SHM of Simple Pendulum Questions in Gujarati

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(a)$ જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય $(a = 0)$,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g$ થાય. તેથી,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$.
$(b)$ જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{6}$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g + a = g + \frac{g}{6} = \frac{7g}{6}$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime}$ નીચે મુજબ મળે:
$T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{7g/6}} = 2 \pi \sqrt{\frac{6\ell}{7g}}$.
આને મૂળ આવર્તકાળ $T$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે:
$T^{\prime} = \sqrt{\frac{6}{7}} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \right) = \sqrt{\frac{6}{7}} T$.

(A) યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,લોલકના ગોળાનો મહત્તમ વેગ તેના સૌથી નીચલા સ્થાને પ્રાપ્ત થાય છે.
ધારો કે દોરીની લંબાઈ $\ell = 250\,cm = 2.5\,m$ છે.
ગોળો જે શિરોલંબ ઊંચાઈ $h$ નીચે આવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$h = \ell - \ell \cos 60^{\circ} = \ell(1 - \cos 60^{\circ})$
$h = 2.5 \times (1 - 0.5) = 2.5 \times 0.5 = 1.25\,m$
ઉર્જા સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા,સૌથી ઉંચા બિંદુએ રહેલી સ્થિતિ ઉર્જા સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$
$v_{\max} = \sqrt{2gh}$
$v_{\max} = \sqrt{2 \times 10 \times 1.25} = \sqrt{25} = 5\,m/s$

(C) $S.H.M.$ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $Y = A \sin(\omega t + \phi)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $Y = A \sin(\pi t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \pi \, rad/s$ મળે છે.
સરળ લોલક માટે,કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \sqrt{\frac{g}{\ell}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\omega^2 = \frac{g}{\ell}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $\ell = \frac{g}{\omega^2}$.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 980 \, cm/s^2$ અને $\omega = \pi \, rad/s$ ની કિંમતનો ઉપયોગ કરતા:
$\ell = \frac{980}{\pi^2} \approx \frac{980}{9.8696} \approx 99.3 \, cm$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,આપણને $\ell \approx 99.4 \, cm$ મળે છે.

(B) જ્યારે ગોળાને પાણીમાં ડૂબાડવામાં આવે ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$g' = g - \frac{F_B}{m} = g - \frac{\rho_w V g}{\rho_b V} = g \left(1 - \frac{\rho_w}{\rho_b}\right)$
ગોળાની સાપેક્ષ ઘનતા $\rho_b / \rho_w = 5$ આપેલ છે,તેથી $\rho_w / \rho_b = 1/5$.
$g' = g \left(1 - \frac{1}{5}\right) = g \left(\frac{4}{5}\right) = 0.8g$
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
તેથી,નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ થશે:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{0.8g}} = T \sqrt{\frac{1}{0.8}} = T \sqrt{\frac{5}{4}}$
$T = 10 \, s$ આપેલ હોવાથી:
$T' = 10 \sqrt{\frac{5}{4}} = 10 \frac{\sqrt{5}}{2} = 5 \sqrt{5} \, s$
આને $5 \sqrt{x} \, s$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 5$ મળે છે.

(A) જ્યારે કોઈ વાહન $\alpha$ ખૂણાવાળા ઘર્ષણરહિત ઢળતા સમતલ પર નીચે તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $a = g \sin \alpha$ હોય છે જે ઢળતા સમતલની નીચેની દિશામાં હોય છે.
વાહનની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g_{eff})$ શોધવા માટે,આપણે લોલકના ગોળા પર લાગતા આભાસી બળને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
અસરકારક પ્રવેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ અને વાહનના પ્રવેગના વિરોધી સદિશ $(-a)$ નો સદિશ સરવાળો છે.
$g_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.
આ ઘટકોને ઢળતા સમતલને લંબ દિશામાં વિભાજિત કરતા,આપણને $g_{eff} = g \cos \alpha$ મળે છે.
સાદા લોલકનો સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{L / g_{eff}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g_{eff} = g \cos \alpha$ મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g \cos \alpha}}$ મળે છે.

(A) મોટા કંપવિસ્તાર માટે સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}} \left( 1 + \frac{\theta_{0}^{2}}{16} \right)$
જ્યાં $\theta_{0}$ એ મધ્યમાન સ્થાનથી કોણીય કંપવિસ્તાર છે.
જેમ કંપવિસ્તાર $\theta_{0}$ વધે છે,તેમ આવર્તકાળ $T$ પણ વધે છે.
$T$ અને $\theta_{0}$ વચ્ચેનો સંબંધ પરવલયાકાર છે,જેનો અર્થ છે કે $T$ એ $\theta_{0}$ સાથે અરેખીય રીતે,ઉપરની તરફ વક્રતા સાથે વધે છે.
તેથી,સાચો આલેખ તે છે જે $T$ ને $\theta_{0}$ સાથે વધતું દર્શાવે છે,જે આલેખ $A$ ને અનુરૂપ છે.

(C) જ્યારે ફુગ્ગાને આડી દિશામાં થોડું સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળનો આડો ઘટક જમીન સાથે જોડાયેલા દોરીના છેડાની સાપેક્ષમાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે. આ ટોર્ક ફુગ્ગાના આડા દોલનો ઉત્પન્ન કરે છે.
પુનઃસ્થાપક ટોર્ક નીચે મુજબ છે:
$\tau_1 = F_b \sin \theta \times l = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \sin \theta$
નાના કોણીય સ્થાનાંતર માટે,$\sin \theta \approx \theta$,તેથી:
$\tau_1 = V(\rho_{air} - \rho_{He})g l \theta$
ફુગ્ગા પરનું જડત્વનું ટોર્ક:
$\tau_2 = I \alpha = (m l^2) \alpha = (V \rho_{He}) l^2 \alpha$
બંને ટોર્કને સરખાવતા (પુનઃસ્થાપક પ્રકૃતિને ધ્યાનમાં લેતા):
$V \rho_{He} l^2 \alpha = -V(\rho_{air} - \rho_{He}) g l \theta$
$\alpha = -\left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l} \theta$
સરળ આવર્ત ગતિના પ્રમાણિત સમીકરણ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\omega^2 = \left(\frac{\rho_{air} - \rho_{He}}{\rho_{He}}\right) \frac{g}{l}$
આવર્તકાળ $T$:
$T = \frac{2 \pi}{\omega} = 2 \pi \sqrt{\left(\frac{\rho_{He}}{\rho_{air} - \rho_{He}}\right) \frac{l}{g}}$

(C) સાદા લોલક માટે,ગતિનું સમીકરણ $\frac{d^2 \theta}{dt^2} + \frac{g}{l} \sin \theta = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના દોલનો માટે,$\sin \theta \approx \theta$,જે સરળ આવર્ત ગતિનો સમયગાળો $T_0 = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ આપે છે.
જોકે,મોટા કંપનવિસ્તાર માટે (જેમ કે $45^{\circ}$),આપણે $\sin \theta \approx \theta - \frac{\theta^3}{6}$ વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
કંપનવિસ્તાર $\theta_0$ ધરાવતા લોલક માટે સમયગાળો $T$ એ સૂત્ર $T = T_0 \left( 1 + \frac{\theta_0^2}{16} + \dots \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $\theta_0$ રેડિયનમાં છે).
અહીં $\theta_0 = 45^{\circ} = \frac{\pi}{4} \text{ રેડિયન}$ હોવાથી,પદ $\frac{\theta_0^2}{16}$ ધન છે.
તેથી,સમયગાળો $T$ એ $T_0$ કરતા થોડો વધારે હશે.

(B) ધારો કે આડી સ્થિતિમાંથી મુક્ત થયા પછી $\theta$ સ્થિતિ પર લોલકનો વેગ $v$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગુમાવેલી સ્થિતિ ઉર્જા એ મેળવેલી ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે:
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
આડી સ્થિતિથી નીચે પડેલી ઊંચાઈ $h = l \cos \theta$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$mg(l \cos \theta) = \frac{1}{2}mv^2$
$\Rightarrow \frac{v^2}{l} = 2g \cos \theta$
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ $a_c = \frac{v^2}{l} = 2g \cos \theta$ છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ એ દોરીને લંબ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટકને કારણે છે:
$a_t = g \sin \theta$.
જો કુલ પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ દોરી સાથે (જે ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગની દિશા છે) $\phi$ ખૂણો બનાવે,તો:
$\tan \phi = \frac{a_t}{a_c}$
$a_t$ અને $a_c$ માટેના સમીકરણો મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{g \sin \theta}{2g \cos \theta} = \frac{\tan \theta}{2}$
તેથી,$\phi = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \theta}{2}\right)$.

(A) સાદા આવર્ત ગતિ કરતા સાદા લોલક માટે,સ્થાનાંતર $x = A \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t)$ છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ $a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t)$ છે.
આ સમીકરણો પરથી,આપણી પાસે છે:
$\frac{v}{A\omega} = \cos(\omega t)$ અને $\frac{a}{-A\omega^2} = \sin(\omega t)$.
નિત્યસમ $\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\left(\frac{v}{A\omega}\right)^2 + \left(\frac{a}{-A\omega^2}\right)^2 = 1$
$\frac{v^2}{A^2\omega^2} + \frac{a^2}{A^2\omega^4} = 1$
આ $v-a$ સમતલમાં ઉપવલયનું સમીકરણ છે,જ્યાં $v$ આડી ધરી પર છે અને $a$ ઊભી ધરી પર છે. તેથી,સાચો આલેખ $I$ છે.

(A) સાચો વિકલ્પ $A$ છે.
સાદા લોલકમાં,ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં કુલ યાંત્રિક ઉર્જાનું સંરક્ષણ થાય છે. તેના અંતિમ સ્થાનો પર લોલકની કુલ ઉર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિ ઉર્જા હોય છે,જે $U = mgh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ દોલનના સૌથી નીચલા બિંદુથી બોબની ઊભી ઊંચાઈ છે.
લોલક બિંદુ $A$ થી શૂન્ય પ્રારંભિક વેગ સાથે શરૂ થતું હોવાથી,તેની કુલ ઉર્જા $E = mgh_A$ છે. બીજા અંતિમ બિંદુ $D$ પર,વેગ ફરીથી શૂન્ય છે,તેથી તેની કુલ ઉર્જા $E = mgh_D$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mgh_A = mgh_D$,જેનો અર્થ છે કે $h_A = h_D$. $A$ અને $B$ એક જ આડી રેખા પર આવેલા હોવાથી,$h_A = h_B$ થાય. તેથી,$h_D = h_B$,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ બિંદુ $D$ એ સમાન આડી રેખા $A B$ પર સ્થિત હોવું જોઈએ.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l_{eff}}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l_{eff}$ એ લોલકની અસરકારક લંબાઈ છે.
$l_{eff}$ એ નિલંબન બિંદુ અને લોલકના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (center of mass) વચ્ચેનું અંતર છે.
શરૂઆતમાં,જ્યારે લોલક પાણીથી ભરેલું હોય છે,ત્યારે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર લોલકના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર હોય છે.
જેમ જેમ પાણી બહાર નીકળે છે,તેમ તંત્ર (લોલક + બાકી રહેલું પાણી) નું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર નીચે તરફ ખસે છે,જેનાથી અસરકારક લંબાઈ $l_{eff}$ વધે છે. પરિણામે,આવર્તકાળ $T$ વધે છે.
જેમ જેમ પાણીનું સ્તર ઘટતું જાય છે અને લોલક ખાલી થાય છે,તેમ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર ફરીથી લોલકના ભૌમિતિક કેન્દ્ર પર પાછું આવે છે.
આ બીજા તબક્કા દરમિયાન અસરકારક લંબાઈ $l_{eff}$ ઘટતી હોવાથી,આવર્તકાળ $T$ ઘટે છે.
તેથી,આવર્તકાળ $T$ પહેલા વધે છે અને પછી ઘટે છે.

(D) દળ $m$ એ બિંદુ $Q$ થી $H$ ઊંચાઈ પર છે,જ્યાં સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય લેવામાં આવે છે. આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,જો કોઈ ખૂણે $\theta$ પર,દળ $m$ ની સૌથી નીચા બિંદુ $Q$ થી ઊંચાઈ $h$ હોય,તો $\triangle ABC$ પરથી,$\cos \theta = \frac{R-h}{R} \Rightarrow h = R(1 - \cos \theta)$. તેથી,સ્થિતિ ઊર્જા $U(\theta) = mgh = mgR(1 - \cos \theta)$ થાય.
$(b)$ સ્થાન $\theta$ પર ગતિ ઊર્જા $K(\theta)$ એ પ્રારંભિક સ્થાન $P$ થી સ્થાન $\theta$ સુધી પહોંચવામાં થયેલ સ્થિતિ ઊર્જાનો ઘટાડો છે. તેથી,$K(\theta) = mgH - U(\theta) = mgH - mgR(1 - \cos \theta) = mg(H - R(1 - \cos \theta))$ થાય.
$(c)$ $H \ll R$ માટે,ગતિ સરળ આવર્ત ગતિ છે જેનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ છે. $P$ થી $Q$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય આ આવર્તકાળનો ચોથો ભાગ છે. તેથી,$t = \frac{T}{4} = \frac{2\pi}{4} \sqrt{\frac{R}{g}} = \frac{\pi}{2} \sqrt{\frac{R}{g}}$ થાય.
$(d)$ સૌથી નીચા બિંદુ $Q$ પર ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો $m$ નો વેગ $v$ હોય,તો $\frac{1}{2}mv^2 = mgH \Rightarrow mv^2 = 2mgH$. કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{2mgH}{R}$ છે. $Q$ પર લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ માટે $N - mg = \frac{mv^2}{R} \Rightarrow N = mg + \frac{2mgH}{R} = mg(1 + \frac{2H}{R})$ થાય. આ બ્લોક દ્વારા સપાટી પર લગાડવામાં આવતું બળ છે.

(B) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પ્રારંભિક સ્થિતિમાં સ્થિતિ ઉર્જા એ સૌથી નીચલા સ્થાને ગતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
$m g x(1-\cos \theta) = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 g x(1-\cos \theta)$
$v = \sqrt{2 g x(1-\cos \theta)}$
$\theta_1$ ખૂણે પ્રથમ સ્થિતિ માટે,$v_1 = \sqrt{2 g x(1-\cos \theta_1)}$.
$\theta_2$ ખૂણે બીજી સ્થિતિ માટે,$v_2 = \sqrt{2 g x(1-\cos \theta_2)}$.
બંને ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{2 g x(1-\cos \theta_1)}}{\sqrt{2 g x(1-\cos \theta_2)}}$
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta_1}{1-\cos \theta_2}}$

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g_{\text{eff}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
$1$. સ્થિર લિફ્ટ માટે,$g_{\text{eff}} = g$,તેથી $T_0 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$.
$2$. જ્યારે લિફ્ટ અચળ ઝડપે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. તેથી,$g_{\text{eff}} = g$,અને આવર્તકાળ $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$. તેથી,$T_0 = T_1$.
$3$. જ્યારે લિફ્ટ અચળ અધોગામી પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે લોલકના ગોળા પર ઉપરની તરફ આભાસી બળ (pseudo force) $ma$ લાગે છે. અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - a$ થાય છે. કારણ કે $g - a < g$,નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g - a}}$ એ $T_0$ અને $T_1$ કરતા વધારે હશે.
આમ,$T_0 = T_1 < T_2$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સેકન્ડ લોલક માટે,આવર્તકાળ $T$ અચળ $(T = 2 \text{ s})$ હોય છે.
સૂત્ર પરથી,$T^2 \propto \frac{l}{g}$,જેનો અર્થ છે કે અચળ $T$ માટે $l \propto g$ થાય.
જો નવા ગ્રહ પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g'$ એ પૃથ્વી પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ કરતા $4$ ગણો હોય $(g' = 4g)$,તો આવર્તકાળ $T$ ને અચળ રાખવા માટે,નવી લંબાઈ $l'$ એ ગુણોત્તર $\frac{l'}{l} = \frac{g'}{g}$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{l'}{l} = \frac{4g}{g} = 4$ મળે છે.
તેથી,લોલકની લંબાઈ તેની મૂળ લંબાઈ કરતા $4$ ગણી કરવી જોઈએ.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) લાગે છે.
ધારો કે ધાતુની ઘનતા $\rho$ છે અને પ્રવાહીની ઘનતા $\sigma$ છે. આપેલ છે કે $\sigma = \frac{\rho}{4}$.
ગુરુત્વ પ્રવેગનો અસરકારક મૂલ્ય $g_{\text{eff}}$ એ $g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{\sigma}{\rho})$ છે.
$\sigma = \frac{\rho}{4}$ મૂકતા,આપણને $g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4}g$ મળે છે.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{\frac{3}{4}g}} = 2\pi \sqrt{\frac{4l}{3g}}$ થશે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $T' = \sqrt{\frac{4}{3}} \times (2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}) = \frac{2}{\sqrt{3}}T$ મળે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L_1 = 1.21 \,m$ લંબાઈ ધરાવતા પ્રથમ લોલક માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{1.21}{g}} = 1.1 \times 2 \pi \sqrt{\frac{1}{g}}$ છે.
$L_2 = 1.0 \,m$ લંબાઈ ધરાવતા બીજા લોલક માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 2 \pi \sqrt{\frac{1.0}{g}}$ છે.
આમ,$T_1 = 1.1 T_2 = \frac{11}{10} T_2$,જેનો અર્થ છે કે $10 T_1 = 11 T_2$.
ધારો કે જ્યારે તેઓ ફરીથી સમાન કળામાં હોય ત્યારે લાંબા લોલકના દોલનોની સંખ્યા $n_1$ છે અને ટૂંકા લોલકના દોલનોની સંખ્યા $n_2$ છે.
સમાન કળામાં હોવાની શરત $n_1 T_1 = n_2 T_2$ છે.
$T_1 = \frac{11}{10} T_2$ મૂકતા,આપણને $n_1 (\frac{11}{10} T_2) = n_2 T_2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $11 n_1 = 10 n_2$ થાય છે.
સૌથી નાની પૂર્ણાંક કિંમતો માટે,$n_1 = 10$ અને $n_2 = 11$ મળે છે.
તેથી,લાંબા લોલકના $10$ દોલન પછી બંને લોલક ફરીથી સમાન કળામાં હશે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,$T_1 = 60 \, s$ અને લંબાઈ $l_1$ છે.
જ્યારે લંબાઈમાં $44 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l_2 = l_1 + 0.44 l_1 = 1.44 l_1$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2$ એ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{l_2}{g}}$ દ્વારા મળે છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}} = \sqrt{1.44} = 1.2$.
તેથી,$T_2 = 1.2 \times T_1 = 1.2 \times 60 \, s = 72 \, s$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુગણક લઈને વિકલન કરતા,આપણને $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}$ મળે છે.
આપેલ છે કે લંબાઈમાં $0.2 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta L}{L} = 0.002$.
તેથી,આવર્તકાળમાં આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = \frac{1}{2} \times 0.002 = 0.001$ છે.
પ્રતિ દિવસ ગુમાવેલ સમય $\Delta T = \left( \frac{\Delta T}{T} \right) \times t$ છે,જ્યાં $t = 24 \times 3600 \, s = 86400 \, s$.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta T = 0.001 \times 86400 = 86.4 \, s$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ગોળાને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર ઉપરની તરફ ઉત્પ્લાવક બળ (upthrust) લાગે છે.
અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ એ $g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{\rho_L}{\rho_S})$ છે,જ્યાં $\rho_L$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે અને $\rho_S$ એ ઘન પદાર્થ (લોખંડ) ની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $\rho_L = \frac{1}{12} \rho_S$,તેથી $\frac{\rho_L}{\rho_S} = \frac{1}{12}$.
આમ,$g_{\text{eff}} = g(1 - \frac{1}{12}) = g(\frac{11}{12})$.
નવો આવર્તકાળ $T'$ એ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(\frac{11}{12})}}$ થશે.
તેથી,$T' = T \sqrt{\frac{12}{11}}$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે ધન વિદ્યુતભારિત લોલકને ઉપરની દિશામાં રહેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં મૂકવામાં આવે છે, ત્યારે તેના પર ઉપરની દિશામાં વિદ્યુતબળ $F_e = qE$ લાગે છે.
આથી અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{eff} = g - \frac{qE}{m}$ થાય છે.
અહીં $g_{eff} < g$ હોવાથી, આવર્તકાળના સૂત્રમાં છેદની કિંમત ઘટે છે.
તેથી, વિદ્યુતક્ષેત્ર વગરના કિસ્સાની સરખામણીમાં આવર્તકાળ $T$ વધે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g = 9.8 \ m/s^2$ છે,તેથી $t = 2\pi \sqrt{\frac{l}{9.8}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = 3 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g' = g + a = 9.8 + 3 = 12.8 \ m/s^2$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $t'$ એ $t' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{12.8}}$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા: $\frac{t'}{t} = \frac{2\pi \sqrt{l/12.8}}{2\pi \sqrt{l/9.8}} = \sqrt{\frac{9.8}{12.8}}$.
તેથી,$t' = t \sqrt{\frac{9.8}{12.8}}$.

(D) સાદા લોલકની દોરીમાં મહત્તમ તણાવ તેના દોલનના સૌથી નીચલા બિંદુએ જોવા મળે છે.
સૌથી નીચલા બિંદુએ,તણાવ $T$ એ $T = mg + \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ સૌથી નીચલા બિંદુએ વેગ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta_0$ પરની સ્થિતિ ઉર્જા સૌથી નીચલા બિંદુએ ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$mgl(1 - \cos \theta_0) = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gl(1 - \cos \theta_0)$
$v^2$ ની કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T_{\max} = mg + \frac{m(2gl(1 - \cos \theta_0))}{l}$
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0)$
નાના ખૂણાઓ માટે,આપણે $\cos \theta_0 \approx 1 - \frac{\theta_0^2}{2}$ અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$T_{\max} = mg + 2mg(1 - (1 - \frac{\theta_0^2}{2}))$
$T_{\max} = mg + 2mg(\frac{\theta_0^2}{2})$
$T_{\max} = mg(1 + \theta_0^2)$

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{eff}}}$ છે,જ્યાં $l$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g_{eff}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા કૃત્રિમ ઉપગ્રહની અંદર,ઉપગ્રહ અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g_{eff} = 0$ છે.
સૂત્રમાં $g_{eff} = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $T \rightarrow \infty$.
તેથી,લોલકનો આવર્તકાળ અનંત હોય છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $(T)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે:
$T^2 = \frac{4\pi^2}{g} \times L$
આ સમીકરણ $y = mx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = T^2$,$x = L$,અને ઢાળ $m = \frac{4\pi^2}{g}$ છે.
અહીં $m$ એ ધન અચળાંક હોવાથી,$T^2$ વિરુદ્ધ $L$ નો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા મળે છે.
તેથી,સાચો આલેખ વિકલ્પ $(C)$ દ્વારા દર્શાવેલ છે.

(C) સાદા લોલકમાં મહત્તમ તણાવ મધ્યમાન સ્થાને જોવા મળે છે,જેનું સૂત્ર $T_{max} = mg + \frac{mv^2}{l}$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મધ્યમાન સ્થાને ગતિઊર્જા એ અંતિમ સ્થાને સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે: $\frac{1}{2}mv^2 = mgl(1 - \cos \theta_0)$,જ્યાં $\sin \theta_0 = \frac{A}{l} = \frac{10}{100} = 0.1$.
તેથી,$\frac{mv^2}{l} = 2mg(1 - \cos \theta_0)$.
આ કિંમત તણાવના સૂત્રમાં મૂકતા: $T_{max} = mg + 2mg(1 - \cos \theta_0) = mg(3 - 2\cos \theta_0)$.
અહીં $\cos \theta_0 = \sqrt{1 - \sin^2 \theta_0} = \sqrt{1 - (0.1)^2} = \sqrt{0.99} \approx 1 - \frac{0.01}{2} = 0.995$.
$T_{max} = 0.25 \times 9.8 \times (3 - 2 \times 0.995) = 2.45 \times (3 - 1.99) = 2.45 \times 1.01 = 2.4745$.
આપેલ છે કે $T_{max} = \frac{x}{40}$,તેથી $x = 40 \times 2.4745 = 98.98 \approx 99$.

(B) સૌથી નીચલી સ્થિતિમાં,વેગ $v$ છે. પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી છે,જે $a_{low} = \frac{v^2}{\ell}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અંતિમ સ્થિતિમાં,વેગ શૂન્ય છે. પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે સ્પર્શકીય છે,જે $a_{ext} = g \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સૌથી નીચલા બિંદુ અને અંતિમ બિંદુ વચ્ચે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2} mv^2 = mg \ell(1 - \cos \theta) \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = 2g(1 - \cos \theta)$.
આપેલ છે કે પ્રવેગના મૂલ્યો સમાન છે:
$a_{low} = a_{ext} \Rightarrow \frac{v^2}{\ell} = g \sin \theta$.
$\frac{v^2}{\ell}$ માટેનું પદ મુકતા:
$2g(1 - \cos \theta) = g \sin \theta \Rightarrow 2(1 - \cos \theta) = \sin \theta$.
અડધા ખૂણાના નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ અને $\sin \theta = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2(2 \sin^2(\theta/2)) = 2 \sin(\theta/2) \cos(\theta/2)$.
$2 \sin(\theta/2)$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\theta \neq 0$):
$2 \sin(\theta/2) = \cos(\theta/2) \Rightarrow \tan(\theta/2) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 2 \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(B) $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g' = g \left( \frac{R}{R+h} \right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $h = 2R$,તેથી $g' = g \left( \frac{R}{R+2R} \right)^2 = g \left( \frac{R}{3R} \right)^2 = \frac{g}{9}$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g'}}$ છે.
સેકન્ડ લોલક માટે,$T = 2 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $2 = 2\pi \sqrt{\frac{\ell}{g/9}} = 2\pi \sqrt{\frac{9\ell}{g}}$.
$2$ વડે ભાગતા: $1 = \pi \sqrt{\frac{9\ell}{g}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 = \pi^2 \left( \frac{9\ell}{g} \right)$.
આપેલ છે કે $g = \pi^2 \ m/s^2$,આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $1 = \pi^2 \left( \frac{9\ell}{\pi^2} \right) = 9\ell$.
તેથી,$\ell = \frac{1}{9} \ m$.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે. આવર્તકાળ લોલકના ગોળાના દળ પર આધારિત નથી.
આપેલ છે કે નવી લંબાઈ $\ell^{\prime} = \frac{\ell}{2}$ છે.
નવો આવર્તકાળ $T^{\prime} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell^{\prime}}{g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{2g}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} T$.
પ્રશ્ન મુજબ,$T^{\prime} = \frac{x}{2} T$.
તેથી,$\frac{x}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$x = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.

(D) સાદા લોલક માટે,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ $\alpha = -\omega^2 \theta$ સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{g}{l}$ છે.
બંને લોલકનો કોણીય પ્રવેગ મૂલ્યમાં સમાન હોવાથી,આપણી પાસે $|\alpha_1| = |\alpha_2|$ છે.
$\alpha$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{g}{l_1} \theta_1 = \frac{g}{l_2} \theta_2$ મળે છે.
બંને બાજુથી ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ને દૂર કરતા,આપણને $\frac{\theta_1}{l_1} = \frac{\theta_2}{l_2}$ મળે છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $\theta_1 l_2 = \theta_2 l_1$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે. સળિયાથી ગોળાનું શિરોલંબ અંતર $h = \ell \sin 45^{\circ} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ છે.
જ્યારે ગોળાને દોરીઓના સમતલને લંબ દિશામાં નાના ખૂણે $\theta$ સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે લોલકની અસરકારક લંબાઈ એ સળિયાથી ગોળા સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $h = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ છે.
નાના દોલનો માટે પુનઃસ્થાપક બળ ગુરુત્વાકર્ષણના ઘટક દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે,અને આ ગતિ $L_{eff} = h = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ લંબાઈના સાદા લોલક જેવી જ છે.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L_{eff}}{g}}$ છે.
$L_{eff} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{\sqrt{2} g}}$ મળે છે.

(A) ગાડીના સંદર્ભમાં,લોલકના બોબ પર લાગતા આભાસી બળને કારણે તેનું સંતુલન સ્થાન બદલાય છે. લોલક પર લાગતો અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}}$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અને ગાડીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં લાગતા આભાસી પ્રવેગ $a = \sqrt{3}g$ નો સદિશ સરવાળો છે.
$g_{\text{eff}} = \sqrt{g^2 + a^2} = \sqrt{g^2 + (\sqrt{3}g)^2} = \sqrt{g^2 + 3g^2} = \sqrt{4g^2} = 2g$.
આપેલ છે કે $g = \pi^2 \ m/s^2$,તેથી $g_{\text{eff}} = 2\pi^2 \ m/s^2$.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$L = 50 \ cm = 0.5 \ m$ અને $g_{\text{eff}} = 2\pi^2 \ m/s^2$ મૂકતા:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{2\pi^2}} = 2\pi \sqrt{\frac{0.5}{2} \cdot \frac{1}{\pi^2}} = 2\pi \cdot \frac{1}{\pi} \sqrt{0.25} = 2 \cdot 0.5 = 1.0 \ s$.

(A) સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \,s$ હોય છે। આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{\ell}{g}}$ છે.
અહીં $T$ અચળ $(2 \,s)$ હોવાથી, $\ell \propto g$ થાય, જેનો અર્થ છે કે $\frac{\ell'}{\ell} = \frac{g'}{g}$.
ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહ માટે, $M' = 1.5M$ અને $R' = 1.5R$ છે.
તેથી, $g' = \frac{G(1.5M)}{(1.5R)^2} = \frac{1.5}{2.25} \frac{GM}{R^2} = \frac{1}{1.5} g$.
આ કિંમત લંબાઈના ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\ell' = \ell \times \frac{g'}{g} = 1 \,m \times \frac{1}{1.5} = \frac{1}{1.5} \,m \approx 0.67 \,m$.

(D) સેકન્ડ્સ લોલક એવું લોલક છે જેનો આવર્તકાળ $2 \text{ s}$ હોય છે.
પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતી સ્પેસ લેબોરેટરીમાં,લેબોરેટરી અને તેની અંદરની દરેક વસ્તુ ભારહીનતાની સ્થિતિમાં હોય છે.
આનો અર્થ એ છે કે લેબોરેટરીની અંદર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $(g_{\text{eff}})$ $0$ છે.
સાદા લોલકના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g_{\text{eff}}}}$ છે.
સૂત્રમાં $g_{\text{eff}} = 0$ મૂકતા,આપણને $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{0}} = \infty$ મળે છે.
તેથી,લોલકનો આવર્તકાળ અનંત હશે.

(D) ધારો કે લોલકની લંબાઈ $r$ છે. જ્યારે ગોળાને મધ્યમાન સ્થાનથી $90^{\circ}$ ખૂણે સ્થાનાંતરિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ઊંચાઈ સૌથી નીચલા બિંદુની સાપેક્ષમાં $r$ જેટલી હોય છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ રહેલી સ્થિતિઊર્જા સૌથી નીચલા સ્થાને ગતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે:
$PE_{top} = KE_{bottom}$
$mgr = \frac{1}{2}mv^2$
$mv^2 = 2mgr$
સૌથી નીચલા સ્થાને,ગોળા પર લાગતા બળો તણાવબળ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે. પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T - mg = \frac{mv^2}{r}$
$T = mg + \frac{mv^2}{r}$
સમીકરણમાં $mv^2 = 2mgr$ મૂકતા:
$T = mg + \frac{2mgr}{r} = mg + 2mg = 3mg$.

(C) ગોળા પર લાગતું વિદ્યુત બળ $F_{\text{electric}} = qE$ છે,જે આકૃતિ મુજબ ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
ગોળાનું અસરકારક વજન $mg_{\text{eff}} = mg - F_{\text{electric}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - \frac{qE}{m}$ થાય.
સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$g_{\text{eff}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g - \frac{qE}{m}}} = 2 \pi \left[ \frac{L}{g - \frac{qE}{m}} \right]^{\frac{1}{2}}$ મળે છે.

(A) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થિર લિફ્ટ માટે,$g_{eff} = g$,તેથી $T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} = \sqrt{3} \ s$.
જ્યારે લિફ્ટ $a = g/3$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a = g + g/3 = 4g/3$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{4g/3}} = 2\pi \sqrt{\frac{3L}{4g}} = \sqrt{\frac{3}{4}} \times (2\pi \sqrt{\frac{L}{g}})$ દ્વારા મળે છે.
$T_1 = \sqrt{3} \ s$ કિંમત મૂકતા,આપણને $T_2 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{3} = \frac{3}{2} = 1.5 \ s$ મળે છે.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં,આધારબિંદુ સ્થિર છે,તેથી $g_{eff} = g = 10 \ m/s^2$. આમ,$T_1 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
જ્યારે આધારબિંદુ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક પ્રવેગ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
સ્થાનાંતર $y = kt^2$ આપેલ છે,તેથી પ્રવેગ $a$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે દ્વિતીય વિકલન છે: $a = \frac{d^2y}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2}(kt^2) = 2k$.
$k = 1 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$a = 2(1) = 2 \ m/s^2$ મળે.
તેથી,$g_{eff} = g + a = 10 + 2 = 12 \ m/s^2$.
નવો આવર્તકાળ $T_2 = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{12}}$ થશે.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{T_1^2}{T_2^2} = \frac{4\pi^2 (L/g)}{4\pi^2 (L/g_{eff})} = \frac{g_{eff}}{g} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$,જ્યાં $L$ એ લોલકની લંબાઈ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto \sqrt{L}$.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $L_1 = L$ છે અને મૂળ આવર્તકાળ $T_1 = T$ છે.
નવી લંબાઈ $L_2 = 3L$ છે.
ધારો કે નવો આવર્તકાળ $T_2$ છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto \sqrt{L}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{T} = \sqrt{\frac{3L}{L}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$T_2 = \sqrt{3} T$.

(D) વોચ ગ્લાસમાં દોલન કરતો નાનો ગોળો સાદા લોલક તરીકે વર્તે છે.
આ સમતુલ્ય લોલકની અસરકારક લંબાઈ $L$ એ વોચ ગ્લાસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ જેટલી હોય છે.
આપેલ છે કે,$R = 1.6 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$.
સાદા લોલકના આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$T = 2\pi \sqrt{\frac{1.6}{10}}$.
$T = 2\pi \sqrt{0.16}$.
$T = 2\pi \times 0.4$.
$T = 0.8\pi \ s$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય,ત્યારે $g_{eff} = g$,તેથી $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$.
જ્યારે લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક ગુરુત્વાકર્ષણ $g_{eff} = g + a$ થાય છે.
નવો આવર્તકાળ $T' = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ છે.
આપેલ છે કે $T' = \frac{T}{2}$,તેથી $\frac{T}{2} = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$.
$T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} \left( 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}} \right) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g+a}}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{1}{4} \left( \frac{L}{g} \right) = \frac{L}{g+a}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $g + a = 4g$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $a = 3g$.

(C) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$T \propto \sqrt{l}$ હોવાથી,$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{l_2}{l_1}}$ થાય.
આવર્તકાળમાં $20 \%$ નો વધારો થતો હોવાથી,નવો આવર્તકાળ $T_2 = T_1 + 0.20 T_1 = 1.2 T_1$ થશે.
તેથી,$\frac{T_2}{T_1} = 1.2$ મળે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \frac{l_2}{l_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{l_2}{l_1} = (1.2)^2 = 1.44$ થાય.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રહ માટે આપેલ છે: $M_p = 2M_e$ અને $R_p = 2R_e$.
આમ,પૃથ્વી અને ગ્રહ પરના ગુરુત્વાકર્ષણનો ગુણોત્તર:
$\frac{g_e}{g_p} = \frac{M_e}{M_p} \times \left(\frac{R_p}{R_e}\right)^2 = \frac{M_e}{2M_e} \times \left(\frac{2R_e}{R_e}\right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
તેથી,$g_p = \frac{g_e}{2}$.
લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ છે,જે સૂચવે છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
તેથી,$\frac{T_p}{T_e} = \sqrt{\frac{g_e}{g_p}} = \sqrt{2}$.
પૃથ્વી પર સેકન્ડ લોલકનો આવર્તકાળ $T_e = 2 \ s$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$T_p = T_e \times \sqrt{2} = 2\sqrt{2} \ s$.

(B) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે લિફ્ટ $a = \frac{g}{4}$ ના પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અસરકારક પ્રવેગ $g_{\text{eff}} = g - a$ થાય છે.
$g_{\text{eff}} = g - \frac{g}{4} = \frac{3g}{4}$.
નવો આવર્તકાળ $T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g_{\text{eff}}}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{\frac{3g}{4}}}$ થશે.
$T_1 = 2 \pi \sqrt{\frac{4L}{3g}} = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}} \times \sqrt{\frac{4}{3}}$.
આમ,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ હોવાથી,$T_1 = T \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} T$ મળે છે.

(D) સાદા લોલકનો આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T \propto \frac{1}{\sqrt{g}}$.
જ્યારે બોબને પ્રવાહીમાં ડુબાડવામાં આવે છે,ત્યારે ઉત્પ્લાવક બળને કારણે અસરકારક ગુરુત્વપ્રવેગ $g'$ બદલાય છે.
અસરકારક વજન $W' = V \rho g - V \sigma g$,જ્યાં $\rho$ એ બોબની ઘનતા છે અને $\sigma$ એ પ્રવાહીની ઘનતા છે.
આપેલ છે કે $\sigma = \frac{\rho}{8}$,તેથી અસરકારક પ્રવેગ $g'$:
$g' = g \left(1 - \frac{\sigma}{\rho}\right) = g \left(1 - \frac{1}{8}\right) = g \left(\frac{7}{8}\right)$.
નવો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T' = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g'}} = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g(7/8)}} = \sqrt{\frac{8}{7}} \left(2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}\right) = \sqrt{\frac{8}{7}} T$.

(A) નાના કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ ધરાવતા સાદા લોલક માટે,$t$ સમયે કોણીય સ્થાન $\theta(t)$ એ સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ ના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\theta(t) = \theta_0 \cos(\omega t)$.
અહીં,પ્રારંભિક કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ છે,તેથી $\theta(t) = \theta \cos(\omega t)$.
સાદા લોલકની કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ એ $\omega = \sqrt{\frac{g}{L}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$t$ સમયે કોણીય સ્થાનાંતર $\theta(t) = \theta \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} \cdot t\right)$ છે.
ચાપ પર લોલકનું રેખીય સ્થાનાંતર $s$ એ લોલકની લંબાઈ અને કોણીય સ્થાનાંતરના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $s = L \cdot \theta(t)$.
$\theta(t)$ નું સમીકરણ મૂકતા,આપણને $s = L \theta \cos\left(\sqrt{\frac{g}{L}} \cdot t\right)$ મળે છે.

(D) સાદા લોલકની આવૃત્તિનું સૂત્ર: $n = \frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{g}{L}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે આવૃત્તિ $n$ એ લંબાઈ $L$ ના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $n \propto \frac{1}{\sqrt{L}}$.
તેથી,આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર: $\frac{n_1}{n_2} = \sqrt{\frac{L_2}{L_1}}$ થાય.
આપેલ છે કે આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{3}{2}$ છે,લંબાઈનો ગુણોત્તર શોધવા માટે બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(\frac{n_1}{n_2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow (\frac{3}{2})^2 = \frac{L_2}{L_1} \Rightarrow \frac{9}{4} = \frac{L_2}{L_1}$.
આમ,લંબાઈનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2$ એ $4 : 9$ થાય.

(C) સાદા લોલકની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{g}{l}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સૂચવે છે કે $f \propto \frac{1}{\sqrt{l}}$.
ધારો કે મૂળ લંબાઈ $l_1 = l$ છે અને મૂળ આવૃત્તિ $f_1 = f$ છે.
લંબાઈ તેની મૂળ લંબાઈ કરતા ત્રણ ગણી વધારવામાં આવે છે,તેથી નવી લંબાઈ $l_2 = l + 3l = 4l$ થાય.
સંબંધ $\frac{f_2}{f_1} = \sqrt{\frac{l_1}{l_2}}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{f_2}{f} = \sqrt{\frac{l}{4l}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,નવી આવૃત્તિ $f_2 = \frac{f}{2}$ થશે.