एक अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान $1000 \ kg$ है। इसे पृथ्वी की सतह से मुक्त अंतरिक्ष में प्रक्षेपित किया जाना है। $g$ और $R$ (पृथ्वी की त्रिज्या) के मान क्रमशः $10 \ m/s^2$ और $6400 \ km$ हैं। इस कार्य के लिए आवश्यक ऊर्जा होगी

एक ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या की $\frac{1}{4}$ है और इसका गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के गुरुत्वीय त्वरण का दोगुना है। ग्रह की सतह पर पलायन वेग पृथ्वी की सतह पर इसके मान की तुलना में कितने गुना होगा?

एक रॉकेट को पृथ्वी की सतह के लंबवत,सूर्य से दूर,सूर्य और पृथ्वी को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश प्रक्षेपित किया जाता है। सूर्य पृथ्वी से $3 \times 10^5$ गुना भारी है और पृथ्वी की त्रिज्या से $2.5 \times 10^4$ गुना अधिक दूरी पर स्थित है। पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से पलायन वेग $v_e = 11.2 \text{ km s}^{-1}$ है। रॉकेट के लिए सूर्य-पृथ्वी प्रणाली को छोड़ने के लिए आवश्यक न्यूनतम प्रारंभिक वेग $(v_s)$ किसके निकटतम है:
(पृथ्वी के घूर्णन और परिक्रमण तथा किसी अन्य ग्रह की उपस्थिति को अनदेखा करें)

दो गोलाकार तारे $A$ और $B$ का घनत्व क्रमशः $\rho_A$ और $\rho_B$ है। $A$ और $B$ की त्रिज्या समान है,और उनके द्रव्यमान $M_A$ और $M_B$ का संबंध $M_B = 2M_A$ है। एक अंतःक्रिया प्रक्रिया के कारण,तारा $A$ अपना कुछ द्रव्यमान खो देता है,जिससे उसकी त्रिज्या आधी हो जाती है,जबकि उसका गोलाकार आकार बना रहता है और उसका घनत्व $\rho_A$ ही रहता है। $A$ द्वारा खोया गया पूरा द्रव्यमान $B$ पर $\rho_A$ घनत्व वाले एक मोटे गोलाकार कवच के रूप में जमा हो जाता है। यदि अंतःक्रिया प्रक्रिया के बाद $A$ और $B$ से पलायन वेग $v_A$ और $v_B$ हैं,तो अनुपात $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{10n}{15^{1/3}}}$ है। $n$ का मान ज्ञात कीजिए।

एक ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण पृथ्वी के समान है और इसकी त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से चार गुना है। यदि पृथ्वी पर पलायन वेग $v_e$ है,तो उस ग्रह पर पलायन वेग का मान क्या होगा?

एक गोली को एक गोलाकार ग्रह की सतह से $v$ वेग के साथ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर दागा जाता है। जब यह अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचती है,तो ग्रह के गुरुत्वाकर्षण के कारण इसका त्वरण सतह पर इसके मान का $1/4$ होता है। यदि ग्रह से पलायन वेग $v_{esc} = v \sqrt{N}$ है,तो $N$ का मान ज्ञात कीजिए (वायुमंडल के कारण ऊर्जा हानि को अनदेखा करें)।