^2} = 2k$ છે.
અહીં $k = 1\,m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $a_y = 2 \times 1 = 2\,m/s^2$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ છે.
શરૂઆતમાં,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
જ્યારે આધારબિંદુ $a_y$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a_y$ થાય છે.
$g = 10\,m/s^2$ લેતા,$g_{eff} = 10 + 2 = 12\,m/s^2$.
તેથી,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g + a_y}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{12}}$.
ગુણોત્તર $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{g + a_y}{g} = \frac{10 + 2}{10} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$ થાય છે.

(D) ધારો કે લોલકની લંબાઈ $L$ છે. શરૂઆતમાં,ગોળો સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાં છે,તેથી પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_0 = 90^\circ$ છે. સૌથી નીચલા બિંદુની સાપેક્ષમાં ગોળાની ઊંચાઈ $h_0 = L(1 - \cos 90^\circ) = L$ છે.
$n$ અથડામણો પછી,કંપવિસ્તાર $\theta_n$ છે. ઊંચાઈ $h_n = L(1 - \cos \theta_n)$ છે.
પ્રત્યવસ્થાન ગુણાંક $e$ એ અથડામણ પહેલા અને પછીના વેગ સાથે સંબંધિત છે. ઉર્જાનો વ્યય ઊંચાઈ સાથે સંબંધિત હોવાથી,$n$ અથડામણો પછી ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $\frac{h_n}{h_0} = e^{2n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $e = \frac{2}{\sqrt{5}}$,તેથી $e^2 = \frac{4}{5} = 0.8$.
આપણે કંપવિસ્તાર $\theta_n < 60^\circ$ જોઈએ છે,તેથી $h_n < L(1 - \cos 60^\circ) = L(1 - 0.5) = 0.5L$.
આમ,$\frac{h_n}{h_0} < \frac{0.5L}{L} = 0.5$.
સંબંધ મૂકતા: $(0.8)^n < 0.5$.
$n=1$ માટે: $0.8 > 0.5$.
$n=2$ માટે: $0.64 > 0.5$.
$n=3$ માટે: $0.512 > 0.5$.
$n=4$ માટે: $0.4096 < 0.5$.
આમ,$4$ અથડામણો પછી,કંપવિસ્તાર $60^\circ$ કરતા ઓછો થઈ જશે.

(B) ધારો કે $a$ એ ઘનની બાજુ છે,$\rho$ એ ઘનની ઘનતા છે અને $\sigma$ એ પારોની ઘનતા છે.
ઘનનું દળ $M = a^3 \rho$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં,ઘનનું વજન ઉત્પ્લાવક બળ દ્વારા સંતુલિત થાય છે: $Mg = a^2 h \sigma g$,જ્યાં $h$ એ ડૂબેલા ભાગની ઊંડાઈ છે.
આમ,$a^3 \rho g = a^2 h \sigma g$,જે આપણને $h = \frac{a \rho}{\sigma}$ આપે છે.
જ્યારે ઘનને $y$ જેટલા નાના ઊભી સ્થાનાંતરથી નીચે ધકેલવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ પુનઃસ્થાપક બળ પૂરું પાડે છે:
$F_{restoring} = - (a^2 y) \sigma g$.
ગતિનું સમીકરણ $M \frac{d^2y}{dt^2} = - (a^2 \sigma g) y$ છે.
$M = a^3 \rho$ મૂકતા:
$a^3 \rho \frac{d^2y}{dt^2} = - a^2 \sigma g y \implies \frac{d^2y}{dt^2} = - \left( \frac{\sigma g}{a \rho} \right) y$.
આને $S.H.M.$ ના પ્રમાણિત સમીકરણ $\frac{d^2y}{dt^2} = - \omega^2 y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\omega^2 = \frac{\sigma g}{a \rho}$ મળે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{a \rho}{\sigma g}}$ થાય છે.

(D) આપેલ તંત્ર એક સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે, જ્યાં અસરકારક લંબાઈ $(l)$ એ નિલંબન બિંદુ અને દોલન કરતા પદાર્થના ગુરુત્વકેન્દ્ર $(C.G.)$ વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં, જ્યારે ગોળો ભરેલો હોય છે, ત્યારે $C.G.$ ગોળાના કેન્દ્ર પર હોય છે. જેમ પાણી બહાર નીકળે છે, તેમ બાકી રહેલા પાણીનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે તરફ ખસે છે, જેના કારણે તંત્રનું પરિણામી $C.G.$ નીચે તરફ જાય છે. આનાથી અસરકારક લંબાઈ $(l)$ વધે છે, અને આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{l/g}$ હોવાથી, આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ વધુ પાણી બહાર નીકળે છે, તેમ બાકી રહેલા પાણીનું વજન ખાલી ગોળાના વજન કરતા ઓછું થઈ જાય છે. પરિણામી $C.G.$ પાછું ગોળાના કેન્દ્ર તરફ ઉપરની તરફ ખસવાનું શરૂ કરે છે. પરિણામે, અસરકારક લંબાઈ $(l)$ ઘટે છે, જેના કારણે આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.
અંતે, જ્યારે ગોળો સંપૂર્ણપણે ખાલી થઈ જાય છે, ત્યારે $C.G.$ ગોળાના કેન્દ્ર પર પાછું આવે છે, જેથી અસરકારક લંબાઈ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય જેટલી થઈ જાય છે. આમ, આવર્તકાળ તેના મૂળ મૂલ્ય પર પાછો આવે છે. તેથી, દોલનનો આવર્તકાળ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટીને તેના મૂળ મૂલ્ય પર આવે છે.

(B) ધારો કે $T_1$ અને $T_2$ એ બે લોલકના આવર્તકાળ છે. સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ લોલક માટે,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{100}{g}} = 20\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
બીજા લોલક માટે,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{121}{g}} = 22\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
અહીં $T_1 < T_2$ હોવાથી,ટૂંકું લોલક ઝડપથી દોલન કરે છે.
ધારો કે લાંબું લોલક $n$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે અને ટૂંકું લોલક $(n+1)$ દોલનો પૂર્ણ કરે છે જ્યારે તેઓ ફરીથી સમાન કળામાં આવે છે.
તેથી,$(n+1)T_1 = nT_2$.
કિંમતો મૂકતા: $(n+1) \times 20\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = n \times 22\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
$20(n+1) = 22n$.
$20n + 20 = 22n$.
$2n = 20$,જે આપણને $n = 10$ આપે છે.
આમ,લાંબું લોલક ટૂંકા લોલક સાથે સમાન કળામાં આવવા માટે $10$ દોલનો પૂર્ણ કરશે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે: $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$.
$L$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને મળે છે: $L = \left( \frac{g}{4\pi^2} \right) T^2$.
અહીં $g$ અને $4\pi^2$ અચળાંક હોવાથી,આ સમીકરણ $L = k T^2$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $(T)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
આ સંબંધ પરથી, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{l}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા, આપણને $T^2 \propto l$ મળે છે.
આ સમીકરણ $l$-અક્ષ પર ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી, જે આલેખ $T$ ને $\sqrt{l}$ સાથે વધતો દર્શાવે છે તે વિકલ્પ $B$ માં આપેલી વક્ર રેખા છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે ઋણ વીજભારિત ગોળો ધન વીજભારિત પ્લેટની ઉપર દોલન કરે છે,ત્યારે ગોળા પર નીચેની દિશામાં સ્થિત-વિદ્યુત આકર્ષણ બળ લાગે છે.
આ સ્થિત-વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં ઉમેરાય છે,જે ગોળા પર લાગતા અસરકારક પ્રવેગમાં વધારો કરે છે.
તેથી,અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + \frac{F_e}{m}$ એ $g$ કરતા વધી જાય છે.
આમ,$T$ એ $\sqrt{g_{eff}}$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$g_{eff}$ માં વધારો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $T$ કરતા ઓછો હશે.

(A) એક છેડાથી લટકાવેલી $1 \ metre$ ની સ્કેલ ભૌતિક લોલક તરીકે વર્તે છે.
ભૌતિક લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ છે.
$L$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતા સળિયા માટે,એક છેડામાંથી પસાર થતી ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{mL^2}{3}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી ધરીનું અંતર $d = \frac{L}{2}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{mL^2/3}{mg(L/2)}} = 2\pi \sqrt{\frac{2L}{3g}}$.
અહીં $L = 1 \ m$ અને $g = 9.8 \ m/s^2$ લેતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{2 \times 1}{3 \times 9.8}} = 2\pi \sqrt{0.068} \approx 1.64 \ \sec$.

(B) અંતિમ સ્થિતિએ,લોલકની કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા હોય છે,જે $PE = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મધ્યસ્થ સ્થિતિએ,આ સ્થિતિ ઉર્જા ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે,જે $KE = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$PE = KE$.
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
$v = \sqrt{2gh}$
અહીં $h = 10 \ cm = 0.1 \ m$ અને $g = 9.8 \ m/s^2$ આપેલ છે.
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.1} = \sqrt{1.96} = 1.4 \ m/s$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે લંબાઈનું રેખીય પ્રસરણ $\Delta l = l \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta \theta$.
આ કિંમતને આવર્તકાળમાં થતા ફેરફારના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$.
તેથી,આવર્તકાળમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = \frac{1}{2} \alpha T \Delta \theta$ છે.

(C) ધારો કે ગોળાનું દળ $m$ અને દોરીની લંબાઈ $r$ છે. દોરીની તણાવ ક્ષમતા $T_{max} = 2mg$ છે.
જ્યારે ગોળો શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે હોય,ત્યારે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં લાગતું બળ: $T - mg \cos \theta = \frac{mv^2}{r}$ એટલે કે $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{r}$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સમક્ષિતિજ સ્થિતિથી $\theta$ ખૂણે આવતા ગોળાની સ્થિતિઊર્જામાં ઘટાડો = ગતિઊર્જામાં વધારો.
$mg(r \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2 \implies v^2 = 2gr \cos \theta$.
આ કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T = mg \cos \theta + \frac{m}{r}(2gr \cos \theta) = 3mg \cos \theta$.
દોરી તૂટે ત્યારે $T = 2mg$ હોવાથી:
$2mg = 3mg \cos \theta \implies \cos \theta = 2/3$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(2/3)$.

(A) તાપમાનમાં ફેરફારને કારણે લોલક ઘડિયાળ દ્વારા ગુમાવેલ સમયનું સૂત્ર: $\Delta t = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta T$ છે,જ્યાં $\Delta t$ એ ગુમાવેલ સમય છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે,$\Delta \theta$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $T$ એ એક દિવસનો કુલ સમય $(86400 \, s)$ છે.
આપેલ છે: $\Delta t = 12.5 \, s$,$\Delta \theta = 25^{\circ}C - 0^{\circ}C = 25^{\circ}C$,અને $T = 86400 \, s$.
કિંમતો મૂકતા: $12.5 = \frac{1}{2} \times \alpha \times 25 \times 86400$.
$12.5 = \alpha \times 1080000$.
$\alpha = \frac{12.5}{1080000} = \frac{12.5}{12.5 \times 86400} = \frac{1}{86400} \, /^{\circ}C$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \sqrt{l}$.
ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l_1 = l$ છે અને અંતિમ લંબાઈ $l_2 = l + 0.21l = 1.21l$ છે.
આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{\frac{1.21l}{l}} = \sqrt{1.21} = 1.1$ થાય.
આમ,$T_2 = 1.1 T_1$.
આવર્તકાળમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{T_2 - T_1}{T_1} \times 100\% = \frac{1.1 T_1 - T_1}{T_1} \times 100\% = 0.1 \times 100\% = 10\%$ છે.

(B) $SHM$ કરતી કણના પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = \omega^2 y$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે અને $y$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતર છે.
આપેલ છે: $|a| = 20 \; m/s^2$ અને $y = 5 \; m$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $20 = \omega^2 (5)$.
$\omega^2 = 4 \Rightarrow \omega = 2 \; rad/s$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
$T = \frac{2\pi}{2} = \pi \; s$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ ઊંચાઈ વધે છે,તેમ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ ઘટે છે $(g' = g(1 - \frac{2h}{R}))$.
કારણ કે $T \propto \sqrt{\frac{1}{g}}$,$g$ માં ઘટાડો થવાથી આવર્તકાળ $T$ માં વધારો થાય છે,જેના કારણે ઘડિયાળ ધીમી પડે છે.
તેથી,સમાન આવર્તકાળ $T$ જાળવી રાખવા માટે,લોલકની લંબાઈ $l$ ને $g$ માં થયેલા ઘટાડા મુજબ ઘટાડવી આવશ્યક છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $l$ અચળ હોવાથી,$T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$ થાય.
તેથી,પૃથ્વી $(T_e)$ અને ચંદ્ર $(T_m)$ પરના આવર્તકાળનો ગુણોત્તર $\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m}}$ છે.
આપેલ છે કે $g_m = \frac{g_e}{6}$,તેથી $\frac{T_m}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_e/6}} = \sqrt{6}$.
આનો અર્થ એ છે કે $T_m = \sqrt{6} T_e$.
ચંદ્ર પર આવર્તકાળ $\sqrt{6}$ ગણો વધી જતો હોવાથી,ઘડિયાળ એક દોલન પૂર્ણ કરવામાં વધુ સમય લેશે,એટલે કે તે $\sqrt{6}$ ગણી ધીમી ચાલશે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
કાંડા ઘડિયાળનું કાર્ય સ્પ્રિંગની ક્રિયા પર આધારિત છે,તેથી તે ગુરુત્વાકર્ષણથી પ્રભાવિત થતી નથી.
જોકે,લોલક ઘડિયાળનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુક્ત પતન દરમિયાન,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g_{eff})$ શૂન્ય થઈ જાય છે.
સૂત્રમાં $g_{eff} = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ મળે છે.
આવર્તકાળ અનંત થઈ જતો હોવાથી,પતન દરમિયાન લોલક ઘડિયાળ કામ કરવાનું બંધ કરી દે છે.

(B) ધારો કે આવર્તકાળ $T_1 = T$ અને $T_2 = \frac{5T}{4}$ છે.
અહીં $T_2 > T_1$ હોવાથી,$\frac{5T}{4}$ આવર્તકાળ ધરાવતું લોલક મોટું લોલક છે.
જ્યારે મોટું લોલક એક દોલન પૂર્ણ કરે,ત્યારે લાગતો સમય $t = T_2 = \frac{5T}{4}$ થાય.
આ સમય $t$ માં,નાના લોલક દ્વારા પૂર્ણ થયેલા દોલનોની સંખ્યા $n = \frac{t}{T_1} = \frac{5T/4}{T} = \frac{5}{4} = 1.25$ દોલનો છે.
આનો અર્થ એ છે કે નાનું લોલક $1$ પૂર્ણ દોલન અને વધારાના $0.25$ (અથવા $\frac{1}{4}$) દોલન પૂર્ણ કરે છે.
$t = T_2$ સમયે,મોટું લોલક સરેરાશ સ્થાન પર છે (કળા $\phi_2 = 2\pi$ અથવા $0$).
નાનું લોલક $1.25$ દોલન પૂર્ણ કરી ચૂક્યું છે,જેનો અર્થ છે કે તે ધન અંતિમ સ્થાન પર છે (કળા $\phi_1 = 1.25 \times 2\pi = 2.5\pi = 2\pi + \frac{\pi}{2}$).
તેથી,કળા તફાવત $\Delta\phi = |\phi_1 - \phi_2| = \frac{\pi}{2} = 90^o$ થાય.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેથી $T \propto \sqrt{l}$,આવૃત્તિ $n = \frac{1}{T}$ એ $\frac{1}{\sqrt{l}}$ ના પ્રમાણમાં છે.
ધારો કે $l_1 = 1.44 \, m$ અને $l_2 = 1 \, m$.
ધારો કે $n_1$ અને $n_2$ એ અનુક્રમે $l_1$ અને $l_2$ લંબાઈના લોલકના દોલનોની સંખ્યા છે.
તેઓ ફરીથી એકસાથે દોલન કરે તે માટે,લાગતો સમય સમાન હોવો જોઈએ: $t = n_1 T_1 = n_2 T_2$.
તેથી,$\frac{n_2}{n_1} = \frac{T_1}{T_2} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}} = \sqrt{\frac{1.44}{1}} = \frac{1.2}{1} = \frac{6}{5}$.
આનો અર્થ એ છે કે $5 n_2 = 6 n_1$.
સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમતો માટે,$n_1 = 5$ (મોટા લોલકના દોલન) અને $n_2 = 6$ (નાના લોલકના દોલન).
તેથી,તેઓ નાના લોલકના $6$ દોલન પછી ફરીથી એકસાથે દોલન કરશે.

(A) સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરતી વસ્તુ માટે,કાપેલું અંતર $h = \frac{1}{2} g_P t^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_P$ એ ગ્રહ પરનું ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $h = 8 \, m$ અને $t = 2 \, s$,તેથી $8 = \frac{1}{2} \times g_P \times (2)^2$.
$8 = 2 \times g_P \implies g_P = 4 \, m/s^2$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ એ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_P}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$l = 1 \, m$ અને $g_P = 4 \, m/s^2$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{4}} = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi \, s$ મળે છે.
$\pi \approx 3.14$ હોવાથી,આવર્તકાળ $3.14 \, s$ છે.