Static and Limiting Friction and Minimum Force Required to Move Questions in Hindi

(N/A) स्थैतिक घर्षण एक स्व-समायोजित बल के रूप में कार्य करके गति का विरोध करता है,जो संपर्क में मौजूद दो सतहों के बीच सापेक्ष गति की शुरुआत को रोकता है। यह हमेशा उस लगाए गए बल की विपरीत दिशा में कार्य करता है जो गति उत्पन्न करने की प्रवृत्ति रखता है।
घर्षण गुणांक $(\mu)$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. संपर्क में मौजूद दो सतहों के पदार्थों की प्रकृति (उदाहरण के लिए,लकड़ी पर लकड़ी,कंक्रीट पर रबर)।
$2$. सतहों की स्थिति,जैसे कि उनका खुरदरापन या चिकनापन (पॉलिश की मात्रा)।
$3$. सतहों के बीच स्नेहक (लुब्रिकेंट्स) या अशुद्धियों की उपस्थिति।

(NONE) स्थैतिक घर्षण गुणांक,जिसे $\mu_s$ द्वारा दर्शाया जाता है,$f_s = \mu_s N$ संबंध द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $f_s$ स्थैतिक घर्षण बल है और $N$ अभिलंब बल है।
इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\mu_s = \frac{f_s}{N}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f_s$ और $N$ दोनों बल हैं,इसलिए उन्हें न्यूटन $(N)$ में मापा जाता है।
अतः,$\mu_s$ का मात्रक $\frac{N}{N} = 1$ होता है।
इसका अर्थ है कि स्थैतिक घर्षण गुणांक एक विमाहीन राशि है और इसका कोई मात्रक नहीं होता है।

(A) स्थैतिक घर्षण वह बल है जो संपर्क में रहने वाली दो सतहों के बीच गति की शुरुआत का विरोध करता है। जब किसी वस्तु पर बाहरी बल लगाया जाता है लेकिन वह अभी तक गति नहीं करती है,तो सतहों के बीच कार्य करने वाले घर्षण को स्थैतिक घर्षण के रूप में जाना जाता है। विशेष रूप से,स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान,जो वस्तु के फिसलना शुरू करने से ठीक पहले होता है,उसे सीमांत घर्षण कहा जाता है। चूंकि प्रश्न 'आसन्न' (जो होने वाली है) सापेक्ष गति को संदर्भित करता है,इसलिए इसका विरोध स्थैतिक घर्षण द्वारा किया जाता है।

(A) घर्षण एक प्रतिरोधी बल है जो संपर्क में आने वाली सतहों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है।
स्थैतिक घर्षण $(f_s)$ वह बल है जो गति की शुरुआत को रोकता है और यह आमतौर पर तीनों प्रकार के घर्षणों में सबसे बड़ा होता है।
गतिज घर्षण $(f_k)$ तब कार्य करता है जब कोई वस्तु किसी सतह पर फिसल रही होती है और यह आमतौर पर अधिकतम स्थैतिक घर्षण से कम होता है।
लोटनिक घर्षण $(f_r)$ तब होता है जब कोई वस्तु किसी सतह पर लुढ़कती है। संपर्क का क्षेत्रफल न्यूनतम होने और सतहों के विरूपण में कमी के कारण,लोटनिक घर्षण स्थैतिक और गतिज दोनों घर्षणों से काफी कम होता है।
इसलिए,परिमाण का क्रम $f_s > f_k > f_r$ है।

(C) घर्षण गुणांक $(\mu)$ अपरिवर्तित रहेगा।
घर्षण गुणांक संपर्क में आने वाली सामग्रियों और सतहों की प्रकृति (खुरदरापन/चिकनापन) का एक गुण है।
यह वस्तु के द्रव्यमान या संपर्क क्षेत्र पर निर्भर नहीं करता है। इसलिए,वस्तु का द्रव्यमान बदलने से घर्षण गुणांक पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

(C) घर्षण गुणांक $\mu$ और घर्षण कोण $\theta$ के बीच का संबंध $\mu = \tan \theta$ है।
यहाँ दिया गया है कि $\mu = \sqrt{3}$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर,$\sqrt{3} = \tan \theta$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3})$ होगा।
चूँकि $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$ होता है,इसलिए घर्षण कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10\,kg$,बल $f = 49\,N$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8\,m/s^2$.
अभिलंब बल $N = mg = 10 \times 9.8 = 98\,N$.
घर्षण गुणांक $\mu$ का सूत्र $\mu = \frac{f}{N}$ है।
मान रखने पर: $\mu = \frac{49}{98} = 0.5$.
घर्षण कोण $\theta$ और घर्षण गुणांक के बीच संबंध $\tan \theta = \mu$ है।
अतः,$\tan \theta = 0.5$.
$\theta = \tan^{-1}(0.5) \approx 26^{\circ} 34^{\prime}$.

(B) $f_S \leqslant \mu_S N$ संबंध स्थैतिक घर्षण के लिए शर्त को दर्शाता है।
यहाँ,$f_S$ स्थैतिक घर्षण बल है,$\mu_S$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
यह असमानता दर्शाती है कि लगाया गया बल अधिकतम संभावित स्थैतिक घर्षण (सीमांत घर्षण) को पार करने के लिए पर्याप्त नहीं है।
इसलिए,वस्तु स्थिर रहती है या गति करने की अवस्था में होती है।

(N/A) नहीं,एक पूर्णतः चिकनी सतह से कूदना संभव नहीं है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
कूदने के लिए,व्यक्ति को सतह पर बल लगाना पड़ता है (क्रिया),और सतह को व्यक्ति पर समान और विपरीत बल लगाना पड़ता है (प्रतिक्रिया)।
एक पूर्णतः चिकनी सतह (घर्षण रहित) कूदने के लिए आवश्यक प्रतिक्रिया बल उत्पन्न करने के लिए आवश्यक स्थैतिक घर्षण बल प्रदान नहीं कर सकती है।

(N/A) घर्षण बल $f$ बनाम आरोपित बल $F$ का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।
$1$. ग्राफ का $OB$ भाग स्थैतिक घर्षण क्षेत्र को दर्शाता है। इस क्षेत्र में,घर्षण बल एक स्व-समायोजन बल है,जिसका अर्थ है कि $f = F$। इस रेखा का ढाल $1$ है।
$2$. बिंदु $B$ सीमांत घर्षण (limiting friction) को दर्शाता है,जो स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान $(f_{s,max})$ है।
$3$. एक बार जब आरोपित बल सीमांत घर्षण से अधिक हो जाता है,तो ब्लॉक गति करना शुरू कर देता है। क्षेत्र $CD$ गतिज घर्षण $(f_k)$ को दर्शाता है। गतिज घर्षण आमतौर पर स्थिर होता है और अधिकतम स्थैतिक घर्षण से थोड़ा कम होता है।

(D) दिया गया है:
ब्लॉक का द्रव्यमान $= M$
ब्लॉक और दीवार के बीच घर्षण गुणांक $= \mu$
मान लीजिए कि ब्लॉक को दीवार के विरुद्ध थामे रखने के लिए उंगली द्वारा लगाया गया बल $F$ है।
ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. भार $Mg$ जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. लगाया गया बल $F$ जो क्षैतिज रूप से दीवार की ओर कार्य करता है।
$3$. दीवार से अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ जो क्षैतिज रूप से दीवार से दूर कार्य करती है।
$4$. घर्षण बल $f$ जो नीचे की ओर गति का विरोध करने के लिए ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर कार्य करता है।
ब्लॉक के संतुलन में रहने के लिए:
ऊर्ध्वाधर दिशा में: $f = Mg$
क्षैतिज दिशा में: $F = N$
हम जानते हैं कि अधिकतम घर्षण बल $f = \mu N$ होता है।
$N = F$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $f = \mu F$ प्राप्त होता है।
ब्लॉक को थामे रखने के लिए,घर्षण बल को भार को संतुलित करना होगा:
$\mu F = Mg$
$F = \frac{Mg}{\mu}$

(A) दो ठोसों की संपर्क सतहों के बीच घर्षण बल सतहों के सापेक्ष वेग पर निर्भर नहीं करता है,बशर्ते वेग अत्यधिक न हो।
इसके विपरीत,श्यान बल (द्रव घर्षण) वेग प्रवणता और द्रव की परतों के वेग पर सीधे निर्भर करता है।
इसलिए,दो ठोसों के बीच घर्षण बल वेग पर निर्भर नहीं करता है।

(B) स्थैतिक घर्षण गुणांक,जिसे $\mu_s$ द्वारा दर्शाया जाता है,एक विमाहीन स्थिरांक है जो संपर्क में आने वाली दो सतहों के बीच की अंतःक्रिया को दर्शाता है।
यह पदार्थों की प्रकृति (जैसे,लकड़ी पर लकड़ी,कंक्रीट पर रबर) और सतहों के खुरदरेपन या चिकनेपन की मात्रा द्वारा निर्धारित होता है।
चूंकि $\mu_s$ अभिलंब बल $(N)$ और संपर्क के स्पष्ट क्षेत्रफल से स्वतंत्र है,इसलिए यह पूरी तरह से पदार्थों और उनकी सतह की स्थितियों का एक गुणधर्म है।
इसलिए,इसे बाहरी बलों या गति पर निर्भर चर के बजाय एक पदार्थ-विशिष्ट गुणधर्म माना जाता है।

(C) चित्र ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम दर्शाता है।
ब्लॉक को ऊर्ध्वाधर दीवार के विरुद्ध संतुलन में रखने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला घर्षण बल $f$ ब्लॉक के नीचे की ओर कार्य करने वाले भार $W$ को संतुलित करना चाहिए।
$f = W$
चूंकि घर्षण बल $f$ को $f = \mu R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ दीवार द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब प्रतिक्रिया बल है,और इस मामले में,अभिलंब प्रतिक्रिया $R$ लगाए गए क्षैतिज बल $F$ के बराबर है $(R = F)$:
$\mu F = W$
$F$ के लिए हल करने पर:
$F = \frac{W}{\mu}$
यह दिया गया है कि $\mu < 1$,इसलिए $\frac{1}{\mu} > 1$ होगा।
अतः,$F = \frac{W}{\mu} > W$।
इस प्रकार,ब्लॉक को पकड़े रखने के लिए आवश्यक न्यूनतम बल $F$ उसके भार $W$ से अधिक है।

(C) पिंड को गति में लाने के लिए,लगाए गए बल $F$ को सीमांत घर्षण $f_L = \mu N$ को पार करना होगा।
बलों का वियोजन करने पर:
क्षैतिज घटक: $F \cos \theta = f_L = \mu N$
ऊर्ध्वाधर घटक: $F \sin \theta + N = mg \Rightarrow N = mg - F \sin \theta$
घर्षण समीकरण में $N$ का मान रखने पर:
$F \cos \theta = \mu (mg - F \sin \theta)$
$F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$
$F$ को न्यूनतम करने के लिए,हर $D = \cos \theta + \mu \sin \theta$ को अधिकतम करना होगा। $a \cos \theta + b \sin \theta$ का अधिकतम मान $\sqrt{a^2 + b^2}$ होता है।
यहाँ,$a = 1$ और $b = \mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$D_{\max} = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
अतः,$F_{\min} = \frac{\mu mg}{D_{\max}} = \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}}) \times 1 \times 10}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{10}{2} = 5 \, N$.

(A) ब्लॉक का फ्री बॉडी डायग्राम $(FBD)$ चित्र में दिखाया गया है।
चूंकि ब्लॉक स्थिर है,इसलिए बल संतुलित होने चाहिए।
ऊर्ध्वाधर दिशा में: घर्षण बल $f_r$ भार $mg$ को संतुलित करता है।
$f_r - mg = 0 \Rightarrow f_r = mg$ $........(1)$
क्षैतिज दिशा में: लगाया गया बल $F$ दीवार द्वारा लगाई गई अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ द्वारा संतुलित होता है।
$F - N = 0 \Rightarrow N = F$ $..........(2)$
हम जानते हैं कि घर्षण बल $f_r \leq \mu N$ होता है।
सीमांत स्थिति में,ब्लॉक को नीचे फिसलने से रोकने के लिए:
$f_r = \mu N$
समीकरण में $f_r = mg$ और $N = F$ रखने पर:
$mg = \mu F$
$F = \frac{mg}{\mu}$
यहाँ $m = 0.5\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,और $\mu = 0.2$ दिया गया है:
$F = \frac{0.5 \times 10}{0.2} = \frac{5}{0.2} = 25\, N$.

(B) माना कि लगाया गया बल $F$ है। बल का क्षैतिज घटक $F \cos 60^{\circ}$ है और ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 60^{\circ}$ है।
सतह द्वारा ब्लॉक पर लगाया गया अभिलंब बल $N$,ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करके प्राप्त होता है:
$N = mg + F \sin 60^{\circ}$
यहाँ $m = \sqrt{3} \text{ kg}$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ दिया गया है,इसलिए $mg = 10\sqrt{3} \text{ N}$ है।
$N = 10\sqrt{3} + F \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
सीमांत घर्षण बल $f_L = \mu N = \frac{1}{3\sqrt{3}} \left( 10\sqrt{3} + \frac{F\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{10}{3} + \frac{F}{6}$ है।
ब्लॉक के गति में आने के लिए,लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$F \cos 60^{\circ} = f_L$
$F \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{10}{3} + \frac{F}{6}$
समीकरण को $6$ से गुणा करने पर:
$3F = 20 + F$
$2F = 20 \Rightarrow F = 10 \text{ N}$ है।
प्रश्न में $3x$ का मान पूछा गया है,जहाँ $F = 3x$ है।
$3x = 10$.

(D) मान लीजिए चेन की कुल लंबाई $L = 6 \, m$ है और मेज के किनारे से लटकने वाली चेन की लंबाई $x$ है। मेज पर मौजूद चेन की लंबाई $(L - x)$ होगी।
मान लीजिए $\lambda$ चेन का प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।
मेज पर चेन का द्रव्यमान $M_{table} = \lambda(L - x)$ है और लटकते हुए भाग का द्रव्यमान $M_{hanging} = \lambda x$ है।
मेज द्वारा चेन पर लगाया गया अभिलंब बल $N = M_{table} g = \lambda(L - x)g$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s \lambda(L - x)g$ है।
निकाय के स्थिर रहने के लिए,लटकते हुए भार को अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए:
$f_{s,max} = M_{hanging} g$
$\mu_s \lambda(L - x)g = \lambda x g$
$\mu_s(L - x) = x$
यहाँ $\mu_s = 0.5$ और $L = 6 \, m$ दिया गया है:
$0.5(6 - x) = x$
$3 - 0.5x = x$
$3 = 1.5x$
$x = \frac{3}{1.5} = 2 \, m$.
अतः,मेज से लटकने वाली चेन की अधिकतम लंबाई $2 \, m$ है।

(A) घर्षण बल एक स्व-समायोजित बल है। जब लगाया गया बल बढ़ाया जाता है,तो स्थैतिक घर्षण पहले लगाए गए बल के साथ (और इस प्रकार समय $t$ के साथ,क्योंकि बल लगातार बढ़ रहा है) रैखिक रूप से बढ़ता है जब तक कि यह अधिकतम मान तक नहीं पहुँच जाता जिसे सीमांत घर्षण कहा जाता है।
एक बार जब लगाया गया बल सीमांत घर्षण से अधिक हो जाता है,तो ब्लॉक फिसलना शुरू कर देता है।
चूंकि स्थैतिक और गतिज घर्षण गुणांकों को समान माना गया है,इसलिए गतिज घर्षण सीमांत घर्षण के मान पर स्थिर रहता है।
इसलिए,घर्षण बल $f$ समय $t$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है जब तक कि ब्लॉक फिसलना शुरू नहीं कर देता,जिसके बाद यह स्थिर रहता है। इस व्यवहार को विकल्प $A$ में दिए गए ग्राफ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(D) स्थैतिक घर्षण एक स्व-समायोजन बल है जो संपर्क में रहने वाली दो सतहों के बीच तब कार्य करता है जब सापेक्ष गति की प्रवृत्ति होती है लेकिन अभी तक कोई वास्तविक गति नहीं हुई होती है।
इसका प्राथमिक कार्य सापेक्ष गति की प्रवृत्ति का विरोध करना है,जिससे दो सतहों के बीच सापेक्ष गति रुक जाती है।
चूंकि यह बाहरी बल के कारण होने वाली गति की प्रवृत्ति का विरोध करता है,इसलिए यह अनुप्रयुक्त बल की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
अतः,$(a)$ और $(c)$ दोनों स्थैतिक घर्षण के सही वर्णन हैं।

(D) स्थैतिक घर्षण का सीमांत मान $(f_{s,max})$ संबंध $f_{s,max} = \mu_s N$ द्वारा परिभाषित होता है,जहाँ $\mu_s$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब बल है।
$1$. चूँकि $f_{s,max} \propto N$,यह संपर्क में सतहों के बीच अभिलंब बल के समानुपाती होता है।
$2$. प्रायोगिक अवलोकन दर्शाते हैं कि जब तक अभिलंब बल स्थिर रहता है,घर्षण संपर्क के स्पष्ट क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।
$3$. सूक्ष्म स्तर पर,वास्तविक संपर्क क्षेत्रफल स्पष्ट क्षेत्रफल से बहुत छोटा होता है और सतह के खुरदरेपन और विरूपण पर निर्भर करता है,जो $\mu_s$ के मान को प्रभावित करता है।
अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(B) सही उत्तर $(B)$ है।
स्थैतिक घर्षण वह घर्षण बल है जो संपर्क में रहने वाली दो सतहों के बीच तब कार्य करता है जब उनके बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है।
जब किसी स्थिर वस्तु पर बाहरी बल लगाया जाता है,तो स्थैतिक घर्षण बल स्वयं को लगाए गए बल के बराबर और विपरीत दिशा में समायोजित कर लेता है,जिससे वस्तु गति नहीं करती है।
यदि लगाया गया बल बढ़ाया जाता है,तो स्थैतिक घर्षण बल भी संतुलन बनाए रखने के लिए आनुपातिक रूप से बढ़ता है,जब तक कि यह अधिकतम मान तक न पहुँच जाए जिसे सीमांत घर्षण कहा जाता है।
चूंकि यह लगाए गए बल के जवाब में अपने परिमाण को बदलता है ताकि वस्तु की स्थिर अवस्था बनी रहे,इसलिए इसे स्वतः-समायोजित बल कहा जाता है।

(A) जब एक पिंड दूसरे पिंड की सतह पर गति करने की स्थिति में होता है,तो उन दो सतहों के बीच कार्य करने वाले घर्षण बल को सीमांत घर्षण कहा जाता है।
यह दो सतहों के बीच कार्य कर सकने वाले स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान है।
जब लगाया गया बल इस सीमांत घर्षण से अधिक हो जाता है,तो पिंड गति करना शुरू कर देता है और गतिज घर्षण प्रभावी हो जाता है।
इसलिए,घर्षण के अधिकतम बल को सीमांत घर्षण कहा जाता है।

(B) घर्षण कोण $\beta$ है,इसलिए घर्षण गुणांक $\mu = \tan \beta$ है।
जब क्षैतिज के साथ $\alpha$ कोण पर $F$ धक्का देने वाला बल लगाया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर बलों को संतुलित करने पर अभिलंब बल $N$ प्राप्त होता है:
$N = m g + F \sin \alpha$
ब्लॉक को गति कराने के लिए,बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए:
$F \cos \alpha = \mu N$
$\mu = \tan \beta$ और $N = m g + F \sin \alpha$ का मान रखने पर:
$F \cos \alpha = \tan \beta (m g + F \sin \alpha)$
$F \cos \alpha = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} (m g + F \sin \alpha)$
$F \cos \alpha \cos \beta = m g \sin \beta + F \sin \alpha \sin \beta$
$F (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = m g \sin \beta$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$F \cos (\alpha + \beta) = m g \sin \beta$
$F = \frac{m g \sin \beta}{\cos (\alpha + \beta)}$

(C) ब्लॉक के लिए ऊर्ध्वाधर संतुलन में,बल अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ (ऊपर की ओर),ऊर्ध्वाधर बल $F_2$ (ऊपर की ओर) और भार $mg$ (नीचे की ओर) हैं।
$N + F_2 = mg$
$N = mg - F_2$
जैसे-जैसे ऊर्ध्वाधर बल $F_2$ का परिमाण बढ़ता है,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ घटती है।
स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान (सीमांत घर्षण) $f_{max} = \mu_s N = \mu_s(mg - F_2)$ द्वारा दिया जाता है।
जैसे $F_2$ बढ़ता है,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ घटती है,जिसके परिणामस्वरूप स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान $f_{max}$ घट जाता है।
जब $f_{max}$ लगाए गए क्षैतिज बल $F_1$ के बराबर हो जाता है,तो ब्लॉक फिसलने लगता है। इसलिए,सही कथन यह है कि स्थैतिक घर्षण बल का अधिकतम मान घटता है।

(C) स्थैतिक घर्षण को एक स्व-समायोजित बल के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह वस्तु को स्थिर रखने के लिए लगाए गए बाहरी बल के परिमाण के अनुसार अपना मान बदलता है,जब तक कि यह एक निश्चित अधिकतम सीमा तक न पहुँच जाए।
जैसे-जैसे लगाया गया बल बढ़ता है,स्थैतिक घर्षण बल भी गति का विरोध करने के लिए आनुपातिक रूप से बढ़ता है,जिससे यह सुनिश्चित होता है कि जब तक वस्तु फिसलना शुरू नहीं करती,तब तक कुल बल $0$ बना रहे।

(A) $1$. सबसे पहले,ब्लॉक पर कार्य करने वाले अभिलंब बल $N$ की गणना करें। ऊर्ध्वाधर दिशा में बल अभिलंब बल $N$ (ऊपर की ओर),भार $mg$ (नीचे की ओर),और आरोपित बल का $y$-घटक $F_y = 4 \, N$ (ऊपर की ओर) हैं।
$2$. ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन के लिए: $N + F_y = mg \implies N + 4 = (1)(10) \implies N = 6 \, N$.
$3$. सीमांत घर्षण $f_L = \mu N = 0.3 \times 6 = 1.8 \, N$ की गणना करें।
$4$. आरोपित बल का क्षैतिज घटक $F_x = 1 \, N$ है।
$5$. चूंकि आरोपित क्षैतिज बल $F_x = 1 \, N$ सीमांत घर्षण $f_L = 1.8 \, N$ से कम है,इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
$6$. स्थिर ब्लॉक के लिए,स्थैतिक घर्षण बल आरोपित क्षैतिज बल को संतुलित करता है। अतः,घर्षण बल $f = -F_x = -1 \hat{i} \, N$ होगा।

(D) वस्तु को कार के सापेक्ष स्थिर रखने के लिए,वस्तु पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) को स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
मान लीजिए $m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $a_{\max}$ कार का अधिकतम त्वरण है।
वस्तु पर कार्य करने वाला छद्म बल $F_p = m a_{\max}$ है।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{L} = \mu N = \mu mg$ है,जहाँ $\mu = 0.15$ स्थैतिक घर्षण गुणांक है।
वस्तु के स्थिर रहने के लिए,छद्म बल को अधिकतम स्थैतिक घर्षण से अधिक नहीं होना चाहिए:
$m a_{\max} \leq \mu mg$
$a_{\max} \leq \mu g$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$a_{\max} = 0.15 \times 10 = 1.5 \, m s^{-2}$.

(B) घर्षण के नियम बताते हैं कि घर्षण बल सामान्यतः दिए गए अभिलंब बल के लिए संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।
कथन $(I)$ गलत है क्योंकि स्थैतिक घर्षण का सीमांत बल संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है और संपर्क में मौजूद पदार्थों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
कथन $(II)$ सही है क्योंकि गतिज घर्षण का बल संपर्क के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है और संपर्क में मौजूद पदार्थों की प्रकृति पर निर्भर करता है।
अतः,कथन $I$ गलत है और कथन $II$ सही है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 4 \text{ kg}$, स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu_s = 0.5$, गतिज घर्षण गुणांक $\mu_k = 0.4$, आरोपित बल $F = 4 \text{ N}$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \text{ m/s}^2$.
सबसे पहले, अधिकतम स्थैतिक घर्षण (सीमांत घर्षण) $f_{s, \text{max}} = \mu_s N$ की गणना करें, जहाँ $N = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$ है।
$f_{s, \text{max}} = 0.5 \times 40 = 20 \text{ N}$.
चूँकि आरोपित बल $F = 4 \text{ N}$ सीमांत घर्षण $f_{s, \text{max}} = 20 \text{ N}$ से कम है, इसलिए ब्लॉक स्थिर रहेगा।
स्थैतिक घर्षण के नियमों के अनुसार, यदि आरोपित बल सीमांत घर्षण से कम है, तो स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ आरोपित बल $F$ के बराबर होता है।
अतः, $f_s = F = 4 \text{ N}$.

(A) मान लीजिए कि क्षैतिज डोरी में तनाव $T_1$ है और $\theta$ कोण पर झुकी हुई डोरी में तनाव $T_2$ है।
$M$ द्रव्यमान के लटके हुए गुटके के लिए,ऊर्ध्वाधर संतुलन से $T_2 \sin \theta = Mg$ ... $(i)$ प्राप्त होता है।
बिंदु $O$ के लिए,क्षैतिज संतुलन से $T_1 = T_2 \cos \theta$ ... (ii) प्राप्त होता है।
फर्श पर रखे गुटके के लिए,क्षैतिज बल $T_1$ है और सीमांत घर्षण $f_s = \mu N = \mu Mg$ है।
संतुलन के लिए,$T_1 = f_s = \mu Mg$ ... (iii) होगा।
(ii) और (iii) से,$T_2 \cos \theta = \mu Mg$ ... (iv) प्राप्त होता है।
$(i)$ को (iv) से विभाजित करने पर,हमें $\frac{T_2 \sin \theta}{T_2 \cos \theta} = \frac{Mg}{\mu Mg}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{\mu}$,जिसका अर्थ है कि $\mu = \cot \theta$।

(B) दिया है,बॉक्स का द्रव्यमान $m = 50 \ kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.3$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
जब ट्रेन $a$ त्वरण से चलती है,तो बॉक्स पर ट्रेन के त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) $F_p = ma$ कार्य करता है।
बॉक्स को ट्रेन के फर्श पर स्थिर रहने के लिए,घर्षण बल $f$ को इस छद्म बल को संतुलित करना चाहिए।
अधिकतम घर्षण बल (सीमांत घर्षण) $f_{max} = \mu N$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N = mg$ अभिलंब प्रतिक्रिया है।
अतः,बॉक्स के स्थिर रहने के लिए,$ma \leq \mu mg$ होना चाहिए।
अधिकतम त्वरण $a_{max} = \mu g$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$a_{max} = 0.3 \times 10 = 3.0 \ m \ s^{-2}$।
इसलिए,ट्रेन का अधिकतम त्वरण $3.0 \ m \ s^{-2}$ है।

(D) ब्लॉक पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. भार $mg$ नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. लगाया गया बल $F$ क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ऊपर की ओर कार्य करती है।
$4$. घर्षण बल $f$ क्षैतिज दिशा में कार्य करता है।
बल $F$ के घटकों को वियोजित करने पर:
क्षैतिज घटक: $F \cos 60^{\circ} = \frac{F}{2}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $F \sin 60^{\circ} = \frac{F \sqrt{3}}{2}$
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए:
$N = mg + F \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \times 10 + \frac{F \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}$
सीमांत घर्षण $f_{max} = \mu N = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times (10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}) = 5 + \frac{F}{4}$
ब्लॉक के गति न करने के लिए,लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण से कम या उसके बराबर होना चाहिए:
$F \cos 60^{\circ} \le f_{max}$
$\frac{F}{2} \le 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} \le 5$
$\frac{F}{4} \le 5$
$F \le 20 \ N$
अतः,ब्लॉक के गति न करने के लिए $F$ का अधिकतम मान $20 \ N$ है।

(C) दिया गया है:
पिंड का द्रव्यमान,$m = 2 \,kg$
झुकाव का कोण,$\theta = 30^{\circ}$
घर्षण गुणांक,$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \,ms^{-2}$
पिंड को नत समतल पर ऊपर की ओर गति कराने के लिए,लगाए गए बल $F$ को समतल के नीचे की ओर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल के घटक $(mg \sin \theta)$ और घर्षण बल $(f_r)$ दोनों को पार करना होगा।
पिंड पर कार्य करने वाला अभिलंब बल $N = mg \cos \theta$ है।
सीमान्त घर्षण बल $f_r = \mu N = \mu mg \cos \theta$ है।
आवश्यक न्यूनतम बल $F$:
$F = mg \sin \theta + f_r$
$F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
$F = mg (\sin \theta + \mu \cos \theta)$
मान रखने पर:
$F = 2 \times 10 \times (\sin 30^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos 30^{\circ})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
$F = 20 \times 1 = 20 \,N$

(B) वस्तु का भार $W = mg = 150 \ N$ है।
वस्तु को क्षैतिज सतह पर गतिमान करने के लिए,लगाया गया बल $F$ सीमांत घर्षण बल $f_l$ के बराबर होना चाहिए।
सीमांत घर्षण बल का सूत्र $f_l = \mu N$ है,जहाँ $\mu$ घर्षण गुणांक है और $N$ अभिलंब प्रतिक्रिया बल है।
क्षैतिज सतह के लिए,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ वस्तु के भार के बराबर होती है,इसलिए $N = mg = 150 \ N$।
यह दिया गया है कि वस्तु को गतिमान करने के लिए आवश्यक बल $F = 75 \ N$ है,इसलिए:
$F = \mu N$
$75 = \mu \times 150$
$\mu = \frac{75}{150} = 0.5$।
अतः,घर्षण गुणांक का मान $0.5$ है।

(B) घर्षण बनाम अनुप्रयुक्त बल का ग्राफ दर्शाता है कि स्थैतिक घर्षण का अधिकतम मान (सीमांत घर्षण) गति के दौरान कार्य करने वाले गतिज घर्षण से अधिक होता है।
चूंकि सीमांत घर्षण $f_{s,max} = \mu_s N$ द्वारा दिया जाता है और गतिज घर्षण $f_k = \mu_k N$ है,जहाँ $N$ अभिलंब बल है।
ग्राफ से,$f_{s,max} > f_k$ है।
इसलिए,$\mu_s N > \mu_k N$,जिसका अर्थ है कि $\mu_s > \mu_k$।

(A) ब्लॉक के स्थिर रहने के लिए, लगाए गए बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
मुक्त निकाय आरेख $\text{(FBD)}$ से, अभिलंब प्रतिक्रिया बल $R = mg + F \sin 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि $m = \sqrt{3} \,kg$, $g = 10 \,ms^{-2}$, और $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$R = \sqrt{3} \times 10 + F \sin 60^{\circ} = 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2}$.
सीमांत घर्षण बल $f = \mu R = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left( 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{10}{2} + \frac{F}{4} = 5 + \frac{F}{4}$.
लगाए गए बल का क्षैतिज घटक $F \cos 60^{\circ} = F \times \frac{1}{2} = \frac{F}{2}$ है।
$F$ के अधिकतम मान के लिए क्षैतिज बल को सीमांत घर्षण के बराबर रखने पर:
$\frac{F}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5$
$F = 20 \,N$.

(B) माना पिंड का द्रव्यमान $m = 5 \,kg$,खिंचाव बल का कोण $\theta = 45^{\circ}$ और स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = \frac{1}{3}$ है।
माना $F$ लगाया गया बल है। $F$ के घटक $F \cos \theta$ (क्षैतिज) और $F \sin \theta$ (ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर) हैं।
अभिलंब प्रतिक्रिया $N = mg - F \sin \theta$ द्वारा दी जाती है।
सीमांत घर्षण $f_L = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ है।
पिंड को खिसकाने के लिए,बल का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण के बराबर होना चाहिए: $F \cos \theta = \mu(mg - F \sin \theta)$.
$F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $F(\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$.
$F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$.
मान रखने पर: $F = \frac{(1/3) \times 5 \times 10}{\cos 45^{\circ} + (1/3) \sin 45^{\circ}} = \frac{50/3}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2}}} = \frac{50/3}{\frac{3+1}{3\sqrt{2}}} = \frac{50}{3} \times \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{50\sqrt{2}}{4} = \frac{25\sqrt{2}}{2} = \frac{25}{\sqrt{2}} \,N$.

(C) पिंड को गति देने के लिए आवश्यक बल $F$, सीमांत स्थैतिक घर्षण बल $f_s$ के बराबर होता है।
$f_s = \mu_s N = \mu_s mg$
यहाँ $\mu_s = 0.8$, $m = 4 \,kg$, और $g = 10 \,ms^{-2}$ दिया गया है।
$F = 0.8 \times 4 \times 10 = 32 \,N$.
एक बार जब पिंड गति करना शुरू कर देता है, तो उस पर गतिज घर्षण बल $f_k$ कार्य करता है।
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
यहाँ $\mu_k = 0.6$ दिया गया है।
$f_k = 0.6 \times 4 \times 10 = 24 \,N$.
पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = F - f_k$ है।
$F_{net} = 32 - 24 = 8 \,N$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार, $F_{net} = ma$.
$8 = 4 \times a$.
$a = 2 \,ms^{-2}$.

(B) जब कोई व्यक्ति चलता है,तो वह अपने पैर से जमीन को पीछे की ओर (पश्चिम दिशा में) धकेलता है।
न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,जमीन व्यक्ति के पैर पर आगे की दिशा में (पूर्व दिशा में) समान और विपरीत बल लगाती है।
चलने की प्रक्रिया के दौरान पैर जमीन के सापेक्ष नहीं फिसलता है,इसलिए यहाँ कार्य करने वाला घर्षण स्थैतिक घर्षण है।
अतः,स्थैतिक घर्षण व्यक्ति पर गति की दिशा में,यानी पूर्व दिशा में कार्य करता है।
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(B) $\text{मुक्त वस्तु आरेख (free body diagram)}$ से, वस्तु पर कार्य करने वाले बलों को क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों में विभाजित किया गया है।
वस्तु के गति करने की स्थिति में होने के लिए, लगाए गए बल का क्षैतिज घटक घर्षण बल $(f)$ को संतुलित करना चाहिए:
$f = F \cos 45^{\circ}$
$f = 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.28 \times 0.707 = 20 \,N$
ऊर्ध्वाधर बल संतुलन में होने चाहिए, इसलिए अभिलंब प्रतिक्रिया बल $(R)$ और लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक का योग वस्तु के भार $(W = 50 \,N)$ के बराबर होना चाहिए:
$R + F \sin 45^{\circ} = 50$
$R = 50 - 28.28 \sin 45^{\circ}$
$R = 50 - 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 50 - 20 = 30 \,N$
अतः, घर्षण बल $20 \,N$ है और अभिलंब प्रतिक्रिया बल $30 \,N$ है।

(B) मान लीजिए ब्लॉक $A$ का भार $W^{\prime}$ है।
निकाय के संतुलन में रहने के लिए,ब्लॉक $B$ से जुड़ी क्षैतिज डोरी में तनाव $T_1$ सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए,इसलिए $T_1 = \mu W$।
अब,गाँठ के संतुलन पर विचार करें। मान लीजिए $T_2$ क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर झुकी हुई डोरी में तनाव है,और $T_3$ ब्लॉक $A$ से जुड़ी ऊर्ध्वाधर डोरी में तनाव है। अतः,$T_3 = W^{\prime}$।
गाँठ पर बलों का वियोजन करने पर:
क्षैतिज घटक: $T_2 \cos \theta = T_1 = \mu W$
ऊर्ध्वाधर घटक: $T_2 \sin \theta = T_3 = W^{\prime}$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{T_2 \sin \theta}{T_2 \cos \theta} = \frac{W^{\prime}}{\mu W}$
$\tan \theta = \frac{W^{\prime}}{\mu W}$
$W^{\prime} = \mu W \tan \theta$

(A) ब्लॉक के गति शुरू करने के लिए,लगाए गए बल $F$ का क्षैतिज घटक सीमांत घर्षण बल के बराबर होना चाहिए।
$1$. बल $F$ को घटकों में वियोजित करें:
क्षैतिज घटक: $F_{x} = F \cos 30^{\circ}$
ऊर्ध्वाधर घटक: $F_{y} = F \sin 30^{\circ}$
$2$. अभिलंब प्रतिक्रिया बल $N$ निर्धारित करें:
ब्लॉक पर कार्य करने वाले ऊर्ध्वाधर बल हैं: भार $mg$ नीचे की ओर,अभिलंब प्रतिक्रिया $N$ ऊपर की ओर,और लगाए गए बल का ऊर्ध्वाधर घटक $F \sin 30^{\circ}$ ऊपर की ओर।
$N + F \sin 30^{\circ} = mg$
$N = mg - F \sin 30^{\circ}$
यहाँ $m = 10 \ kg$ और $g = 10 \ ms^{-2}$ दिया गया है,इसलिए $mg = 100 \ N$ है।
$N = 100 - F \sin 30^{\circ} = 100 - 0.5F$
$3$. गति के लिए शर्त लागू करें:
सीमांत घर्षण $f_{L} = \mu_{s} N$ है।
ब्लॉक तब गति शुरू करेगा जब $F \cos 30^{\circ} = \mu_{s} N$ हो।
$F \cos 30^{\circ} = 0.25(100 - 0.5F)$
$F \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 0.125F$
$F(0.866 + 0.125) = 25$
$F(0.991) = 25$
$F = \frac{25}{0.991} \approx 25.22 \ N$
अतः,$F \approx 25.2 \ N$ पर ब्लॉक गति करना शुरू कर देगा।

(D) दिया गया है: बक्से का द्रव्यमान $m = 2 kg$,स्थैतिक घर्षण गुणांक $\mu = 0.2$,और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 ms^{-2}$ है।
बक्से को कार की छत पर स्थिर रहने के लिए,बक्से पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo-force) को स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए।
अधिकतम स्थैतिक घर्षण बल $f_{max} = \mu N = \mu mg$ द्वारा दिया जाता है।
बक्से को कार के साथ त्वरित करने के लिए आवश्यक बल $F = ma$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $ma = \mu mg$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a = \mu g$ है।
मान रखने पर: $a = 0.2 \times 10 = 2 ms^{-2}$।
अतः,कार का अधिकतम त्वरण $2 ms^{-2}$ है।

(A) मान लीजिए कि क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $F$ बल लगाया जाता है।
बलों को वियोजित करने पर,ऊर्ध्वाधर संतुलन से: $N + F \sin \theta = mg$,अतः $N = mg - F \sin \theta$.
घर्षण को पार करने के लिए आवश्यक क्षैतिज बल: $F \cos \theta = f_s = \mu N$.
$N$ का मान रखने पर: $F \cos \theta = \mu (mg - F \sin \theta)$.
$F$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$,जिससे $F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम बल $F$ ज्ञात करने के लिए,हर $D = \cos \theta + \mu \sin \theta$ को अधिकतम करना होगा।
$\theta$ के सापेक्ष अवकलन को शून्य रखने पर: $\frac{dD}{d\theta} = -\sin \theta + \mu \cos \theta = 0$.
यह दर्शाता है कि $\tan \theta = \mu$.
$\sin \theta = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$ को $F$ के व्यंजक में रखने पर:
$F_{\min} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} + \mu \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\frac{1+\mu^2}{\sqrt{1+\mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}}$.

(B) सीमांत घर्षण बल $f_s$ बक्से को ट्रॉली के साथ त्वरित करने के लिए आवश्यक बल प्रदान करता है।
बक्से को ट्रॉली के सापेक्ष स्थिर रहने के लिए,बक्से पर कार्य करने वाले छद्म बल (pseudo force) को स्थैतिक घर्षण बल द्वारा संतुलित होना चाहिए।
बक्से के ट्रॉली पर स्थिर रहने की शर्त है: $ma \le f_{s, \text{max}}$.
चूंकि $f_{s, \text{max}} = \mu N = \mu mg$,इसलिए $ma \le \mu mg$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $a \le \mu g$ हो जाता है।
दिया गया है $\mu = 0.12$ और $g = 10 \text{m s}^{-2}$,इसलिए अधिकतम त्वरण $a_{\text{max}} = \mu g = 0.12 \times 10 = 1.2 \text{m s}^{-2}$ है।
अतः,वह अधिकतम त्वरण जिससे ट्रॉली को गति कराई जा सकती है,$1.2 \text{m s}^{-2}$ है।