Escape Velocity and Escape Energy Questions in Hindi

(C) पृथ्वी की सतह के निकट उपग्रह का कक्षीय वेग $v_{\text{orbit}} = \sqrt{gR}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_{\text{orbit}} = \sqrt{10 \times 6.4 \times 10^6} = \sqrt{64 \times 10^6} = 8000 \, m/s = 8 \, km/s$.
पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_{\text{escape}} = \sqrt{2gR} = \sqrt{2} \times v_{\text{orbit}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_{\text{escape}} = 8\sqrt{2} \, km/s$.
गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को दूर करने के लिए आवश्यक अतिरिक्त वेग $\Delta v = v_{\text{escape}} - v_{\text{orbit}}$ है।
$\Delta v = 8\sqrt{2} - 8 = 8(\sqrt{2}-1) \, km/s$.

(B) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए कि $M_E$ और $R_E$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_P$ और $R_P$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_P = 16 M_E$ और $R_P = 4 R_E$।
ग्रह का पलायन वेग $V_P = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{2G(16M_E)}{4R_E}} = \sqrt{4 \times \frac{2GM_E}{R_E}} = 2 \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$ है।
चूंकि $V_E = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}}$,इसलिए $V_P = 2 V_E$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $\frac{V_P}{V_E} = \frac{2}{1}$ अर्थात $2:1$ होगा।

(B) पलायन वेग का सूत्र $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,$V_e = \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}} = 11.2 \, km/s$ है।
ग्रह के लिए,$V_p = \sqrt{\frac{2G(9M_e)}{4R_e}} = \sqrt{\frac{9}{4}} \times \sqrt{\frac{2GM_e}{R_e}}$ है।
$V_p = \frac{3}{2} \times V_e$ है।
$V_e = 11.2 \, km/s$ का मान रखने पर:
$V_p = 1.5 \times 11.2 \, km/s = 16.8 \, km/s$।

(B) पलायन वेग $V_e$ का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,$M$ ग्रह का द्रव्यमान है और $R$ उसकी त्रिज्या है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $V_e \propto \sqrt{\frac{M}{R}}$ है।
इसलिए,यदि अनुपात $\frac{M}{R}$ बढ़ता है,तो पलायन वेग $V_e$ भी बढ़ना चाहिए। अतः,कथन $I$ सही है।
इसके अतिरिक्त,चूँकि $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,यह स्पष्ट है कि $V_e$ ग्रह की त्रिज्या $R$ पर निर्भर करता है $(V_e \propto \frac{1}{\sqrt{R}})$। इसलिए,कथन $II$ गलत है।

(D) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए दिया गया है: $V_E = 11.2 \,km/s$, $M_E$, और $R_E$.
ग्रह के लिए: $M_P = \frac{M_E}{6}$ और $R_P = \frac{R_E}{3}$.
ग्रह के लिए पलायन वेग $V_P = \sqrt{\frac{2GM_P}{R_P}}$ है।
मान रखने पर: $V_P = \sqrt{\frac{2G(M_E/6)}{(R_E/3)}} = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E} \times \frac{3}{6}} = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E} \times \frac{1}{2}}$.
चूंकि $V_E = \sqrt{\frac{2GM_E}{R_E}} = 11.2 \,km/s$, इसलिए $V_P = \frac{V_E}{\sqrt{2}}$.
$V_P = \frac{11.2}{1.414} \approx 7.9 \,km/s$.

(A) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए $M_p$ और $R_p$ ग्रह का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_m$ और $R_m$ चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_m = \frac{M_p}{144}$ और $D_m = \frac{D_p}{16}$,जिसका अर्थ है $R_m = \frac{R_p}{16}$।
ग्रह पर पलायन वेग $V_p = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p}} = v$ है।
चंद्रमा पर पलायन वेग $V_m = \sqrt{\frac{2GM_m}{R_m}} = \sqrt{\frac{2G(M_p/144)}{(R_p/16)}} = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p} \times \frac{16}{144}} = \sqrt{\frac{2GM_p}{R_p} \times \frac{1}{9}}$ है।
$V_p = v$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_m = \sqrt{\frac{v^2}{9}} = \frac{v}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R_E}}$ है।
पिंड को अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए,आवश्यक गतिज ऊर्जा $K$ पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए।
$K = \frac{GMm}{R_E}$.
हम जानते हैं कि पृथ्वी की सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = \frac{GM}{R_E^2}$ है,जिसका अर्थ है कि $GM = gR_E^2$.
$GM$ का मान गतिज ऊर्जा के व्यंजक में रखने पर:
$K = \frac{(gR_E^2)m}{R_E} = mgR_E$.
अतः,आवश्यक गतिज ऊर्जा $mgR_E$ है।

(B) मान लीजिए $M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है और $R$ इसकी त्रिज्या है। सूर्य का द्रव्यमान $M_s = 3 \times 10^5 M$ है और पृथ्वी से सूर्य की दूरी $d = 2.5 \times 10^4 R$ है।
पृथ्वी की सतह पर रॉकेट की कुल ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv_s^2 - \frac{GMm}{R} - \frac{GM_sm}{d}$ है।
रॉकेट के प्रणाली से बाहर निकलने के लिए,अंतिम ऊर्जा कम से कम $0$ होनी चाहिए।
$\frac{1}{2}mv_s^2 = \frac{GMm}{R} + \frac{G(3 \times 10^5 M)m}{2.5 \times 10^4 R}$.
चूंकि $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$,इसलिए $\frac{GM}{R} = \frac{v_e^2}{2}$ प्राप्त होता है।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर: $\frac{1}{2}v_s^2 = \frac{v_e^2}{2} + \frac{3 \times 10^5}{2.5 \times 10^4} \times \frac{v_e^2}{2}$.
$v_s^2 = v_e^2 + 12 v_e^2 = 13 v_e^2$.
$v_s = v_e \sqrt{13} = 11.2 \times 3.605 \approx 40.38 \text{ km s}^{-1}$.
निकटतम मान $42 \text{ km s}^{-1}$ है।

(B) गुरुत्वीय त्वरण का सूत्र $g = \frac{4}{3} \pi G \rho R$ है।
अतः,$\frac{g'}{g} = \frac{\rho' R'}{\rho R}$।
दिया गया है $\frac{g'}{g} = \frac{\sqrt{6}}{11}$ और $\frac{\rho'}{\rho} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{\sqrt{6}}{11} = \frac{2}{3} \cdot \frac{R'}{R}$,जिसका अर्थ है $\frac{R'}{R} = \frac{3\sqrt{6}}{22}$।
पलायन वेग $v_e = \sqrt{2gR} = \sqrt{2 (\frac{4}{3} \pi G \rho R) R} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$ है।
इसलिए,$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} \sqrt{\frac{\rho'}{\rho}} = \left( \frac{3\sqrt{6}}{22} \right) \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{3\sqrt{6}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{2}\sqrt{3}}{22} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \cdot 2}{22} = \frac{6}{22} = \frac{3}{11}$।
दिया गया है $v_e = 11 \ km/s$,इसलिए $v_e' = 11 \cdot \frac{3}{11} = 3 \ km/s$।

(B) मान लीजिए कि वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या $r$ है। उपग्रह की कक्षीय गति $V = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $V^2 = \frac{GM}{r}$।
किसी वस्तु के पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बस पलायन करने के लिए,निष्कासन के बिंदु पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा अनंत पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा के बराबर होनी चाहिए,जो कि $0$ है।
मान लीजिए कि निष्कासन के समय '$m$' द्रव्यमान की वस्तु की गतिज ऊर्जा $K$ है।
पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर वस्तु की स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{r}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K + U = 0$।
$K - \frac{GMm}{r} = 0$।
$K = \frac{GMm}{r}$।
$\frac{GM}{r} = V^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = m V^2$ प्राप्त होता है।

(A) पलायन वेग $V_e$ का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है। चूंकि $M = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $V_e = \sqrt{\frac{8\pi G \rho}{3}} R$ प्राप्त होता है। अतः,$V_e \propto R$.
सतह का क्षेत्रफल $A_P = A = 4\pi R_P^2$ और $A_Q = 4A = 4\pi R_Q^2$ दिया गया है। इसका अर्थ है $R_Q^2 = 4R_P^2$,यानी $R_Q = 2R_P$.
ग्रह $R$ के लिए,$M_R = M_P + M_Q$ है। घनत्व $\rho$ समान होने के कारण,$\frac{4}{3}\pi R_R^3 \rho = \frac{4}{3}\pi R_P^3 \rho + \frac{4}{3}\pi R_Q^3 \rho$.
अतः,$R_R^3 = R_P^3 + R_Q^3 = R_P^3 + (2R_P)^3 = 9R_P^3$।
इसलिए,$R_R = 9^{1/3} R_P$।
त्रिज्याओं की तुलना करने पर: $R_R > R_Q > R_P$,जिसका अर्थ है कि $V_R > V_Q > V_P$। अतः कथन $(B)$ सही है।
कथन $(D)$ के लिए,$\frac{V_P}{V_Q} = \frac{R_P}{R_Q} = \frac{R_P}{2R_P} = \frac{1}{2}$। अतः कथन $(D)$ भी सही है।

(B) मान लीजिए ग्रह की त्रिज्या $R$ है और इसका द्रव्यमान $M$ है। सतह पर गुरुत्वीय त्वरण $g = GM/R^2$ है।
सतह से $h$ ऊँचाई पर,गुरुत्वीय त्वरण $g' = GM/(R+h)^2$ है।
दिया गया है कि $g' = g/4$,इसलिए $GM/(R+h)^2 = (1/4) \cdot (GM/R^2)$,जिसका अर्थ है $(R+h)^2 = 4R^2$,यानी $R+h = 2R$,या $h = R$ है।
सतह पर और अधिकतम ऊँचाई $h=R$ पर ऊर्जा संरक्षण का उपयोग करते हुए:
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/(R+R))$
$-(GMm/R) + (1/2)mv^2 = -(GMm/2R)$
$(1/2)mv^2 = GMm/2R \implies v^2 = GM/R$ प्राप्त होता है।
पलायन वेग को $v_{esc} = \sqrt{2GM/R}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$GM/R = v^2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $v_{esc} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $v_{esc} = v\sqrt{N}$ से करने पर,हमें $N = 2$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक स्थिति: $R_A = R_B = R$,$M_A = M$,$M_B = 2M = 2M_A$. घनत्व $\rho_A = \frac{M_A}{\frac{4}{3}\pi R^3}$.
अंतःक्रिया के बाद,तारे $A$ की त्रिज्या $R_A' = R/2$ है। चूंकि घनत्व $\rho_A$ स्थिर है,नया द्रव्यमान $M_A' = \rho_A \cdot \frac{4}{3}\pi (R/2)^3 = M_A/8$.
पलायन वेग $v_A = \sqrt{\frac{2GM_A'}{R_A'}} = \sqrt{\frac{2G(M_A/8)}{R/2}} = \sqrt{\frac{GM_A}{2R}}$.
$A$ द्वारा खोया गया द्रव्यमान $\Delta M = M_A - M_A/8 = \frac{7}{8}M_A$ है। यह द्रव्यमान $B$ में $\rho_A$ घनत्व के कवच के रूप में जोड़ा जाता है। मान लीजिए $B$ की नई त्रिज्या $R_B'$ है।
कवच का आयतन = $\frac{4}{3}\pi(R_B'^3 - R^3) = \frac{\Delta M}{\rho_A} = \frac{7/8 M_A}{\rho_A} = \frac{7}{8} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
$R_B'^3 - R^3 = \frac{7}{8}R^3 \Rightarrow R_B'^3 = \frac{15}{8}R^3 \Rightarrow R_B' = R \left(\frac{15}{8}\right)^{1/3}$.
$B$ का नया द्रव्यमान $M_B' = M_B + \Delta M = 2M_A + \frac{7}{8}M_A = \frac{23}{8}M_A$ है।
पलायन वेग $v_B = \sqrt{\frac{2GM_B'}{R_B'}} = \sqrt{\frac{2G(23/8)M_A}{R(15/8)^{1/3}}} = \sqrt{\frac{23GM_A}{4R(15/8)^{1/3}}} = \sqrt{\frac{23GM_A}{2R(15^{1/3})}}$.
अनुपात $\frac{v_B}{v_A} = \sqrt{\frac{23GM_A}{2R(15^{1/3})} \cdot \frac{2R}{GM_A}} = \sqrt{\frac{23}{15^{1/3}}} = \sqrt{\frac{10 \times 2.3}{15^{1/3}}}$.
$\sqrt{\frac{10n}{15^{1/3}}}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $n = 2.30$ प्राप्त होता है।

(B) पलायन वेग का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
दिया गया है: $M_E = 8M_P$ और $R_E = 2R_P$,जहाँ $E$ पृथ्वी को दर्शाता है और $P$ ग्रह को दर्शाता है।
अतः,पलायन वेग का अनुपात:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{M_E} \times \frac{R_E}{R_P}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{V_P}{V_E} = \sqrt{\frac{M_P}{8M_P} \times \frac{2R_P}{R_P}} = \sqrt{\frac{1}{8} \times 2} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
इस प्रकार,$V_P = \frac{1}{2} V_E = \frac{1}{2} \times 11.2 \ km/s = 5.6 \ km/s$.

(A) पृथ्वी की सतह से किसी पिंड का पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2gR}$ द्वारा दिया जाता है।
पिंड को अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2gR) = mgR$ है।
चूंकि अभिकथन में ऊर्जा $\frac{1}{2}mgR$ बताई गई है,इसलिए अभिकथन $A$ गलत है।
अनंत पर किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा शून्य के रूप में परिभाषित की जाती है,जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में किसी पिंड के लिए स्थितिज ऊर्जा का अधिकतम मान है। अतः,कारण $R$ सही है।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि वस्तु पृथ्वी पर वापस न आए,अनंत पर उसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
मान लीजिए वस्तु का द्रव्यमान $m$ है।
पृथ्वी के केंद्र से वस्तु की दूरी $r = R + 3R = 4R$ है।
इस बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $U = -\frac{GMm}{4R}$ है।
मान लीजिए प्रक्षेपण गति $v$ है। गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{4R}$
$v^2 = \frac{GM}{2R}$
$v = \sqrt{\frac{GM}{2R}}$

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करें।
पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा = अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा।
$\frac{-GMm}{R} + \frac{1}{2}m\left(\frac{v_e}{2}\right)^2 = \frac{-GMm}{R+h} + 0$
चूँकि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ होगा।
इस मान को ऊर्जा समीकरण में रखने पर:
$\frac{-GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R}\right) = \frac{-GMm}{R+h}$
$\frac{-GMm}{R} + \frac{GMm}{4R} = \frac{-GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = \frac{-GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$

(B) पृथ्वी की सतह से किसी वस्तु के पलायन वेग $(v_e)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
जहाँ:
$G$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक है,
$M$ पृथ्वी का द्रव्यमान है,
$R$ पृथ्वी की त्रिज्या है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि पलायन वेग केवल पृथ्वी के द्रव्यमान $(M)$,पृथ्वी की त्रिज्या $(R)$ और गुरुत्वाकर्षण नियतांक $(G)$ पर निर्भर करता है।
यह प्रक्षेपित की जाने वाली वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) पृथ्वी की सतह से पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
प्रक्षेप्य वेग $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h$ के बीच:
सतह पर कुल ऊर्जा = अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा।
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$.
$v^2 = \frac{1}{9} \left(\frac{2GM}{R}\right) = \frac{2GM}{9R}$ रखने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left(\frac{2GM}{9R}\right) = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$-GMm$ से भाग देने पर: $\frac{1}{R} - \frac{1}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$.
$8(R+h) = 9R \implies 8R + 8h = 9R$.
$8h = R \implies h = \frac{R}{8}$.

(D) $M$ द्रव्यमान के पिंड की पृथ्वी से $r/3$ और चंद्रमा से $2r/3$ की दूरी पर गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा $U$ इस प्रकार है:
$U = -\frac{G M_1 M}{r/3} - \frac{G M_2 M}{2r/3} = -\frac{3 G M_1 M}{r} - \frac{3 G M_2 M}{2r} = -\frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
अनंत तक पलायन करने के लिए,कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। यदि $v$ आवश्यक पलायन गति है,तो गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} M v^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम से: $\frac{1}{2} M v^2 + U = 0$.
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{3 G M}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v$ के लिए हल करने पर:
$v^2 = \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right)$.
$v = \left[ \frac{6 G}{r} \left( M_1 + \frac{M_2}{2} \right) \right]^{1/2}$.

(A) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
चूंकि घनत्व $\rho$ समान है, इसलिए $v_e \propto R$ होगा।
माना पृथ्वी का पलायन वेग $v_e$ है और ग्रह का पलायन वेग $v_e'$ है।
दिया गया है कि $R' = 2R$, इसलिए:
$\frac{v_e'}{v_e} = \frac{R'}{R} = \frac{2R}{R} = 2$.
अतः, $v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11 \,km/s = 22 \,km/s$.

(C) ग्रह का पलायन वेग $v_e$ सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ग्रह के द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के संदर्भ में $M = \frac{4}{3}\pi R^3 \rho$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,इसलिए हम इसे पलायन वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho R^2} = R \sqrt{\frac{8}{3}G\pi\rho}$.
यह दिया गया है कि ग्रह और पृथ्वी दोनों के लिए घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए पलायन वेग त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है: $v_e \propto R$.
अतः,पलायन वेग का अनुपात है: $\frac{V_p}{V_E} = \frac{R_p}{R_E}$.
यह दिया गया है कि ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से दोगुनी है $(R_p = 2R_E)$,इसलिए:
$\frac{V_p}{V_E} = \frac{2R_E}{R_E} = 2$.
इस प्रकार,$x$ का मान $2$ है।

(B) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
$M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $v_e = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho}$.
इसका अर्थ है कि $v_e \propto R \sqrt{\rho}$.
दिया गया है कि $R_p = 4R_E$ और $\rho_p = 4\rho_E$,इसलिए पृथ्वी पर पलायन वेग $(v_E)$ और ग्रह पर पलायन वेग $(v_p)$ का अनुपात है:
$\frac{v_E}{v_p} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{R_p \sqrt{\rho_p}} = \frac{R_E \sqrt{\rho_E}}{(4R_E) \sqrt{4\rho_E}} = \frac{1}{4 \times 2} = \frac{1}{8}$.
अतः,अनुपात $1: 8$ है।

(A) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$(K.E + P.E)_{\text{सतह}} = (K.E + P.E)_{\text{अधिकतम ऊँचाई}}$
चूँकि अधिकतम ऊँचाई पर वेग $0$ होता है,इसलिए:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2} m(n V_e)^2 = -\frac{GMm}{R + h} + 0$
हम जानते हैं कि पलायन वेग $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1}{2} m n^2 \left( \frac{2GM}{R} \right) = GMm \left( \frac{1}{R} - \frac{1}{R + h} \right)$
$\frac{n^2 GMm}{R} = GMm \left( \frac{R + h - R}{R(R + h)} \right)$
$\frac{n^2}{R} = \frac{h}{R(R + h)}$
$n^2 = \frac{h}{R + h}$
$n^2(R + h) = h$
$n^2 R + n^2 h = h$
$n^2 R = h(1 - n^2)$
$h = \frac{n^2 R}{1 - n^2}$

(C) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर: $E_i = K + U = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$.
दिया गया है $v = \frac{v_e}{2}$,जहाँ $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $v^2 = \frac{v_e^2}{4} = \frac{2GM}{4R} = \frac{GM}{2R}$.
$E_i = \frac{1}{2}m(\frac{GM}{2R}) - \frac{GMm}{R} = \frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = -\frac{3GMm}{4R}$.
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग $0$ है,इसलिए $E_f = 0 - \frac{GMm}{R+h}$.
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर: $-\frac{3GMm}{4R} = -\frac{GMm}{R+h}$.
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h} \implies 3R + 3h = 4R \implies 3h = R \implies h = \frac{R}{3}$.

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है。
चूंकि ग्रह का द्रव्यमान $M$ को उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$v_e = \sqrt{\frac{2G(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho)}{R}} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^2 \rho} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$.
इस समीकरण से स्पष्ट है कि जब घनत्व $\rho$ स्थिर हो,तो $v_e \propto R$ होता है。
दिया गया है कि ग्रह का घनत्व पृथ्वी के समान है लेकिन त्रिज्या दोगुनी $(R' = 2R_e)$ है,इसलिए नया पलायन वेग $v_e'$ होगा:
$v_e' = 2 \times v_e = 2 \times 11.2 \,km/s = 22.4 \,km/s$.

(C) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से पलायन वेग $V_{e}$ का सूत्र है: $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$।
पृथ्वी के लिए,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$।
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M' = 6M$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है।
अतः,इस ग्रह के लिए पलायन वेग $V_{e}'$ होगा:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} \times \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$।

(A) $m_0$ द्रव्यमान के कण की पृथ्वी और चंद्रमा के बीच के मध्य बिंदु पर स्थितिज ऊर्जा $U$ दोनों पिंडों के कारण विभव के योग द्वारा दी जाती है:
$U = -\frac{G M m_0}{d/2} - \frac{G m m_0}{d/2} = -\frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
अनंत तक पहुँचने के लिए,कण की कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए। मान लीजिए $V$ न्यूनतम प्रक्षेपण वेग है।
ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत को लागू करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 - \frac{2 G m_0}{d} (M + m) = 0 + 0$
$\frac{1}{2} m_0 V^2 = \frac{2 G m_0}{d} (M + m)$
$V^2 = \frac{4 G}{d} (M + m)$
$V = 2 \sqrt{\frac{G(M+m)}{d}}$

(A) पलायन वेग $V_e$ का सूत्र $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह और अनंत के बीच ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
सतह पर कुल ऊर्जा = अनंत पर कुल ऊर्जा
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m(2V_e)^2 = 0 + \frac{1}{2}mV^2$
यहाँ,$V$ अनंत पर अंतिम वेग है।
$V_e^2 = \frac{2GM}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$-\frac{GM}{R} + \frac{1}{2}(4 \cdot \frac{2GM}{R}) = \frac{1}{2}V^2$
$-\frac{GM}{R} + \frac{4GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$\frac{3GM}{R} = \frac{1}{2}V^2$
$V^2 = \frac{6GM}{R} = 3 \left( \frac{2GM}{R} \right) = 3V_e^2$
$V = \sqrt{3}V_e$

(A) मान लीजिए कि $m$ द्रव्यमान $M_1$ के केंद्र से $r_1 = \frac{2d}{3}$ की दूरी पर है। तब,$M_2$ के केंद्र से इसकी दूरी $r_2 = d - \frac{2d}{3} = \frac{d}{3}$ होगी।
निकाय के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बाहर निकलने के लिए,अनंत पर पिंड की कुल ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,प्रारंभिक स्थिति में दी गई गतिज ऊर्जा उस स्थिति में गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा के परिमाण के बराबर होनी चाहिए:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{r_1} + \frac{G M_2 m}{r_2}$
$r_1$ और $r_2$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{G M_1 m}{(2d/3)} + \frac{G M_2 m}{(d/3)}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G M_1 m}{2d} + \frac{3 G M_2 m}{d}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 = \frac{3 G m}{2d} (M_1 + 2 M_2)$
$v_e^2 = \frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}$
$v_e = \left[\frac{3 G (M_1 + 2 M_2)}{d}\right]^{\frac{1}{2}}$

(B) यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,$\frac{R}{2}$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
$\frac{R}{2}$ ऊँचाई पर कुल ऊर्जा:
$E_i = K_i + U_i = 0 + \left( -\frac{GMm}{R + \frac{R}{2}} \right) = -\frac{GMm}{\frac{3R}{2}} = -\frac{2GMm}{3R}$
पृथ्वी की सतह पर कुल ऊर्जा:
$E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2}mv^2 + \left( -\frac{GMm}{R} \right)$
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$-\frac{2GMm}{3R} = \frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R}$
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{GMm}{R} - \frac{2GMm}{3R} = \frac{GMm}{3R}$
$v^2 = \frac{2GM}{3R}$
चूँकि पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है,इसलिए $v_e^2 = \frac{2GM}{R}$ होगा।
इस मान को $v^2$ के समीकरण में रखने पर:
$v^2 = \frac{v_e^2}{3}$
$v = \frac{v_e}{\sqrt{3}}$

(C) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकलने के लिए आवश्यक ऊर्जा $E_{esc} = \frac{1}{2} m V_{e}^2$ है।
पिंड को दी गई प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m (3 V_{e})^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार, गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बाहर निकलने के बाद अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f$, प्रारंभिक ऊर्जा और पलायन के लिए आवश्यक ऊर्जा का अंतर है:
$K_f = K_i - E_{esc}$
$\frac{1}{2} m V^2 = \frac{9}{2} m V_{e}^2 - \frac{1}{2} m V_{e}^2$
$\frac{1}{2} m V^2 = 4 m V_{e}^2$
$V^2 = 8 V_{e}^2$
$V = \sqrt{8} V_{e} = 2 \sqrt{2} V_{e}$.

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि कण वापस न आए,अनंत पर इसकी कुल यांत्रिक ऊर्जा कम से कम शून्य होनी चाहिए।
मान लीजिए कि सतह से $h = 3R$ की ऊँचाई पर प्रक्षेपण गति $v$ है।
पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + 3R = 4R$ होगी।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए: $K_i + U_i = K_f + U_f$.
यहाँ,$K_i = \frac{1}{2}mv^2$,$U_i = -\frac{GMm}{4R}$,$K_f = 0$,और $U_f = 0$.
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{4R} = 0$.
$\frac{1}{2}v^2 = \frac{GM}{4R}$.
$v^2 = \frac{GM}{2R}$.
$v = [\frac{GM}{2R}]^{1/2}$.

(A) पलायन वेग का सूत्र $V = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,पलायन वेग $V_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M_p = 6M$ और त्रिज्या $R_p = 2R$ है।
अतः,ग्रह से पलायन वेग $V_p = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}} = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$ होगा।
समीकरण में $V_e$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $V_p = \sqrt{3} V_e$ प्राप्त होता है।

(A) किसी ग्रह की सतह से पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{2 g R}$ होता है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $R$ ग्रह की त्रिज्या है।
दिया गया है कि गुरुत्वीय त्वरण का अनुपात $\frac{g_1}{g_2} = K_1$ है और त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{R_1}{R_2} = K_2$ है।
पलायन वेगों का अनुपात $\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{2 g_1 R_1}{2 g_2 R_2}}$ होगा।
दिए गए अनुपातों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{v_{e1}}{v_{e2}} = \sqrt{\frac{g_1}{g_2} \cdot \frac{R_1}{R_2}} = \sqrt{K_1 K_2}$ प्राप्त होता है।

(C) पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
चूंकि द्रव्यमान $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ होता है,इसलिए हम इस मान को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं:
$v = \sqrt{\frac{2G}{R} \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G \rho R^2} = R \sqrt{\frac{8 \pi G \rho}{3}}$.
अतः,$v \propto R \sqrt{\rho}$.
यह दिया गया है कि औसत द्रव्यमान घनत्व $\rho$ समान है,इसलिए पलायन वेग त्रिज्या के सीधे आनुपातिक है: $v \propto R$.
इसलिए,$\frac{V_P}{V_E} = \frac{R_P}{R_E}$.
यहाँ $R_P = 2 R_E$ दिया गया है,इसलिए $\frac{V_P}{V_E} = 2$,जिसका अर्थ है कि $V_P = 2 V_E$.

(B) ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह पर कुल ऊर्जा अनंत पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है।
सतह पर प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = K_i + U_i = \frac{1}{2} m(2 v_e)^2 - \frac{G M m}{R} = 2 m v_e^2 - m v_e^2 = m v_e^2$ (चूंकि $v_e^2 = \frac{2 G M}{R}$)।
अनंत पर अंतिम ऊर्जा: $E_f = K_f + U_f = \frac{1}{2} m v^2 + 0$।
$E_i = E_f$ को बराबर करने पर:
$m v_e^2 = \frac{1}{2} m v^2$
$v^2 = 2 v_e^2$
$v = \sqrt{2} v_e$ ऊर्जा संतुलन दृष्टिकोण के अनुसार है। यदि हम दी गई गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m (2 v_e)^2 = 2 m v_e^2$ लेते हैं और पलायन के लिए आवश्यक ऊर्जा $K_{req} = \frac{1}{2} m v_e^2$ घटाते हैं,तो अनंत पर शेष गतिज ऊर्जा $K_f = 2 m v_e^2 - 0.5 m v_e^2 = 1.5 m v_e^2$ होगी।
अतः,$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{3}{2} m v_e^2$,जिससे $v^2 = 3 v_e^2$ प्राप्त होता है,यानी $v = \sqrt{3} v_e$।

(A) $M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले ग्रह की सतह से पलायन वेग का सूत्र $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी के लिए,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
नए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M^{\prime} = 3M$ और त्रिज्या $R^{\prime} = 3R$ है।
इस ग्रह के लिए पलायन वेग $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2G(3M)}{3R}}$ होगा।
व्यंजक को सरल करने पर,हमें $V_{e}^{\prime} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = V_{e}$ प्राप्त होता है।
अतः,पलायन वेग समान ही रहेगा।

(A) पलायन वेग का सूत्र $V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
पृथ्वी के लिए,$V_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$.
दिए गए ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M' = 6M$ और त्रिज्या $R' = 2R$ है।
अतः,इस ग्रह के लिए पलायन वेग $V_{e}'$ होगा:
$V_{e}' = \sqrt{\frac{2G(6M)}{2R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3 \times \frac{2GM}{R}}$
$V_{e}' = \sqrt{3} V_{e}$.

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ग्रह का द्रव्यमान $M$ उसके घनत्व $\rho$ और त्रिज्या $R$ के पदों में $M = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इस मान को पलायन वेग के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{e} = \sqrt{\frac{2G}{R} \times \frac{4}{3} \pi R^{3} \rho} = \sqrt{\frac{8}{3} G \pi R^{2} \rho}$.
इस व्यंजक को सरल करने पर,हमें $v_{e} = R \sqrt{\frac{8}{3} G \pi \rho}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{8}{3}$,$G$,और $\pi$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{e} \propto R \sqrt{\rho}$ होगा।

(B) पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि प्रक्षेपण वेग $v = \frac{1}{3} v_e = \frac{1}{3} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए,सतह पर कुल ऊर्जा अधिकतम ऊँचाई $h$ पर कुल ऊर्जा के बराबर होती है:
$TE_{\text{surface}} = TE_{\text{height } h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}mv^2 = -\frac{GMm}{R+h} + 0$
$v^2 = \frac{1}{9} \times \frac{2GM}{R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$-\frac{GMm}{R} + \frac{1}{2}m \left( \frac{2GM}{9R} \right) = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{GMm}{R} + \frac{GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{8GMm}{9R} = -\frac{GMm}{R+h}$
$\frac{8}{9R} = \frac{1}{R+h}$
$8(R+h) = 9R$
$8R + 8h = 9R$
$8h = R$
$h = \frac{R}{8}$

(B) माना पिंड का द्रव्यमान $m$ है और पृथ्वी का द्रव्यमान $M$ है। पलायन वेग $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पिंड का प्रारंभिक वेग $v = \frac{v_e}{2} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह और अधिकतम ऊँचाई $h$ (जहाँ अंतिम वेग $0$ है) के बीच यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2}mv^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{2GM}{R} = \frac{GM}{2R}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2}m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = R/3$

(C) पलायन वेग का सूत्र $v_{e} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
मान लीजिए $M_{e}$ और $R_{e}$ पृथ्वी का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं,और $M_{m}$ और $R_{m}$ चंद्रमा का द्रव्यमान और त्रिज्या हैं।
दिया गया है: $M_{e} = 81 M_{m}$ और $R_{e} = 3.5 R_{m}$।
पृथ्वी पर पलायन वेग $(v_{e})$ और चंद्रमा पर पलायन वेग $(v_{m})$ का अनुपात:
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{M_{e}}{R_{e}} \times \frac{R_{m}}{M_{m}}}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{81 M_{m}}{3.5 R_{m}} \times \frac{R_{m}}{M_{m}}}$
$\frac{v_{e}}{v_{m}} = \sqrt{\frac{81}{3.5}} = \sqrt{23.14} \approx 4.81$.

(C) पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर पलायन वेग का सूत्र $v = \sqrt{\frac{2GM}{r}}$ है।
पृथ्वी की सतह के लिए,दूरी $r = R$ है,इसलिए पलायन वेग $V_{E} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
पृथ्वी की सतह से $h = R$ ऊंचाई पर स्थित अंतरिक्ष स्टेशन के लिए,पृथ्वी के केंद्र से दूरी $r = R + h = R + R = 2R$ है।
अंतरिक्ष स्टेशन पर पलायन वेग $v_{s} = \sqrt{\frac{2GM}{2R}} = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ है।
$v_{s}$ की $V_{E}$ के साथ तुलना करने पर:
$v_{s} = \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{\sqrt{2}} V_{E}$।
अतः,अंतरिक्ष स्टेशन पर पलायन वेग $V_{E}$ का $\frac{1}{\sqrt{2}}$ गुना है।

(B) पृथ्वी के निकट परिक्रमा कर रहे उपग्रह का कक्षीय वेग $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}}$ होता है।
इस कक्षा में उपग्रह की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv_0^2 = \frac{GMm}{2R}$ है।
पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव से बचने के लिए,उपग्रह को पलायन वेग प्राप्त करना होगा,जो $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \sqrt{2}v_0$ है।
पलायन के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा $K_e = \frac{1}{2}mv_e^2 = \frac{1}{2}m(2v_0^2) = 2(\frac{1}{2}mv_0^2) = 2K$ है।
अतः,आवश्यक अतिरिक्त गतिज ऊर्जा $\Delta K = K_e - K = 2K - K = K$ होगी।

(A) मान लीजिए कि पिंड पृथ्वी के केंद्र से $r$ दूरी पर $v$ वेग से है। यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$(TE)_{\text{सतह पर}} = (TE)_{\text{r दूरी पर}}$
$\frac{1}{2} m v_e^2 - \frac{GMm}{R} = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{GMm}{r}$
चूंकि $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,इसलिए $\frac{1}{2} v_e^2 = \frac{GM}{R} = gR$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} v^2 = \frac{GM}{r} = \frac{gR^2}{r}$ प्राप्त होता है।
अतः,$v = \frac{dr}{dt} = R \sqrt{\frac{2g}{r}}$।
$r = R$ से $r = R + h = 4R$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^t dt = \int_R^{4R} \sqrt{\frac{r}{2gR^2}} dr = \frac{1}{R\sqrt{2g}} \int_R^{4R} r^{1/2} dr$
$t = \frac{1}{R\sqrt{2g}} \left[ \frac{2}{3} r^{3/2} \right]_R^{4R} = \frac{2}{3R\sqrt{2g}} \left[ (4R)^{3/2} - R^{3/2} \right]$
$t = \frac{2}{3R\sqrt{2g}} R^{3/2} [8 - 1] = \frac{7}{3} \sqrt{\frac{2R}{g}}$
$R = 6.4 \times 10^6 \ m$ और $g = 9.8 \ m/s^2$ रखने पर:
$t = \frac{7}{3} \sqrt{\frac{2 \times 6.4 \times 10^6}{9.8}} \approx 2666.5 \ s$
$t = \frac{2666.5}{60} \approx 44.44 \ min$.

(D)
$M$ द्रव्यमान और $R$ त्रिज्या वाले गोले की सतह से पलायन वेग $v_e$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$v_e^2 = \frac{2GM}{R}$
$R$ के लिए हल करने पर:
$R = \frac{2GM}{v_e^2}$
दिए गए मान:
$M = 6 \times 10^{24} \,kg$
$v_e = 3 \times 10^4 \,ms^{-1}$
$G = 6.66 \times 10^{-11} \,N \,m^2 \,kg^{-2}$
मान रखने पर:
$R = \frac{2 \times 6.66 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{(3 \times 10^4)^2}$
$R = \frac{79.92 \times 10^{13}}{9 \times 10^8}$
$R = 8.88 \times 10^5 \,m$
किलोमीटर में बदलने पर:
$R = 888 \,km$
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(A) पलायन वेग $v_e$ का सूत्र $v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ होता है।
पहले ग्रह के लिए दिया गया है: $v_{e1} = \sqrt{\frac{2GM}{R}} = 14 \,km \,s^{-1}$।
दूसरे ग्रह के लिए,द्रव्यमान $M$ है और व्यास $8R$ है,इसलिए त्रिज्या $R' = \frac{8R}{2} = 4R$ होगी।
दूसरे ग्रह के लिए पलायन वेग $v_{e2} = \sqrt{\frac{2GM}{R'}} = \sqrt{\frac{2GM}{4R}}$ होगा।
इसे $v_{e2} = \frac{1}{\sqrt{4}} \sqrt{\frac{2GM}{R}} = \frac{1}{2} v_{e1}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$v_{e1}$ का मान रखने पर: $v_{e2} = \frac{14}{2} = 7 \,km \,s^{-1}$।

(C) रॉकेट की प्रारंभिक गति $v_i = 0.5 v_e = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,अंतिम वेग $v_f = 0$ होता है।
यांत्रिक ऊर्जा संरक्षण के नियम को लागू करने पर:
$K_i + U_i = K_f + U_f$
$\frac{1}{2} m v_i^2 - \frac{GMm}{R} = 0 - \frac{GMm}{R+h}$
$v_i^2 = \frac{1}{4} \left( \frac{2GM}{R} \right) = \frac{GM}{2R}$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2} m \left( \frac{GM}{2R} \right) - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{GMm}{4R} - \frac{GMm}{R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$-\frac{3GMm}{4R} = - \frac{GMm}{R+h}$
$\frac{3}{4R} = \frac{1}{R+h}$
$3(R+h) = 4R$
$3R + 3h = 4R$
$3h = R$
$h = \frac{R}{3}$