Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Gujarati

(A) સૂર્યથી $r$ અંતરે રહેલા ગ્રહની કક્ષીય ઝડપનું સૂત્ર: $v_{\text{orb}} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
ગ્રહ $A$ માટે,કક્ષીય ઝડપ $v_A = v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$ છે.
ગ્રહ $B$ માટે,કક્ષીય ઝડપ $v_B = \sqrt{\frac{GM}{r_B}}$ છે.
$v_B$ ના સમીકરણમાં $r_B = 100 r_A$ મૂકતા:
$v_B = \sqrt{\frac{GM}{100 r_A}} = \frac{1}{\sqrt{100}} \sqrt{\frac{GM}{r_A}} = \frac{1}{10} \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$.
આમ,$v = \sqrt{\frac{GM}{r_A}}$ હોવાથી,$v_B = \frac{v}{10}$ મળે છે.

(C) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
ઉપગ્રહ ગ્રહની સપાટીની ખૂબ નજીક હોવાથી,આપણે કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R$ લઈશું.
તેથી,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}} \dots (i)$.
ગ્રહનું દળ $M$ તેની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R$ ના સંદર્ભમાં $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \dots (ii)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
સમીકરણ $(ii)$ માંથી $M$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = 2 \pi \times \frac{1}{2} \sqrt{\frac{3}{\pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \times 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{\rho G}}$.

(D) ગ્રહ માટે તારાની આસપાસ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ફરવા માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
આપેલ છે કે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_G \propto R^{-5/2}$.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = m \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = \frac{2\pi}{T}$.
તેથી,$F_c = m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R$.
બળોને સરખાવતા: $m \left(\frac{4\pi^2}{T^2}\right) R \propto R^{-5/2}$.
અહીં $m$ અને $4\pi^2$ અચળાંક હોવાથી,$\frac{R}{T^2} \propto R^{-5/2}$.
$T^2$ માટે સાદું રૂપ આપતા: $T^2 \propto R \cdot R^{5/2} = R^{7/2}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $T \propto R^{7/4}$.

(C) ઉપગ્રહને વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
કક્ષીય વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
$v$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$L = m \left( \sqrt{\frac{GM}{r}} \right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = m(GMr)^{1/2}$

(D) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,આવર્તકાળ $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$ અને $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $g = \frac{G \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} G \pi \rho R$ થાય.
આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{R}{\frac{4}{3} G \pi \rho R}} = 2\pi \sqrt{\frac{3}{4 G \pi \rho}}$.
આમ,$T \propto \rho^{-1/2}$ મળે છે.

(D) ખ્યાલ: કોણીય વેગમાન $(L)$ સંરક્ષિત રહે છે કારણ કે સૂર્ય દ્વારા ગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ છે, જેના કારણે સૂર્યની સાપેક્ષમાં ટોર્ક શૂન્ય હોય છે.
$L = mvr \sin(\theta) = \text{અચળ}$.
પેરિહેલિયન (સૂર્યની સૌથી નજીકનું બિંદુ) પર, અંતર $r$ ન્યૂનતમ હોય છે.
$L = mvr$ હોવાથી (જ્યાં $v$ એ પેરિહેલિયન પર ત્રિજ્યા સદિશને લંબ રૂપે કક્ષીય વેગ છે), અચળ $L$ માટે, જ્યારે $r$ ન્યૂનતમ હોય ત્યારે વેગ $v$ મહત્તમ હોવો જોઈએ.
ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
તેથી, જ્યારે વેગ $v$ મહત્તમ હોય, ત્યારે ગતિઊર્જા પણ મહત્તમ હોય છે.
આકૃતિ જોતા, બિંદુ $C$ સૂર્યની સૌથી નજીક છે (પેરિહેલિયન).
આમ, ગ્રહની ગતિઊર્જા સ્થાન $C$ પર મહત્તમ હશે.

(A) ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ ફરે તે માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m r \omega^{2} = \frac{G M m}{r^{2}}$
અહીં,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $r^{3} = \frac{G M}{\omega^{2}}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^{2}}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G M = g R^{2}$.
$r^{3}$ ના સમીકરણમાં $G M$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $r^{3} = \frac{g R^{2}}{\omega^{2}}$ મળે છે.
તેથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \left(\frac{g R^{2}}{\omega^{2}}\right)^{1 / 3}$ છે.

(C) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
બંને ઉપગ્રહો એક જ કક્ષામાં હોવાથી,બંને માટે $r$ સમાન છે.
તેથી,કક્ષીય ઝડપ $v$ એ ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.
આમ,$S_{1}$ અને $S_{2}$ સમાન ઝડપથી ગતિ કરે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે પણ ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ અને ગતિ ઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ બંને ઉપગ્રહના દળ $m$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે $S_{1}$ અને $S_{2}$ માટે સમાન નથી.

(A) $m$ દળ ધરાવતા બે કણો $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. તેમની વચ્ચેનું અંતર વર્તુળનો વ્યાસ એટલે કે $2r$ છે.
બે કણો વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G m m}{(2r)^2} = \frac{G m^2}{4r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા $m$ દળના કણ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{m v^2}{r}$ છે.
બંને બળોને સરખાવતા: $\frac{m v^2}{r} = \frac{G m^2}{4r^2}$.
$v^2$ માટે ઉકેલતા: $v^2 = \frac{G m}{4r}$.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{G m}{4r}}$ મળે છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
ધારો કે $v_A$ અને $v_B$ એ ઉપગ્રહો $A$ અને $B$ ની ઝડપ છે,જેમની કક્ષીય ત્રિજ્યા અનુક્રમે $r_A = 4R$ અને $r_B = R$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા,$\frac{v_A}{6V} = \sqrt{\frac{R}{4R}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$v_A = 6V \times \frac{1}{2} = 3V$.

(A) $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
અહીં કક્ષાઓની ત્રિજ્યા $r_P = 3R$ અને $r_Q = R$ આપેલ છે.
ધારો કે ઉપગ્રહો $P$ અને $Q$ ની કક્ષીય ઝડપ અનુક્રમે $v_P$ અને $v_Q$ છે.
તેથી,$\frac{v_Q}{v_P} = \sqrt{\frac{r_P}{r_Q}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_Q}{2V} = \sqrt{\frac{3R}{R}} = \sqrt{3}$.
તેથી,$v_Q = 2V \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3}V$.

(D) ઉપગ્રહને $h$ ઊંચાઈ સુધી લઈ જવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ સ્થિતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર છે: $E_1 = U_f - U_i = -\frac{GMm}{R+h} - (-\frac{GMm}{R}) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R+h} \right) = \frac{GMmh}{R(R+h)}$.
$g = \frac{GM}{R^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,$GM = gR^2$ મળે. આ કિંમત મૂકતા,$E_1 = \frac{gR^2mh}{R(R+h)} = \frac{mgh}{1 + h/R}$.
$h$ ઊંચાઈ પર ઉપગ્રહને ભ્રમણકક્ષામાં મૂકવા માટે જરૂરી ઊર્જા એ ગતિઊર્જા છે $E_2 = \frac{1}{2}mv_0^2$. જ્યાં $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$,તેથી $E_2 = \frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{R+h} \right) = \frac{GMm}{2(R+h)}$.
$GM = gR^2$ મૂકતા,$E_2 = \frac{gR^2m}{2(R+h)} = \frac{mgR}{2(1 + h/R)}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{E_1}{E_2} = \frac{mgh / (1 + h/R)}{mgR / (2(1 + h/R))} = \frac{h}{R/2} = \frac{2h}{R}$.

(D) $M$ દળના ગ્રહની આસપાસ $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં ભ્રમણ કરતા $m$ દળના ઉપગ્રહની કુલ ઉર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $E \propto \frac{m}{r}$.
અહીં દળનો ગુણોત્તર $\frac{m_A}{m_B} = \frac{3}{1}$ અને ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r_A}{r_B} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ આપેલ છે.
તેથી,કુલ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_A}{E_B} = \frac{m_A}{m_B} \times \frac{r_B}{r_A}$ થશે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{E_A}{E_B} = \frac{3}{1} \times \frac{4r}{r} = \frac{12}{1}$.
આમ,ગુણોત્તર $12: 1$ છે.

(B) ધારો કે $M_e$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે,અને $r = R_e + h$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
ઉપગ્રહની સ્થિતિઊર્જા $U$ એ $U = -\frac{GM_e m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v$ એ $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K$ એ $K = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}m \left(\frac{GM_e}{r}\right) = \frac{GM_e m}{2r}$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,આપણને $K = \frac{1}{2} |U|$ મળે છે.
તેથી,ગતિઊર્જા અને સ્થિતિઊર્જાના મૂલ્યનો ગુણોત્તર $K : |U| = 1 : 2$ થાય છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{g}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે.
ગ્રહનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ હોવાથી,$M$ ની કિંમત $g$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$g = \frac{G}{R^2} \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \rho \right) = \frac{4}{3} \pi \rho G R$.
હવે,$g$ ની આ કિંમત $T^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$T^2 = 4 \pi^2 \frac{R}{\frac{4}{3} \pi \rho G R} = 4 \pi^2 \times \frac{3}{4 \pi \rho G} = \frac{3 \pi}{\rho G}$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $T^2 \rho = \frac{3 \pi}{G}$ મળે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહના આવર્તકાળનું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{gR^2}}$ મળે.
અહીં ઊંચાઈ $h = R$ આપેલી છે,તેથી $h$ ની જગ્યાએ $R$ મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{(R+R)^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{(2R)^3}{gR^2}}$.
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{8R^3}{gR^2}} = 2 \pi \sqrt{\frac{8R}{g}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા,$T = 2 \pi \cdot 2 \sqrt{\frac{2R}{g}} = 4 \pi \sqrt{\frac{2R}{g}}$ મળે.

(A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m r \omega^2 = \frac{G M m}{r^2}$
જ્યાં $m$ એ ઉપગ્રહનું દળ છે,$r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\omega^2 = \frac{G M}{r^3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{G M}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $G M = g R^2$.
$\omega^2$ ના સમીકરણમાં $G M$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega^2 = \frac{g R^2}{r^3}$
$r$ માટે સમીકરણ ગોઠવતા:
$r^3 = \frac{g R^2}{\omega^2}$
$r = \left(\frac{g R^2}{\omega^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
કક્ષામાં બળનું સંતુલન ધ્યાનમાં લેતા:
$\frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r}$
અહીં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
કક્ષીય વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v^2 = \frac{GM}{r} \implies v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = mvr$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{r}} \times r$
$L = \sqrt{m^2 \times \frac{GM}{r} \times r^2}$
$L = \sqrt{GMm^2 r}$

(D) ગ્રહના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v$ નું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $v \propto \frac{1}{\sqrt{r}}$.
ઉપગ્રહ $A$ માટે આપેલ છે: $r_A = 4R$ અને $v_A = 3V$.
ઉપગ્રહ $B$ માટે આપેલ છે: $r_B = R$.
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{r_A}{r_B}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{v_B}{3V} = \sqrt{\frac{4R}{R}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$v_B = 2 \times 3V = 6V$.
સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) ધારો કે ઉપગ્રહ $r$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં $v$ રેખીય વેગથી ભ્રમણ કરે છે.
ઉપગ્રહ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ પૃથ્વી દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$\therefore F_{\text{centripetal}} = F_{\text{gravitational}}$
$\Rightarrow \frac{mv^2}{r} = \frac{GMm}{r^2}$
$\Rightarrow v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
કક્ષાના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r} = \sqrt{GMm^2r}$
$L = (GMm^2r)^{1/2}$

(D) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેની વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ધારો કે ઉપગ્રહની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને પૃથ્વીનું દળ $M$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટેની શરત છે: $m \omega^2 r = \frac{GMm}{r^2}$.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે: $r^3 = \frac{GM}{\omega^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પૃથ્વીની સપાટી પર ગુરુત્વપ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
$GM = gR^2$ ને $r^3$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે: $r^3 = \frac{gR^2}{\omega^2}$.
તેથી,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = \left[\frac{R^2 g}{\omega^2}\right]^{1/3}$ થશે.

(C) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R$ છે,તેથી વેગ $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ થાય.
$h = \frac{R}{2}$ જેટલી ઊંચાઈએ રહેલા ઉપગ્રહ માટે,કક્ષીય ત્રિજ્યા $r' = R + h = R + \frac{R}{2} = \frac{3R}{2}$ થાય.
નવો કક્ષીય વેગ $V'$ એ $V' = \sqrt{\frac{GM}{r'}} = \sqrt{\frac{GM}{3R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{3R}}$ દ્વારા મળે છે.
આ સમીકરણમાં $V = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $V' = \sqrt{\frac{2}{3}} V$ મળે છે.

(B) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની $M$ દળ ધરાવતા ગ્રહની આસપાસ $r$ અંતરે ગતિઊર્જા $(K.E.)$ નું સૂત્ર $K.E. = \frac{GMm}{2r}$ છે.
અહીં,$r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,તેથી $r = R_{earth} + h$.
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે $h_1 = R$ ઊંચાઈએ,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1 = R + R = 2R$ થશે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે $h_2 = 2R$ ઊંચાઈએ,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = R + 2R = 3R$ થશે.
બંને ઉપગ્રહોનું દળ $m$ સમાન હોવાથી,ગતિઊર્જા એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $K.E. \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,તેમની ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(K.E.)_1}{(K.E.)_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{3R}{2R} = \frac{3}{2}$ થશે.

(D) ઉપગ્રહની ગતિ તેના સમક્ષિતિજ વેગ $(v)$ પર આધાર રાખે છે,જે ક્રાંતિક વેગ $(v_c)$ અને નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ ની સાપેક્ષ હોય છે.
જો $v < v_c$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વી પર પાછો પડશે.
જો $v = v_c$ હોય,તો ઉપગ્રહ વર્તુળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરશે.
જો $v_c < v < v_e$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વીને એક કેન્દ્ર (focus) તરીકે રાખીને લંબગોળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરશે.
જો $v = v_e$ હોય,તો ઉપગ્રહ પૃથ્વીના ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળી જશે.
તેથી,જો સમક્ષિતિજ વેગ ક્રાંતિક વેગ કરતા વધારે અને નિષ્ક્રમણ વેગ કરતા ઓછો હોય,તો ઉપગ્રહ લંબગોળાકાર કક્ષામાં ભ્રમણ કરશે.

(B) પૃથ્વીની આસપાસ '$r$' અંતરે ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો ક્રાંતિક વેગ (કક્ષીય વેગ) નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$
જ્યાં '$G$' એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને '$M$' એ પૃથ્વીનું દળ છે.
'$R$' ત્રિજ્યા ધરાવતા ઉપગ્રહ '$A$' માટે:
$v_{A} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
'$2R$' ત્રિજ્યા ધરાવતા ઉપગ્રહ '$B$' માટે:
$v_{B} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$
બંને વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{\sqrt{\frac{GM}{R}}}{\sqrt{\frac{GM}{2R}}} = \sqrt{\frac{GM}{R} \times \frac{2R}{GM}} = \sqrt{2}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{v_{A}}{v_{B}}$ એ $\sqrt{2}: 1$ છે.

(C) ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ભ્રમણનો આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v} = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
ભ્રમણની આવૃત્તિ $f = \frac{1}{T} = \frac{1}{2\pi} \sqrt{\frac{GM}{r^3}}$ છે.
અહીં જોઈ શકાય છે કે,આવૃત્તિ '$f$' માત્ર પૃથ્વીના દળ '$M$' અને કક્ષાની ત્રિજ્યા '$r$' પર આધાર રાખે છે.
તે ઉપગ્રહના દળ '$m$' થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,તેમની આવૃત્તિઓનો ગુણોત્તર $1:1$ થશે.

(A) ગ્રહની આસપાસ ફરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T$ સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સમયગાળો $T$ માત્ર ગ્રહના દળ $M$ અને કક્ષીય ત્રિજ્યા $r$ પર આધાર રાખે છે.
તે ઉપગ્રહના દળ $m$ પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,પરિભ્રમણનો સમયગાળો ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.

(D) $m$ દળ ધરાવતા ઉપગ્રહની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગતિઊર્જા $(K)$ નું સૂત્ર $K = \frac{GMm}{2r}$ છે.
અહીં,$r = R + h$,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
ઉપગ્રહ '$A$' માટે,$h_A = 2R$,તેથી $r_A = R + 2R = 3R$.
ઉપગ્રહ '$B$' માટે,$h_B = 3R$,તેથી $r_B = R + 3R = 4R$.
ગતિઊર્જાઓનો ગુણોત્તર $\frac{K_A}{K_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{4R}{3R} = \frac{4}{3}$ થાય.

(D) પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
બંને ઉપગ્રહો એક જ કક્ષામાં ભ્રમણ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમની કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ સમાન છે.
આવર્તકાળ $T$ ફક્ત કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ અને પૃથ્વીના દળ $M$ પર આધાર રાખે છે,ઉપગ્રહના દળ $m$ પર નહીં,તેથી બંને ઉપગ્રહોનો આવર્તકાળ સમાન હશે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે તેમનો આવર્તકાળ સમાન છે.

(C) ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે અને $M$ એ તેનું દળ છે.
ગ્રહનું દળ $M$ ને તેની ઘનતા $\rho$ ના સંદર્ભમાં $M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
$M$ ની આ કિંમતને આવર્તકાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3}{G \cdot (\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R^3 \cdot 3}{4 \pi G R^3 \rho}}$
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}}$
$T = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગમાન $L = m v R$ ... $(i)$
સૂર્યની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{m v^2}{R} = \frac{G M m}{R^2}$
$v^2 = \frac{G M}{R}$
$v = \sqrt{\frac{G M}{R}}$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{G M}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{G M R}$
અહીં $m$,$G$,અને $M$ અચળાંકો હોવાથી:
$L \propto \sqrt{R}$
$L \propto R^{1/2}$
આમ,$L \propto R^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 0.5$ મળે છે.

(B) ન્યૂટનના ગતિના નિયમો અનુસાર,વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતી વસ્તુને તેની ગતિ જાળવી રાખવા માટે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતા કેન્દ્રગામી બળની જરૂર હોય છે.
પૃથ્વી સૂર્યની આસપાસ લગભગ વર્તુળાકાર કક્ષામાં પરિભ્રમણ કરતી હોવાથી,પૃથ્વી પર સૂર્યની દિશામાં કેન્દ્રગામી બળ લાગતું હોવું જોઈએ.
આ બળ સૂર્ય અને પૃથ્વી વચ્ચેના ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
તેથી,પૃથ્વીનું સૂર્યની આસપાસનું પરિભ્રમણ એ પુરાવો છે કે આવું બળ અસ્તિત્વ ધરાવે છે.

(C) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ એ કેન્દ્રીય આકર્ષી બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $F = \frac{k}{r}$,કેન્દ્રગામી બળનું મૂલ્ય $F_c = m r \omega^2$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $m r \omega^2 = \frac{k}{r}$.
કોણીય વેગ $\omega$ માટે ગોઠવતા: $\omega^2 = \frac{k}{m r^2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \cdot \frac{1}{r}$.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,આપણને મળે છે $T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}} \cdot r$.
તેથી,$T \propto r$.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરતા કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ કક્ષીય વેગ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$\frac{GMm}{R^2} = \frac{mv^2}{R}$
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ મળે છે.
આ કિંમતને કોણીય વેગમાનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
અહીં $m$,$G$,અને $M$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $L \propto \sqrt{R}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) વર્તુળાકાર ગતિમાં રહેલા કણનું કોણીય વેગમાન $L = mvr$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ પૃથ્વીનું દળ છે,$v$ તેનો કક્ષીય વેગ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહ માટે,કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે:
$\frac{mv^2}{R} = \frac{GMm}{R^2}$
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ મળે છે.
આ કિંમતને કોણીય વેગમાનના સમીકરણમાં મૂકતા:
$L = m \times \sqrt{\frac{GM}{R}} \times R$
$L = m \sqrt{GM} \times \frac{R}{\sqrt{R}}$
$L = m \sqrt{GM} \times \sqrt{R}$
અહીં $m$,$G$ અને $M$ અચળાંકો હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $L \propto \sqrt{R}$.

(B) $r$ અંતરે પૃથ્વીની આસપાસ ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય વેગમાન $L$ ને $L = mvr$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$L$ ના સમીકરણમાં $v$ ની કિંમત મૂકતા:
$L = m \left(\sqrt{\frac{GM}{r}}\right) r$
$L = m \sqrt{GM} \cdot \sqrt{r}$
$L = m \sqrt{GMr}$
$L = m(GMr)^{1/2}$.

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ઉપગ્રહના આવર્તકાળ $T$ નો વર્ગ તેની કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,જે $T^2 \propto R^3$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $T = 2\pi \sqrt{\frac{R^3}{GM}}$,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
નોંધો કે આવર્તકાળ $T$ ફક્ત કક્ષાની ત્રિજ્યા $R$ અને મુખ્ય ગ્રહના દળ $M$ પર આધાર રાખે છે.
તે ઉપગ્રહના દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે.
બંને ઉપગ્રહો સમાન ગ્રહની આસપાસ સમાન ત્રિજ્યા $R$ પર ભ્રમણ કરતા હોવાથી,તેમના આવર્તકાળ સમાન હશે.
તેથી,તેમના પરિભ્રમણ સમયગાળાનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(C) કેન્દ્રીય બળની ગતિમાં,પદાર્થનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = \vec{r} \times \vec{p} = mvr \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ અને $B$ પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી $\theta = 90^\circ$ અને $\sin 90^\circ = 1$ થાય.
આમ,$L = mvr$.
ધારો કે $v_A$ અને $v_B$ એ અનુક્રમે $A$ અને $B$ આગળ પૃથ્વીની ઝડપ છે,અને $r_A = OA$ તથા $r_B = OB$ એ સૂર્યથી અંતર છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m v_A r_A = m v_B r_B$
$\Rightarrow \frac{v_A}{v_B} = \frac{r_B}{r_A} = \frac{OB}{OA}$
આપેલ છે કે $\frac{OB}{OA} = R$,તેથી $\frac{v_A}{v_B} = R$.
આમ,$A$ અને $B$ આગળ પૃથ્વીના વેગનો ગુણોત્તર $R$ છે.

(C) પૃથ્વીની સપાટીની ખૂબ નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_E}{g}}$
આપેલ મૂલ્યો:
$R_E = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$
$g = 10 \ ms^{-2}$
$\pi = 3.14$
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{6.4 \times 10^6}{10}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{6.4 \times 10^5} = 6.28 \times \sqrt{64 \times 10^4}$
$T = 6.28 \times 800 = 5024 \ s$
સમયને મિનિટમાં ફેરવવા માટે:
$T = \frac{5024}{60} \ min \approx 83.73 \ min$
તેથી, પરિભ્રમણનો સમયગાળો $83.73$ મિનિટ છે.

(A) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ પૃથ્વીની વિષુવવૃત્તની ઉપર એવી રીતે ભ્રમણ કરે છે કે જેથી પૃથ્વી પરથી જોતા તે સ્થિર જણાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઉપગ્રહ પૃથ્વીની આસપાસ એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે તેટલો જ સમય લે છે જેટલો સમય પૃથ્વીને તેની ધરી પર એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવામાં લાગે છે.
પૃથ્વીનો પરિભ્રમણ સમય $24 \text{ h}$ છે.
તેથી,ભૂસ્થિર ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $24 \text{ h}$ છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી નિષ્ક્રમણ વેગ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 11.2 \,km \,s^{-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સપાટીથી $h$ ઊંચાઈ પર રહેલા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ છે.
અહીં $h = R$ આપેલ હોવાથી, કક્ષીય વેગ $v_o = \sqrt{\frac{GM}{R+R}} = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$ થશે.
આપણે $v_o$ ને $v_e$ ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકીએ:
$v_o = \sqrt{\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}} = \frac{v_e}{2}$.
$v_e = 11.2 \,km \,s^{-1}$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_o = \frac{11.2}{2} = 5.6 \,km \,s^{-1}$.

(B) જ્યારે પદાર્થનો વેગ $(v)$ એ કક્ષીય વેગ $(v_o)$ કરતા વધારે હોય પરંતુ નિષ્ક્રમણ વેગ $(v_e)$ કરતા ઓછો હોય,એટલે કે $v_o < v < v_e$,ત્યારે પદાર્થની કુલ ઉર્જા ઋણ હોય છે.
કેન્દ્રીય ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રમાં ઋણ કુલ ઉર્જા માટે,પદાર્થનો માર્ગ એક લંબગોળ (ellipse) હોય છે,જેમાં પૃથ્વીનું કેન્દ્ર એક નાભિ (focus) પર હોય છે.
જો $v = v_e$ હોય,તો કુલ ઉર્જા શૂન્ય થાય છે અને માર્ગ પરવલયાકાર બને છે.
જો $v > v_e$ હોય,તો કુલ ઉર્જા ધન હોય છે અને માર્ગ અતિવલયાકાર બને છે.

(D) કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$a$ ત્રિજ્યાની વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ ગ્રહનું દળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ગ્રહની સપાટી પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = \frac{GM}{R^2}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $GM = gR^2$.
$GM$ ની કિંમત સમયગાળાના સૂત્રમાં મૂકતા: $T = 2\pi \sqrt{\frac{a^3}{gR^2}} = 2\pi a^{3/2} g^{-1/2} R^{-1}$.
આને આપેલ સમીકરણ $T \propto a^{3/2} g^x R^y$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = -1/2$ અને $y = -1$ મળે છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ, પરિભ્રમણ સમયગાળાનો $(T)$ વર્ગ એ કક્ષાની ત્રિજ્યાના $(r)$ ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે:
$T^2 \propto r^3$
પ્રથમ ઉપગ્રહ માટે, કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_1 = R$ છે (જ્યાં $R$ એ ગ્રહની ત્રિજ્યા છે)।
બીજા ઉપગ્રહ માટે, ઊંચાઈ $h = 3R$ છે, તેથી કક્ષાની ત્રિજ્યા $r_2 = R + 3R = 4R$ થશે।
ગુણોત્તરનો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^3$
$\left(\frac{T_2}{T_1}\right)^2 = \left(\frac{4R}{R}\right)^3 = 4^3 = 64$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{64} = 8$
આપેલ છે કે $T_1 = 80 \text{ મિનિટ}$, તેથી:
$T_2 = 8 \times 80 \text{ મિનિટ} = 640 \text{ મિનિટ}$.

(B) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન $(L)$ અચળ રહે છે.
$L = mvr \sin \phi$,જ્યાં $\phi$ એ વેગ સદિશ અને ત્રિજ્યા સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ મુજબ: $m v_A r_A \sin \phi_A = m v_B r_B \sin \phi_B$
અહીં $r_A = 90 \times 10^6 \text{ km}$,$r_B = 60 \times 10^6 \text{ km}$,$\phi_A = 30^{\circ}$,અને $\phi_B = 60^{\circ}$ આપેલ છે.
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{r_B}{r_A} \times \frac{\sin \phi_B}{\sin \phi_A}$
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{60 \times 10^6}{90 \times 10^6} \times \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 30^{\circ}}$
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{2}{3} \times \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

(A) સ્થિર ઉપગ્રહ માટે,તેનો ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો $T$ એ ગ્રહની તેની ધરી પરની ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળા જેટલો હોવો જોઈએ. ગ્રહની કોણીય ઝડપ $\omega = 2\pi / T$ છે.
જ્યારે કોણીય ઝડપ અડધી થાય છે $(\omega' = \omega / 2)$,ત્યારે નવો સમયગાળો $T' = 2T$ થાય છે કારણ કે $T = 2\pi / \omega$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,ભ્રમણકક્ષાના સમયગાળાનો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યાના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે: $T^2 \propto r^3$.
તેથી,$(T'/T)^2 = (r'/r)^3$.
$T' = 2T$ મૂકતા,આપણને $(2)^2 = (r'/r)^3$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $4 = (r'/r)^3$.
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$r'/r = 4^{1/3} = (2^2)^{1/3} = 2^{2/3}$.
આને $r'/r = 2^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને $n = 2/3$ મળે છે.

(D) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM_E}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r = R_E + h$ છે.
ઉપગ્રહ $A$ માટે,ઊંચાઈ $h_A = 1.25 R_E$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_A = R_E + 1.25 R_E = 2.25 R_E$ થાય.
ઉપગ્રહ $B$ માટે,ઊંચાઈ $h_B = 19.25 R_E$ છે,તેથી કેન્દ્રથી અંતર $r_B = R_E + 19.25 R_E = 20.25 R_E$ થાય.
કક્ષીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{r_B}{r_A}} = \sqrt{\frac{20.25 R_E}{2.25 R_E}} = \sqrt{\frac{2025}{225}} = \sqrt{9} = 3$ છે.
આમ,ગુણોત્તર $3: 1$ છે.

(B) જે ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ પૃથ્વીના પરિભ્રમણના આવર્તકાળ $(T = 24 \,h)$ જેટલો હોય તેને ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ કહેવાય છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ નું સૂત્ર $r = \left( \frac{T^2 GM_e}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$ છે.
કિંમતો $T = 86,400 \,s$,$G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2/kg^2$,અને $M_e = 5.97 \times 10^{24} \,kg$ મૂકતા,આપણને $r \approx 42,200 \,km$ મળે છે.
ઊંચાઈ $h$ એ $h = r - R_e$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $R_e \approx 6,400 \,km$ છે.
આમ,$h = 42,200 \,km - 6,400 \,km = 35,800 \,km$.
તેથી,ઊંચાઈ આશરે $35,840 \,km$ છે.

(B) ધ્રુવીય ઉપગ્રહો પૃથ્વીની આસપાસ ઉત્તર-દક્ષિણ દિશામાં ભ્રમણ કરે છે,જ્યારે પૃથ્વી તેમની નીચે ફરે છે. આ તેમને સમગ્ર પૃથ્વીનું સ્કેન કરવાની મંજૂરી આપે છે,જે તેમને રિમોટ સેન્સિંગ,હવામાનશાસ્ત્ર અને પર્યાવરણીય દેખરેખ માટે આદર્શ બનાવે છે.