$r$ त्रिज्या वाले $m$ द्रव्यमान के एक समान गोलाकार पिंड के ब्लैक होल होने की शर्त क्या है? [$G=$ गुरुत्वाकर्षण नियतांक और $c=$ प्रकाश की गति]

यदि किसी ग्रह की त्रिज्या पृथ्वी की त्रिज्या से चार गुना है और दोनों के लिए $g$ का मान समान है,तो ग्रह पर पलायन वेग (escape velocity) ......... $km/s$ होगा।

$m$ द्रव्यमान के एक पिंड को पृथ्वी की सतह (त्रिज्या $R$) से अनंत तक प्रक्षेपित करने के लिए आवश्यक गतिज ऊर्जा है:

यदि पृथ्वी का द्रव्यमान ग्रह $P$ के द्रव्यमान का नौ गुना और त्रिज्या दोगुनी है। तो ग्रह $P$ के गुरुत्वाकर्षण बल से बाहर निकलने के लिए रॉकेट द्वारा आवश्यक न्यूनतम वेग $\frac{v_e}{3} \sqrt{x} \; ms^{-1}$ है,जहाँ $v_e$ पृथ्वी पर पलायन वेग है। $x$ का मान है

पृथ्वी वायुमंडल को किसके कारण बांधे रखती है?

$3\times10^{31} \ kg$ द्रव्यमान वाले दो तारे एक-दूसरे से $2\times10^{11} \ m$ की दूरी पर स्थित हैं और अपने सामान्य द्रव्यमान केंद्र $O$ के चारों ओर एक तल में घूम रहे हैं। एक उल्का $O$ से होकर गुजरती है जो तारों के घूर्णन तल के लंबवत गति करती है। इस दोहरे तारे के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बचने के लिए,$O$ पर उल्का की न्यूनतम गति क्या होनी चाहिए? (गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $G = 6.67\times10^{-11} \ Nm^2 \ kg^{-2}$ लें)