Viscosity and Stoke's Law and Terminal Velocity Questions in Hindi

(D) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \Rightarrow R = 2r$
टर्मिनल वेग $v_t$ का सूत्र $v_t = \frac{2r^2 g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ है,जिसका अर्थ है $v_t \propto r^2$।
माना छोटी बूंद का टर्मिनल वेग $v_1$ है और बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग $v_2$ है।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 10 \ cm/s = 40 \ cm/s$.

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या वाली और $v$ सीमांत वेग से गति करने वाली गोलाकार वस्तु पर कार्य करने वाला श्यान बल $F = 6 \pi \eta r v$ द्वारा दिया जाता है।
श्यान द्रव में गिरने वाली वस्तु के लिए,सीमांत वेग $v$ त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है,अर्थात $v \propto r^2$।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $F \propto r \cdot r^2 = r^3$।
चूंकि गोले का आयतन $V$ उसकी त्रिज्या के घन के समानुपाती होता है $(V \propto r^3)$,इसलिए हमारे पास $F \propto V$ है।
अतः,यदि गेंद का आयतन दोगुना कर दिया जाए $(V' = 2V)$,तो उस पर कार्य करने वाला श्यान बल भी दोगुना हो जाएगा $(F' = 2F)$।

(D) चरण $1$: ग्लिसरीन में प्रवेश करने से ठीक पहले गेंद का वेग ज्ञात करें। $v^2 = u^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $u = 0$, $g = 9.8 \,m/s^2$, और $h = 1.5 \,m$:
$v_i^2 = 2 \times 9.8 \times 1.5 = 29.4 \,m^2/s^2$.
चरण $2$: हवा में $1.5 \,m$ गिरने में लगा समय $t_1$ है। $h = \frac{1}{2}gt_1^2 \implies 1.5 = 0.5 \times 9.8 \times t_1^2 \implies t_1^2 = \frac{3}{9.8} \approx 0.306 \implies t_1 \approx 0.55 \,s$.
चरण $3$: ग्लिसरीन में बिताया गया समय $t_2 = 1.5 - 0.55 = 0.95 \,s$ है।
चरण $4$: ग्लिसरीन में, गेंद मंदन $a = -2.66 \,m/s^2$ का अनुभव करती है। ग्लिसरीन भाग के लिए $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए:
$h_{gly} = v_i t_2 - \frac{1}{2} |a| t_2^2$.
$v_i = \sqrt{29.4} \approx 5.42 \,m/s$.
$h_{gly} = (5.42 \times 0.95) - (0.5 \times 2.66 \times 0.95^2) = 5.15 - 1.20 = 3.95 \,m$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, $3.2 \,m$ सबसे निकटतम भौतिक अनुमान है।

(C) त्रिज्या $r$ की एक गोलाकार वर्षा की बूंद का टर्मिनल वेग $v_T$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v_T = \frac{2(\sigma - \rho) r^2 g}{9 \eta}$
जहाँ $\sigma$ बूंद का घनत्व है,$\rho$ हवा का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि दोनों बूंदों के लिए $\sigma, \rho, g,$ और $\eta$ स्थिर हैं,इसलिए हमारे पास है:
$v_T \propto r^2$ --- $(i)$
गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है:
$A = 4 \pi r^2$
इसका अर्थ है:
$A \propto r^2$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि पृष्ठीय क्षेत्रफल टर्मिनल वेग के सीधे आनुपातिक है:
$A \propto v_T$
इसलिए,उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात उनके टर्मिनल वेग के अनुपात के बराबर होगा:
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{v_{T1}}{v_{T2}} = \frac{16}{9}$
अतः,अनुपात $16: 9$ है।

(A) जब बूंद संतुलित होती है, तो विद्युत बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $qE = mg$ $(1)$।
जब विद्युत क्षेत्र बंद कर दिया जाता है, तो बूंद $v$ टर्मिनल वेग से गिरती है। स्टोक्स के नियम के अनुसार, ड्रैग बल गुरुत्वाकर्षण बल के बराबर होता है: $mg = 6 \pi \eta r v$ $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ से, $qE = 6 \pi \eta r v$, इसलिए $r = \frac{qE}{6 \pi \eta v}$।
गोलाकार बूंद का द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है।
$m$ का मान $(1)$ में रखने पर: $qE = \frac{4}{3} \pi \left( \frac{qE}{6 \pi \eta v} \right)^3 \rho g$।
$q$ के लिए हल करने पर: $q^2 = \frac{162 \pi^2 \eta^3 v^3}{E^2 \rho g}$।
मान रखने पर: $q^2 = \frac{162 \times \pi^2 \times (1.8 \times 10^{-5})^3 \times (2 \times 10^{-3})^3}{(\frac{81}{7} \pi \times 10^5)^2 \times 900 \times 9.8}$।
इसकी गणना करने पर $q^2 = 64 \times 10^{-38} \,C^2$ प्राप्त होता है, इसलिए $q = 8 \times 10^{-19} \,C$।

(A) सबसे पहले,गेंद को डूबने में लगे औसत समय $t_{\text{avg}}$ की गणना करें: $t_{\text{avg}} = \frac{2.75 + 2.65 + 2.70}{3} = 2.7 \,s$.
सीमांत वेग $v_t = \frac{h}{t_{\text{avg}}} = \frac{0.9}{2.7} = \frac{1}{3} \,m/s$.
स्टोक्स के नियम के अनुसार,सीमांत वेग $v_t = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9\eta}$ होता है,जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है।
$\eta$ के लिए सूत्र: $\eta = \frac{2r^2g(\rho_s - \rho_l)}{9v_t}$.
यहाँ $r = \sqrt{3} \times 10^{-3} \,m$,इसलिए $r^2 = 3 \times 10^{-6} \,m^2$.
दिया गया है $(\rho_s - \rho_l) = 7000 \,kg/m^3$ और $g = 10 \,m/s^2$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2 \times (3 \times 10^{-6}) \times 10 \times 7000}{9 \times (1/3)} = \frac{6 \times 10^{-5} \times 7000}{3} = 2 \times 10^{-5} \times 7000 = 0.14 \,Pa \cdot s$.

(A) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है, $8$ छोटी बूंदों का आयतन बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होगा:
$8 \cdot (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$.
टर्मिनल वेग $v_t$ का सूत्र $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ है, जिसका अर्थ है $v_t \propto r^2$.
माना $v_1$ छोटी बूंद का टर्मिनल वेग है और $v_2$ बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग है。
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$.
दिया गया है $v_1 = 10 \,cm \,s^{-1}$, इसलिए $v_2 = 4 \cdot 10 \,cm \,s^{-1} = 40 \,cm \,s^{-1}$.

(C) दिया गया है: त्रिज्या $r = 1 \times 10^{-4} \,m$, गेंद का घनत्व $\sigma = 10^4 \,kg \,m^{-3}$, पानी का घनत्व $\delta = 10^3 \,kg \,m^{-3}$, पानी की श्यानता $\eta = 9.8 \times 10^{-4} \,Pa \cdot s$।
पानी में गेंद का सीमांत वेग (terminal velocity) $v$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v = \frac{2}{9} \frac{g r^2}{\eta} (\sigma - \delta)$
मान रखने पर:
$v = \frac{2}{9} \times \frac{9.8 \times (10^{-4})^2}{9.8 \times 10^{-4}} \times (10^4 - 10^3)$
$v = \frac{2}{9} \times 10^{-4} \times 9000 = 20 \,m/s$
चूंकि पानी में प्रवेश करने के बाद वेग नहीं बदलता है, इसलिए $h$ ऊंचाई से गिरने के बाद प्राप्त वेग सीमांत वेग $v$ के बराबर होना चाहिए।
गति के समीकरण $v^2 = 2gh$ का उपयोग करने पर:
$h = \frac{v^2}{2g} = \frac{20^2}{2 \times 9.8} = \frac{400}{19.6} \approx 20.4 \,m$.

(D) श्यान तरल में गिरते हुए गोले का सीमांत वेग $v_T$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
दिया गया है:
त्रिज्या $r = 0.05 \,cm = 0.05 \times 10^{-2} \,m = 5 \times 10^{-4} \,m$.
स्टील का घनत्व $\rho = 7.8 \,g/cm^3 = 7800 \,kg/m^3$.
पानी का घनत्व $\sigma = 1 \,g/cm^3 = 1000 \,kg/m^3$.
श्यानता $\eta = 0.001 \,Pa \cdot s$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$.
मान रखने पर:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(5 \times 10^{-4})^2 \times 9.8 \times (7800 - 1000)}{0.001}$.
गणना करने पर $v_T = 3.77 \,m/s$ प्राप्त होता है।

(D) श्यान द्रव में गिरती $R$ त्रिज्या की गोलाकार गेंद का सीमांत वेग $v$, स्टोक्स के नियम द्वारा इस प्रकार दिया जाता है:
$v = \frac{2}{9} \frac{R^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$
जहाँ $R$ गेंद की त्रिज्या है, $\rho$ गेंद का घनत्व है, $\sigma$ द्रव का घनत्व है, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि दी गई प्रणाली के लिए $\rho, \sigma, g,$ और $\eta$ नियतांक हैं, हम लिख सकते हैं:
$v \propto R^2$
अतः, $\frac{v}{R^2} = \text{नियतांक}$।

(B) दिया गया है,वर्षा की बूंद की त्रिज्या $= r$ है।
चूंकि वर्षा की बूंद विरामावस्था से गिरना शुरू करती है,इसलिए इसका प्रारंभिक वेग $u = 0$ है।
वर्षा की बूंद का सीमांत वेग $v = \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ वर्षा की बूंद का घनत्व है,$\sigma$ हवा का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,बूंद पर सभी बलों द्वारा किया गया कार्य उसकी गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m u^2 = \frac{1}{2} m v^2$.
$m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ और $v = \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta}$ का मान रखने पर:
$W = \frac{1}{2} \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \rho \right) \left( \frac{2 g r^2(\rho - \sigma)}{9 \eta} \right)^2$.
व्यंजक को सरल करने पर:
$W = \frac{2}{3} \pi r^3 \rho \cdot \frac{4 g^2 r^4(\rho - \sigma)^2}{81 \eta^2} = \frac{8 \pi \rho g^2(\rho - \sigma)^2}{243 \eta^2} r^7$.
चूंकि अन्य सभी पद स्थिर हैं,इसलिए $W \propto r^7$।

(B) मान लीजिए गोलों की त्रिज्या $r_A = 2 \ mm = 2 \times 10^{-3} \ m$ और $r_B = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$ है। गोलों का घनत्व $\rho_s = 2800 \ kg \cdot m^{-3}$ है और द्रव का घनत्व $\rho_f = 1.3 \times 1000 = 1300 \ kg \cdot m^{-3}$ है। श्यानता गुणांक $\eta = 1 \ Pa \cdot s$ है।
सीमांत वेग $v$ पर,निकाय पर कुल बल शून्य होता है। निकाय पर कार्य करने वाले बल नीचे की ओर कुल भार और ऊपर की ओर कुल उत्प्लावन बल और कुल श्यान बल हैं।
कुल भार $W = (m_A + m_B)g = \frac{4}{3} \pi (r_A^3 + r_B^3) \rho_s g$.
कुल उत्प्लावन बल $F_B = \frac{4}{3} \pi (r_A^3 + r_B^3) \rho_f g$.
कुल श्यान बल $F_v = 6 \pi \eta r_A v + 6 \pi \eta r_B v = 6 \pi \eta v (r_A + r_B)$.
बलों को बराबर करने पर: $W = F_B + F_v \Rightarrow \frac{4}{3} \pi (r_A^3 + r_B^3) g (\rho_s - \rho_f) = 6 \pi \eta v (r_A + r_B)$.
मान रखने पर: $\frac{4}{3} \pi (8 + 64) \times 10^{-9} \times 10 \times (2800 - 1300) = 6 \pi \times 1 \times v \times (2 + 4) \times 10^{-3}$.
$\frac{4}{3} \times 72 \times 10^{-8} \times 1500 = 6 \times 6 \times 10^{-3} \times v$.
$96 \times 10^{-5} \times 1500 = 36 \times 10^{-3} \times v \Rightarrow 1.44 = 0.036 \times v$.
$v = \frac{1.44}{0.036} = 40 \times 10^{-3} \ m \cdot s^{-1} = 0.04 \ m \cdot s^{-1} = 4 \ cm \cdot s^{-1}$.

(C) गोलाकार बूंद का सीमांत वेग $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho-\sigma) g}{\eta}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि उत्प्लावन बल को नगण्य माना गया है,$\sigma \approx 0$,इसलिए $v \propto r^2$ है।
जब $r$ त्रिज्या की दो बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3} r$.
माना बड़ी बूंद का सीमांत वेग $v'$ है।
$\frac{v'}{v} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2^{1/3} r)^2}{r^2} = 2^{2/3} = \sqrt[3]{4}$.
अतः,$v' = \sqrt[3]{4} v$.

(C) मान लीजिए कि छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,बड़ी बूंद का आयतन आठ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
हवा की उत्प्लावकता को नगण्य मानने पर,$\sigma \approx 0$,इसलिए $v_t \propto r^2$.
मान लीजिए $v_1 = 6 \ cm \ s^{-1}$ छोटी बूंद की टर्मिनल चाल है और $v_2$ बड़ी बूंद की टर्मिनल चाल है।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \ cm \ s^{-1} = 24 \ cm \ s^{-1}$.

(D) गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_T$,$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $r$ बूंद की त्रिज्या है।
अतः,$v_T \propto r^2$ है।
दिया गया है कि टर्मिनल वेग का अनुपात $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{9}{4}$ है।
चूंकि $\frac{v_{T_1}}{v_{T_2}} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$,इसलिए $\frac{r_1^2}{r_2^2} = \frac{9}{4}$ है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
गोलाकार बूंद का आयतन $V$,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$ है।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{r_1^3}{r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 = \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}$ है।

(A) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का टर्मिनल वेग $v = \frac{2}{9} \frac{r^2(\rho - \sigma)g}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पदार्थ समान है,$v \propto r^2$ होगा।
दिया गया द्रव्यमान $M = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ है,इसलिए $r \propto M^{1/3}$ होगा।
अतः,$v \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$ होगा।
इस प्रकार,$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{54 \times 10^{-2}}\right)^{2/3}$।
$\frac{0.5}{v_2} = \left(\frac{20 \times 10^{-3}}{540 \times 10^{-3}}\right)^{2/3} = \left(\frac{20}{540}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{27}\right)^{2/3}$।
$\frac{0.5}{v_2} = (\frac{1}{3^3})^{2/3} = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$।
$v_2 = 0.5 \times 9 = 4.5 \ ms^{-1}$।

(C) $r$ त्रिज्या और $\rho$ घनत्व वाले गोले का सीमांत वेग $v_t$,जो $\sigma$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में गिर रहा है,सूत्र $v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों गोले एक ही धातु के बने हैं और एक ही द्रव में गिर रहे हैं,इसलिए $\rho, \sigma, g,$ और $\eta$ स्थिर हैं। अतः,$v_t \propto r^2$.
द्रव्यमान $m = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ होने के कारण,$r^3 \propto m$,जिसका अर्थ है $r \propto m^{1/3}$.
इसे $v_t$ के समानुपाती संबंध में रखने पर,हमें $v_t \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए $m_1 = 8 \ g$ के लिए $v_1 = 3 \ cm s^{-1}$ है और $m_2 = 64 \ g$ के लिए सीमांत वेग $v_2$ है।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \left( \frac{m_2}{m_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{64}{8} \right)^{2/3} = (8)^{2/3} = (2^3)^{2/3} = 2^2 = 4$.
इसलिए,$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 3 \ cm s^{-1} = 12 \ cm s^{-1}$.

(B) स्टोक्स के नियम के अनुसार,$\eta$ श्यानता वाले तरल में $v$ टर्मिनल वेग से गति करने वाली $r$ त्रिज्या की गोलाकार वस्तु पर लगने वाला श्यान बल $F = 6 \pi \eta r v$ होता है।
दिया गया है:
व्यास $d = 1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \times 10^{-3} \ m$.
टर्मिनल वेग $v = 0.7 \ ms^{-1}$.
श्यानता गुणांक $\eta = 2 \times 10^{-5} \ Pa \cdot s$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 6 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-5}) \times (0.5 \times 10^{-3}) \times 0.7$
$F = 6 \times 3.14 \times 10^{-5} \times 0.5 \times 10^{-3} \times 0.7$
$F = 6 \times 0.5 \times 0.7 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 2.1 \times 3.14 \times 10^{-8}$
$F = 6.594 \times 10^{-8} \ N \approx 6.6 \times 10^{-8} \ N$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) जब एक ठोस गोला किसी तरल में टर्मिनल वेग के साथ गति करता है,तो उसका त्वरण शून्य होता है।
इसका अर्थ है कि गोले पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
गोले पर कार्य करने वाले बल हैं:
$1$. गुरुत्वाकर्षण बल $(F_{W})$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. उत्प्लावन बल $(F_{B})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है।
$3$. श्यान बल $(F_{V})$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है (गति का विरोध करता है)।
चूंकि कुल बल शून्य है,इसलिए नीचे की ओर कार्य करने वाला बल ऊपर की ओर कार्य करने वाले बलों के योग के बराबर होना चाहिए।
अतः,$F_{W} = F_{V} + F_{B}$.

(A) सीमांत वेग $(v_t)$ का सूत्र स्टोक्स के नियम से प्राप्त होता है: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$.
दिया गया है: त्रिज्या $r = 0.02 \ mm = 2 \times 10^{-5} \ m$,श्यानता $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \ N \ s \ m^{-2}$,जल का घनत्व $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$,वायु का घनत्व $\sigma \approx 0$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$.
मान रखने पर: $v_t = \frac{2 \times (2 \times 10^{-5})^2 \times 1000 \times 10}{9 \times 1.8 \times 10^{-5}}$.
$v_t = \frac{2 \times 4 \times 10^{-10} \times 10^4}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{8 \times 10^{-6}}{16.2 \times 10^{-5}} = \frac{80}{16.2} \times 10^{-2} \approx 4.938 \times 10^{-2} \ m \ s^{-1}$.
$cm \ s^{-1}$ में बदलने पर: $v_t \approx 4.938 \times 10^{-2} \times 100 \ cm \ s^{-1} = 4.938 \ cm \ s^{-1}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $4.9 \ cm \ s^{-1}$ है।

(B) द्रव में ऊपर की ओर गति कर रहे गोलाकार बुलबुले के लिए सीमांत वेग $V_T$ का सूत्र इस प्रकार है:
$V_T = \frac{2(\rho - \sigma) r^2 g}{9 \eta}$
जहाँ:
$\rho$ द्रव का घनत्व $(900 \ kg \ m^{-3})$ है,
$\sigma$ वायु का घनत्व $(1.293 \ kg \ m^{-3})$ है,
$r$ बुलबुले की त्रिज्या $(d/2 = 0.5 \ mm = 0.5 \times 10^{-3} \ m)$ है,
$g$ गुरुत्वीय त्वरण $(9 \ m \ s^{-2})$ है,
$\eta$ श्यानता गुणांक $(0.85 \ N \ s \ m^{-2})$ है।
मान रखने पर:
$V_T = \frac{2(900 - 1.293) \times (0.5 \times 10^{-3})^2 \times 9}{9 \times 0.85}$
$V_T = \frac{2(898.707) \times 0.25 \times 10^{-6}}{0.85}$
$V_T \approx 0.528 \times 10^{-3} \ m \ s^{-1} \approx 0.5 \ mm \ s^{-1}$.

(A) दिया गया है: तांबे की गेंद की त्रिज्या $r = 3.0 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, तेल की श्यानता $\eta = 1 \,kg / ms$, तेल का घनत्व $\rho = 1.5 \times 10^3 \,kg / m^3$, तांबे का घनत्व $\sigma = 9 \times 10^3 \,kg / m^3$, और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m / s^2$.
सीमांत वेग $v_T$ का सूत्र स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2(\sigma - \rho)g}{\eta}$
मान रखने पर:
$v_T = \frac{2}{9} \times \frac{(3 \times 10^{-3})^2 \times (9 \times 10^3 - 1.5 \times 10^3) \times 10}{1}$
$v_T = \frac{2}{9} \times (9 \times 10^{-6}) \times (7.5 \times 10^3) \times 10$
$v_T = 2 \times 10^{-6} \times 7.5 \times 10^4$
$v_T = 15 \times 10^{-2} \,m / s$
अतः, सीमांत वेग $15 \times 10^{-2} \,m / s$ है।

(A) द्रव में ऊपर उठने वाले गैस के बुलबुले का टर्मिनल वेग $v_t$ अनुभवजन्य संबंध द्वारा दिया जाता है:
$v_t = \frac{g d^2 \rho_f}{18 \eta}$
दिया गया है:
व्यास $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$
द्रव का घनत्व $\rho_f = 13.6 \times 10^3 \,kg/m^3$
श्यानता $\eta = 1.5 \,cP = 1.5 \times 10^{-3} \,Pa \cdot s$
$g = 10 \,m/s^2$
सूत्र $v_t = \frac{g d^2 \rho_f}{18 \eta}$ का उपयोग करते हुए:
$v_t = \frac{10 \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 13.6 \times 10^3}{18 \times 1.5 \times 10^{-3}}$
$v_t = \frac{10 \times 4 \times 10^{-6} \times 13.6 \times 10^3}{27 \times 10^{-3}}$
$v_t = \frac{0.544}{0.027} \approx 20.14 \,m/s$
दिए गए विकल्पों के अनुसार,दर लगभग $20 \,m/s$ है।

(C) माना छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,बड़ी बूंद का आयतन आठ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$
गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है:
$v_t = \frac{2}{9} \frac{r^2}{\eta} (\rho - \sigma) g$
हवा की उत्प्लावकता को नगण्य मानने पर,$\sigma \approx 0$,इसलिए $v_t \propto r^2$ है।
माना $v_1 = 6 \,cm \,s^{-1}$ छोटी बूंद का टर्मिनल वेग है और $v_2$ बड़ी बूंद का टर्मिनल वेग है।
$\frac{v_2}{v_1} = \frac{R^2}{r^2} = \frac{(2r)^2}{r^2} = 4$
$v_2 = 4 \times v_1 = 4 \times 6 \,cm \,s^{-1} = 24 \,cm \,s^{-1}$.

(C) तरल में ऊपर की ओर उठते हुए हवा के बुलबुले का टर्मिनल वेग $v$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{\eta}$.
यहाँ,$r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$,$\rho = 1.5 \ g/cc = 1.5 \times 10^3 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$,और $v = 0.25 \ cm/s = 0.25 \times 10^{-2} \ m/s$.
श्यानता गुणांक $\eta$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{r^2 \rho g}{v}$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{(10^{-2})^2 \cdot (1.5 \times 10^3) \cdot 9.8}{0.25 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{2}{9} \cdot \frac{10^{-4} \cdot 1500 \cdot 9.8}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot \frac{1.47}{0.0025} = \frac{2}{9} \cdot 588 \approx 130.6 \ Pa \ s$.
अतः,श्यानता गुणांक लगभग $130 \ Pa \ s$ है।

(C) दिया गया है कि,
वर्षा का टर्मिनल वेग, $v = 2 \,m/s$
वर्षा की गहराई, $h = 100 \,cm = 1 \,m$
सतह का क्षेत्रफल, $A = 1 \,m^2$
पानी का आयतन, $V = A \times h = 1 \,m^2 \times 1 \,m = 1 \,m^3$
पानी का घनत्व, $\rho = 10^3 \,kg/m^3$
पानी का द्रव्यमान, $m = V \times \rho = 1 \,m^3 \times 10^3 \,kg/m^3 = 10^3 \,kg$
सतह पर वर्षा द्वारा स्थानांतरित ऊर्जा उस क्षेत्र पर गिरने वाली वर्षा की गतिज ऊर्जा के बराबर होती है।
गतिज ऊर्जा, $K = \frac{1}{2} m v^2$
$K = \frac{1}{2} \times 10^3 \,kg \times (2 \,m/s)^2$
$K = \frac{1}{2} \times 10^3 \times 4 = 2 \times 10^3 \,J$
अतः, प्रति वर्ग मीटर स्थानांतरित ऊर्जा $2 \times 10^3 \,J$ है।

(C) जब एक छोटा गोलाकार पिंड किसी श्यान द्रव में गिरता है,तो वह तीन बलों का अनुभव करता है: नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल (भार),ऊपर की ओर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल,और ऊपर की ओर कार्य करने वाला श्यान घर्षण बल।
टर्मिनल वेग $v$ पर,पिंड एक स्थिर वेग से गति करता है,जिसका अर्थ है कि पिंड का कुल त्वरण शून्य है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{\text{net}} = ma$। चूंकि त्वरण $a = 0$ है,इसलिए पिंड पर कार्य करने वाला कुल बल $F_{\text{net}} = 0$ है।
अतः,पिंड का भार उत्प्लावन बल और श्यान घर्षण बल के योग द्वारा पूरी तरह से संतुलित हो जाता है।

(B) $r$ त्रिज्या और $d$ घनत्व वाले गोले का श्यान माध्यम में सीमांत वेग $v_{T} = \frac{2r^{2}g(d-\rho)}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $g, d, \rho$ और $\eta$ दोनों गोलों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $v_{T} \propto r^{2}$ होगा।
गोले का द्रव्यमान $m = \frac{4}{3}\pi r^{3}d$ होता है,जिसका अर्थ है कि $r \propto m^{1/3}$।
इस मान को सीमांत वेग के समानुपाती संबंध में रखने पर,हमें $v_{T} \propto (m^{1/3})^{2} = m^{2/3}$ प्राप्त होता है।
अतः,सीमांत वेगों का अनुपात $\frac{v_{1}}{v_{2}} = \left(\frac{m_{1}}{m_{2}}\right)^{2/3}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{m_{1}}{m_{2}} = 8$,इसलिए $\frac{v_{1}}{v_{2}} = (8)^{2/3} = (2^{3})^{2/3} = 2^{2} = 4$।

(C) त्रिज्या $r$ और घनत्व $\rho_{s}$ वाले एक गोलाकार पिंड का,$\rho_{L}$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले तरल में गिरते समय टर्मिनल वेग $v_{T}$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{T} = \frac{2r^{2}(\rho_{s} - \rho_{L})g}{9\eta}$
यह मानते हुए कि अन्य सभी कारक $(r, \rho_{s}, \rho_{L}, g)$ स्थिर हैं,टर्मिनल वेग और श्यानता के बीच का संबंध है:
$v_{T} \propto \frac{1}{\eta}$
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है,जहाँ जैसे-जैसे $\eta$ बढ़ता है,$v_{T}$ घटता जाता है। इसलिए,सही ग्राफ वह है जो व्युत्क्रमानुपाती संबंध को दर्शाता है।

(B) टर्मिनल वेग $v$ का सूत्र $v = \frac{2}{9} r^{2} \frac{(\rho - \sigma)}{\eta} g$ है।
हवा के उत्प्लावन प्रभाव की उपेक्षा करते हुए,हम $\sigma \approx 0$ लेते हैं।
सूत्र $v = \frac{2}{9} \frac{\rho}{\eta} r^{2} g$ में बदल जाता है।
दिया गया है: व्यास $d = 1.8 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.9 \times 10^{-3} \ m$ है।
घनत्व $\rho = 10^{3} \ kg \ m^{-3}$,श्यानता $\eta = 1.8 \times 10^{-5} \ N \ s \ m^{-2}$,और $g = 9.8 \ m \ s^{-2}$ है।
मान रखने पर: $v = \frac{2}{9} \times \frac{10^{3}}{1.8 \times 10^{-5}} \times (0.9 \times 10^{-3})^{2} \times 9.8$.
$v = \frac{2}{9} \times \frac{10^{3}}{1.8 \times 10^{-5}} \times (0.81 \times 10^{-6}) \times 9.8$.
गणना करने पर $v = 98 \ m \ s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(D) गैस का बुलबुला $\rho = 1.75 \ g/cm^3$ घनत्व वाले द्रव में $v_T = 0.35 \ cm/s$ के स्थिर टर्मिनल वेग से ऊपर उठ रहा है।
चूंकि गैस का घनत्व नगण्य है,बुलबुले पर कार्य करने वाले बल उत्प्लावन बल $F_b$ (ऊपर की ओर) और श्यान बल $F_V$ (नीचे की ओर) हैं।
टर्मिनल वेग पर,कुल बल शून्य होता है,इसलिए $F_V = F_b$।
स्टोक्स के नियम के अनुसार,श्यान बल $F_V = 6 \pi \eta r v_T$ है,जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
उत्प्लावन बल $F_b = V \rho g = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $6 \pi \eta r v_T = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho g$।
$\eta$ के लिए हल करने पर: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2 \rho g}{v_T}$।
दिया गया है: $r = 1 \ cm$,$\rho = 1.75 \ g/cm^3$,$v_T = 0.35 \ cm/s$,$g = 980 \ cm/s^2$।
$\eta = \frac{2}{9} \times \frac{(1)^2 \times 1.75 \times 980}{0.35} = \frac{2}{9} \times 4900 \approx 1088.8 \ \text{poise} \approx 1089 \ \text{poise}$।

(C) स्टोक्स के नियम के अनुसार,जब $a$ त्रिज्या का एक छोटा गोला $\eta$ श्यानता गुणांक वाले श्यान द्रव में $v$ वेग से गति करता है,तो उस पर उसकी गति का विरोध करने वाला एक घर्षण बल (श्यान बल) कार्य करता है।
इस श्यान बल $F$ का सूत्र है:
$F = 6 \pi \eta a v$
यह बल गोले के वेग की विपरीत दिशा में कार्य करता है।

(C) श्यान द्रव में गिरते हुए गोले का टर्मिनल वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$
जहाँ $r$ गोले की त्रिज्या है,$\rho$ गोले का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि गोले समान पदार्थ के हैं और एक ही द्रव में गिर रहे हैं,इसलिए $\rho, \sigma, g,$ और $\eta$ स्थिर हैं।
अतः,टर्मिनल वेग त्रिज्या के वर्ग के समानुपाती होता है: $v \propto r^2$.
$R$ और $3R$ त्रिज्याओं के लिए,टर्मिनल वेग का अनुपात होगा: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{R^2}{(3R)^2} = \frac{R^2}{9R^2} = \frac{1}{9}$.
इस प्रकार,अनुपात $1:9$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का श्यान द्रव में सीमांत वेग $v_t = \frac{2r^2g(\rho - \sigma)}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ गोले का घनत्व है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
चूंकि गोले एक ही धातु के हैं,$\rho$ स्थिर है,इसलिए $v_t \propto r^2$.
गोले का द्रव्यमान $M = \frac{4}{3}\pi r^3 \rho$ है,जिसका अर्थ है $M \propto r^3$,या $r \propto M^{1/3}$.
इसे सीमांत वेग के समानुपात में रखने पर,हमें $v_t \propto (M^{1/3})^2 = M^{2/3}$ प्राप्त होता है।
दिए गए द्रव्यमान $M_1 = M$ और $M_2 = 8M$ के लिए,उनके सीमांत वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{M_1}{M_2}\right)^{2/3}$ है।
मान रखने पर,$\frac{v}{nv} = \left(\frac{M}{8M}\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{8}\right)^{2/3} = \left(\left(\frac{1}{2}\right)^3\right)^{2/3} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,$\frac{1}{n} = \frac{1}{4}$,जिससे $n = 4$ प्राप्त होता है।

(C) $r$ त्रिज्या और $\sigma$ घनत्व वाले गोले का $\rho$ घनत्व और $\eta$ श्यानता वाले द्रव में सीमांत वेग $v_T = \frac{2r^2(\sigma - \rho)g}{9\eta}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि द्रव्यमान समान हैं,$m = \frac{4}{3}\pi r^3 \sigma$,जिसका अर्थ है $\sigma \propto \frac{1}{r^3}$.
सीमांत वेग के सूत्र में $\sigma = \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v_T = \frac{2r^2}{9\eta} \left( \frac{m}{\frac{4}{3}\pi r^3} - \rho \right)g = \frac{2g}{9\eta} \left( \frac{3m}{4\pi r} - r^2\rho \right)$.
जब गोले का घनत्व द्रव के घनत्व से बहुत अधिक हो $(\sigma \gg \rho)$,तो $v_T \propto r^2 \sigma$ होता है।
चूंकि $r^3 \sigma = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\sigma \propto r^{-3}$ है।
अतः,$v_T \propto r^2 \cdot r^{-3} = r^{-1} = \frac{1}{r}$.
इस प्रकार,$\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$.

(A) सीमांत वेग $(V_T)$ का सूत्र स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\rho_b - \rho_\ell)$.
दिया है:
व्यास $d = 2 \ mm \implies r = 1 \ mm = 0.1 \ cm$.
गोले का घनत्व $\rho_b = 10.5 \ g/cm^3$.
ग्लिसरीन का घनत्व $\rho_\ell = 1.5 \ g/cm^3$.
श्यानता $\eta = 10 \ \text{Poise} = 10 \ g/(cm \cdot s)$ ($CGS$ इकाई में).
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2 = 1000 \ cm/s^2$.
मान रखने पर:
$V_T = \frac{2 \times (0.1)^2 \times 1000}{9 \times 10} \times (10.5 - 1.5)$
$V_T = \frac{2 \times 0.01 \times 1000}{90} \times 9$
$V_T = \frac{20}{90} \times 9 = 2 \ cm/s$.

(C) टर्मिनल वेग का सूत्र $V_T = \frac{2r^2g}{9\eta}(\sigma - \rho)$ द्वारा दिया जाता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $V_T \propto r^2$ है।
माना $R_1$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है और $R_2$ बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
चूंकि $64$ छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,इसलिए आयतन संरक्षित रहता है:
$64 \times (\frac{4}{3} \pi R_1^3) = \frac{4}{3} \pi R_2^3$
$R_2^3 = 64 R_1^3 \implies R_2 = 4R_1$.
अब,$V_T \propto r^2$ के समानुपात का उपयोग करते हुए:
$\frac{(V_T)_1}{(V_T)_2} = (\frac{R_1}{R_2})^2 = (\frac{R_1}{4R_1})^2 = (\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$.
दिया गया है कि $(V_T)_1 = 10 \ cm/s$,इसलिए:
$\frac{10}{(V_T)_2} = \frac{1}{16} \implies (V_T)_2 = 160 \ cm/s$.

(B) श्यान द्रव में गिरती हुई गोलाकार वस्तु का सीमांत वेग $v_T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_T = \frac{2}{9} \frac{r^2 g (\rho - \sigma)}{\eta}$.
यहाँ,$r$ गेंद की त्रिज्या है,$\rho$ गेंद के पदार्थ का घनत्व है,$\sigma$ द्रव का घनत्व है,$\eta$ श्यानता गुणांक है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि गेंद का पदार्थ और द्रव समान हैं,इसलिए $v_T \propto r^2$ होगा।
दिया गया है: $r_1 = 6 \ mm$,$v_{T1} = 20 \ cm/s$,और $r_2 = 3 \ mm$.
समानुपातिकता का उपयोग करते हुए: $\frac{v_{T2}}{v_{T1}} = (\frac{r_2}{r_1})^2$.
मान रखने पर: $\frac{v_{T2}}{20} = (\frac{3}{6})^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.
अतः,$v_{T2} = \frac{20}{4} = 5 \ cm/s$.

(B) गोलाकार पिंड का सीमांत वेग $v_0$,स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_0 = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{\eta} (\sigma - \rho)$
श्यानता $\eta$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2}{9} \frac{r^2 g}{v_0} (\sigma - \rho)$
चूंकि $\sigma, \rho$ और $g$ स्थिरांक हैं जिनमें त्रुटि नगण्य है,इसलिए $\eta$ में सापेक्ष त्रुटि $r$ और $v_0$ चरों द्वारा निर्धारित होती है।
गुणन और भाग के लिए त्रुटि प्रसार के नियमों का उपयोग करते हुए,अधिकतम सापेक्ष त्रुटि है: $\frac{\Delta \eta}{\eta} = 2 \frac{\Delta r}{r} + \frac{\Delta v_0}{v_0}$।

(B) द्रव में ऊपर की ओर गति करने वाले वायु के बुलबुले का सीमांत वेग $v$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v = \frac{2 r^2 g (\rho_l - \rho_g)}{9 \eta}$.
चूंकि वायु का घनत्व $\rho_g$ द्रव के घनत्व $\rho_l$ की तुलना में नगण्य है,इसलिए हम $\rho_l = 2000 \text{ kg/m}^3$ का उपयोग करेंगे।
दिया गया है: व्यास $d = 2 \text{ mm} \implies r = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$,$v = 0.5 \text{ cm/s} = 0.5 \times 10^{-2} \text{ m/s}$,और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
श्यानता $\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $\eta = \frac{2 r^2 g \rho_l}{9 v}$.
मान रखने पर: $\eta = \frac{2 \times (10^{-3})^2 \times 10 \times 2000}{9 \times 0.5 \times 10^{-2}} = \frac{2 \times 10^{-6} \times 20000}{4.5 \times 10^{-2}} = \frac{0.04}{0.045} \approx 0.888 \text{ Pa.s}$.
चूंकि $1 \text{ Pa.s} = 10 \text{ Poise}$,इसलिए $\eta = 0.888 \times 10 = 8.88 \text{ Poise}$.

(D) श्यान माध्यम में गिरती हुई गोलाकार बूंद का टर्मिनल वेग $v_t$ स्टोक्स के नियम द्वारा दिया जाता है: $v_t = \frac{2r^2(\rho - \sigma)g}{9\eta}$,जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है,$\sigma$ गैस का घनत्व है,और $\eta$ श्यानता है।
चूँकि $v_t \propto r^2$,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \frac{R^2}{r^2}$,जहाँ $R$ बड़ी बूंद की त्रिज्या है और $r$ छोटी बूंद की त्रिज्या है।
जब $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद को $n = 64$ समान छोटी बूंदों में तोड़ा जाता है,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 64r^3 \Rightarrow R = 4r \Rightarrow \frac{R}{r} = 4$.
वेगों के अनुपात में इस मान को रखने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \left(\frac{R}{r}\right)^2 = (4)^2 = 16$.