Static and Limiting Friction and Minimum Force Required to Move Questions in Gujarati

(N/A) સ્થિત ઘર્ષણ એ સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓ વચ્ચે સાપેક્ષ ગતિની શરૂઆતને અટકાવતું સ્વ-સંતુલિત બળ છે. તે હંમેશા લાગુ પાડેલા બાહ્ય બળની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે જે ગતિ ઉત્પન્ન કરવાનો પ્રયત્ન કરે છે.
ઘર્ષણાંક $(\mu)$ નીચેના પરિબળો પર આધાર રાખે છે:
$1$. સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓના દ્રવ્યોની પ્રકૃતિ (દા.ત.,લાકડા પર લાકડું,કોંક્રિટ પર રબર).
$2$. સપાટીઓની સ્થિતિ,જેમ કે તેમની ખરબચડી કે લીસી સપાટી (પોલિશનું પ્રમાણ).
$3$. સપાટીઓ વચ્ચે રહેલા લુબ્રિકન્ટ્સ (અંજણ) અથવા અન્ય અશુદ્ધિઓની હાજરી.

(NONE) સ્થિત ઘર્ષણાંક,જેને $\mu_s$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે,તે $f_s = \mu_s N$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $f_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\mu_s = \frac{f_s}{N}$ મળે છે.
કારણ કે $f_s$ અને $N$ બંને બળ છે,તેથી તેમને ન્યૂટન $(N)$ માં માપવામાં આવે છે.
તેથી,$\mu_s$ નો એકમ $\frac{N}{N} = 1$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે સ્થિત ઘર્ષણાંક એ પરિમાણરહિત રાશિ છે અને તેનો કોઈ એકમ નથી.

(A) સ્થિત ઘર્ષણ એ બળ છે જે સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓ વચ્ચે ગતિની શરૂઆતનો વિરોધ કરે છે. જ્યારે કોઈ પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે પરંતુ તે હજુ ગતિ કરતું નથી,ત્યારે સપાટીઓ વચ્ચે કાર્યરત ઘર્ષણને સ્થિત ઘર્ષણ કહેવામાં આવે છે. ખાસ કરીને,સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય,જે પદાર્થ સરકવાનું શરૂ કરે તે પહેલાં તરત જ જોવા મળે છે,તેને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવામાં આવે છે. પ્રશ્ન 'આગામી' (થવાની તૈયારીમાં હોય તેવી) સાપેક્ષ ગતિનો ઉલ્લેખ કરે છે,તેથી તેનો વિરોધ સ્થિત ઘર્ષણ દ્વારા થાય છે.

(A) ઘર્ષણ એ એક અવરોધક બળ છે જે સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરે છે.
સ્થિત ઘર્ષણ $(f_s)$ એ બળ છે જે ગતિની શરૂઆતને અટકાવે છે અને તે સામાન્ય રીતે ત્રણેય પ્રકારના ઘર્ષણમાંથી સૌથી મોટું હોય છે.
ગતિક ઘર્ષણ $(f_k)$ ત્યારે લાગે છે જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર સરકતો હોય અને તે સામાન્ય રીતે મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ કરતા ઓછું હોય છે.
રોલિંગ ઘર્ષણ $(f_r)$ ત્યારે ઉદ્ભવે છે જ્યારે કોઈ પદાર્થ સપાટી પર ગબડતો હોય. સંપર્ક વિસ્તાર ન્યૂનતમ હોવાને કારણે અને સપાટીઓના વિરૂપણમાં ઘટાડો થવાને કારણે,રોલિંગ ઘર્ષણ એ સ્થિત અને ગતિક બંને ઘર્ષણ કરતા નોંધપાત્ર રીતે ઓછું હોય છે.
તેથી,મૂલ્યનો ક્રમ $f_s > f_k > f_r$ છે.

(C) ઘર્ષણાંક $(\mu)$ પર કોઈ અસર થશે નહીં.
ઘર્ષણાંક એ સંપર્કમાં રહેલા પદાર્થો અને સપાટીના પ્રકાર (ખરબચડી કે લીસી) પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થના દળ કે સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળ પર આધાર રાખતું નથી. તેથી,પદાર્થનું દળ બદલવાથી ઘર્ષણાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.

(C) ઘર્ષણાંક $\mu$ અને ઘર્ષણકોણ $\theta$ વચ્ચેનો સંબંધ $\mu = \tan \theta$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $\mu = \sqrt{3}$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$\sqrt{3} = \tan \theta$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3})$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી ઘર્ષણકોણ $\theta = 60^{\circ}$ થાય.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10\,kg$,બળ $f = 49\,N$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\,m/s^2$.
લંબબળ $N = mg = 10 \times 9.8 = 98\,N$.
ઘર્ષણાંક $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = \frac{f}{N}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\mu = \frac{49}{98} = 0.5$.
ઘર્ષણનો કોણ $\theta$ અને ઘર્ષણાંક વચ્ચેનો સંબંધ $\tan \theta = \mu$ છે.
તેથી,$\tan \theta = 0.5$.
$\theta = \tan^{-1}(0.5) \approx 26^{\circ} 34^{\prime}$.

(B) $f_S \leqslant \mu_S N$ સંબંધ સ્થિત ઘર્ષણ માટેની શરત દર્શાવે છે.
અહીં,$f_S$ એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ છે,$\mu_S$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
આ અસમતા સૂચવે છે કે લાગુ પાડેલું બળ મહત્તમ શક્ય સ્થિત ઘર્ષણ (સીમાંત ઘર્ષણ) ને ઓળંગવા માટે પૂરતું નથી.
તેથી,પદાર્થ સ્થિર રહે છે અથવા ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય છે.

(N/A) ના,સંપૂર્ણ લીસી સપાટી પરથી કૂદકો મારવો શક્ય નથી.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,દરેક ક્રિયાબળ માટે સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં પ્રતિક્રિયાબળ હોય છે.
કૂદકો મારવા માટે,વ્યક્તિએ સપાટી પર બળ લગાડવું પડે છે (ક્રિયાબળ),અને સપાટીએ વ્યક્તિ પર સમાન અને વિરુદ્ધ દિશામાં બળ લગાડવું પડે છે (પ્રતિક્રિયાબળ).
સંપૂર્ણ લીસી સપાટી (ઘર્ષણરહિત) કૂદકો મારવા માટે જરૂરી પ્રતિક્રિયાબળ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી સ્થિત ઘર્ષણબળ પૂરું પાડી શકતી નથી.

(N/A) ઘર્ષણ બળ $f$ વિરુદ્ધ લગાડેલા બળ $F$ નો આલેખ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
$1$. આલેખનો $OB$ ભાગ સ્થિત ઘર્ષણ વિસ્તાર દર્શાવે છે. આ વિસ્તારમાં,ઘર્ષણ બળ એ સ્વ-સમાયોજિત બળ છે,જેનો અર્થ છે કે $f = F$. આ રેખાનો ઢાળ $1$ છે.
$2$. બિંદુ $B$ એ સીમિત ઘર્ષણ (limiting friction) દર્શાવે છે,જે સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય $(f_{s,max})$ છે.
$3$. એકવાર લગાડવામાં આવેલું બળ સીમિત ઘર્ષણ કરતા વધી જાય,પછી બ્લોક ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે. વિસ્તાર $CD$ ગતિક ઘર્ષણ $(f_k)$ દર્શાવે છે. ગતિક ઘર્ષણ સામાન્ય રીતે અચળ હોય છે અને મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ કરતા થોડું ઓછું હોય છે.

(D) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ $= M$
બ્લોક અને દીવાલ વચ્ચેનો ઘર્ષણાંક $= \mu$
ધારો કે બ્લોકને દીવાલ પર પકડી રાખવા માટે આંગળી દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ $F$ છે.
બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $Mg$ જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. આંગળી દ્વારા લગાડવામાં આવતું બળ $F$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં દીવાલ તરફ લાગે છે.
$3$. દીવાલ દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ જે સમક્ષિતિજ દિશામાં દીવાલથી દૂર લાગે છે.
$4$. ઘર્ષણ બળ $f$ જે નીચેની તરફની ગતિનો વિરોધ કરવા માટે શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાગે છે.
બ્લોક સંતુલનમાં રહે તે માટે:
શિરોલંબ દિશામાં: $f = Mg$
સમક્ષિતિજ દિશામાં: $F = N$
આપણે જાણીએ છીએ કે મહત્તમ ઘર્ષણ બળ $f = \mu N$ છે.
$N = F$ મૂકતા,આપણને $f = \mu F$ મળે છે.
બ્લોકને પકડી રાખવા માટે,ઘર્ષણ બળે વજનબળને સંતુલિત કરવું આવશ્યક છે:
$\mu F = Mg$
$F = \frac{Mg}{\mu}$

(A) બે ઘન પદાર્થોની સંપર્ક સપાટીઓ વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ સપાટીઓના સાપેક્ષ વેગ પર આધારિત નથી,જો વેગ અત્યંત વધારે ન હોય તો.
તેનાથી વિપરીત,સ્નિગ્ધતા બળ (પ્રવાહી ઘર્ષણ) એ વેગના ઢાળ અને પ્રવાહીના સ્તરોના વેગ પર સીધો આધાર રાખે છે.
તેથી,બે ઘન પદાર્થો વચ્ચેનું ઘર્ષણ બળ વેગ પર આધારિત નથી.

(B) સ્થિત ઘર્ષણાંક,જેને $\mu_s$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,તે એક પરિમાણરહિત અચળાંક છે જે સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓ વચ્ચેની આંતરક્રિયાને દર્શાવે છે.
તે પદાર્થોની પ્રકૃતિ (દા.ત.,લાકડા પર લાકડું,કોંક્રિટ પર રબર) અને સપાટીઓની ખરબચડાપણું કે લીસાપણાની માત્રા દ્વારા નક્કી થાય છે.
$\mu_s$ એ લંબબળ $(N)$ અને સંપર્કના દેખીતા ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોવાથી,તે માત્ર પદાર્થો અને તેમની સપાટીની સ્થિતિનો ગુણધર્મ છે.
તેથી,તેને બાહ્ય બળો અથવા ગતિ પર આધારિત ચલને બદલે પદાર્થ-વિશિષ્ટ ગુણધર્મ માનવામાં આવે છે.

(C) આકૃતિ બ્લોકનો ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ દર્શાવે છે.
બ્લોકને ઊભી દીવાલ પર સંતુલનમાં રાખવા માટે,ઉપરની તરફ લાગતું ઘર્ષણ બળ $f$ એ બ્લોકના નીચેની તરફ લાગતા વજન $W$ ને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
$f = W$
ઘર્ષણ બળ $f$ એ $f = \mu R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ દીવાલ દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે. આ કિસ્સામાં,લંબ પ્રતિક્રિયા $R$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલા આડા બળ $F$ જેટલી છે $(R = F)$:
$\mu F = W$
$F$ માટે ઉકેલતા:
$F = \frac{W}{\mu}$
આપેલ છે કે $\mu < 1$,તેથી $\frac{1}{\mu} > 1$ થાય.
તેથી,$F = \frac{W}{\mu} > W$.
આમ,બ્લોકને પકડી રાખવા માટે જરૂરી ન્યૂનતમ બળ $F$ એ તેના વજન $W$ કરતા વધારે છે.

(C) પદાર્થને ગતિમાં લાવવા માટે,લગાડેલ બળ $F$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu N$ ને પાર કરવું જોઈએ.
બળોના ઘટકો લેતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F \cos \theta = f_L = \mu N$
શિરોલંબ ઘટક: $F \sin \theta + N = mg \Rightarrow N = mg - F \sin \theta$
ઘર્ષણના સમીકરણમાં $N$ ની કિંમત મૂકતા:
$F \cos \theta = \mu (mg - F \sin \theta)$
$F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$
$F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$
$F$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,છેદ $D = \cos \theta + \mu \sin \theta$ ને મહત્તમ કરવો પડે. $a \cos \theta + b \sin \theta$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $\sqrt{a^2 + b^2}$ છે.
અહીં,$a = 1$ અને $b = \mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$D_{\max} = \sqrt{1^2 + (\frac{1}{\sqrt{3}})^2} = \sqrt{1 + \frac{1}{3}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.
આમ,$F_{\min} = \frac{\mu mg}{D_{\max}} = \frac{(\frac{1}{\sqrt{3}}) \times 1 \times 10}{\frac{2}{\sqrt{3}}} = \frac{10}{2} = 5 \, N$.

(A) બ્લોકનો ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
બ્લોક સ્થિર હોવાથી,બળો સંતુલિત હોવા જોઈએ.
શિરોલંબ દિશામાં: ઘર્ષણ બળ $f_r$ એ વજન $mg$ ને સંતુલિત કરે છે.
$f_r - mg = 0 \Rightarrow f_r = mg$ $........(1)$
સમક્ષિતિજ દિશામાં: લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ દીવાલ દ્વારા લાગતી લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ દ્વારા સંતુલિત થાય છે.
$F - N = 0 \Rightarrow N = F$ $..........(2)$
આપણે જાણીએ છીએ કે ઘર્ષણ બળ $f_r \leq \mu N$ હોય છે.
સીમાંત કિસ્સામાં,બ્લોકને નીચે સરકતો અટકાવવા માટે:
$f_r = \mu N$
સમીકરણમાં $f_r = mg$ અને $N = F$ મૂકતા:
$mg = \mu F$
$F = \frac{mg}{\mu}$
અહીં $m = 0.5\, kg$,$g = 10\, m/s^2$,અને $\mu = 0.2$ આપેલ છે:
$F = \frac{0.5 \times 10}{0.2} = \frac{5}{0.2} = 25\, N$.

(B) ધારો કે લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ છે. બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F \cos 60^{\circ}$ અને શિરોલંબ ઘટક $F \sin 60^{\circ}$ છે.
સપાટી દ્વારા બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ એ શિરોલંબ બળોને સંતુલિત કરીને મળે છે:
$N = mg + F \sin 60^{\circ}$
અહીં $m = \sqrt{3} \text{ kg}$ અને $g = 10 \text{ m/s}^2$ આપેલ છે,તેથી $mg = 10\sqrt{3} \text{ N}$.
$N = 10\sqrt{3} + F \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = \frac{1}{3\sqrt{3}} \left( 10\sqrt{3} + \frac{F\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{10}{3} + \frac{F}{6}$.
બ્લોક ગતિમાં આવે તે માટે,લગાડવામાં આવેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$F \cos 60^{\circ} = f_L$
$F \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{10}{3} + \frac{F}{6}$
સમીકરણને $6$ વડે ગુણતા:
$3F = 20 + F$
$2F = 20 \Rightarrow F = 10 \text{ N}$.
પ્રશ્નમાં $3x$ નું મૂલ્ય પૂછ્યું છે,જ્યાં $F = 3x$.
$3x = 10$.

(D) ધારો કે સાંકળની કુલ લંબાઈ $L = 6 \, m$ છે અને ટેબલની ધાર પર લટકતી સાંકળની લંબાઈ $x$ છે. ટેબલ પર રહેલી સાંકળની લંબાઈ $(L - x)$ થશે.
ધારો કે $\lambda$ એ સાંકળની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ છે.
ટેબલ પર રહેલી સાંકળનું દળ $M_{table} = \lambda(L - x)$ છે અને લટકતા ભાગનું દળ $M_{hanging} = \lambda x$ છે.
ટેબલ દ્વારા સાંકળ પર લાગતું લંબબળ $N = M_{table} g = \lambda(L - x)g$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{s,max} = \mu_s N = \mu_s \lambda(L - x)g$ છે.
તંત્ર સ્થિર રહે તે માટે,લટકતા ભાગનું વજન મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ:
$f_{s,max} = M_{hanging} g$
$\mu_s \lambda(L - x)g = \lambda x g$
$\mu_s(L - x) = x$
અહીં $\mu_s = 0.5$ અને $L = 6 \, m$ આપેલ છે:
$0.5(6 - x) = x$
$3 - 0.5x = x$
$3 = 1.5x$
$x = \frac{3}{1.5} = 2 \, m$.
આમ,ટેબલ પરથી લટકતી સાંકળની મહત્તમ લંબાઈ $2 \, m$ છે.

(A) ઘર્ષણ બળ એ સ્વ-સમાયોજિત બળ છે. જ્યારે લગાડવામાં આવતું બળ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત ઘર્ષણ પ્રથમ લગાડવામાં આવેલા બળ સાથે (અને આમ સમય $t$ સાથે,કારણ કે બળ સતત વધી રહ્યું છે) રેખીય રીતે વધે છે જ્યાં સુધી તે મહત્તમ મૂલ્ય સુધી ન પહોંચે જેને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવાય છે.
એકવાર લગાડવામાં આવેલું બળ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા વધી જાય,પછી બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે.
કારણ કે સ્થિત અને ગતિક ઘર્ષણાંક સમાન માનવામાં આવ્યા છે,તેથી ગતિક ઘર્ષણ સીમાંત ઘર્ષણના મૂલ્ય પર અચળ રહે છે.
તેથી,ઘર્ષણ બળ $f$ સમય $t$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે જ્યાં સુધી બ્લોક સરકવાનું શરૂ ન કરે,ત્યારબાદ તે અચળ રહે છે. આ વર્તણૂક વિકલ્પ $A$ માં આપેલા આલેખ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(D) સ્થિત ઘર્ષણ એ એક સ્વયં-સમાયોજિત બળ છે જે સંપર્કમાં રહેલી બે સપાટીઓ વચ્ચે ત્યારે કાર્ય કરે છે જ્યારે સાપેક્ષ ગતિ થવાની વૃત્તિ હોય પરંતુ હજુ સુધી કોઈ વાસ્તવિક ગતિ થઈ ન હોય.
તેનું મુખ્ય કાર્ય સાપેક્ષ ગતિની વૃત્તિનો વિરોધ કરવાનું છે,જેનાથી બે સપાટીઓ વચ્ચેની સાપેક્ષ ગતિ અટકે છે.
કારણ કે તે બાહ્ય બળ દ્વારા થતી ગતિની વૃત્તિનો વિરોધ કરે છે,તેથી તે પ્રયુક્ત બળની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
તેથી,$(a)$ અને $(c)$ બંને સ્થિત ઘર્ષણના સાચા વર્ણન છે.

(D) સ્થિત ઘર્ષણનું સીમિત મૂલ્ય $(f_{s,max})$ એ સંબંધ $f_{s,max} = \mu_s N$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\mu_s$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબબળ છે.
$1$. $f_{s,max} \propto N$ હોવાથી,તે સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ વચ્ચેના લંબબળના સમપ્રમાણમાં છે.
$2$. પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે જ્યાં સુધી લંબબળ અચળ રહે ત્યાં સુધી ઘર્ષણ એ સંપર્ક સપાટીના દેખીતા ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે.
$3$. સૂક્ષ્મ સ્તરે,વાસ્તવિક સંપર્ક ક્ષેત્રફળ એ દેખીતા ક્ષેત્રફળ કરતા ઘણું ઓછું હોય છે અને તે સપાટીની ખરબચડી અને વિરૂપણ પર આધાર રાખે છે,જે $\mu_s$ ના મૂલ્યને અસર કરે છે.
તેથી,આપેલા તમામ વિધાનો સાચા છે.

(B) સાચો જવાબ $(B)$ છે.
સ્થિત ઘર્ષણ એ બે સંપર્કમાં રહેલી સપાટીઓ વચ્ચે લાગતું ઘર્ષણ બળ છે જ્યારે તેમની વચ્ચે કોઈ સાપેક્ષ ગતિ ન હોય.
જ્યારે સ્થિર પદાર્થ પર બાહ્ય બળ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થિત ઘર્ષણ બળ પોતાની જાતને બાહ્ય બળ જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં સમાયોજિત કરે છે,જે પદાર્થને ગતિ કરતો અટકાવે છે.
જો બાહ્ય બળ વધારવામાં આવે,તો સ્થિત ઘર્ષણ બળ પણ સંતુલન જાળવવા માટે પ્રમાણસર વધે છે,જ્યાં સુધી તે મહત્તમ મૂલ્ય સુધી ન પહોંચે જેને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવાય છે.
કારણ કે તે બાહ્ય બળના પ્રતિભાવમાં પોતાનું મૂલ્ય બદલે છે જેથી પદાર્થની સ્થિર અવસ્થા જળવાઈ રહે,તેથી તેને સ્વયં-સમાયોજિત બળ કહેવામાં આવે છે.

(A) જ્યારે એક પદાર્થ બીજા પદાર્થની સપાટી પર ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે બે સપાટીઓ વચ્ચે લાગતા ઘર્ષણ બળને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવામાં આવે છે.
તે બે સપાટીઓ વચ્ચે લાગી શકતા સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય છે.
જ્યારે લાગુ પાડવામાં આવેલું બળ આ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા વધી જાય છે,ત્યારે પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે અને ગતિક ઘર્ષણ અસ્તિત્વમાં આવે છે.
તેથી,ઘર્ષણના મહત્તમ બળને સીમાંત ઘર્ષણ કહેવામાં આવે છે.

(B) ઘર્ષણકોણ $\beta$ છે,તેથી ઘર્ષણાંક $\mu = \tan \beta$ થાય.
જ્યારે સમક્ષિતિજ સાથે $\alpha$ ખૂણે $F$ જેટલું ધકેલવાનું બળ લગાડવામાં આવે,ત્યારે શિરોલંબ બળોને સંતુલિત કરતા લંબબળ $N$ નીચે મુજબ મળે:
$N = m g + F \sin \alpha$
બ્લોકને ગતિ કરાવવા માટે,બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$F \cos \alpha = \mu N$
$\mu = \tan \beta$ અને $N = m g + F \sin \alpha$ ની કિંમત મૂકતા:
$F \cos \alpha = \tan \beta (m g + F \sin \alpha)$
$F \cos \alpha = \frac{\sin \beta}{\cos \beta} (m g + F \sin \alpha)$
$F \cos \alpha \cos \beta = m g \sin \beta + F \sin \alpha \sin \beta$
$F (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = m g \sin \beta$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$F \cos (\alpha + \beta) = m g \sin \beta$
$F = \frac{m g \sin \beta}{\cos (\alpha + \beta)}$

(C) બ્લોક માટે ઉર્ધ્વ સંતુલનમાં,બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),ઉર્ધ્વ બળ $F_2$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
$N + F_2 = mg$
$N = mg - F_2$
જેમ જેમ ઉર્ધ્વ બળ $F_2$ નું મૂલ્ય વધે છે,તેમ લંબબળ $N$ ઘટે છે.
સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu_s N = \mu_s(mg - F_2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ $F_2$ વધે છે,તેમ લંબબળ $N$ ઘટે છે,જે પરિણામે સ્થિત ઘર્ષણના મહત્તમ મૂલ્ય $f_{max}$ ને ઘટાડે છે.
જ્યારે $f_{max}$ એ લાગુ પાડેલા સમક્ષિતિજ બળ $F_1$ જેટલું થાય છે,ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે. તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે સ્થિત ઘર્ષણ બળનું મહત્તમ મૂલ્ય ઘટે છે.

(C) સ્થિત ઘર્ષણને સ્વ-સમાયોજિત બળ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે કારણ કે તે પદાર્થને સ્થિર રાખવા માટે લાગુ પડતા બાહ્ય બળના મૂલ્ય મુજબ પોતાનું મૂલ્ય બદલે છે,જ્યાં સુધી તે મહત્તમ મર્યાદા સુધી ન પહોંચે.
જેમ જેમ લાગુ પડતું બળ વધે છે,તેમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ પણ ગતિનો વિરોધ કરવા માટે પ્રમાણસર વધે છે,જેથી પદાર્થ સરકવાનું શરૂ ન કરે ત્યાં સુધી ચોખ્ખું બળ $0$ રહે છે.

(A) $1$. સૌ પ્રથમ,બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ શોધો. શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) અને લાગુ પાડેલા બળનો $y$-ઘટક $F_y = 4 \, N$ (ઉપરની તરફ) છે.
$2$. શિરોલંબ દિશામાં સંતુલન માટે: $N + F_y = mg \implies N + 4 = (1)(10) \implies N = 6 \, N$.
$3$. સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_L = \mu N = 0.3 \times 6 = 1.8 \, N$ થાય.
$4$. લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = 1 \, N$ છે.
$5$. અહીં લાગુ પાડેલું સમક્ષિતિજ બળ $F_x = 1 \, N$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = 1.8 \, N$ કરતા ઓછું હોવાથી,બ્લોક સ્થિર રહેશે.
$6$. સ્થિર બ્લોક માટે,સ્થિત ઘર્ષણ બળ એ લાગુ પાડેલા સમક્ષિતિજ બળને સંતુલિત કરે છે. તેથી,ઘર્ષણ બળ $f = -F_x = -1 \hat{i} \, N$ થશે.

(D) વસ્તુને કારની સાપેક્ષમાં સ્થિર રાખવા માટે,વસ્તુ પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo force) એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
ધારો કે $m$ એ વસ્તુનું દળ છે અને $a_{\max}$ એ કારનો મહત્તમ પ્રવેગ છે.
વસ્તુ પર લાગતું આભાસી બળ $F_p = m a_{\max}$ છે.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{L} = \mu N = \mu mg$ છે,જ્યાં $\mu = 0.15$ એ સ્થિત ઘર્ષણાંક છે.
વસ્તુ સ્થિર રહે તે માટે,આભાસી બળ એ મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ કરતા વધવું ન જોઈએ:
$m a_{\max} \leq \mu mg$
$a_{\max} \leq \mu g$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$a_{\max} = 0.15 \times 10 = 1.5 \, m s^{-2}$.

(B) ઘર્ષણના નિયમો જણાવે છે કે આપેલ લંબબળ માટે ઘર્ષણ બળ સામાન્ય રીતે સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે.
વિધાન $(I)$ ખોટું છે કારણ કે સ્થિત ઘર્ષણનું સીમિત બળ સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે અને સંપર્કમાં રહેલા પદાર્થોની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે.
વિધાન $(II)$ સાચું છે કારણ કે ગતિક ઘર્ષણનું બળ સંપર્ક સપાટીના ક્ષેત્રફળથી સ્વતંત્ર હોય છે અને સંપર્કમાં રહેલા પદાર્થોની પ્રકૃતિ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,વિધાન $I$ ખોટું છે અને વિધાન $II$ સાચું છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 4 \text{ kg}$, સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu_s = 0.5$, ગતિક ઘર્ષણાંક $\mu_k = 0.4$, લગાડેલ બળ $F = 4 \text{ N}$, અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \text{ m/s}^2$.
સૌ પ્રથમ, મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{s, \text{max}} = \mu_s N$ શોધો, જ્યાં $N = mg = 4 \times 10 = 40 \text{ N}$.
$f_{s, \text{max}} = 0.5 \times 40 = 20 \text{ N}$.
અહીં લગાડેલ બળ $F = 4 \text{ N}$ એ સીમાંત ઘર્ષણ $f_{s, \text{max}} = 20 \text{ N}$ કરતા ઓછું હોવાથી, બ્લોક સ્થિર રહેશે.
સ્થિત ઘર્ષણના નિયમ મુજબ, જો લગાડેલ બળ સીમાંત ઘર્ષણ કરતા ઓછું હોય, તો સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ લગાડેલ બળ $F$ જેટલું જ હોય છે.
તેથી, $f_s = F = 4 \text{ N}$.

(A) ધારો કે આડી દોરીમાં તણાવ $T_1$ છે અને $\theta$ ખૂણે નમેલી દોરીમાં તણાવ $T_2$ છે.
$M$ દળના લટકતા બ્લોક માટે,શિરોલંબ સંતુલન પરથી $T_2 \sin \theta = Mg$ ... $(i)$.
$O$ બિંદુ માટે,સમક્ષિતિજ સંતુલન પરથી $T_1 = T_2 \cos \theta$ ... (ii).
જમીન પરના બ્લોક માટે,સમક્ષિતિજ બળ $T_1$ છે અને સીમાંત ઘર્ષણ $f_s = \mu N = \mu Mg$ છે.
સંતુલન માટે,$T_1 = f_s = \mu Mg$ ... (iii).
(ii) અને (iii) પરથી,$T_2 \cos \theta = \mu Mg$ ... (iv).
$(i)$ ને (iv) વડે ભાગતા,આપણને $\frac{T_2 \sin \theta}{T_2 \cos \theta} = \frac{Mg}{\mu Mg}$ મળે છે.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{\mu}$,જેનો અર્થ છે કે $\mu = \cot \theta$.

(B) આપેલ છે,બોક્સનું દળ $m = 50 \ kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.3$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
જ્યારે ટ્રેન $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે બોક્સ પર ટ્રેનના પ્રવેગની વિરુદ્ધ દિશામાં સ્યુડો બળ $F_p = ma$ લાગે છે.
બોક્સ ટ્રેનના ફ્લોર પર સ્થિર રહે તે માટે,ઘર્ષણ બળ $f$ એ આ સ્યુડો બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળ (સીમાંત ઘર્ષણ) $f_{max} = \mu N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N = mg$ એ લંબબળ છે.
આમ,બોક્સ સ્થિર રહે તે માટે,$ma \leq \mu mg$ હોવું જોઈએ.
મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max} = \mu g$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_{max} = 0.3 \times 10 = 3.0 \ m \ s^{-2}$.
તેથી,ટ્રેનનો મહત્તમ પ્રવેગ $3.0 \ m \ s^{-2}$ છે.

(D) બ્લોક પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. લગાડવામાં આવેલ બળ $F$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે નીચેની તરફ લાગે છે.
$3$. લંબબળ $N$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
$4$. ઘર્ષણબળ $f$ સમક્ષિતિજ દિશામાં લાગે છે.
બળ $F$ ના ઘટકો પાડતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F \cos 60^{\circ} = \frac{F}{2}$
શિરોલંબ ઘટક: $F \sin 60^{\circ} = \frac{F \sqrt{3}}{2}$
શિરોલંબ સંતુલન માટે:
$N = mg + F \sin 60^{\circ} = \sqrt{3} \times 10 + \frac{F \sqrt{3}}{2} = 10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}$
સીમાંત ઘર્ષણબળ $f_{max} = \mu N = \frac{1}{2\sqrt{3}} \times (10\sqrt{3} + \frac{F \sqrt{3}}{2}) = 5 + \frac{F}{4}$
બ્લોક ગતિ ન કરે તે માટે,લગાડવામાં આવેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણબળ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ:
$F \cos 60^{\circ} \le f_{max}$
$\frac{F}{2} \le 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} \le 5$
$\frac{F}{4} \le 5$
$F \le 20 \ N$
આમ,બ્લોક ગતિ ન કરે તે માટે $F$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $20 \ N$ છે.

(C) આપેલ છે:
પદાર્થનું દળ,$m = 2 \,kg$
ઢોળાવનો ખૂણો,$\theta = 30^{\circ}$
ઘર્ષણાંક,$\mu = \frac{1}{\sqrt{3}}$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \,ms^{-2}$
પદાર્થને ઢોળાવવાળા સમતલ પર ઉપરની તરફ ગતિ કરાવવા માટે,લાગુ પાડેલ બળ $F$ એ સમતલની નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળના ઘટક $(mg \sin \theta)$ અને ઘર્ષણ બળ $(f_r)$ બંનેને પાર કરવું આવશ્યક છે.
પદાર્થ પર લાગતું લંબબળ $N = mg \cos \theta$ છે.
મર્યાદિત ઘર્ષણ બળ $f_r = \mu N = \mu mg \cos \theta$ છે.
જરૂરી લઘુત્તમ બળ $F$:
$F = mg \sin \theta + f_r$
$F = mg \sin \theta + \mu mg \cos \theta$
$F = mg (\sin \theta + \mu \cos \theta)$
કિંમતો મૂકતા:
$F = 2 \times 10 \times (\sin 30^{\circ} + \frac{1}{\sqrt{3}} \cos 30^{\circ})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2})$
$F = 20 \times (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})$
$F = 20 \times 1 = 20 \,N$

(B) વસ્તુનું વજન $W = mg = 150 \ N$ છે.
વસ્તુને સમક્ષિતિજ સપાટી પર ખસેડવા માટે,લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f_l$ જેટલું હોવું જોઈએ.
સીમાંત ઘર્ષણ બળનું સૂત્ર $f_l = \mu N$ છે,જ્યાં $\mu$ એ ઘર્ષણાંક છે અને $N$ એ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ છે.
સમક્ષિતિજ સપાટી માટે,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ એ વસ્તુના વજન જેટલી હોય છે,તેથી $N = mg = 150 \ N$.
આપેલ છે કે વસ્તુને ખસેડવા માટે જરૂરી બળ $F = 75 \ N$ છે,તેથી:
$F = \mu N$
$75 = \mu \times 150$
$\mu = \frac{75}{150} = 0.5$.
આમ,ઘર્ષણાંકનું મૂલ્ય $0.5$ છે.

(B) ઘર્ષણ વિરુદ્ધ લાગુ પાડેલા બળનો આલેખ દર્શાવે છે કે સ્થિત ઘર્ષણનું મહત્તમ મૂલ્ય (સીમાંત ઘર્ષણ) ગતિ દરમિયાન લાગતા ગતિક ઘર્ષણ કરતા વધારે હોય છે.
સીમાંત ઘર્ષણ $f_{s,max} = \mu_s N$ દ્વારા આપવામાં આવે છે અને ગતિક ઘર્ષણ $f_k = \mu_k N$ છે,જ્યાં $N$ એ લંબબળ છે.
આલેખ પરથી,$f_{s,max} > f_k$.
તેથી,$\mu_s N > \mu_k N$,જેનો અર્થ છે કે $\mu_s > \mu_k$.

(A) બ્લોક સ્થિર રહે તે માટે, લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ.
ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી, લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $R = mg + F \sin 60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે કે $m = \sqrt{3} \,kg$, $g = 10 \,ms^{-2}$, અને $\mu = \frac{1}{2\sqrt{3}}$.
$R = \sqrt{3} \times 10 + F \sin 60^{\circ} = 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2}$.
સીમાંત ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \frac{1}{2\sqrt{3}} \left( 10\sqrt{3} + F \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = \frac{10}{2} + \frac{F}{4} = 5 + \frac{F}{4}$.
લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F \cos 60^{\circ} = F \times \frac{1}{2} = \frac{F}{2}$ છે.
$F$ ના મહત્તમ મૂલ્ય માટે સમક્ષિતિજ બળને સીમાંત ઘર્ષણ સાથે સરખાવતા:
$\frac{F}{2} = 5 + \frac{F}{4}$
$\frac{F}{2} - \frac{F}{4} = 5$
$\frac{F}{4} = 5$
$F = 20 \,N$.

(B) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m = 5 \,kg$,ખેંચાણ બળનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ અને સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = \frac{1}{3}$ છે.
ધારો કે $F$ એ લગાડવામાં આવતું બળ છે. $F$ ના ઘટકો $F \cos \theta$ (સમક્ષિતિજ) અને $F \sin \theta$ (શિરોલંબ ઉપરની તરફ) છે.
લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N = mg - F \sin \theta$ દ્વારા મળે છે.
સીમાંત ઘર્ષણ $f_L = \mu N = \mu(mg - F \sin \theta)$ છે.
પદાર્થને સરકાવવા માટે,બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ જેટલો હોવો જોઈએ: $F \cos \theta = \mu(mg - F \sin \theta)$.
$F$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $F(\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$.
$F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{(1/3) \times 5 \times 10}{\cos 45^{\circ} + (1/3) \sin 45^{\circ}} = \frac{50/3}{\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{3\sqrt{2}}} = \frac{50/3}{\frac{3+1}{3\sqrt{2}}} = \frac{50}{3} \times \frac{3\sqrt{2}}{4} = \frac{50\sqrt{2}}{4} = \frac{25\sqrt{2}}{2} = \frac{25}{\sqrt{2}} \,N$.

(C) પદાર્થને ખસેડવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ સીમાંત સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ જેટલું હોય છે।
$f_s = \mu_s N = \mu_s mg$
અહીં $\mu_s = 0.8$, $m = 4 \,kg$, અને $g = 10 \,ms^{-2}$ આપેલ છે।
$F = 0.8 \times 4 \times 10 = 32 \,N$.
એકવાર પદાર્થ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે, ત્યારે તેના પર ગતિક ઘર્ષણ બળ $f_k$ લાગે છે।
$f_k = \mu_k N = \mu_k mg$
અહીં $\mu_k = 0.6$ આપેલ છે।
$f_k = 0.6 \times 4 \times 10 = 24 \,N$.
પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F - f_k$ છે।
$F_{net} = 32 - 24 = 8 \,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F_{net} = ma$.
$8 = 4 \times a$.
$a = 2 \,ms^{-2}$.

(B) જ્યારે કોઈ વ્યક્તિ ચાલે છે,ત્યારે તે તેના પગ વડે જમીનને પાછળની તરફ (પશ્ચિમ દિશામાં) ધકેલે છે.
ન્યૂટનના ગતિના $3^{rd}$ નિયમ મુજબ,જમીન વ્યક્તિના પગ પર આગળની દિશામાં (પૂર્વ દિશામાં) સમાન અને વિરુદ્ધ બળ લગાડે છે.
ચાલવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન પગ જમીનની સાપેક્ષમાં લપસતો નથી,તેથી અહીં લાગતું ઘર્ષણ સ્થિત ઘર્ષણ છે.
આમ,સ્થિત ઘર્ષણ વ્યક્તિ પર ગતિની દિશામાં એટલે કે પૂર્વ દિશામાં લાગે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $\text{ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ}$ પરથી, પદાર્થ પર લાગતા બળોને સમક્ષિતિજ અને શિરોલંબ ઘટકોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે.
પદાર્થ ગતિ કરવાની તૈયારીમાં હોય ત્યારે, લાગુ પાડેલા બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક ઘર્ષણ બળ $(f)$ ને સંતુલિત કરે છે:
$f = F \cos 45^{\circ}$
$f = 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 28.28 \times 0.707 = 20 \,N$
શિરોલંબ બળો સંતુલનમાં હોવા જોઈએ, તેથી લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(R)$ અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટકનો સરવાળો પદાર્થના વજન $(W = 50 \,N)$ જેટલો થવો જોઈએ:
$R + F \sin 45^{\circ} = 50$
$R = 50 - 28.28 \sin 45^{\circ}$
$R = 50 - 28.28 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 50 - 20 = 30 \,N$
આમ, ઘર્ષણ બળ $20 \,N$ અને લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $30 \,N$ છે.

(B) ધારો કે બ્લોક $A$ નું વજન $W^{\prime}$ છે.
તંત્ર સંતુલનમાં રહે તે માટે,બ્લોક $B$ સાથે જોડાયેલી સમક્ષિતિજ દોરીમાં તણાવ $T_1$ એ સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $T_1 = \mu W$.
હવે,ગાંઠના સંતુલનનો વિચાર કરો. ધારો કે $T_2$ એ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે નમેલી દોરીમાં તણાવ છે,અને $T_3$ એ બ્લોક $A$ સાથે જોડાયેલી ઉર્ધ્વ દોરીમાં તણાવ છે. આમ,$T_3 = W^{\prime}$.
ગાંઠ પરના બળોના ઘટકો લેતા:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $T_2 \cos \theta = T_1 = \mu W$
ઉર્ધ્વ ઘટક: $T_2 \sin \theta = T_3 = W^{\prime}$
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{T_2 \sin \theta}{T_2 \cos \theta} = \frac{W^{\prime}}{\mu W}$
$\tan \theta = \frac{W^{\prime}}{\mu W}$
$W^{\prime} = \mu W \tan \theta$

(A) બ્લોક ગતિની શરૂઆત કરે તે માટે,લાગુ પાડેલા બળ $F$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક સીમાંત ઘર્ષણ બળ જેટલો હોવો જોઈએ.
$1$. બળ $F$ ના ઘટકો પાડો:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $F_{x} = F \cos 30^{\circ}$
શિરોલંબ ઘટક: $F_{y} = F \sin 30^{\circ}$
$2$. લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ નક્કી કરો:
બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળો નીચે મુજબ છે: વજનબળ $mg$ નીચેની તરફ,લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ ઉપરની તરફ અને લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin 30^{\circ}$ ઉપરની તરફ.
$N + F \sin 30^{\circ} = mg$
$N = mg - F \sin 30^{\circ}$
અહીં $m = 10 \ kg$ અને $g = 10 \ ms^{-2}$ આપેલ છે,તેથી $mg = 100 \ N$.
$N = 100 - F \sin 30^{\circ} = 100 - 0.5F$
$3$. ગતિ માટેની શરત લાગુ પાડો:
સીમાંત ઘર્ષણ $f_{L} = \mu_{s} N$ છે.
બ્લોક ત્યારે ગતિ શરૂ કરશે જ્યારે $F \cos 30^{\circ} = \mu_{s} N$ થાય.
$F \cos 30^{\circ} = 0.25(100 - 0.5F)$
$F \frac{\sqrt{3}}{2} = 25 - 0.125F$
$F(0.866 + 0.125) = 25$
$F(0.991) = 25$
$F = \frac{25}{0.991} \approx 25.22 \ N$
આમ,$F \approx 25.2 \ N$ માટે બ્લોક ગતિની શરૂઆત કરશે.

(D) આપેલ છે: બોક્સનું દળ $m = 2 kg$,સ્થિત ઘર્ષણાંક $\mu = 0.2$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 ms^{-2}$.
બોક્સ કારની છત પર સ્થિર રહે તે માટે,બોક્સ પર લાગતું આભાસી બળ (pseudo-force) એ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
મહત્તમ સ્થિત ઘર્ષણ બળ $f_{max} = \mu N = \mu mg$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બોક્સને કાર સાથે પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ $F = ma$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $ma = \mu mg$ મળે છે.
તેથી,$a = \mu g$.
કિંમતો મૂકતા: $a = 0.2 \times 10 = 2 ms^{-2}$.
આમ,કારનો મહત્તમ પ્રવેગ $2 ms^{-2}$ છે.

(A) ધારો કે સમક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $F$ બળ લગાડવામાં આવે છે.
બળોના ઘટકો પાડતા,શિરોલંબ સંતુલન માટે: $N + F \sin \theta = mg$,તેથી $N = mg - F \sin \theta$.
ઘર્ષણ બળને દૂર કરવા માટે જરૂરી સમક્ષિતિજ બળ: $F \cos \theta = f_s = \mu N$.
$N$ ની કિંમત મૂકતા: $F \cos \theta = \mu (mg - F \sin \theta)$.
$F$ ને કર્તા બનાવતા: $F (\cos \theta + \mu \sin \theta) = \mu mg$,જે આપે છે $F = \frac{\mu mg}{\cos \theta + \mu \sin \theta}$.
લઘુત્તમ બળ $F$ શોધવા માટે,છેદ $D = \cos \theta + \mu \sin \theta$ ને મહત્તમ બનાવવો પડે.
$\theta$ ની સાપેક્ષે વિકલન શૂન્ય લેતા: $\frac{dD}{d\theta} = -\sin \theta + \mu \cos \theta = 0$.
આ સૂચવે છે કે $\tan \theta = \mu$.
$\sin \theta = \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}}$ ને $F$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$F_{\min} = \frac{\mu mg}{\frac{1}{\sqrt{1+\mu^2}} + \mu \frac{\mu}{\sqrt{1+\mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\frac{1+\mu^2}{\sqrt{1+\mu^2}}} = \frac{\mu mg}{\sqrt{1+\mu^2}}$.

(B) મર્યાદિત ઘર્ષણ બળ $f_s$ એ બોક્સને ટ્રોલીની સાથે પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ પૂરું પાડે છે.
બોક્સ ટ્રોલીની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહે તે માટે,બોક્સ પર લાગતું આભાસી બળ સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા સંતુલિત થવું જોઈએ.
બોક્સ ટ્રોલી પર સ્થિર રહેવાની શરત છે: $ma \le f_{s, \text{max}}$.
અહીં $f_{s, \text{max}} = \mu N = \mu mg$ હોવાથી,$ma \le \mu mg$ મળે.
આથી,$a \le \mu g$.
આપેલ છે કે $\mu = 0.12$ અને $g = 10 \text{m s}^{-2}$,તેથી મહત્તમ પ્રવેગ $a_{\text{max}} = \mu g = 0.12 \times 10 = 1.2 \text{m s}^{-2}$.
આમ,ટ્રોલીને જે મહત્તમ પ્રવેગથી ગતિ કરાવી શકાય તે $1.2 \text{m s}^{-2}$ છે.