SHM of Simple Pendulum Questions in Gujarati

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto g^{-1/2}$.
સાપેક્ષ ત્રુટિની પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{\Delta T}{T} = -\frac{1}{2} \frac{\Delta g}{g}$.
આપેલ છે કે $g$ માં $2\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta g}{g} = -2\% = -0.02$.
આ કિંમતને ત્રુટિના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = -\frac{1}{2} (-0.02) = 0.01$.
તેથી,આવર્તકાળમાં $0.01$ અથવા $1\%$ નો વધારો થશે.

(B) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{g}{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$.
બંને લોલક માટે,આવૃત્તિનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}} = \sqrt{\frac{L_2}{2L_2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,$n_2 = \sqrt{2}n_1$,જેનો અર્થ છે કે $n_2 > n_1$.
સરળ આવર્ત ગતિની કંપન ઉર્જા $E = 2\pi^2 m n^2 a^2$ છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે.
કારણ કે $E_1 = E_2$,$m_1 = m_2$,અને $n_2 > n_1$,તેથી $n_1^2 a_1^2 = n_2^2 a_2^2$ થાય.
તેથી,$\frac{a_1^2}{a_2^2} = \frac{n_2^2}{n_1^2} = 2$,જેનો અર્થ છે કે $a_1 = \sqrt{2}a_2$.
આમ $a_1 > a_2$ હોવાથી,લોલક $B$ નો કંપવિસ્તાર લોલક $A$ કરતા નાનો છે.

(D) પ્રવાહીમાં તરતી વસ્તુના નાના શિરોલંબ દોલનો માટે $SHM$ નો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવાહીમાં ડૂબેલી વસ્તુની ઊંડાઈ છે.
પ્લવનના નિયમ મુજબ,વસ્તુનું વજન = વિસ્થાપિત પ્રવાહીનું વજન:
$V_{total} \cdot \rho_{object} \cdot g = V_{submerged} \cdot \rho_{water} \cdot g$
$(abc) \cdot d \cdot g = (b \cdot c \cdot l) \cdot 1 \cdot g$
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$abc \cdot d = bcl$
$l = da$
આવર્તકાળના સૂત્રમાં $l$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{da}{g}}$

(B) પૃથ્વી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહ પર,દળ $M' = 2M$ અને ત્રિજ્યા $R' = 2R$ છે (કારણ કે વ્યાસ પૃથ્વી કરતાં બમણો છે).
ગ્રહ પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g' = \frac{G(2M)}{(2R)^2} = \frac{2GM}{4R^2} = \frac{1}{2}g$ થશે.
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલક માટે $T_1 = 2 \ s$ છે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{g}{g'}} = \sqrt{\frac{g}{g/2}} = \sqrt{2}$.
$T_2 = T_1 \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ s$.

(A) તેના દોલનના સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુએ,લોલકના ગોળાનો વેગ શૂન્ય હોય છે કારણ કે તે તેની દિશા બદલતા પહેલા ક્ષણિક રીતે સ્થિર થાય છે.
જ્યારે આ ક્ષણે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે ગોળા પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ નીચેની તરફ હોવાથી,ગોળો શિરોલંબ નીચેની તરફ સીધી રેખામાં પડશે.
તેથી,સાચો ગતિપથ શિરોલંબ સીધી રેખા છે.

(B) સાદા લોલક માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
શંકુ આકારના લોલક માટે,વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $r = l \sin \theta$ છે.
લાગતા બળો $T \sin \theta = \frac{mv^2}{r}$ અને $T \cos \theta = mg$ છે.
આ સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\tan \theta = \frac{v^2}{rg}$ મળે છે.
$r = l \sin \theta$ મૂકતા,$\tan \theta = \frac{v^2}{lg \sin \theta}$ મળે,જે પરથી $v = \sqrt{lg \sin \theta \tan \theta}$ થાય.
શંકુ આકારના લોલક માટે આવર્તકાળ $T_2 = \frac{2\pi r}{v} = \frac{2\pi l \sin \theta}{\sqrt{lg \sin \theta \tan \theta}}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l \sin \theta}{g \tan \theta}} = 2\pi \sqrt{\frac{l \cos \theta}{g}}$ મળે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{l}{g} \cos \theta}}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \sqrt{\cos \theta}$ થાય.

(B) વર્તુળાકાર ચાપમાં ગતિ કરતા લોલકના દળનો પ્રવેગ બે ઘટકોનો બનેલો છે: સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$ અને કેન્દ્રગામી (ત્રિજ્યાવર્તી) પ્રવેગ $(a_c)$.
સ્પર્શક પ્રવેગ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,જે દોરીને લંબ હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે દોરીની સાથે પીવટ તરફ હોય છે.
કુલ પ્રવેગ સદિશ એ આ બે ઘટકોનો સદિશ સરવાળો છે $(a = a_t + a_c)$.
તેથી,કુલ પ્રવેગ સદિશ સ્પર્શક અને ત્રિજ્યાવર્તી દિશાની વચ્ચે ક્યાંક નિર્દેશ કરે છે,જે ચાપના અંદરના ભાગ તરફ હોય છે. આપેલી આકૃતિઓ જોતા,આકૃતિ $(b)$ માંનો સદિશ આ પરિણામી પ્રવેગ સદિશને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે,કારણ કે તે વર્તુળાકાર માર્ગના અંદરના ભાગ તરફ નિર્દેશ કરે છે.

(C) સ્પ્રિંગ-દળ તંત્રનો આવર્તકાળ $T_S = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સૂત્રમાં ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નો સમાવેશ થતો નથી,તેથી જ્યારે લિફ્ટ પ્રવેગિત થાય ત્યારે $T_S$ બદલાતું નથી.
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T_P = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
અહીં $g_{eff} > g$ હોવાથી,છેદ વધે છે,જેના કારણે આવર્તકાળ $T_P$ ઘટે છે.
તેથી,$T_S$ સમાન રહે છે અને $T_P$ ઘટે છે.

(A) ધારો કે આવર્તકાળ $T_1 = T$ અને $T_2 = 5T/4$ છે.
લોલકો ફરીથી સમાન કળામાં હોય તે માટે,વીતેલો સમય $t$ એ બંને આવર્તકાળનો પૂર્ણાંક ગુણાંક હોવો જોઈએ.
$t = n_1 T_1 = n_2 T_2$,જ્યાં $n_1$ અને $n_2$ એ દોલનોની સંખ્યા છે.
$n_1 T = n_2 (5T/4)$.
$n_1 = n_2 (5/4) \implies n_1/n_2 = 5/4$.
અહીં $T_1 < T_2$ હોવાથી,$T_1$ આવર્તકાળ ધરાવતું લોલક નાનું લોલક છે.
નાના લોલક માટે $n_1 = 5$ અને $n_2 = 4$ મળે છે.
આમ,નાના લોલકના $5$ દોલનો પછી,તેઓ ફરીથી સમાન કળામાં આવશે.

(D) ધારો કે ફુગ્ગાનું કદ $V$ છે. ઉત્પ્લાવક બળ $B = \rho_{air} V g$ અને ફુગ્ગાનું વજન $mg = \rho_{He} V g$ છે.
સંતુલન સ્થિતિમાં ચોખ્ખું ઉપરની તરફનું બળ $F_{net} = B - mg = (\rho_{air} - \rho_{He}) V g$ છે.
જ્યારે ફુગ્ગાને નાના ખૂણે $\theta$ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે, ત્યારે પીવટ પોઈન્ટની આસપાસ પુનઃસ્થાપક ટોર્ક $\tau = -(B - mg) L \sin \theta \approx -(B - mg) L \theta$ થાય છે.
પીવટની આસપાસ ફુગ્ગાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = mL^2 = (\rho_{He} V) L^2$ છે.
$\tau = I \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $I \alpha = -(B - mg) L \theta$ મળે છે, તેથી $\alpha = -\frac{(B - mg) L}{I} \theta$.
આ સરળ આવર્ત ગતિનું સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ છે, જ્યાં $\omega^2 = \frac{(B - mg) L}{I}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega^2 = \frac{(\rho_{air} - \rho_{He}) V g L}{(\rho_{He} V) L^2} = \frac{(\rho_{air} - \rho_{He}) g}{\rho_{He} L}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega} = 2\pi \sqrt{\frac{\rho_{He} L}{(\rho_{air} - \rho_{He}) g}} = 2\pi \sqrt{(\frac{\rho_{He}}{\rho_{air} - \rho_{He}})\frac{L}{g}}$.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ લોલક માટે $(L_1 = 1.0 \ m)$: $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{1.0}{g}} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$.
બીજા લોલક માટે $(L_2 = 1.21 \ m)$: $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{1.21}{g}} = 1.1 \times 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = 1.1 T_1$.
ધારો કે જ્યારે તેઓ ફરીથી સમાન કળામાં આવે ત્યારે નાના લોલકના દોલનોની સંખ્યા $n_1$ અને મોટા લોલકના દોલનોની સંખ્યા $n_2$ છે.
આ સમયે,$n_1 T_1 = n_2 T_2$.
$T_2 = 1.1 T_1$ મૂકતા,આપણને $n_1 T_1 = n_2 (1.1 T_1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $n_1 = 1.1 n_2$ અથવા $n_1 = \frac{11}{10} n_2$ થાય છે.
$n_1$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$n_2$ ની લઘુત્તમ કિંમત $10$ છે,જેનાથી $n_1 = 11$ મળે છે.
તેથી,નાનું લોલક $11$ દોલનો પૂર્ણ કરશે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલકનું કોણીય સ્થાનાંતર $\theta(t) = \beta \sin(\omega t)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $\beta$ એ કોણીય કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે કે આવર્તકાળ $T$ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
આપણે સંતુલન સ્થિતિ $O$ (જ્યાં $t = 0$ સમયે $\theta = 0$) થી શરૂ કરીને $\theta = \alpha$ જેટલા કોણીય સ્થાનાંતર સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ શોધવો છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $\alpha = \beta \sin(\omega t)$.
$t$ માટે ગોઠવતા: $\sin(\omega t) = \frac{\alpha}{\beta}$.
$\omega t = \sin^{-1} \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા: $\left( \frac{2\pi}{T} \right) t = \sin^{-1} \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)$.
તેથી,$t = \frac{T}{2\pi} \sin^{-1} \left( \frac{\alpha}{\beta} \right)$.

(B) લિફ્ટના અજડત્વીય નિર્દેશ ફ્રેમમાં બોબ દ્વારા અનુભવાતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ નીચે મુજબ છે:
$g_{eff} = g + a - \frac{qE}{m}$
આપેલ છે:
$g = \pi^2 \ m/s^2$
$a = 5 \ m/s^2$ (ઉપરની તરફ)
$E = 5 \ N/C$ (ઉપરની તરફ)
$q = 1 \ mC = 10^{-3} \ C$
$m = 1 \ mg = 10^{-6} \ kg$
કિંમતો મૂકતા:
$g_{eff} = \pi^2 + 5 - \frac{(10^{-3} \times 5)}{10^{-6}}$
$g_{eff} = \pi^2 + 5 - 5000 = \pi^2 - 4995 \ m/s^2$
આવર્તકાળ માટે $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જો આપણે $g_{eff} = \pi^2$ લઈએ,તો $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2 \ s$ મળે છે.

(B) સાદા લોલકના સૌથી નીચેના બિંદુએ દોરીમાં તણાવ $T$ માટેનું સૂત્ર $T - mg = \frac{mv^2}{L}$ છે,જ્યાં $v$ એ સૌથી નીચેના બિંદુએ વેગ છે.
સાદા લોલક માટે,મહત્તમ વેગ $v_{\max} = A\omega$ છે,જ્યાં $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$.
તેથી,$v_{\max}^2 = A^2\omega^2 = A^2 \left(\frac{g}{L}\right)$.
આ કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m(A^2 g/L)}{L} = mg + \frac{mgA^2}{L^2}$.
$mg$ સામાન્ય કાઢતા,આપણને $T_{\max} = mg \left[ 1 + \left( \frac{A}{L} \right)^2 \right]$ મળે છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \sqrt{l}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2} \ln l - \frac{1}{2} \ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા, આપણને આંશિક ફેરફાર મળે છે: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $2\%$ નો વધારો થાય છે, તેથી $\frac{\Delta l}{l} = 0.02$.
આ કિંમત મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 0.02 = 0.01$.
તેથી, આવર્તકાળમાં $1\%$ નો વધારો થશે.

(A) કિસ્સો $1$: જ્યારે $m_2$ દળ પાટાને લંબ દોલન કરે છે,ત્યારે ટ્રોલી સ્થિર રહે છે કારણ કે પાટાની દિશામાં તણાવ બળનો કોઈ ઘટક હોતો નથી. આ તંત્ર $l$ લંબાઈના સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે. આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
કિસ્સો $2$: જ્યારે $m_2$ દળ પાટાને સમાંતર દોલન કરે છે,ત્યારે તંત્રનું આડું વેગમાન જાળવી રાખવા માટે ટ્રોલી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. આ તંત્ર માટે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g(1 + \frac{m_2}{m_1}) = g(\frac{m_1 + m_2}{m_1})$ છે. આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(\frac{m_1 + m_2}{m_1})}} = 2\pi \sqrt{\frac{m_1 l}{(m_1 + m_2)g}}$ છે.
ગુણોત્તર: $\frac{T_2}{T_1} = \frac{2\pi \sqrt{\frac{m_1 l}{(m_1 + m_2)g}}}{2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_1 + m_2}}$.

(A) તકતીને $l$ લંબાઈના બે સમાંતર દોરડા વડે લટકાવવામાં આવી છે. જ્યારે તકતીને તેના પોતાના સમતલમાં થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે ભૌતિક લોલક જેવી ગતિ કરે છે.
ભૌતિક લોલક માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{I}{mgd}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ પરિભ્રમણની ધરીને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $d$ એ આધારબિંદુથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
આ કિસ્સામાં,દોરડા તકતીના કેન્દ્રથી $R/2$ અંતરે ઉપર જોડાયેલા છે. લોલકની અસરકારક લંબાઈ $l_{eff} = l$ છે. જો કે,દોરડાઓ ગતિ દરમિયાન સમાંતર રહે છે,તેથી તકતી તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ફરતી નથી; તે શુદ્ધ સ્થાનાંતર ગતિ કરે છે. આ ગતિ $l$ લંબાઈના સાદા લોલક જેવી જ છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ થશે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\ell = 1.0\, m$ અને $g = 10\, m/s^2$ લેતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{10}} \approx 2\pi \times 0.316 \approx 1.987\, s \approx 2.0\, s$ મળે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે આવર્તકાળ $T$ એ કંપવિસ્તારથી સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને લોલકનો આવર્તકાળ સમાન $T = 2.0\, s$ છે.
તેમને $t = 0$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. લોલકને તેના અંતિમ સ્થાનથી શિરોલંબ સ્થિતિ $(\theta = 0^o)$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય તેના આવર્તકાળનો ચોથો ભાગ એટલે કે $t = \frac{T}{4}$ હોય છે.
આમ,$t = \frac{2.0}{4} = 0.5\, s$.
બંને લોલક $t = 0.5\, s$ સમયે શિરોલંબ સ્થિતિમાં પહોંચે છે,તેથી તેઓ $0.50\, s$ પછી $\theta = 0.0^o$ પર અથડાશે.

(D) લોલક તેની ગતિ દરમિયાન બે અલગ-અલગ અસરકારક લંબાઈ સાથે દોલન કરે છે.
જ્યારે લોલક ડાબી બાજુ હોય,ત્યારે અસરકારક લંબાઈ $L_1 = L$ છે. એક ચતુર્થાંશ દોલન માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{1}{4} T_1 = \frac{1}{4} (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}) = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
જ્યારે લોલક જમણી બાજુ હોય,ત્યારે તે પીવટથી $2L/3$ અંતરે રહેલી ખીલીને અથડાય છે. અસરકારક લંબાઈ $L_2 = L - 2L/3 = L/3$ થાય છે. એક ચતુર્થાંશ દોલન માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{1}{4} T_2 = \frac{1}{4} (2\pi \sqrt{\frac{L/3}{g}}) = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{3g}}$ છે.
શરૂઆતની સ્થિતિમાં પાછા આવવા માટેનો કુલ સમય $T' = t_1 + t_2 + t_2 + t_1 = 2(t_1 + t_2)$ છે.
$T' = 2 \left( \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{g}} + \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{L}{3g}} \right) = \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \left( 1 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right)$.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિમાં સ્થિતિ ઉર્જા અને અંતિમ સ્થિતિમાં સ્થિતિ ઉર્જા સમાન હોવી જોઈએ.
ધારો કે આધાર બિંદુ એ સ્થિતિ ઉર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર $(PE = 0)$ છે.
આધાર બિંદુથી $M$ દળની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h_i = -L \cos \alpha$ છે.
ખીલી સાથે અથડાયા પછી $M$ દળની અંતિમ ઊંચાઈ $h_f = -l - (L - l) \cos \theta$ છે.
સ્થિતિ ઉર્જાને સરખાવતા: $Mg(-L \cos \alpha) = Mg(-l - (L - l) \cos \theta)$.
$-L \cos \alpha = -l - (L - l) \cos \theta$.
$(L - l) \cos \theta = L \cos \alpha - l$.
$\cos \theta = \frac{L \cos \alpha - l}{L - l}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left[ \frac{L \cos \alpha - l}{L - l} \right]$.

(D) સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે તાપમાન બદલાય છે,ત્યારે લંબાઈ $\ell = \ell_0(1 + \alpha \Delta \theta)$ મુજબ બદલાય છે.
આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell_0(1 + \alpha \Delta \theta)}{g}} = T(1 + \alpha \Delta \theta)^{1/2}$ થાય છે.
નાના $\alpha \Delta \theta$ માટે દ્વિપદી અંદાજનો ઉપયોગ કરતા,$T' \approx T(1 + \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta)$.
આવર્તકાળમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{T' - T}{T} = \frac{1}{2} \alpha \Delta \theta$ છે.
આ સમીકરણ લોલકની લંબાઈ $\ell$ થી સ્વતંત્ર છે. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.

(D) સ્થિર લિફ્ટમાં સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે. નવો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$ છે.
આપેલ છે કે નવો આવર્તકાળ $T = \frac{T_0}{2}$ છે,તેથી:
$\frac{T_0}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$
$T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \right) = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$
$\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\ell}{g}} = \sqrt{\frac{\ell}{g+a}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\frac{1}{4} \cdot \frac{\ell}{g} = \frac{\ell}{g+a}$
$\frac{1}{4g} = \frac{1}{g+a}$
$g + a = 4g$
$a = 3g$
અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ વધ્યું હોવાથી,પ્રવેગ ઉપરની દિશામાં હોવો જોઈએ.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L_{eff}$ એ નિલંબન બિંદુથી ગોળાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે.
જ્યારે ગોળો પોલો હોય,રેતીથી ભરેલો હોય અથવા સંપૂર્ણપણે પારો (મર્ક્યુરી) થી ભરેલો હોય,ત્યારે ગોળાનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ગોળાના ભૌમિતિક કેન્દ્ર સાથે સંપાત થાય છે. આમ,$L_{eff}$ સમાન રહે છે,અને $T = T_1 = T_2$ થાય છે.
જ્યારે ગોળો અડધો પારો (મર્ક્યુરી) થી ભરેલો હોય,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ભૌમિતિક કેન્દ્રથી નીચેની તરફ ખસે છે. આ લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L_{eff}$ માં વધારો કરે છે.
કારણ કે $T \propto \sqrt{L_{eff}}$,$L_{eff}$ માં વધારો થવાથી આવર્તકાળમાં વધારો થાય છે. તેથી,$T_3 > T$ (અથવા $T_3 > T_1 = T_2$).
આમ,સાચો સંબંધ $T = T_1 = T_2 < T_3$ છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે $g_{eff} = g$ થાય.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g - a = g - g/3 = 2g/3$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{2g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3\ell}{2g}}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $T' = \sqrt{\frac{3}{2}} \times (2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}) = \sqrt{\frac{3}{2}} T$.

(A) ધારો કે બે લોલકની લંબાઈ $L_1 = x$ અને $L_2 = x - 22$ છે.
આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ થાય.
આપેલ સમય $t$ માં,દોલનોની સંખ્યા $n = f \times t = \frac{t}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
બંને માટે $t$ સમાન હોવાથી,$n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$.
તેથી,$n_1 \sqrt{L_1} = n_2 \sqrt{L_2}$.
અહીં $n_1 = 15$ અને $n_2 = 18$ આપેલ છે,તેથી $15 \sqrt{x} = 18 \sqrt{x - 22}$.
$3$ વડે ભાગતા,$5 \sqrt{x} = 6 \sqrt{x - 22}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $25x = 36(x - 22)$.
$25x = 36x - 792$.
$11x = 792 \Rightarrow x = 72 \ cm$.
આમ,લોલકની લંબાઈ $72 \ cm$ અને $50 \ cm$ છે.

(C) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g_{eff}}{L}}$ છે.
જ્યારે ઋણ વીજભારિત ગોળો મોટી ધન વીજભારિત પ્લેટની ઉપર દોલન કરે છે,ત્યારે તે પ્લેટ તરફ વધારાનું નીચેની દિશામાં સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$ અનુભવે છે.
આ બળ ગુરુત્વાકર્ષણની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે,જે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગમાં વધારો કરે છે.
આમ,$g_{eff} = g + \frac{F_e}{m}$,જ્યાં $m$ એ ગોળાનું દળ છે.
અહીં $g_{eff} > g$ હોવાથી,આવૃત્તિ $f$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f$ કરતા વધારે હશે.

(A) સૌથી નીચેના બિંદુએ ઝડપ $v = \sqrt{2g\ell}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,ધારો કે લોલક $h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે જ્યાં તેનો વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
$\frac{1}{2}mv^2 = mgh$
$\frac{1}{2}m(2g\ell) = mgh$
$h = \ell$.
આનો અર્થ એ છે કે લોલક આધાર બિંદુની સપાટી સુધી ઉપર જાય છે,જે બંને બાજુ $90^\circ$ નો ચાપ આવરી લે છે.
જેમ કે ગતિ ચોક્કસ સમયના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ છે.
જોકે,પુનઃસ્થાપક બળ સ્થાનાંતરના પ્રમાણમાં નથી (તે $\sin \theta$ ના પ્રમાણમાં છે),તેથી આ ગતિ $SHM$ નથી.

(C) જ્યારે લોલકના ગોળાને $\theta$ ખૂણે ખેંચવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની સંતુલન સ્થિતિથી $h$ જેટલી ઊંચાઈએ જાય છે.
ભૂમિતિ મુજબ,ઊંચાઈ $h = l - l \cos \theta = l(1 - \cos \theta)$ થાય છે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ રહેલી સ્થિતિ ઉર્જા સંતુલન સ્થિતિએ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$PE_{initial} = KE_{final}$
$Mgh = \frac{1}{2} Mv^2$
$h = l(1 - \cos \theta)$ કિંમત મૂકતા:
$Mg l(1 - \cos \theta) = \frac{1}{2} Mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta)$
$v = \sqrt{2gl(1 - \cos \theta)}$

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ અસરકારક લંબાઈ છે.
પ્રાકૃતિક લઘુગણક લઈને વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dT}{T} = \frac{1}{2} \frac{dl}{l}$ મળે છે.
અહીં,અસરકારક લંબાઈ $l$ એ દોરીની લંબાઈ અને ગોળાની ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે. તેથી,ત્રિજ્યામાં ફેરફારને કારણે અસરકારક લંબાઈમાં ફેરફાર $dl = |r_1 - r_2|$ છે.
આવર્તકાળમાં સાપેક્ષ તફાવત $\frac{\Delta T}{T} = 5 \times 10^{-4}$ અને લંબાઈ $l = 1\, m$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta l}{l}$ સંબંધમાં મૂકતા:
$5 \times 10^{-4} = \frac{1}{2} \times \frac{|r_1 - r_2|}{1}$.
$|r_1 - r_2| = 2 \times 5 \times 10^{-4} = 10 \times 10^{-4} = 10^{-3}\, m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $10^{-3}\, m = 10^{-1}\, cm = 0.1\, cm$.

(B) જ્યારે પિસ્ટનનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ કરતા વધી જાય ત્યારે વોશર પિસ્ટન સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે.
સંપર્ક ગુમાવવાના બિંદુએ,લંબબળ $(N)$ $0$ થઈ જાય છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે,મહત્તમ નીચેની તરફનો પ્રવેગ $a_{\max} = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સંપર્ક ગુમાવવાની શરત $a_{\max} = g$ છે,જ્યાં $g \approx 9.8\, m/s^2$.
આપેલ કંપનવિસ્તાર $A = 7\, cm = 0.07\, m$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega^2 A = g \Rightarrow \omega = \sqrt{\frac{g}{A}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{A}}$.
$f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{9.8}{0.07}} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{140} \approx \frac{11.83}{6.28} \approx 1.88\, Hz$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આવૃત્તિ $1.9\, Hz$ છે.

(C) તરતી વસ્તુના દોલનનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{h'}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h'$ એ સંતુલન સ્થિતિમાં બ્લોકનો પ્રવાહીમાં ડૂબેલો ભાગ છે.
તરતી વસ્તુ માટે,વસ્તુનું વજન એ સ્થાનાંતરિત પ્રવાહીના વજન જેટલું હોય છે: $A \cdot h \cdot \rho_{\text{wood}} \cdot g = A \cdot h' \cdot \rho_{\text{liquid}} \cdot g$.
આમ,$h' = h \cdot \frac{\rho_{\text{wood}}}{\rho_{\text{liquid}}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $h' = 54 \ cm \times \frac{650}{900}$.
$h' = 54 \times \frac{13}{18} = 3 \times 13 = 39 \ cm$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,સાદા લોલકની સમતુલ્ય લંબાઈ $l$ એ ડૂબેલા ઊંડાણ $h'$ જેટલી થાય છે.
તેથી,$l = 39 \ cm$.

(B) આપેલ આલેખ પરથી,આપણે $T^2$ અને $L$ વચ્ચેનો સંબંધ જોઈ શકીએ છીએ.
આલેખ પરથી એક બિંદુ લેતા,$L = 1.0 \ m$ માટે,અનુરૂપ મૂલ્ય $T^2 = 4.0 \ s^2$ છે.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = 4\pi^2 \frac{L}{g}$ મળે છે.
$g$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$g = \frac{4\pi^2 L}{T^2}$ મળે છે.
આલેખ પરથી કિંમતો મૂકતા:
$g = \frac{4 \times (3.14)^2 \times 1.0}{4.0} = \pi^2 \approx 9.87 \ m/s^2$.
આમ,$g$ નું મૂલ્ય $9.87 \ m/s^2$ છે.

(A) ધારો કે $T_{1}$ અને $T_{2}$ એ બે લોલકના આવર્તકાળ છે.
$T_{1} = 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}}$ અને $T_{2} = 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$.
અહીં $\ell_{1} < \ell_{2}$ હોવાથી,$T_{1} < T_{2}$ થશે.
ધારો કે જ્યારે તેઓ ફરીથી સમાન કળામાં આવે ત્યારે ટૂંકા લોલકે $n_{1}$ દોલનો અને લાંબા લોલકે $n_{2}$ દોલનો પૂર્ણ કર્યા છે.
લોલક સમાન કળામાં હોય તે માટે,લાગતો સમય સમાન હોવો જોઈએ: $n_{1} T_{1} = n_{2} T_{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $n_{1} \times 2\pi \sqrt{\frac{1}{g}} = n_{2} \times 2\pi \sqrt{\frac{4}{g}}$.
$n_{1} = 2n_{2}$.
$t=0$ પછી પ્રથમ વખત જ્યારે તેઓ સમાન કળામાં આવે,ત્યારે દોલનોની સંખ્યાનો તફાવત સૌથી નાનો પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,એટલે કે $n_{1} - n_{2} = 1$.
$n_{1} = 2n_{2}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા: $2n_{2} - n_{2} = 1 \Rightarrow n_{2} = 1$.
તેથી $n_{1} = 2(1) = 2$.
આમ,ટૂંકા લોલક $2$ દોલનો પૂર્ણ કરશે.

(D) લોખંડનો ગોળો પ્રવાહધારિત ગૂંચળા દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા આકર્ષાય છે. આ ચુંબકીય બળ ગુરુત્વાકર્ષણની દિશામાં જ કાર્ય કરે છે,જેનાથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ વધે છે $(g_{eff} > g)$. કારણ કે $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગમાં વધારો થવાથી આવર્તકાળ ઘટે છે,તેથી $T < 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. વધુમાં,ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં લોખંડના ગોળાની ગતિને કારણે ગોળામાં એડી પ્રવાહો (eddy currents) ઉત્પન્ન થાય છે,જે ઉર્જાનો વ્યય કરે છે અને હવાના અવરોધની સરખામણીમાં ડેમ્પિંગ વધારે છે.

(B) જ્યારે બોટલને $x$ અંતર જેટલી નીચે દબાવવામાં આવે ત્યારે લાગતું પુનઃસ્થાપક બળ $F$ એ વિસ્થાપિત પાણીના વજન જેટલું હોય છે: $F = A \rho g x$,જ્યાં $A = \pi r^2$ એ બોટલનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે,$F = m \omega^2 x$,જ્યાં $m$ એ બોટલની અંદરના પાણીનું દળ છે.
બંનેને સરખાવતા: $\pi r^2 \rho g x = m \omega^2 x$.
તેથી,$\omega = \sqrt{\frac{\pi r^2 \rho g}{m}}$.
અહીં $m = \rho V$,જ્યાં $V = 310\, ml = 310 \times 10^{-6}\, m^3$ અને $r = 2.5 \times 10^{-2}\, m$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \sqrt{\frac{\pi r^2 \rho g}{\rho V}} = r \sqrt{\frac{\pi g}{V}}$.
$\omega = (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{3.14 \times 10}{310 \times 10^{-6}}} = (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{\frac{31.4}{310 \times 10^{-6}}} \approx (2.5 \times 10^{-2}) \sqrt{10^5} \approx 2.5 \times 316 \times 10^{-2} \approx 7.9\, rad\, s^{-1}$.

(A) સાદા લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g_{eff}}{\ell}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{\Delta \omega}{\omega} = \frac{1}{2} \frac{\Delta g_{eff}}{g_{eff}}$ મળે છે.
જ્યારે આધાર $A$ કંપનવિસ્તાર અને $\omega_s$ આવૃત્તિ સાથે ઊભી દિશામાં દોલન કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $\Delta g = A \omega_s^2$ જેટલો બદલાય છે.
અહીં,$A = 10^{-2}\, m$ અને $\omega_s = 1\, rad/s$ છે.
તેથી,$\Delta g = 10^{-2} \times (1)^2 = 10^{-2}\, m/s^2$.
$g \approx 10\, m/s^2$ લેતા,અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta g}{g} = \frac{10^{-2}}{10} = 10^{-3}$ થાય છે.
તેથી,કોણીય આવૃત્તિમાં સાપેક્ષ ફેરફાર $\frac{\Delta \omega}{\omega} = \frac{1}{2} \times \frac{\Delta g}{g} = \frac{1}{2} \times 10^{-3} = 0.5 \times 10^{-3} = 5 \times 10^{-4}$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સૌથી નજીકનો ક્રમ $10^{-3}$ છે.

(A) સરળ લોલકની તેના સૌથી નીચલા બિંદુએ મહત્તમ ગતિઊર્જા તેના મહત્તમ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પરની સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ પરની સ્થિતિઊર્જા $U = mg\ell(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $\ell$ એ લોલકની લંબાઈ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_1 = mg\ell(1 - \cos \theta)$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે છે $(\ell' = 2\ell)$ અને કોણીય કંપનવિસ્તાર $\theta$ સમાન રહે છે. નવી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_2 = mg(2\ell)(1 - \cos \theta)$ છે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને $K_2 = 2 \times [mg\ell(1 - \cos \theta)] = 2K_1$ મળે છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવામાં,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g$ છે. તેથી,$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}.$
જ્યારે ગોળાને $\rho_l$ ઘનતા ધરાવતા પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે અને ગોળાની ઘનતા $\rho_b$ હોય,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ એ $g' = g \left( 1 - \frac{\rho_l}{\rho_b} \right)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $\rho_l = \frac{1}{16} \rho_b,$ તેથી $g' = g \left( 1 - \frac{1}{16} \right) = g \left( \frac{15}{16} \right).$
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g \cdot \frac{15}{16}}}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \cdot \sqrt{\frac{16}{15}} = T \cdot \frac{4}{\sqrt{15}} = 4T \sqrt{\frac{1}{15}}.$

(A) સૌથી નીચલા બિંદુએ,વ્યક્તિનો વેગ $V_0 = \omega A = \sqrt{\frac{g}{L}} (\theta_0 L) = \theta_0 \sqrt{gL}$ છે.
જ્યારે વ્યક્તિ ઊભી થાય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પીવટથી અંતર $L$ થી બદલાઈને $L-l$ થાય છે. પીવટ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$M V_0 L = M V_1 (L-l) \implies V_1 = V_0 \frac{L}{L-l} = V_0 (1 - \frac{l}{L})^{-1} \approx V_0 (1 + \frac{l}{L})$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ: $W_g + W_p = \Delta KE$.
અહીં,$W_g = -Mgl$ (ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલું કાર્ય કારણ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ઉપર જાય છે).
$\Delta KE = \frac{1}{2} M (V_1^2 - V_0^2) = \frac{1}{2} M [V_0^2 (1 + \frac{l}{L})^2 - V_0^2] \approx \frac{1}{2} M V_0^2 (1 + \frac{2l}{L} - 1) = M V_0^2 \frac{l}{L}$.
$V_0^2 = \theta_0^2 gL$ મૂકતા:
$\Delta KE = M (\theta_0^2 gL) \frac{l}{L} = Mgl \theta_0^2$.
આમ,$W_p = Mgl + \Delta KE = Mgl + Mgl \theta_0^2 = Mgl(1 + \theta_0^2)$.

(B) બોબની ઝડપમાં થતો ફેરફારનો દર એ સ્પર્શકીય પ્રવેગ છે,જે $a_T = g \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\theta$ એ દોરી દ્વારા શિરોલંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
$\theta = 30^\circ$ પર,સ્પર્શકીય પ્રવેગ $a_T = g \sin 30^\circ$ થાય.
આપેલ છે કે $g = 10\,m/s^2$ અને $\sin 30^\circ = 0.5$.
તેથી,$a_T = 10 \times 0.5 = 5\,m/s^2$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા,આપણને મળે છે $\ln T = \ln(2\pi) + \frac{1}{2}\ln \ell - \frac{1}{2}\ln g$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે $\frac{dT}{T} = -\frac{1}{2} \frac{dg}{g}$.
આપેલ છે કે $g$ માં થતો ટકાવારી ઘટાડો $4\%$ છે,તેથી $\frac{dg}{g} \times 100 = -4\%$.
આ કિંમતને $T$ માં થતા ટકાવારી ફેરફારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{dT}{T} \times 100 = -\frac{1}{2} \times (-4\%) = +2\%$.
તેથી,આવર્તકાળમાં $2\%$ નો વધારો થાય છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
જ્યારે ટ્રેન એકમ સમયમાં સમાન અંતર કાપે છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે ટ્રેન અચળ વેગ (સમાન ગતિ) થી ગતિ કરી રહી છે.
અચળ વેગથી ગતિ કરતી વસ્તુ માટે,ટ્રેનનો પ્રવેગ $a = 0$ હોય છે.
લોલક પર કાર્ય કરતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $a = 0$ હોવાથી,$g_{eff} = \sqrt{g^2 + 0^2} = g$ થાય છે.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $T$ તેટલો જ રહે છે જેટલો ટ્રેન સ્થિર હતી ત્યારે હતો.

(C) કારના સંદર્ભ ફ્રેમમાં લોલકના ગોળા પર બે પ્રવેગ લાગે છે: નીચેની તરફ લાગતો ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અને બહારની તરફ લાગતો કેન્દ્રત્યાગી પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{R}$.
પરિણામી અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ આ બે લંબ પ્રવેગોનો સદિશ સરવાળો છે:
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a_c^2} = \sqrt{g^2 + \left(\frac{v^2}{R}\right)^2} = \sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}$
સરળ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_{eff}$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}}}$
આવૃત્તિ $f$ એ આવર્તકાળનો વ્યસ્ત છે:
$f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{\sqrt{g^2 + \frac{v^4}{R^2}}}{l}}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ઋણ વીજભારિત ગોળો ધન વીજભારિત પ્લેટની ઉપર દોલન કરે છે,ત્યારે ગોળા પર નીચેની દિશામાં (પ્લેટ તરફ) વધારાનું સ્થિત-વિદ્યુત બળ $F_e$ લાગે છે.
આ સ્થિત-વિદ્યુત બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં ઉમેરાય છે,જેનાથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g + \frac{F_e}{m}$ વધે છે.
અહીં $g_{eff} > g$ હોવાથી,$T$ ના સૂત્રમાં છેદ વધે છે.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $T'$ એ મૂળ આવર્તકાળ $T$ કરતા ઓછો થશે.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આપેલ છે કે $L = 1\,m$ અને $g = \pi^2$,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{1}{\pi^2}} = 2\,s$.
લોલક $\theta = +2^o$ અને $\theta = -1^o$ (દીવાલને કારણે) ની વચ્ચે દોલન કરે છે.
$\theta = 0^o$ થી $\theta = +2^o$ સુધીની ગતિ માટે લાગતો સમય $T/4 = 2/4 = 0.5\,s$ છે.
$\theta = +2^o$ થી પાછા $\theta = 0^o$ સુધીની ગતિ માટે પણ $0.5\,s$ સમય લાગે છે.
$\theta = 0^o$ થી $\theta = -1^o$ સુધીની ગતિ માટે,આપણે $\theta(t) = \theta_0 \sin(\omega t)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જ્યાં $\theta_0 = 2^o$ અને $\omega = \frac{2\pi}{T} = \pi\,rad/s$.
$1^o = 2^o \sin(\pi t) \Rightarrow \sin(\pi t) = 1/2 \Rightarrow \pi t = \pi/6 \Rightarrow t = 1/6\,s$.
લોલક $0^o$ થી $-1^o$ સુધી જાય છે અને ફરીથી દીવાલ સાથે અથડાય તે પહેલાં $0^o$ પર પાછું આવે છે. આ ભાગ માટેનો સમય $2t = 2 \times (1/6) = 1/3\,s$ છે.
કુલ આવર્તકાળ $T' = (T/4) + (T/4) + 2t = 0.5 + 0.5 + 1/3 = 1 + 1/3 = 4/3\,s$.

(C) કાર $a$ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. આપેલ સ્થાનના સમીકરણ $x = \frac{g}{2} \sqrt{3} t^2$ પરથી,પ્રવેગ શોધવા માટે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં બે વાર વિકલન કરતા:
$v = \frac{dx}{dt} = g \sqrt{3} t$
$a = \frac{dv}{dt} = g \sqrt{3}$
કારના ફ્રેમમાં,લોલક પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં આભાસી બળ અનુભવે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) અને આભાસી પ્રવેગ $a$ (પાછળની તરફ) નો સદિશ સરવાળો છે:
$g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2} = \sqrt{g^2 + (g \sqrt{3})^2} = \sqrt{g^2 + 3g^2} = \sqrt{4g^2} = 2g$
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_{eff} = 2g$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{2g}}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે સમઘનને $x$ જેટલા નાના સ્થાનાંતરથી નીચે દબાવવામાં આવે છે. સમઘન પર લાગતું વધારાનું ઉત્પ્લાવક બળ $F = -A \rho g x$ છે,જ્યાં $A = l^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ બળ પુનઃસ્થાપક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે,તેથી $F = -k x$,જ્યાં $k = A \rho g = l^2 \rho g$ છે.
સમઘનનું દળ $m = l^3 d$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l^3 d}{l^2 \rho g}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{ld}{\rho g}}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બોબનું દળ $m$ છે અને દોરીની લંબાઈ $\ell$ છે. દોરીની તોડવાની ક્ષમતા $T_{max} = 2mg$ આપેલ છે.
જ્યારે બોબને સમક્ષિતિજ સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે તેનો વેગ $v$ ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ મળે છે: $\frac{1}{2}mv^2 = mg\ell \cos \theta$,જેનો અર્થ છે કે $v^2 = 2g\ell \cos \theta$.
કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર દોરીમાં તણાવ $T = mg \cos \theta + \frac{mv^2}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $T = mg \cos \theta + \frac{m(2g\ell \cos \theta)}{\ell} = mg \cos \theta + 2mg \cos \theta = 3mg \cos \theta$.
દોરી ત્યારે તૂટે છે જ્યારે $T = T_{max} = 2mg$.
તેથી,$3mg \cos \theta = 2mg$,જેનું સાદું રૂપ $\cos \theta = \frac{2}{3}$ થાય છે.
આમ,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{2}{3}\right)$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 200\, g = 0.2\, kg$,લંબાઈ $L = 100\, cm = 1\, m$,$g = 10\, m/s^2$.
ધારો કે સૌથી નીચું બિંદુ એ સ્થિતિઊર્જા માટે સંદર્ભ સ્તર છે $(PE = 0)$.
શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે બોબની ઊંચાઈ $h = L(1 - \cos\theta)$ છે.
$\theta_1 = 60^\circ$ પર,પ્રારંભિક સ્થિતિઊર્જા $PE_i = mgL(1 - \cos 60^\circ) = mgL(1 - 0.5) = 0.5 mgL$ છે.
$\theta_2 = 30^\circ$ પર,સ્થિતિઊર્જા $PE_f = mgL(1 - \cos 30^\circ) = mgL(1 - \frac{\sqrt{3}}{2}) \approx mgL(1 - 0.866) = 0.134 mgL$ છે.
$PE_f$ ની ગણતરી: $PE_f = 0.2 \times 10 \times 1 \times (1 - 0.866) = 2 \times 0.134 = 0.268\, J = 2.68 \times 10^6\, erg$.
યાંત્રિક ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$TE_i = TE_f$.
$PE_i + KE_i = PE_f + KE_f$.
લોલકને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતું હોવાથી,$KE_i = 0$.
$KE_f = PE_i - PE_f = mgL(\cos 30^\circ - \cos 60^\circ) = 0.2 \times 10 \times 1 \times (0.866 - 0.5) = 2 \times 0.366 = 0.732\, J = 7.32 \times 10^6\, erg$.

(D) આપેલ છે: લોલકની લંબાઈ $l = 10 \ m$,ખૂણો $\theta = 60^\circ$,અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,સૌથી ઉંચા બિંદુએ સ્થિતિ ઉર્જા સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
ઊંચાઈમાં ફેરફાર $h$ એ $h = l(1 - \cos \theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$h = 10(1 - \cos 60^\circ) = 10(1 - 0.5) = 10(0.5) = 5 \ m$.
સૌથી નીચલા બિંદુએ વેગ $v$ એ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.
તેથી,બોબનો વેગ $10 \ m/s$ છે.