Escape Velocity and Escape Energy Questions in Hindi

(C) किसी ग्रह की सतह के निकट परिक्रमा करने वाले उपग्रह के लिए पलायन वेग $(v_e)$ और कक्षीय वेग $(v_o)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $v_e = \sqrt{2} \cdot v_o$
कक्षीय वेग के लिए इस सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $v_o = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$
यह दिया गया है कि पलायन वेग $v_e = 2 \, km/s$ है,इसलिए इस मान को समीकरण में रखने पर:
$v_o = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \, km/s$.

(B) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R_e$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
यह व्यंजक दर्शाता है कि पलायन वेग केवल ग्रह के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है।
यह प्रक्षेपण कोण (angle of projection) से स्वतंत्र है।
इसलिए,यदि पिंड को ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो पलायन वेग समान रहेगा,अर्थात $11 \ km/s$।

(B) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है। यह सूत्र केवल गुरुत्वाकर्षण नियतांक $G$,पृथ्वी के द्रव्यमान $M$ और पृथ्वी की त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है। यह प्रक्षेपण की दिशा पर निर्भर नहीं करता है। अतः,$Assertion$ सही है।
$Reason$ कहता है कि यदि पृथ्वी के घूर्णन की दिशा में प्रक्षेपित किया जाए तो पलायन वेग प्राप्त करना आसान होता है। यह सच है क्योंकि पृथ्वी का घूर्णन प्रक्षेप्य को एक प्रारंभिक स्पर्शरेखीय वेग प्रदान करता है। हालाँकि,यह प्रारंभिक वेग पृथ्वी की सतह के सापेक्ष पलायन वेग तक पहुँचने के लिए आवश्यक अतिरिक्त वेग को कम कर देता है,लेकिन यह पलायन वेग के मान को नहीं बदलता है। इसलिए,$Reason$ एक सही कथन है,लेकिन यह यह नहीं बताता है कि पलायन वेग (किसी दिए गए ग्रह के लिए एक निश्चित भौतिक स्थिरांक) दिशा से स्वतंत्र क्यों है। अतः,$Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ग्रह $A$ के लिए,पलायन वेग $v_{A} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ग्रह $B$ के लिए,द्रव्यमान $M' = \frac{M}{2}$ और त्रिज्या $R' = \frac{R}{2}$ है।
अतः,ग्रह $B$ के लिए पलायन वेग $v_{B} = \sqrt{\frac{2G(M/2)}{R/2}} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
दोनों की तुलना करने पर,हमें $\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{\sqrt{2GM/R}}{\sqrt{2GM/R}} = 1$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि $\frac{v_{A}}{v_{B}} = \frac{n}{4}$,इसलिए $1 = \frac{n}{4}$,जिसका अर्थ है कि $n = 4$।

(D) नहीं।
$(b)$ नहीं।
$(c)$ नहीं।
$(d)$ हाँ।
पृथ्वी से किसी पिंड का पलायन वेग $v_{esc}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$
जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है,और $h$ सतह से प्रक्षेपण बिंदु की ऊँचाई है।
$1$. सूत्र से स्पष्ट है कि $v_{esc}$ पिंड के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
$2$. यह प्रक्षेपण की दिशा पर निर्भर नहीं करता है,जब तक कि इसे पृथ्वी के भीतर की ओर निर्देशित न किया जाए।
$3$. यह उस स्थान $(R+h)$ पर निर्भर करता है जहाँ से पिंड को प्रक्षेपित किया जाता है। जैसे-जैसे ऊँचाई $h$ बढ़ती है,पलायन वेग कम हो जाता है।

(B) पृथ्वी से प्रक्षेप्य का पलायन वेग $v_{esc} = 11.2 \; km/s$ है।
प्रक्षेप्य का प्रक्षेपण वेग $v_p = 3 v_{esc}$ है।
मान लीजिए प्रक्षेप्य का द्रव्यमान $m$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा पृथ्वी से बहुत दूर की कुल ऊर्जा के बराबर होती है (जहाँ गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है)।
$\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{G M m}{R} = \frac{1}{2} m v_f^2 + 0$
चूंकि पलायन वेग को $v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए $\frac{GM}{R} = \frac{v_{esc}^2}{2}$ है।
इसे ऊर्जा समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} m v_p^2 - \frac{1}{2} m v_{esc}^2 = \frac{1}{2} m v_f^2$।
$v_f = \sqrt{v_p^2 - v_{esc}^2} = \sqrt{(3 v_{esc})^2 - v_{esc}^2} = \sqrt{8 v_{esc}^2} = v_{esc} \sqrt{8}$।
$v_f = 11.2 \times 2.828 = 31.68 \; km/s$।

(D) अंतरिक्ष यान का द्रव्यमान,$m_{s} = 1000 \; kg$.
सूर्य का द्रव्यमान,$M = 2 \times 10^{30} \; kg$.
मंगल का द्रव्यमान,$m_{m} = 6.4 \times 10^{23} \; kg$.
मंगल की कक्षा की त्रिज्या,$R = 2.28 \times 10^{8} \; km = 2.28 \times 10^{11} \; m$.
मंगल की त्रिज्या,$r = 3395 \; km = 3.395 \times 10^{6} \; m$.
गुरुत्वाकर्षण नियतांक,$G = 6.67 \times 10^{-11} \; N m^{2} kg^{-2}$.
अंतरिक्ष यान की कुल स्थितिज ऊर्जा सूर्य और मंगल के कारण स्थितिज ऊर्जा का योग है: $U = -\frac{GMm_{s}}{R} - \frac{Gm_{m}m_{s}}{r}$.
चूंकि अंतरिक्ष यान मंगल पर स्थिर है,इसकी गतिज ऊर्जा शून्य है।
कुल ऊर्जा $E = -Gm_{s} \left( \frac{M}{R} + \frac{m_{m}}{r} \right)$.
सौर मंडल से बाहर निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_{req} = -E = Gm_{s} \left( \frac{M}{R} + \frac{m_{m}}{r} \right)$.
$E_{req} = 6.67 \times 10^{-11} \times 1000 \times \left( \frac{2 \times 10^{30}}{2.28 \times 10^{11}} + \frac{6.4 \times 10^{23}}{3.395 \times 10^{6}} \right)$.
$E_{req} = 6.67 \times 10^{-8} \times (8.772 \times 10^{18} + 1.885 \times 10^{17}) \approx 5.97 \times 10^{11} \; J \approx 6 \times 10^{11} \; J$.

(N/A) यदि हम किसी पत्थर को ऊपर की ओर फेंकते हैं, तो वह एक निश्चित ऊंचाई तक पहुँचता है और फिर गुरुत्वाकर्षण के कारण पृथ्वी पर वापस गिर जाता है।
यदि इसे अधिक गति से फेंका जाए, तो यह अधिक ऊँचाई प्राप्त करता है।
यदि किसी पत्थर को ऐसी प्रारंभिक गति से फेंका जाए कि वह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से अनंत दूरी पर पहुँच जाए, तो वह कभी वापस नहीं लौटेगा। इस स्थिति में, उस पर पृथ्वी का कोई गुरुत्वाकर्षण बल कार्य नहीं करता है।
मान लीजिए कि पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर एक पिंड स्थिर है। इसकी कुल ऊर्जा $E_i$ है:
$E_i = \text{गतिज ऊर्जा} + \text{स्थितिज ऊर्जा} = 0 + \left(-\frac{GM_E m}{r}\right) = -\frac{GM_E m}{R_E + h}$
अनंत दूरी पर पिंड की कुल ऊर्जा शून्य मानी जाती है। यदि पिंड को $+\frac{GM_E m}{R_E + h}$ के बराबर ऊर्जा दी जाए, तो उसकी कुल ऊर्जा शून्य हो जाती है और वह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकल जाता है। इस आवश्यक ऊर्जा को पलायन ऊर्जा कहा जाता है।
इस ऊर्जा को गतिज ऊर्जा के रूप में प्रदान करने के लिए, हमें पिंड को एक प्रारंभिक गति $v_e$ देनी होगी, जिसे पलायन चाल कहा जाता है:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{GM_E m}{R_E + h}$
अतः, पलायन चाल है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E + h}}$
यदि पिंड पृथ्वी की सतह पर है, तो $h = 0$, इसलिए:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}} = \sqrt{2gR_E}$

(N/A) किसी ग्रह की सतह पर स्थित वस्तु का पलायन वेग $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
चंद्रमा के लिए,पलायन वेग $(v_{e})_{\text{moon}} = \sqrt{\frac{2GM_{m}}{R_{m}}}$ है।
चंद्रमा का द्रव्यमान $M_{m} \approx 7.36 \times 10^{22} \text{ kg}$ और इसकी त्रिज्या $R_{m} \approx 1.74 \times 10^{6} \text{ m}$ लेने पर,पलायन वेग की गणना इस प्रकार होती है:
$(v_{e})_{\text{moon}} \approx 2.38 \text{ km/s}$.
चंद्रमा की सतह के तापमान पर गैस के अणुओं का वर्ग माध्य मूल वेग ($RMS$ velocity) इस पलायन वेग से अधिक होता है। चूंकि गैस के अणुओं का तापीय वेग चंद्रमा के पलायन वेग से अधिक हो जाता है,इसलिए गैस के अणु चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से आसानी से पलायन कर जाते हैं। परिणामस्वरूप,चंद्रमा पर वायुमंडल नहीं रह पाता है।

(N/A) पलायन ऊर्जा को किसी ग्रह की सतह पर स्थित $m$ द्रव्यमान की वस्तु को दी जाने वाली उस न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिससे वह वस्तु ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलकर अनंत तक पहुँच सके।
गणितीय रूप से,इसे $E_e = \frac{GMm}{R}$ द्वारा व्यक्त किया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,$m$ वस्तु का द्रव्यमान है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
चूंकि ऊर्जा कार्य का एक रूप है,इसलिए इसका $SI$ मात्रक जूल $(J)$ है।
ऊर्जा का विमीय सूत्र $[ML^2T^{-2}]$ है।

(N/A) किसी पिंड की पलायन ऊर्जा को उस न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो पिंड को पृथ्वी की सतह से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है,ताकि अनंत पर उसकी अंतिम गतिज ऊर्जा शून्य हो जाए।
पृथ्वी की सतह पर (केंद्र से $R_E$ दूरी पर) $m$ द्रव्यमान के पिंड की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = -\frac{GM_Em}{R_E}$
पिंड को अनंत तक ले जाने के लिए,जहाँ स्थितिज ऊर्जा शून्य होती है,हमें इस स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर ऊर्जा प्रदान करनी होगी।
अतः,पलायन ऊर्जा $E_e$ है:
$E_e = -U = -\left(-\frac{GM_Em}{R_E}\right) = +\frac{GM_Em}{R_E}$
यह ऊर्जा आमतौर पर पिंड को गतिज ऊर्जा के रूप में प्रदान की जाती है ताकि वह पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकल सके।

(N/A) पलायन चाल वह न्यूनतम चाल है जो किसी वस्तु को किसी ग्रह या चंद्रमा की सतह से ऊपर की ओर प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक होती है ताकि वह उस पिंड के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर निकल जाए और कभी वापस न आए।
पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
पलायन वेग निम्नलिखित कारकों पर निर्भर नहीं करता है:
$1$. प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु का द्रव्यमान $(m)$।
$2$. प्रक्षेपण की दिशा (जब तक कि वह ग्रह के अंदर की ओर न हो)।
$3$. ग्रह की सतह पर वह स्थान जहाँ से इसे प्रक्षेपित किया जाता है।

(A) किसी ग्रह की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e$ सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
पृथ्वी के लिए,द्रव्यमान $M_e \approx 5.97 \times 10^{24} \text{ kg}$ और त्रिज्या $R_e \approx 6.37 \times 10^6 \text{ m}$ है। इन मानों को रखने पर,हमें $v_e \approx 11.2 \text{ km/s}$ प्राप्त होता है।
चंद्रमा के लिए,द्रव्यमान $M_m \approx 7.35 \times 10^{22} \text{ kg}$ और त्रिज्या $R_m \approx 1.74 \times 10^6 \text{ m}$ है। इन मानों को रखने पर,हमें $v_e \approx 2.38 \text{ km/s}$ प्राप्त होता है।

(N/A) यह कथन गलत है।
सही कथन है: "किसी ग्रह की सतह पर स्थित वस्तु के लिए पलायन वेग $v_e$ का मान ग्रह के द्रव्यमान और उसकी त्रिज्या के अनुपात के वर्गमूल के समानुपाती होता है।"
व्याख्या: पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है। अतः,$v_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$ होता है।

(B) पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग $v_e$ सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग $v_e$ वस्तु के द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,वस्तु का द्रव्यमान कुछ भी हो,पलायन वेग समान रहता है।
चूँकि $1\,kg$ द्रव्यमान के लिए पलायन वेग $11.2\,km/s$ है,इसलिए $10\,kg$ द्रव्यमान के लिए भी पलायन वेग $11.2\,km/s$ ही होगा।

(A, B) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल उस ग्रह (या खगोलीय पिंड) के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है जहाँ से वस्तु को प्रक्षेपित किया जाता है।
यह प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ या प्रक्षेपण कोण $( \theta)$ पर निर्भर नहीं करता है।

(B) नहीं,रॉकेट को शुरुआत में $11.2 \, km/s$ की गति देना आवश्यक नहीं है।
पलायन वेग वह गति है जो किसी वस्तु को बिना किसी अतिरिक्त प्रणोदन (propulsion) के पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण से बाहर निकलने के लिए आवश्यक होती है।
हालाँकि,रॉकेट एक स्व-प्रणोदित वाहन है।
इसमें ईंधन होता है जो जलकर थ्रस्ट (thrust) उत्पन्न करता है,जो लगातार इसकी गति को बढ़ाता है और इसे धीरे-धीरे गुरुत्वाकर्षण को पार करने में सक्षम बनाता है,भले ही इसकी प्रारंभिक गति बहुत कम हो।

(N/A) किसी ग्रह पर वायुमंडल की उपस्थिति के लिए उत्तरदायी दो कारक निम्नलिखित हैं:
$(i)$ उस ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण $(g)$
$(ii)$ उस ग्रह की सतह का तापमान
इसका कारण यह है कि गैस के अणुओं की गति उस ग्रह के तापमान पर निर्भर करती है।

(B) पृथ्वी की सतह के करीब परिक्रमा करने वाले उपग्रह का कक्षीय वेग $v_{0} = \sqrt{\frac{GM_{e}}{R_{e}}}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM_{e}}{R_{e}}}$ द्वारा दिया जाता है।
पलायन वेग के व्यंजक को कक्षीय वेग के व्यंजक से विभाजित करने पर:
$\frac{v_{e}}{v_{0}} = \frac{\sqrt{\frac{2GM_{e}}{R_{e}}}}{\sqrt{\frac{GM_{e}}{R_{e}}}} = \sqrt{2}$.
अतः,संबंध $v_{e} = \sqrt{2} v_{0}$ है।

(A) किसी वस्तु को अनंत तक भेजने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर उसकी गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होती है।
पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{R}$ होती है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$ होता है।
इस मान को स्थितिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर: $U = -\frac{(gR^2)m}{R} = -mgR$ प्राप्त होता है।
अतः,आवश्यक गतिज ऊर्जा $K = |U| = mgR$ होगी।

(C) किसी खगोलीय पिंड की सतह से पलायन वेग $(v_{e})$ का सूत्र $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
ब्लैक होल के लिए गुरुत्वाकर्षण खिंचाव इतना तीव्र होता है कि प्रकाश भी इसकी सतह से बाहर नहीं निकल सकता है।
परिभाषा के अनुसार,ब्लैक होल के घटना क्षितिज (event horizon) पर पलायन वेग प्रकाश की गति $(c)$ के बराबर या उससे अधिक होना चाहिए।
इसलिए,ब्लैक होल के लिए $v_{e} \geq c$ होता है।

(A) उपग्रह की स्थितिज ऊर्जा $(U)$ $-8 \times 10^9 \ J$ दी गई है।
बंधन ऊर्जा $(BE)$ वह न्यूनतम ऊर्जा है जो उपग्रह को उसकी कक्षा से अनंत तक ले जाने के लिए आवश्यक होती है,जहाँ कुल ऊर्जा शून्य हो जाती है।
$BE = -U$
$BE = -(-8 \times 10^9 \ J)$
$BE = 8 \times 10^9 \ J$
अतः,बंधन ऊर्जा $8 \times 10^9 \ J$ है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
यहाँ,$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल ग्रह (पृथ्वी) के द्रव्यमान और त्रिज्या पर निर्भर करता है।
यह प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ या प्रक्षेपण कोण $(\theta)$ पर निर्भर नहीं करता है।

(D) पलायन ऊर्जा को उस न्यूनतम ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी निष्क्रिय कण (जैसे कि एक प्रक्षेप्य) को किसी ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक होती है।
रॉकेट एक निष्क्रिय कण नहीं है; यह एक स्व-चालित प्रणाली है।
जैसे-जैसे रॉकेट ईंधन जलाता है,यह गैसों के उत्सर्जन के माध्यम से लगातार संवेग और गतिज ऊर्जा प्राप्त करता है।
इसलिए,यह गुरुत्वाकर्षण को पार करने के लिए प्रारंभिक 'पलायन ऊर्जा' पर निर्भर नहीं रहता है; यह लगातार ईंधन जलाकर कम प्रारंभिक वेग के साथ भी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकल सकता है।

(D) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
पृथ्वी के लिए,पलायन वेग लगभग $11.2 \, km \, s^{-1}$ होता है। अतः,$(1)$ का मिलान $(c)$ से होता है।
चंद्रमा के लिए,पलायन वेग लगभग $2.38 \, km \, s^{-1}$ होता है। अतः,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
इसलिए,सही मिलान $(1-c), (2-a)$ है।

(A) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए कि नई त्रिज्या $R'$ है ताकि नया पलायन वेग $V_e' = 10V_e$ हो जाए।
अतः,$10V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R'}}$।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर,हमें $10 = \sqrt{\frac{R}{R'}}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$100 = \frac{R}{R'}$।
इसलिए,$R' = \frac{R}{100}$।
चूंकि $R = 6400 \ km$ दिया गया है,इसलिए $R' = \frac{6400}{100} = 64 \ km$।

(B) किसी ग्रह का पलायन वेग $V_{e}$ सूत्र $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है,और $R$ उसकी त्रिज्या है।
यदि दो ग्रहों $A$ और $B$ के पलायन वेग समान हैं,तो $\sqrt{\frac{2GM_{1}}{R_{1}}} = \sqrt{\frac{2GM_{2}}{R_{2}}}$ होगा।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{M_{1}}{R_{1}} = \frac{M_{2}}{R_{2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{M_{1}}{M_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$।
यह स्थिति अलग-अलग द्रव्यमानों $(M_{1} \neq M_{2})$ के लिए संभव है,बशर्ते उनकी त्रिज्याएँ भी उसी अनुपात में अलग हों। अतः,अभिकथन $A$ सही है।
कारण $R$ कहता है कि गुणनफल $M_{1}R_{1} = M_{2}R_{2}$ समान होना चाहिए,जो दी गई स्थिति के लिए गणितीय रूप से गलत है। इसलिए,$R$ गलत है।

(C) पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h = 10 R$ के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
सतह पर कुल ऊर्जा = $h$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा।
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv_{i}^{2} = -\frac{GMm}{R+h} + 0$.
चूँकि $h = 10R$,केंद्र से कुल दूरी $R + 10R = 11R$ है।
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv_{i}^{2} = -\frac{GMm}{11R}$.
$\frac{1}{2}mv_{i}^{2} = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{11R} \right) = GMm \left( \frac{10}{11R} \right)$.
$v_{i}^{2} = \frac{20GM}{11R}$.
हम जानते हैं कि पलायन वेग $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v_{e}^{2} = \frac{2GM}{R}$.
इस मान को $v_{i}^{2}$ के समीकरण में रखने पर:
$v_{i}^{2} = \frac{10}{11} \times \left( \frac{2GM}{R} \right) = \frac{10}{11} v_{e}^{2}$.
इसे $v_{i} = \sqrt{\frac{x}{y}} v_{e}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\frac{x}{y} = \frac{10}{11}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 10$.

(B) दोनों द्रव्यमानों के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से मुक्त होने के लिए,कण को एक ऐसे बिंदु तक पहुँचना चाहिए जहाँ कुल गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा शून्य हो,जो अनंत पर होती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,मध्य बिंदु पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा $(0)$ के बराबर होनी चाहिए।
मध्य बिंदु पर,प्रत्येक द्रव्यमान से दूरी $r/2$ है।
मध्य बिंदु पर कुल ऊर्जा गतिज ऊर्जा और गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा का योग है:
$E_i = \frac{1}{2}mV^2 - \frac{GM_1m}{r/2} - \frac{GM_2m}{r/2}$
कुल ऊर्जा को शून्य रखने पर:
$\frac{1}{2}mV^2 - \frac{2GM_1m}{r} - \frac{2GM_2m}{r} = 0$
$\frac{1}{2}mV^2 = \frac{2Gm}{r}(M_1 + M_2)$
$V^2 = \frac{4G(M_1 + M_2)}{r}$
$V = \sqrt{\frac{4G(M_1 + M_2)}{r}}$

(D) पलायन वेग का सूत्र $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ होता है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v_{e} = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho} = \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3} R^{2}} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}}$.
यह दर्शाता है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो तो $v_{e} \propto R$ होता है।
नए ग्रह की त्रिज्या $R' = 4R$ दी गई है,इसलिए नया पलायन वेग $v'$ होगा:
$v' = 4 \times v_{e} = 4v$.

(D) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $r$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है, जहाँ वेग शून्य हो जाता है।
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{GMm}{r}$
दिया गया है कि $v = k V_{e}$ और $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$, इसलिए $v^2 = k^2 \frac{2GM}{R}$ है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m \left( k^2 \frac{2GM}{R} \right) = -\frac{GMm}{r}$
$GMm$ से भाग देने पर:
$-\frac{1}{R} + \frac{k^2}{R} = -\frac{1}{r}$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{R} - \frac{k^2}{R} = \frac{1-k^2}{R}$
$r = \frac{R}{1-k^2}$
चूँकि $r = R + h$, अधिकतम ऊँचाई $h$ होगी:
$h = r - R = \frac{R}{1-k^2} - R = R \left( \frac{1 - (1-k^2)}{1-k^2} \right) = \frac{R k^2}{1-k^2}$.

(A) पिंड को पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_e}}$ के साथ प्रक्षेपित किया जाता है।
पृथ्वी की सतह पर और पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{r} = 0$ (क्योंकि पलायन वेग के लिए कुल ऊर्जा शून्य होती है)।
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{r} \Rightarrow v = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \frac{dr}{dt}$.
चरों को अलग करने पर: $dt = \frac{dr}{\sqrt{2GM}} \cdot \sqrt{r}$.
$r=R_e$ पर $t=0$ से $r=R_e+h$ पर समय $t$ तक समाकलन करने पर:
$t = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \int_{R_e}^{R_e+h} r^{1/2} dr = \frac{1}{\sqrt{2GM}} \cdot \frac{2}{3} [r^{3/2}]_{R_e}^{R_e+h}$.
$t = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} [ (R_e+h)^{3/2} - R_e^{3/2} ] = \frac{2}{3\sqrt{2GM}} R_e^{3/2} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.
चूंकि $GM = gR_e^2$,इसलिए $\sqrt{GM} = \sqrt{g}R_e$ होता है।
यह मान रखने पर: $t = \frac{2 R_e^{3/2}}{3 \sqrt{2} \sqrt{g} R_e} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ] = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2R_e}{g}} [ (1 + \frac{h}{R_e})^{3/2} - 1 ]$.

(A) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \rho \times \text{आयतन} = \rho \times \frac{4}{3} \pi R^3$,हम लिख सकते हैं $V_e = \sqrt{\frac{2G \rho \frac{4}{3} \pi R^3}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho R^2}$.
इसका अर्थ है $V_e \propto R \sqrt{\rho}$.
ग्रह $B$ के लिए दिया गया है: $\rho_B = 4\rho_A$ और $R_B = \frac{1}{2}R_A$.
अतः,$\frac{V_{eB}}{V_{eA}} = \frac{R_B}{R_A} \sqrt{\frac{\rho_B}{\rho_A}} = \left(\frac{1}{2}\right) \sqrt{4} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
इस प्रकार,$V_{eB} = V_{eA} = 12 \, km/s$.

(A) माना $v_e$ पलायन वेग है,जो $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = -\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m v^2$,जहाँ $v = \frac{v_e}{3}$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर: $E_f = -\frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{v_e}{3}\right)^2 = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{2GM}{9R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{8GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8} = \frac{6400 \ km}{8} = 800 \ km$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा पृथ्वी के केंद्र से अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर कुल ऊर्जा = $h$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(\lambda v_{e})^{2} = -\frac{GMm}{h} + 0$
चूँकि पलायन वेग $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,इसलिए $v_{e}^{2} = \frac{2GM}{R}$ होगा।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m\lambda^{2}(\frac{2GM}{R}) = -\frac{GMm}{h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{\lambda^{2}GMm}{R} = -\frac{GMm}{h}$
दोनों पक्षों को $-GMm$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{R} - \frac{\lambda^{2}}{R} = \frac{1}{h}$
$\frac{1-\lambda^{2}}{R} = \frac{1}{h}$
$h = \frac{R}{1-\lambda^{2}}$

(A) रॉकेट के सौर मंडल से बंधे रहने के लिए प्रक्षेपण के समय उसकी कुल ऊर्जा शून्य या उससे कम होनी चाहिए।
क्षुद्रग्रह की कक्षीय गति $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{r_0}}$ है,जिसका अर्थ है $v_0^2 = \frac{GM}{r_0}$।
सूर्य के सापेक्ष रॉकेट की कुल ऊर्जा $E$,उसकी गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग है:
$E = -\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}mv^2$
दिया गया है कि सूर्य के सापेक्ष रॉकेट की गति $v = \alpha v_0$ है,इसलिए:
$E = -\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}m(\alpha v_0)^2$
रॉकेट के बंधे रहने के लिए,$E \leq 0$:
$-\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}m \alpha^2 v_0^2 \leq 0$
$v_0^2 = \frac{GM}{r_0}$ रखने पर:
$-\frac{GMm}{r_0} + \frac{1}{2}m \alpha^2 \left(\frac{GM}{r_0}\right) \leq 0$
$\frac{GMm}{r_0}$ से विभाजित करने पर:
$-1 + \frac{1}{2} \alpha^2 \leq 0$
$\alpha^2 \leq 2$
$\alpha \leq \sqrt{2}$
अतः,$\alpha$ का उच्चतम मान $\sqrt{2}$ है।

(D) दिया गया है: पलायन वेग $= u$.
प्रक्षेप्य का प्रारंभिक वेग पलायन वेग से $200 \%$ अधिक है.
$V_{\text{initial}} = u + (200/100)u = u + 2u = 3u$.
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2} m V_{\text{initial}}^2 + (P.E.)_{\text{initial}} = \frac{1}{2} m V_{\text{final}}^2 + (P.E.)_{\text{final}}$.
ग्रह की सतह पर स्थितिज ऊर्जा $P.E. = -\frac{GMm}{R} = -\frac{m u^2}{2}$ है (क्योंकि $u = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$).
अंतरतारकीय अंतरिक्ष में स्थितिज ऊर्जा $0$ होती है.
$\frac{1}{2} m (3u)^2 - \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m V_{\text{final}}^2$.
$\frac{9}{2} u^2 - \frac{1}{2} u^2 = \frac{1}{2} V_{\text{final}}^2$.
$8 u^2 = V_{\text{final}}^2$.
$V_{\text{final}} = \sqrt{8} u = 2\sqrt{2} u$.

(C) पृथ्वी की सतह से $h$ ऊँचाई पर पलायन वेग $V_e$ का सूत्र है: $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R+h}}$।
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर $(h=0)$ पलायन वेग $V_0 = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \approx 11.2 \, km/s$ होता है।
अतः,$h$ ऊँचाई पर पलायन वेग $V_h = V_0 \sqrt{\frac{R}{R+h}}$ होगा।
यहाँ $R = 6400 \, km$ और $h = 1000 \, km$ दिया गया है,इसलिए $R+h = 7400 \, km$ होगा।
मान रखने पर: $V_h = 11.2 \times \sqrt{\frac{6400}{7400}}$।
$V_h = 11.2 \times \sqrt{\frac{64}{74}} = 11.2 \times \sqrt{0.8648} \approx 11.2 \times 0.93 = 10.416 \, km/s$।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $10.4 \, km/s$ है।

(B) मान लीजिए उपग्रह का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है। पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है।
$1$. पलायन के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $(E_1)$: पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है। अतः,$E_1 = \frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{GMm}{R}$।
$2$. सतह के ठीक ऊपर कक्षीय गति के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $(E_2)$: कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है। अतः,$E_2 = \frac{1}{2} m v_0^2 = \frac{1}{2} m \left(\frac{GM}{R}\right) = \frac{GMm}{2R}$।
$3$. अनुपात $\frac{E_1}{E_2} = \frac{GMm/R}{GMm/2R} = 2:1$ है।

(A) पृथ्वी की सतह पर $m$ द्रव्यमान की वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा $(U)$ का सूत्र $U = -\frac{G M m}{R}$ है,जहाँ $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान और $R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
प्रति इकाई द्रव्यमान स्थितिज ऊर्जा $\frac{U}{m} = -\frac{G M}{R}$ होती है।
इस मान का परिमाण $E = \frac{G M}{R}$ दिया गया है।
पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ होता है।
अब,$E = \frac{G M}{R}$ का मान पलायन वेग के सूत्र में रखने पर,हमें $v_e = \sqrt{2 E}$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी की सतह $(r = R_e)$ और अधिकतम ऊँचाई $(r = r_{max})$ के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$U_i + K_i = U_f + K_f$
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{G M m}{r_{max}} + 0$
यहाँ $v^2 = \frac{4 g R_e}{3}$ और $g = \frac{G M}{R_e^2}$ है,इसलिए $v^2 = \frac{4 G M}{3 R_e}$।
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} m (\frac{4 G M}{3 R_e}) = -\frac{G M m}{r_{max}}$
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{2 G M m}{3 R_e} = -\frac{G M m}{r_{max}}$
$-\frac{1}{3} \frac{G M m}{R_e} = -\frac{G M m}{r_{max}} \Rightarrow r_{max} = 3 R_e$।
अधिकतम ऊँचाई $h_{max} = r_{max} - R_e = 2 R_e$ है।
हमें $h = \frac{h_{max}}{2} = R_e$ ऊँचाई पर वेग $v'$ ज्ञात करना है,जो $r = 2 R_e$ के अनुरूप है।
पुनः ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} m v^2 = -\frac{G M m}{2 R_e} + \frac{1}{2} m (v')^2$
$-\frac{G M m}{R_e} + \frac{2 G M m}{3 R_e} = -\frac{G M m}{2 R_e} + \frac{1}{2} m (v')^2$
$-\frac{1}{3} \frac{G M m}{R_e} + \frac{1}{2} \frac{G M m}{R_e} = \frac{1}{2} m (v')^2$
$\frac{1}{6} \frac{G M m}{R_e} = \frac{1}{2} m (v')^2$
$(v')^2 = \frac{G M}{3 R_e} = \frac{g R_e}{3} \Rightarrow v' = \sqrt{\frac{g R_e}{3}}$।

(D) उपग्रह-ग्रह प्रणाली की कुल ऊर्जा $E$ को $E = K + U$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है और $U$ स्थितिज ऊर्जा है।
यदि $E < 0$ है,तो उपग्रह एक बद्ध अवस्था (वृत्ताकार या दीर्घवृत्ताकार कक्षा) में है।
यदि $E = 0$ है,तो उपग्रह गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने की सीमा पर है (यह पलायन वेग $v_e$ के साथ चलता है)।
यदि $E > 0$ है,तो गतिज ऊर्जा स्थितिज ऊर्जा के परिमाण से अधिक होती है,जिसका अर्थ है कि उपग्रह के पास अतिरिक्त ऊर्जा है।
इसलिए,उपग्रह पलायन वेग से अधिक गति के साथ ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकल जाएगा।

(D) पृथ्वी का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि प्रक्षेपण गति $v = \frac{1}{2} v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $H$ (जहाँ अंतिम वेग शून्य है) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$E_i = E_f$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+H} + 0$
$v^2 = \frac{1}{4} \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{GM}{2R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{GM}{2R}\right) = -\frac{GMm}{R+H}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+H}$
$-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+H}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+H}$
$3(R+H) = 4R$
$3R + 3H = 4R$
$3H = R$
$H = \frac{R}{3}$

(A) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा और पृथ्वी से बहुत अधिक दूरी (अनंत) पर कुल ऊर्जा समान होनी चाहिए।
मान लीजिए पिंड का द्रव्यमान $m$ है,पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है और पृथ्वी की त्रिज्या $R$ है।
पृथ्वी की सतह पर,वेग $v = n v_e$ है,जहाँ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
सतह पर कुल ऊर्जा: $E_i = \frac{1}{2} m (n v_e)^2 - \frac{GMm}{R}$।
बहुत अधिक दूरी पर,स्थितिज ऊर्जा $0$ है। मान लीजिए अंतिम वेग $v_f$ है।
बहुत अधिक दूरी पर कुल ऊर्जा: $E_f = \frac{1}{2} m v_f^2$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} m n^2 v_e^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} m v_f^2$।
चूंकि $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,इसलिए $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2} m n^2 v_e^2 - m \left(\frac{v_e^2}{2}\right) = \frac{1}{2} m v_f^2$।
$\frac{1}{2} m$ से भाग देने पर:
$n^2 v_e^2 - v_e^2 = v_f^2$।
$v_f^2 = v_e^2 (n^2 - 1)$।
$v_f = v_e \sqrt{n^2 - 1}$।

(B) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
दिया गया है कि पृथ्वी का द्रव्यमान $(M_e)$,चंद्रमा के द्रव्यमान $(M_m)$ का $81$ गुना है,इसलिए $M_e = 81 M_m$.
पृथ्वी की त्रिज्या $(R_e)$,चंद्रमा की त्रिज्या $(R_m)$ की $4$ गुना है,इसलिए $R_e = 4 R_m$.
पलायन वेगों का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{V_{e,e}}{V_{e,m}} = \sqrt{\frac{M_e}{M_m} \times \frac{R_m}{R_e}} = \sqrt{81 \times \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{81}{4}} = \frac{9}{2} = 4.5$.
अतः,चंद्रमा से पलायन वेग $V_{e,m} = \frac{V_{e,e}}{4.5} = \frac{11.2}{4.5} \approx 2.48 \, km/s$ होगा।

(C) किसी ग्रह की सतह से किसी वस्तु का पलायन वेग $v_e$ सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
ब्लैक होल एक ऐसा खगोलीय पिंड है जिससे इसके तीव्र गुरुत्वाकर्षण बल के कारण प्रकाश भी बाहर नहीं निकल सकता है।
प्रकाश के बाहर न निकल पाने के लिए,ग्रह का पलायन वेग प्रकाश की गति $c$ से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
अतः,शर्त $v_e \geq c$ है।
$v_e$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\sqrt{\frac{2 G M}{R}} \geq c$ प्राप्त होता है।

(B) पृथ्वी की सतह के निकट वृत्ताकार कक्षा में एक उपग्रह के लिए,कक्षीय गति $v_0 = \sqrt{\frac{GM_e}{R_e}}$ द्वारा दी जाती है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ है।
इन दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $v_e = \sqrt{2} v_0$ है।
चूंकि $\sqrt{2} \approx 1.414$,आवश्यक पलायन वेग कक्षीय वेग का $1.414$ गुना है।
आवश्यक प्रतिशत वृद्धि $x$ का मान $x = \left( \frac{v_e - v_0}{v_0} \right) \times 100$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $x = (\sqrt{2} - 1) \times 100 = (1.414 - 1) \times 100 = 41.4 \%$.

(A) मान लीजिए कण का द्रव्यमान $m$ है,ग्रह का द्रव्यमान $M$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है।
ग्रह से बहुत दूर (अनंत पर) गुरुत्वाकर्षण विभव को शून्य मानते हुए,अनंत पर कण की कुल ऊर्जा $E_i = 0$ है।
ग्रह के केंद्र पर गुरुत्वाकर्षण विभव $V_c = -\frac{3GM}{2R}$ होता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,अनंत पर कुल ऊर्जा ग्रह के केंद्र पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$K_i + U_i = K_c + U_c$
$0 + 0 = \frac{1}{2}mv^2 + m(-\frac{3GM}{2R})$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{3GMm}{2R}$
$v^2 = \frac{3GM}{R}$
$v = \sqrt{\frac{3GM}{R}}$.
हम जानते हैं कि ग्रह की सतह पर पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$।
इस मान को $v$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$v = \sqrt{3 \cdot \frac{v_e^2}{2}} = \sqrt{1.5} v_e$.

(A) किसी ग्रह के लिए पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
माना पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_e$ और $R_e$ हैं,और ग्रह $P$ का द्रव्यमान और त्रिज्या $M_p$ और $R_p$ हैं।
दिया गया है: $M_e = 9M_p$ (अतः $M_p = \frac{M_e}{9}$) और $R_e = 2R_p$ (अतः $R_p = \frac{R_e}{2}$)।
पृथ्वी पर पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ है।
ग्रह $P$ पर पलायन वेग $v_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = \sqrt{\frac{2G(M_e/9)}{(R_e/2)}} = \sqrt{\frac{4GM_e}{9R_e}} = \frac{2}{3} \sqrt{\frac{GM_e}{R_e}}$ है।
चूंकि $v_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$,इसलिए $\sqrt{\frac{GM_e}{R_e}} = \frac{v_e}{\sqrt{2}}$।
इस मान को $v_p$ के व्यंजक में रखने पर: $v_p = \frac{2}{3} \left( \frac{v_e}{\sqrt{2}} \right) = \frac{\sqrt{2} v_e}{3} = \frac{v_e}{3} \sqrt{2}$।
इसकी तुलना $\frac{v_e}{3} \sqrt{x}$ से करने पर,हमें $x = 2$ प्राप्त होता है।

(D) किसी ग्रह का पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
पृथ्वी की तुलना में चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या बहुत कम होने के कारण,इसका पलायन वेग पृथ्वी (लगभग $11.2 \ km/s$) की तुलना में काफी कम (लगभग $2.38 \ km/s$) है।
चूंकि चंद्रमा पर पलायन वेग कम है,इसलिए चंद्रमा की सतह के तापमान पर गैस के अणुओं का तापीय वेग (rms वेग) पलायन वेग से अधिक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,गैस के अणु चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकल जाते हैं,जिससे वहां वायुमंडल का निर्माण नहीं हो पाता है।
इसलिए,अभिकथन $A$ और कारण $R$ दोनों सही हैं,और $R$,$A$ की सही व्याख्या है।