Young’s Modulus Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $l_s, r_s, Y_s$ એ સ્ટીલના તારની લંબાઈ,ત્રિજ્યા અને યંગ મોડ્યુલસ છે,અને $l_b, r_b, Y_b$ એ પિત્તળના તાર માટે છે.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{l_s}{l_b} = a$,$\frac{r_s}{r_b} = b$,$\frac{Y_s}{Y_b} = c$.
ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામ પરથી,સ્ટીલના તારમાં તણાવ $F_s = 2g$ છે અને પિત્તળના તારમાં તણાવ $F_b = 2g + 2g = 4g$ છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta l$ એ $\Delta l = \frac{F l}{A Y} = \frac{F l}{\pi r^2 Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પિત્તળ અને સ્ટીલના વિસ્તરણનો ગુણોત્તર:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \frac{F_b l_b}{\pi r_b^2 Y_b} \cdot \frac{\pi r_s^2 Y_s}{F_s l_s} = \left(\frac{F_b}{F_s}\right) \left(\frac{l_b}{l_s}\right) \left(\frac{r_s}{r_b}\right)^2 \left(\frac{Y_s}{Y_b}\right)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta l_b}{\Delta l_s} = \left(\frac{4g}{2g}\right) \left(\frac{1}{a}\right) (b)^2 (c) = \frac{2 b^2 c}{a}$.
પ્રશ્નમાં પૂછેલ ગુણોત્તર અને વિકલ્પો જોતા,સ્ટીલ અને પિત્તળના વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_s}{\Delta l_b} = \frac{a}{2 b^2 c}$ થાય,જે વિકલ્પ $D$ છે.

(B) તારની લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ એ $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
તાર સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી,$Y_A = Y_B = Y$ થાય. બળ $F$ પણ સમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે દળ $m = \rho A L$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે. દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$\rho_A = \rho_B = \rho$ થાય.
તેથી,$L = \frac{m}{\rho A}$.
આ કિંમતને લંબાઈમાં થતા વધારાના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta L = \frac{F}{\rho A^2 Y} \cdot m$.
લંબાઈમાં થતા વધારાના ગુણોત્તર માટે: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{m_A}{m_B} \cdot \left( \frac{A_B}{A_A} \right)^2$.
આપેલ છે કે $\frac{m_A}{m_B} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{A_A}{A_B} = \frac{1}{2}$,તેથી $\frac{A_B}{A_A} = 2$ થાય.
તેથી,$\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \frac{2}{3} \cdot (2)^2 = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}$.

(D) ધારો કે બંને સળિયાની લંબાઈ $L_1$ અને $L_2$,ઘનતા $\rho$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ છે.
સમાન દળ હોવાથી,$m_1 = m_2 \implies \rho A_1 L_1 = \rho A_2 L_2 \implies A_1 L_1 = A_2 L_2$.
વર્તુળાકાર સળિયા માટે,$A_1 = \pi (0.5)^2 = \frac{\pi}{4} \ cm^2$.
ચોરસ સળિયા માટે,$A_2 = 1^2 = 1 \ cm^2$.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_1}{\Delta L_2} = \frac{L_1}{A_1} \times \frac{A_2}{L_2} = \frac{L_1}{L_2} \times \frac{A_2}{A_1}$.
સમીકરણ $A_1 L_1 = A_2 L_2$ પરથી,$\frac{L_1}{L_2} = \frac{A_2}{A_1}$.
તેથી,ગુણોત્તર $= (\frac{A_2}{A_1})^2 = (\frac{1}{\pi/4})^2 = (\frac{4}{\pi})^2 = \frac{16}{\pi^2}$.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જે લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{F \cdot L}{Y \cdot A}$ આપે છે.
આપેલ છે કે કુલ લંબાઈમાં વધારો $\Delta L_{total} = \Delta L_s + \Delta L_c = 1.05 \times 10^{-3} \ m$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{F \cdot L_s}{Y_s \cdot A} + \frac{F \cdot L_c}{Y_c \cdot A} = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F \left( \frac{3}{2 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} + \frac{2.2}{1.1 \times 10^{11} \times 6 \times 10^{-6}} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $F \left( \frac{3}{12 \times 10^5} + \frac{2.2}{6.6 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{1}{4 \times 10^5} + \frac{1}{3 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{3+4}{12 \times 10^5} \right) = F \left( \frac{7}{12 \times 10^5} \right) = 1.05 \times 10^{-3}$.
$F = \frac{1.05 \times 10^{-3} \times 12 \times 10^5}{7} = 180 \ N$.

(B) આપેલ છે: આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-6} \, m^2$, વિકૃતિ $\varepsilon = 0.1 \% = 0.1 / 100 = 10^{-3}$, તણાવ બળ $T = 1000 \, N$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે.
પ્રતિબળ $\sigma = T / A = 1000 / 10^{-6} = 10^9 \, N/m^2$.
યંગ મોડ્યુલસ $Y = \sigma / \varepsilon = 10^9 / 10^{-3} = 10^{12} \, N/m^2$.

(B) આપેલ છે: દળ $M = 2 \ kg$,લંબાઈ $l = 2 \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 1 \ mm^2 = 1 \times 10^{-6} \ m^2$,મહત્તમ લંબાઈમાં વધારો $\Delta l = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$,$g = 10 \ ms^{-2}$.
સૌથી ઉંચા બિંદુએ તણાવ શૂન્ય હોવા માટે,નીચેના બિંદુએ વેગ $v = \sqrt{5gl}$ હોવો જોઈએ.
$v = \sqrt{5 \times 10 \times 2} = \sqrt{100} = 10 \ ms^{-1}$.
મહત્તમ તણાવ $T_{\max}$ ઉર્ધ્વ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ જોવા મળે છે:
$T_{\max} = mg + \frac{Mv^2}{l} = (2 \times 10) + \frac{2 \times (10)^2}{2} = 20 + 100 = 120 \ N$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર $Y = \frac{T_{\max} \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$Y = \frac{120 \times 2}{1 \times 10^{-6} \times 2 \times 10^{-3}} = \frac{240}{2 \times 10^{-9}} = 120 \times 10^9 = 1.2 \times 10^{11} \ Nm^{-2}$.

(D) યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L} = \frac{FL}{\Delta L A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ,$A = \pi r^2 = \pi (D/2)^2 = \frac{\pi D^2}{4}$ હોવાથી,$\Delta L = \frac{FL}{YA} = \frac{4FL}{Y \pi D^2}$ મળે.
સમાન દ્રવ્યના તાર માટે ($Y$ અચળ છે) અને સમાન બળ ($F$ અચળ છે) માટે,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L \propto \frac{L}{D^2}$ થાય.
$(a)$ $\frac{100}{1^2} = 100$
$(b)$ $\frac{200}{2^2} = \frac{200}{4} = 50$
$(c)$ $\frac{300}{3^2} = \frac{300}{9} \approx 33.33$
$(d)$ $\frac{50}{0.5^2} = \frac{50}{0.25} = 200$
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(d)$ માટે લંબાઈમાં વધારો મહત્તમ છે.

(A) હૂકના નિયમ મુજબ,$Y = \frac{F/A}{\Delta l/l_0}$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta l = \frac{F l_0}{A Y}$.
કારણ કે ત્રણેય તાર માટે બળ $F$ અને મૂળ લંબાઈ $l_0$ સમાન છે,તેથી લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l$ એ ક્ષેત્રફળ $A$ અને યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ના ગુણાકારના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$\Delta l \propto \frac{1}{A Y}$.
આપેલ ગુણોત્તર $A_1:A_2:A_3 = 1:2:3$ અને $Y_1:Y_2:Y_3 = 3:2:1$ પરથી,આપણે $A_i Y_i$ નો ગુણાકાર મેળવીએ છીએ:
$A_1 Y_1 = 1 \times 3 = 3$
$A_2 Y_2 = 2 \times 2 = 4$
$A_3 Y_3 = 3 \times 1 = 3$
તેથી,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\Delta l_1 : \Delta l_2 : \Delta l_3 = \frac{1}{3} : \frac{1}{4} : \frac{1}{3}$ થશે.
ગુણોત્તરને સરળ બનાવવા માટે $12$ વડે ગુણતા,આપણને $4 : 3 : 4$ મળે છે.

(B) શિરોલંબ વર્તુળના સૌથી નીચલા બિંદુએ, તારમાં ઉદ્ભવતું તણાવ બળ $T$ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે અને પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે।
તાર પર લાગતું કુલ બળ $F = mg + m\omega^2l$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ કિંમતો: $m = 15 \,kg$, $l = 1.0 \,m$, $\omega = 4 \,rad/s$, $A = 0.05 \,cm^2 = 0.05 \times 10^{-4} \,m^2$, $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$, અને $g = 10 \,m/s^2$.
બળ $F$ ની ગણતરી:
$F = (15 \times 10) + (15 \times 4^2 \times 1) = 150 + 240 = 390 \,N$.
યંગ મોડ્યુલસના સૂત્ર $Y = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ નો ઉપયોગ કરતા, તારમાં થતો વધારો $\Delta l$:
$\Delta l = \frac{Fl}{AY} = \frac{390 \times 1.0}{(0.05 \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{390}{0.1 \times 10^7} = \frac{390}{10^6} = 390 \times 10^{-6} \,m = 0.39 \,mm$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $B$ છે।

(B) વિસ્તરણ $\Delta l$ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{F l}{Y A} = \frac{m g l}{Y \pi r^2}$ છે.
અહીં $m, g, l$ બંને તાર માટે સમાન હોવાથી,$\Delta l \propto \frac{1}{Y r^2}$ મળે.
તેથી,$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2$.
આપેલ છે કે $\Delta l_2 = 2 \Delta l_1$,તેથી $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{1}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{1.5}{2} \right)^2$.
$\frac{1}{2} = \frac{Y_2}{Y_1} \times \left( \frac{3}{4} \right)^2 = \frac{Y_2}{Y_1} \times \frac{9}{16}$.
$\frac{Y_1}{Y_2} = \frac{9}{16} \times 2 = \frac{18}{16} = \frac{9}{8}$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 10.0 \ mm = 0.01 \ m$,લંબાઈ $L = 50.0 \ cm = 0.5 \ m$,બળ $F = 10.0 \times \pi \ kN = 10^4 \pi \ N$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$.
લંબાઈમાં થતા ફેરફારનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે,જ્યાં $A = \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $A = \pi \times (0.01)^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
$\Delta L = \frac{(10^4 \pi) \times 0.5}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})}$.
$\Delta L = \frac{0.5 \times 10^4}{2.0 \times 10^7} = 0.25 \times 10^{-3} \ m = 0.25 \ mm$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર $Y = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta L}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$L$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\Delta L$ એ વિસ્તરણ છે.
તાર છેડેથી જોડાયેલા હોવાથી અને સમાન તણાવ $(F)$ હેઠળ હોવાથી,બંને તાર માટે બળ $F$ સમાન છે. આપેલ છે કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ અને વિસ્તરણ $(\Delta L)$ પણ સમાન છે,તેથી:
$\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$
બંને તાર માટે $\Delta L$,$F$,અને $A$ અચળ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{L_{\text{steel}}}{Y_{\text{steel}}} = \frac{L_{\text{copper}}}{Y_{\text{copper}}}$
લંબાઈના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા:
$\frac{L_{\text{steel}}}{L_{\text{copper}}} = \frac{Y_{\text{steel}}}{Y_{\text{copper}}}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{L_{\text{steel}}}{L_{\text{copper}}} = \frac{2.0 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}} = \frac{20}{11}$
આમ,ગુણોત્તર $20: 11$ છે.

(D) ધારો કે $L_0$ એ તારની મૂળભૂત લંબાઈ છે અને $Y$ એ દ્રવ્યનો યંગ મોડ્યુલસ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$,જ્યાં $T$ એ તણાવ બળ છે અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તેથી,$L = L_0 + \frac{L_0 T}{A Y} = L_0 \left(1 + \frac{T}{A Y}\right)$.
આપેલ શરતો માટે:
$L_1 = L_0 \left(1 + \frac{T_1}{A Y}\right) \implies L_1 - L_0 = \frac{L_0 T_1}{A Y} \quad \dots (i)$
$L_2 = L_0 \left(1 + \frac{T_2}{A Y}\right) \implies L_2 - L_0 = \frac{L_0 T_2}{A Y} \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{L_1 - L_0}{L_2 - L_0} = \frac{T_1}{T_2}$
$T_2(L_1 - L_0) = T_1(L_2 - L_0)$
$L_1 T_2 - L_0 T_2 = L_2 T_1 - L_0 T_1$
$L_1 T_2 - L_2 T_1 = L_0 T_2 - L_0 T_1 = L_0(T_2 - T_1)$
$L_0 = \frac{L_1 T_2 - L_2 T_1}{T_2 - T_1}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે, યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$
લંબાઈમાં થતા ફેરફાર $(\Delta l)$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta l = \frac{F \cdot l}{A \cdot Y}$
આપેલ કિંમતો:
બળ $(F)$ = $80 \,kN = 80 \times 10^3 \,N$
લંબાઈ $(l)$ = $1 \,m$
ત્રિજ્યા $(r)$ = $10 \,mm = 10 \times 10^{-3} \,m = 10^{-2} \,m$
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $(A)$ = $\pi r^2 = \pi \times (10^{-2} \,m)^2 = \pi \times 10^{-4} \,m^2$
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $2 \times 10^{11} \,N/m^2$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3 \times 1}{(\pi \times 10^{-4}) \times (2 \times 10^{11})}$
$\Delta l = \frac{80 \times 10^3}{\pi \times 2 \times 10^7}$
$\Delta l = \frac{40}{\pi} \times 10^{-4} \,m = \frac{4}{\pi} \times 10^{-3} \,m$
કારણ કે $10^{-3} \,m = 1 \,mm$, તેથી:
$\Delta l = \frac{4}{\pi} \,mm$

(B) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેસ (તણાવ પ્રતિબળ) અને લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેઈન (રેખીય વિકૃતિ) નો ગુણોત્તર છે.
જો $L$ લંબાઈ અને $A$ આડછેદના ક્ષેત્રફળ ધરાવતા સળિયા કે તાર પર તેની સપાટીને લંબરૂપે $F$ જેટલું ખેંચાણ બળ લગાડવામાં આવે,જેનાથી લંબાઈમાં $\Delta L$ જેટલો વધારો થાય,તો:
$\text{ટેન્સાઈલ સ્ટ્રેસ} = \frac{F}{A}$
$\text{લોન્ગીટ્યુડિનલ સ્ટ્રેઈન} = \frac{\Delta L}{L}$
તેથી,$Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
આમ,યંગ મોડ્યુલસ એ એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ લાગતા બળ (પ્રતિબળ) ને લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર (રેખીય વિકૃતિ) સાથે સંબંધિત કરે છે.

(A) તાર $A$ માટે: લંબાઈ $L_A = L$,ત્રિજ્યા $R_A = R$,ક્ષેત્રફળ $A_A = \pi R^2$.
તાર $B$ માટે: લંબાઈ $L_B = 3L$,ત્રિજ્યા $R_B = 2R$,ક્ષેત્રફળ $A_B = \pi (2R)^2 = 4\pi R^2$.
જ્યારે તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય અને $F$ બળ વડે ખેંચવામાં આવે,ત્યારે બંને તારમાં તણાવ સમાન હોય છે.
લંબાઈમાં વધારો $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે બંને તારમાં લંબાઈનો વધારો સમાન છે,તેથી $\Delta L_A = \Delta L_B$.
$\frac{F L_A}{A_A Y_A} = \frac{F L_B}{A_B Y_B}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{F L}{(\pi R^2) Y_A} = \frac{F (3L)}{(4\pi R^2) Y_B}$
$\frac{1}{Y_A} = \frac{3}{4 Y_B}$
ગુણોત્તર મેળવતા:
$\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{3}{4}$.

(B) પરિભ્રમણની ધરીથી $x$ અંતરે $dx$ લંબાઈના સળિયાના એક નાના ઘટકનો વિચાર કરો.
આ ઘટકનું દળ $dm = \frac{M}{L} dx = \rho A dx$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ ઘટક પર લાગતું કેન્દ્રત્યાગી બળ $dF = (dm) x \omega^2 = \rho A \omega^2 x dx$ છે.
ધરીથી $x$ અંતરે તણાવ $T(x)$ એ $x$ થી $L$ સુધીના તમામ ઘટકો પરના કેન્દ્રત્યાગી બળોનો સરવાળો છે:
$T(x) = \int_x^L \rho A \omega^2 x' dx' = \rho A \omega^2 \left[ \frac{x'^2}{2} \right]_x^L = \frac{\rho A \omega^2}{2} (L^2 - x^2)$.
હુકના નિયમ મુજબ $dx$ ઘટકનું વિસ્તરણ $d\Delta L$ નીચે મુજબ છે:
$d\Delta L = \frac{T(x) dx}{AY} = \frac{\rho A \omega^2 (L^2 - x^2) dx}{2 AY} = \frac{\rho \omega^2}{2Y} (L^2 - x^2) dx$.
લંબાઈમાં કુલ વધારો $\Delta L$ એ $0$ થી $L$ સુધીનું સંકલન છે:
$\Delta L = \int_0^L \frac{\rho \omega^2}{2Y} (L^2 - x^2) dx = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left[ L^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_0^L = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left( L^3 - \frac{L^3}{3} \right) = \frac{\rho \omega^2}{2Y} \left( \frac{2L^3}{3} \right) = \frac{\rho \omega^2 L^3}{3Y}$.

(B) આપેલ છે: લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_1: l_2 = 5: 2$,વ્યાસનો ગુણોત્તર $d_1: d_2 = 4: 3$ અને બળનો ગુણોત્તર $F_1: F_2 = 4: 5$.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2$ હોવાથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર $A_1: A_2 = d_1^2: d_2^2 = 4^2: 3^2 = 16: 9$ થાય.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta l}$ છે,તેથી લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta l = \frac{FL}{AY}$ થાય.
તેથી,લંબાઈમાં થતા વધારાનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \frac{F_1}{F_2} \times \frac{l_1}{l_2} \times \frac{A_2}{A_1} \times \frac{Y_2}{Y_1}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = \left(\frac{4}{5}\right) \times \left(\frac{5}{2}\right) \times \left(\frac{9}{16}\right) \times \left(\frac{0.7 \times 10^{11}}{1.1 \times 10^{11}}\right)$.
$\frac{\Delta l_1}{\Delta l_2} = 2 \times \frac{9}{16} \times \frac{7}{11} = \frac{18}{16} \times \frac{7}{11} = \frac{9}{8} \times \frac{7}{11} = \frac{63}{88}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{63}{88}$ છે.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ નું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta L}$ છે.
આપેલ કિંમતો: બળ $F = 400 \ kN = 400 \times 10^3 \ N$,લંબાઈ $L = 2 \ m$,ત્રિજ્યા $r = 50 \ mm = 50 \times 10^{-3} \ m$,વિસ્તરણ $\Delta L = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi \times (50 \times 10^{-3})^2 = \pi \times 2500 \times 10^{-6} = 2.5 \pi \times 10^{-3} \ m^2 \approx 7.85 \times 10^{-3} \ m^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{400 \times 10^3 \times 2}{(2.5 \pi \times 10^{-3}) \times (0.5 \times 10^{-3})}$
$Y = \frac{800 \times 10^3}{1.25 \pi \times 10^{-6}} = \frac{800}{1.25 \pi} \times 10^9 \approx \frac{640}{3.14} \times 10^9 \approx 203.8 \times 10^9 \approx 2 \times 10^{11} \ N/m^2$.

(D) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 0.015 \ m$,લંબાઈ $L = 0.2 \ m$.
સંબંધ $F = 97.2 \times 10^6 (\Delta L)$ છે.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta L}$ છે.
આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2 = \pi (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$.
$A$ ની કિંમત મૂકતા: $Y = \frac{4 F L}{\pi d^2 \Delta L}$.
આપેલ સંબંધ પરથી,$\frac{F}{\Delta L} = 97.2 \times 10^6 \ N/m$.
કિંમતો મૂકતા: $Y = \frac{4 \times (97.2 \times 10^6) \times 0.2}{3.14159 \times (0.015)^2}$.
$Y = \frac{77.76 \times 10^6}{0.00070685} \approx 110 \times 10^9 \ Pa = 110 \ GPa$.

(D) આપેલ છે: લંબાઈ $L = 1 \,m$,વ્યાસ $d = 8 \,mm$,ત્રિજ્યા $r = 4 \,mm = 4 \times 10^{-3} \,m$,વિસ્તરણ $\Delta l = 5 \,mm = 5 \times 10^{-3} \,m$,યંગ મોડ્યુલસ $Y = 2 \times 10^{11} \,N/m^2$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A \Delta l} = \frac{m g L}{(\pi r^2) \Delta l}$ છે।
દળ $m$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $m = \frac{Y \pi r^2 \Delta l}{g L}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{(2 \times 10^{11}) \times \pi \times (4 \times 10^{-3})^2 \times (5 \times 10^{-3})}{10 \times 1}$.
$m = \frac{2 \times 10^{11} \times 3.14 \times 16 \times 10^{-6} \times 5 \times 10^{-3}}{10}$.
$m = \frac{2 \times 3.14 \times 16 \times 5 \times 10^2}{10} = 502.4 \,kg$.
નોંધ: સ્ટીલ માટે યંગ મોડ્યુલસનું પ્રમાણિત મૂલ્ય $2 \times 10^{11} \,N/m^2$ લેવામાં આવ્યું છે।

(A) પ્રસરણને રોકવા માટે જરૂરી થર્મલ સ્ટ્રેસ એ લાગુ પાડેલા દબાણ જેટલું હોય છે.
થર્મલ સ્ટ્રેસનું સૂત્ર: $\sigma = Y \times \text{થર્મલ સ્ટ્રેઈન}$.
થર્મલ સ્ટ્રેઈન $\frac{\Delta L}{L} = \alpha \Delta T$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
તેથી,દબાણ $P = Y \alpha \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમતો:
$Y = 200 \text{ GPa} = 200 \times 10^9 \text{ Pa}$
$\alpha = 11 \times 10^{-6} / K$
$\Delta T = 100^{\circ} C = 100 \text{ K}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$P = (200 \times 10^9) \times (11 \times 10^{-6}) \times 100$
$P = 200 \times 11 \times 10^9 \times 10^{-6} \times 10^2$
$P = 2200 \times 10^5 = 2.2 \times 10^8 \text{ Pa} = 0.22 \times 10^9 \text{ Pa}$.

(D) આપેલ છે:
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ = $2 \times 10^{11} \,N/m^2$
સ્થિતિસ્થાપક મર્યાદા (સ્ટ્રેસ,$\sigma$) = $1 \times 10^8 \,N/m^2$
તારની મૂળ લંબાઈ $(L)$ = $1 \,m$
આપણે જાણીએ છીએ કે યંગ મોડ્યુલસ એ સ્ટ્રેસ અને સ્ટ્રેઈનનો ગુણોત્તર છે:
$Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{\sigma}{\Delta L / L}$
મહત્તમ વિસ્તરણ $(\Delta L)$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\Delta L = \frac{\sigma \times L}{Y}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta L = \frac{1 \times 10^8 \,N/m^2 \times 1 \,m}{2 \times 10^{11} \,N/m^2}$
$\Delta L = 0.5 \times 10^{-3} \,m$
મીટરને મિલીમીટરમાં ફેરવતા $(1 \,m = 1000 \,mm)$:
$\Delta L = 0.5 \,mm$

(C) તણાવ બળને કારણે થતું વિસ્તરણ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{A \cdot Y}$.
આપેલ છે: $F = 33000 \,N$, $A = 10^{-3} \,m^2$, $Y = 3 \times 10^{11} \,N/m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta l}{l} = \frac{33000}{10^{-3} \times 3 \times 10^{11}} = \frac{33000}{3 \times 10^8} = 11 \times 10^{-5}$.
ઉષ્મીય પ્રસરણને કારણે થતું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે: $\frac{\Delta l}{l} = \alpha \Delta T$.
આપેલ છે: $\alpha = 1.1 \times 10^{-5} /{ }^{\circ}C$.
બંને વિસ્તરણને સરખાવતા: $11 \times 10^{-5} = 1.1 \times 10^{-5} \times \Delta T$.
$\Delta T$ માટે ઉકેલતા: $\Delta T = \frac{11 \times 10^{-5}}{1.1 \times 10^{-5}} = 10^{\circ}C$.

(A) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
લંબાઈમાં થતા આંશિક ફેરફાર (વિકૃતિ) માટે સૂત્ર $\frac{\Delta l}{l} = \frac{F}{AY}$ મળે છે.
અહીં $m = 1 \,kg$, $g = 10 \,m/s^2$, $A = 3 \,mm^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$, અને $Y = 10^{11} \,N/m^2$ આપેલ છે.
સ્થિર સંતુલન સ્થિતિ માટે $F = mg = 1 \times 10 = 10 \,N$ લેતા:
$\frac{\Delta l}{l} = \frac{10}{3 \times 10^{-6} \times 10^{11}} = \frac{10}{3 \times 10^5} = 0.33 \times 10^{-4} \approx 0.3 \times 10^{-4}$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) લંબાઈમાં થતા વધારા $\Delta l$ માટેનું સૂત્ર $\Delta l = \frac{F l}{A Y}$ છે,જ્યાં $F$ એ બળ છે,$l$ એ મૂળ લંબાઈ છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
લંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta l}{l} \times 100 = \frac{F}{\pi r^2 Y} \times 100$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે $\Delta x$ એ લંબાઈમાં થતો ટકાવારી વધારો છે. કારણ કે $F$ અચળ છે,તેથી $\Delta x \propto \frac{1}{r^2 Y}$.
આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{r_A}{r_B} = \frac{2}{1}$ અને $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{1}{2}$.
આપણને મળે છે $\frac{\Delta x_A}{\Delta x_B} = \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 \times \left(\frac{Y_B}{Y_A}\right)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{\Delta x_B} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \times \left(\frac{2}{1}\right) = \frac{1}{4} \times 2 = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\Delta x_B = 2\%$.

(B) યંગ મોડ્યુલસ $Y$ એ પ્રતિબળ અને વિકૃતિનો ગુણોત્તર છે: $Y = \frac{F/A}{\Delta L/L}$.
અહીં,રીંગની પ્રારંભિક લંબાઈ $L = 2 \pi r$ છે.
જ્યારે તેને $R$ ત્રિજ્યા સુધી ખેંચવામાં આવે ત્યારે લંબાઈમાં થતો ફેરફાર $\Delta L = 2 \pi R - 2 \pi r = 2 \pi (R - r)$ છે.
બળ $F$ માટેના સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $F = \frac{Y A \Delta L}{L}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $F = \frac{Y A [2 \pi (R - r)]}{2 \pi r}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $F = \frac{A Y (R - r)}{r}$ મળે છે.

(D) જ્યારે તારનું પ્રસરણ અટકાવવામાં આવે ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું થર્મલ સ્ટ્રેસ $\sigma$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\sigma = Y \alpha \Delta T$,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે કે $Y$,$L$ અને $\Delta T$ બંને તાર $A$ અને $B$ માટે સમાન છે,તેથી થર્મલ સ્ટ્રેસ એ રેખીય પ્રસરણાંકના સમપ્રમાણમાં છે: $\sigma \propto \alpha$.
આપેલ છે કે $\alpha_A = \frac{3}{2} \alpha_B$.
તેથી,થર્મલ સ્ટ્રેસનો ગુણોત્તર $\frac{\sigma_A}{\sigma_B} = \frac{\alpha_A}{\alpha_B} = \frac{\frac{3}{2} \alpha_B}{\alpha_B} = \frac{3}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $3: 2$ છે.

(A) ધારો કે તારની મૂળભૂત લંબાઈ $L_0$ છે. હૂકના નિયમ મુજબ,$T$ તણાવ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો વધારો $\Delta l = \frac{T L_0}{A Y}$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,કુલ લંબાઈ $L = L_0 + \Delta l_1 = L_0 + \frac{T L_0}{A Y}$ છે. તેથી,$L - L_0 = \frac{T L_0}{A Y}$ (સમીકરણ $1$).
બીજા કિસ્સામાં,કુલ લંબાઈ $L + \Delta L = L_0 + \Delta l_2 = L_0 + \frac{(T + \Delta T) L_0}{A Y}$ છે. તેથી,$(L + \Delta L) - L_0 = \frac{(T + \Delta T) L_0}{A Y}$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $1$ ને સમીકરણ $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{L - L_0}{L + \Delta L - L_0} = \frac{T}{T + \Delta T}$.
ગુણાકાર કરતા: $(L - L_0)(T + \Delta T) = T(L + \Delta L - L_0)$.
$LT + L \Delta T - L_0 T - L_0 \Delta T = TL + T \Delta L - L_0 T$.
પદોનું સાદુંરૂપ આપતા: $L \Delta T - L_0 \Delta T = T \Delta L$.
$L_0 \Delta T = L \Delta T - T \Delta L$.
$L_0 = \frac{L \Delta T - T \Delta L}{\Delta T}$.

(A, D) બંને તાર એક જ દ્રવ્યમાંથી બનેલા હોવાથી,તેમનો યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ સમાન હોય છે.
યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F L}{A x}$ છે,જ્યાં $F$ એ લોડ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ લંબાઈમાં વધારો છે.
લોડ માટે સૂત્ર ગોઠવતા,$F = (\frac{Y A}{L}) x$ મળે છે.
બંને તાર માટે $Y$ અને $L$ સમાન હોવાથી,$F-x$ આલેખનો ઢાળ આડછેદના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\text{slope} = \frac{Y A}{L} \propto A$).
આલેખ પરથી,રેખા $A$ નો ઢાળ રેખા $B$ ના ઢાળ કરતા વધારે છે,જે સૂચવે છે કે $A$ નું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $B$ કરતા વધારે છે $(A_A > A_B)$.
તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે અને વિધાન $D$ સાચું છે.

(C) ધારો કે ધાતુના તારની મૂળ લંબાઈ $L$ છે અને તેનો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,યંગ મોડ્યુલસ $Y = \frac{T/A}{\Delta L/L}$ છે,જ્યાં $\Delta L$ એ લંબાઈમાં થતો ફેરફાર છે.
તણાવ $T_1$ માટે,લંબાઈ $L_1$ છે,તેથી વિસ્તરણ $\Delta L_1 = L_1 - L$ થાય. આમ,$Y = \frac{T_1 L}{A(L_1 - L)}$.
તણાવ $T_2$ માટે,લંબાઈ $L_2$ છે,તેથી વિસ્તરણ $\Delta L_2 = L_2 - L$ થાય. આમ,$Y = \frac{T_2 L}{A(L_2 - L)}$.
$Y$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\frac{T_1 L}{A(L_1 - L)} = \frac{T_2 L}{A(L_2 - L)}$
$\frac{T_1}{L_1 - L} = \frac{T_2}{L_2 - L}$
$T_1(L_2 - L) = T_2(L_1 - L)$
$T_1 L_2 - T_1 L = T_2 L_1 - T_2 L$
$T_2 L - T_1 L = T_2 L_1 - T_1 L_2$
$L(T_2 - T_1) = T_2 L_1 - T_1 L_2$
$L = \frac{T_2 L_1 - T_1 L_2}{T_2 - T_1}$

(D) જ્યારે સળિયાને બંને છેડેથી જકડી રાખવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું ઉષ્મીય પ્રસરણ અટકે છે,જેના પરિણામે ઉષ્મીય પ્રતિબળ ઉદ્ભવે છે.
ઉષ્મીય વિકૃતિ $\epsilon = \frac{\Delta L}{L} = \alpha \cdot \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હૂકના નિયમ મુજબ,પ્રતિબળ $\sigma = Y \cdot \text{વિકૃતિ}$.
વિકૃતિનું મૂલ્ય મૂકતા,આપણને $\sigma = Y \cdot \alpha \cdot \Delta T$ મળે છે.
અહીં $Y$,$\alpha$,અને $\Delta T$ એ પ્રતિબળ નક્કી કરતા પરિબળો છે,તેથી પ્રતિબળ સળિયાની લંબાઈ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે પ્રતિબળ $L$ થી સ્વતંત્ર છે.

(C) તારનું વિસ્તરણ $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{F \cdot L}{A \cdot Y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તણાવબળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \pi \cdot (d/2)^2 = \frac{\pi d^2}{4}$ હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\Delta L = \frac{4 F L}{\pi d^2 Y}$.
અહીં $F$ અને $Y$ અચળ હોવાથી,$\Delta L \propto \frac{L}{d^2}$ થાય.
દરેક વિકલ્પ માટે $\frac{L}{d^2}$ નો ગુણોત્તર ગણતા:
$A: \frac{200}{(0.5)^2} = 800$
$B: \frac{300}{(1.0)^2} = 300$
$C: \frac{50}{(0.05)^2} = 20000$
$D: \frac{100}{(0.2)^2} = 2500$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $C$ માટે ગુણોત્તર મહત્તમ છે.

(B) ધારો કે $Y_s$ અને $Y_b$ એ અનુક્રમે સ્ટીલ અને પિત્તળના યંગ મોડ્યુલસ છે. આપેલ છે કે $Y_s = 2 \times 10^{12} \,dynes/cm^{2}$ અને $Y_b = 1 \times 10^{12} \,dynes/cm^{2}$.
ધારો કે $L = 50 \,cm$ લંબાઈ છે, $A = 0.005 \,cm^{2}$ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે, અને $\Delta L = 0.1 \,cm$ બંને તાર માટે લંબાઈમાં વધારો છે.
તારમાં તણાવ $T$ એ $T = \frac{Y A \Delta L}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $A, \Delta L,$ અને $L$ બંને તાર માટે સમાન છે, તેથી તણાવ $T$ એ યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(T \propto Y)$.
ધારો કે $T_s$ એ સ્ટીલના તારમાં તણાવ છે અને $T_b$ એ પિત્તળના તારમાં તણાવ છે.
$T_s = \frac{Y_s A \Delta L}{L}$ અને $T_b = \frac{Y_b A \Delta L}{L}$.
જ્યાં ભાર $W$ લાગુ કરવામાં આવે છે તે બિંદુની આસપાસ ટોર્ક લેતા, જે સ્ટીલના તારથી $x$ અંતરે છે:
$T_s \cdot x = T_b \cdot (15 - x)$.
પ્રમાણસરતા $T_s \propto Y_s$ અને $T_b \propto Y_b$ મૂકતા:
$Y_s \cdot x = Y_b \cdot (15 - x)$.
$(2 \times 10^{12}) \cdot x = (1 \times 10^{12}) \cdot (15 - x)$.
$2x = 15 - x$.
$3x = 15$.
$x = 5 \,cm$.

(D) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{F / A}{\Delta \ell / \ell} = \frac{F \ell}{A \Delta \ell}$ છે.
આપેલ છે કે ભાર $F$ અને લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta \ell$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી $Y \propto \frac{\ell}{A}$ મળે.
તેથી,યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{\ell_A}{\ell_B} \times \frac{A_B}{A_A}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\ell_A = 6.0 \ cm$,$\ell_B = 5.4 \ cm$,$A_A = 3.0 \times 10^{-5} \ m^2$,અને $A_B = 4.5 \times 10^{-5} \ m^2$.
$\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5 \times 10^{-5}}{3.0 \times 10^{-5}} = \frac{6.0}{5.4} \times \frac{4.5}{3.0} = \frac{6.0}{5.4} \times 1.5 = \frac{9}{5.4} = \frac{90}{54} = \frac{5}{3}$.
આપેલ છે કે $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{x}{3}$,તેથી $\frac{x}{3} = \frac{5}{3}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x = 5$.

(B) બે દ્રઢ આધાર વચ્ચે જડેલા તારમાં તાપમાનના ફેરફાર $\Delta \theta$ ને કારણે ઉદ્ભવતું તણાવ $T = Y A \alpha \Delta \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $\alpha$ એ રેખીય પ્રસરણાંક છે.
શરૂઆતમાં,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta \theta_1 = 27 - (-43) = 70 ^\circ C$ છે. તેથી,$T = Y A \alpha (70)$ . . . . . . $(1)$
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે. નવો તાપમાનનો ફેરફાર $\Delta \theta_2 = 27 - \theta$ છે. નવું તણાવ $1.4 \ T = Y A \alpha (27 - \theta)$ છે . . . . . . $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $(1)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.4 \ T}{T} = \frac{Y A \alpha (27 - \theta)}{Y A \alpha (70)}$
$1.4 = \frac{27 - \theta}{70}$
$27 - \theta = 1.4 \times 70 = 98$
$\theta = 27 - 98 = -71 ^\circ C$.

(D) દોરીમાં થતું વિસ્તરણ $\Delta L$ એ સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $F$ એ તણાવ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $Y$ એ યંગ મોડ્યુલસ છે.
દોરી $A$ માટે,આધારિત કુલ દળ $M + 2M = 3M$ છે,તેથી તણાવ $F_A = 3Mg$.
દોરી $B$ માટે,આધારિત દળ $2M$ છે,તેથી તણાવ $F_B = 2Mg$.
આપેલ છે: $A_A = A_B = A$,$L_A/L_B = 2$,અને $Y_A/Y_B = 0.5$.
$A$ માં વિસ્તરણ $\Delta L_A = \frac{F_A L_A}{A Y_A} = \frac{3Mg L_A}{A Y_A}$ છે.
$B$ માં વિસ્તરણ $\Delta L_B = \frac{F_B L_B}{A Y_B} = \frac{2Mg L_B}{A Y_B}$ છે.
વિસ્તરણનો ગુણોત્તર $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3Mg}{2Mg} \right) \cdot \left( \frac{L_A}{L_B} \right) \cdot \left( \frac{Y_B}{Y_A} \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta L_A}{\Delta L_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \cdot (2) \cdot \left( \frac{1}{0.5} \right) = 3 \cdot 2 = 6$.

(C) યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ એ તારના દ્રવ્યનો આંતરિક ગુણધર્મ છે.
તે માત્ર દ્રવ્યની પ્રકૃતિ અને તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
તે તારના ભૌમિતિક પરિમાણો જેવા કે તેની લંબાઈ $(L)$ અથવા ત્રિજ્યા $(r)$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો ત્રિજ્યા અને લંબાઈ બમણી કરવામાં આવે તો પણ,યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ અપરિવર્તિત રહે છે.

(C) લંબાઈમાં થતા વધારાનું સૂત્ર $\Delta L = \frac{FL}{AY}$ છે.
તાર એકબીજા સાથે જોડાયેલા હોવાથી અને તણાવ હેઠળ હોવાથી,બંને તાર પર લાગતું બળ $F$ સમાન છે.
આપેલ છે કે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને લંબાઈમાં થતો વધારો $\Delta L$ બંને તાર માટે સમાન છે,તેથી:
$\frac{L_A}{Y_A} = \frac{L_B}{Y_B} \Rightarrow \frac{L_B}{L_A} = \frac{Y_B}{Y_A}$.
યંગ મોડ્યુલસનો ગુણોત્તર $\frac{Y_A}{Y_B} = \frac{20}{11}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{Y_B}{Y_A} = \frac{11}{20}$ થાય.
તાર $A$ ની લંબાઈ $L_A = 2.2\text{ m}$ મૂકતા:
$L_B = L_A \times \frac{11}{20} = 2.2 \times \frac{11}{20} = \frac{24.2}{20} = 1.21\text{ m}$.

(C) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/L} = \frac{F \cdot L}{A \cdot \Delta l}$ છે.
અહીં,બળ $F$ એ ભાર $W$ જેટલું છે.
આપેલ આલેખ પરથી,આપણે એક બિંદુ પસંદ કરી શકીએ: $W = 60\text{ N}$ અને $\Delta l = 6 \times 10^{-4}\text{ m}$.
આપેલ કિંમતો છે: લંબાઈ $L = 1\text{ m}$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A = 10^{-5}\text{ m}^2$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$Y = \frac{60 \times 1}{10^{-5} \times 6 \times 10^{-4}}$
$Y = \frac{60}{6 \times 10^{-9}}$
$Y = 10 \times 10^9 = 1.0 \times 10^{10}\text{ N/m}^2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.