Surface Energy Questions in Gujarati

(A) પ્રવાહીની અંદર રહેલો અણુ બધી બાજુઓથી અન્ય અણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલો હોય છે,જેના પરિણામે તેના પર લાગતું ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
જોકે,સપાટી પરનો અણુ ફક્ત તેની નીચેના અણુઓ દ્વારા જ આકર્ષાય છે,કારણ કે તેની ઉપર બળને સંતુલિત કરવા માટે કોઈ પ્રવાહીના અણુઓ હોતા નથી.
અણુને અંદરના ભાગમાંથી સપાટી પર લાવવા માટે,આ અંદરની તરફના આકર્ષણ બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કાર્ય અણુમાં સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
તેથી,સપાટી પરના અણુમાં સપાટીની નીચેના અણુ કરતા વધુ સ્થિતિ ઉર્જા હોય છે.

(A) પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓની સ્થિતિઊર્જા અંદરના અણુઓ કરતા વધારે હોય છે કારણ કે સપાટી પરના અણુઓ ચોખ્ખું અંદરની તરફનું બળ અનુભવે છે.
$(i)$ જ્યારે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારે હોય,ત્યારે સપાટી પર વધુ અણુઓ હાજર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સપાટીના અણુઓની કુલ સ્થિતિઊર્જા વધારે હોય છે.
$(ii)$ જ્યારે સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઓછું હોય,ત્યારે સપાટી પર ઓછા અણુઓ હાજર હોય છે,જેનો અર્થ છે કે સપાટીના અણુઓની કુલ સ્થિતિઊર્જા ઓછી હોય છે.
તેથી,જવાબ $(i)$ વધારે અને $(ii)$ ઓછી છે.

(N/A) પૃષ્ઠ ઉર્જા એટલે અચળ તાપમાને પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ એકમ જેટલું વધારવા માટે કરવા પડતા કાર્યનું મૂલ્ય.
તે આંકડાકીય રીતે પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણ જેટલું જ હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,જો સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $\Delta A$ જેટલું વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ હોય,તો પૃષ્ઠ ઉર્જા $S$ ને $S = \frac{W}{\Delta A}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જાનો $SI$ એકમ $J/m^2$ અથવા $N/m$ છે.

(A) પૃષ્ઠ ઉર્જા એટલે પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય.
$(i)$ જો અણુઓ એકબીજાને અપાકર્ષતા હોય,તો તંત્ર અપાકર્ષણ બળો સાથે સંકળાયેલી સ્થિતિ ઉર્જા ઘટાડવા માટે વિસ્તરણ પામશે. પરિણામે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે અને આ ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે તંત્ર દ્વારા કાર્ય થતું હોવાથી,પૃષ્ઠ ઉર્જા પણ વધે છે.
$(ii)$ જો અણુઓ એકબીજાને આકર્ષતા હોય,તો તંત્ર સ્થિતિ ઉર્જા ઘટાડવા માટે સંકોચન પામશે. પરિણામે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ ઘટે છે અને પૃષ્ઠ ઉર્જા પણ ઘટે છે.

(B) પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$.
કદના સંરક્ષણનો ઉપયોગ કરતા,$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $R = 2^{1/3} r$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 = 4 \pi (2^{2/3}) r^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 4 \pi r^2 (2^{2/3} - 2)$.
ક્ષેત્રફળ ઘટે છે,તેથી ઉર્જા મુક્ત થાય છે: $\Delta U = T (A_i - A_f) = T \times 4 \pi r^2 (2 - 2^{2/3})$.
અહીં $T = 0.1 \, N/m$ અને $r = 10^{-3} \, m$ આપેલ છે:
$\Delta U = 0.1 \times 4 \pi \times (10^{-3})^2 \times (2 - 1.587) = 0.4 \pi \times 10^{-6} \times 0.413 \approx 0.519 \, \mu J$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,ઉર્જાનો ફેરફાર આશરે $0.5 \, \mu J$ છે.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $2 \times (4 \pi R^2)$ છે.
થયેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$W = 2 \times (4 \pi R^2) \times T$
આપેલ છે:
$R = 5 \; cm = 5 \times 10^{-2} \; m$
$T = 0.1 \; N/m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 2 \times 4 \times \pi \times (5 \times 10^{-2})^2 \times 0.1$
$W = 8 \times \pi \times 25 \times 10^{-4} \times 0.1$
$W = 200 \times \pi \times 10^{-5}$
$W = 2 \times \pi \times 10^{-3} \; J$
$\pi \approx 3.14$ લેતા:
$W = 2 \times 3.14 \times 10^{-3} \; J = 6.28 \times 10^{-3} \; J$.

(A) પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $W = T \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
જ્યારે $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ટીપાને $n$ નાના ટીપાંમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = n(4\pi r^2) - 4\pi R^2$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r = R / n^{1/3}$.
આ કિંમતને ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં મૂકતા: $\Delta A = 4\pi R^2 (n^{1/3} - 1)$.
અહીં $R = 1\, cm = 10^{-2}\, m$,$n = 10^6$,અને $T = 460 \times 10^{-3}\, N/m$ આપેલ છે.
$W = 4 \pi (10^{-2})^2 (460 \times 10^{-3}) ((10^6)^{1/3} - 1)$.
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 0.46 \times (100 - 1)$.
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 0.46 \times 99$.
$W \approx 0.057\, J$.

(A) ધારો કે બે નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R'$ છે.
સંયોજન દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$2 \times (\frac{4}{3} \pi R^3) = \frac{4}{3} \pi (R')^3$
$2R^3 = (R')^3$
$R' = 2^{1/3} R$
પૃષ્ઠ ઊર્જા $U$ એ $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 4 \pi (R')^2 = 4 \pi (2^{1/3} R)^2 = 4 \pi (2^{2/3} R^2) = 2^{2/3} (4 \pi R^2)$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i$ અને અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{U_i}{U_f} = \frac{T \times A_i}{T \times A_f} = \frac{8 \pi R^2}{4 \pi \times 2^{2/3} R^2} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
આમ,ગુણોત્તર $2^{1/3} : 1$ છે.

(A) આપેલ છે: વ્યાસ $D = 2\,cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1\,cm = 0.01\,m$. પૃષ્ઠતાણ $T = 0.075\,N/m$. ટીપાંની સંખ્યા $n = 64$.
કદના સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi r^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r_0^3$,જ્યાં $r_0$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
$r^3 = 64 r_0^3 \implies r_0 = \frac{r}{4} = \frac{0.01}{4} = 0.0025\,m$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 4 \pi r^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = n \times 4 \pi r_0^2 = 64 \times 4 \pi (r/4)^2 = 64 \times 4 \pi (r^2/16) = 16 \pi r^2$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta SE = T \times (A_f - A_i) = T \times (16 \pi r^2 - 4 \pi r^2) = T \times 12 \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta SE = 0.075 \times 12 \times 3.14159 \times (0.01)^2$.
$\Delta SE = 0.075 \times 12 \times 3.14159 \times 0.0001 = 0.9 \times 3.14159 \times 10^{-4} \approx 2.827 \times 10^{-4}\,J$.

(C) પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R = 1\,cm = 10^{-2}\,m$. પૃષ્ઠતાણ $T = 75\,dyne/cm = 75 \times 10^{-3}\,N/m$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4\pi R^2 = 4\pi(10^{-2})^2 = 4\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = T \times A_i = 75 \times 10^{-3} \times 4\pi \times 10^{-4} = 300\pi \times 10^{-7}\,J$.
ધારો કે $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે. કદના સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$r^3 = \frac{R^3}{729} \implies r = \frac{R}{9} = \frac{1}{9}\,cm = \frac{1}{9} \times 10^{-2}\,m$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 729 \times 4\pi r^2 = 729 \times 4\pi \times (\frac{1}{9} \times 10^{-2})^2 = 729 \times 4\pi \times \frac{1}{81} \times 10^{-4} = 9 \times 4\pi \times 10^{-4} = 36\pi \times 10^{-4}\,m^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = T \times A_f = 75 \times 10^{-3} \times 36\pi \times 10^{-4} = 2700\pi \times 10^{-7}\,J$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં વધારો $\Delta U = U_f - U_i = (2700\pi - 300\pi) \times 10^{-7} = 2400\pi \times 10^{-7}\,J$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$\Delta U = 2400 \times 3.14 \times 10^{-7} = 7536 \times 10^{-7} = 7.536 \times 10^{-4}\,J$.
દશાંશના પ્રથમ સ્થાન સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,વધારો $7.5 \times 10^{-4}\,J$ મળે છે.

(B) સાબુના પરપોટા માટે પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = T \times 4 \pi r^2$ લેતા (એક સપાટી ગણતા):
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = \frac{r}{2}$ માટે પૃષ્ઠ ઉર્જા:
$U_1 = T \times 4 \pi (\frac{r}{2})^2 = T \times 4 \pi (\frac{r^2}{4}) = \pi T r^2$
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 2r$ માટે પૃષ્ઠ ઉર્જા:
$U_2 = T \times 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi T r^2$
થયેલું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = U_2 - U_1$
$W = 16 \pi T r^2 - \pi T r^2 = 15 \pi T r^2$
આમ, સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $15 \pi T r^2$ થશે.

(C) પ્રવાહી ફિલ્મની પૃષ્ઠ ઉર્જા $U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = T \times A \times n$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે,$A$ એ ફિલ્મની એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ છે અને $n$ એ મુક્ત સપાટીઓની સંખ્યા છે.
રીંગ પર રાખેલી ફિલ્મ માટે,બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે (ફિલ્મની દરેક બાજુએ એક),તેથી $n = 2$.
આપેલ છે: $T = 5 \,N/m$ અને $A = 0.02 \,m^2$.
કિંમતો મૂકતા: $U = 5 \times 0.02 \times 2$.
$U = 0.1 \times 2 = 0.2 \,J$.
$U = 2 \times 10^{-1} \,J$.

(B) સાબુના પરપોટાને બે મુક્ત સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ નું સૂત્ર: $W = S \times \Delta A \times 2$,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે: $S = 0.03 \,N/m$,ત્રિજ્યા $r = 10 \,cm = 0.1 \,m$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 4 \pi r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 0.03 \times (4 \times 3.14 \times (0.1)^2) \times 2$.
$W = 0.03 \times 4 \times 3.14 \times 0.01 \times 2$.
$W = 0.03 \times 0.2512 \times 2 = 0.015072 \,J$.
$W = 75.36 \times 10^{-4} \,J$.

(B) ધારો કે પ્રવાહીનું પૃષ્ઠતાણ $T$ છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
વિભાજન પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ સમાન રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
મૂળ ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $u_i = T \times 4 \pi R^2$ છે.
$1000$ નાના ટીપાંની કુલ પૃષ્ઠ ઉર્જા $u_f = 1000 \times (T \times 4 \pi r^2)$ છે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{u_f}{u_i} = \frac{1000 \times 4 \pi r^2}{4 \pi R^2} = 1000 \times \left(\frac{r}{R}\right)^2$.
$R = 10r$ મૂકતા:
$\frac{u_f}{u_i} = 1000 \times \left(\frac{r}{10r}\right)^2 = 1000 \times \frac{1}{100} = 10$.
આપેલ છે કે $\frac{u_f}{u_i} = \frac{10}{x}$,તેથી $10 = \frac{10}{x}$,જેનો અર્થ છે કે $x = 1$.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી તેનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ થાય.
ત્રિજ્યા $R_1$ થી $R_2$ સુધી વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = T \times \Delta A = T \times (A_2 - A_1) = T \times 8 \pi (R_2^2 - R_1^2)$.
આપેલ છે:
$T = 2.0 \times 10^{-2} \; N m^{-1}$
$R_1 = 3.5 \; cm = 3.5 \times 10^{-2} \; m$
$R_2 = 7.0 \; cm = 7.0 \times 10^{-2} \; m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 2.0 \times 10^{-2} \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(7.0 \times 10^{-2})^2 - (3.5 \times 10^{-2})^2]$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times (49 - 12.25) \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times \frac{22}{7} \times 36.75 \times 10^{-4}$
$W = 16 \times 10^{-2} \times 22 \times 5.25 \times 10^{-4}$
$W = 18.48 \times 10^{-4} \; J$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
આપેલ છે: $r = 1\,mm = 10^{-3}\,m$,$n = 1000$,અને પૃષ્ઠતાણ $T = 0.07\,N/m$.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$1000 \times r^3 = R^3 \implies R = 10r = 10 \times 10^{-3}\,m = 10^{-2}\,m$.
મુક્ત થતી પૃષ્ઠ ઉર્જા $\Delta E$ એ પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ અને અંતિમ પૃષ્ઠફળના તફાવતને $T$ વડે ગુણવાથી મળે છે.
$\Delta E = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi T (n r^2 - R^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 4 \times \frac{22}{7} \times 0.07 \times (1000 \times (10^{-3})^2 - (10^{-2})^2)$.
$\Delta E = 4 \times 22 \times 0.01 \times (1000 \times 10^{-6} - 100 \times 10^{-6})$.
$\Delta E = 0.88 \times (10^{-3} - 10^{-4}) = 0.88 \times (900 \times 10^{-6}) = 0.88 \times 9 \times 10^{-4} = 7.92 \times 10^{-4}\,J$.

(A) પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $R = 10^{-3} \ m$. પૃષ્ઠતાણ $T = 0.45 \ Nm^{-1}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $E_i = T \times 4 \pi R^2$.
ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 125 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$R^3 = 125 r^3 \implies R = 5r \implies r = \frac{R}{5} = \frac{10^{-3}}{5} \ m$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 125 \times 4 \pi r^2 = 125 \times 4 \pi \left(\frac{R}{5}\right)^2 = 125 \times 4 \pi \frac{R^2}{25} = 5 \times 4 \pi R^2$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં વધારો $\Delta E = E_f - E_i = T(A_f - A_i) = T(5 \times 4 \pi R^2 - 4 \pi R^2) = T(4 \times 4 \pi R^2) = 16 \pi T R^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 16 \times 3.14159 \times 0.45 \times (10^{-3})^2$.
$\Delta E = 16 \times 3.14159 \times 0.45 \times 10^{-6} \approx 22.619 \times 10^{-6} \ J = 2.26 \times 10^{-5} \ J$.

(A) પૃષ્ઠતાણ $T = 3.5 \times 10^{-2} \, N m^{-1}$ છે.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 20 \, cm = 0.2 \, m$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A = T \times 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.2^2 - 0.1^2)$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times (0.04 - 0.01) = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14159 \times 0.03$.
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 0.03 = 0.026389 \, J$.
જરૂરી ફોર્મેટમાં ફેરવતા: $W \approx 264 \times 10^{-4} \, J$.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ થાય.
પરપોટો બનાવવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠ ઉર્જા જેટલી હોય છે,જે $E = T \times A$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે: $T = 0.03\,N\,m^{-1}$,$R = 2\,cm = 2 \times 10^{-2}\,m$.
કિંમતો મૂકતા:
$E = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times (2 \times 10^{-2})^2$
$E = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times 4 \times 10^{-4}$
$E = 3.0144 \times 10^{-4}\,J$
નજીકના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લેતા,$E \approx 3.01 \times 10^{-4}\,J$ મળે છે.

(A) પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $27$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $27 \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,આપણને $R = 3r$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{3}$.
આ પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \Delta A$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 27 \times (4 \pi r^2) = 27 \times 4 \pi \left(\frac{R}{3}\right)^2 = 27 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{9} = 12 \pi R^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 12 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$.
તેથી,થયેલું કાર્ય $W = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$.

(B) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = S \times \Delta A$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times 4\pi (r_2^2 - r_1^2) = 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
આપેલ છે: $S = 40 \ dyne/cm$,$W = 36960 \ erg$,અને પ્રારંભિક વ્યાસ $d_1 = 7 \ cm$,તેથી પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 3.5 \ cm = \frac{7}{2} \ cm$.
કિંમતો મૂકતા: $36960 = 40 \times 8 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - (3.5)^2)$.
$36960 = 320 \times \frac{22}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$36960 = \frac{7040}{7} \times (r_2^2 - 12.25)$.
$r_2^2 - 12.25 = \frac{36960 \times 7}{7040} = 36.75$.
$r_2^2 = 36.75 + 12.25 = 49$.
$r_2 = 7 \ cm$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ હોવાથી,$1000$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ મોટા ટીપાંના કદ જેટલું થાય:
$1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3$
$R = 10r$
ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$1000$ નાના ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_s)$ = $1000 \times (4 \pi r^2 T) = 4000 \pi r^2 T$
મોટા ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $(E_b)$ = $4 \pi R^2 T = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$
$1000$ ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા અને મોટા ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_s}{E_b} = \frac{4000 \pi r^2 T}{400 \pi r^2 T} = 10$
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{10}{x}$ છે,તેથી:
$10 = \frac{10}{x}$
તેથી,$x = 1$.

(B) મોટા ટીપાનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$ છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા $K$ નાના ટીપાંનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = K \times 4 \pi r^2$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી, $\frac{4}{3} \pi R^3 = K \times \frac{4}{3} \pi r^3$, જેનો અર્થ છે કે $r = R K^{-1/3}$.
$r$ ની કિંમત અંતિમ ક્ષેત્રફળમાં મૂકતા: $A_f = K \times 4 \pi (R K^{-1/3})^2 = 4 \pi R^2 K^{1/3}$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = S(A_f - A_i) = S \times 4 \pi R^2 (K^{1/3} - 1)$.
આપેલ છે કે $\Delta U = 10^{-3} \,J$, $R = 10^{-2} \,m$, અને $S = \frac{0.1}{4 \pi} \,Nm^{-1}$:
$10^{-3} = \left(\frac{0.1}{4 \pi}\right) \times 4 \pi \times (10^{-2})^2 \times (K^{1/3} - 1)$.
$10^{-3} = 0.1 \times 10^{-4} \times (K^{1/3} - 1) = 10^{-5} \times (K^{1/3} - 1)$.
$K^{1/3} - 1 = \frac{10^{-3}}{10^{-5}} = 10^2 = 100$.
$K^{1/3} = 101 \approx 100 = 10^2$.
$K = (10^2)^3 = 10^6$.
તેથી $K = 10^\alpha$ હોવાથી, $\alpha = 6$ મળે છે.

(A) ટીપાને તોડવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = S \Delta A$.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,જે પરથી $r = \frac{R}{n^{1/3}}$ મળે છે.
કરવામાં આવતું કાર્ય $W = S(n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) = 4 \pi R^2 S (n^{1/3} - 1)$ છે.
$n = 27$ માટે: $W_1 = 4 \pi R^2 S (27^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (3 - 1) = 8 \pi R^2 S = 10 \ J$.
$n = 64$ માટે: $W_2 = 4 \pi R^2 S (64^{1/3} - 1) = 4 \pi R^2 S (4 - 1) = 12 \pi R^2 S$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{W_2}{W_1} = \frac{12 \pi R^2 S}{8 \pi R^2 S} = \frac{12}{8} = 1.5$.
તેથી,$W_2 = 1.5 \times 10 \ J = 15 \ J$.

(D) પ્રવાહીની અંદરના અણુઓ ચારે બાજુથી અન્ય અણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે તેમના પર લાગતું ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે.
જો કે,પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ ચોખ્ખા અંદરની તરફના આકર્ષણ બળનો અનુભવ કરે છે કારણ કે તેમની ઉપર કોઈ પ્રવાહીના અણુઓ હોતા નથી જે નીચે તરફના ખેંચાણને સંતુલિત કરી શકે.
અણુને અંદરના ભાગમાંથી સપાટી પર લાવવા માટે,આ અંદરના આકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કાર્ય અણુમાં સ્થિતિ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
તેથી,સપાટી પરના અણુની સ્થિતિ ઉર્જા પ્રવાહીની અંદરના અણુ કરતા વધારે હોય છે.

(B) ધારો કે શરૂઆતના મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $729$ નાના ટીપાંઓના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ અથવા $r = \frac{R}{9}$.
શરૂઆતની પૃષ્ઠઊર્જા $E = T \times A_{initial} = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જા $E'$ એ તમામ $729$ ટીપાંઓની પૃષ્ઠઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E' = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{9}$ મૂકતા:
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$E' = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$E' = 9 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 9 E$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ $1000$ નાના ટીપાંઓના કુલ કદ જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$ અથવા $r = \frac{R}{10}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $V = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$1000$ નાના ટીપાંઓનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A' = 1000 \times 4 \pi r^2$ છે.
$r = \frac{R}{10}$ મૂકતા:
$A' = 1000 \times 4 \pi \left(\frac{R}{10}\right)^2 = 1000 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{100} = 10 \times 4 \pi R^2$.
નવી પૃષ્ઠ ઊર્જા $V' = T \times A' = T \times 10 \times 4 \pi R^2 = 10 V$ થાય.

(C) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $512$ નાના ટીપાંઓના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3$
$R = 8r$ અથવા $r = \frac{R}{8}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠઊર્જા $E = T \times A = T \times 4 \pi R^2$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જા $E'$ એ $512$ ટીપાંઓની પૃષ્ઠઊર્જાનો સરવાળો છે:
$E' = 512 \times (T \times 4 \pi r^2)$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{8}$ મૂકતા:
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2$
$E' = 512 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64}$
$E' = 8 \times (T \times 4 \pi R^2)$
$E' = 8E$.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
અહીં વ્યાસ $d_1$ થી બદલાઈને $d_2$ થાય છે,તેથી ત્રિજ્યા $r_1 = d_1/2$ થી બદલાઈને $r_2 = d_2/2$ થાય છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_1 = 8 \pi (d_1/2)^2 = 2 \pi d_1^2$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 8 \pi (d_2/2)^2 = 2 \pi d_2^2$ છે.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2)$ છે.
થયેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થયેલા ફેરફાર $\Delta A$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
આમ,$W = T \times \Delta A = 2 \pi (d_2^2 - d_1^2) T$.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે (અંદરની અને બહારની). તેથી,$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ થાય.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = d/2$,તેથી પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 8\pi(d/2)^2 = 2\pi d^2$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = D/2$,તેથી અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 8\pi(D/2)^2 = 2\pi D^2$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 2\pi(D^2 - d^2)$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$W = T \times 2\pi(D^2 - d^2) = 2\pi(D^2 - d^2)T$.

(C) તારની લંબાઈ $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
તાર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d_1 = 0.5 \text{ cm} = 0.005 \text{ m}$ છે.
અંતરમાં થતો વધારો $\Delta d = 1 \text{ mm} = 0.001 \text{ m}$ છે.
પાણીના પડને બે સપાટી હોય છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta d)$ છે.
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 0.001 \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
પાણીનું પૃષ્ઠતાણ $T = 72 \text{ mN/m} = 72 \times 10^{-3} \text{ N/m}$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ છે.
$W = (72 \times 10^{-3} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 144 \times 10^{-7} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 2 \times (4 \pi r^2) \times T = 8 \pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ છે.
ઓરડાના તાપમાને $R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે,પૃષ્ઠતાણ $T_1$ હોય ત્યારે કાર્ય $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$ છે.
વધારે તાપમાને $2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે,પૃષ્ઠતાણ $T_2$ હોય ત્યારે કાર્ય $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$ છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$\frac{W_2}{W_1} = \frac{32 \pi R^2 T_2}{8 \pi R^2 T_1} = 4 \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$ મળે છે.
સાબુનું દ્રાવણ ગરમ કરવામાં આવતું હોવાથી,પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,એટલે કે $T_2 < T_1$,અથવા $\frac{T_2}{T_1} < 1$.
તેથી,$W_2 < 4 W_1$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને એક નાના પાણીના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,મોટા ટીપાનું કદ એ $n$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \Rightarrow R = n^{1/3} r$
$n$ નાના ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_n = n \times (4 \pi r^2 T)$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = 4 \pi R^2 T$ છે.
$n$ ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જા અને મોટા ટીપાંની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n \times 4 \pi r^2 T}{4 \pi R^2 T} = \frac{n r^2}{R^2}$
$R = n^{1/3} r$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{E_n}{E} = \frac{n r^2}{(n^{1/3} r)^2} = \frac{n r^2}{n^{2/3} r^2} = n^{1 - 2/3} = n^{1/3} = \sqrt[3]{n}$
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt[3]{n}: 1$ છે.

(D) વિભાજનની પ્રક્રિયા દરમિયાન પારોનું કદ અચળ રહે છે:
$V_{initial} = V_{final}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા,$R = 10r$ અથવા $r = \frac{R}{10}$ મળે છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta A = A_{final} - A_{initial}$
$\Delta A = (1000 \times 4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$
સમીકરણમાં $r = \frac{R}{10}$ મૂકતા:
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \left( \frac{R}{10} \right)^2 - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi \left( 1000 \times \frac{R^2}{100} - R^2 \right)$
$\Delta A = 4 \pi (10 R^2 - R^2) = 4 \pi (9 R^2) = 36 \pi R^2$
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A$ દ્વારા મળે છે:
$\Delta U = T \times 36 \pi R^2 = 36 \pi R^2 T$.

(C) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
પૃષ્ઠઊર્જા $E = S \times A$,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi R^2$.
મોટા ટીપાનું કદ = $512$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 512 r^3 \implies R = 8r$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 512 \times (4 \pi r^2)$.
$r = R/8$ મૂકતા:
$A_2 = 512 \times 4 \pi \left(\frac{R}{8}\right)^2 = 512 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{64} = 8 \times (4 \pi R^2) = 8 A_1$.
પૃષ્ઠઊર્જા એ પૃષ્ઠફળના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(E \propto A)$:
$E_2 = 8 E_1 = 8 E$.

(A) સંતુલન સ્થિતિમાં રહેલા પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ પાસે મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.
સમજૂતી:
પ્રવાહીમાં,અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓ ચારે બાજુથી અન્ય અણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે તેમના પર લાગતું ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે. જોકે,સપાટી પરના અણુઓ તેમની ઉપર કોઈ અણુઓ ન હોવાને કારણે અંદરની તરફ ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ અનુભવે છે. અણુને પ્રવાહીના અંદરના ભાગમાંથી સપાટી પર લાવવા માટે,આ આકર્ષણ બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. આ કાર્ય સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. તેથી,પ્રવાહીના અંદરના ભાગની તુલનામાં સપાટી પરના અણુઓ પાસે વધુ સ્થિતિ ઊર્જા હોય છે.

(B) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટી હોય છે। સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times l \times \Delta x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $l = 10 \,cm = 0.1 \,m$ અને $\Delta x = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ છે。
$\Delta A = 2 \times 0.1 \,m \times 10^{-3} \,m = 2 \times 10^{-4} \,m^2$.
કરેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે, જે $W = T \times \Delta A$ દ્વારા મળે છે。
અહીં $T = 65 \times 10^{-2} \,N/m$ આપેલ છે。
$W = (65 \times 10^{-2} \,N/m) \times (2 \times 10^{-4} \,m^2) = 130 \times 10^{-6} \,J = 1.3 \times 10^{-4} \,J = 13.0 \times 10^{-5} \,J$.
આમ, વિકલ્પ $B$ સાચો છે。

(C) થયેલું કાર્ય,$W = S \times \Delta A$,જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
મોટા ટીપાનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ,$A_{\text{initial}} = 4 \pi R^2$.
ધારો કે નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. કુલ કદ અચળ રહે છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$ અથવા $r = R/2$.
$8$ નાના ટીપાનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ,$A_{\text{final}} = 8 \times 4 \pi r^2 = 32 \pi (R/2)^2 = 32 \pi (R^2/4) = 8 \pi R^2$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર,$\Delta A = A_{\text{final}} - A_{\text{initial}} = 8 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2$.
થયેલું કાર્ય,$W = S \times \Delta A = S \times 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 S$.

(D) ધારો કે $R$ એ મૂળ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા છે અને $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ $1000$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r$.
ગોળાકાર ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ $(4\pi r^2)$ છે.
$E_1 = T(4\pi R^2)$
$E_2 = 1000 \times T(4\pi r^2)$
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{T(4\pi R^2)}{1000 \times T(4\pi r^2)} = \frac{R^2}{1000 r^2}$
$R = 10r$ મૂકતા:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$
આપેલ છે કે $\frac{E_1}{E_2} = \frac{x}{10}$,બંને બાજુ સરખાવતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(D) સાબુના પડને બે સપાટી હોય છે, તેથી ક્ષેત્રફળમાં થતો કુલ ફેરફાર $2 \times \Delta A$ છે。
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 3 \times 3 \,cm^2 = 9 \times 10^{-4} \,m^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 5 \times 5 \,cm^2 = 25 \times 10^{-4} \,m^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (25 - 9) \times 10^{-4} \,m^2 = 16 \times 10^{-4} \,m^2$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 2.5 \times 10^{-2} \,N/m$.
થયેલું કાર્ય $W = T \times (2 \Delta A) = 2.5 \times 10^{-2} \times 2 \times 16 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 5 \times 10^{-2} \times 16 \times 10^{-4} \,J = 80 \times 10^{-6} \,J$.

(D) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$ છે અને ટીપાંની સંખ્યા $n = 27$ છે.
જ્યારે $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું એક મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી, $R = n^{1/3} r = (27)^{1/3} \times r = 3r$.
મુક્ત થતી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા ઘટાડા અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$\Delta E = T \times (A_{initial} - A_{final}) = T \times (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2)$.
$R = 3r$ મૂકતા:
$\Delta E = 4 \pi T r^2 (n - 9)$.
$n = 27$ આપેલ હોવાથી, $\Delta E = 4 \pi T r^2 (27 - 9) = 4 \pi T r^2 (18) = 72 \pi T r^2$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta E = 72 \times 3.14 \times 0.072 \times (10^{-4})^2$.
$\Delta E \approx 1.627 \times 10^{-7} \,J$.

(D) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
ગોળાકાર પરપોટા માટે,કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા: $A = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{2/3} \propto V^{2/3}$.
આમ,$W \propto A$ હોવાથી,$W \propto V^{2/3}$ મળે.
ધારો કે $2V$ કદ માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W'$ છે. તો $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
તેથી,$W' = 4^{1/3} W$.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$1000$ નાના ટીપાંનું કદ = મોટા ટીપાનું કદ: $1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આથી $R^3 = 1000 r^3$,એટલે કે $R = 10r$.
$1000$ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_1 = 1000 \times (4 \pi r^2 T)$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_2 = 4 \pi R^2 T$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_2}{E_1} = \frac{4 \pi R^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{R^2}{1000 r^2}$ થાય.
$R = 10r$ મૂકતા,$\frac{E_2}{E_1} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:10$ છે.

(D) સાચો વિકલ્પ $D$ છે.
ખ્યાલ: પૃષ્ઠઊર્જા $E$ એ પૃષ્ઠફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $E = T \times A$ ($T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે).
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 216 r^3$,તેથી $R = 6r$ અથવા $r = \frac{R}{6}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠઊર્જા $E = T \times (4 \pi R^2)$.
અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જા $E' = 216 \times (T \times 4 \pi r^2)$.
$r = \frac{R}{6}$ મૂકતા:
$E' = 216 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36}$.
$E' = 6 \times (T \times 4 \pi R^2) = 6 E$.

(A) સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલું હોય છે, જે $W = T \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2)$ થાય, જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
અહીં વ્યાસ $2d$ આપેલ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = d$ થશે.
આમ, $\Delta A = 2 \times 4 \pi d^2 = 8 \pi d^2$.
તેથી, કરવું પડતું કાર્ય $W = T \times 8 \pi d^2 = 8 \pi d^2 T$ થાય.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$R$ ત્રિજ્યાના પરપોટા માટે,$W_1 = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ ત્રિજ્યાના પરપોટા માટે,$W_2 = 8 \pi (2R)^2 T = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$.
ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{8 \pi R^2 T}{32 \pi R^2 T} = \frac{1}{4}$ થાય.