Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Hindi

(D) माना $\vec{V}_r$ बारिश का वेग है और $\vec{V}_m$ आदमी का वेग है।
जब आदमी दौड़ रहा होता है,तो आदमी के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{V}_{rm} = \vec{V}_r - \vec{V}_m$ होता है। दिया गया है कि यह लंबवत है,इसलिए $\vec{V}_{rm} = -10\hat{j}$।
अतः,$\vec{V}_r - \vec{V}_m = -10\hat{j}$,जिसका अर्थ है $\vec{V}_r = \vec{V}_m - 10\hat{j}$।
चूंकि आदमी क्षैतिज रूप से दौड़ रहा है,माना $\vec{V}_m = v\hat{i}$। इसलिए,$\vec{V}_r = v\hat{i} - 10\hat{j}$।
जब आदमी रुकता है,तो वह बारिश का वास्तविक वेग $\vec{V}_r$ देखता है,जो लंबवत के साथ $30^o$ का कोण बनाता है।
$\vec{V}_r$ के घटकों से,$\tan 30^o = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{v}{10}$।
इसलिए,$v = 10 \tan 30^o = 10 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}\,m/s$।

(B) कण $A$ द्वारा कण $B$ को पकड़ने के लिए,$A$ के वेग का $B$ की गति की दिशा में घटक $B$ के वेग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $A$ का वेग $v$ है। $B$ का वेग ऊर्ध्वाधर दिशा में $30 \ m/s$ है।
$A$ के $B$ को पकड़ने के लिए,$A$ के वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $B$ के वेग के बराबर होना चाहिए:
$(v_y)_A = (v_y)_B$
$v \sin 37^{\circ} = 30 \ m/s$
चूंकि $\sin 37^{\circ} = 3/5$,इसलिए:
$v \times (3/5) = 30$
$v = 30 \times (5/3) = 50 \ m/s$
अब,$B$ को पकड़ने में लगा समय वह समय है जो $A$ को $B$ के सापेक्ष $200 \ m$ की क्षैतिज दूरी तय करने के लिए आवश्यक है:
समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{सापेक्ष क्षैतिज वेग}} = \frac{200}{v \cos 37^{\circ}}$
चूंकि $\cos 37^{\circ} = 4/5$,इसलिए:
$t = \frac{200}{50 \times (4/5)} = \frac{200}{40} = 5 \ s$.

(C) मान लीजिए कि पहले जहाज का वेग $\vec{v}_A = 10 \hat{i} \, km/hr$ है।
मान लीजिए कि दूसरे जहाज का वेग $\vec{v}_B = v_B \sin(30^o) \hat{i} + v_B \cos(30^o) \hat{j}$ है।
चूंकि दूसरा जहाज हमेशा पहले जहाज के ठीक उत्तर में रहता है,इसलिए सापेक्ष वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ का पूर्व-पश्चिम दिशा में कोई घटक नहीं होना चाहिए (अर्थात $\hat{i}$ घटक शून्य होना चाहिए)।
इसलिए,$v_B \sin(30^o) - 10 = 0$.
$v_B \times (1/2) = 10$.
$v_B = 20 \, km/hr$.

(C) $P_2$ के सापेक्ष कण $P_1$ का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$ के रूप में परिभाषित है।
सदिशों के लिए त्रिभुज असमानता का उपयोग करते हुए,सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{12}| = |\vec{v}_1 + (-\vec{v}_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिभुज असमानता के अनुसार,$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$.
$\vec{a} = \vec{v}_1$ और $\vec{b} = -\vec{v}_2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $|\vec{v}_{12}| \leq |\vec{v}_1| + |-\vec{v}_2|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|-\vec{v}_2| = |\vec{v}_2|$,यह $|\vec{v}_{12}| \leq v_1 + v_2$ में सरल हो जाता है।
अतः,सापेक्ष वेग $v_{12}$ का मान व्यक्तिगत वेगों के योग $v_1 + v_2$ से अधिक नहीं हो सकता है।

(B) माना शांत जल में व्यक्ति की चाल $v_m$ है और नदी की धारा की चाल $v_r$ है।
धारा की दिशा में चाल: $v_m + v_r = \frac{10\,km}{2\,hrs} = 5\,km/h$ $...(i)$
धारा के विपरीत दिशा में चाल: $v_m - v_r = \frac{30\,km}{10\,hrs} = 3\,km/h$ $...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$2v_m = 8\,km/h \Rightarrow v_m = 4\,km/h$
शांत जल में $40\,km$ तैरने में लगा समय:
$t = \frac{\text{दूरी}}{v_m} = \frac{40\,km}{4\,km/h} = 10\,hrs$.

(B) माना स्थिर जल में आदमी का वेग $v$ है और नदी के प्रवाह का वेग $u = 5 \ m/s$ है।
सीधे सामने के बिंदु पर पहुँचने के लिए,आदमी को एक ऐसे कोण पर तैरना चाहिए कि उसका परिणामी वेग नदी के प्रवाह के लंबवत हो।
नदी के पार आदमी का प्रभावी वेग $v_{eff} = \sqrt{v^2 - u^2}$ है।
नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{eff}}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $d = 60 \ m$ नदी की चौड़ाई है।
दिए गए मानों को रखने पर: $5 = \frac{60}{\sqrt{v^2 - 5^2}}$.
$\sqrt{v^2 - 25} = \frac{60}{5} = 12$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $v^2 - 25 = 144$.
$v^2 = 144 + 25 = 169$.
$v = \sqrt{169} = 13 \ m/s$.

(B) मान लीजिए कि वर्षा का वेग $\vec{v}_r = -30\hat{j}\,ms^{-1}$ है और साइकिल का वेग $\vec{v}_b = -12\hat{i}\,ms^{-1}$ है (क्योंकि वह पूर्व से पश्चिम की ओर गति कर रही है)।
महिला के सापेक्ष वर्षा का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rb} = \vec{v}_r - \vec{v}_b = -30\hat{j} - (-12\hat{i}) = 12\hat{i} - 30\hat{j}\,ms^{-1}$ है।
वर्षा से बचने के लिए,उसे छाते को वर्षा के आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rb}$ की दिशा में पकड़ना चाहिए।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{|v_b|}{|v_r|} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(\frac{2}{5})$ है।
चूंकि आपेक्षिक वेग सदिश का $x$-घटक धनात्मक (महिला के सापेक्ष पूर्व की ओर) और $y$-घटक ऋणात्मक (नीचे की ओर) है,इसलिए वर्षा पूर्व दिशा से आती हुई प्रतीत होती है। इसलिए,वर्षा को रोकने के लिए उसे अपना छाता पश्चिम की ओर झुकाना चाहिए।

(A) से $B$ तक सीधी रेखा में यात्रा करने के लिए जबकि $v$ गति की हवा $AB$ के लंबवत बह रही हो,हवाई जहाज को एक ऐसे कोण पर उड़ना होगा कि उसका परिणामी वेग सदिश सीधे $AB$ की दिशा में हो।
मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष हवाई जहाज का परिणामी वेग $V_g$ है।
पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करते हुए,$V^2 = V_g^2 + v^2$,जिससे जमीन पर गति $V_g = \sqrt{V^2 - v^2}$ प्राप्त होती है।
$A$ से $B$ तक यात्रा करने में लगा समय $t_1 = \frac{\ell}{V_g} = \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}}$ है।
इसी प्रकार,$B$ से $A$ तक वापस आने में लगा समय $t_2 = \frac{\ell}{V_g} = \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}}$ है।
राउंड ट्रिप के लिए कुल समय $T = t_1 + t_2 = \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}} + \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}} = \frac{2\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}}$ है।

(C) मान लीजिए $\vec{V}_R$ बारिश का वास्तविक वेग (लंबवत नीचे की ओर) है और $\vec{V}_M$ व्यक्ति का वेग ($12 \ km/h$ क्षैतिज रूप से) है।
व्यक्ति के सापेक्ष बारिश का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{RM} = \vec{V}_R - \vec{V}_M$ है।
वेक्टर आरेख से,ऊर्ध्वाधर ($\vec{V}_R$ की दिशा) और सापेक्ष वेग वेक्टर $\vec{V}_{RM}$ के बीच का कोण $\theta = 60^{\circ}$ है।
$\vec{V}_R$,$\vec{V}_M$,और $\vec{V}_{RM}$ द्वारा निर्मित समकोण त्रिभुज में त्रिकोणमिति का उपयोग करते हुए:
$\tan(60^{\circ}) = \frac{\text{लंब}}{\text{आधार}} = \frac{V_M}{V_R}$
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{3} = \frac{12}{V_R}$
$V_R$ के लिए हल करने पर:
$V_R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \times \sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \ km/h$.

(C) मान लीजिए एस्केलेटर की लंबाई $L$ है।
रुके हुए एस्केलेटर पर व्यक्ति के चलने की गति $v_p = \frac{L}{60}$ है।
एस्केलेटर की गति $v_e = \frac{L}{40}$ है।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर चलता है,तो उसकी प्रभावी गति $v_{eff} = v_p + v_e$ होती है।
$v_{eff} = \frac{L}{60} + \frac{L}{40} = L \left( \frac{2+3}{120} \right) = \frac{5L}{120} = \frac{L}{24}$.
$L$ दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{L}{v_{eff}} = \frac{L}{L/24} = 24\,s$ है।

(A) यात्री ट्रेन द्वारा मालगाड़ी को पूरी तरह से पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी उनकी लंबाई का योग है: $D = 60\, m + 120\, m = 180\, m = 0.18\, km$.
$(i)$ जब वे एक ही दिशा में चल रहे हों,तो सापेक्ष गति $v_{rel} = 80 - 30 = 50\, km/hr$ होती है।
लिया गया समय $t_1 = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{0.18}{50}\, hr$ है।
$(ii)$ जब वे विपरीत दिशा में चल रहे हों,तो सापेक्ष गति $v_{rel} = 80 + 30 = 110\, km/hr$ होती है।
लिया गया समय $t_2 = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{0.18}{110}\, hr$ है।
समय का अनुपात $\frac{t_1}{t_2} = \frac{0.18 / 50}{0.18 / 110} = \frac{110}{50} = \frac{11}{5} = 2.2$ है।

(C) मान लीजिए जहाज $A$ की स्थिति मूल बिंदु $(0,0)$ पर है।
प्रारंभिक स्थिति सदिश $\vec{r}_A = 0\hat{i} + 0\hat{j}$ और $\vec{r}_B = 80\hat{i} + 150\hat{j}$ हैं।
वेग सदिश $\vec{v}_A = 30\hat{i} + 50\hat{j}$ और $\vec{v}_B = -10\hat{i}$ हैं।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = 80\hat{i} + 150\hat{j}$ है।
सापेक्ष वेग सदिश $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (-10\hat{i}) - (30\hat{i} + 50\hat{j}) = -40\hat{i} - 50\hat{j}$ है।
न्यूनतम दूरी के लिए समय $t = -\frac{\vec{r}_{BA} \cdot \vec{v}_{BA}}{|\vec{v}_{BA}|^2}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$t = -\frac{(80\hat{i} + 150\hat{j}) \cdot (-40\hat{i} - 50\hat{j})}{(-40)^2 + (-50)^2}$
$t = -\frac{(80 \times -40) + (150 \times -50)}{1600 + 2500}$
$t = -\frac{-3200 - 7500}{4100} = \frac{10700}{4100} = \frac{107}{41} \approx 2.61\,\text{hrs}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,समय $2.6\,\text{hrs}$ है।

(C) नदी को सीधा पार करने के लिए,तैराक के वेग का नदी के प्रवाह के लंबवत घटक को नदी के वेग को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $\theta$ वह कोण है जो तैराक नदी के प्रवाह के लंबवत रेखा के साथ बनाता है।
नदी का वेग $v_r = 2\,km/h$ है।
तैराक का वेग $v_s = 4\,km/h$ है।
तैराक के सीधे पार जाने के लिए,तैराक के वेग का क्षैतिज घटक नदी के वेग के बराबर होना चाहिए:
$v_s \sin \theta = v_r$
$4 \sin \theta = 2$
$\sin \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^\circ$ (लंबवत रेखा के सापेक्ष)।
नदी के प्रवाह की दिशा के सापेक्ष कोण $90^\circ + \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ होगा।

(D) माना कि जमीन के सापेक्ष बेल्ट का वेग $v_{BG} = 4 \, km \, h^{-1}$ है।
माना कि बेल्ट के सापेक्ष बच्चे का वेग $v_{CB} = 9 \, km \, h^{-1}$ है।
हमें जमीन के सापेक्ष बच्चे का वेग $(v_{CG})$ ज्ञात करना है जब बच्चा बेल्ट की गति की दिशा में दौड़ रहा हो।
सापेक्ष वेग के सूत्र के अनुसार: $v_{CG} = v_{CB} + v_{BG}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v_{CG} = 9 \, km \, h^{-1} + 4 \, km \, h^{-1} = 13 \, km \, h^{-1}$.
अतः,एक स्थिर प्लेटफॉर्म पर खड़े प्रेक्षक के लिए,बेल्ट की गति की दिशा में दौड़ते हुए बच्चे की गति $13 \, km \, h^{-1}$ है।

(C) माना बेल्ट के सापेक्ष बच्चे की चाल $v_{cb} = 9\,km/h$ है।
माना जमीन (प्लेटफॉर्म) के सापेक्ष बेल्ट की चाल $v_{bg} = 4\,km/h$ है।
हमें जमीन के सापेक्ष बच्चे की चाल $(v_{cg})$ ज्ञात करनी है जब बच्चा बेल्ट की गति की दिशा में दौड़ रहा हो।
सापेक्ष वेग की अवधारणा का उपयोग करते हुए: $v_{cg} = v_{cb} + v_{bg}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $v_{cg} = 9\,km/h + 4\,km/h = 13\,km/h$।
अतः,प्लेटफॉर्म पर खड़े प्रेक्षक के लिए,बेल्ट की गति की दिशा में बच्चे की चाल $13\,km/h$ है।

(A) मान लीजिए कि कार $A$ और $B$ की गति $v_A = v_B = 45\,km/h$ एक ही दिशा में है।
मान लीजिए कि कार $C$ की गति $v_C = 36\,km/h$ विपरीत दिशा में है।
कार $A$ और $B$ के सापेक्ष कार $C$ की सापेक्ष गति $v_{rel} = v_A + v_C = 45 + 36 = 81\,km/h$ होगी।
चूंकि कार $C$,कार $A$ और कार $B$ से $\Delta t = 5\,min = \frac{5}{60}\,h = \frac{1}{12}\,h$ के समय अंतराल पर मिलती है,इसलिए कार $A$ और $B$ के बीच की दूरी $d$ उनकी सापेक्ष गति और समय अंतराल के गुणनफल के बराबर होगी।
$d = v_{rel} \times \Delta t = 81 \times \frac{1}{12} = 6.75\,km$.

(D) मान लीजिए कि दक्षिण से उत्तर की दिशा $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा है।
ट्रेन का वेग,$v_{T} = +10 \; m/s$.
तोते का वेग,$v_{P} = -5 \; m/s$.
ट्रेन के सापेक्ष तोते का आपेक्षिक वेग $v_{PT} = v_{P} - v_{T}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{PT} = (-5 \; m/s) - (+10 \; m/s) = -15 \; m/s$.
आपेक्षिक वेग का परिमाण $15 \; m/s$ है,जिसका अर्थ है कि ट्रेन के सापेक्ष तोता उत्तर से दक्षिण की ओर $15 \; m/s$ की गति से चलता हुआ प्रतीत होता है।
ट्रेन की लंबाई $L = 150 \; m$ है।
अतः,तोते द्वारा ट्रेन को पार करने में लिया गया समय $t = \frac{L}{|v_{PT}|} = \frac{150 \; m}{15 \; m/s} = 10 \; s$ है।

(A) मान लीजिए कि आदमी का वेग $\vec{v}_m = 5 \, m/s$ (क्षैतिज) है और बारिश का वेग $\vec{v}_r = v \, m/s$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) है।
आदमी के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ है।
यह सापेक्ष वेग सदिश $\vec{v}_{rm}$ ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है।
सदिश घटकों का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan 45^{\circ} = \frac{|v_m|}{|v_r|} = \frac{5}{v}$ है।
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें $1 = \frac{5}{v}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v = 5 \, m/s$।

(A) दिया गया है:
कण $A$ का वेग,$\vec{v}_A = 3\hat{j}\,km/h$
कण $B$ का वेग,$\vec{v}_B = -4\hat{i}\,km/h$
$B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v}_{AB} = 3\hat{j} - (-4\hat{i}) = 4\hat{i} + 3\hat{j}\,km/h$.
आपेक्षिक वेग का परिमाण $|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,km/h$ है।
दिशा ज्ञात करने के लिए,मान लीजिए कि $\alpha$ पूर्व दिशा (धनात्मक $x$-अक्ष) के साथ बना कोण है।
$\tan \alpha = \frac{v_{AB,y}}{v_{AB,x}} = \frac{3}{4}$.
चूंकि $\tan 37^{\circ} = 3/4$,इसलिए $\alpha = 37^{\circ}$ है।
अतः,दिशा पूर्व के उत्तर में $37^{\circ}$ है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) नदी को सबसे कम समय में पार करने के लिए,तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत अपने वेग के घटक को अधिकतम करना चाहिए।
मान लीजिए कि स्थिर जल में व्यक्ति का वेग $v_m = 20\,m/min$ है और नदी का वेग $v_r = 8\,m/min$ है।
$d$ चौड़ाई वाली नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_m \cos \theta}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ नदी के किनारे के लंबवत के साथ बना कोण है।
$t$ को न्यूनतम करने के लिए,हर (denominator) $v_m \cos \theta$ को अधिकतम होना चाहिए।
यह तब होता है जब $\cos \theta = 1$,जिसका अर्थ है $\theta = 0^{\circ}$।
इसलिए,व्यक्ति को नदी के प्रवाह के लंबवत तैरना चाहिए,जो कि सीधे उत्तर दिशा है।

(C) मान लीजिए कि चोर की कार की दिशा धनात्मक है।
जमीन के सापेक्ष चोर की कार का वेग: $v_{TG} = 10\,m/s$.
जमीन के सापेक्ष पुलिस वैन का वेग: $v_{PG} = 5\,m/s$.
पुलिस वैन के सापेक्ष गोली का मज़ल वेग: $v_{BP} = 72\,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$.
जमीन के सापेक्ष गोली का वेग: $v_{BG} = v_{BP} + v_{PG} = 20 + 5 = 25\,m/s$.
चोर की कार के सापेक्ष गोली का वेग: $v_{BT} = v_{BG} - v_{TG} = 25 - 10 = 15\,m/s$.
अतः,गोली $15\,m/s$ की गति से कार से टकराएगी।

(B) मान लीजिए कि दोनों कारों की गति $v_1$ और $v_2$ है (जहाँ $v_1 > v_2$)।
विपरीत दिशाओं में यात्रा करते समय,सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होती है:
$v_1 + v_2 = \frac{8\,m}{1\,s} = 8\,ms^{-1}$ (समीकरण $1$)
समान दिशा में यात्रा करते समय,सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का अंतर होती है:
$v_1 - v_2 = \frac{0.8\,m}{1\,s} = 0.8\,ms^{-1}$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 8 + 0.8$
$2v_1 = 8.8$
$v_1 = 4.4\,ms^{-1}$
समीकरण $1$ में $v_1$ का मान रखने पर:
$4.4 + v_2 = 8$
$v_2 = 8 - 4.4 = 3.6\,ms^{-1}$
अतः,दोनों कारों की गति $4.4\,ms^{-1}$ और $3.6\,ms^{-1}$ है।

(A) मान लीजिए प्रत्येक ट्रेन की गति $v$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,पहली ट्रेन का वेग $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ और दूसरी ट्रेन का वेग $\vec{v}_2 = -v \hat{i}$ मान लें।
हवा ट्रैक के साथ $u$ गति से चल रही है,इसलिए इसका वेग $\vec{v}_w = u \hat{i}$ है।
हवा के सापेक्ष पहली ट्रेन का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{1w} = \vec{v}_1 - \vec{v}_w = (v - u) \hat{i}$ है।
हवा के सापेक्ष दूसरी ट्रेन का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{2w} = \vec{v}_2 - \vec{v}_w = (-v - u) \hat{i} = -(v + u) \hat{i}$ है।
इन सापेक्ष वेगों के परिमाणों का अनुपात $1:2$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{|v - u|}{|-(v + u)|} = \frac{1}{2}$।
यह मानते हुए कि $v > u$,हमारे पास $\frac{v - u}{v + u} = \frac{1}{2}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $2(v - u) = v + u$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $2v - 2u = v + u$ हो जाता है।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = 3u$ प्राप्त होता है।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि पानी की बूंदें नली की दीवारों को छुए बिना अंदर प्रवेश करें,नली को लड़के के सापेक्ष वर्षा के आपेक्षिक वेग की दिशा में संरेखित होना चाहिए।
मान लीजिए लड़के का वेग $\vec{v}_b = v \hat{i}$ है और वर्षा का वेग $\vec{v}_r = -u \hat{j}$ है।
लड़के के सापेक्ष वर्षा का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rb} = \vec{v}_r - \vec{v}_b = -u \hat{j} - v \hat{i}$ है।
परिणामी वेग सदिश द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{v}{u}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)$ है।

(D) माना एस्केलेटर की लंबाई $s$ है।
एस्केलेटर के सापेक्ष व्यक्ति की चाल $v_p = \frac{s}{90}$ है।
एस्केलेटर की चाल $v_e = \frac{s}{60}$ है।
जब व्यक्ति चलते हुए एस्केलेटर पर चलता है,तो उसकी प्रभावी चाल $v_{eff} = v_p + v_e$ होती है।
$v_{eff} = \frac{s}{90} + \frac{s}{60} = s \left( \frac{2 + 3}{180} \right) = \frac{5s}{180} = \frac{s}{36}$.
दूरी $s$ को तय करने में लगा समय $t = \frac{s}{v_{eff}} = \frac{s}{s/36} = 36 \, s$ होगा।

(B) माना जहाज $X$ का वेग $\vec{v}_X = v\hat{j}$ है।
दिया गया है कि $X$ के सापेक्ष $Y$ का वेग $\vec{v}_{YX} = -v\hat{i}$ है (क्योंकि यह पश्चिम की ओर गति करता हुआ प्रतीत होता है)।
सापेक्ष वेग की परिभाषा के अनुसार $\vec{v}_{YX} = \vec{v}_Y - \vec{v}_X$ होता है।
अतः,$Y$ का वास्तविक वेग $\vec{v}_Y = \vec{v}_{YX} + \vec{v}_X$ होगा।
मान रखने पर: $\vec{v}_Y = -v\hat{i} + v\hat{j}$।
इसका परिमाण $|\vec{v}_Y| = \sqrt{(-v)^2 + v^2} = \sqrt{2}v$ है।
इसकी दिशा उत्तर-पश्चिम है क्योंकि सदिश का $x$-घटक ऋणात्मक (पश्चिम) और $y$-घटक धनात्मक (उत्तर) है।

(C) माना नदी के सापेक्ष तैराक का वेग $v_r$ है।
तैराक नदी के प्रवाह $v$ के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर दिशा रखता है। नदी के प्रवाह के लंबवत घटक $v_r \cos 30^{\circ}$ होगा।
नदी पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_r \cos 30^{\circ}} = \frac{d}{v_r (\sqrt{3}/2)} = \frac{2d}{\sqrt{3} v_r}$ है।
नदी के प्रवाह की दिशा में बहाव $x = (v - v_r \sin 30^{\circ})t$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $x = d/2$,इसलिए $d/2 = (v - v_r/2) \left( \frac{2d}{\sqrt{3} v_r} \right)$.
सरल करने पर,$1/2 = \frac{2v - v_r}{\sqrt{3} v_r} \implies \sqrt{3} v_r = 4v - 2v_r$.
$v_r(2 + \sqrt{3}) = 4v \implies v_r = \frac{4v}{2 + \sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $v_r = \frac{4v(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4v(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 4(2 - \sqrt{3})v$.

(D) मान लीजिए कि बारिश का वेग $\vec{v}_r = -v \hat{j}$ है,जहाँ $v$ बारिश की गति है।
मान लीजिए कि ट्रेन का वेग $\vec{v}_t = v \hat{i}$ है (पूर्व की ओर गति)।
ट्रेन के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rt} = \vec{v}_r - \vec{v}_t$ है।
मान रखने पर,हमें $\vec{v}_{rt} = -v \hat{j} - v \hat{i} = -v(\hat{i} + \hat{j})$ प्राप्त होता है।
इस सदिश की दिशा तीसरे चतुर्थांश में है,जो दक्षिण और पश्चिम के बीच की दिशा है। यात्री के दृष्टिकोण से सापेक्ष गति को देखते हुए,बारिश परिणामी वेग सदिश की विपरीत दिशा से आती हुई दिखाई देती है।
अतः,बारिश लंबवत से $45^o$ के कोण पर पश्चिम की ओर गिरती हुई दिखाई देगी।

(B) मान लीजिए झील के पार की दूरी $S$ है।
शांत दिन पर,नाव की गति $V$ है। जाने और वापस आने में लिया गया समय $T_0 = \frac{S}{V} + \frac{S}{V} = \frac{2S}{V}$ है।
खराब दिन पर,धारा की गति $v$ है। आगे की यात्रा के दौरान गति $(V + v)$ है और वापसी की यात्रा के दौरान $(V - v)$ है।
कुल लिया गया समय $T = \frac{S}{V + v} + \frac{S}{V - v}$ है।
$T = S \left( \frac{V - v + V + v}{V^2 - v^2} \right) = \frac{2SV}{V^2 - v^2}$ है।
अब,अनुपात $T / T_0$ की गणना करते हुए:
$T / T_0 = \frac{2SV / (V^2 - v^2)}{2S / V} = \frac{V^2}{V^2 - v^2}$ है।
अंश और हर को $V^2$ से विभाजित करने पर,हमें $T / T_0 = \frac{1}{1 - v^2 / V^2}$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए $L$ झील की लंबाई है और $V$ पानी के सापेक्ष नाव का वेग है।
शांत दिन पर,पानी का वेग $0$ है। राउंड ट्रिप के लिए लिया गया समय:
$t_{Q} = \frac{L}{V} + \frac{L}{V} = \frac{2L}{V} \quad ...(i)$
खराब दिन पर,मान लीजिए $v$ समान धारा का वेग है। आगे की यात्रा के दौरान,प्रभावी गति $(V + v)$ है,और वापसी की यात्रा के दौरान,प्रभावी गति $(V - v)$ है।
खराब दिन पर राउंड ट्रिप के लिए लिया गया समय:
$t_{R} = \frac{L}{V + v} + \frac{L}{V - v} = \frac{L(V - v) + L(V + v)}{V^{2} - v^{2}} = \frac{2LV}{V^{2} - v^{2}} = \frac{2L}{V(1 - (v/V)^{2})} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$t_{R} = t_{Q} \times \frac{1}{1 - (v/V)^{2}}$
चूंकि $(v/V)^{2} > 0$,हर $1 - (v/V)^{2} < 1$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{1 - (v/V)^{2}} > 1$.
इसलिए,$t_{R} > t_{Q}$। खराब दिन पर आवश्यक समय अधिक होगा।

(A) दिया गया है,पहली कार की गति $v_1 = 18\,km/h$ है।
दूसरी कार की गति $v_2 = 27\,km/h$ है।
चूंकि कारें एक-दूसरे की ओर गति कर रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति $v_{rel} = v_1 + v_2 = 18 + 27 = 45\,km/h$ होगी।
कारों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 36\,km$ है।
कारों के मिलने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{36}{45} = 0.8\,h$ है।
पक्षी लगातार $v_b = 36\,km/h$ की स्थिर गति से तब तक उड़ता है जब तक कारें मिल नहीं जातीं।
अतः,पक्षी द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = v_b \times t = 36 \times 0.8 = 28.8\,km$ है।

(A) चौड़ाई वाली नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_y}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_y$ नदी के प्रवाह के लंबवत दिशा में नदी के सापेक्ष नाव के वेग का घटक है।
यदि नदी के सापेक्ष दो नावों के वेग का परिमाण समान है $(v_1 = v_2 = v)$,और वे नदी के किनारे के लंबवत दिशा के साथ समान कोण $\theta$ पर निर्देशित हैं,तो उनके लंबवत घटक $v_y = v \cos \theta$ होंगे।
चूंकि $v$ और $\theta$ दोनों नावों के लिए समान हैं,इसलिए उनके लंबवत घटक $v_y$ समान हैं।
इसलिए,दोनों नावें नदी को समान समय $t = \frac{d}{v \cos \theta}$ में पार करेंगी,भले ही वे नदी के प्रवाह के कारण अलग-अलग रास्तों का अनुसरण करें।
अतः,Assertion और Reason दोनों सही हैं,और Reason,Assertion की सही व्याख्या है।

(A) माना स्थिर जल में तैराक की चाल $v = 20 \; m/s$ है और नदी की चाल $u = 10 \; m/s$ है।
नदी को सबसे छोटे रास्ते (नदी के प्रवाह के लंबवत) से पार करने के लिए,तैराक को उत्तर (तट के लंबवत) के सापेक्ष $\theta$ कोण पर तैरना चाहिए ताकि उसके वेग का क्षैतिज घटक नदी के वेग को संतुलित कर सके।
वेग सदिश त्रिभुज की ज्यामिति से,हमारे पास है:
$\sin \theta = \frac{u}{v}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
अतः,$\theta = \arcsin(1/2) = 30^{\circ}$।
इस प्रकार,तैराक को उत्तर से पश्चिम की ओर $30^{\circ}$ के कोण पर तैरना चाहिए।

(C) पहले कण का वेग उसके स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होता है: $v_x = \frac{dx}{dt} = 8 - 6t$। $t = 1 \; s$ पर,$v_x = 8 - 6(1) = 2 \; m/s$। अतः,$\vec{v}_1 = 2 \hat{i} \; m/s$।
दूसरे कण का वेग उसकी स्थिति का समय के सापेक्ष अवकलन करने पर प्राप्त होता है: $v_y = \frac{dy}{dt} = -24t^2$। $t = 1 \; s$ पर,$v_y = -24(1)^2 = -24 \; m/s$। अतः,$\vec{v}_2 = -24 \hat{j} \; m/s$।
पहले कण के सापेक्ष दूसरे कण का वेग $\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = -2 \hat{i} - 24 \hat{j}$ है।
पहले कण के फ्रेम में दूसरे कण की चाल सापेक्ष वेग का परिमाण है: $|\vec{v}_{21}| = \sqrt{(-2)^2 + (-24)^2} = \sqrt{4 + 576} = \sqrt{580}$।
यह दिया गया है कि चाल $\sqrt{v}$ है,इसलिए $\sqrt{v} = \sqrt{580}$,जिसका अर्थ है $v = 580$।

(N/A) दृष्टि रेखा (Line of sight) को एक वस्तु और प्रेक्षक की आंख को जोड़ने वाली एक काल्पनिक रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है।
जब हम चलती ट्रेन में बैठकर पास की स्थिर वस्तुओं जैसे पेड़ों या घरों का अवलोकन करते हैं,तो जैसे-जैसे हम उनके पास से गुजरते हैं,हमारी आंख पर इन वस्तुओं द्वारा बनाया गया कोण बहुत तेजी से बदलता है। दृष्टि रेखा की दिशा में इस तीव्र परिवर्तन के कारण वे विपरीत दिशा में तेजी से चलते हुए दिखाई देते हैं।
दूसरी ओर,पहाड़ों की चोटियों,चंद्रमा या तारों जैसी दूर की वस्तुओं के लिए,दूरी इतनी अधिक होती है कि ट्रेन द्वारा महत्वपूर्ण दूरी तय करने पर भी दृष्टि रेखा के कोण में परिवर्तन नगण्य होता है। परिणामस्वरूप,ये वस्तुएं स्थिर या प्रेक्षक के साथ धीरे-धीरे चलती हुई प्रतीत होती हैं।

(A) संबंध $\tan \theta = v$ गलत है।
विमीय विश्लेषण:
$L.H.S$ की विमा $= \tan \theta = [M^0 L^0 T^0]$ (विमाहीन)।
$R.H.S$ की विमा $= v = [L T^{-1}]$।
चूँकि $L.H.S$ और $R.H.S$ की विमाएँ मेल नहीं खाती हैं,इसलिए समीकरण विमीय रूप से असंगत है।
इसे विमीय रूप से सही बनाने के लिए,$R.H.S$ को भी विमाहीन होना चाहिए। इसे $v$ को बारिश की गति $v'$ से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है,जो कि स्वयं एक वेग है।
अतः,सही संबंध $\tan \theta = \frac{v}{v'}$ है,जहाँ $v'$ बारिश की गति है।

(D) मान लीजिए कि $x-$अक्ष की धनात्मक दिशा दक्षिण से उत्तर की ओर है।
अतः,ट्रेन $A$ का वेग $v_{A} = +54 \; km \; h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = +15 \; m \; s^{-1}$ है।
ट्रेन $B$ का वेग $v_{B} = -90 \; km \; h^{-1} = -90 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = -25 \; m \; s^{-1}$ है।
$A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग $v_{BA} = v_{B} - v_{A}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$v_{BA} = -25 \; m \; s^{-1} - (+15 \; m \; s^{-1}) = -40 \; m \; s^{-1}$ प्राप्त होता है।
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि ट्रेन $B$,$A$ को उत्तर से दक्षिण की ओर $40 \; m \; s^{-1}$ की गति से चलती हुई प्रतीत होती है।

(A) मान लीजिए कि $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा दक्षिण से उत्तर की ओर है।
ट्रेन $A$ का वेग $v_{A} = +54 \; km \; h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = 15 \; m \; s^{-1}$ है।
ट्रेन $B$ का वेग $v_{B} = -90 \; km \; h^{-1} = -90 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = -25 \; m \; s^{-1}$ है।
ट्रेन $B$ के सापेक्ष जमीन का वेग $v_{GB} = v_{G} - v_{B}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि जमीन स्थिर है,इसलिए $v_{G} = 0 \; m \; s^{-1}$ है।
अतः,$v_{GB} = 0 - (-25 \; m \; s^{-1}) = +25 \; m \; s^{-1}$ है।
इस प्रकार,ट्रेन $B$ के सापेक्ष जमीन का वेग उत्तर दिशा में $25 \; m \; s^{-1}$ है।

(B) मान लीजिए कि $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा दक्षिण से उत्तर की ओर है।
ट्रेन $A$ का वेग $v_{A} = +54\; km\; h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18}\; m\; s^{-1} = +15\; m\; s^{-1}$ है।
ट्रेन $A$ के सापेक्ष बंदर का वेग $v_{MA} = -18\; km\; h^{-1}$ है (क्योंकि यह ट्रेन की गति के विपरीत दिशा में दौड़ रहा है)।
इसे $m\; s^{-1}$ में बदलने पर: $v_{MA} = -18 \times \frac{5}{18}\; m\; s^{-1} = -5\; m\; s^{-1}$।
हम जानते हैं कि ट्रेन $A$ के सापेक्ष बंदर का आपेक्षिक वेग $v_{MA} = v_{M} - v_{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_{M}$ जमीन के सापेक्ष बंदर का वेग है।
मान रखने पर: $-5\; m\; s^{-1} = v_{M} - 15\; m\; s^{-1}$।
अतः,$v_{M} = 15\; m\; s^{-1} - 5\; m\; s^{-1} = 10\; m\; s^{-1}$।

(C) मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष जेट विमान का वेग $v_p = 500 \; km \; h^{-1}$ है।
मान लीजिए कि जेट विमान के सापेक्ष दहन उत्पादों का वेग $v_{cp/p} = -1500 \; km \; h^{-1}$ है (क्योंकि वे विमान की गति की विपरीत दिशा में उत्सर्जित होते हैं)।
जमीन के सापेक्ष दहन उत्पादों का वेग $v_{cp}$ सापेक्ष वेग के सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_{cp/p} = v_{cp} - v_p$
मान रखने पर:
$-1500 = v_{cp} - 500$
$v_{cp} = -1500 + 500 = -1000 \; km \; h^{-1}$।
गति वेग का परिमाण है,जो $1000 \; km \; h^{-1}$ है।

(B) सबसे पहले,सभी गतियों को $m/s$ में बदलें:
$v_A = 36 \times (5/18) = 10 \; m/s$.
$v_B = 54 \times (5/18) = 15 \; m/s$.
$v_C = 54 \times (5/18) = 15 \; m/s$.
कार $A$ के सापेक्ष कार $B$ का आपेक्षिक वेग $v_{BA} = v_B - v_A = 15 - 10 = 5 \; m/s$ है।
कार $A$ के सापेक्ष कार $C$ का आपेक्षिक वेग $v_{CA} = v_C - (-v_A) = 15 + 10 = 25 \; m/s$ है।
दूरी $s = 1 \; km = 1000 \; m$ है।
कार $C$ द्वारा कार $A$ तक पहुँचने में लिया गया समय $t = s / v_{CA} = 1000 / 25 = 40 \; s$ है।
दुर्घटना से बचने के लिए,कार $B$ को $t = 40 \; s$ में $1000 \; m$ की दूरी तय करनी होगी।
गति के समीकरण $s = u_{BA}t + (1/2)at^2$ का उपयोग करते हुए:
$1000 = 5 \times 40 + (1/2) \times a \times (40)^2$.
$1000 = 200 + 800a$.
$800 = 800a$.
$a = 1 \; m/s^2$.

(C) मान लीजिए बस की गति $V$ है। साइकिल सवार की गति $v = 20 \; km/h$ है।
जब बस साइकिल सवार की दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(V - 20) \; km/h$ होती है। बस साइकिल सवार को हर $18 \; min = 18/60 \; h$ में पार करती है। दो लगातार बसों के बीच की दूरी $V \times (T/60)$ है। अतः,$(V - 20) \times (18/60) = V \times (T/60) \implies (V - 20) \times 18 = VT \quad \dots (i)$.
जब बस विपरीत दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(V + 20) \; km/h$ होती है। बस साइकिल सवार को हर $6 \; min = 6/60 \; h$ में पार करती है। अतः,$(V + 20) \times (6/60) = V \times (T/60) \implies (V + 20) \times 6 = VT \quad \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$(V - 20) \times 18 = (V + 20) \times 6$
$3(V - 20) = V + 20$
$3V - 60 = V + 20$
$2V = 80 \implies V = 40 \; km/h$.
$V = 40$ का मान समीकरण $(ii)$ में रखने पर:
$(40 + 20) \times 6 = 40 \times T$
$60 \times 6 = 40T$
$360 = 40T \implies T = 9 \; min$.

(C) सबसे पहले,गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने के लिए $\frac{5}{18}$ से गुणा करें।
पुलिस वैन की गति,$v_p = 30 \times \frac{5}{18} = 8.33\; m/s$.
चोर की कार की गति,$v_t = 192 \times \frac{5}{18} = 53.33\; m/s$.
पुलिस वैन के सापेक्ष गोली की मज़ल गति $v_{b/p} = 150\; m/s$ है।
जमीन के सापेक्ष गोली का वेग $v_b = v_{b/p} + v_p = 150 + 8.33 = 158.33\; m/s$ होगा।
चोर की कार के सापेक्ष गोली का आपेक्षिक वेग $v_{b/t} = v_b - v_t$ होगा।
$v_{b/t} = 158.33 - 53.33 = 105\; m/s$.

(N/A) बेल्ट की गति,$v_{B} = 4 \; km \; h^{-1}$.
बेल्ट के सापेक्ष बच्चे की गति,$v_{c} = 9 \; km \; h^{-1}$.
$(a)$ चूंकि बच्चा बेल्ट की गति की दिशा में ही दौड़ रहा है,स्थिर प्रेक्षक द्वारा देखी गई उसकी गति:
$v_{a} = v_{c} + v_{B} = 9 + 4 = 13 \; km \; h^{-1}$.
$(b)$ चूंकि बच्चा बेल्ट की गति की विपरीत दिशा में दौड़ रहा है,स्थिर प्रेक्षक द्वारा देखी गई उसकी गति:
$v_{b} = v_{c} - v_{B} = 9 - 4 = 5 \; km \; h^{-1}$.
$(c)$ माता-पिता के बीच की दूरी,$d = 50 \; m = 0.05 \; km$.
चूंकि दोनों माता-पिता चलती बेल्ट पर हैं,माता-पिता के सापेक्ष बच्चे की सापेक्ष गति हमेशा $9 \; km \; h^{-1}$ रहेगी।
गति को $m \; s^{-1}$ में बदलने पर: $9 \; km \; h^{-1} = 9 \times \frac{5}{18} = 2.5 \; m \; s^{-1}$.
लिया गया समय,$t = \frac{d}{v_{c}} = \frac{50 \; m}{2.5 \; m \; s^{-1}} = 20 \; s$.
यदि गति को माता-पिता में से किसी एक द्वारा देखा जाता है,तो $(a)$ और $(b)$ के उत्तर बदल जाएंगे क्योंकि माता-पिता बेल्ट के संदर्भ फ्रेम में ही हैं। माता-पिता के लिए बच्चे की गति दिशा की परवाह किए बिना हमेशा $9 \; km \; h^{-1}$ रहती है। लिया गया समय अपरिवर्तित रहता है।

(N/A) बारिश का वेग $(v_r)$ और हवा का वेग $(v_w)$ चित्र में दिखाए गए सदिशों (vectors) द्वारा दर्शाया गया है। बारिश ऊर्ध्वाधर नीचे गिरती है और हवा पूर्व से पश्चिम की ओर चलती है।
सदिश योग के नियम का उपयोग करते हुए,जमीन के सापेक्ष बारिश का परिणामी वेग $R$,$v_r$ और $v_w$ का सदिश योग है।
परिणामी वेग $R$ का परिमाण इस प्रकार है:
$R = \sqrt{v_r^2 + v_w^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} \; m s^{-1} = \sqrt{1225 + 144} \; m s^{-1} = \sqrt{1369} \; m s^{-1} = 37 \; m s^{-1}$.
परिणामी वेग $R$ द्वारा ऊर्ध्वाधर के साथ बनाया गया कोण $\theta$ इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{v_w}{v_r} = \frac{12}{35} \approx 0.343$.
$\theta = \tan^{-1}(0.343) \approx 19^{\circ}$.
चूंकि हवा पश्चिम की ओर चल रही है,इसलिए बारिश पश्चिम दिशा से आती हुई प्रतीत होती है। इसलिए,लड़के को अपना छाता ऊर्ध्वाधर के साथ पश्चिम दिशा में लगभग $19^{\circ}$ के कोण पर रखना चाहिए।

(N/A) मान लीजिए $v_b$ मोटरबोट का वेग (उत्तर दिशा में) है और $v_c$ जलधारा का वेग (दक्षिण से $60^{\circ}$ पूर्व दिशा में) है। $v_b$ और $v_c$ के बीच का कोण $\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ है।
कोसाइन के नियम का उपयोग करते हुए,परिणामी वेग $R$ का परिमाण है:
$R = \sqrt{v_b^2 + v_c^2 + 2v_b v_c \cos(120^{\circ})}$
$R = \sqrt{25^2 + 10^2 + 2(25)(10)(-0.5)}$
$R = \sqrt{625 + 100 - 250} = \sqrt{475} \approx 21.8\; km/h$.
उत्तर दिशा के सापेक्ष परिणामी वेग की दिशा $\phi$ ज्ञात करने के लिए,हम साइन के नियम का उपयोग करते हैं:
$\frac{R}{\sin(120^{\circ})} = \frac{v_c}{\sin(\phi)}$
$\sin(\phi) = \frac{v_c \sin(120^{\circ})}{R} = \frac{10 \times 0.866}{21.8} \approx 0.397$
$\phi = \arcsin(0.397) \approx 23.4^{\circ}$.
अतः,परिणामी वेग लगभग $21.8\; km/h$ है जो उत्तर से पूर्व की ओर $23.4^{\circ}$ के कोण पर है।

(N/A) मान लीजिए $v_r$ बारिश का वेग है और $v_b$ साइकिल का वेग है,दोनों जमीन के सापेक्ष हैं।
चूंकि महिला साइकिल चला रही है,इसलिए उसके द्वारा अनुभव किया गया बारिश का वेग,साइकिल के सापेक्ष बारिश का वेग है,जो इस प्रकार है:
$v_{rb} = v_r - v_b$
यह सापेक्ष वेग सदिश $v_{rb}$ चित्र में दिखाए अनुसार ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
यह इस प्रकार दिया गया है:
$\tan \theta = \frac{|v_b|}{|v_r|} = \frac{12}{35} \approx 0.343$
$\theta = \tan^{-1}(0.343) \approx 19^{\circ}$
इसलिए,महिला को अपना छाता ऊर्ध्वाधर के साथ पश्चिम की ओर लगभग $19^{\circ}$ के कोण पर रखना चाहिए।

(B) मान लीजिए $v_r$ ऊर्ध्वाधर नीचे गिरती वर्षा का वेग है,$v_r = 30\; m/s$.
मान लीजिए $v_c$ उत्तर से दक्षिण की ओर चलती साइकिल सवार का वेग है,$v_c = 10\; m/s$.
महिला के सापेक्ष वर्षा का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rw} = \vec{v}_r - \vec{v}_c$ द्वारा दिया जाता है।
वर्षा से बचने के लिए,महिला को अपना छाता आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{rw}$ की दिशा में रखना चाहिए।
आपेक्षिक वेग सदिश ऊर्ध्वाधर के साथ जो कोण $\theta$ बनाता है,वह इस प्रकार है:
$\tan \theta = \frac{|\vec{v}_c|}{|\vec{v}_r|} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
महिला को अपना छाता ऊर्ध्वाधर के साथ दक्षिण दिशा में $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ के कोण पर रखना चाहिए।

(A) शांत जल में व्यक्ति की चाल,$v_m = 4.0 \; km/h$।
नदी की चौड़ाई,$d = 1.0 \; km$।
चूंकि व्यक्ति नदी की धारा के लंबवत तैरता है,इसलिए नदी पार करने के लिए उसका वेग घटक $v_m = 4.0 \; km/h$ है।
नदी पार करने में लगा समय,$t = \frac{d}{v_m} = \frac{1.0 \; km}{4.0 \; km/h} = 0.25 \; h$।
मिनटों में बदलने पर,$t = 0.25 \times 60 = 15 \; min$।
नदी के बहाव की चाल,$v_r = 3.0 \; km/h$।
नदी के बहाव की दिशा में तय की गई दूरी (ड्रिफ्ट),$x = v_r \times t = 3.0 \; km/h \times 0.25 \; h = 0.75 \; km$।
मीटर में बदलने पर,$x = 0.75 \times 1000 = 750 \; m$।

(D) नाव का वेग,$v_{b} = 51 \; km/h$ (उत्तर की ओर)।
हवा का वेग,$v_{w} = 72 \; km/h$ (उत्तर-पूर्व की ओर)।
झंडा नाव के सापेक्ष हवा के वेग की दिशा में लहराता है,जो $\vec{v}_{wb} = \vec{v}_{w} - \vec{v}_{b} = \vec{v}_{w} + (-\vec{v}_{b})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\vec{v}_{w}$ उत्तर (या पूर्व) दिशा के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। सदिश $(-\vec{v}_{b})$ दक्षिण दिशा में है।
$\vec{v}_{w}$ और $(-\vec{v}_{b})$ के बीच का कोण $90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$ है।
सदिश घटकों का उपयोग करते हुए:
$\vec{v}_{w} = 72 \cos(45^{\circ}) \hat{i} + 72 \sin(45^{\circ}) \hat{j} = 50.91 \hat{i} + 50.91 \hat{j}$
$\vec{v}_{b} = 51 \hat{j}$
$\vec{v}_{wb} = \vec{v}_{w} - \vec{v}_{b} = 50.91 \hat{i} + (50.91 - 51) \hat{j} = 50.91 \hat{i} - 0.09 \hat{j}$
पूर्व दिशा के साथ कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{|v_{wb, y}|}{|v_{wb, x}|} = \frac{0.09}{50.91} \approx 0.00177$।
$\theta \approx \tan^{-1}(0.00177) \approx 0.1^{\circ}$ पूर्व से दक्षिण की ओर।
अतः,झंडा लगभग ठीक पूर्व दिशा में लहराएगा।