Escape Velocity and Escape Energy Questions in Hindi

(A) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{2gR}$ है।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = K$ है और गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = g$ है।
उनके पलायन वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2} \times \frac{R_1}{R_2}}$ होगा।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{g \times K} = (Kg)^{1/2}$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ${v_e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$.
त्रिज्या $R$ की वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह का कक्षीय वेग इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: ${v_o} = \sqrt{\frac{GM}{R}} = \sqrt{gR}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि:
${v_e} = \sqrt{2} \times \sqrt{gR}$
${v_e} = \sqrt{2} {v_o}$.
अतः,सही संबंध $\sqrt{2} {v_o} = {v_e}$ है।

(A) किसी ग्रह की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह व्यंजक केवल ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ और ग्रह की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है।
यह प्रक्षेपित किए जाने वाले पिंड के द्रव्यमान और प्रक्षेपण के कोण से स्वतंत्र है।
इसलिए,उपग्रह को चाहे किसी भी कोण पर प्रक्षेपित किया जाए,पलायन वेग $11 \ km/s$ ही रहता है।

(A) $M$ द्रव्यमान वाली पृथ्वी के चारों ओर $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में घूम रहे उपग्रह के लिए,गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है और गतिज ऊर्जा $E_k = \frac{GMm}{2r}$ है।
उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा $E = E_k + U = \frac{GMm}{2r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{2r} = -E_k$ होती है।
अंतरिक्ष में पलायन करने के लिए,उपग्रह की कुल ऊर्जा कम से कम $0$ होनी चाहिए।
मान लीजिए कि आवश्यक अतिरिक्त गतिज ऊर्जा $\Delta E$ है। अतः,$E + \Delta E = 0$.
$E$ का मान रखने पर,$-E_k + \Delta E = 0$,जिसका अर्थ है कि $\Delta E = E_k$.
अतः,उपग्रह को $E_k$ के बराबर अतिरिक्त गतिज ऊर्जा प्रदान की जानी चाहिए।

(C) $r$ त्रिज्या और $m$ द्रव्यमान वाले गोलाकार पिंड की सतह से पलायन वेग $v_e$ का सूत्र है: $v_e = \sqrt{\frac{2Gm}{r}}$।
किसी पिंड के ब्लैक होल बनने के लिए,प्रकाश भी उसके गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर नहीं निकल पाना चाहिए।
इसलिए,पलायन वेग प्रकाश की गति $c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,शर्त $\sqrt{\frac{2Gm}{r}} \ge c$ या $(2Gm/r)^{1/2} \ge c$ है।

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा सतह से $h$ अधिकतम ऊँचाई पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा = $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(kv_e)^2$
अधिकतम ऊँचाई पर कुल ऊर्जा = $-\frac{GMm}{R+h} + 0$
चूँकि $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ होगा।
ऊर्जाओं की तुलना करने पर: $-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m k^2 \left(\frac{2GM}{R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$GMm$ से भाग देने पर: $-\frac{1}{R} + \frac{k^2}{R} = -\frac{1}{R+h}$
$\frac{k^2 - 1}{R} = -\frac{1}{R+h} \implies \frac{1 - k^2}{R} = \frac{1}{R+h}$
$R+h = \frac{R}{1 - k^2}$
अतः,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R+h = \frac{R}{1 - k^2}$ होगी।

(B) किसी भी ग्रह या चंद्रमा का वायुमंडल उसके गुरुत्वाकर्षण बल के कारण बना रहता है। गैस के अणुओं को बनाए रखने के लिए,उनका वर्ग माध्य मूल वेग $(v_{rms})$ उस खगोलीय पिंड के पलायन वेग $(v_e)$ से काफी कम होना चाहिए। चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण बहुत कम है,जिसके परिणामस्वरूप पलायन वेग बहुत कम (लगभग $2.38 \ km/s$) होता है। चंद्रमा की सतह के तापमान पर गैस के अणुओं का तापीय वेग इस पलायन वेग से अधिक होता है। परिणामस्वरूप,गैस के अणु अंतरिक्ष में पलायन कर जाते हैं,जिससे वायुमंडल का निर्माण नहीं हो पाता है। अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) $h$ ऊँचाई तक कूदने के लिए आवश्यक वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
गुरुत्वाकर्षण से बचने के लिए,लड़के का कूदने का वेग ग्रह के पलायन वेग $(v_e)$ के बराबर होना चाहिए।
पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
द्रव्यमान $M = \frac{4}{3}\pi R^3 d$ को प्रतिस्थापित करने पर,$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 d} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi G R^2 d} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi Gd}$ प्राप्त होता है।
$v = v_e$ को बराबर रखने पर,$\sqrt{2gh} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi Gd}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $2gh = R^2 (\frac{8}{3}\pi Gd)$।
$R^2$ के लिए हल करने पर: $R^2 = \frac{2gh \cdot 3}{8\pi Gd} = \frac{3gh}{4\pi Gd}$।
अतः,$R = [\frac{3}{4\pi} \frac{gh}{Gd}]^{1/2}$।

(A) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि पलायन वेग केवल ग्रह के द्रव्यमान $(M)$ और ग्रह की त्रिज्या $(R)$ पर निर्भर करता है।
यह प्रक्षेपण के कोण या प्रक्षेपित किए जा रहे पिंड के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यदि पिंड को ऊर्ध्वाधर के साथ $60^\circ$ के कोण पर भी प्रक्षेपित किया जाता है,तो पलायन वेग ऊर्ध्वाधर पलायन वेग के समान ही रहता है।
अतः,पलायन वेग $11 \, km/s$ है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि $M = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi R^3)$,हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\frac{4}{3}\pi \rho R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3}\pi \rho G R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}\pi \rho G}$.
यह दिया गया है कि घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए $v_e \propto R$ है।
मान लीजिए $v_{e1} = 11 \ km/s$ और $R_1 = R$ है। नए ग्रह के लिए,$R_2 = 2R$ है।
अतः,$\frac{v_{e2}}{v_{e1}} = \frac{R_2}{R_1} = \frac{2R}{R} = 2$.
$v_{e2} = 2 \times v_{e1} = 2 \times 11 \ km/s = 22 \ km/s$.

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा और सतह से $h$ ऊँचाई पर पहुँचने के बाद कुल ऊर्जा समान होती है।
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(k{v_e})^2$
अधिकतम ऊँचाई पर अंतिम ऊर्जा: $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$
हम जानते हैं कि ${v_e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए ${v_e}^2 = \frac{2GM}{R}$।
$E_i = E_f$ रखने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m k^2 \left(\frac{2GM}{R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm k^2}{R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{1}{R}(1 - k^2) = -\frac{1}{R+h}$
$R+h = \frac{R}{1-k^2}$
अतः,पृथ्वी के केंद्र से अधिकतम दूरी $r = R+h = \frac{R}{1-k^2}$ होगी।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊंचाई पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R_e + h}$ द्वारा दी जाती है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R_e^2}$,इसलिए $GM = gR_e^2$।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर: $U = -\frac{gR_e^2 m}{R_e + h} = -\frac{mgR_e}{1 + h/R_e}$।
यहाँ $h = 4R_e$ दिया गया है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{mgR_e}{1 + 4} = -\frac{mgR_e}{5}$ होगी।
पलायन ऊर्जा वह ऊर्जा है जो वस्तु को अनंत तक (जहाँ स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है) ले जाने के लिए आवश्यक है,जो $E = 0 - U = \frac{mgR_e}{5}$ है।

(B) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय विभव $V_s = -\frac{GM}{R}$ है।
ग्रह के केंद्र पर गुरुत्वीय विभव $V_c = -\frac{3GM}{2R}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,पिंड द्वारा प्राप्त गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा में हुई कमी के बराबर होती है: $\frac{1}{2}mv^2 = m(V_s - V_c)$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = m\left(-\frac{GM}{R} - (-\frac{3GM}{2R})\right)$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{3GM}{2R} - \frac{GM}{R} = \frac{GM}{2R}$.
$v^2 = \frac{GM}{R}$.
चूँकि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$.
अतः,$v^2 = \frac{v_e^2}{2}$,जिससे $v = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
सतह से $h = R$ ऊँचाई पर स्थित पिंड के लिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = 2R$ है।
इस दूरी से पलायन करने के लिए आवश्यक कुल ऊर्जा शून्य होनी चाहिए:
$-\frac{GMm}{2R} + \frac{1}{2}m(fv)^2 = 0$.
$R$ ऊँचाई पर पलायन वेग $(v')$ के लिए हल करने पर:
$\frac{1}{2}m(v')^2 = \frac{GMm}{2R} \Rightarrow v' = \sqrt{\frac{GM}{R}}$.
चूंकि $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,हम लिख सकते हैं $v' = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
यह दिया गया है कि प्लेटफॉर्म से पलायन वेग $fv$ है,इसलिए $fv = \frac{v}{\sqrt{2}}$.
अतः,$f = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(C) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कण पृथ्वी पर वापस न आए, अनंत पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{R} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{GMm}{R}$
$u^2 = \frac{2GM}{R}$
$u = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$, इसलिए हम $u = \sqrt{2gR}$ भी लिख सकते हैं।

(D) पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \quad ...(i)$
जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
पृथ्वी की सतह के निकट परिक्रमा कर रहे उपग्रह का कक्षीय वेग इस प्रकार है:
$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ की तुलना करने पर,हम $v_e$ के व्यंजक में $\sqrt{\frac{GM}{R}}$ के स्थान पर $v_0$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$v_e = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{GM}{R}}$
$v_e = \sqrt{2} v_0$

(C) किसी वस्तु के ब्लैक होल बनने के लिए,उसका पलायन वेग प्रकाश की गति $(c)$ के बराबर होना चाहिए।
पलायन वेग का सूत्र $v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
$v_{esc} = c$ रखने पर,$c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,जिसका अर्थ है $R = \frac{2GM}{c^2}$।
यहाँ $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$,$M = 5.98 \times 10^{24} \, kg$,और $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ है:
$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{(3 \times 10^8)^2}$
$R = \frac{79.77 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}}$
$R \approx 8.86 \times 10^{-3} \, m \approx 10^{-2} \, m$.

(A) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \rho \times V = \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है,इसलिए हम इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3}\pi R^3 \rho} = R \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}}$.
इस प्रकार,पलायन वेग $R\sqrt{\rho}$ के समानुपाती है,अर्थात $v \propto R\sqrt{\rho}$.
ग्रह के लिए दिया गया है: $R_p = 2R_e$ और $\rho_p = 2\rho_e$.
अतः,अनुपात:
$\frac{v_e}{v_p} = \frac{R_e}{R_p} \times \sqrt{\frac{\rho_e}{\rho_p}} = \frac{R_e}{2R_e} \times \sqrt{\frac{\rho_e}{2\rho_e}} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
अतः,अनुपात $1 : 2\sqrt{2}$ है।

(D) किसी ग्रह या उपग्रह का वायुमंडल तभी बना रह सकता है जब उसका पलायन वेग $(v_e)$ वहाँ मौजूद गैस के अणुओं के रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ से काफी अधिक हो।
चंद्रमा पर गुरुत्वीय त्वरण बहुत कम है,जिसके परिणामस्वरूप पलायन वेग $(v_e \approx 2.38 \ km/s)$ कम होता है।
चंद्रमा की सतह के तापमान पर,गैस के अणुओं ($O_2$,$N_2$ आदि) का रूट मीन स्क्वायर वेग $(v_{rms})$ इस पलायन वेग से अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,गैस के अणु आसानी से चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को पार कर जाते हैं और अंतरिक्ष में पलायन कर जाते हैं।
इसलिए,सही कारण यह है कि चंद्रमा पर गैस के अणुओं का पलायन वेग उनके रूट मीन स्क्वायर वेग से कम है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
अतः,पृथ्वी से पलायन वेग $(v_e)$ और चंद्रमा से पलायन वेग $(v_m)$ का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{v_e}{v_m} = \sqrt{\frac{g_e}{g_m} \times \frac{R_e}{R_m}}$
यहाँ $\frac{R_e}{R_m} = 10$ और $\frac{g_e}{g_m} = 6$ दिया गया है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_e}{v_m} = \sqrt{6 \times 10} = \sqrt{60}$
चूंकि $\sqrt{60} \approx 7.74$,इसलिए अनुपात लगभग $8$ है।

(B) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह/चंद्रमा का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है।
चूंकि चंद्रमा का द्रव्यमान $(M_m \approx 7.35 \times 10^{22} \ kg)$ पृथ्वी के द्रव्यमान $(M_e \approx 5.97 \times 10^{24} \ kg)$ की तुलना में बहुत कम है और इसकी त्रिज्या $(R_m \approx 1.74 \times 10^6 \ m)$ भी पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e \approx 6.37 \times 10^6 \ m)$ से कम है,इसलिए चंद्रमा के लिए $\frac{M}{R}$ का अनुपात पृथ्वी की तुलना में काफी कम है।
परिणामस्वरूप,चंद्रमा की सतह से पलायन वेग लगभग $2.38 \ km/s$ है,जो पृथ्वी के पलायन वेग लगभग $11.2 \ km/s$ से बहुत कम है।
इसलिए,सही कारण यह है कि चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या पृथ्वी की तुलना में उसकी सतह पर कम गुरुत्वाकर्षण विभव उत्पन्न करते हैं।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_A}{R_B} = r$ है और गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_A}{g_B} = x$ है।
पलायन वेगों का अनुपात $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{\frac{2g_A R_A}{2g_B R_B}} = \sqrt{\frac{g_A}{g_B} \times \frac{R_A}{R_B}}$ होगा।
दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{v_A}{v_B} = \sqrt{x \times r} = \sqrt{rx}$ प्राप्त होता है।

(A) भूमध्य रेखा पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $(g_e)$ और ध्रुवों पर गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण $(g_p)$ के बीच संबंध: $g_e = g_p - R\omega^2$ है।
दिया गया है कि $g_e = g_p / 2$,इसलिए: $g_p / 2 = g_p - R\omega^2$ है।
इसे सरल करने पर: $R\omega^2 = g_p / 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि भूमध्य रेखा पर बिंदु का वेग $V = R\omega$ है,इसलिए $V^2 = R^2\omega^2 = R(R\omega^2) = R(g_p / 2)$ होगा।
अतः,$V^2 = g_p R / 2$,जिसका अर्थ है $g_p R = 2V^2$ है।
पलायन वेग $V_e$ का सूत्र: $V_e = \sqrt{2g_p R}$ है।
$g_p R = 2V^2$ का मान पलायन वेग के सूत्र में रखने पर:
$V_e = \sqrt{2(2V^2)} = \sqrt{4V^2} = 2V$।

(A) किसी ग्रह का पलायन वेग $V_e$ सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों ग्रहों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,हम द्रव्यमान $M$ को $M = \rho \times \text{Volume} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$ के रूप में लिख सकते हैं।
इस मान को पलायन वेग के सूत्र में रखने पर:
$V_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho} \times R$.
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर होता है,तो $V_e \propto R$ होता है।
इसलिए,पलायन वेग का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \frac{R_A}{R_B}$ होगा।
यह दिया गया है कि $R_A = 2R_B$,इसलिए $\frac{V_A}{V_B} = \frac{2R_B}{R_B} = 2$.

(D) अनंत से पृथ्वी की सतह पर गिरने वाली गेंद $A$ के लिए,पृथ्वी की सतह पर पहुँचने पर वेग $v_A$ पलायन वेग के बराबर होता है:
$v_A = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$h = 6R$ की ऊँचाई से गिरने वाली गेंद $B$ के लिए,ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv_B^2 - \frac{GMm}{R+h} = 0 - \frac{GMm}{R}$
$\frac{1}{2}v_B^2 = GM \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{7R} \right) = GM \left( \frac{6}{7R} \right)$
$v_B = \sqrt{\frac{12GM}{7R}}$
अब,$A$ और $B$ के वेगों का अनुपात:
$\frac{v_A}{v_B} = \frac{\sqrt{\frac{2GM}{R}}}{\sqrt{\frac{12GM}{7R}}} = \sqrt{\frac{2GM}{R} \times \frac{7R}{12GM}} = \sqrt{\frac{14}{12}} = \sqrt{\frac{7}{6}}$
अतः,$A$ और $B$ के वेगों का अनुपात $\sqrt{\frac{7}{6}}$ है।

(C) मान लीजिए $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है और $M$ इसका द्रव्यमान है। सतह पर पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 11.2 \ km/s$ है।
जब रॉकेट $h = \frac{R}{4}$ की ऊंचाई पर होता है,तो पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r = R + h = R + \frac{R}{4} = \frac{5R}{4}$ होती है।
इस बिंदु से पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से बचने के लिए,रॉकेट का वेग $v'$ ऐसा होना चाहिए कि उसकी कुल ऊर्जा कम से कम शून्य हो।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{2}mv'^2 - \frac{GMm}{r} = 0$.
$v' = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2GM}{5R/4}} = \sqrt{\frac{8GM}{5R}} = \sqrt{\frac{4}{5}} \times \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
$v_e = 11.2 \ km/s$ रखने पर:
$v' = \sqrt{0.8} \times 11.2 \approx 0.8944 \times 11.2 \approx 10.02 \ km/s$.
अतः,न्यूनतम वेग लगभग $10 \ km/s$ है।

(B) ग्रह का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा केंद्र पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर गुरुत्वीय विभव $V_S = -\frac{GM}{R}$ है।
केंद्र पर गुरुत्वीय विभव $V_C = -\frac{3GM}{2R}$ है।
स्थितिज ऊर्जा में हानि = गतिज ऊर्जा में वृद्धि:
$m(V_S - V_C) = \frac{1}{2}mv^2$
$m\left(-\frac{GM}{R} - (-\frac{3GM}{2R})\right) = \frac{1}{2}mv^2$
$m\left(\frac{3GM}{2R} - \frac{2GM}{2R}\right) = \frac{1}{2}mv^2$
$\frac{GM}{2R} = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = \frac{GM}{R}$
चूँकि $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,इसलिए $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ होता है।
अतः,$v^2 = \frac{v_e^2}{2}$,जिससे $v = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए कि पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_e$ और $R_e$ हैं,और ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_p$ और $R_p$ हैं।
दिया गया है: $M_p = 10 M_e$ और $R_p = \frac{R_e}{10}$।
पलायन वेग का अनुपात:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{M_p}{M_e} \times \frac{R_e}{R_p}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(v_e)_p}{(v_e)_e} = \sqrt{\frac{10 M_e}{M_e} \times \frac{R_e}{R_e/10}} = \sqrt{10 \times 10} = \sqrt{100} = 10$।
अतः,$(v_e)_p = 10 \times (v_e)_e = 10 \times 11 \ km/s = 110 \ km/s$।

(A) $m$ द्रव्यमान की वस्तु को पृथ्वी की सतह से अनंत (मुक्त अंतरिक्ष) तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक ऊर्जा सतह पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के बराबर होती है,जो सूत्र: $E = \frac{GMm}{R}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2}$ है,इसलिए हम $GM = gR^2$ लिख सकते हैं।
इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $E = \frac{(gR^2)m}{R} = mgR$.
दिए गए मान: $m = 1000 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $R = 6400 \ km = 6.4 \times 10^6 \ m$.
ऊर्जा की गणना करने पर: $E = 1000 \times 10 \times 6.4 \times 10^6 = 6.4 \times 10^{10} \ J$.

(D) माना प्रक्षेपित कण का द्रव्यमान $m_0$ है। प्रत्येक स्थिर द्रव्यमान $m$ से कण की दूरी $l/2$ है।
मध्य-बिंदु पर कण $m_0$ की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = -\frac{Gmm_0}{l/2} - \frac{Gmm_0}{l/2} = -\frac{2Gmm_0}{l} - \frac{2Gmm_0}{l} = -\frac{4Gmm_0}{l}$.
कण के अनंत तक पलायन करने के लिए,उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
$E_{total} = KE + PE = 0$
$\frac{1}{2}m_0v^2 + U = 0$
$\frac{1}{2}m_0v^2 - \frac{4Gmm_0}{l} = 0$
$\frac{1}{2}m_0v^2 = \frac{4Gmm_0}{l}$
$v^2 = \frac{8Gm}{l}$
$v = \sqrt{\frac{8Gm}{l}} = 2\sqrt{\frac{2Gm}{l}}$.

(B) $m$ द्रव्यमान के कण की पृथ्वी और चंद्रमा के बीच के मध्य बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $(PE)$:
$U = -\left(\frac{GM_1 m}{d/2} + \frac{GM_2 m}{d/2}\right) = -\frac{2Gm(M_1 + M_2)}{d}$
कण तब पलायन करेगा यदि उसकी कुल ऊर्जा शून्य हो जाए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$U + K = 0$,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2}mv^2$ है।
$-\frac{2Gm(M_1 + M_2)}{d} + \frac{1}{2}mv^2 = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{2Gm(M_1 + M_2)}{d}$
$v^2 = \frac{4G(M_1 + M_2)}{d}$
$v = \sqrt{\frac{4G(M_1 + M_2)}{d}}$

(B) ग्रह की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R^2} = \frac{G}{R^2} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho = \frac{4}{3} \pi G R \rho$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_p}{g_e} = \frac{R_p \rho_p}{R_e \rho_e}$ है।
दिया गया है कि $\frac{g_p}{g_e} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ और $\frac{\rho_p}{\rho_e} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{R_p}{R_e} = \frac{g_p}{g_e} \cdot \frac{\rho_e}{\rho_p} = \frac{\sqrt{6}}{11} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$ प्राप्त होता है।
पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR}$ है।
इसलिए,$\frac{v_p}{v_e} = \sqrt{\frac{g_p R_p}{g_e R_e}} = \sqrt{\frac{g_p}{g_e} \cdot \frac{R_p}{R_e}} = \sqrt{\frac{\sqrt{6}}{11} \cdot \frac{3\sqrt{6}}{22}} = \sqrt{\frac{3 \cdot 6}{11 \cdot 22}} = \sqrt{\frac{18}{242}} = \sqrt{\frac{9}{121}} = \frac{3}{11}$ होता है।
चूंकि $v_e = 11 \ km/s$ दिया गया है,इसलिए $v_p = \frac{3}{11} \times 11 = 3 \ km/s$ प्राप्त होता है।

(B) अंतरिक्ष यान पर कार्य करने वाले बल पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण खिंचाव और चंद्रमा के कारण गुरुत्वाकर्षण खिंचाव हैं।
चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान $(M_E)$ चंद्रमा के द्रव्यमान $(M_M)$ से काफी अधिक है,इसलिए पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा चंद्रमा की तुलना में बहुत अधिक होती है।
विशेष रूप से,पृथ्वी से पलायन वेग लगभग $11.2 \ km/s$ है,जबकि चंद्रमा से यह केवल $2.38 \ km/s$ है।
इसलिए,पृथ्वी की सतह से उड़ान भरते समय गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को दूर करने के लिए अंतरिक्ष यान को सबसे अधिक ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

(A) $M_1$ और $M_2$ के बीच के मध्य बिंदु पर स्थित $m$ द्रव्यमान की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ दोनों द्रव्यमानों के कारण उत्पन्न विभव का योग है:
$U = -\frac{G M_1 m}{d/2} - \frac{G M_2 m}{d/2} = -\frac{2 G m}{d} (M_1 + M_2)$
निकाय से पलायन करने के लिए,कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रदान की गई गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = |U| = \frac{2 G m}{d} (M_1 + M_2)$
पलायन वेग $v_e$ के लिए हल करने पर:
$v_e^2 = \frac{4 G (M_1 + M_2)}{d}$
$v_e = \sqrt{\frac{4 G (M_1 + M_2)}{d}}$

(B) $r$ त्रिज्या की वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह के लिए,कक्षीय गति $v = \sqrt{\frac{GM_e}{r}}$ है,जिसका अर्थ है $v^2 = \frac{GM_e}{r}$।
$r$ दूरी पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GM_em}{r}$ है।
वस्तु के पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकलने के लिए,अनंत पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा शून्य होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि बाहर निकालने के बिंदु पर उसकी कुल ऊर्जा भी शून्य होनी चाहिए।
मान लीजिए कि बाहर निकालने के समय वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ है।
कुल ऊर्जा $E = K + U = 0$।
$K - \frac{GM_em}{r} = 0$।
$K = \frac{GM_em}{r}$।
$\frac{GM_e}{r} = v^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = mv^2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए उल्का का द्रव्यमान $m$ है। प्रत्येक तारे की द्रव्यमान केंद्र $O$ से दूरी $r = d/2 = (2\times10^{11} \ m)/2 = 1\times10^{11} \ m$ है।
दोनों तारों के कारण बिंदु $O$ पर उल्का की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r} - \frac{GMm}{r} = -\frac{2GMm}{r}$ है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बचने के लिए,$O$ पर उल्का की कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}mv^2 + U = 0$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{2GMm}{r} = 0$
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{4GM}{r}$
$v = \sqrt{\frac{4 \times 6.67\times10^{-11} \times 3\times10^{31}}{1\times10^{11}}}$
$v = \sqrt{4 \times 6.67 \times 3 \times 10^9}$
$v = \sqrt{80.04 \times 10^9} = \sqrt{8.004 \times 10^{10}}$
$v \approx 2.83 \times 10^5 \ m/s$.

(B) किसी ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा सतह पर वस्तु की गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है: $E = \frac{GMm}{R}$।
यह दिया गया है कि पृथ्वी और चंद्रमा का घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए $M = \rho V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$।
चूंकि $V_e = 64 V_m$,इसलिए $R_e^3 = 64 R_m^3$,जिसका अर्थ है $R_e = 4 R_m$।
साथ ही,$M_e = \rho V_e = 64 \rho V_m = 64 M_m$।
आवश्यक ऊर्जा $E = \frac{GMm}{R}$ है।
इसलिए,$\frac{E_m}{E_e} = \frac{M_m}{M_e} \cdot \frac{R_e}{R_m} = \frac{1}{64} \cdot \frac{4}{1} = \frac{1}{16}$।
अतः,$E_m = \frac{E}{16}$।

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ होता है।
यहाँ,कण पृथ्वी की सतह से $R$ दूरी पर है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र से इसकी दूरी $r = R + R = 2R$ होगी।
सूत्र में $r = 2R$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{2R}}$
$v_e = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $\sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।

(B) अंतरिक्ष यान पर कार्य करने वाले बल पृथ्वी के कारण गुरुत्वाकर्षण खिंचाव और चंद्रमा के कारण गुरुत्वाकर्षण खिंचाव हैं।
चूंकि पृथ्वी का द्रव्यमान $(M_E)$ चंद्रमा के द्रव्यमान $(M_M)$ से काफी अधिक है,इसलिए पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गुरुत्वाकर्षण बल चंद्रमा की सतह की तुलना में बहुत अधिक होते हैं।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचने के लिए,अंतरिक्ष यान को चंद्रमा की तुलना में बहुत बड़े गुरुत्वाकर्षण स्थितिज अवरोध को पार करना पड़ता है।
इसलिए,पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से उड़ान भरने के लिए सबसे अधिक ऊर्जा की आवश्यकता होती है।

(C) पृथ्वी की सतह पर एक पिंड की कुल ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा $(K.E.)$ और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का योग होती है।
$U = -\frac{GM_E m}{R}$
पिंड को अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए,अंतिम कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K.E. + U = 0$
$K.E. - \frac{GM_E m}{R} = 0$
$K.E. = \frac{GM_E m}{R}$
चूंकि सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM_E}{R^2}$ है,इसलिए हम $GM_E = gR^2$ लिख सकते हैं।
इस मान को गतिज ऊर्जा के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$K.E. = \frac{(gR^2)m}{R} = mgR$

(D) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
पृथ्वी की सतह के निकट वृत्ताकार कक्षा में उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$v_e = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{GM}{R}}$
$v_e = \sqrt{2} v_0$
अतः,सही संबंध $v_e = \sqrt{2} v_0$ है।

(A) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
सतह से $h = R$ की ऊंचाई पर,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ होगी।
इस ऊंचाई पर पलायन वेग $v'$ का सूत्र $v' = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}}$ है।
इसे सरल करने पर,$v' = \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2GM}{R}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ प्राप्त होता है।
$v_e$ का मान रखने पर,हमें $v' = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी के केंद्र से पिंड की दूरी $r = R + 2R = 3R$ है।
इस दूरी पर पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(PE)$ है: $PE = -\frac{GMm}{r} = -\frac{GMm}{3R}$।
चूंकि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर: $PE = -\frac{(gR^2)m}{3R} = -\frac{mgR}{3}$।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है,जिसे बंधन ऊर्जा कहा जाता है: $E_{escape} = -PE = \frac{mgR}{3}$।

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R_e + h}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ $h = 4R_e$ दिया गया है,इसलिए स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R_e + 4R_e} = -\frac{GMm}{5R_e}$ होगी।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R_e^2}$,इसलिए $GM = gR_e^2$ होता है।
इस मान को $U$ के समीकरण में रखने पर,$U = -\frac{(gR_e^2)m}{5R_e} = -\frac{mgR_e}{5}$ प्राप्त होता है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन करने के लिए,पिंड की कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। अतः,आवश्यक न्यूनतम ऊर्जा $E = -U = \frac{mgR_e}{5}$ होगी।

(D) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले एक समान गोले के अंदर $r = \frac{R}{2}$ दूरी पर गुरुत्वीय विभव $V$ इस प्रकार है:
$V = -\frac{GM}{2R^3} (3R^2 - r^2)$
$r = \frac{R}{2}$ रखने पर:
$V = -\frac{GM}{2R^3} (3R^2 - \frac{R^2}{4}) = -\frac{GM}{2R^3} (\frac{11R^2}{4}) = -\frac{11GM}{8R}$
इस स्थिति पर $m_0$ द्रव्यमान के कण की कुल ऊर्जा $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2}m_0 v_e^2 + m_0 V$ है।
कण के पलायन करने के लिए,अनंत पर अंतिम कुल ऊर्जा $E_f$ कम से कम $0$ होनी चाहिए।
$E_i = E_f \implies \frac{1}{2}m_0 v_e^2 - \frac{11GMm_0}{8R} = 0$
$\frac{1}{2} v_e^2 = \frac{11GM}{8R}$
$v_e^2 = \frac{11GM}{4R}$
$v_e = \sqrt{\frac{11GM}{4R}}$

(A) मान लीजिए कि वस्तु द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा: $E_i = KE_i + PE_i = \frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{GMm}{R}$,जहाँ $v_p$ प्रक्षेपण वेग है।
दिया गया है कि प्रक्षेपण वेग पलायन वेग का आधा है: $v_p = \frac{1}{2} v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
अतः,$KE_i = \frac{1}{2} m (\frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}})^2 = \frac{1}{2} m (\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{GMm}{4R}$.
सतह पर कुल ऊर्जा: $E_i = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग शून्य है,इसलिए $KE_f = 0$। स्थितिज ऊर्जा $PE_f = -\frac{GMm}{R+h}$ है।
प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा को बराबर करने पर: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3(R+h) = 4R \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = R/3$.

(D) पलायन वेग $V_e$ का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{घनत्व} (\rho) \times \text{आयतन} (V) = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,हम $M$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$V_e = \sqrt{\frac{2G(\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$.
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो तो $V_e \propto R$ होता है।
दिया गया है कि $R' = 2R$ और $\rho' = \rho$,तो नया पलायन वेग $V_e'$ होगा:
$\frac{V_e'}{V_e} = \frac{R'}{R} = \frac{2R}{R} = 2$.
अतः,$V_e' = 2 \times V_e = 2 \times 11.2 \, km/s = 22.4 \, km/s$.

(C) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि वस्तु की प्रारंभिक गति $v = 50\% \text{ of } v_e = \frac{v_e}{2} = \frac{\sqrt{2gR}}{2}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$v = \frac{\sqrt{2gR}}{2}$ और $GM = gR^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m \left(\frac{2gR}{4}\right) - \frac{mgR^2}{R} = - \frac{mgR^2}{R+h}$.
$\frac{mgR}{4} - mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$.
$-\frac{3}{4}mgR = - \frac{mgR^2}{R+h}$.
$\frac{3}{4} = \frac{R}{R+h}$.
$3(R+h) = 4R \Rightarrow 3R + 3h = 4R \Rightarrow 3h = R \Rightarrow h = \frac{R}{3}$.

(B) उपग्रह का कक्षीय वेग $v_{0}$ द्वारा दिया जाता है।
गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक पलायन वेग $v_{e} = \sqrt{2} v_{0} \approx 1.414 v_{0}$ है।
वेग में आवश्यक प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम भिन्नात्मक परिवर्तन की गणना करते हैं:
$\frac{\Delta v}{v_{0}} = \frac{v_{e} - v_{0}}{v_{0}} = \frac{1.414 v_{0} - v_{0}}{v_{0}} = 0.414$.
अतः,आवश्यक प्रतिशत वृद्धि $0.414 \times 100 \% = 41.4 \%$ है।

(D) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा,रॉकेट द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $r$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $K_1 + U_1 = \frac{1}{2}m(kv_e)^2 - \frac{GMm}{R_e}$
अधिकतम ऊँचाई $r$ पर: $K_2 + U_2 = 0 - \frac{GMm}{r}$ (क्योंकि अधिकतम ऊँचाई पर वेग शून्य होता है)।
हम जानते हैं कि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R_e}$.
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2}m k^2 (\frac{2GM}{R_e}) - \frac{GMm}{R_e} = - \frac{GMm}{r}$
$GMm$ से भाग देने पर:
$\frac{k^2}{R_e} - \frac{1}{R_e} = - \frac{1}{r}$
$\frac{k^2 - 1}{R_e} = - \frac{1}{r}$
$\frac{1 - k^2}{R_e} = \frac{1}{r}$
अतः,$r = \frac{R_e}{1 - k^2}$.