Motion of Body (or Connected Bodies in horizontal or vertical) (by String or Contact) Questions in Gujarati

(C) તંત્રનું કુલ દળ $M = m_{\text{rope}} + m_{\text{box}} = 1.0 \ kg + 2.0 \ kg = 3.0 \ kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{6 \ N}{3.0 \ kg} = 2 \ m/s^2$ છે.
દોરડાના મધ્યબિંદુ પર તણાવ શોધવા માટે,બોક્સ અને તેની સાથે જોડાયેલા દોરડાના અડધા ભાગને એક તંત્ર તરીકે ગણો.
આ ભાગનું દળ $m' = m_{\text{box}} + \frac{1}{2} m_{\text{rope}} = 2.0 \ kg + 0.5 \ kg = 2.5 \ kg$ છે.
આ ભાગ પર ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા,મધ્યબિંદુ પર તણાવ $T = m' \times a$ મળે.
$T = 2.5 \ kg \times 2 \ m/s^2 = 5 \ N$.

(B) બ્લોક પર શિરોલંબ દિશામાં લાગતા બળો લંબબળ $N$ (ઉપરની તરફ),લાગુ પાડેલા બળનો શિરોલંબ ઘટક $F \sin 37^{\circ}$ (ઉપરની તરફ) અને વજનબળ $mg$ (નીચેની તરફ) છે.
શિરોલંબ સંતુલન માટેનું સમીકરણ:
$N + F \sin 37^{\circ} = mg$
$N = mg - F \sin 37^{\circ}$
જ્યારે લંબબળ $N$ શૂન્ય થાય ત્યારે બ્લોક સપાટી સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે.
$N = 0$ લેતા:
$0 = mg - F \sin 37^{\circ}$
$mg = F \sin 37^{\circ}$
અહીં $m = 10 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,$F = 10t$,અને $\sin 37^{\circ} = 3/5$ આપેલ છે:
$10 \times 10 = (10t) \times (3/5)$
$100 = 6t$
$t = 100/6 = 50/3 \, \text{s}$

(A) ધારો કે $B$ થી પ્રથમ કણનું અંતર $r$ છે અને બે કણો વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે. ધારો કે $\omega$ એ તંત્રનો કોણીય વેગ છે.
દોરડાના બહારના ભાગમાં (બે કણોની વચ્ચે) તણાવ $T_2$ છે. આ તણાવ છેડા $A$ પરના કણ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_2 = m \omega^2 (r + 2r) = 3m \omega^2 r$
દોરડાના અંદરના ભાગમાં ( $B$ અને વચ્ચેના કણની વચ્ચે) તણાવ $T_1$ છે. આ તણાવ બંને કણો માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_1 = T_2 + m \omega^2 r$
$T_1 = 3m \omega^2 r + m \omega^2 r = 4m \omega^2 r$
નાના ભાગમાં તણાવ $(T_1)$ અને મોટા ભાગમાં તણાવ $(T_2)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{4m \omega^2 r}{3m \omega^2 r} = \frac{4}{3}$

(B) ધારો કે દરેક ગોળાનું દળ $m$ છે. $O$ થી $Q$ નું અંતર $r_Q = OP + PQ = 1\, m + 1\, m = 2\, m$ છે. $O$ થી $P$ નું અંતર $r_P = OP = 1\, m$ છે.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેની દોરીમાં રહેલું તણાવ $T_1$ એ ગોળા $Q$ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_1 = m r_Q \omega^2 = m(2)\omega^2 = 2m\omega^2$.
$O$ અને $P$ વચ્ચેની દોરીમાં રહેલું તણાવ $T_2$ એ બંને ગોળાઓ $P$ અને $Q$ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવું જોઈએ:
$T_2 = m r_P \omega^2 + T_1 = m(1)\omega^2 + 2m\omega^2 = 3m\omega^2$.
તણાવનો ગુણોત્તર:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{2m\omega^2}{3m\omega^2} = \frac{2}{3}$.

(B) આ તંત્ર ત્રણ બ્લોકનું બનેલું છે જે હલકા દોરડા દ્વારા જોડાયેલા છે અને એક લીસી આડી સપાટી પર એક એકમ તરીકે સાથે ગતિ કરે છે.
ધારો કે દળ $m_1 = 4\, kg$,$m_2 = 8\, kg$,અને $m_3 = 24\, kg$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3 = 4 + 8 + 24 = 36\, kg$ છે.
તંત્ર $a = 2\, m/s^2$ ના સામાન્ય પ્રવેગ સાથે ગતિ કરી રહ્યું છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ $F$ એ તંત્રના કુલ દળ અને તેના પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$F = M \times a$
$F = 36\, kg \times 2\, m/s^2 = 72\, N$.
તેથી,લાગુ પાડેલ બળ $F$ એ $72\, N$ છે.

(A) ટેબલ પર કુલ $10$ સિક્કાઓ એકબીજાની ઉપર ગોઠવેલા છે.
આપણે $6^{th}$ સિક્કાનું $7^{th}$ સિક્કા પરનું પ્રતિક્રિયા બળ શોધવાનું છે.
ન્યૂટનના ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$6^{th}$ સિક્કાનું $7^{th}$ સિક્કા પરનું પ્રતિક્રિયા બળ એ $7^{th}$ સિક્કા દ્વારા $6^{th}$ સિક્કા પર લાગતા બળ જેટલું જ હોય છે.
$6^{th}$ સિક્કો તેની ઉપર રહેલા તમામ સિક્કાઓનું વજન સહન કરે છે,જે $7^{th}, 8^{th}, 9^{th}$ અને $10^{th}$ સિક્કા છે.
$6^{th}$ સિક્કાની ઉપર રહેલા સિક્કાઓની કુલ સંખ્યા $= 10 - 6 = 4$ સિક્કા છે.
તેથી,$6^{th}$ સિક્કા દ્વારા સહન કરવામાં આવતું કુલ દળ $4m$ છે.
આમ,$7^{th}$ સિક્કા દ્વારા $6^{th}$ સિક્કા પર લાગતું બળ (અને પરિણામે $6^{th}$ સિક્કાનું $7^{th}$ સિક્કા પરનું પ્રતિક્રિયા બળ) $4mg$ થાય છે.

(C) ધારો કે પદાર્થનું દળ $M$ છે અને પ્રવેગ $a = g/4$ નીચેની તરફ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $Mg - T = Ma$,જ્યાં $T$ એ દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ છે.
$a$ ની કિંમત મૂકતા: $Mg - T = M(g/4)$.
$T$ માટે ઉકેલતા: $T = Mg - Mg/4 = \frac{3}{4}Mg$.
સ્થાનાંતર $h$ નીચેની તરફ છે,જ્યારે તણાવબળ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે.
તેથી,બળ $T$ અને સ્થાનાંતર $h$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_T = T \cdot h \cdot \cos(180^{\circ})$ થશે.
$W_T = (\frac{3}{4}Mg) \cdot h \cdot (-1) = -\frac{3}{4}Mgh$.

(A) તંત્રમાં $m_1 = 4 \text{ kg}$ અને $m_2 = 6 \text{ kg}$ દળના બે બ્લોક્સ છે જે લીસી સમક્ષિતિજ સપાટી પર દોરી વડે જોડાયેલા છે.
$6 \text{ kg}$ ના બ્લોક પર સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે $F = 40 \text{ N}$ નું બળ લગાડવામાં આવે છે.
બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F_x = F \cos 60^{\circ} = 40 \times 0.5 = 20 \text{ N}$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F_x}{m_1 + m_2} = \frac{20}{4 + 6} = \frac{20}{10} = 2 \text{ m/s}^2$ મળે છે.
દોરીમાં રહેલું તણાવ $T$ એ $4 \text{ kg}$ ના બ્લોકને ખેંચે છે,તેથી $T = m_1 a = 4 \times 2 = 8 \text{ N}$ થાય.

(C) બધા બ્લોક સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરશે.
જમણી બાજુના બે બ્લોક ($4 \ kg$ અને $2 \ kg$) ધ્યાનમાં લો જે $6 \ N$ તણાવ ધરાવતી દોરીથી જોડાયેલા છે.
$4 \ kg$ અને $2 \ kg$ ના તંત્ર માટે: $T = (m_1 + m_2) \times a$.
$6 = (4 + 2) \times a \Rightarrow 6 = 6a \Rightarrow a = 1 \ m/s^2$.
હવે,ચારેય બ્લોકના સમગ્ર તંત્ર માટે (દળ $8 \ kg, 6 \ kg, 4 \ kg, 2 \ kg$):
કુલ દળ $M = 8 + 6 + 4 + 2 = 20 \ kg$.
ખેંચાણ બળનો સમક્ષિતિજ ઘટક $F \cos 60^{\circ}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $F \cos 60^{\circ} = M \times a$.
$F \times (1/2) = 20 \times 1$.
$F/2 = 20 \Rightarrow F = 40 \ N$.

(A) બંને કિસ્સાઓમાં,તંત્રનું કુલ દળ $M = m + 2m = 3m$ છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{3m}$ છે.
કિસ્સો $1$: બળ $F$ એ $2m$ દળના બ્લોક પર લગાડવામાં આવે છે. સંપર્ક બળ $N_1$ એ $m$ દળના બ્લોક પર લાગે છે,જે તેને પ્રવેગિત કરે છે. તેથી,$N_1 = m \cdot a = m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{F}{3}$.
કિસ્સો $2$: બળ $F$ એ $m$ દળના બ્લોક પર લગાડવામાં આવે છે. સંપર્ક બળ $N_2$ એ $2m$ દળના બ્લોક પર લાગે છે,જે તેને પ્રવેગિત કરે છે. તેથી,$N_2 = 2m \cdot a = 2m \cdot \frac{F}{3m} = \frac{2F}{3}$.
તેથી,સંપર્ક બળોનો ગુણોત્તર $N_1 : N_2 = \frac{F}{3} : \frac{2F}{3} = 1 : 2$ થાય છે.

(C) તંત્રનું કુલ દળ $M = m_{\text{rope}} + m_{\text{box}} = 1.0\, kg + 2.0\, kg = 3.0\, kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{6\, N}{3.0\, kg} = 2\, m/s^2$ છે.
દોરડાના મધ્યબિંદુએ તણાવબળ શોધવા માટે,આપણે બોક્સ અને તેની સાથે જોડાયેલા દોરડાના અડધા ભાગને એક તંત્ર તરીકે ગણીએ છીએ. આ ભાગનું દળ $m' = m_{\text{box}} + \frac{1}{2} m_{\text{rope}} = 2.0\, kg + 0.5\, kg = 2.5\, kg$ છે.
મધ્યબિંદુએ તણાવબળ $T$ એ આ સંયુક્ત દળ $m'$ ને $a = 2\, m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ છે.
$T = m' \times a = 2.5\, kg \times 2\, m/s^2 = 5\, N$.

(B) જ્યારે લંબબળ $N$ શૂન્ય થાય ત્યારે બ્લોક સપાટી સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે છે.
બ્લોક પર લાગતા શિરોલંબ બળોને ધ્યાનમાં લેતા:
$N + F \sin 37^{\circ} = mg$
તેથી,લંબબળ નીચે મુજબ મળે છે:
$N = mg - F \sin 37^{\circ}$
બ્લોક સંપર્ક ગુમાવે તે માટે $N = 0$ હોવું જોઈએ,જે સૂચવે છે કે:
$mg = F \sin 37^{\circ}$
અહીં $m = 10 \, kg$,$g = 10 \, m/s^2$,અને $F = 10t$ આપેલ છે:
$10 \times 10 = (10t) \times \sin 37^{\circ}$
$\sin 37^{\circ} \approx 3/5$ લેતા:
$100 = 10t \times (3/5)$
$100 = 6t$
$t = 100/6 = 50/3 \, s$

(B) આધાર દોરી અને તેની સાથે જોડાયેલ બ્લોક બંનેને પકડી રાખે છે.
આધાર દ્વારા આધારિત કુલ દળ એ દોરીનું દળ $(m_s = 1 \, kg)$ અને બ્લોકનું દળ $(m_b = 1 \, kg)$ નો સરવાળો છે.
કુલ દળ $M = m_s + m_b = 1 \, kg + 1 \, kg = 2 \, kg$.
આધાર દ્વારા લાગતું બળ એ લટકાવેલ કુલ દળના વજન જેટલું હોય છે.
બળ $F = M \times g = 2 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 20 \, N$.

(A) ધારો કે $m_1 = 12\,kg$ અને $m_2 = 8\,kg$. પ્રવેગ $a = 2.2\,m/s^2$ છે.
નીચેના પદાર્થ $(m_2 = 8\,kg)$ માટે:
લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T_2$ અને નીચેની તરફ વજન $m_2g$ છે.
$T_2 - m_2g = m_2a$
$T_2 - 8(9.8) = 8(2.2)$
$T_2 - 78.4 = 17.6$
$T_2 = 96\,N$
બંને પદાર્થોના તંત્ર $(m_1 + m_2 = 20\,kg)$ માટે:
લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T_1$ અને નીચેની તરફ કુલ વજન $(m_1+m_2)g$ છે.
$T_1 - (m_1+m_2)g = (m_1+m_2)a$
$T_1 - 20(9.8) = 20(2.2)$
$T_1 - 196 = 44$
$T_1 = 240\,N$
આમ,$T_1 = 240\,N$ અને $T_2 = 96\,N$ મળે છે.

(B) પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,સૌપ્રથમ સમગ્ર તંત્રને એક પદાર્થ તરીકે ગણો.
તંત્રનું કુલ દળ $M = 7\,kg + 4\,kg + 5\,kg = 16\,kg$ છે.
ઉપરની તરફ લાગતું કુલ બળ $F = 200\,N$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ લાગતું કુલ બળ $Mg = 16 \times 10 = 160\,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F_{net} = Ma$:
$200 - 160 = 16a$
$40 = 16a$
$a = \frac{40}{16} = 2.5\,m/s^2$.
હવે,બિંદુ $P$ (દોરડાનો ઉપરનો ભાગ) પર તણાવ $T$ શોધવા માટે,$5\,kg$ ના બ્લોક અને $4\,kg$ ના દોરડાના બનેલા તંત્રને ધ્યાનમાં લો.
બિંદુ $P$ ની નીચેનું કુલ દળ $m' = 5\,kg + 4\,kg = 9\,kg$ છે.
આ સબ-સિસ્ટમ પર લાગતા બળો ઉપરની તરફ તણાવ $T$ અને નીચેની તરફ વજન $m'g$ છે.
આ સબ-સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$T - m'g = m'a$
$T - (9 \times 10) = 9 \times 2.5$
$T - 90 = 22.5$
$T = 90 + 22.5 = 112.5\,N$.

(C) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. બ્લોક્સ એક જ દોરી વડે જોડાયેલા હોવાથી,બંને બ્લોક્સ સમાન મૂલ્યનો પ્રવેગ $a$ ધરાવશે.
ઢાળ પરના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ:
$M g \sin \theta - T = M a$ ---$(1)$
સમક્ષિતિજ સપાટી પરના બ્લોક માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T = M a$ ---$(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$M g \sin \theta = 2 M a$
$a = \frac{g \sin \theta}{2}$
સમીકરણ $(2)$ માં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = M \left( \frac{g \sin \theta}{2} \right) = \frac{M g \sin \theta}{2}$

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M = M_1 + M_2 + M_{rod} = 20 + 12 + 8 = 40\,kg$ છે.
તંત્રનો ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} - g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $g = 10\,m/s^2$ લેતા:
$a = \frac{480}{40} - 10 = 12 - 10 = 2\,m/s^2$.
સળિયાના મધ્યબિંદુએ તણાવબળ $T$ શોધવા માટે,આપણે તંત્રના નીચેના ભાગનું ફ્રી-બોડી ડાયાગ્રામ વિચારીએ,જેમાં બ્લોક $M_2$ અને સળિયાનો અડધો ભાગ $(4\,kg)$ સમાવિષ્ટ છે:
$T - (M_2 + M_{rod}/2)g = (M_2 + M_{rod}/2)a$
$T = (M_2 + M_{rod}/2)(g + a)$
$T = (12 + 4)(10 + 2) = 16 \times 12 = 192\,N$.

(D) આપેલ છે: કારનું દળ $m = 1000\,kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 30\,m/s$,અંતિમ વેગ $v = 0\,m/s$,અવરોધક બળ $F = 5000\,N$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રતિપ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{5000}{1000} = 5\,m/s^2$.
આ પ્રતિપ્રવેગ હોવાથી,પ્રવેગ $-5\,m/s^2$ લેવામાં આવે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2ad$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 - (30)^2 = 2(-5)d$
$-900 = -10d$
$d = 90\,m$.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = 30 + (-5)t$
$5t = 30$
$t = 6\,s$.
આમ,$d = 90\,m$ અને $t = 6\,s$.

(B) $1$. પ્લેટફોર્મ $a = g/2$ ના પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે.
$2$. બ્લોક પર લાગતું લંબબળ $N$ ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ શોધી શકાય: $N - mg = ma$.
$3$. $a = g/2$ મૂકતા,આપણને $N = mg + m(g/2) = 3mg/2$ મળે છે.
$4$. સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $t$ સમયમાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $s = \frac{1}{2}at^2 = \frac{1}{2}(g/2)t^2 = \frac{gt^2}{4}$ થાય.
$5$. લંબબળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = N \cdot s = (3mg/2) \cdot (gt^2/4) = \frac{3mg^2t^2}{8}$ છે.

(B) ત્રણેય બ્લોકનું કુલ દળ: $M = 5 \text{ kg} + 2 \text{ kg} + 1 \text{ kg} = 8 \text{ kg}$.
બ્લોકનો પ્રવેગ: $a = \frac{F}{M} = \frac{16 \text{ N}}{8 \text{ kg}} = 2 \text{ m/s}^2$.
ધારો કે $N_{AB}$ એ બ્લોક $A$ દ્વારા $B$ પર લાગતું બળ છે અને $N_{BC}$ એ બ્લોક $B$ દ્વારા $C$ પર લાગતું બળ છે.
બ્લોક $B$ અને $C$ ની સંયુક્ત ગતિને ધ્યાનમાં લેતા,બળ $N_{AB}$ તેમને ધકેલે છે:
$N_{AB} = (m_B + m_C) \times a = (2 + 1) \times 2 = 3 \times 2 = 6 \text{ N}$.
બ્લોક $C$ ની ગતિને ધ્યાનમાં લેતા,બળ $N_{BC}$ તેને ધકેલે છે:
$N_{BC} = m_C \times a = 1 \times 2 = 2 \text{ N}$.
તેથી,બ્લોક $A$ દ્વારા $B$ પર લાગતા બળ અને $B$ દ્વારા $C$ પર લાગતા બળનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_{AB}}{N_{BC}} = \frac{6}{2} = \frac{3}{1}$.

(D) ધારો કે તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બળ $2F - F = F$ ડાબી તરફ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $m + m = 2m$ છે.
તેથી,તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{2m}$ ડાબી તરફ છે.
હવે,બ્લોક $A$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ $(FBD)$ ધ્યાનમાં લો. $A$ પર લાગતા બળો જમણી તરફ લાગતું બળ $F$ અને બ્લોક $B$ દ્વારા સંપર્ક સપાટીને લંબ રૂપે લાગતું લંબબળ $N$ છે.
સંપર્ક સપાટી સમક્ષિતિજ સાથે $30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે,તેથી લંબબળ $N$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં $N$ નો ઘટક $N \cos 60^{\circ}$ છે.
બ્લોક $A$ માટે સમક્ષિતિજ દિશામાં ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$N \cos 60^{\circ} - F = ma$
$N \left(\frac{1}{2}\right) - F = m \left(\frac{F}{2m}\right)$
$N \left(\frac{1}{2}\right) - F = \frac{F}{2}$
$N \left(\frac{1}{2}\right) = F + \frac{F}{2} = \frac{3F}{2}$
$N = 3F$

(C) ધારો કે દોરીમાં ઉદ્ભવતું તણાવબળ $T$ ઉપરની તરફ છે અને બ્લોકનું વજનબળ $Mg$ નીચેની તરફ છે.
બ્લોક $a = \frac{g}{4}$ જેટલા પ્રવેગ સાથે નીચેની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ:
$Mg - T = Ma$
$a = \frac{g}{4}$ મૂકતા:
$Mg - T = M\left(\frac{g}{4}\right)$
$T = Mg - \frac{Mg}{4} = \frac{3Mg}{4}$
તણાવબળ $T$ ઉપરની તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર $d$ નીચેની તરફ છે. તેથી,બળ અને સ્થાનાંતર વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ છે.
દોરી દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = T \cdot d \cdot \cos(180^{\circ})$
$W = \left(\frac{3Mg}{4}\right) \cdot d \cdot (-1)$
$W = -\frac{3Mgd}{4}$

(B) તંત્રનું કુલ દળ $M_{total} = 5\,kg$ (ટ્રોલી) $+ 1\,kg$ (દોરડું) $+ 2\,kg$ (ભાર) $= 8\,kg$ છે.
જ્યારે $BC = 0$ હોય,ત્યારે દોરડાનું સમગ્ર દળ ક્ષૈતિજ સપાટી પર હોય છે. પ્રેરક બળ એ ભારનું વજન છે,$F = m_{load} \cdot g = 2g$.
પ્રવેગ $a_1 = \frac{F}{M_{total}} = \frac{2g}{8} = \frac{20}{8}\,m/s^2$ છે.
જ્યારે $BC = 2\,m$ હોય,ત્યારે સમગ્ર દોરડું શિરોલંબ લટકે છે. પ્રેરક બળ એ ભારનું વજન વત્તા દોરડાનું વજન છે,$F = (m_{load} + m_{rope}) \cdot g = (2 + 1)g = 3g$.
પ્રવેગ $a_2 = \frac{F}{M_{total}} = \frac{3g}{8} = \frac{30}{8}\,m/s^2$ છે.
આમ,પ્રવેગ $\frac{20}{8}\,m/s^2$ થી બદલાઈને $\frac{30}{8}\,m/s^2$ થાય છે.

(B) ધારો કે દોરીનું કુલ દળ $M$ છે અને તેની લંબાઈ $L = 8\, m$ છે.
દોરીનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{8}{M}$ થશે.
બળ લગાડ્યાના છેડાથી $x = 3\, m$ અંતરે તણાવબળ $T$ શોધવા માટે,આપણે દોરીના બાકીના ભાગનો વિચાર કરીએ જેની લંબાઈ $L - x = 8 - 3 = 5\, m$ છે,જેને તણાવબળ $T$ ખેંચે છે.
આ ભાગનું દળ $m' = \frac{M}{L} \times (L - x) = \frac{M}{8} \times 5 = \frac{5M}{8}$ થશે.
આ ભાગ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ વાપરતા: $T = m' \times a$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \left( \frac{5M}{8} \right) \times \left( \frac{8}{M} \right) = 5\, N$.

(A) ધારો કે દળ $m_1 = 5\, kg$ અને $m_2 = 4\, kg$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 5\, kg + 4\, kg = 9\, kg$ છે.
લગાડવામાં આવેલ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ $F = 9\, N$ છે.
તંત્રનો સામાન્ય પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{9\, N}{9\, kg} = 1\, m/s^2$ મળે છે.
બે બ્લોક વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $F_c$ એ બીજા બ્લોક $(m_2 = 4\, kg)$ ને સમાન પ્રવેગ $a$ થી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ છે.
તેથી,$F_c = m_2 \times a = 4\, kg \times 1\, m/s^2 = 4\, N$.

(C) ધારો કે દોરીનું કુલ દળ $M$ છે અને તેની લંબાઈ $L = 5\,m$ છે.
લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ $F = 5\,N$ છે.
દોરીનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{5}{M}$ થશે.
બળ લગાડવામાં આવે છે તે છેડાથી $l = 1\,m$ લંબાઈનો દોરીનો ભાગ ધ્યાનમાં લો. આ ભાગનું દળ $m' = \frac{M}{L} \times l = \frac{M}{5} \times 1 = \frac{M}{5}$ થશે.
ધારો કે લાગુ પાડેલા બળથી $1\,m$ અંતરે તણાવબળ $T$ છે. બળ $F$ દોરીને ખેંચે છે,અને તણાવબળ $T$ એ દોરીના બાકીના $(5-1) = 4\,m$ લંબાઈના ભાગ પર કાર્ય કરે છે.
બાકીના ભાગનું દળ $m'' = \frac{M}{5} \times 4 = \frac{4M}{5}$ છે.
બાકીના ભાગ માટે ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા: $T = m'' \times a = \left(\frac{4M}{5}\right) \times \left(\frac{5}{M}\right) = 4\,N$.

(C) ધારો કે દોરડા દ્વારા વાંદરા પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_r$ છે જે ઉપરની દિશામાં લાગે છે.
વાંદરા પર લાગતા બળો નીચે મુજબ છે:
$1$. વજન બળ $mg$ જે નીચેની તરફ લાગે છે.
$2$. ઘર્ષણ બળ $f_r$ જે ઉપરની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વાંદરા પર લાગતું પરિણામી બળ તેના દળ અને પ્રવેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$f_r - mg = ma$
$f_r$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$f_r = ma + mg$
$f_r = m(g + a)$
વાંદરો ઉપરની તરફ પ્રવેગિત ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,તેને ટેકો આપવા અને જરૂરી પ્રવેગ પૂરો પાડવા માટે ઘર્ષણ બળ ઉપરની દિશામાં લાગવું જોઈએ.
તેથી,ઘર્ષણ બળનું મૂલ્ય $m(g+a)$ છે અને તેની દિશા ઉપરની તરફ છે.

(D) દોરડાનું કુલ દળ $M = L \times \mu = 10 \, m \times 0.5 \, kg/m = 5 \, kg$ છે.
દોરડાનો પ્રવેગ $a = F / M = 25 \, N / 5 \, kg = 5 \, m/s^2$ છે.
બળ લગાડવાના બિંદુથી $8 \, m$ દૂરના બિંદુની પાછળ રહેલા દોરડાના ભાગને ધ્યાનમાં લો. આ ભાગની લંબાઈ $L' = 10 \, m - 8 \, m = 2 \, m$ છે.
આ પાછળના ભાગનું દળ $m' = L' \times \mu = 2 \, m \times 0.5 \, kg/m = 1 \, kg$ છે.
$8 \, m$ ના બિંદુએ તણાવ $T$ એ આ પાછળના દળ $m'$ ને $a$ પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી બળ છે.
$T = m' \times a = 1 \, kg \times 5 \, m/s^2 = 5 \, N$.

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M = 16 \, kg + 8 \, kg + 4 \, kg = 28 \, kg$ છે.
તંત્રનો સામાન્ય પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{140 \, N}{28 \, kg} = 5 \, m/s^2$ છે.
$16 \, kg$ નું દળ $8 \, kg$ ના દળ દ્વારા ધકેલાય છે. $16 \, kg$ ના દળ પર લાગતું બળ એ તેને $5 \, m/s^2$ ના પ્રવેગથી ગતિ કરાવવા માટે જરૂરી ચોખ્ખું બળ છે.
તેથી,$16 \, kg$ ના દળ પર લાગતું બળ $F_{16} = m_{16} \times a = 16 \, kg \times 5 \, m/s^2 = 80 \, N$ થાય.

(C) ધારો કે દળ $m_1 = 12\,kg$ અને $m_2 = 8\,kg$ છે. પ્રવેગ $a = 2.2\,m/s^2$ ઉપરની તરફ છે. ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8\,m/s^2$ લેતા:
$8\,kg$ ના પદાર્થ માટે: $T_2 - m_2g = m_2a \implies T_2 = m_2(g + a) = 8(9.8 + 2.2) = 8(12) = 96\,N$.
$12\,kg$ ના પદાર્થ માટે: $T_1 - T_2 - m_1g = m_1a \implies T_1 = T_2 + m_1(g + a) = 96 + 12(12) = 96 + 144 = 240\,N$.
આમ,$T_1 = 240\,N$ અને $T_2 = 96\,N$ મળે છે.

(B) ધારો કે વાંદરાનું દળ $m$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે.
ધારો કે વાંદરો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે ઉતરે છે.
વાંદરા માટે બળનું સમીકરણ $mg - T = ma$ છે,જ્યાં $T$ એ ડાળીમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ છે.
ડાળી તૂટી ન જાય તે માટે,તણાવ બળ $T$ એ ડાળીની તોડવાની ક્ષમતા કરતા વધવું ન જોઈએ.
તોડવાની ક્ષમતા વાંદરાના વજનના $75 \%$ આપેલી છે,તેથી $T_{max} = 0.75mg = \frac{3}{4}mg$.
સમીકરણ $mg - T = ma$ માં $T = \frac{3}{4}mg$ મૂકતા:
$mg - \frac{3}{4}mg = ma$
$\frac{1}{4}mg = ma$
$a = \frac{g}{4}$.
આમ,વાંદરો ડાળી તોડ્યા વગર નીચે ઉતરી શકે તે માટેનો લઘુત્તમ પ્રવેગ $\frac{g}{4}$ છે.

(C) ધારો કે ઢાળ પરના બ્લોકનું દળ $M_1 = 0.1 \, kg$,ડાબી બાજુ લટકતા બ્લોકનું દળ $M_2 = 0.05 \, kg$ અને જમણી બાજુ લટકતા બ્લોકનું દળ $m$ છે. તંત્ર એવી રીતે પ્રવેગિત થાય છે કે $m$ એ $a = \frac{8}{13}g$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
આખા તંત્ર માટે ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
ચાલક બળ = (કુલ દળ) $\times$ પ્રવેગ
$mg - M_1 g \sin 30^o - M_2 g = (m + M_1 + M_2) a$
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $M_1 = 0.1 \, kg$,$M_2 = 0.05 \, kg$,$a = \frac{8}{13}g$,અને $\sin 30^o = 0.5$.
$mg - 0.1g(0.5) - 0.05g = (m + 0.1 + 0.05) \frac{8}{13}g$
$mg - 0.05g - 0.05g = (m + 0.15) \frac{8}{13}g$
$m - 0.1 = (m + 0.15) \frac{8}{13}$
$13m - 1.3 = 8m + 1.2$
$5m = 2.5$
$m = 0.5 \, kg$.

(B) સપાટી લીસી હોવાથી,બંને બ્લોક સમાન પ્રવેગ $a$ સાથે ગતિ કરે છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M + m = 7 \, kg + 5 \, kg = 12 \, kg$ છે.
સામાન્ય પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \frac{F}{M + m} = \frac{6 \, N}{12 \, kg} = 0.5 \, m/s^2$.
હલકા દળ $(5 \, kg)$ પર લાગતું બળ એ સંપર્ક બળ $F'$ છે જે ભારે દળ દ્વારા પ્રસારિત થાય છે.
$F' = m \times a = 5 \, kg \times 0.5 \, m/s^2 = 2.5 \, N$.

(D) લિફ્ટ પર લાગતા બળોમાં કેબલનું તણાવ બળ $T$ ઉપરની તરફ અને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = ma$ થાય.
અહીં,$F_{net} = T - mg = ma$.
તેથી,તણાવ $T = m(g + a)$.
આપેલ છે: દળ $m = 6000\,kg$,પ્રવેગ $a = 5\,ms^{-2}$,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\,ms^{-2}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = 6000(10 + 5) = 6000 \times 15 = 90,000\,N$.

(C) પ્લેટફોર્મ દ્વારા બ્લોક $M$ પર લાગતું સંપર્ક બળ $R$ (લંબબળ) ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ: $R - Mg = Ma$,જેનો અર્થ છે કે $R = M(g+a)$.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી $a$ જેટલા અચળ પ્રવેગ સાથે $T$ સમયમાં બ્લોકનું સ્થાનાંતર $S$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $S = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}aT^2 = \frac{1}{2}aT^2$.
સંપર્ક બળ $R$ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ એ $W = \vec{R} \cdot \vec{S} = RS \cos(0^{\circ}) = RS$ છે.
$R$ અને $S$ ની કિંમતો મૂકતા:
$W = M(g+a) \times \left(\frac{1}{2}aT^2\right) = \frac{1}{2}M(g+a)aT^2$.

(D) તંત્રનું કુલ દળ $m = m_A + m_B = 10\, kg + 15\, kg = 25\, kg$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = \frac{500\, N}{25\, kg} = 20\, m/s^2$ છે.
આકૃતિ $I$ માં,બળ $F$ પદાર્થ $A$ પર લગાડવામાં આવે છે. તણાવ $T$ એ પદાર્થ $B$ ને ખેંચે છે. તેથી,$T = m_B \cdot a = 15\, kg \times 20\, m/s^2 = 300\, N$.
આકૃતિ $II$ માં,બળ $F$ પદાર્થ $B$ પર લગાડવામાં આવે છે. તણાવ $T'$ એ પદાર્થ $A$ ને ખેંચે છે. તેથી,$T' = m_A \cdot a = 10\, kg \times 20\, m/s^2 = 200\, N$.
તેથી,$T = 300\, N$ અને $T' = 200\, N$ થાય.

(C) ધારો કે દરેક બ્લોકનું દળ $m$ છે. તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3 + m_4 = 4m$ છે.
તંત્ર પર $T_1$ બળ લગાડવામાં આવે છે,તેથી તંત્રનો પ્રવેગ $a = T_1 / (4m)$ મળે છે.
હવે,બ્લોક $m_1$ નો વિચાર કરો. તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ તણાવ $T_4$ છે. તેથી,$T_4 = m_1 a = m(T_1 / 4m) = T_1 / 4$.
ત્યારબાદ,બ્લોક $m_1$ અને $m_2$ ને સાથે ગણો. આ તંત્ર પર લાગતું બળ $T_3$ છે. તેથી,$T_3 = (m_1 + m_2) a = 2m(T_1 / 4m) = T_1 / 2$.
અંતે,$T_3 / T_4$ નો ગુણોત્તર $(T_1 / 2) / (T_1 / 4) = 2 / 1 = 2 : 1$ થાય છે.

(D) ધારો કે દરેક કણનું દળ $m$ છે અને તંત્રનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. બિંદુ $O$ થી કણો $A$,$B$ અને $C$ ના અંતર અનુક્રમે $l$,$2l$ અને $3l$ છે.
સૌથી બહારના ભાગમાં ( $B$ અને $C$ ની વચ્ચે) તણાવ $T_3$ છે. આ તણાવ કણ $C$ માટે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$T_3 = m \omega^2 (3l) = 3m \omega^2 l$
વચ્ચેના ભાગમાં ($A$ અને $B$ ની વચ્ચે) તણાવ $T_2$ છે. આ તણાવ કણ $B$ માટેનું કેન્દ્રગામી બળ અને તણાવ $T_3$ નો સરવાળો છે:
$T_2 - T_3 = m \omega^2 (2l)$
$T_2 = 2m \omega^2 l + 3m \omega^2 l = 5m \omega^2 l$
સૌથી અંદરના ભાગમાં ($O$ અને $A$ ની વચ્ચે) તણાવ $T_1$ છે. આ તણાવ કણ $A$ માટેનું કેન્દ્રગામી બળ અને તણાવ $T_2$ નો સરવાળો છે:
$T_1 - T_2 = m \omega^2 (l)$
$T_1 = m \omega^2 l + 5m \omega^2 l = 6m \omega^2 l$
આમ,તણાવ $T_1 : T_2 : T_3$ નો ગુણોત્તર $6m \omega^2 l : 5m \omega^2 l : 3m \omega^2 l$ છે,જેનું સાદું રૂપ $6 : 5 : 3$ થાય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો વિકલ્પ $D$ $(3 : 5 : 6)$ છે.

(D) ધારો કે રીંગની દિશામાં તંત્રનો પ્રવેગ $a$ છે. દોરી અસ્થિતિસ્થાપક હોવાથી,બંને પદાર્થો $A$ અને $B$ તેમના સંબંધિત સ્થાનો પર રીંગના સ્પર્શકની દિશામાં સમાન મૂલ્યનો પ્રવેગ $a$ ધરાવશે.
પદાર્થ $A$ માટે,સ્પર્શકની દિશામાં તણાવ $T$ નો ઘટક $T \cos(45^{\circ}) = T/\sqrt{2}$ છે. તેથી,$A$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$T/\sqrt{2} = ma$ ......$(1)$
પદાર્થ $B$ માટે,સ્પર્શકની દિશામાં લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ (નીચેની તરફ) અને તણાવ $T$ (દોરીની દિશામાં ઉપરની તરફ) છે. સ્પર્શકની દિશામાં ગુરુત્વાકર્ષણનો ઘટક $mg \cos(45^{\circ}) = mg/\sqrt{2}$ છે. $B$ માટે ગતિનું સમીકરણ:
$mg/\sqrt{2} - T/\sqrt{2} = ma$ ......$(2)$
સમીકરણ $(1)$ માંથી $ma = T/\sqrt{2}$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$mg/\sqrt{2} - T/\sqrt{2} = T/\sqrt{2}$
$mg/\sqrt{2} = 2T/\sqrt{2}$
$T = mg/2$

(A) તંત્રનું કુલ દળ $M = 80\, kg + 5\, kg = 85\, kg$ છે.
તંત્ર પર લાગતા બળોમાં નીચેની તરફ લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $W = Mg$ અને ઉપરની તરફ લાગતું હવાનું અવરોધક બળ $F_{up}$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પરિણામી બળ $F_{net} = Mg - F_{up} = Ma$ થાય,જ્યાં $a = 2.8\, m/s^2$ એ નીચેની તરફનો પ્રવેગ છે.
$F_{up}$ શોધવા માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$F_{up} = M(g - a)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F_{up} = 85\, kg \times (9.8\, m/s^2 - 2.8\, m/s^2)$.
$F_{up} = 85\, kg \times 7.0\, m/s^2$.
$F_{up} = 595\, N$.

(C) ધારો કે બ્લોક $A$ નું દળ $m$ છે અને બ્લોક $B$ નું દળ $2m$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m + 2m = 3m$ છે.
લાગતું બળ $F = 15 \, N$ છે.
તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{F}{M} = \frac{15}{3m} = \frac{5}{m} \, m/s^2$ છે.
બ્લોક $B$ પર લાગતું બળ એ બ્લોક $A$ દ્વારા બ્લોક $B$ પર લગાડવામાં આવતું બળ છે,જે બ્લોક $B$ ને પ્રવેગિત કરે છે. આ બળ $F_B = m_B \times a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$F_B = (2m) \times \left(\frac{5}{m}\right) = 10 \, N$.

(A) સમક્ષિતિજ બળ,$F = 600\; N$. પદાર્થ $A$ નું દળ,$m_1 = 10\; kg$. પદાર્થ $B$ નું દળ,$m_2 = 20\; kg$. તંત્રનું કુલ દળ,$m = m_1 + m_2 = 30\; kg$. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,તંત્રમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(a)$: $a = F / m = 600 / 30 = 20\; m/s^2$.
કિસ્સો $(i)$: જ્યારે બળ $F$ પદાર્થ $A$ પર લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ $B$ માટે ગતિનું સમીકરણ $T = m_2 a = 20 \times 20 = 400\; N$ થાય.
કિસ્સો $(ii)$: જ્યારે બળ $F$ પદાર્થ $B$ પર લગાડવામાં આવે છે,ત્યારે પદાર્થ $A$ માટે ગતિનું સમીકરણ $T = m_1 a = 10 \times 20 = 200\; N$ થાય.

(A) વાંદરાનું દળ,$m = 40 \, kg$.
દોરડું સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ તણાવ,$T_{\max} = 600 \, N$.
કિસ્સો $(a)$: વાંદરાનો પ્રવેગ,$a = 6 \, m \, s^{-2}$ ઉપરની તરફ.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$T - mg = ma$.
$T = m(g + a) = 40(10 + 6) = 40 \times 16 = 640 \, N$.
અહીં $T > T_{\max}$ હોવાથી,આ કિસ્સામાં દોરડું તૂટી જશે.
કિસ્સો $(b)$: વાંદરાનો પ્રવેગ,$a = 4 \, m \, s^{-2}$ નીચેની તરફ.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$mg - T = ma$.
$T = m(g - a) = 40(10 - 4) = 40 \times 6 = 240 \, N$.
અહીં $T < T_{\max}$ હોવાથી,દોરડું તૂટશે નહીં.
કિસ્સો $(c)$: $5 \, m \, s^{-1}$ ની સમાન ઝડપ,તેથી પ્રવેગ $a = 0$.
$T = mg = 40 \times 10 = 400 \, N$.
અહીં $T < T_{\max}$ હોવાથી,દોરડું તૂટશે નહીં.
કિસ્સો $(d)$: મુક્ત પતન,તેથી $a = g$.
$T = m(g - g) = 0 \, N$.
અહીં $T < T_{\max}$ હોવાથી,દોરડું તૂટશે નહીં.

(A) ધારો કે નીચેની દોરી $CD$ પર લગાડવામાં આવતું બળ $F$ છે.
નીચેની દોરી $CD$ માટે,તણાવબળ $T_{CD} = F$ થાય.
ઉપરની દોરી $AB$ માટે,તણાવબળ $T_{AB}$ એ લગાડેલા બળ $F$ અને $2 \, kg$ દળના વજન $(mg)$ બંનેને ટેકો આપે છે.
આમ,$T_{AB} = F + mg$.
અહીં $T_{AB} = F + mg$ અને $T_{CD} = F$ હોવાથી,તે સ્પષ્ટ છે કે કોઈપણ લગાડેલા બળ $F$ માટે $T_{AB} > T_{CD}$ થાય.
તેથી,ઉપરની દોરી $AB$ માં તણાવબળ નીચેની દોરી $CD$ કરતા પહેલા તેની તૂટવાની મર્યાદા સુધી પહોંચશે. તેથી,દોરી $AB$ પહેલા તૂટશે.

(N/A) આપેલ છે: $m_1 = 5\, kg$,$m_2 = 3\, kg$,$g = 9.8\, m/s^2$ અને $a = 2\, m/s^2$.
$m_2 = 3\, kg$ દળના બ્લોક માટે:
ઉપરની તરફ તણાવ બળ $T_2$ અને નીચેની તરફ વજનબળ $m_2g$ લાગે છે. પરિણામી બળ $T_2 - m_2g = m_2a$ છે.
$T_2 = m_2(g + a) = 3(9.8 + 2) = 3(11.8) = 35.4\, N$.
$m_1 = 5\, kg$ દળના બ્લોક માટે:
ઉપરની તરફ તણાવ બળ $T_1$ અને નીચેની તરફ તણાવ બળ $T_2$ તથા વજનબળ $m_1g$ લાગે છે. પરિણામી બળ $T_1 - T_2 - m_1g = m_1a$ છે.
$T_1 = T_2 + m_1(g + a) = 35.4 + 5(9.8 + 2) = 35.4 + 5(11.8) = 35.4 + 59 = 94.4\, N$.
આમ,$T_1 = 94.4\, N$ અને $T_2 = 35.4\, N$.

(B) જ્યારે દડો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અને અવરોધક બળ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. પરિણામી બળ $F = -(mg + mkv^{2})$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પ્રવેગ $a = \frac{F}{m} = -(g + kv^{2})$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dh}$,તેથી $v \frac{dv}{dh} = -(g + kv^{2})$.
સંકલન કરવા માટે પદોને ગોઠવતા,આપણને $\frac{v \, dv}{g + kv^{2}} = -dh$ મળે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u$ (જ્યારે $h=0$) થી અંતિમ વેગ $0$ (જ્યારે $h=H$) સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{u}^{0} \frac{v \, dv}{g + kv^{2}} = -\int_{0}^{H} dh$.
ધારો કે $I = g + kv^{2}$,તો $dI = 2kv \, dv$,અથવા $v \, dv = \frac{dI}{2k}$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2k} \int_{g+ku^{2}}^{g} \frac{dI}{I} = -H$.
$\frac{1}{2k} [\ln I]_{g+ku^{2}}^{g} = -H$.
$\frac{1}{2k} [\ln g - \ln(g + ku^{2})] = -H$.
$\frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g}{g + ku^{2}} \right) = -H$.
$-1$ વડે ગુણતા,આપણને $H = \frac{1}{2k} \ln \left( \frac{g + ku^{2}}{g} \right) = \frac{1}{2k} \ln \left( 1 + \frac{ku^{2}}{g} \right)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \, kg$,બળ $\vec{F} = (2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}) \, N$,પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 0$,પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_0 = (0, 0, 0)$,સમય $t = 4 \, s$.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,પ્રવેગ $\vec{a}$:
$\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{2 \hat{i} + 3 \hat{j} + 5 \hat{k}}{2} = \hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k} \, m/s^2$.
સ્થાન માટે ગતિના સમીકરણ $\vec{r} = \vec{r}_0 + \vec{u}t + \frac{1}{2} \vec{a} t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{r} = 0 + 0 + \frac{1}{2} (\hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k}) (4)^2$
$\vec{r} = \frac{1}{2} (\hat{i} + 1.5 \hat{j} + 2.5 \hat{k}) (16)$
$\vec{r} = 8 \hat{i} + 12 \hat{j} + 20 \hat{k}$.
આને આપેલા યામ $(8, b, 20)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $b = 12$ મળે છે.

(D) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{ F_{ext} }{ M_{total} }$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,બાહ્ય બળ $F$ છે અને કુલ દળ $M + M = 2M$ છે.
તેથી,$a_{cm} = \frac{ F }{ 2M }$.
વળી,$a_{cm} = \frac{ m_A a_A + m_B a_B }{ m_A + m_B }$,જ્યાં $a_A = a$ (દળ $A$ નો પ્રવેગ) અને $a_B$ એ દળ $B$ નો પ્રવેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{ F }{ 2M } = \frac{ M(a) + M(a_B) }{ 2M }$.
બંને બાજુથી $2M$ ને દૂર કરતા,આપણને $F = Ma + Ma_B$ મળે છે.
$a_B$ માટે ગોઠવતા,આપણને $Ma_B = F - Ma$ મળે છે.
તેથી,$a_B = \frac{ F - Ma }{ M }$.

(D) ધારો કે વેજનો પ્રવેગ $a_1$ છે અને વેજની સાપેક્ષમાં બ્લોકનો પ્રવેગ $a_2$ છે.
$M$ દળના વેજ માટે,સમક્ષિતિજ બળ એ બ્લોક દ્વારા વેજ પર લાગતા લંબબળ $N$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક છે:
$N \sin 30^{\circ} = M a_1 = 16 a_1$
$N (0.5) = 16 a_1 \Rightarrow N = 32 a_1$
વેજની સાપેક્ષમાં $m$ દળના બ્લોક માટે,ઢાળને લંબ દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$N = m g \cos 30^{\circ} - m a_1 \sin 30^{\circ}$
$32 a_1 = 8 g (\frac{\sqrt{3}}{2}) - 8 a_1 (\frac{1}{2})$
$32 a_1 = 4 \sqrt{3} g - 4 a_1$
$36 a_1 = 4 \sqrt{3} g \Rightarrow a_1 = \frac{\sqrt{3}}{9} g$
હવે,બ્લોક માટે ઢાળની દિશામાં ન્યૂટનનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$m g \sin 30^{\circ} + m a_1 \cos 30^{\circ} = m a_2$
$g \sin 30^{\circ} + a_1 \cos 30^{\circ} = a_2$
$a_2 = g (\frac{1}{2}) + (\frac{\sqrt{3}}{9} g) (\frac{\sqrt{3}}{2})$
$a_2 = \frac{g}{2} + \frac{3g}{18} = \frac{g}{2} + \frac{g}{6} = \frac{3g + g}{6} = \frac{4g}{6} = \frac{2}{3} g$

(D) તંત્રનું કુલ દળ $M = M_{\text{block}} + 3 \times M_{\text{cylinder}} = 10\, \text{kg} + 3 \times 20\, \text{kg} = 70\, \text{kg}$ છે.
આખા તંત્ર માટે શિરોલંબ દિશામાં ન્યૂટનનો ગતિનો બીજો નિયમ લાગુ પાડતા:
$Mg - R = Ma$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$70 \times 10 - R = 70 \times 0.2$
$700 - R = 14$
$R = 700 - 14 = 686\, \text{N}$.
આમ,ભોંયતળિયા દ્વારા લાગતું લંબબળ $686\, \text{N}$ છે.