Young’s Modulus Questions in Gujarati

(B) તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = t$ ને કારણે તારમાં ઉત્પન્ન થતી ઉષ્મીય વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T = \alpha t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ,$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
વિકૃતિ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $Y = \frac{F/A}{\alpha t}$ મળે છે.
તણાવ $F$ ને કર્તા બનાવતા,આપણને $F = YA \alpha t$ મળે છે.
આમ,જ્યારે તાપમાન $t^{\circ} C$ જેટલું ઘટે ત્યારે તણાવમાં થતો વધારો $YA \alpha t$ છે.

(C) ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $V = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,તારમાં તણાવ $T$ એ વિસ્તરણ $x$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $T = kx$.
શરૂઆતમાં,$T_1 = kx$,તેથી $V_1 = \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = V$.
જ્યારે વિસ્તરણ વધારીને $4x$ કરવામાં આવે છે,ત્યારે નવું તણાવ $T_2 = k(4x) = 4kx$ થાય છે.
ધ્વનિની નવી ઝડપ $V_2$ એ $V_2 = \sqrt{\frac{T_2}{\mu}} = \sqrt{\frac{4kx}{\mu}}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$V_2 = 2 \sqrt{\frac{kx}{\mu}} = 2V$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ને સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદામાં તણાવ પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તેને $Y = \frac{\text{તણાવ પ્રતિબળ}}{\text{સંગત વિકૃતિ}}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તે તણાવ અથવા દબાણ હેઠળ પદાર્થની લંબાઈમાં થતા ફેરફારોને સહન કરવાની ક્ષમતાનું માપ આપે છે.

(B) સ્થિતિસ્થાપકતા એટલે પદાર્થ પરથી વિરૂપક બળ દૂર કરવામાં આવે ત્યારે તે પોતાનો મૂળ આકાર ધારણ કરવાની ક્ષમતા ધરાવે છે.
પરિમાણાત્મક રીતે,તેને યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ દ્વારા માપવામાં આવે છે.
જે પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ વધારે હોય,તે પદાર્થ પર સમાન વિકૃતિ ઉત્પન્ન કરવા માટે વધુ પ્રતિબળની જરૂર પડે છે,જેનો અર્થ છે કે તે વધુ સ્થિતિસ્થાપક છે.
આપેલા પદાર્થોમાં,સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y \approx 200 \ GPa)$ સૌથી વધુ છે.
તેથી,આપેલા વિકલ્પોમાં સ્ટીલ સૌથી વધુ સ્થિતિસ્થાપક પદાર્થ છે.

(A) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$,પોઈસન ગુણોત્તર $\sigma = 0.25$,અને પાર્શ્વ વિકૃતિ $\varepsilon_l = 10^{-3}$.
પોઈસન ગુણોત્તર એ પાર્શ્વ વિકૃતિ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$\sigma = \frac{\varepsilon_l}{\varepsilon_{long}}$
તેથી,રેખીય વિકૃતિ (longitudinal strain):
$\varepsilon_{long} = \frac{\varepsilon_l}{\sigma} = \frac{10^{-3}}{0.25} = 4 \times 10^{-3}$
સ્થિતિસ્થાપક ઉર્જા ઘનતા $(u)$ નું સૂત્ર:
$u = \frac{1}{2} \times Y \times (\varepsilon_{long})^2$
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^{11}) \times (4 \times 10^{-3})^2$
$u = 10^{11} \times 16 \times 10^{-6}$
$u = 16 \times 10^5 \ Jm^{-3}$

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta \ell / \ell}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\ell$ એ મૂળ લંબાઈ છે અને $\Delta \ell$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta \ell$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\Delta \ell = \frac{F \ell}{AY}$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,જ્યાં $d$ એ વ્યાસ છે,તેથી $\Delta \ell = \frac{4F \ell}{\pi d^2 Y}$ થાય.
તાર એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી $Y$ સમાન છે અને બળ $F$ પણ સમાન છે,તેથી લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\frac{\ell}{d^2}$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{\ell_A}{\ell_B} \right) \times \left( \frac{d_B}{d_A} \right)^2$.
અહીં $\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{1}{3}$ અને $\frac{d_A}{d_B} = \frac{1}{2}$ (જેનો અર્થ છે કે $\frac{d_B}{d_A} = 2$),આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta \ell_A}{\Delta \ell_B} = \left( \frac{1}{3} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3}$.
આમ,તેમની લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $4: 3$ છે.

(B) તારના મુક્ત છેડાથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈનો એક સૂક્ષ્મ ખંડ વિચારો.
આ ખંડની નીચે રહેલા તારના ભાગનું વજન $dw = (A \cdot x \cdot \rho) g$ થાય,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ વિભાગ પર લાગતું પ્રતિબળ $\sigma = \frac{dw}{A} = \rho g x$ છે.
વિકૃતિ $\frac{d(\Delta l)}{dx} = \frac{\sigma}{Y} = \frac{\rho g x}{Y}$ થાય.
કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L$ શોધવા માટે $x = 0$ થી $x = L$ સુધી સંકલન કરતા:
$\Delta L = \int_{0}^{L} \frac{\rho g x}{Y} dx = \frac{\rho g}{Y} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{\rho g L^2}{2 Y}$.

(B) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ,$Y = 7 \times 10^9 \,N/m^2$. ભાર,$F = 10^4 \,N$. વિકૃતિ,$\epsilon = \frac{\Delta l}{l} = 0.2 \% = 0.002 = 2 \times 10^{-3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ક્ષેત્રફળ $A$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$A = \frac{F}{Y \times (\Delta l/l)}$.
કિંમતો મૂકતા: $A = \frac{10^4}{7 \times 10^9 \times 0.002}$.
$A = \frac{10^4}{14 \times 10^6} = \frac{1}{14} \times 10^{-2} \approx 0.0714 \times 10^{-2} = 7.14 \times 10^{-4} \,m^2$.
આમ,જરૂરી ક્ષેત્રફળ $7.1 \times 10^{-4} \,m^2$ છે.

(C) સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થ માટે,કોઈપણ લાગુ પાડેલા પ્રતિબળ (stress) માટે વિકૃતિ (strain) હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{\text{સંગત પ્રતિબળ}}{\text{સંગત વિકૃતિ}}$
સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થ માટે વિકૃતિ $0$ હોવાથી,છેદ $0$ થાય છે.
તેથી,$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{0} = \infty$.
આમ,સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ અનંત હોય છે.

(A) તારનું વિસ્તરણ $e$ એ સૂત્ર $e = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ લાગુ પાડવામાં આવેલ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,$e = \frac{FL}{\pi r^2 Y}$ થાય.
અહીં $F$ અને $Y$ બધા તાર માટે સમાન હોવાથી,વિસ્તરણ એ $\frac{L}{r^2}$ ના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $e \propto \frac{L}{r^2}$.
ચાલો દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{L}{r^2}$ ની કિંમત ગણીએ:
વિકલ્પ $A$ માટે: $\frac{100}{(0.2)^2} = \frac{100}{0.04} = 2500$.
વિકલ્પ $B$ માટે: $\frac{200}{(0.4)^2} = \frac{200}{0.16} = 1250$.
વિકલ્પ $C$ માટે: $\frac{300}{(0.6)^2} = \frac{300}{0.36} \approx 833.3$.
વિકલ્પ $D$ માટે: $\frac{400}{(0.8)^2} = \frac{400}{0.64} = 625$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $A$ માં રહેલા તાર માટે $\frac{L}{r^2}$ ની કિંમત સૌથી વધુ છે,તેથી તેમાં સૌથી વધુ વિસ્તરણ થશે.

(B) બંને તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,તેમનો યંગ મોડ્યુલસ સમાન હોય છે $(Y_1 = Y_2)$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$.
તેથી,$\frac{F_1 L_1}{\pi r_1^2 \Delta L_1} = \frac{F_2 L_2}{\pi r_2^2 \Delta L_2}$.
અહીં $F_1 = F_2$,$L_1 = 3 L_2$,$r_1 = 3 r_2$,અને $\Delta L_1 = x$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{3 L_2}{(3 r_2)^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{3 L_2}{9 r_2^2 x} = \frac{L_2}{r_2^2 \Delta L_2}$
$\frac{1}{3 x} = \frac{1}{\Delta L_2}$
$\Delta L_2 = 3 x$.

(C) આપેલ છે: $l_1: l_2 = 1: 2$,$d_1: d_2 = 3: 2$,$F_1: F_2 = 3: 1$.
એકમ કદ દીઠ સંગ્રહિત સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{\sigma^2}{2Y}$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ પ્રતિબળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
પ્રતિબળ $\sigma = \frac{F}{A} = \frac{F}{\pi (d/2)^2} = \frac{4F}{\pi d^2}$ હોવાથી,$\sigma \propto \frac{F}{d^2}$ થાય.
તેથી,$U \propto \sigma^2 \propto \left(\frac{F}{d^2}\right)^2$.
ઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{F_1}{F_2}\right)^2 \times \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^4$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{U_1}{U_2} = \left(\frac{3}{1}\right)^2 \times \left(\frac{2}{3}\right)^4 = 9 \times \frac{16}{81} = \frac{16}{9}$.
આમ,ગુણોત્તર $16: 9$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે. વિકૃતિ એ પરિમાણરહિત રાશિ હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસના પરિમાણ પ્રતિબળના પરિમાણ જેટલા જ હોય છે.
પ્રતિબળ = $\frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
હવે,ઉર્જા ઘનતાના પરિમાણ તપાસીએ:
ઉર્જા ઘનતા = $\frac{\text{ઉર્જા}}{\text{કદ}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
યંગ મોડ્યુલસ અને ઉર્જા ઘનતા બંનેના પરિમાણ $[ML^{-1}T^{-2}]$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $r_A, r_B$ એ તાર $A$ અને $B$ ની ત્રિજ્યાઓ છે અને $Y_A, Y_B$ એ તેમના યંગ મોડ્યુલસ છે.
આપેલ છે: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{3}{2}$.
ધારો કે $L$ એ તારની લંબાઈ છે (સમાન ધારેલ છે) અને $\Delta L$ એ બંને તારમાં થતું સમાન વિસ્તરણ છે.
વિસ્તરણના સૂત્ર મુજબ,$\Delta L = \frac{F L}{A Y}$,જ્યાં $F$ એ તારમાં તણાવ છે અને $A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
બંને તાર માટે $\Delta L$ સમાન હોવાથી,$\frac{F_A L}{\pi r_A^2 Y_A} = \frac{F_B L}{\pi r_B^2 Y_B}$.
તેથી,$\frac{F_A}{F_B} = \frac{r_A^2 Y_A}{r_B^2 Y_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^2 \left(\frac{Y_A}{Y_B}\right) = \left(\frac{2}{3}\right)^2 \times \left(\frac{3}{2}\right) = \frac{4}{9} \times \frac{3}{2} = \frac{2}{3}$.
ધારો કે વજન $P$ થી $x$ અંતરે લટકાવવામાં આવે છે. લટકાવવાના બિંદુની આસપાસ ટોર્ક લેતા,$F_A x = F_B (150 - x)$.
$\frac{F_A}{F_B} = \frac{150 - x}{x} = \frac{2}{3}$.
$3(150 - x) = 2x \implies 450 - 3x = 2x \implies 5x = 450 \implies x = 90 \ cm$ ($P$ થી).

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot l}$ છે,જ્યાં $A$ એ તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
$A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $l = \frac{F \cdot L}{Y \cdot \pi r^2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $l \propto \frac{F}{r^2}$.
ધારો કે શરૂઆતની લંબાઈમાં વધારો $l_1 = k \cdot \frac{F}{r^2}$ છે.
જ્યારે બળ $F' = \frac{F}{2}$ અને ત્રિજ્યા $r' = \frac{r}{2}$ થાય,ત્યારે લંબાઈમાં નવો વધારો $l_2$ આ મુજબ થશે:
$l_2 = k \cdot \frac{F'}{(r')^2} = k \cdot \frac{F/2}{(r/2)^2} = k \cdot \frac{F/2}{r^2/4} = 2 \cdot k \cdot \frac{F}{r^2} = 2l_1$.
તેથી,લંબાઈમાં નવો વધારો $2l$ થશે.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ રેખીય પ્રતિબળ અને રેખીય વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$
આપેલ છે:
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \,N \,m^{-2}$
લંબાઈ બમણી કરવા માટે,લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L$ એ મૂળ લંબાઈ $L$ જેટલો હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta L = L$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\Delta L}{L} = 1$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$2 \times 10^{11} = \frac{F / (1 \times 10^{-6})}{1}$
$F = 2 \times 10^{11} \times 10^{-6} \,N$
$F = 2 \times 10^5 \,N$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi d^2}$.
અહીં $F$,$L$ અને $Y$ બંને તાર માટે અચળ હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$ થાય.
ધારો કે $\Delta L_1 = 1 \ mm$ અને $d_1 = d$. બીજા તાર માટે,$d_2 = 4d$ છે.
તેથી,$\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d}{4d} \right)^2 = \left( \frac{1}{4} \right)^2 = \frac{1}{16}$.
આમ,$\Delta L_2 = \frac{1}{16} \cdot \Delta L_1 = \frac{1}{16} \cdot 1 \ mm = \frac{1}{16} \ mm$.

(D) જો તાર મુક્તપણે સંકોચાઈ શકે તો ઉદ્ભવતી ઉષ્મીય વિકૃતિ $\Delta L / L = \alpha \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\alpha = 10^{-5} \ K^{-1}$ અને $\Delta T = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$.
તેથી,$\Delta L / L = 10^{-5} \times 100 = 10^{-3}$.
તારને સંકોચાતા અટકાવવામાં આવતો હોવાથી,ઉદ્ભવતું પ્રતિબળ એ યંગ મોડ્યુલસ અને વિકૃતિના ગુણાકાર જેટલું હોય છે: $\text{પ્રતિબળ} = Y \times (\Delta L / L)$.
$\text{પ્રતિબળ} = 10^{11} \times 10^{-3} = 10^8 \ N \ m^{-2}$.
પ્રતિબળને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી $\text{પ્રતિબળ} = F / A = (mg) / A$.
પ્રતિબળ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $mg / A = 10^8$.
$m = (10^8 \times A) / g = (10^8 \times 4 \times 10^{-6}) / 10$.
$m = 400 / 10 = 40 \ kg$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$.
આલેખ પરથી, આપણે કોઈપણ બિંદુ લઈ શકીએ, ઉદાહરણ તરીકે, $W = 100 \,N$ અને $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$.
આપેલ છે: $L = 1 \,m$, $A = 1 \,mm^2 = 1 \times 10^{-6} \,m^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{100 \,N \times 1 \,m}{1 \times 10^{-6} \,m^2 \times 5 \times 10^{-3} \,m} = \frac{100}{5 \times 10^{-9}} = 20 \times 10^9 \,N \,m^{-2} = 2 \times 10^{10} \,N \,m^{-2}$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 4 \ kg$,ઝડપ $v = 12 \ ms^{-1}$,લંબાઈ $l = 4 \ m$,વ્યાસ $d = 2.0 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.
તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $F$ જે કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,તે $F = \frac{mv^2}{l}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{4 \times (12)^2}{4} = 144 \ N$.
વિકૃતિ $\epsilon$ ને $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{AY}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $\pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
તેથી,$\epsilon = \frac{4F}{\pi d^2 Y}$.
કિંમતો મૂકતા: $\epsilon = \frac{4 \times 144}{\pi \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 2 \times 10^{11}}$.
$\epsilon = \frac{576}{\pi \times 4 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{11}} = \frac{576}{\pi \times 8 \times 10^5} = \frac{72}{\pi \times 10^5} \approx 2.29 \times 10^{-4} \approx 2.3 \times 10^{-4}$.

(A) તાંબાના તારમાં તણાવ બળ તેના નીચે લટકતા $7 \,kg$ દળના વજનને કારણે છે。
$T = m \times g = 7 \,kg \times 10 \,m/s^2 = 70 \,N$.
વિસ્તરણ $\Delta l$ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{T \times l}{Y \times A}$ છે。
આપેલ છે:
$T = 70 \,N$
$l = 0.5 \,m$
$Y = 10 \times 10^{10} \,N/m^2$
$A = 3.5 \,mm^2 = 3.5 \times 10^{-6} \,m^2$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = \frac{70 \times 0.5}{10 \times 10^{10} \times 3.5 \times 10^{-6}}$
$\Delta l = \frac{35}{35 \times 10^4} = 10^{-4} \,m$.

(B) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 100 \ cm = 1 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 2 \ mm^2 = 2 \times 10^{-6} \ m^2$,બળ $F = 440 \ N$,લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$.
કિંમતો મૂકતા:
$Y = \frac{440 \times 1}{2 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{440}{4 \times 10^{-9}} = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.

(B) આપેલ છે: સળિયાની ત્રિજ્યા $r = 20 \ mm = 20 \times 10^{-3} \ m$,લંબાઈ $L = 2 \ m$,બળ $F = 400 \ kN = 400 \times 10^3 \ N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$.
પ્રતિબળ (Stress) = $\frac{F}{A} = \frac{F}{\pi r^2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\text{Stress} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times (20 \times 10^{-3})^2} = \frac{400 \times 10^3}{3.14 \times 400 \times 10^{-6}} = 3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$.
વિકૃતિ (Strain) = $\frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{3.18 \times 10^8}{2 \times 10^{11}} = 1.59 \times 10^{-3} = 0.159 \% \approx 0.16 \%$.
આમ,પ્રતિબળ અને વિકૃતિના મૂલ્યો $3.18 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ અને $0.16 \%$ છે.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $l = 1 \,m$, વ્યાસ $d = 10 \,cm = 0.1 \,m$, ત્રિજ્યા $r = 0.05 \,m$, બળ $F = 100 \,kN = 10^5 \,N$, યંગ મોડ્યુલસ $Y = 70 \,GPa = 70 \times 10^9 \,Pa$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$, જ્યાં $A = \pi r^2$.
લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta l$ માટે સૂત્ર: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 Y}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta l = \frac{10^5 \times 1}{3.14159 \times (0.05)^2 \times 70 \times 10^9}$.
$\Delta l = \frac{10^5}{3.14159 \times 0.0025 \times 70 \times 10^9} = \frac{10^5}{549.78 \times 10^6} \approx 1.81 \times 10^{-4} \,m$.

(C) જ્યારે '$l$' લંબાઈ,'$b$' પહોળાઈ અને '$d$' જાડાઈ ધરાવતા બીમ (સળિયા) ને બંને છેડે ટેકવીને તેના કેન્દ્ર પર '$W$' જેટલો ભાર લટકાવવામાં આવે,ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું નમન (sag) '$\delta$' નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\delta = \frac{W l^3}{4 Y b d^3}$
અહીં,'$W$' એ ભાર છે,'$l$' એ લંબાઈ છે,'$Y$' એ યંગ મોડ્યુલસ છે,'$b$' એ પહોળાઈ છે અને '$d$' એ જાડાઈ છે.
આ સૂત્રને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ '$C$' સાચો જવાબ છે.

(B) આપેલ છે: તણાવ બળ $F = 1000 \,N$, લંબાઈ $L = 1 \,m$, લંબાઈમાં ફેરફાર $\Delta L = 0.25 \,cm = 0.25 \times 10^{-2} \,m$, યંગ મોડ્યુલસ $Y = 10^{11} \,Pa$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ છે, જ્યાં $A = \pi r^2$.
$r^2$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $r^2 = \frac{FL}{Y \Delta L \pi}$.
કિંમતો મૂકતા: $r^2 = \frac{1000 \times 1}{10^{11} \times 0.25 \times 10^{-2} \times \pi} = \frac{1000}{10^9 \times 0.25 \times \pi} = \frac{1}{0.25 \times \pi \times 10^6} = \frac{4}{\pi \times 10^6}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $r = \frac{2}{\sqrt{\pi} \times 10^3} = \frac{2}{1.77 \times 10^3} \approx 1.13 \times 10^{-3} \,m = 1.13 \,mm$.
વ્યાસ $d = 2r = 2 \times 1.13 \,mm = 2.26 \,mm$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તણાવ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$.
લંબાઈમાં વધારા $(\Delta l)$ માટે સૂત્ર: $\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,$\Delta l = \frac{4 F l}{\pi d^2 Y}$ મળે.
અહીં તણાવ $(F)$ અને દ્રવ્ય $(Y)$ સમાન હોવાથી,લંબાઈમાં વધારો $\frac{l}{d^2}$ ના ગુણોત્તરના સમપ્રમાણમાં છે.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{l}{d^2}$ ની ગણતરી:
$A: \frac{50}{(0.5)^2} = 200$.
$B: \frac{200}{(2)^2} = 50$.
$C: \frac{300}{(3)^2} \approx 33.33$.
$D: \frac{100}{(1)^2} = 100$.
આમ,વિકલ્પ $A$ માટે ગુણોત્તર સૌથી વધુ છે,તેથી તેમાં લંબાઈમાં વધારો સૌથી વધુ હશે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે,$L$ એ પ્રારંભિક લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
આપેલ છે કે બંને તાર માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને તણાવ $T$ સમાન છે,તેથી:
$Y_A = \frac{T L_A}{A \Delta L_A}$ અને $Y_B = \frac{T L_B}{A \Delta L_B}$
બંને મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{L_A}{L_B} \times \frac{\Delta L_B}{\Delta L_A}$
આપણને આપેલ છે કે $\Delta L_B = 2 \Delta L_A$,તેથી $\frac{\Delta L_B}{\Delta L_A} = 2$.
આપેલ કિંમતો $Y_A = 2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ અને $Y_B = 1.1 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$ મૂકતા:
$\frac{2 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{2}{1.1} = \frac{L_A}{L_B} \times 2$
$\frac{1}{1.1} = \frac{L_A}{L_B}$
$\frac{L_A}{L_B} = \frac{10}{11}$

(C) કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ એ તાંબાના તાર અને એલ્યુમિનિયમના તારના લંબાઈમાં થયેલા વધારાનો સરવાળો છે: $\Delta l = \Delta l_c + \Delta l_a$.
તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી, બંને પર સમાન ભાર $F$ લાગે છે।
સૂત્ર $\Delta l = \frac{F l}{Y A}$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (10^{-3} \ m)^2 = \pi \times 10^{-6} \ m^2$:
$\Delta l = \frac{F l_c}{Y_c A} + \frac{F l_a}{Y_a A} = \frac{F}{A} \left( \frac{l_c}{Y_c} + \frac{l_a}{Y_a} \right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( \frac{2.4}{1.2 \times 10^{11}} + \frac{0.7}{0.7 \times 10^{11}} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \left( 2 \times 10^{-11} + 1 \times 10^{-11} \right)$.
$0.6 \times 10^{-3} = \frac{F}{\pi \times 10^{-6}} \times 3 \times 10^{-11}$.
$0.6 \times 10^{-3} = F \times \frac{3 \times 10^{-11}}{\pi \times 10^{-6}} = F \times \frac{3 \times 10^{-5}}{\pi}$.
$F = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times \pi}{3 \times 10^{-5}} = \frac{0.6 \times 10^2 \times \pi}{3} = 0.2 \times 100 \times \pi = 20 \pi \ N$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ સંગત પ્રતિબળ અને સંગત વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{Fl}{A \Delta l}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $\Delta l$ માટે સૂત્ર:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY}$
આપેલ છે:
બળ $F = mg = 1000 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 10,000 \,N$
લંબાઈ $l = 50 \,cm = 0.5 \,m$
ક્ષેત્રફળ $A = 1000 \,mm^2 = 1000 \times 10^{-6} \,m^2 = 10^{-3} \,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = \frac{10,000 \times 0.5}{10^{-3} \times 2 \times 10^{11}}$
$\Delta l = \frac{5,000}{2 \times 10^8} = 2,500 \times 10^{-8} \,m = 2.5 \times 10^{-5} \,m$
મિલીમીટરમાં રૂપાંતર કરતા:
$\Delta l = 2.5 \times 10^{-5} \times 10^3 \,mm = 0.025 \,mm$

(A) પોતાના વજનને કારણે શિરોલંબ લટકાવેલી $L$ લંબાઈની દોરીમાં થતો વધારો $\Delta l$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta l = \frac{\rho g L^2}{2Y}$.
અહીં,$L = 12 \ cm = 0.12 \ m$,$\rho = 1.5 \ kg \ m^{-3}$,$g = 10 \ m \ s^{-2}$,અને $Y = 5 \times 10^8 \ N \ m^{-2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = \frac{1.5 \times 10 \times (0.12)^2}{2 \times 5 \times 10^8}$
$\Delta l = \frac{15 \times 0.0144}{10^9}$
$\Delta l = \frac{0.216}{10^9} = 2.16 \times 10^{-10} \ m$.

(A) આપેલ છે: યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \ N \ m^{-2}$,બળ $F = 2 \times 10^{11} \ N$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ m^2$,પ્રારંભિક લંબાઈ $= L$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $2 \times 10^{11} = \frac{(2 \times 10^{11} / 1)}{\Delta L / L}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $1 = \frac{L}{\Delta L}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\Delta L = L$.
તેથી,અંતિમ લંબાઈ $L_f = L + \Delta L = L + L = 2L$ થાય.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ પ્રમાણસરતાની સીમાની અંદર પ્રતિબળ અને વિકૃતિના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સ્ટ્રેસ-સ્ટ્રેઈન આલેખના રેખીય ભાગના ઢાળ (slope) જેટલો હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,રેખીય ભાગ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી બિંદુ $(4 \times 10^{-4}, 8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2})$ સુધી વિસ્તરેલો છે.
તેથી,ઢાળ:
$Y = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{8 \times 10^7 \text{ Nm}^{-2} - 0}{4 \times 10^{-4} - 0}$
$Y = \frac{8 \times 10^7}{4 \times 10^{-4}} \text{ Nm}^{-2}$
$Y = 2 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે, જ્યાં $F$ એ બળ છે, $L$ એ મૂળ લંબાઈ છે, $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો વધારો છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી, આપણે લખી શકીએ કે $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A} = \frac{4 \cdot F \cdot L}{Y \cdot \pi \cdot d^2}$.
આના પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\Delta L \propto \frac{1}{d^2}$.
પ્રારંભિક વ્યાસ $d_1 = 0.4 \,mm$ અને પ્રારંભિક વધારો $\Delta L_1 = 2.4 \,cm$ આપેલ છે.
જો વ્યાસ બમણો કરવામાં આવે, તો $d_2 = 2 \cdot d_1$.
તેથી, $\frac{\Delta L_2}{\Delta L_1} = \left( \frac{d_1}{d_2} \right)^2 = \left( \frac{d_1}{2 \cdot d_1} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ, $\Delta L_2 = \frac{\Delta L_1}{4} = \frac{2.4 \,cm}{4} = 0.6 \,cm$.

(B) જ્યારે તારના તાપમાનમાં ફેરફાર થાય ત્યારે બંને છેડે જડિત તારમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma = Y \alpha \Delta t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
સ્ટ્રેસ $\sigma = \frac{T}{A}$ હોવાથી, તણાવમાં થતો ફેરફાર $T = Y A \alpha \Delta t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે।
આપેલ છે:
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \text{ N/m}^2$.
ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ mm}^2 = 10^{-6} \text{ m}^2$.
રેખીય પ્રસરણાંક $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} {}^{\circ} \text{C}^{-1}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta t = 40^{\circ} \text{C} - 20^{\circ} \text{C} = 20^{\circ} \text{C}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$T = (2.0 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (1.1 \times 10^{-5}) \times (20)$.
$T = 2.0 \times 10^{11} \times 10^{-6} \times 1.1 \times 10^{-5} \times 20$.
$T = 2.0 \times 1.1 \times 20 \times 10^{11-6-5}$.
$T = 44 \times 10^0 = 44 \text{ N}$.
આમ, તણાવમાં થતો ફેરફાર $44 \text{ N}$ છે।

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે, જ્યાં $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ છે.
વિસ્તરણ માટે સૂત્ર ગોઠવતા: $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$.
બંને તાર માટે $F$, $L$ અને $\Delta L$ સમાન હોવાથી, $\frac{1}{d_c^2 Y_c} = \frac{1}{d_a^2 Y_a}$ મળે, જ્યાં $c$ તાંબા માટે અને $a$ એલ્યુમિનિયમ માટે છે.
તેથી, $d_c^2 Y_c = d_a^2 Y_a$.
કિંમતો મૂકતા: $d_c^2 (12 \times 10^{10}) = (3 \text{ mm})^2 (7 \times 10^{10})$.
$d_c^2 = \frac{9 \times 7}{12} \text{ mm}^2 = \frac{63}{12} \text{ mm}^2 = 5.25 \text{ mm}^2$.
$d_c = \sqrt{5.25} \text{ mm} \approx 2.29 \text{ mm} \approx 2.3 \text{ mm}$.

(B) સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થમાં,વિરૂપક બળ લગાડવા છતાં તેના પરિમાણોમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,તેથી સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થમાં વિકૃતિ (strain) શૂન્ય હોય છે.
$\text{યંગ મોડ્યુલસ} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{\text{વિકૃતિ}} = \frac{\text{પ્રતિબળ}}{0} = \infty$.
આમ,સંપૂર્ણ દ્રઢ પદાર્થનો યંગ મોડ્યુલસ અનંત હોય છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ ભાર છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,બંને તાર માટે $Y$ અચળ છે.
ભાર $F$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ મળે છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ હોવાથી,આપણે $F = \frac{Y (\pi r^2) \Delta L}{L}$ લખી શકીએ.
આપેલ ગુણોત્તર: $r_1/r_2 = 1/2$ અને $L_1/L_2 = 1/2$. વિસ્તરણ સમાન છે,તેથી $\Delta L_1 = \Delta L_2$.
ભારનો ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2} \times \frac{L_2}{L_1}$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{F_1}{F_2} = (1/2)^2 \times (2/1) = (1/4) \times 2 = 1/2$.
તેથી,લગાડવામાં આવેલા ભારનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) આપેલ છે,તારની લંબાઈ $l = 50 \text{ cm} = 0.5 \text{ m}$.
તારનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 1 \text{ mm}^2 = 1 \times 10^{-6} \text{ m}^2$.
તારનું દળ $m = 5 \text{ g} = 5 \times 10^{-3} \text{ kg}$.
લંબગત તરંગની ઝડપ $v = 80 \text{ ms}^{-1}$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = 4 \times 10^{11} \text{ Nm}^{-2}$.
ખેંચાયેલા તારમાં લંબગત તરંગની ઝડપ $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ તણાવ છે અને $\mu = \frac{m}{l}$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{T \cdot l}{m}} \implies v^2 = \frac{T \cdot l}{m} \implies T = \frac{v^2 m}{l}$.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $Y = \frac{T/A}{\Delta l/l} \implies \Delta l = \frac{T \cdot l}{A \cdot Y}$ છે.
$\Delta l$ માટેના સમીકરણમાં $T = \frac{v^2 m}{l}$ મૂકતા:
$\Delta l = \frac{(v^2 m / l) \cdot l}{A \cdot Y} = \frac{v^2 m}{A Y}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta l = \frac{(80)^2 \times (5 \times 10^{-3})}{(1 \times 10^{-6}) \times (4 \times 10^{11})} = \frac{6400 \times 5 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32000 \times 10^{-3}}{4 \times 10^5} = \frac{32}{4 \times 10^5} = 8 \times 10^{-5} \text{ m}$.
આમ,તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $8 \times 10^{-5} \text{ m}$ છે.

(D) આપેલ છે: તારમાં થતો વધારો, $\Delta l = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$. દડાનું દળ, $m = 1 \,kg$. તારની લંબાઈ, $l = 1 \,m$. તારના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ, $A = 0.01 \,cm^2 = 0.01 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-6} \,m^2$. સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ, $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$.
તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ એ દડા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $T = m \omega^2 l$.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા મુજબ, $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{T/A}{\Delta l/l} = \frac{T l}{A \Delta l}$.
સમીકરણમાં $T = m \omega^2 l$ મૂકતા:
$Y = \frac{(m \omega^2 l) l}{A \Delta l} = \frac{m \omega^2 l^2}{A \Delta l}$.
$\omega$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\omega^2 = \frac{Y A \Delta l}{m l^2} \implies \omega = \sqrt{\frac{Y A \Delta l}{m l^2}}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega = \sqrt{\frac{(2 \times 10^{11}) \times (10^{-6}) \times (2 \times 10^{-3})}{1 \times (1)^2}} = \sqrt{\frac{2 \times 10^{11} \times 2 \times 10^{-9}}{1}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} = 20 \,rad/s$.

(A) દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અચળ છે. આપેલ છે કે તણાવ બળ $(F)$ પણ અચળ છે,તેથી વિસ્તરણ $(\Delta L)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\Delta L = \frac{F L}{Y A}$
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{\pi D^2}{4}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\Delta L = \frac{4 F L}{Y \pi D^2} \Rightarrow \Delta L \propto \frac{L}{D^2}$
હવે,દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{L}{D^2}$ નો ગુણોત્તર ગણીએ:
$(A)$ $\frac{0.5}{(0.5 \times 10^{-3})^2} = \frac{0.5}{0.25 \times 10^{-6}} = 2 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(B)$ $\frac{1}{(1 \times 10^{-3})^2} = \frac{1}{1 \times 10^{-6}} = 1 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(C)$ $\frac{2}{(2 \times 10^{-3})^2} = \frac{2}{4 \times 10^{-6}} = 0.5 \times 10^6 \ m^{-1}$
$(D)$ $\frac{3}{(3 \times 10^{-3})^2} = \frac{3}{9 \times 10^{-6}} = 0.33 \times 10^6 \ m^{-1}$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$\frac{L}{D^2}$ નો ગુણોત્તર વિકલ્પ $(A)$ માટે સૌથી વધુ છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ તારમાં સૌથી વધુ વિસ્તરણ થશે.

(B) આપેલ છે કે,બે તાર સમાન લંબાઈ અને સમાન આડછેદનું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.
$l_1 = l_2 = l$ અને $A_1 = A_2 = A$.
ધારો કે લટકાવેલા ભારનું દળ $m$ છે.
આકૃતિ પરથી,કુલ ઉપરની તરફનું બળ $2T = mg$ છે,જ્યાં $T$ એ દરેક તારમાં તણાવ છે.
તેથી,$T = \frac{mg}{2}$.
દરેક તાર પરનું સ્ટ્રેસ (પ્રતિબળ) $\text{stress} = \frac{T}{A} = \frac{mg}{2A}$ છે.
તાર એક સખત સળિયા સાથે જોડાયેલા હોવાથી,જ્યારે ભાર લાગુ કરવામાં આવે ત્યારે તેઓ સમાન લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ અનુભવે છે.
દરેક તાર માટે યંગ મોડ્યુલસ નીચે મુજબ છે:
$Y_1 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_1$ ... $(i)$
$Y_2 = \frac{\text{stress}}{\text{strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l} \implies \frac{mgl}{A \Delta l} = 2Y_2$ ... (ii)
જો $Y$ એ સંયોજનનો સમતુલ્ય યંગ મોડ્યુલસ હોય,તો કુલ બળ $mg$ એ $2A$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સમતુલ્ય તાર દ્વારા આધારિત છે:
$Y = \frac{\text{total stress}}{\text{total strain}} = \frac{mg/2A}{\Delta l/l} = \frac{mgl}{2A \Delta l}$.
વૈકલ્પિક રીતે,બળ સંતુલન ધ્યાનમાં લેતા: $mg = F_1 + F_2 = \frac{Y_1 A \Delta l}{l} + \frac{Y_2 A \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l}$.
સમતુલ્ય સિસ્ટમ માટે: $mg = \frac{Y (2A) \Delta l}{l}$.
$mg$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{Y (2A) \Delta l}{l} = \frac{(Y_1 + Y_2) A \Delta l}{l} \implies 2Y = Y_1 + Y_2 \implies Y = \frac{Y_1 + Y_2}{2}$.

(A) આપેલ છે: દળ $M = 2 \,kg$, વ્યાસ $d = 4.5 \,cm$, ત્રિજ્યા $r = 2.25 \,cm = 0.0225 \,m$, તારની લંબાઈ $L = 2 \,m$, આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.24 \times 10^{-6} \,m^2$, છતની ઊંચાઈ $H = 205 \,cm = 2.05 \,m$, યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \,Nm^{-2}$, $g = 10 \,ms^{-2}$.
સૌથી નીચલા સ્થાને, તંત્રની કુલ લંબાઈ (તાર + ગોળો) $2.05 \,m$ છે। તારની મૂળ લંબાઈ $2 \,m$ છે અને ગોળાનો વ્યાસ $4.5 \,cm = 0.045 \,m$ છે। તારમાં થતો વધારો $\Delta L = 2.05 \,m - (2 \,m + 0.045 \,m) = 0.005 \,m$.
સૌથી નીચલા બિંદુએ તારમાં તણાવ $T$ એ ગોળાનું વજન અને કેન્દ્રત્યાગી બળનો સરવાળો છે: $T = Mg + \frac{Mv^2}{R}$, જ્યાં $R$ એ છતથી ગોળાના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર છે, $R = L + \Delta L + r = 2 + 0.005 + 0.0225 = 2.0275 \,m$.
હૂકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{T L}{A \Delta L} \Rightarrow T = \frac{Y A \Delta L}{L}$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{(2 \times 10^{11}) \times (0.24 \times 10^{-6}) \times 0.005}{2} = 120 \,N$.
હવે, $Mg + \frac{Mv^2}{R} = 120 \Rightarrow (2 \times 10) + \frac{2 v^2}{2.0275} = 120$.
$20 + \frac{2 v^2}{2.0275} = 120 \Rightarrow \frac{2 v^2}{2.0275} = 100 \Rightarrow v^2 = 50 \times 2.0275 = 101.375$.
$v = \sqrt{101.375} \approx 10.07 \,ms^{-1}$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $10 \,ms^{-1}$ છે.

(D) ધારો કે દરેક તારની લંબાઈ $L = 0.5 \,m$,ક્ષેત્રફળ $A = 0.01 \,mm^2 = 10^{-8} \,m^2$ અને સળિયાનું દળ $M = 1.8 \,kg$ છે.
સળિયો બે તાર દ્વારા લટકાવેલ છે જે ખીલી સાથે સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. સળિયાની લંબાઈ $0.8 \,m$ છે,તેથી કેન્દ્રથી દરેક છેડા સુધીનું આડું અંતર $0.4 \,m$ છે.
ખીલીથી સળિયાની ઊભી ઊંચાઈ $h = \sqrt{L^2 - (0.4)^2} = \sqrt{0.5^2 - 0.4^2} = 0.3 \,m$ છે.
દરેક તારમાં તણાવ $T$ માટે: $2T \cos \theta = Mg$,જ્યાં $\cos \theta = h/L = 0.3/0.5 = 0.6$.
$2T(0.6) = 1.8 \times 10 \implies 1.2T = 18 \implies T = 15 \,N$.
દરેક તારમાં વિસ્તરણ $\Delta L = \frac{TL}{AY} = \frac{15 \times 0.5}{10^{-8} \times 2 \times 10^{11}} = 3.75 \,mm$ છે.
નવી ઊભી ઊંચાઈ $h' = \sqrt{(L+\Delta L)^2 - (0.4)^2} \approx h + \frac{L}{h} \Delta L = 0.3 + \frac{0.5}{0.3} \times 3.75 \,mm = 6.25 \,mm$.

(D) ધારો કે $L = 1.4 \,m$ એ તારની મૂળ લંબાઈ છે,$A = 0.5 \,mm^2 = 0.5 \times 10^{-6} \,m^2$ એ ક્ષેત્રફળ છે,$m = 0.5 \,kg$ એ દળ છે અને $\theta = 30^{\circ}$ એ સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો છે।
દડા પર લાગતા બળો તારમાં તણાવ $T$,ગુરુત્વાકર્ષણ $mg$ અને કેન્દ્રગામી બળ $m \omega^2 r$ છે।
શિરોલંબ સંતુલન માટે: $T \sin \theta = mg$.
તેથી,$T = \frac{mg}{\sin 30^{\circ}} = \frac{0.5 \times 10}{0.5} = 10 \,N$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $Y = \frac{T L}{A \Delta L}$,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં વધારો છે।
$\Delta L = \frac{T L}{A Y} = \frac{10 \times 1.4}{0.5 \times 10^{-6} \times 0.7 \times 10^{11}}$.
$\Delta L = \frac{14}{0.35 \times 10^5} = \frac{14}{35000} = 0.0004 \,m$.
$mm$ માં ફેરવતા: $\Delta L = 0.0004 \times 1000 = 0.4 \,mm$.

(C) ધારો કે $L_S, A_S, Y_S$ એ સ્ટીલના તારની લંબાઈ,આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને યંગ મોડ્યુલસ છે,અને $L_B, A_B, Y_B$ એ પિત્તળના તાર માટેના અનુરૂપ મૂલ્યો છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{L_S}{L_B} = a$,$\frac{A_S}{A_B} = b$,અને $\frac{Y_S}{Y_B} = c$ છે.
પિત્તળના તારમાં તણાવ $(F_B)$ એ $4 \ kg$ દળને ટેકો આપે છે,તેથી $F_B = 4g$.
સ્ટીલના તારમાં તણાવ $(F_S)$ એ $3 \ kg$ અને $4 \ kg$ બંને દળને ટેકો આપે છે,તેથી $F_S = (3+4)g = 7g$.
લંબાઈમાં થતા વધારાના સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ પરથી,પિત્તળના તારનો વધારો $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A_B Y_B}$ અને સ્ટીલના તારનો વધારો $\Delta L_S = \frac{F_S L_S}{A_S Y_S}$ છે.
પિત્તળના તારની લંબાઈમાં થતો વધારો અને સ્ટીલના તારની લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{F_B}{F_S}\right) \left(\frac{L_B}{L_S}\right) \left(\frac{A_S}{A_B}\right) \left(\frac{Y_S}{Y_B}\right)$
આપેલ ગુણોત્તર મૂકતા:
$\frac{\Delta L_B}{\Delta L_S} = \left(\frac{4g}{7g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b) (c) = \frac{4bc}{7a}$.

(B) રેખીય વિકૃતિ $\epsilon$ એ $\epsilon = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{F}{A \cdot Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તણાવ,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
સ્ટીલના તાર માટે: તણાવ $F_s = (3 + 2) \ kg \times g = 5g$. ક્ષેત્રફળ $A_s = \pi r^2$. યંગ મોડ્યુલસ $Y_s = 20 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
સ્ટીલમાં વિકૃતિ $\epsilon_s = \frac{5g}{\pi r^2 \cdot 20 \times 10^{10}}$.
તાંબાના તાર માટે: તણાવ $F_c = 2 \ kg \times g = 2g$. ક્ષેત્રફળ $A_c = \pi (2r)^2 = 4\pi r^2$. યંગ મોડ્યુલસ $Y_c = 12 \times 10^{10} \ Nm^{-2}$.
તાંબામાં વિકૃતિ $\epsilon_c = \frac{2g}{4\pi r^2 \cdot 12 \times 10^{10}} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}}$.
ગુણોત્તર $\frac{\epsilon_c}{\epsilon_s} = \frac{g}{24\pi r^2 \times 10^{10}} \times \frac{20\pi r^2 \times 10^{10}}{5g} = \frac{20}{120} = \frac{1}{6}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 6$ છે.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{\text{stress}}{\text{strain}}$ છે.
સ્ટ્રેસ (તણાવ) એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ $(F/A)$ અને સ્ટ્રેઈન (વિકૃતિ) એટલે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર અને મૂળ લંબાઈનો ગુણોત્તર $(\Delta L/L)$.
આપેલ છે: $L = 1.0 \ m$,$A = 0.50 \ cm^2 = 0.50 \times 10^{-4} \ m^2$,$m = 500 \ kg$,$Y = 10^{11} \ Pa$,અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
સળિયા પર લાગતું બળ $F$ એ પ્લેટફોર્મનું વજન છે: $F = mg = 500 \times 10 = 5000 \ N$.
આ કિંમતોને $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$ સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ મળે છે.
$\Delta L = \frac{5000 \times 1.0}{0.50 \times 10^{-4} \times 10^{11}} = \frac{5000}{0.50 \times 10^7} = \frac{5000}{5000000} = 10^{-3} \ m$.
તેથી,લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L = 1 \ mm$ છે.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{\pi r^2 \cdot \Delta l}$ છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot \pi r^2}$ મળે.
અહીં દ્રવ્ય સમાન હોવાથી $Y$ અચળ છે અને તણાવ બળ $F$ પણ સમાન છે,તેથી $\Delta l \propto \frac{l}{r^2}$.
તાર $A$ માટે: $\Delta l_A \propto \frac{1}{(0.2)^2} = \frac{1}{0.04} = 25$.
તાર $B$ માટે: $\Delta l_B \propto \frac{2}{(0.4)^2} = \frac{2}{0.16} = 12.5$.
તાર $C$ માટે: $\Delta l_C \propto \frac{3}{(0.6)^2} = \frac{3}{0.36} = 8.33$.
તાર $D$ માટે: $\Delta l_D \propto \frac{4}{(0.8)^2} = \frac{4}{0.64} = 6.25$.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,તાર $A$ માં લંબાઈમાં વધારો સૌથી વધુ છે.

(D) ધારો કે $l_s, r_s, Y_s$ એ સ્ટીલના તારની લંબાઈ,ત્રિજ્યા અને યંગ મોડ્યુલસ છે,અને $l_b, r_b, Y_b$ એ પિત્તળના તાર માટે છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{l_s}{l_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,$\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,સ્ટીલના તારમાં તણાવ $F_s = 2g$ છે અને પિત્તળના તારમાં તણાવ $F_b = 2g + 2g = 4g$ છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ એ $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પિત્તળ અને સ્ટીલના વિસ્તરણનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \frac{F_b l_b}{\pi r_b^2 Y_b} \cdot \frac{\pi r_s^2 Y_s}{F_s l_s} = \left(\frac{F_b}{F_s}\right) \left(\frac{l_b}{l_s}\right) \left(\frac{r_s}{r_b}\right)^2 \left(\frac{Y_s}{Y_b}\right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \left(\frac{4g}{2g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b)^2 (c) = \frac{2 b^2 c}{a}$.
પ્રશ્નમાં પૂછેલ ગુણોત્તર અને વિકલ્પો જોતા,સ્ટીલ અને પિત્તળના વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_s}{\Delta l_b} = \frac{a}{2 b^2 c}$ થાય,જે વિકલ્પ $D$ છે.