Motion of Satellites in Circular Orbits and Planets in Elliptical Orbits Questions in Gujarati

$(A)$ આપેલ છે: ઊંચાઈ $h = 1000 \,km = 10^6 \,m$, પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R = 6.4 \times 10^6 \,m$, પૃથ્વીનું દળ $M = 6 \times 10^{24} \,kg$, ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક $G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2 \,kg^{-2}$.
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r = R + h = 6.4 \times 10^6 + 1.0 \times 10^6 = 7.4 \times 10^6 \,m$ છે.
ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નું સૂત્ર $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$T = 2 \times 3.14 \times \sqrt{\frac{(7.4 \times 10^6)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{\frac{405.224 \times 10^{18}}{40.02 \times 10^{13}}}$
$T = 6.28 \times \sqrt{10.125 \times 10^5} = 6.28 \times \sqrt{1012500} \approx 6.28 \times 1006.23 \approx 6319 \,s$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $T = \frac{6319}{60} \approx 105.3 \,min$.
આમ, આવર્તકાળ આશરે $105 \,min$ છે.

(D) આપેલ છે: $T_A = 8 T_B$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ,$T^2 \propto R^3$,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે અને $R$ એ કક્ષીય ત્રિજ્યા છે.
તેથી,$\frac{T_A^2}{T_B^2} = \frac{R_A^3}{R_B^3} \Rightarrow (8)^2 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3 \Rightarrow 64 = \left(\frac{R_A}{R_B}\right)^3$.
ઘનમૂળ લેતા,$\frac{R_A}{R_B} = (64)^{1/3} = 4$.
કક્ષીય વેગ $V$ નું સૂત્ર $V = \frac{2 \pi R}{T}$ છે.
તેથી,કક્ષીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{V_A}{V_B} = \frac{R_A}{R_B} \times \frac{T_B}{T_A} = 4 \times \frac{1}{8} = \frac{1}{2}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ એવો ઉપગ્રહ છે જે પૃથ્વીની ધરીભ્રમણની દિશામાં (પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ) પૃથ્વીની આસપાસ ફરે છે.
તેનો ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો પૃથ્વીના ધરીભ્રમણના સમયગાળા જેટલો જ હોય છે, જે $24 \,h$ (અથવા $1 \,day$) છે.

(C) ઉપગ્રહ માટે ભ્રમણકક્ષાનો આવર્તકાળ $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{GM_E}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $T \propto r^{3/2}$.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,પ્રારંભિક આવર્તકાળ $T_1 = 24 \text{ hrs}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1$ છે અને નવી ત્રિજ્યા $r_2 = 2r_1$ છે.
પ્રમાણસરતા $T \propto r^{3/2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ગુણોત્તર મળે છે:
$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_2}{24} = \left( \frac{2r_1}{r_1} \right)^{3/2} = (2)^{3/2} = 2\sqrt{2}$.
તેથી,$T_2 = 24 \times 2\sqrt{2} = 48\sqrt{2} \text{ hrs}$.

(A) આપેલ છે: $G=6.67 \times 10^{-11} \text{ N-m}^2 \text{ kg}^{-2}$,$M=5.98 \times 10^{24} \text{ kg}$,$R=6.4 \times 10^6 \text{ m}$.
સંચાર ઉપગ્રહ માટે,સમયગાળો $T = 24 \text{ h} = 24 \times 3600 \text{ s} = 8.64 \times 10^4 \text{ s}$.
કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R+h$ એ કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ દ્વારા સમયગાળા સાથે સંબંધિત છે: $T^2 = \frac{4 \pi^2 r^3}{GM}$.
$r$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $r = \left( \frac{T^2 GM}{4 \pi^2} \right)^{1/3}$.
કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{(8.64 \times 10^4)^2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3}$.
$r \approx 42.25 \times 10^6 \text{ m}$.
કારણ કે $h = r - R$,તેથી $h = 42.25 \times 10^6 \text{ m} - 6.4 \times 10^6 \text{ m} = 35.85 \times 10^6 \text{ m}$.
કિલોમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $h = 35850 \text{ km}$.

(A) જ્યારે $120 \ km$ ની ઊંચાઈએ પૃથ્વીની આસપાસ ફરતા અવકાશયાનમાંથી દડો છોડવામાં આવે છે,ત્યારે મુક્તિના સમયે દડા પાસે અવકાશયાન જેટલો જ કક્ષીય વેગ હોય છે.
અવકાશના શૂન્યાવકાશમાં તેની ગતિની સ્થિતિ બદલવા માટે કોઈ બાહ્ય બળ (જેમ કે હવાનો અવરોધ) ન હોવાથી,દડો અવકાશયાનની સમાન ઝડપ અને દિશામાં ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
તેથી,તે અવકાશયાનની મૂળ ભ્રમણકક્ષામાં જ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(B) $\text{ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે, ભ્રમણકક્ષાનો સમયગાળો } T = 24 \text{ કલાક છે, જે } 24 \times 3600 = 86400 \,s \text{ થાય છે.}
\text{કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા } r \text{ નું સૂત્ર: } T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM_{E}}.
r \text{ માટે સૂત્ર બનાવતા: } r = \left( \frac{GMT^2}{4\pi^2} \right)^{1/3}.
\text{કિંમતો મૂકતા: } G = 6.67 \times 10^{-11} \,Nm^2/kg^2, M_{E} = 6 \times 10^{24} \,kg, T = 86400 \,s.
r = \left( \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times (86400)^2}{4 \times (3.14)^2} \right)^{1/3} \approx 4.22 \times 10^7 \,m.
\text{પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ } h = r - R_{E} \text{ છે।}
h = 4.22 \times 10^7 \,m - 0.64 \times 10^7 \,m = 3.58 \times 10^7 \,m.
\text{આપેલા વિકલ્પો મુજબ, ઊંચાઈ આશરે } 3.57 \times 10^7 \,m \text{ છે।}$

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં રહેલા ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ એ સૂત્ર $T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે,$G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે અને $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે.
$1$. કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ $R + h$ જેટલી હોય છે,જ્યાં $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે અને $h$ એ પૃથ્વીની સપાટીથી ઉપગ્રહની ઊંચાઈ છે.
$2$. સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $T$ એ પૃથ્વીના દળ $(M)$,કક્ષાની ત્રિજ્યા $(r)$ અને ઊંચાઈ $(h)$ પર આધાર રાખે છે કારણ કે $r = R + h$ છે.
$3$. આવર્તકાળ $T$ એ ઉપગ્રહના દળ $(m)$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,આવર્તકાળ (ii),(iii) અને (iv) પર આધાર રાખે છે.

(A) પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીકના પદાર્થ માટે,$r_1 = R = 6400 \ km$,તેથી $v_1 = \sqrt{\frac{GM}{R}} = 8 \ km s^{-1}$.
$h = 19,200 \ km$ ની ઊંચાઈએ રહેલા પદાર્થ માટે,કેન્દ્રથી અંતર $r_2 = R + h = 6400 + 19,200 = 25,600 \ km$ થાય.
આ ઊંચાઈએ કક્ષીય ઝડપ $v_2 = \sqrt{\frac{GM}{r_2}}$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{R}{r_2}} = \sqrt{\frac{6400}{25600}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$v_2 = \frac{v_1}{2} = \frac{8 \ km s^{-1}}{2} = 4 \ km s^{-1}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાની કક્ષામાં રહેલા કૃત્રિમ ઉપગ્રહની કુલ ઊર્જા $E = -\frac{GMm}{2r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા પર પ્રારંભિક ઊર્જા $E_1 = -\frac{GMm}{2r}$ છે.
$\frac{3r}{2}$ ત્રિજ્યા પર અંતિમ ઊર્જા $E_2 = -\frac{GMm}{2(\frac{3r}{2})} = -\frac{GMm}{3r}$ છે.
જેમ ઉપગ્રહ ઊંચી કક્ષામાં જાય છે તેમ ઊર્જા વધે છે. ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E = E_2 - E_1 = -\frac{GMm}{3r} - (-\frac{GMm}{2r}) = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{3r} = \frac{GMm}{6r}$ છે.
ટકાવારી વધારો $\frac{\Delta E}{|E_1|} \times 100\%$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ટકાવારી વધારો $= \frac{\frac{GMm}{6r}}{\frac{GMm}{2r}} \times 100\% = \frac{2}{6} \times 100\% = \frac{1}{3} \times 100\% = 33.33\%$.

(B) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g = g_0 \left( \frac{R}{R+h} \right)^2 = \frac{16}{49} g_0$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{R}{R+h} = \frac{4}{7}$
$7R = 4R + 4h \implies 4h = 3R \implies h = \frac{3R}{4}$
કક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ છે:
$r = R + h = R + \frac{3R}{4} = \frac{7R}{4}$
ઉપગ્રહનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = 2\pi \sqrt{\frac{r^3}{GM}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} = \frac{4\pi^2}{GM} \left( \frac{7R}{4} \right)^3 = \frac{4\pi^2}{GM} \left( \frac{343 R^3}{64} \right) = \frac{343}{16} \left[ \frac{\pi^2 R^3}{GM} \right]$
આને $K \left[ \frac{\pi^2 R^3}{GM} \right]$ સાથે સરખાવતા,આપણને $K = \frac{343}{16}$ મળે છે.

(D) વર્તુળાકાર કક્ષામાં ઉપગ્રહની ઝડપ અચળ રહે છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ઉપગ્રહ પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,ગતિ ઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ અચળ રહે છે.
તેથી,ગતિ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = K_f - K_i = 0$ થાય.
કાર્ય $W = \Delta K = 0$ હોવાથી,જરૂરી પાવર,જે $P = \frac{W}{t}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તે પણ શૂન્ય થશે.
આમ,ઉપગ્રહને તેની કક્ષામાં અચળ ઝડપથી ગતિ કરાવવા માટે કોઈ બાહ્ય પાવરની જરૂર પડતી નથી.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,પેરીહેલિયન અને એફેલિયન બિંદુઓ પર:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$\Rightarrow v_2 = \frac{v_1 r_1}{r_2}$ $(i)$
કુલ યાંત્રિક ઉર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$-\frac{G M m}{r_1} + \frac{1}{2} m v_1^2 = -\frac{G M m}{r_2} + \frac{1}{2} m v_2^2$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v_2$ ની કિંમત મૂકતા:
$-\frac{G M}{r_1} + \frac{1}{2} v_1^2 = -\frac{G M}{r_2} + \frac{1}{2} \left(\frac{v_1 r_1}{r_2}\right)^2$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left(1 - \frac{r_1^2}{r_2^2}\right) = G M \left(\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)$
$\frac{1}{2} v_1^2 \left(\frac{r_2^2 - r_1^2}{r_2^2}\right) = G M \left(\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}\right)$
$\frac{1}{2} v_1^2 \frac{(r_2 - r_1)(r_2 + r_1)}{r_2^2} = G M \frac{(r_2 - r_1)}{r_1 r_2}$
$v_1^2 = \frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}$
$v_1 = \sqrt{\frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}}$
કોણીય વેગમાન $L = m v_1 r_1 = m \sqrt{\frac{2 G M r_2}{r_1(r_1 + r_2)}} \cdot r_1 = m \sqrt{\frac{2 G M r_1 r_2}{r_1 + r_2}}$

(C) $M_p$ દળ ધરાવતા ગ્રહના કેન્દ્રથી $r = R_p + h$ અંતરે રહેલા ઉપગ્રહનો પરિભ્રમણ સમયગાળો $T = 2 \pi \sqrt{\frac{r^3}{G M_p}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપગ્રહ ગ્રહની ખૂબ નજીક પરિભ્રમણ કરતો હોવાથી,$h \approx 0$,તેથી $r \approx R_p$ લેતા.
ગ્રહની ઘનતા $\rho$ અને ત્રિજ્યા $R_p$ ના સંદર્ભમાં ગ્રહનું દળ $M_p = \frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho$ થાય છે.
$M_p$ ની કિંમત સમયગાળાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{R_p^3}{G (\frac{4}{3} \pi R_p^3 \rho)}}$.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$T = 2 \pi \sqrt{\frac{3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{4 \pi^2 \cdot 3}{4 \pi G \rho}} = \sqrt{\frac{3 \pi}{G \rho}}$.

(D) અવકાશયાત્રી પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F = G \frac{Mm}{r^2}$ છે,જે મર્યાદિત અને શૂન્યતર છે. જો કે,અવકાશયાત્રી અવકાશયાનની સાથે મુક્ત પતન (free fall) ની સ્થિતિમાં છે. અવકાશયાનના સંદર્ભ ફ્રેમમાં,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સ્યુડો-ફોર્સ (કેન્દ્રત્યાગી બળ) દ્વારા સંતુલિત થાય છે,જેના પરિણામે ભારહીનતાની સ્થિતિ સર્જાય છે. તેથી,અવકાશયાત્રી કોઈ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ 'અનુભવતા' નથી (અસરકારક વજન શૂન્ય છે). આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
કારણ $(R)$ એ ઉપગ્રહોની ભ્રમણકક્ષાની ગતિનું વર્ણન કરતું પ્રમાણભૂત ભૌતિક તથ્ય છે,જે સાચું છે.

(D) બંને તારાઓ સમાન કોણીય વેગ $\omega$ સાથે તેમના સામાન્ય દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ની આસપાસ પરિભ્રમણ કરે છે.
ધારો કે $M$ અને $2M$ દળના $COM$ થી અંતર અનુક્રમે $r_1$ અને $r_2$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r_1 + r_2 = d$ અને $M r_1 = (2M) r_2$.
આના પરથી,$r_1 = \frac{2M}{3M} d = \frac{2}{3} d$ મળે છે.
તારાઓ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $M$ દળ ધરાવતા તારા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે:
$F_g = F_c$
$\frac{G(M)(2M)}{d^2} = M \omega^2 r_1$
$r_1 = \frac{2}{3} d$ મૂકતા:
$\frac{2 G M^2}{d^2} = M \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\frac{2 G M}{d^2} = \omega^2 \left(\frac{2}{3} d\right)$
$\omega^2 = \frac{2 G M}{d^2} \cdot \frac{3}{2 d} = \frac{3 G M}{d^3}$
$\omega = \sqrt{\frac{3 G M}{d^3}}$

(A) $M$ દળ ધરાવતા બે સમાન તારાઓ જે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથમાં એકબીજાની આસપાસ ફરે છે,તેમની વચ્ચેનું અંતર $d = 2R$ છે.
તેમની વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F_g = \frac{G M^2}{(2R)^2} = \frac{G M^2}{4R^2}$ છે.
$M$ દળ ધરાવતા તારા માટે $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ કોણીય વેગ સાથે ગતિ કરવા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = M \omega^2 R$ છે.
બળોને સરખાવતા: $M \omega^2 R = \frac{G M^2}{4R^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$\omega^2 = \frac{G M}{4R^3}$.
સમયગાળો $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$T^2 = \frac{4\pi^2}{\omega^2} = \frac{4\pi^2 (4R^3)}{GM} = \frac{16\pi^2 R^3}{GM}$ મળે છે.
આમ,$T^2 \propto R^3$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto R^{\frac{3}{2}}$.

(B) આપેલ છે: સમયગાળો $T = 6 \text{ કલાક} = 21600 \text{ સેકન્ડ}$.
પૃથ્વીની ત્રિજ્યા $R_e = 6400 \text{ km} = 6.4 \times 10^6 \text{ m}$.
કેપ્લરના ત્રીજા નિયમ મુજબ: $T^2 = \frac{4\pi^2 R^3}{GM}$, જ્યાં $R$ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
$R^3 = T^2 \times \frac{GM}{4\pi^2} = (21600)^2 \times 8 \times 10^{12} = 3.732 \times 10^{21} \text{ m}^3$.
$R = (3732.48)^{1/3} \times 10^6 \approx 15510 \text{ km}$.
પૃથ્વીની સપાટીથી અંતર $h = R - R_e = 15510 - 6400 = 9110 \text{ km}$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ નજીકનો જવાબ $8720 \text{ km}$ છે.

(C) આપેલ છે: ગ્રહ $360$ દિવસમાં $2$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ $2\pi$ રેડિયન ખૂણા જેટલું હોય છે.
તેથી,$2$ પરિભ્રમણમાં કપાયેલ કુલ ખૂણો $\theta = 2 \times 2\pi = 4\pi$ રેડિયન થાય.
લાગતો સમય $t = 360$ દિવસ છે.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\omega = \frac{\theta}{t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{4\pi}{360} = \frac{\pi}{90} \text{ rad day}^{-1}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,આપણને $\omega \approx \frac{3.14159}{90} \approx 0.0349 \text{ rad day}^{-1}$ મળે છે.
આને વૈજ્ઞાનિક પદ્ધતિમાં $3.49 \times 10^{-2} \text{ rad day}^{-1}$ તરીકે લખી શકાય,જે આશરે $3.5 \times 10^{-2} \text{ rad day}^{-1}$ છે.

(C) $R$ ત્રિજ્યા અને $\rho$ ઘનતા ધરાવતા ગ્રહની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$m g = m \omega^2 R$
કારણ કે $g = \frac{G M}{R^2}$ અને $M = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $g = \frac{G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R^2} = \frac{4}{3} \pi G \rho R$.
આ કિંમતને બળના સમીકરણમાં મૂકતા:
$m (\frac{4}{3} \pi G \rho R) = m \omega^2 R$
$\omega^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$
કારણ કે $\omega = \frac{2 \pi}{T}$,આપણને $(\frac{2 \pi}{T})^2 = \frac{4}{3} \pi G \rho$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $T^2 = \frac{3 \pi}{G \rho}$ થાય છે.
આમ,$T \propto \frac{1}{\sqrt{\rho}}$.
બંને ઉપગ્રહોનો સમયગાળો $T$ સમાન હોવાથી,તેમની ઘનતા સમાન હોવી જોઈએ,એટલે કે $\rho_m = \rho_e$.

(A) કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ ને $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. કણ $xy$-સમતલમાં ગતિ કરતો હોવાથી,$\vec{L}$ એ $z$-અક્ષની દિશામાં (ગતિના સમતલને લંબ) હોય છે.
બિંદુ $A$ પર,કણ $y$-દિશામાં ગતિ કરી રહ્યો છે (લંબગોળના સૌથી જમણા બિંદુએ સ્પર્શક),તેથી રેખીય વેગમાન $\vec{p}$ એ $+y$ દિશામાં છે.
આપણે $\vec{\alpha} = \vec{p} \times \vec{L}$ ની દિશા શોધવાની છે.
ક્રોસ પ્રોડક્ટ માટે જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{p}$ એ $+y$ દિશામાં $(\hat{j})$ છે.
$\vec{L}$ એ $+z$ દિશામાં $(\hat{k})$ છે.
તેથી,$\vec{\alpha} = \vec{p} \times \vec{L} = (p\hat{j}) \times (L\hat{k}) = pL(\hat{j} \times \hat{k}) = pL\hat{i}$.
આ $+x$ અક્ષની દિશા દર્શાવે છે.

(D) ગ્રહ સૂર્ય દ્વારા લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ લંબગોળ કક્ષામાં સૂર્યની આસપાસ ફરે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ હંમેશા ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા (સ્થાન સદિશ $r$) ની દિશામાં કાર્ય કરે છે,તેથી સૂર્યની સાપેક્ષ ગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = r \times F = rF \sin(180^{\circ}) = 0$ થાય છે.
ટોર્ક અને કોણીય વેગમાન વચ્ચેના સંબંધ મુજબ,$\tau = \frac{dL}{dt}$.
અહીં $\tau = 0$ હોવાથી,$\frac{dL}{dt} = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે કોણીય વેગમાન $L$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન અચળ રહે છે.

(B) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો સમયગાળો $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{GM}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીનું દળ $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_e^3$ હોવાથી,જ્યાં $\rho$ એ પૃથ્વીની ઘનતા છે,આપણે $M$ ને સૂત્રમાં મૂકી શકીએ:
$T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{G(\rho \cdot \frac{4}{3}\pi R_e^3)}} = 2\pi\sqrt{\frac{3}{4\pi G\rho}}$.
આ દર્શાવે છે કે $T$ એ પૃથ્વીની ઘનતા $\rho$ પર આધાર રાખે છે. તેથી,વિધાન $I$ સાચું છે.
સપાટીની ખૂબ નજીકના ઉપગ્રહ માટે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે,જેનાથી $g = \frac{GM}{R_e^2}$ મળે છે.
$GM = gR_e^2$ ને સામાન્ય સમયગાળાના સૂત્ર $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{GM}}$ માં મૂકતા,આપણને $T = 2\pi\sqrt{\frac{R_e^3}{gR_e^2}} = 2\pi\sqrt{\frac{R_e}{g}}$ મળે છે.
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.