Surface Energy Questions in Gujarati

(D) જ્યારે પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીના અંદરના ભાગમાંથી અણુઓ સપાટી પર આવે છે.
જેમ જેમ આ અણુઓ સપાટી પર પહોંચે છે,તેમ તેમ સસંજક બળ (cohesive force) ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કાર્ય અણુઓમાં સ્થિતિ ઊર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
આમ,સપાટી પર રહેલા અણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા પ્રવાહીની અંદર રહેલા અણુઓ કરતા વધારે હોય છે.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે। $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ છે।
બે સપાટીઓ હોવાથી, કુલ પૃષ્ઠફળ $A_{total} = 2 \times 4\pi r^2 = 8\pi r^2$ થાય।
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 8\pi r^2$ છે।
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી કરીને $R = 2r$ કરવામાં આવે, ત્યારે અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 8\pi (2r)^2 = 8\pi (4r^2) = 32\pi r^2$ થાય।
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 32\pi r^2 - 8\pi r^2 = 24\pi r^2$ છે।
કરેલું કાર્ય (જરૂરી ઉર્જા) $W = T \times \Delta A = T \times 24\pi r^2 = 24\pi r^2 T$ છે।

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે। $d$ વ્યાસ ધરાવતા ગોળાકાર પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2 = 4\pi (d/2)^2 = \pi d^2$ છે.
બે સપાટીઓ હોવાથી, કુલ પૃષ્ઠફળ $A_{total} = 2 \times \pi d^2 = 2\pi d^2$ થાય.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \times \Delta A$.
પ્રારંભિક વ્યાસ $d_1 = D$, તેથી પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2\pi D^2$.
અંતિમ વ્યાસ $d_2 = 2D$, તેથી અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 2\pi (2D)^2 = 8\pi D^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 8\pi D^2 - 2\pi D^2 = 6\pi D^2$.
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times 6\pi D^2 = 6\pi D^2 T$ થાય.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ સુધી વધારવા માટે થયેલું કાર્ય $W$ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$W = 2 \times [T \times (A_2 - A_1)] = 2 \times T \times 4\pi(r_2^2 - r_1^2) = 8\pi T(r_2^2 - r_1^2)$
આપેલ છે:
$T = 30 \text{ dynes/cm}$
$r_1 = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$
$r_2 = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \text{ cm}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 8 \times \pi \times 30 \times \left[ \left( \frac{2}{\sqrt{\pi}} \right)^2 - \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \right)^2 \right]$
$W = 240\pi \times \left[ \frac{4}{\pi} - \frac{1}{\pi} \right]$
$W = 240\pi \times \frac{3}{\pi}$
$W = 240 \times 3 = 720 \text{ ergs}$.

(C) પ્રવાહીના પડની પૃષ્ઠ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = T \times \Delta A_{total}$ છે.
કારણ કે લૂપ પર બનેલા પાતળા પડને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે (દરેક બાજુ એક),તેથી કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $\Delta A_{total}$ એ પડના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું હોય છે.
આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T = 5 \, N/m$ અને એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $A = 0.02 \, m^2$.
કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $\Delta A_{total} = 2 \times A = 2 \times 0.02 = 0.04 \, m^2$.
તેથી,પૃષ્ઠ ઊર્જા $U = 5 \times 0.04 = 0.2 \, J$.
આને $2 \times 10^{-1} \, J$ તરીકે લખી શકાય છે.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે: એક અંદરની સપાટી અને એક બહારની સપાટી.
તેથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો કુલ ફેરફાર $2 \times (4\pi r^2) = 8\pi r^2$ છે.
કરવામાં આવેલું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થયેલા ફેરફારના ગુણાકાર જેટલું હોય છે.
$W = T \times \Delta A = T \times 8\pi r^2 = 8\pi r^2 T$.

(B) પ્રવાહીની પૃષ્ઠ ઉર્જા એટલે પૃષ્ઠતાણના બળની વિરુદ્ધ પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય.
ગાણિતિક રીતે,પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ એ પૃષ્ઠતાણ $(T)$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફાર $(\Delta A)$ ના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
અહીં આપેલ છે કે,પૃષ્ઠતાણ = $T$ અને ક્ષેત્રફળમાં વધારો = $A$.
તેથી,પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો વધારો = $T \times A = AT$.

(A) મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$ છે.
નાના ટીપાની સંખ્યા $n = 10^6$ છે.
પૃષ્ઠતાણ $T = 35 \times 10^{-3} \, N/cm = 3.5 \, N/m$ છે.
જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાના મોટા ટીપાને $n$ નાના ટીપામાં વિભાજિત કરવામાં આવે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે: $\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,તેથી $r = R / n^{1/3}$.
જરૂરી ઊર્જા = પૃષ્ઠતાણ $\times$ પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો: $W = T \times (A_{final} - A_{initial})$.
$W = 4\pi T R^2 (n^{1/3} - 1)$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 4 \times 3.14 \times 3.5 \times (10^{-2})^2 \times (10^2 - 1)$.
$W = 43.96 \times 10^{-4} \times 99 \approx 4.4 \times 10^{-3} \, J$.

(B) પૃષ્ઠતાણ $T = 1.9 \times 10^{-2} \text{ N/m}$ છે.
પરપોટાનો વ્યાસ $d = 2.0 \text{ cm}$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $R = 1.0 \text{ cm} = 1.0 \times 10^{-2} \text{ m}$ થાય.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી કાર્ય $W = 2 \times (4 \pi R^2 T) = 8 \pi R^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 8 \times \pi \times (1.0 \times 10^{-2})^2 \times 1.9 \times 10^{-2}$.
$W = 8 \times \pi \times 10^{-4} \times 1.9 \times 10^{-2} = 15.2 \times 10^{-6} \pi \text{ J}$.

(B) પ્રવાહીની ફિલ્મની પૃષ્ઠ ઉર્જા $U$ એ સૂત્ર $U = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો કુલ ફેરફાર છે.
ફિલ્મને બે સપાટીઓ (ઉપરની અને નીચેની) હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $\Delta A = 2 \times A$ થાય,જ્યાં $A$ એ રીંગનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $T = 0.5 \, N/m$ અને $A = 0.02 \, m^2$.
તેથી,$\Delta A = 2 \times 0.02 = 0.04 \, m^2$.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = 0.5 \times 0.04 = 0.02 \, J$.
આને $2.0 \times 10^{-2} \, J$ તરીકે લખી શકાય છે.

(D) પ્રવાહીનું કદ અચળ રહે છે,એટલે કે $1000$ નાના ટીપાંનું કુલ કદ એક મોટા ટીપાંના કદ જેટલું હોય છે.
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$1000 r^3 = R^3 \implies R = 10r$
તેથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{r}{R} = \frac{1}{10}$ થાય.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $E$ એ $E = T \cdot A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
$\frac{E_{\text{small}}}{E_{\text{large}}} = \frac{4 \pi r^2 T}{4 \pi R^2 T} = \left( \frac{r}{R} \right)^2$
ગુણોત્તર મૂકતા: $\left( \frac{1}{10} \right)^2 = \frac{1}{100}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:100$ છે.

(A) સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે (દરેક બાજુ એક). તેથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta A$ એ ફિલ્મના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણો હોય છે.
આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T = 3 \times 10^{-2}\,N/m$.
ફિલ્મની એક બાજુનું ક્ષેત્રફળ $A = 10\,cm \times 10\,cm = 0.1\,m \times 0.1\,m = 0.01\,m^2 = 100 \times 10^{-4}\,m^2$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો કુલ ફેરફાર $\Delta A = 2 \times A = 2 \times 100 \times 10^{-4}\,m^2 = 200 \times 10^{-4}\,m^2$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E$ જેટલું હોય છે,જે $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = (3 \times 10^{-2}\,N/m) \times (200 \times 10^{-4}\,m^2) = 600 \times 10^{-6}\,J = 6 \times 10^{-4}\,J$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,$R$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો બનાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 2 \times (4\pi R^2 T) = 8\pi R^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $R = 10\,cm = 0.1\,m$ અને $T = \frac{3}{100}\,N/m = 0.03\,N/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 8 \times 3.14 \times (0.1)^2 \times 0.03$
$W = 8 \times 3.14 \times 0.01 \times 0.03$
$W = 0.007536\,J$
$W = 75.36 \times 10^{-4}\,J$.

(B) પ્રક્રિયા દરમિયાન પ્રવાહીનું કદ સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $n$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ = $n \times$ નાના ટીપાનું કદ
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = n r^3 \implies r = R n^{-1/3}$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $(W)$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \sigma \times (\text{અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ} - \text{પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ})$
$W = \sigma \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$r = R n^{-1/3}$ મૂકતા:
$W = 4\pi \sigma (n \times (R n^{-1/3})^2 - R^2)$
$W = 4\pi \sigma (n \times R^2 n^{-2/3} - R^2)$
$W = 4\pi R^2 \sigma (n^{1-2/3} - 1)$
$W = 4\pi R^2 (n^{1/3} - 1) \sigma$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$8000$ નાના ટીપાંનું કદ એ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય:
$8000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8000 r^3$
$R = 20r$
પૃષ્ઠ ઉર્જા $E = T \times A$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_i = 8000 \times (4 \pi r^2 T)$
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_f = 4 \pi R^2 T$
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{4 \pi R^2 T}{8000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{R^2}{8000 r^2}$
$R = 20r$ મૂકતા:
$\frac{E_f}{E_i} = \frac{(20r)^2}{8000 r^2} = \frac{400 r^2}{8000 r^2} = \frac{1}{20}$
આમ,ગુણોત્તર $1:20$ છે.

(B) રીંગ પર બનેલા પ્રવાહીના પડને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે (પડની દરેક બાજુએ એક).
તેથી,પડનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_{total} = 2 \times A = 2 \times 0.15\;m^2 = 0.30\;m^2$ થાય.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = T \times A_{total}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $U = 5\;N/m \times 0.30\;m^2 = 1.5\;J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ છે.
નાના ટીપાની સંખ્યા $n = 10^6$ છે.
પારાનું પૃષ્ઠતાણ $T = 460 \times 10^{-3} \ N/m$ છે.
જ્યારે એક મોટું ટીપું $n$ નાના ટીપામાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = n(4\pi r^2) - 4\pi R^2$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,જે પરથી $r = \frac{R}{n^{1/3}}$ મળે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,$\Delta A = 4\pi R^2(n^{1/3} - 1)$ મળે છે.
થયેલું કાર્ય (ખર્ચાયેલી ઉર્જા) $W = T \Delta A = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 4 \times 3.14 \times (10^{-2})^2 \times 460 \times 10^{-3} \times ((10^6)^{1/3} - 1)$.
ગણતરી કરતા $W = 0.057 \ J$ મળે છે.

(A) મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = 2\, mm = 2 \times 10^{-3}\, m$ છે.
બનતા નાના ટીપાંની સંખ્યા $n = 8$ છે.
પારાનું પૃષ્ઠતાણ $T = 0.465\, J/m^2$ છે.
જ્યારે $R$ ત્રિજ્યાના મોટા ટીપાને $n$ સમાન નાના ટીપાંમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3 \Rightarrow r = \frac{R}{n^{1/3}}$.
$n = 8$ માટે,$r = \frac{R}{8^{1/3}} = \frac{R}{2}$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળના તફાવત અને પૃષ્ઠતાણના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
$\Delta U = T \times (A_{final} - A_{initial}) = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$r = R/n^{1/3}$ મૂકતા:
$\Delta U = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 0.465 \times (8^{1/3} - 1)$,
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times 4 \times 10^{-6} \times 0.465 \times (2 - 1)$,
$\Delta U = 16 \times 3.14159 \times 0.465 \times 10^{-6} \approx 23.37 \times 10^{-6}\, J = 23.4\, \mu J$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે મુક્ત સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,$r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો બનાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 2 \times (4\pi r^2 T) = 8\pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $r = 0.2\, m$ અને $T = 0.06\, N/m$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 8 \times \pi \times (0.2)^2 \times 0.06$.
$W = 8 \times \pi \times 0.04 \times 0.06$.
$W = 8 \times \pi \times 0.0024$.
$W = 0.0192\pi\,J$.
$W = 192\pi \times 10^{-4}\,J$.

(B) પ્રવાહી ફિલ્મની સ્થિતિ ઊર્જા પૃષ્ઠ ઊર્જાના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $U = T \times \Delta A_{total}$.
પ્રવાહી ફિલ્મને બે સપાટીઓ હોય છે (દરેક બાજુ એક),તેથી કુલ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A_{total} = 2 \times A$ થાય.
આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T = 0.2 \, N/m$ અને ક્ષેત્રફળ $A = 0.05 \, m^2$.
તેથી,સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $U = 0.2 \times (2 \times 0.05)$ છે.
$U = 0.2 \times 0.1 = 0.02 \, J$.
$U = 2 \times 10^{-2} \, J$.

(A) પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E)$ એ પ્રવાહીના પૃષ્ઠતાણની વિરુદ્ધ નવી સપાટી બનાવવા માટે કરવામાં આવેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તેનું સૂત્ર આ મુજબ છે: $E = T \times \Delta A$
જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ $T = 75 \text{ N/m}$
ક્ષેત્રફળ $\Delta A = 0.04 \text{ m}^2$
કિંમતો મૂકતા:
$E = 75 \times 0.04 = 3 \text{ J}$
તેથી,જરૂરી પૃષ્ઠ ઊર્જા $3 \text{ J}$ છે.

(B) ધારો કે દરેક નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાંનું કદ એ બે નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 2r^3$,અથવા $R = 2^{1/3}r$ મળે છે.
પૃષ્ઠઊર્જા $E$ એ $E = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ પૃષ્ઠફળ છે.
બે નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠઊર્જા: $E_i = 2 \times (4\pi r^2 T) = 8\pi r^2 T$.
મોટા ટીપાંની અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જા: $E_f = 4\pi R^2 T = 4\pi (2^{1/3}r)^2 T = 4\pi (2^{2/3}r^2) T$.
પ્રારંભિક અને અંતિમ પૃષ્ઠઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{E_i}{E_f} = \frac{8\pi r^2 T}{4\pi 2^{2/3} r^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $2^{1/3}:1$ છે.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોય છે। ત્રિજ્યા $R_1$ થી $R_2$ સુધી બદલવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 2 \times T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 4\pi R^2$.
અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 4\pi (2R)^2 = 16\pi R^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 16\pi R^2 - 4\pi R^2 = 12\pi R^2$.
બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $2 \times 12\pi R^2 = 24\pi R^2$ થાય.
તેથી,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times (24\pi R^2) = 24\pi R^2 T$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા અને $T$ પૃષ્ઠતાણ ધરાવતા પરપોટાને બનાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ થાય.
આપેલ છે: $R = 10 \ cm = 0.1 \ m$,$T = \frac{3}{100} \ N/m = 0.03 \ N/m$.
$W = T \times \Delta A = T \times 8\pi R^2$.
$W = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times (0.1)^2$.
$W = 0.03 \times 8 \times 3.14 \times 0.01$.
$W = 0.24 \times 3.14 \times 0.01 = 0.7536 \times 10^{-2} \ J = 75.36 \times 10^{-4} \ J$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાંની ત્રિજ્યા $R$ છે અને નાના ટીપાંની ત્રિજ્યા $r$ છે. આપેલ છે કે $R = 2\,mm = 2 \times 10^{-3}\,m$ અને $n = 8$.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જે સૂચવે છે કે $r = \frac{R}{n^{1/3}} = \frac{R}{8^{1/3}} = \frac{R}{2}$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A = T(n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$ દ્વારા મળે છે.
$r = R/2$ મૂકતા,$\Delta U = T(n \times 4\pi (R/2)^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^2 T (n/4 - 1)$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\Delta U = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times (2 \times 10^{-3})^2 \times 0.465 \times (8^{1/3} - 1)$.
$\Delta U = 4 \times 3.14159 \times 4 \times 10^{-6} \times 0.465 \times (2 - 1)$.
$\Delta U = 16 \times 3.14159 \times 0.465 \times 10^{-6} \approx 23.376 \times 10^{-6}\,J$.
આમ,ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $23.4\,\mu J$ છે.

(B) તારને ખસેડવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (l \times x)$ થાય.
આપેલ છે: $l = 10 \, cm = 0.1 \, m$,$x = 1 \, mm = 1 \times 10^{-3} \, m$,અને $T = 7.2 \times 10^{-2} \, N/m$.
કાર્યનું સૂત્ર $W = T \times \Delta A = T \times 2lx$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 7.2 \times 10^{-2} \times 2 \times 0.1 \times 1 \times 10^{-3}$
$W = 1.44 \times 10^{-5} \, J$.

(C) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે.
$n$ ટીપાંનું કદ = મોટા ટીપાંનું કદ
$n \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow n = \frac{R^3}{r^3}$ $(i)$
મોટા ટીપાંનું કદ,$V = \frac{4}{3}\pi R^3$ $(ii)$
$n$ ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ,$A_i = n \times 4\pi r^2 = \frac{R^3}{r^3} \times 4\pi r^2 = \frac{4\pi R^3}{r} = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \frac{3}{r} = \frac{3V}{r}$ $(i \text{ અને } ii \text{ નો ઉપયોગ કરતા})$
મોટા ટીપાંનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ,$A_f = 4\pi R^2 = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \frac{3}{R} = \frac{3V}{R}$ $(ii \text{ નો ઉપયોગ કરતા})$
પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો,$\Delta A = A_i - A_f = \frac{3V}{r} - \frac{3V}{R} = 3V \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$
મુક્ત થતી ઉર્જા = પૃષ્ઠતાણ $\times$ પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો
મુક્ત થતી ઉર્જા $= T \times \Delta A = 3VT \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.

(D) સાબુના પરપોટાનો વ્યાસ $D = 20 \, cm$ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = 10 \, cm$ થશે.
પૃષ્ઠતાણ $T = 30 \, dynes/cm$ છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
જરૂરી ઉર્જા $E = T \times A = T \times 8 \pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $E = 30 \times 8 \pi \times (10)^2$.
$E = 30 \times 8 \pi \times 100 = 24000 \, \pi \, ergs$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ થાય.
આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T = 2 \times 10^{-2} \, N/m$ અને ત્રિજ્યા $R = 2 \, cm = 2 \times 10^{-2} \, m$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠ ઉર્જા જેટલું હોય છે,જે $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$W = T \times 8\pi R^2$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = (2 \times 10^{-2}) \times 8 \times \pi \times (2 \times 10^{-2})^2$.
$W = (2 \times 10^{-2}) \times 8 \times \pi \times (4 \times 10^{-4})$.
$W = 64\pi \times 10^{-6} \, J$.

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો બનાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = 2 \times (4\pi r^2)T = 8\pi r^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$T_1$ તાપમાને $R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_1 = 8\pi R^2 T_1$ છે.
$T_2$ તાપમાને $2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_2 = 8\pi (2R)^2 T_2 = 32\pi R^2 T_2$ છે.
જ્યારે દ્રાવણને ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તાપમાન વધે છે $(T_2 > T_1)$,જેના કારણે પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે $(T_2 < T_1)$.
જો પૃષ્ઠતાણ અચળ હોત,તો $W_2 = 4W_1$ થાત. પરંતુ,$T_2 < T_1$ હોવાથી,કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_2$ એ $4W_1$ કરતા થોડું ઓછું હશે.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $2 \times 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$ છે.
આપેલ છે: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$,$r_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$,$r_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = T \times \Delta A = T \times 2 \times 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
$W = 0.03 \times 8\pi \times [(0.05)^2 - (0.03)^2]$.
$W = 0.24\pi \times [0.0025 - 0.0009] \ J$.
$W = 0.24\pi \times 0.0016 \ J = 0.000384\pi \ J$.
$W \approx 0.4\pi \times 10^{-3} \ J = 0.4\pi \ mJ$.

(C) $R$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો બનાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ થાય છે.
આમ,$W = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ ત્રિજ્યાના પરપોટા માટે,કાર્ય $W'$ એ $W' = 8 \pi (2R)^2 T = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$ થશે.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,$W' = 4 \times (8 \pi R^2 T) = 4W$ મળે છે.

(B) તારની લંબાઈ $l = 10 \ cm = 0.1 \ m$ છે.
પ્રારંભિક અંતર $d_1 = 0.5 \ cm = 0.005 \ m$.
અંતિમ અંતર $d_2 = 1.5 \ cm = 0.015 \ m$.
ફિલ્મને બે સપાટી હોય છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 2 \times l \times (d_2 - d_1)$.
$\Delta A = 2 \times 0.1 \times 0.01 = 0.002 \ m^2 = 2 \times 10^{-3} \ m^2$.
કરેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A$.
$W = 7.2 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-3} = 1.44 \times 10^{-4} \ J$. વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $B$ છે.

(A) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
એક નાના ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા $E = T(4 \pi r^2)$ છે.
કદનું સંરક્ષણ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જે આપણને $R = n^{1/3} r$ આપે છે.
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા $E' = T(4 \pi R^2) = T(4 \pi (n^{1/3} r)^2) = T(4 \pi r^2) n^{2/3} = E n^{2/3}$ છે.
કુલ પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $nE$ છે.
કુલ અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $E' = E n^{2/3}$ છે.
કારણ કે $n > 1$ માટે $n > n^{2/3}$ છે,તેથી પ્રારંભિક ઊર્જા અંતિમ ઊર્જા કરતા વધારે છે.
મુક્ત થયેલી ઊર્જા = $nE - E' = nE - E n^{2/3} = E(n - n^{2/3})$.
આમ,આ પ્રક્રિયામાં ઊર્જા મુક્ત થાય છે.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
મોટા ટીપાનું કદ એ $64$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું હોય છે:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 64 r^3 \implies R = 4r \implies r = \frac{R}{4}$.
મોટા ટીપાનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4\pi R^2$ છે.
$64$ નાના ટીપાંનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = 64 \times 4\pi r^2$ છે.
$r = \frac{R}{4}$ મૂકતા:
$A_f = 64 \times 4\pi \left(\frac{R}{4}\right)^2 = 64 \times 4\pi \times \frac{R^2}{16} = 16\pi R^2$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_f - A_i = 16\pi R^2 - 4\pi R^2 = 12\pi R^2$ છે.
જરૂરી ઉર્જા $W = T \times \Delta A = T \times 12\pi R^2 = 12\pi R^2T$ મળે છે.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફાર $\Delta A$ ના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$W = T \times \Delta A = T \times 8\pi R^2$.
આપેલ છે:
$T = 2 \times 10^{-2} \ N/m$
$R = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 2 \times 10^{-2} \times 8\pi \times (2 \times 10^{-2})^2$
$W = 16\pi \times 10^{-2} \times 4 \times 10^{-4}$
$W = 64\pi \times 10^{-6} \ J$.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. તેથી,ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ માં બદલવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ છે:
$W = T \times \Delta A \times 2$
$W = T \times 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$
આપેલ છે: $T = 0.03\, Nm^{-1}$,$r_1 = 3\, cm = 0.03\, m$,$r_2 = 5\, cm = 0.05\, m$.
$W = 0.03 \times 8\pi \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$
$W = 0.24\pi \times (0.0025 - 0.0009)$
$W = 0.24\pi \times 0.0016$
$W = 0.000384\pi\, J = 0.384\pi\, mJ$.

(B) સાબુના પડને બે મુક્ત સપાટીઓ હોય છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં કુલ ફેરફાર $2 \times \Delta A$ થાય.
થયેલું કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = T \times 2 \Delta A$ છે.
પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 4 \times 4 = 16 \text{ cm}^2 = 16 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 4 \times 5 = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = (20 - 16) \times 10^{-4} = 4 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
આપેલ પૃષ્ઠતાણ $T = 3 \times 10^{-2} \text{ N/m}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = 3 \times 10^{-2} \times 2 \times (4 \times 10^{-4}) = 24 \times 10^{-6} \text{ J}$.

(D) જ્યારે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા બે ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે, ત્યારે કદ સંરક્ષિત રહે છે.
બે નાના ટીપાંનું કદ = એક મોટા ટીપાનું કદ
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3$
$R = 2^{1/3} r$
ટીપાની પૃષ્ઠ ઊર્જા $E$ એ $E = \text{પૃષ્ઠફળ} \times \text{પૃષ્ઠતાણ} = 4 \pi R^2 T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$E = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T$
$E = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T$
$E = 2^2 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
$E = 2^{2 + 2/3} \pi r^2 T$
$E = 2^{8/3} \pi r^2 T$.

(A) એક મોટા ટીપાંને નાના ટીપાંમાં તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠતાણ વિરુદ્ધ કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે,જે પૃષ્ઠ ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = S \times \Delta A$,જ્યાં $S$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4\pi R^2$ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ ટીપાંનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = n \times 4\pi r^2$ છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 4\pi r^2 n - 4\pi R^2$.
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $U = (4\pi r^2 n - 4\pi R^2)S$ છે.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = D/2$ છે. જ્યારે તે $n = 27$ નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કદ અચળ રહે છે.
$V_{large} = n \times V_{small} \implies \frac{4}{3}\pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
ઘનમૂળ લેતા,$R = 3r$,તેથી $r = R/3$.
પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારાના ગુણાકાર જેટલો હોય છે.
$\Delta E = T \times (A_{final} - A_{initial}) = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$r = R/3$ અને $n = 27$ મુકતા:
$\Delta E = T \times (27 \times 4\pi (R/3)^2 - 4\pi R^2) = T \times (27 \times 4\pi R^2/9 - 4\pi R^2) = T \times (12\pi R^2 - 4\pi R^2) = 8\pi R^2 T$.
કારણ કે $R = D/2$,તેથી $R^2 = D^2/4$.
$\Delta E = 8\pi (D^2/4) T = 2\pi TD^2$.

(C) સાબુના પરપોટાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ બદલવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પરપોટાનું કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય છે.
પ્રારંભિક વ્યાસ $D$ છે, તેથી પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = D/2$. પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $A_1 = 8 \pi (D/2)^2 = 2 \pi D^2$.
અંતિમ વ્યાસ $2D$ છે, તેથી અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = (2D)/2 = D$. અંતિમ ક્ષેત્રફળ $A_2 = 8 \pi (D)^2 = 8 \pi D^2$.
ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 8 \pi D^2 - 2 \pi D^2 = 6 \pi D^2$.
તેથી, કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times (6 \pi D^2) = 6 \pi D^2 T$ થાય.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી કાર્ય $W = 2 \times T \times \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 2\,cm$.
અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 2 \times r_1 = 4\,cm$.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2 = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
$\Delta A = 4\pi(4^2 - 2^2) = 4\pi(16 - 4) = 4\pi(12) = 48\pi\,cm^2$.
કરવું પડતું કાર્ય $W = 2 \times 30\,dyne/cm \times 48\pi\,cm^2$.
$W = 60 \times 48\pi = 2880\pi\,erg$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$W \approx 2880 \times 3.14159 \approx 9047.7\,erg$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$W \approx 9.043 \times 10^3\,erg$.

(C) જ્યારે એક મોટું પ્રવાહીનું ટીપું નાના ટીપાંમાં વિભાજિત થાય છે,ત્યારે કુલ કદ અચળ રહે છે,પરંતુ કુલ પૃષ્ઠફળ વધે છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જા $U = T \times A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે),તેથી પૃષ્ઠફળમાં વધારો થવાથી કુલ પૃષ્ઠ ઊર્જામાં વધારો થાય છે.
કારણ કે સિસ્ટમ તેના આસપાસના વાતાવરણથી અલગ છે,પૃષ્ઠ ઊર્જામાં આ વધારો પ્રવાહીની આંતરિક ઊર્જાના ભોગે મેળવવો પડે છે.
જેમ પ્રવાહીની આંતરિક ઊર્જા ઘટે છે,તેમ તેનું તાપમાન પણ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,નાના ટીપાંનું તાપમાન $t$ કરતા ઓછું હશે.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4\pi r^2$ છે.
બે સપાટીઓ હોવાથી,કુલ પૃષ્ઠફળ $A_{total} = 2 \times 4\pi r^2 = 8\pi r^2$ થાય.
ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = d/2$ અને અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = D/2$ છે.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 8\pi (d/2)^2 = 2\pi d^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 8\pi (D/2)^2 = 2\pi D^2$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T(A_2 - A_1) = T(2\pi D^2 - 2\pi d^2) = 2\pi T(D^2 - d^2)$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. પ્રારંભિક સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી કરીને $2r$ કરવામાં આવે,ત્યારે અંતિમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_2 = 2 \times (4 \pi (2r)^2) = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ થાય છે.
સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ છે.
કરેલું કાર્ય (જરૂરી ઉર્જા) $W = T \times \Delta A$ છે.
તેથી,$W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi r^2 T$.

(C) પ્રવાહી ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર બમણો થાય છે.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A_{total} = T \times (2 \times \Delta A)$.
આપેલ છે: $T = 20\, dyne/cm$,$A_1 = 60\, cm^2$,$A_2 = 120\, cm^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 120 - 60 = 60\, cm^2$.
$W = 20 \times (2 \times 60) = 20 \times 120 = 2400\, erg$.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ સુધી વધારવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W = 2 \times T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
આથી,$W = 8\pi T (r_2^2 - r_1^2)$.
આપેલ છે: $T = 0.03\, N/m$,$r_1 = 3\, cm = 0.03\, m$,$r_2 = 5\, cm = 0.05\, m$.
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$.
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times (0.0025 - 0.0009)$.
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times 0.0016$.
$W = 0.24 \times \pi \times 0.0016 = 0.000384\pi\, J$.
$W = 0.384\pi\, mJ \approx 0.4\pi\, mJ$.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ થાય.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
આપેલ છે: $T = 60 \times 10^{-3} \, N/m$ અને $R = 0.2 \, m$.
$W = 60 \times 10^{-3} \times 8 \pi \times (0.2)^2$
$W = 60 \times 10^{-3} \times 8 \pi \times 0.04$
$W = 480 \pi \times 10^{-3} \times 0.04$
$W = 19.2 \pi \times 10^{-3} \, J = 192 \pi \times 10^{-4} \, J$.

(N/A) પૃષ્ઠ ઉર્જા એ પ્રવાહીની સપાટી સાથે સંકળાયેલી વધારાની ઉર્જા છે। કદ અચળ રાખીને વધુ સપાટીનું નિર્માણ કરવા માટે વધારાની ઉર્જાની જરૂર પડે છે.
આકૃતિ $(a)$ માં દર્શાવ્યા મુજબ, તારમાંથી $U$-આકારનું ફ્રેમ બનાવવામાં આવે છે, અને તાર $PQ$ એ સળિયા $AP$ અને $BQ$ પર ઘર્ષણ વિના સરકે છે.
જ્યારે આ ફ્રેમને સાબુના દ્રાવણમાં ડુબાડીને બહાર કાઢવામાં આવે છે, ત્યારે એક પાતળી ફિલ્મ $APQB$ બને છે. આકૃતિ $(a)$ માં, ફિલ્મ સંતુલનમાં છે.
આકૃતિ $(b)$ માં દર્શાવ્યું છે કે ફિલ્મને વધારાના અંતર $d$ સુધી ખેંચવામાં આવે છે.
જેમ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધે છે, તેમ તંત્ર પાસે હવે વધુ ઉર્જા હોય છે, જેનો અર્થ છે કે આંતરિક બળની વિરુદ્ધમાં કંઈક કાર્ય કરવામાં આવ્યું છે.
ધારો કે આ આંતરિક બળ $F$ છે. લાગુ પાડેલા બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય:
$W = \vec{F} \cdot \vec{d} = F d$
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, આ કાર્ય ફિલ્મમાં વધારાની ઉર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે.
જો ફિલ્મની એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પૃષ્ઠ ઉર્જા $S$ હોય, તો વધારાનું ક્ષેત્રફળ $2ld$ છે. (કારણ કે $\Delta A = \text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ} = ld$, અને ફિલ્મની બે મુક્ત સપાટીઓ હોવાથી, કુલ ક્ષેત્રફળમાં વધારો $2ld$ થાય છે).
પ્રવાહી ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોવાથી, વધારાની ઉર્જા $E = (2ld)S$ છે.
તેથી, $W = (2ld)S = S \Delta A$ (જ્યાં $\Delta A = 2ld$ એ ક્ષેત્રફળમાં વધારો છે).
આમ, $S = \frac{W}{\Delta A}$.
કિંમતો મૂકતા, $S = \frac{Fd}{2ld} = \frac{F}{2l}$.
આ રાશિ $S$ એ પૃષ્ઠતાણનું મૂલ્ય છે. તે પ્રવાહીની આંતર સપાટીના એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પૃષ્ઠ ઉર્જા જેટલું છે અને તે ગતિશીલ સળિયા પર પ્રવાહી દ્વારા લાગતા એકમ લંબાઈ દીઠ બળ જેટલું પણ છે.