Surface Energy Questions in Gujarati

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આથી $R^3 = 512 r^3$,જેનો અર્થ છે કે $R = 8r$ અથવા $r = \frac{R}{8}$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U = 4 \pi R^2 T$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
નવી પૃષ્ઠ ઉર્જા $U'$ એ $512$ ટીપાંઓની પૃષ્ઠ ઉર્જાનો સરવાળો છે: $U' = 512 \times (4 \pi r^2 T)$.
$r = \frac{R}{8}$ કિંમત મૂકતા: $U' = 512 \times 4 \pi (\frac{R}{8})^2 T$.
$U' = 512 \times 4 \pi \frac{R^2}{64} T = 8 \times (4 \pi R^2 T) = 8 U$.

(D) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફૂલાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
તેથી,$W_1 = 8 \pi r^2 T$,જ્યાં $T$ એ ઓરડાના તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે.
ગરમ કરેલા દ્રાવણમાંથી બનાવેલા $2r$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે,કરવામાં આવેલ કાર્ય $W_2 = 8 \pi (2r)^2 T'$ છે,જ્યાં $T'$ એ ઊંચા તાપમાને પૃષ્ઠતાણ છે.
$W_2 = 8 \pi (4r^2) T' = 32 \pi r^2 T'$.
સાબુનું દ્રાવણ ગરમ હોવાથી,તેનું પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે,એટલે કે $T' < T$.
$W_1$ અને $W_2$ ની સરખામણી કરતા: $W_2 = 4 W_1 \times (T'/T)$.
કારણ કે $T' < T$,તેથી $W_2 < 4 W_1$ મળે છે.

(A) સાબુના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $r = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારના ગુણાકાર જેટલું હોય છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,કુલ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય છે.
આમ,$W = 8 \pi r^2 T$.
$r$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $W = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{2/3} T$ મળે છે.
આ દર્શાવે છે કે $W \propto V^{2/3}$.
$2V$ કદના પરપોટા માટે,નવું કાર્ય $W'$ એ $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$W' = 2^{2/3} W$.

(A) સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોય છે, તેથી તેની ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ બદલવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
આમ, $W = 8\pi T(r_2^2 - r_1^2)$.
આપેલ છે: $T = 0.03 \ Nm^{-1}$, $r_1 = 3 \ cm = 0.03 \ m$, $r_2 = 5 \ cm = 0.05 \ m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times ((0.05)^2 - (0.03)^2)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times (0.0025 - 0.0009)$
$W = 8 \times \pi \times 0.03 \times 0.0016$
$W = 0.24 \pi \times 0.0016 = 0.000384 \pi \ J$
$W = 0.384 \pi \ mJ \approx 0.4 \pi \ mJ$.

(B) ગોળાકાર સાબુના પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V \propto r^3$ અથવા $r \propto V^{1/3}$.
સાબુના પરપોટા માટે,તેને $r$ ત્રિજ્યા સુધી ફુલાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ છે,જ્યાં $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ (કારણ કે સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોય છે).
તેથી,$W \propto r^2$.
$r \propto V^{1/3}$ મૂકતા,આપણને $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$ મળે છે.
ધારો કે $V_1 = V$ કદ માટે $W_1 = W$ છે,અને $V_2 = 2V$ કદ માટે કાર્ય $W_2$ છે.
તો,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = (2)^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3}$.
આમ,$W_2 = 4^{1/3}W$.

(C) ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે અને મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$1000$ નાના ટીપાંનું કદ મોટા ટીપાના કદ જેટલું થાય: $1000 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 1000 r^3$,તેથી $R = 10r$ મળે.
$1000$ નાના ટીપાંની પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_i = 1000 \times (4 \pi r^2 T)$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
મોટા ટીપાની અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $U_f = 4 \pi R^2 T$ છે.
$R = 10r$ મૂકતા,$U_f = 4 \pi (10r)^2 T = 400 \pi r^2 T$ મળે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{U_f}{U_i} = \frac{400 \pi r^2 T}{1000 \times 4 \pi r^2 T} = \frac{400}{4000} = \frac{1}{10}$ થાય.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $W = \text{પૃષ્ઠતાણ} \times \text{સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર} \times 2$.
$W = T \times (4 \pi R^2) \times 2 = 8 \pi R^2 T$.
$2R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પરપોટા માટે, કરવામાં આવતું કાર્ય $W'$ છે:
$W' = T \times (4 \pi (2R)^2) \times 2 = 8 \pi (4R^2) T = 32 \pi R^2 T$.
$W'$ ની $W$ સાથે સરખામણી કરતા:
$W' = 4 \times (8 \pi R^2 T) = 4W$.

(C) તારની લંબાઈ $l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$ છે.
અંતરમાં થતો વધારો $\Delta x = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ છે.
પાણીના પડને બે સપાટી હોય છે,તેથી ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (l \times \Delta x)$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta A = 2 \times (0.1 \text{ m} \times 10^{-3} \text{ m}) = 2 \times 10^{-4} \text{ m}^2$.
થયેલું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
$W = (7.2 \times 10^{-2} \text{ N/m}) \times (2 \times 10^{-4} \text{ m}^2) = 14.4 \times 10^{-6} \text{ J} = 1.44 \times 10^{-5} \text{ J}$.

(B) સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $T = 3 \times 10^{-2} \,N/m$ છે।
ફિલ્મનું ક્ષેત્રફળ $A = 20 \,cm \times 5 \,cm = 100 \,cm^2 = 100 \times 10^{-4} \,m^2 = 10^{-2} \,m^2$ છે।
સાબુની ફિલ્મની બે સપાટીઓ હોય છે, તેથી કુલ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $2A$ છે।
કાર્ય $W = T \times (2A)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $W = 3 \times 10^{-2} \times 2 \times 10^{-2} = 6 \times 10^{-4} \,J$.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે. પૃષ્ઠફળમાં ફેરફાર કરવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A \times 2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વ્યાસ $D_1 = D$, તેથી પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = D/2$. પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi r_1^2 = 4 \pi (D/2)^2 = \pi D^2$.
અંતિમ વ્યાસ $D_2 = 2D$, તેથી અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = D$. અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 4 \pi r_2^2 = 4 \pi D^2$.
ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi D^2 - \pi D^2 = 3 \pi D^2$.
પરપોટાને બે સપાટીઓ હોવાથી, ક્ષેત્રફળમાં કુલ ફેરફાર $2 \times \Delta A = 2 \times 3 \pi D^2 = 6 \pi D^2$ થાય.
તેથી, કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times 6 \pi D^2 = 6 \pi TD^2$ છે.

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે, તેથી તેનું કુલ પૃષ્ઠફળ $2 \times 4 \pi R^2 = 8 \pi R^2$ થાય.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$ છે.
જ્યારે ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે છે, ત્યારે નવી ત્રિજ્યા $R' = 2R$ થાય છે.
નવું પૃષ્ઠફળ $2 \times 4 \pi (2R)^2 = 2 \times 4 \pi (4R^2) = 32 \pi R^2$ થાય.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_f = T \times (32 \pi R^2) = 32 \pi R^2 T$ છે.
થયેલું કાર્ય $W = E_f - E_i$.
$W = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$.

(A) પ્રવાહીના અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓ બધી બાજુથી અન્ય અણુઓ દ્વારા ઘેરાયેલા હોય છે,જેના પરિણામે તેમના પર લાગતું ચોખ્ખું આકર્ષણ બળ શૂન્ય હોય છે. જોકે,સપાટી પરના અણુઓ માત્ર તેમની નીચેના અણુઓ દ્વારા જ આકર્ષાય છે,કારણ કે સપાટીની ઉપર કોઈ પ્રવાહીના અણુઓ હોતા નથી. અણુને અંદરના ભાગમાંથી સપાટી પર લાવવા માટે,આ આંતરિક આકર્ષણ બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. આ કાર્ય સ્થિતિ ઊર્જા તરીકે સંગ્રહિત થાય છે. તેથી,સંતુલન સ્થિતિમાં પ્રવાહીની સપાટી પરના અણુઓ અંદરના ભાગમાં રહેલા અણુઓની તુલનામાં મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા ધરાવે છે.

(D) જ્યારે પ્રવાહીની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રવાહીની અંદરના અણુઓ સપાટી પર આવે છે.
જેમ જેમ આ અણુઓ સપાટી પર પહોંચે છે,તેમ તેમ સસંજક બળ (cohesive force) ની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે.
આ કાર્ય અણુઓમાં સ્થિતિ ઊર્જાના સ્વરૂપમાં સંગ્રહિત થાય છે.
આમ,સપાટી પર રહેલા અણુઓની સ્થિતિ ઊર્જા પ્રવાહીની અંદરના અણુઓ કરતા વધારે હોય છે.

(C) સાબુના પડની પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E)$ એ પૃષ્ઠતાણ $(T)$ અને કુલ ક્ષેત્રફળના ગુણાકાર જેટલી હોય છે. સાબુના પડને બે સપાટી હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ $2A$ થાય છે.
$E = T \times 2A$
જ્યારે ફ્રેમનું ક્ષેત્રફળ $50 \%$ ઘટાડવામાં આવે,ત્યારે નવું ક્ષેત્રફળ $A' = A - 0.5A = 0.5A = A/2$ થાય છે.
નવી પૃષ્ઠ ઊર્જા $(E_1)$ નીચે મુજબ છે:
$E_1 = T \times 2(A/2) = T \times A$
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ટકાવારી ફેરફાર નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\text{ટકાવારી ફેરફાર} = \frac{E - E_1}{E} \times 100$
$\text{ટકાવારી ફેરફાર} = \frac{2TA - TA}{2TA} \times 100 = \frac{TA}{2TA} \times 100 = 50 \%$
આમ,સાબુના પડની ઊર્જામાં $50 \%$ નો ફેરફાર થશે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાનો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
$R$ ત્રિજ્યાના પ્રથમ પરપોટા માટે: $W_1 = 8 \pi R^2 T_1$.
$2R$ ત્રિજ્યાના બીજા પરપોટા માટે: $W_2 = 8 \pi (2R)^2 T_2 = 32 \pi R^2 T_2$.
જો તાપમાન અચળ રહે $(T_1 = T_2)$,તો કાર્ય $W_2$ એ બરાબર $4 W_1$ થાત.
પરંતુ,દ્રાવણને ગરમ કરવાથી પૃષ્ઠતાણ ઘટે છે $(T_2 < T_1)$.
તેથી,$W_2 = 4 W_1 \times (T_2 / T_1)$. કારણ કે $T_2 < T_1$,તેથી $W_2 < 4 W_1$ થાય.

(D) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,$\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય.
ગોળાકાર પરપોટા માટે,કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r^3 = \frac{3V}{4\pi}$,અથવા $r = (\frac{3V}{4\pi})^{\frac{1}{3}}$.
ક્ષેત્રફળના સૂત્રમાં $r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = 8 \pi (\frac{3V}{4\pi})^{\frac{2}{3}}$ મળે છે,જે દર્શાવે છે કે $A \propto V^{\frac{2}{3}}$.
તેથી,કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ એ $V^{\frac{2}{3}}$ ના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $W \propto V^{\frac{2}{3}}$.
જો કદ $V$ થી બદલાઈને $2V$ થાય,તો નવું કાર્ય $W'$ એ $\frac{W'}{W} = (\frac{2V}{V})^{\frac{2}{3}} = 2^{\frac{2}{3}} = (2^2)^{\frac{1}{3}} = 4^{\frac{1}{3}}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$W' = W(4)^{\frac{1}{3}}$.

(A) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = D/2$ છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,મોટા ટીપાનું કદ એ $n = 3375$ નાના ટીપાંના કદના સરવાળા જેટલું થાય:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 3375 r^3$
બંને બાજુ ઘનમૂળ લેતા: $R = 3375^{1/3} r = 15r$,તેથી $r = R/15$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ $A_i = 4 \pi R^2$ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_f = n \times 4 \pi r^2 = 3375 \times 4 \pi (R/15)^2 = 3375 \times 4 \pi (R^2 / 225) = 15 \times 4 \pi R^2 = 60 \pi R^2$ છે.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A_f - A_i = 60 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 56 \pi R^2$ છે.
પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = S \times \Delta A = S \times 56 \pi R^2$ છે.
$R = D/2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta U = S \times 56 \pi (D/2)^2 = S \times 56 \pi (D^2 / 4) = 14 \pi D^2 S$.

(B) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$ છે. નાના ટીપાની સંખ્યા $n = 10^6$ છે. ધારો કે દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r^3 = \frac{R^3}{n} = \frac{(10^{-2})^3}{10^6} = \frac{10^{-6}}{10^6} = 10^{-12} \ m^3$.
તેથી,$r = 10^{-4} \ m$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
$\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (10^6 \times (10^{-4})^2 - (10^{-2})^2) = 4 \pi (10^6 \times 10^{-8} - 10^{-4}) = 4 \pi (10^{-2} - 10^{-4}) = 4 \pi (0.01 - 0.0001) = 4 \pi (0.0099) \ m^2$.
$\Delta U = 35 \times 10^{-3} \times 4 \times 3.1416 \times 0.0099 \approx 4356 \times 10^{-6} \ J$.

(D) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે. બે ટીપાંના જોડાણ દરમિયાન કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$2 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \Rightarrow R = 2^{1/3} r$
મોટા ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E$ એ પૃષ્ઠતાણ $T$ અને તેના પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$E = T \times 4 \pi R^2$
સમીકરણમાં $R = 2^{1/3} r$ મૂકતા:
$E = T \times 4 \pi (2^{1/3} r)^2$
$E = T \times 4 \pi \times 2^{2/3} r^2$
$E = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
અહીં $4 = 2^2$ હોવાથી,$2^2 \times 2^{2/3} = 2^{2 + 2/3} = 2^{8/3}$ થાય.
તેથી,$E = 2^{8/3} \pi r^2 T$.

(D) પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_i = 4 \pi r^2 + 4 \pi (2r)^2 = 4 \pi r^2 + 16 \pi r^2 = 20 \pi r^2$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_i = A_i S = 20 \pi r^2 S$.
કદ સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi r^3 + \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
$r^3 + 8r^3 = R^3 \implies R^3 = 9r^3 \implies R = 9^{1/3} r$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (9^{1/3} r)^2 = 4 \pi (9^{2/3}) r^2$.
આપેલ છે કે $9^{2/3} = 4.326$,તેથી $A_f = 4 \pi (4.326) r^2 = 17.304 \pi r^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા $E_f = 17.304 \pi r^2 S$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = 20 \pi r^2 S - 17.304 \pi r^2 S = 2.696 \pi r^2 S \approx 2.7 \pi r^2 S$.

(A) ટીપાંને તોડવા માટે જરૂરી ઉર્જા એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણ $T$ ના ગુણાકાર જેટલી હોય છે.
શરૂઆતના મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ = $4 \pi R^2$.
$n$ નાના ટીપાંનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ = $n \times (4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 n$.
પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો = (અંતિમ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ) - (પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ) = $4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2$.
તેથી,જરૂરી ઉર્જા $\Delta U = (4 \pi r^2 n - 4 \pi R^2) T$.

(D) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે.
આપેલ છે કે નાના ટીપાંની સંખ્યા $n = 1000$ છે.
પ્રક્રિયા દરમિયાન કદ સમાન રહેતું હોવાથી:
$V_{\text{final}} = V_{\text{initial}}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 1000 r^3 \Rightarrow R = 10r$ ...$(i)$
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જા,$SE_i = n \times (T \times 4 \pi r^2)$,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા,$SE_f = T \times 4 \pi R^2$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઉર્જા અને કુલ પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઉર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{T \times 4 \pi R^2}{n \times T \times 4 \pi r^2} = \frac{R^2}{n r^2}$
$R = 10r$ અને $n = 1000$ મૂકતા:
$\frac{SE_f}{SE_i} = \frac{(10r)^2}{1000 r^2} = \frac{100 r^2}{1000 r^2} = \frac{1}{10}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 10$ છે.

(B) પ્રવાહીના ટીપાની પૃષ્ઠ ઉર્જા $E$ નું સૂત્ર $E = T \times A$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $A$ એ ટીપાનું પૃષ્ઠફળ છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાકાર ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi r^2$ થાય.
તેથી,$E = T \times 4 \pi r^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,કુલ ઉર્જા એ પૃષ્ઠતાણ કરતા $2 \pi$ ગણી છે,તેથી $E = 2 \pi T$.
$E$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4 \pi r^2 T = 2 \pi T$.
બંને બાજુ $2 \pi T$ વડે ભાગતા ($T \neq 0$ ધારીને),આપણને $2 r^2 = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $r^2 = 1/2$.
તેથી,$r = 1/\sqrt{2}$.
ટીપાનો વ્યાસ $d = 2r = 2 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2} \ m$ થાય.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે।
શરૂઆતમાં, સાબુના પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ છે।
સમતાપી સ્થિતિમાં, ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે।
અંતિમ પૃષ્ઠફળ $A_2 = 2 \times (4 \pi (2r)^2) = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ છે।
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_2 - A_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ છે।
ખર્ચાતી ઉર્જા (કાર્ય) $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(B) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે જે હવાના સંપર્કમાં હોય છે. તેથી,પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $2 \times \Delta A$ થાય છે.
આપેલ છે:
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.03 \,N/m$
પૃષ્ઠફળ $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ માટેનું સૂત્ર:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4}$
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$

(A) આપેલ છે: મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$, નાના ટીપાની સંખ્યા $n = 10^6$, પૃષ્ઠતાણ $T = 460 \times 10^{-3} \,N/m$.
કુલ કદ અચળ રહેતું હોવાથી:
$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$10^6 \times r^3 = R^3 \implies r = \frac{R}{10^2} = 10^{-4} \,m$.
ખર્ચાયેલી ઉર્જા એ પૃષ્ઠફળમાં થતા વધારા અને પૃષ્ઠતાણના ગુણાકાર જેટલી હોય છે:
$W = \Delta A \times T = (n \times 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) \times T$
$W = 4 \pi (n r^2 - R^2) T$
$r = R/100$ મૂકતા:
$W = 4 \pi R^2 (n \times \frac{1}{10^4} - 1) T$
$W = 4 \times 3.14 \times (10^{-2})^2 \times (10^6 \times 10^{-4} - 1) \times 460 \times 10^{-3}$
$W = 4 \times 3.14 \times 10^{-4} \times 99 \times 0.46 = 0.057 \,J$.

(D) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતો સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય છે.
આપેલ છે: વ્યાસ $d = 3 \ cm$,તેથી ત્રિજ્યા $r = 1.5 \ cm = 1.5 \times 10^{-2} \ m$.
પૃષ્ઠતાણ $T = 0.035 \ N/m$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.035 \times 8 \times \pi \times (1.5 \times 10^{-2})^2$
$W = 0.035 \times 8 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W = 0.28 \times 3.14159 \times 2.25 \times 10^{-4}$
$W \approx 1.979 \times 10^{-4} \ J$
$W \approx 198 \times 10^{-6} \ J = 198 \ \mu J$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સાબુના પરપોટાની ત્રિજ્યા $r_1$ થી $r_2$ સુધી વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ છે.
$W_1$ માટે ($r$ થી $2r$): $W_1 = 8\pi T ((2r)^2 - r^2) = 8\pi T (4r^2 - r^2) = 8\pi T (3r^2) = 24\pi T r^2$.
$W_2$ માટે ($2r$ થી $3r$): $W_2 = 8\pi T ((3r)^2 - (2r)^2) = 8\pi T (9r^2 - 4r^2) = 8\pi T (5r^2) = 40\pi T r^2$.
તેથી,ગુણોત્તર $W_1: W_2 = (24\pi T r^2) : (40\pi T r^2) = 24:40 = 3:5$.

(B) પડનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે.
પાતળા પડને બે સપાટી હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળમાં ફેરફાર $\Delta A = 2 \times l \times (d_2 - d_1)$ થાય.
આપેલ છે: $l = 8 \ cm = 0.08 \ m$,$d_1 = 0.6 \ cm = 0.006 \ m$,$d_2 = 0.8 \ cm = 0.008 \ m$,અને $T = 0.07 \ N/m$.
અંતરમાં ફેરફાર $\Delta d = d_2 - d_1 = 0.8 \ cm - 0.6 \ cm = 0.2 \ cm = 0.002 \ m$.
$\Delta A = 2 \times 0.08 \ m \times 0.002 \ m = 0.00032 \ m^2$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = 0.07 \ N/m \times 0.00032 \ m^2 = 0.0000224 \ J$.
$W = 22.4 \times 10^{-6} \ J = 22.4 \ \mu J$.

(C) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4\pi r_2^2 - 4\pi r_1^2) = 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$ છે.
આપેલ છે: પૃષ્ઠતાણ $T = 3.5 \times 10^{-2} \ N/m$,પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_1 = 1 \ cm = 1 \times 10^{-2} \ m$,અંતિમ ત્રિજ્યા $r_2 = 2 \ cm = 2 \times 10^{-2} \ m$.
કાર્ય $W = T \times \Delta A = T \times 8\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times [(2 \times 10^{-2})^2 - (1 \times 10^{-2})^2]$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times (4 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4})$.
$W = 3.5 \times 10^{-2} \times 8 \times 3.14 \times 3 \times 10^{-4}$.
$W = 263.76 \times 10^{-6} \ J \approx 264 \times 10^{-6} \ J$.

(D) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W = T \cdot \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પૃષ્ઠતાણ છે અને $\Delta A$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર છે. સાબુના પરપોટા માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ છે. તેથી,$W \propto r^2$.
પરપોટાનું કદ $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ હોવાથી,આપણને $r \propto V^{1/3}$ મળે છે.
આ કિંમતને કાર્યના સંબંધમાં મૂકતા: $W \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$.
ધારો કે $V_1 = V$ કદ માટે કાર્ય $W_1 = W$ છે,અને $V_2 = 2V$ કદ માટે કાર્ય $W_2$ છે.
તેથી,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = (2)^{2/3}$.
તેથી,$W_2 = (2)^{2/3} W = (2^2)^{1/3} W = (4)^{1/3} W$.

(D) ધારો કે મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા $r$ છે. દરેક નાના ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A_s = 4\pi r^2 = 10^{-7} \,m^2$ છે.
કદ સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$, તેથી $R^3 = 64r^3$, એટલે કે $R = 4r$.
મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A_L = 4\pi R^2 = 4\pi (4r)^2 = 16(4\pi r^2) = 16 \times 10^{-7} \,m^2$ થાય.
$64$ ટીપાંનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A_{total} = 64 \times 10^{-7} \,m^2$ થાય.
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_{total} - A_L = (64 - 16) \times 10^{-7} = 48 \times 10^{-7} \,m^2$ છે.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = T \times \Delta A$ છે, જ્યાં $T = 0.07 \,N/m$.
$\Delta U = 0.07 \times 48 \times 10^{-7} = 3.36 \times 10^{-7} \,J = 336 \times 10^{-9} \,J$.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી પૃષ્ઠફળ $2 \times 4 \pi r^2 = 8 \pi r^2$ થાય.
પ્રારંભિક ત્રિજ્યા $r_i = R$.
પ્રારંભિક પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_i = T \times (8 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$.
અંતિમ વ્યાસ બમણો થાય છે,તેથી અંતિમ ત્રિજ્યા $r_f = 2R$.
અંતિમ પૃષ્ઠ ઊર્જા $U_f = T \times (8 \pi (2R)^2) = T \times (8 \pi \times 4R^2) = 32 \pi R^2 T$.
જરૂરી પૃષ્ઠ ઊર્જા $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = 32 \pi R^2 T - 8 \pi R^2 T = 24 \pi R^2 T$.

$(A)$ મોટા ટીપાની ત્રિજ્યા, $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$.
નાના ટીપાની સંખ્યા, $n = 10^6$.
પારોનું પૃષ્ઠતાણ, $T = 435 \times 10^{-3} \,N/m$.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા મોટા ટીપાને $n$ નાના ટીપામાં વિભાજિત કરવા માટે કરવું પડતું કાર્ય એ પૃષ્ઠ ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = T \times \Delta A$, જ્યાં $\Delta A$ એ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો છે。
મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_1 = 4 \pi R^2$ છે。
જો $r$ એ દરેક નાના ટીપાની ત્રિજ્યા હોય, તો કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$, જેનાથી $r = R / n^{1/3}$ મળે છે。
$n$ નાના ટીપાનું કુલ પૃષ્ઠ ક્ષેત્રફળ $A_2 = n \times 4 \pi r^2 = n \times 4 \pi (R / n^{1/3})^2 = 4 \pi R^2 n^{1/3}$ થાય。
ક્ષેત્રફળમાં થતો વધારો $\Delta A = A_2 - A_1 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$ છે。
કિંમતો મૂકતા:
$W = 4 \times \pi \times (10^{-2})^2 \times 435 \times 10^{-3} \times ((10^6)^{1/3} - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 10^{-4} \times 435 \times 10^{-3} \times (100 - 1)$
$W = 4 \times 3.14159 \times 435 \times 10^{-7} \times 99$
$W \approx 54.1 \times 10^{-3} \,J$.

(B) મોટા ટીપાનું કદ $n$ નાના ટીપાના કુલ કદ જેટલું હોય છે: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
આના પરથી,$r^3 = \frac{R^3}{n}$,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{R}{n^{1/3}}$.
મોટા ટીપાનું પૃષ્ઠફળ $A = 4 \pi R^2$ છે.
$n$ નાના ટીપાનું કુલ પૃષ્ઠફળ $A' = n \times 4 \pi r^2$ છે.
$r = R n^{-1/3}$ મૂકતા,$A' = n \times 4 \pi (R n^{-1/3})^2 = n \times 4 \pi R^2 n^{-2/3} = 4 \pi R^2 n^{1/3}$.
પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = A' - A = 4 \pi R^2 n^{1/3} - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1)$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T \times \Delta A = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$ છે.

(D) સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે।
શરૂઆતમાં, સાબુના પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A_1 = 4 \pi r^2$ છે।
તેને બે સપાટીઓ હોવાથી, અસરકારક પ્રારંભિક ક્ષેત્રફળ $S_1 = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ થાય।
સમતાપી સ્થિતિમાં, ત્રિજ્યા $2r$ થાય છે।
નવું પૃષ્ઠફળ $A_2 = 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2$ છે।
અસરકારક અંતિમ ક્ષેત્રફળ $S_2 = 2 \times (16 \pi r^2) = 32 \pi r^2$ થાય।
પૃષ્ઠફળમાં થતો વધારો $\Delta S = S_2 - S_1 = 32 \pi r^2 - 8 \pi r^2 = 24 \pi r^2$ છે।
ખર્ચાતી ઉર્જા $(W)$ એ $W = T \times \Delta S$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
તેથી, $W = T \times 24 \pi r^2 = 24 \pi T r^2$।

(B) સાબુના દ્રાવણનું પૃષ્ઠતાણ $T = 0.03 \,N/m$ આપેલ છે।
સાબુના પરપોટાનું પૃષ્ઠફળ $A = 40 \,cm^2 = 40 \times 10^{-4} \,m^2$ છે।
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે, તેથી પૃષ્ઠફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times A$ થાય।
સાબુનો પરપોટો બનાવવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$W = T \times \Delta A_{total} = T \times 2 \times A$.
કિંમતો મૂકતા:
$W = 0.03 \times 2 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 0.06 \times 40 \times 10^{-4} \,J$.
$W = 2.4 \times 10^{-4} \,J$.

(D) આપેલ છે:
સાબુના પરપોટાનો વ્યાસ $d = 5 \text{ mm} = 5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
ત્રિજ્યા $R = \frac{d}{2} = 2.5 \times 10^{-3} \text{ m}$.
પૃષ્ઠતાણ $T = \frac{1}{10 \pi} \text{ N m}^{-1}$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોય છે,તેથી કુલ પૃષ્ઠફળ $A_{total} = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$ થાય.
મુક્ત ઊર્જા $E = T \times A_{total}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$E = \left( \frac{1}{10 \pi} \right) \times 8 \pi \times (2.5 \times 10^{-3})^2$
$E = \frac{8}{10} \times 6.25 \times 10^{-6}$
$E = 0.8 \times 6.25 \times 10^{-6} = 5 \times 10^{-6} \text{ J}$.

(C) સાબુનો પરપોટો ફુલાવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય એ પરપોટામાં સંગ્રહિત પૃષ્ઠ ઉર્જા જેટલું હોય છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી, કરવામાં આવતું કાર્ય $W$ નીચે મુજબ મળે છે:
$W = T \times \Delta A = T \times 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2 T$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે $W \propto R^2$.
ધારો કે $R$ ત્રિજ્યા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_1 = W$ છે.
ધારો કે $2R$ ત્રિજ્યા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W_2$ છે.
તેથી, $\frac{W_2}{W_1} = \frac{(2R)^2}{R^2} = \frac{4R^2}{R^2} = 4$.
આમ, $W_2 = 4W$.

(A) સાબુના પરપોટાને ફુલાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે: $W = \Delta U = S \times \Delta A$.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટી હોવાથી,ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times (4 \pi r_2^2 - 4 \pi r_1^2) = 8 \pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
આપેલ છે: $S = 0.04 \ N/m$,$r_1 = 3.5 \ cm = 0.035 \ m$,$r_2 = 7 \ cm = 0.07 \ m$.
$W = 0.04 \times 8 \times \frac{22}{7} \times [(0.07)^2 - (0.035)^2]$.
$W = 0.32 \times \frac{22}{7} \times [0.0049 - 0.001225] = 0.32 \times \frac{22}{7} \times 0.003675$.
$W = 0.32 \times 22 \times 0.000525 = 0.003696 \ J = 3696 \ \mu J$.
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા: $15000 - x = 3696$.
$x = 15000 - 3696 = 11304$.

(B) ધારો કે મૂળ ટીપાની ત્રિજ્યા $R$ છે અને $512$ નાના ટીપાંમાંથી દરેકની ત્રિજ્યા $r$ છે.
કદના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\frac{4}{3}\pi R^3 = 512 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $R^3 = 512r^3$ મળે,તેથી $r = \frac{R}{8}$.
પૃષ્ઠ ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = T(A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) = T(512 \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$r = \frac{R}{8}$ મૂકતા,$\Delta U = 4\pi T (512 \times (\frac{R}{8})^2 - R^2) = 4\pi T (8R^2 - R^2) = 28\pi T R^2$ મળે.
અહીં $D = 2 \text{ mm}$ આપેલ છે,તેથી $R = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$ અને $T = 0.08 \text{ N/m}$.
$\Delta U = 28 \times 3.14159 \times 0.08 \times (10^{-3})^2 \approx 7.036 \times 10^{-6} \text{ J}$.
$\alpha \times 10^{-6} \text{ J}$ સાથે સરખાવતા,$\alpha$ નું મૂલ્ય આશરે $7$ મળે છે.

(D) સાબુના પરપોટાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ વધારવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય $W = T \times \Delta A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાબુના પરપોટાને બે સપાટીઓ (અંદરની અને બહારની) હોવાથી,સપાટીના ક્ષેત્રફળમાં થતો ફેરફાર $\Delta A = 2 \times 4\pi (r_2^2 - r_1^2) = 8\pi (r_2^2 - r_1^2)$ છે.
અહીં $T = 3.5 \times 10^{-2} \text{ N/m}$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$,અને $r_2 = 2 \text{ cm} = 0.02 \text{ m}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $W = 8 \times (22/7) \times 3.5 \times 10^{-2} \times ((0.02)^2 - (0.01)^2)$.
$W = 8 \times (22/7) \times 3.5 \times 10^{-2} \times (4 \times 10^{-4} - 1 \times 10^{-4})$.
$W = 8 \times 22 \times 0.5 \times 10^{-2} \times 3 \times 10^{-4}$.
$W = 88 \times 3 \times 10^{-6} = 264 \times 10^{-6} \text{ J}$.
આમ,$\alpha = 264$.