Motion of Body (or Connected Bodies in horizontal or vertical) (by String or Contact) Questions in Gujarati

(A) જ્યારે $6^{th}$ દડો ટેબલ છોડે છે,ત્યારે $6$ દડા ઊભી રીતે લટકે છે અને $4$ દડા આડા ટેબલ પર છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 10m$ છે.
ચાલક બળ $6$ લટકતા દડાઓનું વજન છે,જે $F = 6mg$ છે.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{6mg}{10m} = \frac{3g}{5}$ છે.
$7^{th}$ અને $8^{th}$ દડા વચ્ચેનું તણાવ $T$ શોધવા માટે,આપણે ટેબલ પર રહેલા $3$ દડાઓ $(8^{th}, 9^{th}, 10^{th})$ ની સિસ્ટમને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
આ સિસ્ટમ પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ તણાવ $T$ છે.
આ $3$ દડાઓ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $T = (3m)a$.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $T = 3m \times \frac{3g}{5} = \frac{9mg}{5}$.
અહીં $m = 2 \; kg$ અને $g = 10 \; m/s^2$ લેતા:
$T = \frac{9 \times 2 \times 10}{5} = \frac{180}{5} = 36 \; N$.

(A) ધારો કે દરેક કણનું દળ $m$ છે,કોણીય ઝડપ $\omega$ છે અને દરેક દોરીની લંબાઈ $l$ છે.
બહારના કણ માટે (કેન્દ્રથી $2l$ અંતરે રહેલ $m$ દળ),તણાવ $T_2$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_2 = m(2l)\omega^2 = 2ml\omega^2 \quad \dots (1)$
અંદરના કણ માટે (કેન્દ્રથી $l$ અંતરે રહેલ $m$ દળ),ચોખ્ખું બળ એ $T_1$ અને $T_2$ તણાવ વચ્ચેનો તફાવત છે,જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_1 - T_2 = m(l)\omega^2 = ml\omega^2 \quad \dots (2)$
સમીકરણ $(2)$ ને સમીકરણ $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{T_1 - T_2}{T_2} = \frac{ml\omega^2}{2ml\omega^2} = \frac{1}{2}$
$2(T_1 - T_2) = T_2$
$2T_1 - 2T_2 = T_2$
$2T_1 = 3T_2$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{3}{2}$

(C) દોરી સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T_{\text{max}} = 50 \,kg \times g = 50 \times 9.8 \,N = 490 \,N$ છે.
ધારો કે માણસનું દળ $M = 98 \,kg$ છે અને તેનો નીચે તરફનો પ્રવેગ $a$ છે.
માણસ પર લાગતા બળો તેના વજન $Mg$ (નીચે તરફ) અને તણાવ $T$ (ઉપર તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$Mg - T = Ma$.
દોરી તૂટ્યા વગર માણસ નીચે ઉતરી શકે તે માટે લઘુત્તમ પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $T = T_{\text{max}} = 50 \,g$ લઈએ.
કિંમતો મૂકતા: $98 \,g - 50 \,g = 98 \,a$.
$48 \,g = 98 \,a$.
$a = \frac{48 \times 9.8}{98} = \frac{48}{10} = 4.8 \,m/s^2$.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $M_{\text{total}} = 3\; kg + 5\; kg + 7\; kg = 15\; kg$ છે.
લાગતું બાહ્ય બળ $F = 120\; N$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M_{\text{total}}} = \frac{120}{15} = 8\; m/s^2$ છે.
$7\; kg$ ના દળ માટે,લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ તણાવ $T_2$ છે. તેથી,$T_2 = m_3 \cdot a = 7 \times 8 = 56\; N$.
$5\; kg$ ના દળ માટે,લાગતા બળો $T_1$ (આગળ ખેંચતું) અને $T_2$ (પાછળ ખેંચતું) છે. તેથી,$T_1 - T_2 = m_2 \cdot a$.
$T_1 - 56 = 5 \times 8 = 40$.
$T_1 = 40 + 56 = 96\; N$.
તેથી,$T_1 = 96\; N$ અને $T_2 = 56\; N$ છે.

(A) ધારો કે માણસનું દળ $m$ છે અને તેનું વજન $w = mg$ છે.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા $T_{\max} = \eta w = \eta mg$ આપેલ છે.
જ્યારે માણસ $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T = ma$
દોરડું ન તૂટે તે માટે તણાવ $T$ એ $T_{\max}$ કરતા ઓછું અથવા તેના જેટલું હોવું જોઈએ. સીમાંત કિસ્સામાં જ્યાં દોરડું તૂટવાની તૈયારીમાં હોય,ત્યારે આપણે $T = T_{\max} = \eta mg$ લઈએ છીએ.
આ કિંમત ગતિના સમીકરણમાં મૂકતા:
$mg - \eta mg = ma$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$g(1 - \eta) = a$
આમ,દોરડું ન તૂટે તે માટે માણસનો મહત્તમ પ્રવેગ $a = g(1 - \eta)$ છે.

(D) સળિયાનું કુલ દળ $M = 3.0 \,kg$ અને કુલ લંબાઈ $L = 30 \,cm$ છે.
રેખીય દળ ઘનતા $\lambda = \frac{M}{L} = \frac{3.0 \,kg}{30 \,cm} = 0.1 \,kg/cm$ છે.
$10 \,cm$ ના ભાગનું દળ $m_1 = 0.1 \times 10 = 1.0 \,kg$ છે.
$20 \,cm$ ના ભાગનું દળ $m_2 = 0.1 \times 20 = 2.0 \,kg$ છે.
તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = 32 \,N - 20 \,N = 12 \,N$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F_{\text{net}}}{M} = \frac{12 \,N}{3.0 \,kg} = 4 \,m/s^2$ છે.
ધારો કે $20 \,cm$ ના ભાગ દ્વારા $10 \,cm$ ના ભાગ પર લાગતું બળ $T$ છે. $10 \,cm$ ના ભાગને ધ્યાનમાં લેતા,તેના પર લાગતા બળો $20 \,N$ (ડાબી તરફ) અને $T$ (જમણી તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $T - 20 = m_1 a$.
$T - 20 = 1.0 \times 4$.
$T = 20 + 4 = 24 \,N$.

(C) સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = 1 \, kg + 2 \, kg = 3 \, kg$ છે.
લાગતું બાહ્ય બળ $F = 6 \, N$ છે.
સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{6 \, N}{3 \, kg} = 2 \, m/s^2$ છે.
$2 \, kg$ ના બ્લોક માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ એ $1 \, kg$ ના બ્લોક દ્વારા લાગતું લંબ બળ $N$ છે. તેથી,$2 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{\text{net}, 2kg} = m_2 \cdot a = 2 \, kg \times 2 \, m/s^2 = 4 \, N$ થાય.
$1 \, kg$ ના બ્લોક માટે,તેના પર લાગતા બળો આગળની દિશામાં લાગતું બાહ્ય બળ $F = 6 \, N$ અને પાછળની દિશામાં $2 \, kg$ ના બ્લોક દ્વારા લાગતું પ્રતિક્રિયા બળ $N = 4 \, N$ છે. તેથી,$1 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું ચોખ્ખું બળ $F_{\text{net}, 1kg} = F - N = 6 \, N - 4 \, N = 2 \, N$ થાય.
આમ,$1 \, kg$ અને $2 \, kg$ ના બ્લોક પર લાગતું ચોખ્ખું બળ અનુક્રમે $2 \, N$ અને $4 \, N$ છે.

(C) ડાયનેમોમીટરનું રીડિંગ સ્પ્રિંગમાં ઉદ્ભવતા તણાવબળ $T$ જેટલું હોય છે.
સૌ પ્રથમ,બે બ્લોકના સંયુક્ત તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને પ્રવેગ $a$ શોધો:
$F_{\text{net}} = M_{\text{total}} a$
$50 \, N - 30 \, N = (6 \, kg + 4 \, kg) a$
$20 \, N = 10 \, kg \times a$
$a = 2 \, m/s^2$ ($6 \, kg$ ના બ્લોકની દિશામાં).
હવે,$4 \, kg$ ના બ્લોકનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો તણાવબળ $T$ ($6 \, kg$ ના બ્લોક તરફ ખેંચાતું) અને $30 \, N$ નું બળ (જમણી તરફ ખેંચાતું) છે. તંત્ર ડાબી તરફ પ્રવેગિત થતું હોવાથી:
$T - 30 \, N = 4 \, kg \times 2 \, m/s^2$
$T - 30 \, N = 8 \, N$
$T = 38 \, N$.
વૈકલ્પિક રીતે,$6 \, kg$ ના બ્લોક માટે:
$50 \, N - T = 6 \, kg \times 2 \, m/s^2$
$50 \, N - T = 12 \, N$
$T = 38 \, N$.
આમ,ડાયનેમોમીટરનું રીડિંગ $38 \, N$ છે.

(B) તંત્રમાં $m_1 = 2 \,kg$ અને $m_2 = 3 \,kg$ દળના બે બ્લોક્સ છે જે લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર દોરી વડે જોડાયેલા છે.
પ્રથમ,તંત્રનો પ્રવેગ શોધો. લગાડેલા બળ $F = 10 \,N$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \,N$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 2 \,kg + 3 \,kg = 5 \,kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_x = M a$,તેથી $5 = 5 \times a$,જે આપણને $a = 1 \,m/s^2$ આપે છે.
હવે,$2 \,kg$ ના બ્લોકની મુક્ત પદાર્થ આકૃતિ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ છે.
$2 \,kg$ ના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વાપરતા: $T = m_1 a = 2 \,kg \times 1 \,m/s^2 = 2 \,N$.
આમ,દોરીમાં તણાવ $2 \,N$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,તંત્રનો પ્રવેગ શોધો. કુલ દળ $M = 3 + 2 + 1 = 6\,kg$ છે.
ઢળતી સપાટી પર લાગતા બળો $F_1 = 60\,N$ (ઉપરની તરફ) અને $F_2 = 18\,N$ (નીચેની તરફ) છે.
બધા બ્લોક્સ માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળનો નીચેની તરફનો ઘટક $Mg \sin 30^{\circ} = 6 \times 10 \times 0.5 = 30\,N$ છે.
પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = 60 - 18 - 30 = 12\,N$ છે.
પ્રવેગ $a = \frac{F_{\text{net}}}{M} = \frac{12}{6} = 2\,ms^{-2}$ (ઉપરની તરફ).
હવે,$1\,kg$ ના બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $2\,kg$ અને $1\,kg$ ના બ્લોક્સ વચ્ચેનું લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $N$ છે.
$1\,kg$ ના બ્લોક પર લાગતા બળો $N$ (ઉપરની તરફ),$F_2 = 18\,N$ (નીચેની તરફ),અને $mg \sin 30^{\circ} = 1 \times 10 \times 0.5 = 5\,N$ (નીચેની તરફ) છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ: $N - 18 - 5 = m \times a \implies N - 23 = 1 \times 2 \implies N = 25\,N$.

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = m_A + m_B + m_C = 5 \text{ kg} + 3 \text{ kg} + 2 \text{ kg} = 10 \text{ kg}$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{80 \text{ N}}{10 \text{ kg}} = 8 \text{ m/s}^2$ મળે.
બ્લોક $A$ $(5 \text{ kg})$ માટે,તેના પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ તણાવ $T_1$ છે. તેથી,$T_1 = m_A \times a = 5 \text{ kg} \times 8 \text{ m/s}^2 = 40 \text{ N}$.
બ્લોક $B$ $(3 \text{ kg})$ માટે,તેના પર લાગતા બળો $T_2$ (આગળની તરફ) અને $T_1$ (પાછળની તરફ) છે. તેથી,$T_2 - T_1 = m_B \times a$.
કિંમતો મૂકતા,$T_2 - 40 \text{ N} = 3 \text{ kg} \times 8 \text{ m/s}^2 = 24 \text{ N}$.
આમ,$T_2 = 40 \text{ N} + 24 \text{ N} = 64 \text{ N}$.
તેથી,તણાવ $T_1$ અને $T_2$ અનુક્રમે $40 \text{ N}$ અને $64 \text{ N}$ છે.

(B) આપેલ છે: બળ $F = 10 \,N$, બ્લોક $A$ નું દળ $(m_A) = 2 \,kg$, બ્લોક $B$ નું દળ $(m_B) = 3 \,kg$.
બ્લોક્સ સંપર્કમાં હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી, ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ તંત્રનો પ્રવેગ $(a)$:
$F = (m_A + m_B) a$
$10 = (2 + 3) a$
$10 = 5a$
$a = 2 \,m/s^2$
હવે, બ્લોક $B$ માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. બ્લોક $B$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ એ બ્લોક $A$ દ્વારા લાગતું બળ $(F_{AB})$ છે, જે તેને $2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવે છે:
$F_{AB} = m_B \times a$
$F_{AB} = 3 \,kg \times 2 \,m/s^2 = 6 \,N$
તેથી, બ્લોક $A$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લાગતું બળ $6 \,N$ છે.

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે.
ઢાળ પરના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ: $Mg \sin \theta - T = Ma$
ક્ષૈતિજ સપાટી પરના બ્લોક માટે,ગતિનું સમીકરણ: $T = Ma$
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $Mg \sin \theta = 2Ma$
પ્રવેગ માટે ઉકેલતા: $a = \frac{g \sin \theta}{2}$
$a$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $T = M \left( \frac{g \sin \theta}{2} \right) = \frac{Mg \sin \theta}{2}$

(D) બધી સપાટીઓ લીસી હોવાથી,બે બ્લોક $m_1$ અને $m_2$ વચ્ચે કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
જ્યારે નીચેના બ્લોક $m_1$ પર સમક્ષિતિજ બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે $a = \frac{F}{m_1}$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ કરશે.
સપાટીઓ વચ્ચે ઘર્ષણ ન હોવાથી,ઉપરના બ્લોક $m_2$ પર કોઈ સમક્ષિતિજ બળ સ્થાનાંતરિત થતું નથી.
તેથી,$m_2$ પર લાગતું પરિણામી સમક્ષિતિજ બળ શૂન્ય છે,અને તેનો સમક્ષિતિજ પ્રવેગ શૂન્ય છે.

(C) ધારો કે ટ્રોલીનું દળ $M = 20 \ kg$ અને લટકતા બ્લોકનું દળ $m = 4 \ kg$ છે.
ગતિ કરાવતું બળ એ લટકતા બ્લોકનું વજનબળ છે,$F_{drive} = mg = 4 \times 10 = 40 \ N$.
ટ્રોલી પર લાગતું લંબબળ $N = Mg = 20 \times 10 = 200 \ N$ છે.
ટ્રોલી પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણબળ $f_k = \mu_k N = 0.02 \times 200 = 4 \ N$ છે.
તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_{drive} - f_k = 40 - 4 = 36 \ N$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + m = 20 + 4 = 24 \ kg$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$a = \frac{F_{net}}{M_{total}} = \frac{36}{24} = 1.5 \ ms^{-2}$.

(B) લિફ્ટ પર લાગતા બળો કેબલમાં તણાવ $T$ (ઉપરની તરફ) અને વજન $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ છે.
ઉપરની તરફના પ્રવેગ $a$ માટે,ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ થાય છે.
તણાવ માટે સમીકરણ ગોઠવતા: $T = m(g + a)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $m = 200 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,અને $a = 4 \ m/s^2$.
$T = 200 \times (10 + 4)$.
$T = 200 \times 14$.
$T = 2800 \ N$.

(B) ધારો કે ફાયરમેનનું દળ $m$ છે અને તેનો પ્રવેગ $a$ છે. ફાયરમેનનું વજન $mg$ છે.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા (બ્રેકિંગ સ્ટ્રેન્થ) $\frac{2}{3}mg$ આપેલી છે.
જ્યારે ફાયરમેન $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે,ત્યારે દોરડામાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = m(g - a)$ થાય છે.
દોરડું ન તૂટે તે માટે,તણાવબળ $T$ એ બ્રેકિંગ સ્ટ્રેન્થ જેટલું અથવા તેનાથી ઓછું હોવું જોઈએ.
ન્યૂનતમ પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે તણાવબળને બ્રેકિંગ સ્ટ્રેન્થ સાથે સરખાવીએ:
$m(g - a) = \frac{2}{3}mg$
બંને બાજુ $m$ વડે ભાગતા:
$g - a = \frac{2}{3}g$
$a = g - \frac{2}{3}g = \frac{g}{3}$
તેથી,ન્યૂનતમ પ્રવેગ $\frac{g}{3}$ છે.

(C) આપેલ છે: $m_1 = 6 \ kg$,$m_2 = 4 \ kg$ અને $F = 5 \ N$.
બ્લોક એકબીજાના સંપર્કમાં હોવાથી અને સાથે ગતિ કરતા હોવાથી,તેમનો પ્રવેગ $a$ સમાન હશે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 6 \ kg + 4 \ kg = 10 \ kg$ છે.
આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $F = M \times a$.
$5 \ N = 10 \ kg \times a \implies a = \frac{5}{10} = 0.5 \ m/s^2$.
હલકા બ્લોક $(m_2)$ પર લાગતું બળ એ $6 \ kg$ ના બ્લોક દ્વારા $4 \ kg$ ના બ્લોક પર લાગતું સંપર્ક બળ $F_{12}$ છે.
$4 \ kg$ ના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F_{12} = m_2 \times a$.
$F_{12} = 4 \ kg \times 0.5 \ m/s^2 = 2 \ N$.

(B) પ્રવેગ સાથે ઉપર જતી લિફ્ટ માટે બળનું સમીકરણ $T_{actual} = m(g+a)$ છે.
સુરક્ષિત મુસાફરી માટે,દોરડું સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ $T$ એ વાસ્તવિક તણાવ જેટલું હોવું જોઈએ,તેથી $T = m(g+a)$.
દોરડામાં પ્રતિબળ $\sigma = \frac{T}{A}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $A$ એ દોરડાનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જો દોરડું $d$ વ્યાસ ધરાવતું નળાકાર હોય,તો ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ થાય.
આ કિંમત તણાવના સમીકરણમાં મૂકતા: $T = \frac{m(g+a)}{\pi d^2 / 4} = \frac{4 m(g+a)}{\pi d^2}$.
$d^2$ ને કર્તા બનાવતા,$d^2 = \frac{4 m(g+a)}{\pi T}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,લઘુત્તમ વ્યાસ $d = [\frac{4 m(g+a)}{\pi T}]^{1/2}$ મળે છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 4 \times 10^{7} \,kg$, બળ $F = 5 \times 10^{4} \,N$, પ્રારંભિક વેગ $u = 0$, અંતર $s = 4 \,m$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = ma$:
$5 \times 10^{4} = 4 \times 10^{7} \times a$
$a = \frac{5 \times 10^{4}}{4 \times 10^{7}} = 1.25 \times 10^{-3} \,ms^{-2}$.
ગતિના સમીકરણ $v^{2} = u^{2} + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^{2} = 0^{2} + 2 \times (1.25 \times 10^{-3}) \times 4$
$v^{2} = 2 \times 1.25 \times 4 \times 10^{-3} = 10 \times 10^{-3} = 10^{-2} \,m^{2}s^{-2}$.
$v = \sqrt{10^{-2}} = 0.1 \,ms^{-1}$.

(B) $m$ દળ ધરાવતી લિફ્ટ જ્યારે $a$ જેટલા પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે, ત્યારે તેના પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. કેબલમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ જે ઉપરની દિશામાં લાગે છે。
$2$. લિફ્ટનું વજનબળ $mg$ જે નીચેની દિશામાં લાગે છે。
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ એ દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે $(F_{\text{net}} = ma)$.
લિફ્ટ ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી, તણાવબળ $T$ એ વજનબળ $mg$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ。
તેથી, $T - mg = ma$.
આ સમીકરણને ગોઠવતા, આપણને $T = mg + ma = m(g+a)$ મળે છે.

(B) તંત્રમાં $M$ દળનો બ્લોક અને $m$ દળનું દોરડું એક એકમ તરીકે સાથે ખેંચાય છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,કોઈ ઘર્ષણ બળ લાગતું નથી.
તંત્રનું કુલ દળ $(M + m)$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્ર પર લાગતું બળ $F$ એ કુલ દળ અને પ્રવેગ $a$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$F = (M + m) a$
તેથી,પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{F}{M + m}$

(D) ધારો કે $m_1 = 5 \,kg$ અને $m_2 = 3 \,kg$. સિસ્ટમ $a = 2 \,m/s^2$ ના પ્રવેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
નીચેના દળ $m_2$ $(3 \,kg)$ માટે:
લાગતા બળો તણાવ $T_2$ ઉપરની તરફ અને વજન $m_2 g$ નીચેની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $T_2 - m_2 g = m_2 a$
$T_2 - 3 \times 9.8 = 3 \times 2$
$T_2 - 29.4 = 6$
$T_2 = 35.4 \,N$
ઉપરના દળ $m_1$ $(5 \,kg)$ માટે:
લાગતા બળો તણાવ $T_1$ ઉપરની તરફ, અને તણાવ $T_2$ તથા વજન $m_1 g$ નીચેની તરફ છે.
ગતિનું સમીકરણ: $T_1 - T_2 - m_1 g = m_1 a$
$T_1 - 35.4 - 5 \times 9.8 = 5 \times 2$
$T_1 - 35.4 - 49 = 10$
$T_1 - 84.4 = 10$
$T_1 = 94.4 \,N$

(A) ધારો કે પદાર્થનું દળ $m$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 2 \,m/s$ છે।
જ્યારે પદાર્થ મુક્ત પતન કરે છે, ત્યારે તેનો વેગ $v = 2 \,m/s$ છે।
હવે, પદાર્થ પર ઉપરની તરફ હવાનો અવરોધક બળ $F_{air} = mg$ લાગે છે।
જો હવાનો અવરોધ $2mg$ હોય (જેથી ચોખ્ખું બળ $mg$ ઉપરની તરફ લાગે), તો પ્રતિપ્રવેગ $a = F_{net}/m = (2mg - mg)/m = g = 10 \,m/s^2$ થાય।
સૂત્ર $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $v = 0$, $u = 2 \,m/s$, અને $a = -10 \,m/s^2$:
$0 = (2)^2 + 2(-10)s$
$20s = 4$
$s = 4/20 = 0.2 \,m$.

(B) પ્રશ્ન મુજબ, સિસ્ટમ સંતુલનમાં છે. ધારો કે $m$ દળ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $T$ છે અને $1 \,kg$ દળ સાથે જોડાયેલ દોરીમાં તણાવ $T_1$ છે.
$1 \,kg$ દળ માટે, તણાવ $T_1 = 1g$ થશે.
ઢળતી સપાટી પર રહેલા $2 \,kg$ દળ માટે, ઢાળની દિશામાં લાગતા બળો તેના વજનનો ઘટક $2g \sin 30^{\circ}$ અને ઉપરની તરફ લાગતું તણાવ $T_1$ છે. ઢાળની દિશામાં પરિણામી બળ $(2g - T_1) \sin 30^{\circ}$ છે (ધારી લઈએ કે $2 \,kg$ દળને તણાવ $T$ દ્વારા ઢાળ પર ઉપર ખેંચવામાં આવે છે).
સિસ્ટમ સંતુલનમાં રહે તે માટે, તણાવ $T$ એ ઢાળની દિશામાં લાગતા પરિણામી બળને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$T = (2g - T_1) \sin 30^{\circ}$
$T_1 = 1g$ મૂકતા:
$T = (2g - 1g) \sin 30^{\circ} = g \sin 30^{\circ} = g \times 0.5 = 0.5g$
$m$ દળ માટે, તણાવ $T$ એ તેના વજનને સંતુલિત કરવું જોઈએ:
$T = mg$
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$mg = 0.5g$
$m = 0.5 \,kg$

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{net} = F_2 - F_1 = 7.5t - 4.2t = 3.3t \text{ N}$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m + 2m = 3m$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{net} = Ma$,તેથી $3.3t = (3m)a$,એટલે કે $a = \frac{1.1t}{m}$.
હવે,$2m$ દળના બ્લોકનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતા બળો આગળની દિશામાં $F_2$ અને પાછળની દિશામાં તણાવ $T$ છે.
આ બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $F_2 - T = (2m)a$.
કિંમતો મૂકતા: $7.5t - T = 2m \left( \frac{1.1t}{m} \right) = 2.2t$.
આમ,$T = 7.5t - 2.2t = 5.3t$.
આપેલ છે કે તણાવ $T = 10.6 \text{ N}$,તેથી $5.3t = 10.6$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \frac{10.6}{5.3} = 2 \text{ s}$ મળે છે.

(C) ધારો કે વ્યક્તિનું દળ $m$ છે અને દોરડામાં તણાવ $T$ છે.
દોરડાની તોડવાની ક્ષમતા $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
જ્યારે વ્યક્તિ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $T - mg = ma$ થાય છે.
સુરક્ષિત રીતે ચઢવા માટે,તણાવ $T$ એ તોડવાની ક્ષમતા $T_{max}$ કરતા વધવો જોઈએ નહીં.
તેથી,$T_{max} - mg = ma_{max}$.
સમીકરણમાં $T_{max} = \frac{4}{3} mg$ મૂકતા:
$\frac{4}{3} mg - mg = ma_{max}$.
$\frac{1}{3} mg = ma_{max}$.
તેથી,$a_{max} = \frac{g}{3}$.

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ $M = 18.5 \ kg$
બળ $F = 40 \ N$
દોરડાની લંબાઈ $L = 3 \ m$
દોરડાની રેખીય ઘનતા $\mu = 0.5 \ kg \ m^{-1}$
અંતર $s = 9 \ m$
દોરડાનું દળ $m_r = \mu \times L = 0.5 \times 3 = 1.5 \ kg$
તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = M + m_r = 18.5 + 1.5 = 20 \ kg$
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M_{total}} = \frac{40}{20} = 2 \ m \ s^{-2}$
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$9 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times t^2$
$9 = t^2$
$t = 3 \ s$

(B) તંત્રનું કુલ દળ $M = 40 \ kg + 60 \ kg = 100 \ kg$ છે.
સમગ્ર તંત્ર માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે:
$a = \frac{F}{M} = \frac{1000 \ N}{100 \ kg} = 10 \ m/s^2$.
હવે,$40 \ kg$ ના બ્લોકનો વિચાર કરો. તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $T$ છે.
$40 \ kg$ ના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$T = m_1 \times a$
$T = 40 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 400 \ N$.

(A) સમક્ષિતિજ ગતિ માટે જવાબદાર બળનો ઘટક $F \cos \theta$ છે.
તેથી,સળિયાનો પ્રવેગ $a = \frac{F \cos \theta}{m}$ છે.
પ્રવેગ $a = v \frac{d v}{d x}$ હોવાથી,આપણી પાસે છે:
$v \frac{d v}{d x} = \frac{F \cos \theta}{m}$
આપેલ છે કે $\theta = k x$,તેથી $d \theta = k d x$,અથવા $d x = \frac{d \theta}{k}$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$v d v = \frac{F \cos \theta}{m} \cdot \frac{d \theta}{k}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા,પ્રારંભિક શરતો $v = 0$ જ્યારે $\theta = 0$:
$\int_{0}^{v} v d v = \frac{F}{m k} \int_{0}^{\theta} \cos \theta d \theta$
$\frac{v^2}{2} = \frac{F}{m k} [\sin \theta]_{0}^{\theta}$
$\frac{v^2}{2} = \frac{F \sin \theta}{m k}$
$v^2 = \frac{2 F \sin \theta}{m k}$
$v = \sqrt{\frac{2 F \sin \theta}{m k}}$

(B) ધારો કે $F$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$M$ દળનો ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$M g - F = M a \Rightarrow F = M g - M a$ ...$(i)$
બીજા કિસ્સામાં,$M^{\prime}$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે,તેથી નવું દળ $(M - M^{\prime})$ થાય છે. હવે ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર ચઢે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$F - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $F$ ની કિંમત મૂકતા:
$(M g - M a) - (M - M^{\prime}) g = (M - M^{\prime}) a$
$M g - M a - M g + M^{\prime} g = M a - M^{\prime} a$
$M^{\prime} g + M^{\prime} a = M a + M a$
$M^{\prime} (g + a) = 2 M a$
$M^{\prime} = \frac{2 M a}{g + a}$

(B) ધારો કે જ્યારે બળ $F$ લગાડવામાં આવે છે ત્યારે બ્લોક્સની સિસ્ટમનો સામાન્ય પ્રવેગ $a$ છે.
સમગ્ર સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ:
$F = (M_P + M_Q) a$
$\Rightarrow a = \frac{F}{M_P + M_Q}$
હવે,બ્લોક $Q$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ ધ્યાનમાં લો. બ્લોક $Q$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ એ બ્લોક $P$ દ્વારા લગાડવામાં આવતું સંપર્ક બળ $R$ છે.
બ્લોક $Q$ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$R = M_Q a$
$a$ ની કિંમત મૂકતા:
$R = M_Q \left( \frac{F}{M_P + M_Q} \right)$
$R = \frac{M_Q F}{M_P + M_Q}$

(A) આપેલ છે:
બ્લોકનું દળ $(M) = 48 \ kg$
દોરડાની રેખીય ઘનતા $(\lambda) = 0.5 \ kg \ m^{-1}$
દોરડાની લંબાઈ $(l) = 4 \ m$
લાગતું બળ $(F) = 25 \ N$
દોરડાનું દળ $(m_s) = \lambda \times l = 0.5 \times 4 = 2 \ kg$
તંત્રનું કુલ દળ $(m_{total}) = M + m_s = 48 + 2 = 50 \ kg$
તંત્રનો ચોખ્ખો પ્રવેગ $(a_{sys}) = \frac{F}{m_{total}} = \frac{25}{50} = 0.5 \ m \ s^{-2}$
ધારો કે દોરડાના છેડા અને બ્લોકને જોડતા બિંદુ પર તણાવબળ $T$ છે.
બ્લોકના ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ પરથી:
$T = M \times a_{sys} = 48 \times 0.5 = 24 \ N$
આમ,બ્લોક પર લાગતું બળ $24 \ N$ છે.

(B) ધારો કે બે છોકરાઓના મહત્તમ પ્રવેગ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે.
દોરડામાં કુલ તણાવ $T$ એ $60 \,kg$-wt થી વધવું જોઈએ નહીં.
દોરડા પર ચઢતા બે છોકરાઓ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T = m_1(g + a_1) + m_2(g + a_2)$
અહીં $T = 60 \,kg$-wt,$m_1 = 20 \,kg$,અને $m_2 = 30 \,kg$ આપેલ છે:
$60g = 20(g + a_1) + 30(g + a_2)$
$60g = 20g + 20a_1 + 30g + 30a_2$
$60g = 50g + 20a_1 + 30a_2$
$10g = 20a_1 + 30a_2$
$10$ વડે ભાગતા:
$g = 2a_1 + 3a_2$
મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે દરેક છોકરા માટેની વ્યક્તિગત મર્યાદાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. જો ફક્ત એક જ છોકરો ચઢતો હોય,તો મહત્તમ પ્રવેગ $a = (T/m) - g$ થાય. છોકરા $1$ માટે: $a_{1,max} = (60/20)g - g = 2g$. છોકરા $2$ માટે: $a_{2,max} = (60/30)g - g = g$.
તેથી,તેમના વ્યક્તિગત મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર $2g : g = 2 : 1$ થાય છે.

(B) ધારો કે દરેક ગોળાનું દળ $m = 200 \text{ g} = 0.2 \text{ kg}$ છે.
દોરીની કુલ લંબાઈ $L = 1 \text{ m}$ છે.
$P$ એ મધ્યબિંદુ હોવાથી,અંતર $OP = 0.5 \text{ m}$ અને $PQ = 0.5 \text{ m}$ થશે.
ધારો કે $\omega$ એ અચળ કોણીય ઝડપ છે.
$1$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T_1$ એ ગોળા $Q$ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_1 = m \cdot r_Q \cdot \omega^2 = m \cdot L \cdot \omega^2 = 0.2 \cdot 1 \cdot \omega^2 = 0.2 \omega^2$.
$2$. $O$ અને $P$ વચ્ચેની દોરીમાં તણાવ $T_2$ એ બંને ગોળાઓ $P$ અને $Q$ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_2 = m \cdot r_P \cdot \omega^2 + T_1 = m \cdot (0.5) \cdot \omega^2 + 0.2 \omega^2 = 0.2 \cdot 0.5 \cdot \omega^2 + 0.2 \omega^2 = 0.1 \omega^2 + 0.2 \omega^2 = 0.3 \omega^2$.
$3$. $P$ અને $Q$ વચ્ચેના તણાવ અને $P$ અને $O$ વચ્ચેના તણાવનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{0.2 \omega^2}{0.3 \omega^2} = \frac{2}{3}$.

(C) ધારો કે $R$ એ ફુગ્ગા પર લાગતું ઉપરની તરફનું ઉત્પ્લાવક બળ છે.
કિસ્સો $1$: ફુગ્ગો $a_0$ પ્રવેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
ગતિનું સમીકરણ: $Mg - R = Ma_0$ ....$(i)$
કિસ્સો $2$: $m$ દળ દૂર કર્યા પછી,ફુગ્ગો $2a_0$ પ્રવેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે.
ગતિનું સમીકરણ: $R - (M - m)g = (M - m)(2a_0)$ ....(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$(Mg - R) + (R - (M - m)g) = Ma_0 + (M - m)(2a_0)$
$Mg - Mg + mg = Ma_0 + 2Ma_0 - 2ma_0$
$mg = 3Ma_0 - 2ma_0$
$mg + 2ma_0 = 3Ma_0$
$m(g + 2a_0) = 3Ma_0$
$m = \frac{3Ma_0}{g + 2a_0}$

(A) સૌ પ્રથમ,સમગ્ર તંત્રને એક ગણીએ. તંત્રનું કુલ દળ $(m_1 + m_2)$ છે.
સપાટી લીસી હોવાથી,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ તંત્રનો પ્રવેગ $(a)$ નીચે મુજબ મળે: $a = \frac{F}{m_1 + m_2}$.
હવે,$m_1$ દળ માટે ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ વિચારીએ. $m_1$ પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ દોરીમાં રહેલું તણાવબળ $(T)$ છે.
$m_1$ દળ માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વાપરતા: $T = m_1 \times a$.
પ્રવેગ $(a)$ ની કિંમત મૂકતા: $T = m_1 \times \left(\frac{F}{m_1 + m_2}\right)$.
તેથી,દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T = \left(\frac{m_1}{m_1 + m_2}\right) F$ છે.

(A) સૌ પ્રથમ,ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરીને બ્લોક $A$ નું દળ શોધો: $F = m_A a \Rightarrow 10 = m_A \times 20 \Rightarrow m_A = 0.5 \,kg$.
જ્યારે બ્લોક $A$ ને બ્લોક $B$ ની સામે રાખવામાં આવે અને $F^{\prime} = 20 \,N$ નું બળ લગાડવામાં આવે,ત્યારે બંને બ્લોક એકસાથે સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરે છે।
બ્લોક $A$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $F^{\prime} - N = m_A a \Rightarrow 20 - N = 0.5 a$ $(i)$.
બ્લોક $B$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $N = m_B a \Rightarrow N = 1.5 a$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા: $20 = 2 a \Rightarrow a = 10 \,m/s^2$.
સમીકરણ $(ii)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા: $N = 1.5 \times 10 = 15 \,N$.
આમ,બ્લોક $B$ પર લાગતું બળ $15 \,N$ છે.

(C) આપેલ તંત્ર માટે,ધારો કે બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ છે અને દોરીમાં તણાવ $T$ છે.
ક્ષૈતિજ દિશામાં ગતિ કરતા દળ $m_1$ માટે: $T = m_1 a$
શિરોલંબ નીચેની દિશામાં ગતિ કરતા દળ $m_2$ માટે: $m_2 g - T = m_2 a$
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $m_2 g = (m_1 + m_2) a$
તેથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{m_2 g}{m_1 + m_2}$ મળે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2ah$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને સ્થાનાંતર $h$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \left( \frac{m_2 g}{m_1 + m_2} \right) h$
$v = \sqrt{\left( \frac{m_2}{m_1 + m_2} \right) 2 g h}$.

(C) લિફ્ટનું દળ,$m = 500 \,kg$.
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 2 \,m/s^2$ (ઉપરની તરફ).
જ્યારે લિફ્ટ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે કેબલમાં તણાવ બળ $T$ માટે ગતિનું સમીકરણ: $T - mg = ma$.
તેથી,$T = m(g + a) = 500(10 + 2) = 500(12) = 6000 \,N$.
તણાવ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = T \times s$ છે,જ્યાં $s = 12 \,m$ સ્થાનાંતર છે.
$W = 6000 \,N \times 12 \,m = 72000 \,J$.
કિલોજૂલમાં ફેરવતા,$W = 72 \,kJ$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 1 \ kg$,પ્રવેગ $a = 4.9 \ ms^{-2}$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 9.8 \ ms^{-2}$.
$(i)$ જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ લઈ જવામાં આવે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$T_1 - mg = ma$
$T_1 = m(g + a) = 1 \times (9.8 + 4.9) = 14.7 \ N$
(ii) જ્યારે પદાર્થને $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ લાવવામાં આવે,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ:
$mg - T_2 = ma$
$T_2 = m(g - a) = 1 \times (9.8 - 4.9) = 4.9 \ N$
પ્રથમ અને બીજા કિસ્સામાં તણાવનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{14.7}{4.9} = \frac{3}{1} = 3:1$

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = m + 2m + 3m = 6m$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{6m}$ છે.
$N_{1}$ શોધવા માટે,$2m$ અને $3m$ દળના બ્લોક્સની ગતિને એકસાથે ધ્યાનમાં લો. બળ $N_{1}$ આ બે બ્લોક્સને ધકેલે છે:
$N_{1} = (2m + 3m)a = 5m \times \frac{F}{6m} = \frac{5}{6}F$.
$N_{2}$ શોધવા માટે,માત્ર $3m$ દળના બ્લોકની ગતિને ધ્યાનમાં લો. બળ $N_{2}$ આ બ્લોકને ધકેલે છે:
$N_{2} = (3m)a = 3m \times \frac{F}{6m} = \frac{3}{6}F = \frac{1}{2}F$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે $F = \frac{6}{6}F$,$N_{1} = \frac{5}{6}F$,અને $N_{2} = \frac{3}{6}F$.
તેથી,$F > N_{1} > N_{2}$.

(B) તંત્રનું કુલ દળ $M = 4 \ kg + 2 \ kg + 1 \ kg = 7 \ kg$ છે.
સપાટી ઘર્ષણરહિત હોવાથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{14 \ N}{7 \ kg} = 2 \ m/s^2$ મળે.
$4 \ kg$ અને $2 \ kg$ ના બ્લોક વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $N$ શોધવા માટે,આપણે $2 \ kg$ અને $1 \ kg$ ના બ્લોકના સંયુક્ત તંત્ર (કુલ દળ $m' = 3 \ kg$) ની ગતિનો વિચાર કરીએ.
આ $3 \ kg$ ના સંયુક્ત તંત્ર પર લાગતું એકમાત્ર સમક્ષિતિજ બળ $N$ છે,જે તેને $2 \ m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવે છે.
તેથી,$N = m' \times a = 3 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 6 \ N$.

(B) પગલું $1$: તંત્રનો સામાન્ય પ્રવેગ શોધો.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 2 \,kg + 1 \,kg = 3 \,kg$ છે.
લગાડવામાં આવેલ બળ $F = 3 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ, $F = Ma$:
$a = \frac{F}{M} = \frac{3 \,N}{3 \,kg} = 1 \,m/s^2$.
પગલું $2$: બ્લોક્સ વચ્ચેનું સંપર્ક બળ શોધો.
$1 \,kg$ ના બ્લોકને ધ્યાનમાં લો. તેના પર લાગતું એકમાત્ર આડું બળ એ $2 \,kg$ ના બ્લોક દ્વારા લગાડવામાં આવતું સંપર્ક બળ $N_1$ છે.
$1 \,kg$ ના બ્લોક માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ વાપરતા:
$N_1 = m_2 \times a = 1 \,kg \times 1 \,m/s^2 = 1 \,N$.
તેથી, બે બ્લોક વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $1 \,N$ છે.

(D) આપેલ છે: દળ $m = 100 \text{ g} = 0.1 \text{ kg}$,બળ $\vec{F} = (5\hat{i} + 10\hat{j}) \text{ N}$,સમય $t = 2 \text{ s}$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{5\hat{i} + 10\hat{j}}{0.1} = (50\hat{i} + 100\hat{j}) \text{ m/s}^2$.
ગતિના સમીકરણ $\vec{r} = \vec{u}t + \frac{1}{2}\vec{a}t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = 0 + \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(2)^2 = \frac{1}{2}(50\hat{i} + 100\hat{j})(4) = 2(50\hat{i} + 100\hat{j}) = (100\hat{i} + 200\hat{j}) \text{ m}$.
આને આપેલ સ્થાન $(2x\hat{i} + 5y\hat{j}) \text{ m}$ સાથે સરખાવતા:
$2x = 100 \Rightarrow x = 50$.
$5y = 200 \Rightarrow y = 40$.
તેથી,ગુણોત્તર $x : y = 50 : 40 = 5 : 4$ થાય.