Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Gujarati

(A) દ્વિ-તારા પ્રણાલીમાં,બંને તારાઓ તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (center of mass) ની આસપાસ ભ્રમણ કરે છે.
પ્રણાલી સ્થિર રહે તે માટે,બંને તારાઓએ દરેક સમયે સમાન કોણીય વેગ $\omega$ જાળવી રાખવો પડે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે,તેથી જો $\omega_{A} = \omega_{B}$ હોય,તો $T_{A} = T_{B}$ થાય.
આમ,બંને તારાઓ સમાન સમયમાં એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.

(C) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની ભ્રમણકક્ષાના તમામ બિંદુઓ પર અચળ રહે છે.
$L = mvr \sin(\theta)$
પેરિહેલિયન (લઘુત્તમ અંતર $x_{1}$) અને એફેલિયન (મહત્તમ અંતર $x_{2}$) પર,વેગ સદિશ એ ત્રિજ્યા સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\sin(\theta) = 1$.
આમ,$m v_{max} x_{1} = m v_{min} x_{2}$.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ ઝડપ $v_{0}$ છે (જે મહત્તમ અંતર $x_{2}$ પર જોવા મળે છે),તેથી $v_{min} = v_{0}$.
આ કિંમતોને સંરક્ષણના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v_{max} x_{1} = v_{0} x_{2}$
$v_{max} = \frac{v_{0} x_{2}}{x_{1}}$.

(D) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, કક્ષીય આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ ના ઘનના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$T^{2} = \frac{4 \pi^{2}}{G M} \cdot r^{3}$
મંગળના દળ $M$ ને શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$M = \frac{4 \pi^{2}}{G} \cdot \frac{r^{3}}{T^{2}}$
આપેલ કિંમતો:
$T = 7\, \text{કલાક}, 30\, \text{મિનિટ} = 7.5\, \text{કલાક} = 7.5 \times 3600\, \text{s} = 2.7 \times 10^{4}\, \text{s}$
$r = 9.0 \times 10^{3}\, \text{km} = 9.0 \times 10^{6}\, \text{m}$
$\frac{4 \pi^{2}}{G} = 6 \times 10^{11}\, \text{N}^{-1} \text{m}^{-2} \text{kg}^{2}$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$M = (6 \times 10^{11}) \cdot \frac{(9.0 \times 10^{6})^{3}}{(2.7 \times 10^{4})^{2}}$
$M = (6 \times 10^{11}) \cdot \frac{729 \times 10^{18}}{7.29 \times 10^{8}}$
$M = (6 \times 10^{11}) \cdot (100 \times 10^{10}) = 6 \times 10^{23}\, \text{kg}$

(A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $V$ નું સૂત્ર $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
અહીં કક્ષાઓની ત્રિજ્યા $R_{1} = 3200 \, km$ અને $R_{2} = 800 \, km$ આપેલી છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R_{1}}}}{\sqrt{\frac{GM}{R_{2}}}} = \sqrt{\frac{R_{2}}{R_{1}}}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \sqrt{\frac{800}{3200}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આને $\frac{1}{x}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 2$ મળે છે.

(D) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^{2} \propto R^{3}$ છે.
ઉપગ્રહો $S_{1}$ અને $S_{2}$ માટે,$\left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{2} = \left(\frac{R_{1}}{R_{2}}\right)^{3}$ થાય.
આપેલ છે કે $T_{1} = 3 \,h$,$T_{2} = 24 \,h$,અને $R_{1} = 3 \times 10^{4} \,km$.
ઉપગ્રહ $S_{2}$ ની કક્ષાની ત્રિજ્યા $R_{2} = R_{1} \left(\frac{T_{2}}{T_{1}}\right)^{2/3} = 3 \times 10^{4} \times \left(\frac{24}{3}\right)^{2/3} = 3 \times 10^{4} \times (8)^{2/3} = 3 \times 10^{4} \times 4 = 12 \times 10^{4} \,km$ મળે.
જ્યારે ઉપગ્રહો વિરુદ્ધ દિશામાં ભ્રમણ કરતા હોય,ત્યારે જ્યારે તેઓ એકબીજાની સૌથી નજીક હોય,ત્યારે તેમના વેગ સદિશો ગ્રહની સાપેક્ષે વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે,એટલે કે તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની કક્ષીય ઝડપનો સરવાળો થાય છે.
કક્ષીય ઝડપ $v_{1} = \frac{2 \pi R_{1}}{T_{1}} = \frac{2 \pi \times 3 \times 10^{4}}{3} = 2 \pi \times 10^{4} \,km \,h^{-1}$ અને $v_{2} = \frac{2 \pi R_{2}}{T_{2}} = \frac{2 \pi \times 12 \times 10^{4}}{24} = \pi \times 10^{4} \,km \,h^{-1}$ છે.
$S_{1}$ ની સાપેક્ષે $S_{2}$ ની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_{1} + v_{2} = 2 \pi \times 10^{4} + \pi \times 10^{4} = 3 \pi \times 10^{4} \,km \,h^{-1}$ થાય.

(A) કણ પર લાગતું બળ એ સ્થિતિમાનના ઋણ વિકલન દ્વારા મળે છે:
$F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(kr) = -k$.
બળનું મૂલ્ય લેતા,આપણને $F = k$ મળે છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે,આ બળ કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે:
$F = mR\omega^2 = k$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$mR\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = k$.
$mR \cdot \frac{4\pi^2}{T^2} = k$.
$T^2$ માટે ગોઠવતા:
$T^2 = \frac{4\pi^2 m}{k} \cdot R$.
અહીં $\frac{4\pi^2 m}{k}$ અચળાંક હોવાથી,$T^2 \propto R$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto R^{1/2}$.

(A) આપેલ પોટેન્શિયલ $V(r) = K r^{-n}$ છે.
કણ પર લાગતું બળ $F$ એ પોટેન્શિયલના ઋણ ગ્રેડિયન્ટ દ્વારા મળે છે:
$F = -\frac{dV}{dr} = -\frac{d}{dr}(K r^{-n}) = -K(-n)r^{-n-1} = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
$m$ દળ ધરાવતો કણ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે કેન્દ્રગામી બળ આ કેન્દ્રીય બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = F = \frac{nK}{r^{n+1}}$.
પદોને ગોઠવતા:
$v^2 = \frac{nK}{m} \cdot \frac{r}{r^{n+1}} = \frac{nK}{m} \cdot r^{-n}$.
આમ,$v^2 r^n = \frac{nK}{m}$.
અહીં $n$,$K$ અને $m$ અચળ હોવાથી,$v^2 r^n$ નું મૂલ્ય અચળ રહેશે.
તેથી,$v_1^2 r_1^n = v_2^2 r_2^n$.

(D) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગનું સૂત્ર $g_h = \frac{GM}{(R+h)^2}$ છે.
અહીં ઊંચાઈ $h$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R$ કરતા ઘણી ઓછી હોવાથી $(h << R)$,$g_h$ નું મૂલ્ય પૃથ્વીની સપાટી પરના ગુરુત્વપ્રવેગ $g \approx 9.8 \, m/s^2$ ની લગભગ સમાન હોય છે.
અવકાશયાત્રી સ્પેસ સ્ટેશનમાં હોવાથી તે મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં છે. અવકાશયાત્રી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેને કક્ષામાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી પ્રવેગ પૂરો પાડે છે.
તેથી,પૃથ્વી પરથી માપવામાં આવતા અવકાશયાત્રીનો પ્રવેગ લગભગ $g$ જેટલો હોય છે અને તે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(D) સાચો જવાબ $D$ છે.
જ્યારે તારો તેનું દળ ગુમાવ્યા વગર સંકોચાય છે,ત્યારે તેની સપાટી પરનું ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ વધે છે,પરંતુ ગ્રહ જેવા દૂરના પદાર્થ પર તારા દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી.
તારા દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ નીચે મુજબ છે:
$F = \frac{G M m}{r^2}$
જ્યાં $M$ એ તારાનું દળ છે,$m$ એ ગ્રહનું દળ છે અને $r$ એ ગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
તારાનું દળ $(M)$,ગ્રહનું દળ $(m)$ અને તેમની વચ્ચેનું અંતર $(r)$ અપરિવર્તિત રહેતું હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ અચળ રહે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા જાળવી રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ માત્ર તારાના દળ અને અંતર $r$ પર આધાર રાખે છે,અને આ બંનેમાં કોઈ ફેરફાર થયો નથી,તેથી ગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યામાં કોઈ ફેરફાર થશે નહીં.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R_0}}$,તેથી $GM = v_0^2 R_0$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$r_1 v_{max} = r_2 v_{min}$,જ્યાં $v_{max} = \beta v_0$ અને $v_{min} = \alpha v_0$ છે. તેથી,$r_1 \beta v_0 = r_2 \alpha v_0 \Rightarrow r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$.
યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{1}{2} m(\beta v_0)^2 - \frac{GMm}{r_1} = \frac{1}{2} m(\alpha v_0)^2 - \frac{GMm}{r_2}$.
$GM = v_0^2 R_0$ અને $r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$ મૂકતા,આપણે અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = \frac{r_1 + r_2}{2}$ માટે ઉકેલીએ છીએ.
ઉર્જા સમીકરણ પરથી,$\frac{1}{2} v_0^2 (\beta^2 - \alpha^2) = GM(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}) = GM(\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2})$.
$GM = v_0^2 R_0$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} (\beta^2 - \alpha^2) = \frac{R_0}{r_1 r_2} (r_2 - r_1)$ મળે છે.
$r_2 = \frac{\beta}{\alpha} r_1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણને $r_1 = \frac{2 R_0 \alpha}{\beta(\alpha + \beta)}$ અને $r_2 = \frac{2 R_0 \beta}{\alpha(\alpha + \beta)}$ મળે છે.
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a = \frac{r_1 + r_2}{2} = R_0 \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta (\alpha + \beta)}$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ $T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{GM}$ નો ઉપયોગ કરીને અને કિંમતો મૂકતા,આપણને $T = \frac{2 \pi R_0}{v_0} (\alpha \beta)^{-\frac{3}{2}}$ મળે છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{2gR}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષામાં ઉપગ્રહની ઝડપ $v_o = \frac{v_e}{4} = \frac{\sqrt{2gR}}{4}$ તરીકે આપવામાં આવી છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $x$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{GMm}{x^2} = \frac{mv_o^2}{x}$.
$v_o^2 = \frac{2gR}{16} = \frac{gR}{8}$ અને $GM = gR^2$ મૂકતા:
$\frac{gR^2}{x^2} = \frac{gR/8}{x}$.
$x$ માટે ઉકેલતા:
$x = \frac{gR^2}{gR/8} = 8R$.
પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ $h = x - R = 8R - R = 7R$ છે.

(B) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
આ સૂચવે છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
ઉપગ્રહ $A$ માટે આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r_A = 4 R$ અને ઝડપ $v_A = 3 v$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r_B = R$.
પ્રમાણસરતા $v_A \sqrt{r_A} = v_B \sqrt{r_B}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(3 v) \sqrt{4 R} = v_B \sqrt{R}$.
$(3 v) (2 \sqrt{R}) = v_B \sqrt{R}$.
$6 v \sqrt{R} = v_B \sqrt{R}$.
તેથી,$v_B = 6 v$.

(B) ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ $v$ જેટલી અચળ ઝડપે ભ્રમણ કરી રહ્યો છે. પૃથ્વીનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ઉપગ્રહને વર્તુળાકાર કક્ષામાં રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ન્યૂટનના ગતિના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જ્યાં સુધી કોઈ બાહ્ય બળ ન લાગે ત્યાં સુધી ગતિમાં રહેલી વસ્તુ અચળ વેગથી સીધી રેખામાં ગતિ ચાલુ રાખશે.
જો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ અચાનક અદ્રશ્ય થઈ જાય,તો ઉપગ્રહની દિશા બદલવા માટે કોઈ કેન્દ્રગામી બળ રહેશે નહીં. પરિણામે,ઉપગ્રહ તેની મૂળ કક્ષાના સ્પર્શકની દિશામાં $v$ જેટલી જ ઝડપથી સીધી રેખામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{GM}$ મળે છે.
ગ્રહનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ છે.
$M$ ની કિંમત આવર્તકાળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T^2 = \frac{4 \pi^2 R^3}{G (\frac{4}{3} \pi R^3 d)}$.
$R^3$ ને દૂર કરતા અને પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T^2 = \frac{4 \pi^2}{G \cdot \frac{4}{3} \pi d} = \frac{3 \pi}{G d}$.
$G$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$G = \frac{3 \pi}{d T^2}$.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો ઝડપમાં $10 \%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ઝડપ $v = 1.10 v_0$ થાય છે.
ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહે તે માટે તેની ઝડપ બરાબર $v_0$ હોવી જોઈએ. જો ઝડપ એવી રીતે વધારવામાં આવે કે જેથી $v_0 < v < v_e$ થાય (જ્યાં $v_e = \sqrt{2} v_0 \approx 1.414 v_0$ એ નિષ્ક્રમણ ઝડપ છે),તો ઉપગ્રહ હવે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરશે નહીં.
તેના બદલે,ઉપગ્રહ લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ કરશે જેમાં ગ્રહ એક કેન્દ્ર (focus) પર હશે.
કારણ કે $1.10 v_0 < 1.414 v_0$ છે,તેથી ઉપગ્રહ પલાયન કરતો નથી પરંતુ તેનો માર્ગ બદલાઈને લંબગોળ બની જાય છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ ઝડપથી ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$v$ ની કિંમત કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \frac{r}{\sqrt{r}}$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r}$
અહીં $m$,$G$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$L \propto \sqrt{r}$ મળે છે.

(C) $3R$ ઊંચાઈએ,પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર $r = R + 3R = 4R$ થાય છે.
$r$ અંતરે વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી કક્ષીય વેગ $V_o = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
અહીં $r = 4R$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$V_o = \sqrt{\frac{GM}{4R}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
આમ,પદાર્થને આ ઝડપે ફેંકવાથી તે પૃથ્વીની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરવાનું શરૂ કરશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) ધ્રુવીય ઉપગ્રહોનો સમયગાળો આશરે $100$ મિનિટ હોય છે.
ધ્રુવીય ઉપગ્રહો એ પૃથ્વીની નજીકની કક્ષામાં ફરતા ઉપગ્રહો છે જે ઉત્તર ધ્રુવથી દક્ષિણ ધ્રુવ સુધી ભ્રમણ કરે છે.
તેઓ સામાન્ય રીતે પૃથ્વીની સપાટીથી $500 \,km$ થી $800 \,km$ ની ઊંચાઈએ ભ્રમણ કરે છે.
તેમની ઓછી ઊંચાઈને કારણે,તેમનો ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો ભૂસ્થિર ઉપગ્રહોની તુલનામાં ઘણો ઓછો હોય છે.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(F)$ ઉપગ્રહને તેની કક્ષામાં જાળવી રાખવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v_0^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F \propto r^2$ છે.
કેન્દ્રગામી બળને ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સાથે સરખાવતા:
$\frac{m v_0^2}{r} \propto r^2$
દળ $(m)$ અચળ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{v_0^2}{r} \propto r^2$
$v_0^2 \propto r^3$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$v_0 \propto r^{3/2}$

(B) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,તેનો આવર્તકાળ $T$ એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણના આવર્તકાળ જેટલો હોવો જોઈએ,જે $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $GM = gR^2$.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{gR^2}} = \frac{2\pi r^{3/2}}{R\sqrt{g}}$.
$T$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi r^{3/2}}{R\sqrt{g}}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{\omega} = \frac{r^{3/2}}{R\sqrt{g}} \Rightarrow r^{3/2} = \frac{R\sqrt{g}}{\omega}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $r^3 = \frac{R^2 g}{\omega^2}$.
તેથી,ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \left(\frac{R^2 g}{\omega^2}\right)^{1/3}$ થશે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
રિલે સેટેલાઇટ,જેને સામાન્ય રીતે જીઓસ્ટેશનરી સેટેલાઇટ તરીકે ઓળખવામાં આવે છે,તેણે સતત સિગ્નલ ટ્રાન્સમિશન પ્રદાન કરવા માટે પૃથ્વીની સપાટી પરના કોઈ બિંદુની સાપેક્ષમાં સ્થિર રહેવું પડે છે.
આવું થવા માટે,સેટેલાઇટનો ભ્રમણકક્ષાનો આવર્તકાળ પૃથ્વીના તેની ધરી પરના પરિભ્રમણના આવર્તકાળ જેટલો,એટલે કે $24$ કલાક હોવો જોઈએ.
જો આવર્તકાળ સમાન ન હોય,તો સેટેલાઇટ આકાશમાં ગતિ કરતો દેખાય,જેનાથી સતત સંચાર અશક્ય બની જાય.

(C) ગ્રહની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
ધારો કે પેરિજી પર વેગ $v_P$ છે અને એપોજી પર વેગ $v_A$ છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પેરિજી પર કોણીય વેગમાન $(L_P)$ અને એપોજી પર કોણીય વેગમાન $(L_A)$ સમાન હોય છે:
$m v_P r_P = m v_A r_A$
આનો અર્થ એ થાય કે:
$\frac{v_P}{v_A} = \frac{r_A}{r_P}$
અર્ધ-મુખ્ય અક્ષ $a$ અને ઉત્કેન્દ્રતા $e$ ધરાવતી લંબગોળ કક્ષા માટે,પેરિજી પરનું અંતર $r_P = a(1-e)$ અને એપોજી પરનું અંતર $r_A = a(1+e)$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_P}{v_A} = \frac{a(1+e)}{a(1-e)} = \frac{1+e}{1-e}$
ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K.E._P}{K.E._A} = \frac{\frac{1}{2} m v_P^2}{\frac{1}{2} m v_A^2} = \left(\frac{v_P}{v_A}\right)^2 = \left(\frac{1+e}{1-e}\right)^2$

(A) ઉપગ્રહનો ક્ષેત્રીય વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dA}{dt} = \frac{L}{2m}$,જ્યાં $L$ એ કોણીય વેગમાન છે અને $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
બે ઉપગ્રહોના દળ સમાન હોવાથી $(m_1 = m_2 = m)$,તેમના ક્ષેત્રીય વેગનો ગુણોત્તર તેમના કોણીય વેગમાનના ગુણોત્તરના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
$\frac{(dA/dt)_1}{(dA/dt)_2} = \frac{L_1 / 2m}{L_2 / 2m} = \frac{L_1}{L_2}$.
આપેલ છે કે કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $L_1 : L_2 = 3 : 4$ છે,તેથી તેમના ક્ષેત્રીય વેગનો ગુણોત્તર $3/4$ થશે.

(A) ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા સ્પેસ સ્ટેશનની અંદરનો અવકાશયાત્રી પૃથ્વી તરફ સતત મુક્ત પતનની સ્થિતિમાં હોય છે કારણ કે તેમના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે.
સ્પેસ સ્ટેશન અને અવકાશયાત્રી બંને સમાન પ્રવેગ (તે ઊંચાઈએ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ) સાથે નીચે પડી રહ્યા હોવાથી,અવકાશયાત્રી પર ફ્લોર દ્વારા લાગતું લંબબળ શૂન્ય હોય છે.
આ સ્થિતિને વજનહીનતા તરીકે અનુભવવામાં આવે છે.
તેથી,વિધાન $(A)$ અને કારણ $(R)$ બંને સાચા છે,અને કારણ $(R)$ એ વિધાન $(A)$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(D) બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
બે કણો વચ્ચેનું અંતર $2r$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = \frac{G \cdot m \cdot m}{(2r)^2} = \frac{Gm^2}{4r^2}$ છે.
'$m$' દળ ધરાવતા કણ માટે જે '$r$' ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં '$v$' ઝડપથી ગતિ કરે છે,તેના માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{Gm^2}{4r^2} = \frac{mv^2}{r}$.
'$v$' માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{Gm^2}{4r^2} \cdot \frac{r}{m} = \frac{Gm}{4r}$.
તેથી,$v = \sqrt{\frac{Gm}{4r}}$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ છે,જ્યાં $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$L$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \sqrt{\frac{GM_e}{r}} \cdot r = m \sqrt{GM_e} \cdot r^{1/2}$.
આ દર્શાવે છે કે $L \propto r^{1/2}$.
ધારો કે પૃથ્વીના કેન્દ્રથી પ્રારંભિક અંતર $r_1 = r$ છે. પૃથ્વીના કેન્દ્રથી નવું અંતર તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા આઠ ગણું વધારવામાં આવે છે,એટલે કે નવું અંતર $r_2 = r + 8r = 9r$ થાય.
હવે,નવા કોણીય વેગમાન $L'$ અને પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{L'}{L} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{1/2} = \left( \frac{9r}{r} \right)^{1/2} = (9)^{1/2} = 3$.
તેથી,નવું કોણીય વેગમાન $L' = 3L$ થશે.

(C) પૃથ્વીની આસપાસ $r$ અંતરે ફરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે કક્ષીય ઝડપ ઉપગ્રહના દળ પર આધારિત નથી અને તે કક્ષાની ત્રિજ્યાના વર્ગમૂળના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે:
$v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$
આપેલ છે:
પ્રથમ ઉપગ્રહની ત્રિજ્યા,$r_1 = r$
બીજા ઉપગ્રહની ત્રિજ્યા,$r_2 = 3r$
કક્ષીય ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{r_2}{r_1}}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{3r}{r}} = \sqrt{3}$
તેથી,કક્ષીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\sqrt{3}: 1$ છે.

(C) ઉપગ્રહની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + h = R + R = 2R$ છે.
કક્ષીય વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$. આ કિંમત વેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$v = \sqrt{\frac{gR^2}{2R}} = \sqrt{\frac{gR}{2}}$.
આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2\pi r}{v}$ છે.
$r = 2R$ અને $v = \sqrt{\frac{gR}{2}}$ મૂકતા:
$T = \frac{2\pi(2R)}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = \frac{4\pi R}{\sqrt{\frac{gR}{2}}} = 4\pi R \sqrt{\frac{2}{gR}} = 4\pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$.
આપેલ છે કે $g = \pi^2 \ m/s^2$,તેથી $\pi = \sqrt{g}$ મૂકતા:
$T = 4\sqrt{g} \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4\sqrt{2R} = \sqrt{16 \times 2R} = \sqrt{32R}$.

(D) ધારો કે $M_p$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે અને $R$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $(U)$ $= -\frac{G M_p m}{R}$. $m_A = 2m_B$ હોવાથી,$U_A \neq U_B$.
ગતિ ઊર્જા $(K)$ $= \frac{G M_p m}{2R}$. $m_A = 2m_B$ હોવાથી,$K_A \neq K_B$.
કુલ ઊર્જા $(E)$ $= U + K = -\frac{G M_p m}{2R}$. $m_A = 2m_B$ હોવાથી,$E_A \neq E_B$.
કક્ષીય ઝડપ $(v)$ $= \sqrt{\frac{G M_p}{R}}$.
સૂત્ર પરથી જોઈ શકાય છે કે,કક્ષીય ઝડપ ઉપગ્રહના દળ $(m)$ પર આધારિત નથી. તેથી,બંને ઉપગ્રહોની ઝડપ સમાન હશે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
પૃથ્વીના દળને તેની ઘનતા $d$ ના સંદર્ભમાં $M = \frac{4}{3} \pi R^3 d$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$g$ ના સમીકરણમાં $M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $g = \frac{G (\frac{4}{3} \pi R^3 d)}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G R d$ મળે છે.
હવે,$g$ ની કિંમત આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3} \pi G R d}} = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G d}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G d}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G d}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = \frac{3 \pi}{G d}$ મળે છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F = \frac{k}{R^{3/2}} = m \omega^2 R$,જ્યાં $k$ એ અચળાંક છે.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ગોઠવતા:
$\omega^2 = \frac{k}{m R^{5/2}} \implies \omega^2 \propto R^{-5/2}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$T^2 = \frac{4\pi^2}{\omega^2}$ થાય.
$\omega^2 \propto R^{-5/2}$ મૂકતા:
$T^2 \propto \frac{1}{R^{-5/2}} \implies T^2 \propto R^{5/2}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહ માટે જે પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર ભ્રમણ કરે છે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GMm}{(R+h)^2} = \frac{mv^2}{(R+h)}$
$\Rightarrow \frac{GM}{(R+h)} = v^2 \quad \dots(1)$
કારણ કે $v = (R+h)\omega = (R+h)\frac{2\pi}{T}$,તેથી $v^2 = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2} \quad \dots(2)$
વળી,પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,તેથી $GM = gR^2 \quad \dots(3)$
$(2)$ અને $(3)$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{gR^2}{(R+h)} = (R+h)^2 \frac{4\pi^2}{T^2}$
$\Rightarrow (R+h)^3 = \frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}$
$\Rightarrow R+h = \left(\frac{gR^2 T^2}{4\pi^2}\right)^{1/3}$
$\Rightarrow h = \left(\frac{T^2 R^2 g}{4\pi^2}\right)^{1/3} - R$

(D) ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આના પરથી,આપણને મળે છે $T \propto \sqrt{\frac{r^3}{M}}$,જેનો અર્થ છે $\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^{3/2} \left(\frac{M_2}{M_1}\right)^{1/2}$.
અહીં,$T_1 = 6 \text{ કલાક}$,$T_2 = 24 \text{ કલાક}$ (પૃથ્વીની ભૂ-સ્થિર કક્ષા માટે).
$M_1 = \frac{M_e}{4}$ અને $M_2 = M_e$.
$r_2 = 4.2 \times 10^4 \text{ km}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{6}{24} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \left(\frac{M_e}{M_e/4}\right)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times (4)^{1/2}$.
$\frac{1}{4} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2} \times 2$.
$\frac{1}{8} = \left(\frac{r_1}{4.2 \times 10^4}\right)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા: $\left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$\frac{1}{4} = \frac{r_1}{4.2 \times 10^4}$.
$r_1 = \frac{4.2 \times 10^4}{4} = 1.05 \times 10^4 \text{ km}$.

(C) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં કક્ષાઓની ત્રિજ્યા $R_A = 4R$ અને $R_B = R$ આપેલી છે.
ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{R_B}{R_A}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$ થાય.
આપેલ છે કે $v_A = 3v$,તેથી $\frac{3v}{v_B} = \frac{1}{2}$ મળે.
આમ,$v_B = 2 \times 3v = 6v$ થાય.

(A) ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા સ્પેસ સ્ટેશનમાં રહેલો અવકાશયાત્રી ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પૃથ્વી તરફ સતત મુક્ત-પતનની સ્થિતિમાં હોય છે,જે કક્ષીય ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
અવકાશયાત્રી અને સ્પેસ સ્ટેશન બંને સમાન પ્રવેગ (તે ઊંચાઈ પર ગુરુત્વપ્રવેગ) સાથે નીચે પડી રહ્યા હોવાથી,તેમની વચ્ચે કોઈ લંબબળ (normal reaction force) લાગતું નથી.
આ લંબબળનો અભાવ વજનહીનતા તરીકે અનુભવાય છે.
તેથી,$STATEMENT-1$ સાચું છે.
પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ પૃથ્વીની આસપાસ ગતિ કરતો પદાર્થ ખરેખર 'મુક્ત-પતન' ની સ્થિતિમાં હોય છે,કારણ કે તે પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ પ્રવેગિત થાય છે.
તેથી,$STATEMENT-2$ સાચું છે.
મુક્ત-પતનની સ્થિતિ એ અવકાશયાત્રી દ્વારા અનુભવાતી વજનહીનતાનું સીધું ભૌતિક કારણ હોવાથી,$STATEMENT-2$ એ $STATEMENT-1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) આપેલ છે: $\frac{m_1}{m_2} = 2$ અને $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{4}$.
$(P)$ કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ માટે:
$\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{R_2}{R_1}} = \sqrt{4} = 2$. તેથી,$P \rightarrow 3$.
$(Q)$ કોણીય વેગમાન $L = mvr = m\sqrt{GMR}$ માટે:
$\frac{L_1}{L_2} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = 2 \times \sqrt{\frac{1}{4}} = 2 \times \frac{1}{2} = 1$. તેથી,$Q \rightarrow 2$.
$(R)$ ગતિઊર્જા $K = \frac{GMm}{2R}$ માટે:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{m_1}{m_2} \times \frac{R_2}{R_1} = 2 \times 4 = 8$. તેથી,$R \rightarrow 4$.
$(S)$ પરિભ્રમણનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ માટે:
$\frac{T_1}{T_2} = \left(\frac{R_1}{R_2}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{3/2} = \frac{1}{8}$. તેથી,$S \rightarrow 1$.
આમ,સાચી જોડ $P \rightarrow 3, Q \rightarrow 2, R \rightarrow 4, S \rightarrow 1$ છે.

(D) પૃથ્વીના સૂર્યની આસપાસના પરિભ્રમણ માટે,કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$ છે.
$m_1 = 3 M_S$ અને $m_2 = 6 M_S$ દળ ધરાવતા બે તારાઓ કે જે $d = 9 R$ અંતરે છે,તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસનો આવર્તકાળ $T'$ નીચે મુજબ મળે: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{d^3}{G(m_1 + m_2)}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $T' = 2 \pi \sqrt{\frac{(9 R)^3}{G(3 M_S + 6 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{729 R^3}{G(9 M_S)}} = 2 \pi \sqrt{\frac{81 R^3}{G M_S}} = 9 \times 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G M_S}}$.
આમ,$T' = n T$ હોવાથી,$n T = 9 T$,જે દર્શાવે છે કે $n = 9$.

(A) પ્રારંભિક વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $F_0 = \frac{GMm}{r_0^2} = m \omega_0^2 r_0$,જ્યાં $\omega_0 = \frac{2\pi}{T_0}$.
આમ,$\omega_0^2 = \frac{GM}{r_0^3}$.
જ્યારે વધારાનું સ્થિતિમાન $V_c(r) = \frac{m \alpha}{r^3}$ દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે વધારાનું બળ $F_c = -\frac{dV_c}{dr} = -\frac{d}{dr} (m \alpha r^{-3}) = 3m \alpha r^{-4}$ થાય છે.
કણ પર લાગતું કુલ બળ $F_{total} = \frac{GMm}{r_0^2} + \frac{3m \alpha}{r_0^4} = m \omega_1^2 r_0$ છે,જ્યાં $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$.
$m r_0$ વડે ભાગતા,આપણને $\omega_1^2 = \frac{GM}{r_0^3} + \frac{3 \alpha}{r_0^5}$ મળે છે.
કારણ કે $\omega^2 = \frac{4\pi^2}{T^2}$,તેથી $\frac{4\pi^2}{T_1^2} = \frac{GM}{r_0^3} + \frac{3 \alpha}{r_0^5} = \frac{GM}{r_0^3} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2} \right)$.
$\frac{4\pi^2}{T_0^2} = \frac{GM}{r_0^3}$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{T_1^2} = \frac{1}{T_0^2} \left( 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2} \right)$ મળે છે.
ગોઠવતા,$\frac{T_0^2}{T_1^2} = 1 + \frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$.
તેથી,$1 - \frac{T_0^2}{T_1^2} = -\frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_1^2 - T_0^2}{T_1^2} = \frac{3 \alpha}{G M r_0^2}$.

(B) ઉપગ્રહની કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R + h = R + R/3 = 4R/3$ છે.
કક્ષીય વેગ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}} = \sqrt{\frac{GM}{4R/3}} = \sqrt{\frac{3GM}{4R}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = m v_0 r$ છે,જ્યાં $m = M/2$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot (4R/3)$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R}} \cdot \sqrt{\frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{3GM}{4R} \cdot \frac{16R^2}{9}}$
$L = (M/2) \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3}}$
$L = M \cdot \sqrt{\frac{4GMR}{3 \cdot 4}} = M \sqrt{\frac{GMR}{3}}$.
આને આપેલ સમીકરણ $M \sqrt{\frac{GMR}{x}}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 3$ મળે છે.

(D) $M$ દળ ધરાવતા તારાની આસપાસ $m$ દળ ધરાવતા ગ્રહનું વર્તુળાકાર કક્ષામાં કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વર્તુળાકાર કક્ષા માટે,કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા,$L = m \sqrt{\frac{GM}{R}} R = m \sqrt{GMR}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $R_B = 2 R_A$ અને $m_B = 4 \sqrt{2} m_A$.
કોણીય વેગમાનનો ગુણોત્તર $\frac{L_B}{L_A} = \frac{m_B \sqrt{GM R_B}}{m_A \sqrt{GM R_A}} = \frac{m_B}{m_A} \sqrt{\frac{R_B}{R_A}}$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{L_B}{L_A} = (4 \sqrt{2}) \sqrt{\frac{2 R_A}{R_A}} = 4 \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 4 \times 2 = 8$.
આમ,ગુણોત્તર $8$ છે.

(A) વર્તુળાકાર ભ્રમણકક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(KE)$ નું સૂત્ર: $KE = \frac{GM_e m}{2r}$ છે,જ્યાં $r = R_E + h$.
આપેલ છે: $M_e = 6 \times 10^{24} \ kg$,$m = 1000 \ kg$,$R_E = 6.4 \times 10^6 \ m$,$h = 270 \ km = 0.27 \times 10^6 \ m$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \ Nm^2 \ kg^{-2}$.
$r$ ની ગણતરી: $r = 6.4 \times 10^6 + 0.27 \times 10^6 = 6.67 \times 10^6 \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$KE = \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 1000}{2 \times 6.67 \times 10^6}$
$KE = \frac{6.67 \times 6 \times 10^{16}}{2 \times 6.67 \times 10^6} = 3 \times 10^{10} \ J$.
આમ,ગતિઊર્જા $3 \times 10^{10} \ J$ છે.

(B) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ કેન્દ્રીય આકર્ષી બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$F_c = \frac{k}{r^2} = m \omega^2 r$
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ગોઠવતા:
$\omega^2 = \frac{k}{mr^3}$
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot r^{-3/2}$
આવર્તકાળ $T$ એ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\omega$ ની કિંમત મૂકતા:
$T = \frac{2\pi}{\sqrt{\frac{k}{m}} \cdot r^{-3/2}} = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r^{3/2}$
આમ,$T \propto r^{3/2}$.

(C) કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R_{planet} + \text{altitude}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો ગ્રહની ત્રિજ્યા $R$ હોય,તો $r_A = R + 3R = 4R$ અને $r_B = R + 5R = 6R$ થાય.
સ્થિતિ ઉર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$
કુલ ઉર્જા $T = -\frac{GMm}{2r}$
ઉપગ્રહ $A$ માટે $(r_A = 4R)$: $T_A = -\frac{GMm}{8R}$
ઉપગ્રહ $B$ માટે $(r_B = 6R)$: $T_B = -\frac{GMm}{12R}$
ગુણોત્તર $\frac{T_A}{T_B} = \frac{12R}{8R} = \frac{3}{2}$
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$1$. ગતિઊર્જા $(K)$: $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{2r}$. તેથી,$K \propto \frac{1}{r}$.
$2$. કોણીય વેગમાન $(L)$: $L = mvr = m \sqrt{\frac{GM}{r}} \cdot r = m\sqrt{GMr}$. તેથી,$L \propto \sqrt{r}$.
$3$. રેખીય વેગમાન $(p)$: $p = mv = m\sqrt{\frac{GM}{r}}$. તેથી,$p \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
$4$. પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $(n)$: આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$. આવૃત્તિ $n = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$. તેથી,$n \propto \frac{1}{r^{3/2}}$.

(B) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto R^3$.
આપેલ છે કે $T_1 = 2 \text{ દિવસ}$,$R_1 = R$,$v_{01} = v_0$,અને $T_2 = 16 \text{ દિવસ}$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{R_2}{R_1}\right)^{3/2}$.
$\frac{16}{2} = \left(\frac{R_2}{R}\right)^{3/2} \implies 8 = \left(\frac{R_2}{R}\right)^{3/2}$.
બંને બાજુ $2/3$ ઘાત લેતા: $8^{2/3} = \frac{R_2}{R} \implies 4 = \frac{R_2}{R} \implies R_2 = 4R$.
કક્ષીય વેગનું સૂત્ર $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ છે.
તેથી,$\frac{v_{02}}{v_{01}} = \sqrt{\frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,$v_{02} = \frac{v_0}{2}$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે: $m_2 \omega^2 r = \frac{G m_1 m_2}{r^2}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\omega = \sqrt{\frac{G m_1}{r^3}}$ મળે છે.
હળવા તારાનું કોણીય વેગમાન $L = m_2 \omega r^2 = m_2 \sqrt{G m_1 r}$ છે.
કોઈ બાહ્ય ટોર્ક ન હોવાથી,$L$ અચળ છે: $L^2 = m_2^2 G m_1 r = \text{અચળ}$.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $2 \ln m_2 + \ln G + \ln m_1 + \ln r = \text{અચળ}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $2 \frac{1}{m_2} \frac{dm_2}{dt} + \frac{1}{m_1} \frac{dm_1}{dt} + \frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = 0$.
આપેલ છે કે $\frac{dm_2}{dt} = -\gamma$ અને $\frac{dm_1}{dt} = \gamma$,તેથી: $2 \frac{(-\gamma)}{m_2} + \frac{\gamma}{m_1} + \frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = 0$.
$m_1 \gg m_2$ હોવાથી,$\frac{\gamma}{m_1}$ પદ $\frac{2\gamma}{m_2}$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય છે.
આમ,$\frac{1}{r} \frac{dr}{dt} = \frac{2\gamma}{m_2} - \frac{\gamma}{m_1} \approx \frac{2\gamma}{m_2}$.

(D) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$ એ તેની ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ સાથે $T \propto r^{3/2}$ સંબંધ ધરાવે છે.
$r_1$ ત્રિજ્યા અને $T_1 = 24 \text{ કલાક}$ સમયગાળા ધરાવતા ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ $(GSS)$ માટે અને $r_2$ ત્રિજ્યા તથા $T_2$ સમયગાળા ધરાવતા બીજા ઉપગ્રહ માટે:
$\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{1.21}\right)^{3/2} = \left(\frac{1}{1.1^2}\right)^{3/2} = \frac{1}{1.1^3} = \frac{1}{1.331} \approx \frac{1}{1.33} = \frac{3}{4}$.
આમ,$T_2 = \frac{3}{4} T_1 = \frac{3}{4} \times 24 = 18 \text{ કલાક}$.
$GSS$ નો કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T_1}$ છે અને બીજા ઉપગ્રહનો કોણીય વેગ $\omega_2 = \frac{2\pi}{T_2}$ છે.
બીજો ઉપગ્રહ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતો હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_{rel} = \omega_1 + \omega_2$ થશે.
$GSS$ પરથી માપવામાં આવતો સમયગાળો $t_0 = \frac{2\pi}{\omega_1 + \omega_2} = \frac{2\pi}{\frac{2\pi}{T_1} + \frac{2\pi}{T_2}} = \frac{T_1 T_2}{T_1 + T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $t_0 = \frac{24 \times 18}{24 + 18} = \frac{432}{42} = \frac{72}{7} \text{ કલાક}$.
આપેલ છે કે $t_0 = \frac{24}{p}$,તેથી $\frac{24}{p} = \frac{72}{7}$,જે આપણને $p = \frac{24 \times 7}{72} = \frac{7}{3} \approx 2.33$ આપે છે.

(C) ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષા જાળવી રાખે તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડવું જોઈએ.
આ શરત ત્યારે સંતોષાય છે જ્યારે ઉપગ્રહનો સમક્ષિતિજ વેગ $(V_{H})$ એ ક્રાંતિક વેગ $(V_{c})$ જેટલો હોય,જેને કક્ષીય વેગ તરીકે પણ ઓળખવામાં આવે છે.
જો $V_{H} < V_{c}$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વી તરફ નીચે પડશે.
જો $V_{H} > V_{c}$ હોય પરંતુ $V_{e}$ કરતા ઓછો હોય,તો કક્ષા લંબગોળ બને છે.
જો $V_{H} = V_{e}$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જાય છે.
તેથી,સ્થિર વર્તુળાકાર કક્ષા માટેની સાચી શરત $V_{H} = V_{c}$ છે.

(A) ગ્રહને તારાની આસપાસ ભ્રમણ કરવા માટે,જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
ધારો કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g \propto r^{-7/2}$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
બળોને સરખાવતા,આપણને મળે છે $m \omega^2 r \propto r^{-7/2}$.
અહીં $m$ અચળ હોવાથી,$\omega^2 r \propto r^{-7/2}$.
$r$ વડે ભાગતા,આપણને $\omega^2 \propto r^{-9/2}$ મળે છે.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ મૂકતા,આપણને $\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 \propto r^{-9/2}$ મળે છે.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{1}{T^2} \propto r^{-9/2}$.
તેથી,$T^2 \propto r^{9/2}$ થાય.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r = R + h$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{G M m}{2r}$ છે.
અહીં ઊંચાઈ $h = 3R$ આપેલ છે,તેથી ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + 3R = 4R$ થશે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $K.E. = \frac{G M m}{2(4R)} = \frac{G M m}{8R}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $G M = g R^2$.
હવે $G M = g R^2$ ને ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા: $K.E. = \frac{(g R^2) m}{8R} = \frac{m g R}{8}$.