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Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Hindi
Class 11 Physics · 3-2.Motion in Plane · Relative Velocity (river boat, rain, wind)
185+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 185 questions in Hindi
101
Easy
स्तंभ-$I$ को स्तंभ-$II$ के साथ सही ढंग से सुमेलित करें।
| स्तंभ-$I$ | स्तंभ-$II$ |
|---|---|
| $(1)$ यदि $A$ और $B$ एक-दूसरे के लंबवत गति कर रहे हैं,तो $B$ के सापेक्ष $A$ का वेग | $(a)$ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r + \vec{v}_m$ |
| $(2)$ एक व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा की बूंदों का वेग | $(b)$ $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A + \vec{v}_B$ |
| $(c)$ $v_{AB} = \sqrt{v_A^2 + v_B^2}$ |
Solution
(1-C, 2-A) $(1)$ के लिए: यदि $A$ और $B$ लंबवत गति करते हैं,तो सापेक्ष वेग $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ होता है। चूंकि वे लंबवत हैं,इसलिए परिमाण $v_{AB} = \sqrt{v_A^2 + (-v_B)^2} = \sqrt{v_A^2 + v_B^2}$ होगा। अतः,$(1)$ का मिलान $(c)$ से होता है।
$(2)$ के लिए: एक व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा का वेग $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ द्वारा दिया जाता है। हालाँकि,सापेक्ष गति के लिए मानक सदिश संकेतन में,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r + (-\vec{v}_m)$ लिखा जा सकता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(a)$ सदिश योग के उस रूप को दर्शाता है जिसका उपयोग सापेक्ष वेग के प्रश्नों में किया जाता है। अतः,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
$(2)$ के लिए: एक व्यक्ति के सापेक्ष वर्षा का वेग $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ द्वारा दिया जाता है। हालाँकि,सापेक्ष गति के लिए मानक सदिश संकेतन में,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r + (-\vec{v}_m)$ लिखा जा सकता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$(a)$ सदिश योग के उस रूप को दर्शाता है जिसका उपयोग सापेक्ष वेग के प्रश्नों में किया जाता है। अतः,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
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Easy
यदि वस्तु $A$ और $B$ के वेग क्रमशः $v_A$ और $v_B$ हैं,तो $B$ के सापेक्ष $A$ के आपेक्षिक वेग का समीकरण लिखिए।
Solution
(N/A) वस्तु $B$ के सापेक्ष वस्तु $A$ का आपेक्षिक वेग,$B$ से प्रेक्षित $A$ की स्थिति में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग,जिसे $v_{AB}$ द्वारा दर्शाया जाता है,उनके वेगों के सदिश अंतर द्वारा दिया जाता है:
$v_{AB} = v_A - v_B$
यहाँ,$v_A$ वस्तु $A$ का वेग है और $v_B$ एक सामान्य संदर्भ फ्रेम (आमतौर पर जमीन) के सापेक्ष वस्तु $B$ का वेग है।
गणितीय रूप से,$B$ के सापेक्ष $A$ का आपेक्षिक वेग,जिसे $v_{AB}$ द्वारा दर्शाया जाता है,उनके वेगों के सदिश अंतर द्वारा दिया जाता है:
$v_{AB} = v_A - v_B$
यहाँ,$v_A$ वस्तु $A$ का वेग है और $v_B$ एक सामान्य संदर्भ फ्रेम (आमतौर पर जमीन) के सापेक्ष वस्तु $B$ का वेग है।
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EasyMCQ
दो गतिशील कारों का सापेक्ष वेग,दोनों कारों के स्वतंत्र वेग से अधिक कब होता है?
A
जब वे एक ही दिशा में गति करती हैं।
B
जब वे विपरीत दिशाओं में गति करती हैं।
C
जब वे लंबवत दिशाओं में गति करती हैं।
D
कभी नहीं।
Solution
(B) विपरीत दिशाओं में गति कर रही दो वस्तुओं $A$ और $B$ का सापेक्ष वेग $v_{rel} = v_A + v_B$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $v_A$ और $v_B$ वेग के धनात्मक परिमाण हैं,इसलिए $v_{rel}$ का मान $v_A$ या $v_B$ दोनों से अधिक होगा।
अतः,जब दो कारें विपरीत दिशाओं में गति करती हैं,तो उनका सापेक्ष वेग उनके व्यक्तिगत वेगों का योग होता है,जो किसी भी कार के व्यक्तिगत वेग से अधिक होता है।
चूंकि $v_A$ और $v_B$ वेग के धनात्मक परिमाण हैं,इसलिए $v_{rel}$ का मान $v_A$ या $v_B$ दोनों से अधिक होगा।
अतः,जब दो कारें विपरीत दिशाओं में गति करती हैं,तो उनका सापेक्ष वेग उनके व्यक्तिगत वेगों का योग होता है,जो किसी भी कार के व्यक्तिगत वेग से अधिक होता है।
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EasyMCQ
असमान वेग से गति कर रही दो कारों का सापेक्ष वेग,दोनों कारों के व्यक्तिगत वेग से कम कब होता है?
A
जब वे विपरीत दिशाओं में गति करती हैं।
B
जब वे एक ही दिशा में गति करती हैं।
C
जब वे एक-दूसरे के लंबवत गति करती हैं।
D
कभी नहीं।
Solution
(B) मान लीजिए कि दो कारों के वेग $v_A$ और $v_B$ हैं। कार $B$ के सापेक्ष कार $A$ का सापेक्ष वेग $v_{AB} = v_A - v_B$ द्वारा दिया जाता है।
यदि दोनों कारें एक ही दिशा में गति करती हैं,तो सापेक्ष वेग उनके व्यक्तिगत वेगों का अंतर होता है,अर्थात $|v_A - v_B|$,जो किसी भी कार के व्यक्तिगत वेग से कम होता है (यह मानते हुए कि $v_A, v_B > 0$)।
यदि वे विपरीत दिशाओं में गति करती हैं,तो सापेक्ष वेग $|v_A + v_B|$ होता है,जो किसी भी कार के व्यक्तिगत वेग से अधिक होता है।
इसलिए,सापेक्ष वेग व्यक्तिगत वेग से कम तब होता है जब दोनों कारें एक ही दिशा में गति करती हैं।
यदि दोनों कारें एक ही दिशा में गति करती हैं,तो सापेक्ष वेग उनके व्यक्तिगत वेगों का अंतर होता है,अर्थात $|v_A - v_B|$,जो किसी भी कार के व्यक्तिगत वेग से कम होता है (यह मानते हुए कि $v_A, v_B > 0$)।
यदि वे विपरीत दिशाओं में गति करती हैं,तो सापेक्ष वेग $|v_A + v_B|$ होता है,जो किसी भी कार के व्यक्तिगत वेग से अधिक होता है।
इसलिए,सापेक्ष वेग व्यक्तिगत वेग से कम तब होता है जब दोनों कारें एक ही दिशा में गति करती हैं।
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सापेक्ष वेग (Relative velocity) शब्द से आप क्या समझते हैं?
Solution
(N/A) सापेक्ष वेग किसी विशिष्ट निर्देश तंत्र (frame of reference) से देखे जाने पर किसी वस्तु का वेग होता है।
मान लीजिए दो निर्देश तंत्र $A$ और $B$ हैं,जो एक-दूसरे के सापेक्ष स्थिर वेग से गति कर रहे हैं। मान लीजिए $P$ एक कण है।
चित्र से,फ्रेम $A$ के मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष कण $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_{P,A} = \vec{OO'} + \vec{O'P}$ है।
चूंकि $\vec{OO'} = \vec{r}_{B,A}$ (फ्रेम $A$ के मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष फ्रेम $B$ के मूल बिंदु $O'$ की स्थिति) और $\vec{O'P} = \vec{r}_{P,B}$ (फ्रेम $B$ के मूल बिंदु $O'$ के सापेक्ष कण $P$ की स्थिति) है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r}_{P,A} = \vec{r}_{P,B} + \vec{r}_{B,A}$
इस समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(\vec{r}_{P,A}) = \frac{d}{dt}(\vec{r}_{P,B}) + \frac{d}{dt}(\vec{r}_{B,A})$
$\vec{v}_{P,A} = \vec{v}_{P,B} + \vec{v}_{B,A}$
यहाँ,$\vec{v}_{P,A}$ फ्रेम $A$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,$\vec{v}_{P,B}$ फ्रेम $B$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,और $\vec{v}_{B,A}$ फ्रेम $A$ के सापेक्ष फ्रेम $B$ का वेग है।
मान लीजिए दो निर्देश तंत्र $A$ और $B$ हैं,जो एक-दूसरे के सापेक्ष स्थिर वेग से गति कर रहे हैं। मान लीजिए $P$ एक कण है।
चित्र से,फ्रेम $A$ के मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष कण $P$ का स्थिति सदिश $\vec{r}_{P,A} = \vec{OO'} + \vec{O'P}$ है।
चूंकि $\vec{OO'} = \vec{r}_{B,A}$ (फ्रेम $A$ के मूल बिंदु $O$ के सापेक्ष फ्रेम $B$ के मूल बिंदु $O'$ की स्थिति) और $\vec{O'P} = \vec{r}_{P,B}$ (फ्रेम $B$ के मूल बिंदु $O'$ के सापेक्ष कण $P$ की स्थिति) है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$\vec{r}_{P,A} = \vec{r}_{P,B} + \vec{r}_{B,A}$
इस समीकरण का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(\vec{r}_{P,A}) = \frac{d}{dt}(\vec{r}_{P,B}) + \frac{d}{dt}(\vec{r}_{B,A})$
$\vec{v}_{P,A} = \vec{v}_{P,B} + \vec{v}_{B,A}$
यहाँ,$\vec{v}_{P,A}$ फ्रेम $A$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,$\vec{v}_{P,B}$ फ्रेम $B$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,और $\vec{v}_{B,A}$ फ्रेम $A$ के सापेक्ष फ्रेम $B$ का वेग है।
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दो पर्यवेक्षक एक गतिमान वस्तु का अवलोकन कर रहे हैं और एक पर्यवेक्षक दो गतिमान वस्तुओं का अवलोकन कर रहा है। इन स्थितियों में सापेक्ष वेग की अवधारणा को समझाइए।
Solution
(N/A) एक-दूसरे के सापेक्ष स्थिर वेग से गति कर रहे दो जड़त्वीय निर्देश तंत्रों $A$ और $B$ पर विचार करें।
मान लीजिए कि तंत्र $A$ में एक पर्यवेक्षक और तंत्र $B$ में दूसरा पर्यवेक्षक कण $P$ की गति का अध्ययन करते हैं।
मान लीजिए कि समय $t$ पर गतिमान कण $P$ के निर्देश तंत्रों $A$ और $B$ के मूल बिंदुओं के सापेक्ष स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{r_{P,A}} = \overrightarrow{OP}$ और $\overrightarrow{r_{P,B}} = \overrightarrow{O'P}$ हैं,और $O$ के सापेक्ष $O'$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{r_{B,A}} = \overrightarrow{OO'}$ है।
सदिशों की ज्यामिति से,$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'P}$।
अतः,$\overrightarrow{r_{P,A}} = \overrightarrow{r_{B,A}} + \overrightarrow{r_{P,B}}$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{P,A}}) = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{P,B}}) + \frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{B,A}})$।
इस प्रकार,$\overrightarrow{v_{P,A}} = \overrightarrow{v_{P,B}} + \overrightarrow{v_{B,A}}$।
यहाँ,$\overrightarrow{v_{P,A}}$ तंत्र $A$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,$\overrightarrow{v_{P,B}}$ तंत्र $B$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,और $\overrightarrow{v_{B,A}}$ तंत्र $A$ के सापेक्ष तंत्र $B$ का वेग है।
मान लीजिए कि तंत्र $A$ में एक पर्यवेक्षक और तंत्र $B$ में दूसरा पर्यवेक्षक कण $P$ की गति का अध्ययन करते हैं।
मान लीजिए कि समय $t$ पर गतिमान कण $P$ के निर्देश तंत्रों $A$ और $B$ के मूल बिंदुओं के सापेक्ष स्थिति सदिश क्रमशः $\overrightarrow{r_{P,A}} = \overrightarrow{OP}$ और $\overrightarrow{r_{P,B}} = \overrightarrow{O'P}$ हैं,और $O$ के सापेक्ष $O'$ का स्थिति सदिश $\overrightarrow{r_{B,A}} = \overrightarrow{OO'}$ है।
सदिशों की ज्यामिति से,$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'P}$।
अतः,$\overrightarrow{r_{P,A}} = \overrightarrow{r_{B,A}} + \overrightarrow{r_{P,B}}$।
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{P,A}}) = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{P,B}}) + \frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{B,A}})$।
इस प्रकार,$\overrightarrow{v_{P,A}} = \overrightarrow{v_{P,B}} + \overrightarrow{v_{B,A}}$।
यहाँ,$\overrightarrow{v_{P,A}}$ तंत्र $A$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,$\overrightarrow{v_{P,B}}$ तंत्र $B$ के सापेक्ष कण $P$ का वेग है,और $\overrightarrow{v_{B,A}}$ तंत्र $A$ के सापेक्ष तंत्र $B$ का वेग है।
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निर्देश तंत्र में गतिमान किन्हीं दो कणों के सापेक्ष वेग के लिए व्यंजक ज्ञात कीजिए।
Solution
(N/A) मान लीजिए कि एक निर्देश तंत्र में दो कण $A$ और $B$ हैं,जिनके वेग क्रमशः $\vec{V}_{A}$ और $\vec{V}_{B}$ हैं।
कण $B$ के सापेक्ष कण $A$ का वेग सदिश अंतर द्वारा दिया जाता है:
$\vec{V}_{AB} = \vec{V}_{A} - \vec{V}_{B}$
इसी प्रकार,कण $A$ के सापेक्ष कण $B$ का वेग इस प्रकार है:
$\vec{V}_{BA} = \vec{V}_{B} - \vec{V}_{A}$
इन व्यंजकों से हम देख सकते हैं कि:
$\vec{V}_{AB} = -\vec{V}_{BA}$ और $|\vec{V}_{AB}| = |\vec{V}_{BA}|$।
एक सामान्य निर्देश तंत्र $X$ में,यदि कणों $P$ और $Q$ के वेग तंत्र $X$ के सापेक्ष $\vec{V}_{PX}$ और $\vec{V}_{QX}$ हैं,तो $Q$ के सापेक्ष $P$ का सापेक्ष वेग होगा:
$\vec{V}_{PQ} = \vec{V}_{PX} - \vec{V}_{QX}$।
कण $B$ के सापेक्ष कण $A$ का वेग सदिश अंतर द्वारा दिया जाता है:
$\vec{V}_{AB} = \vec{V}_{A} - \vec{V}_{B}$
इसी प्रकार,कण $A$ के सापेक्ष कण $B$ का वेग इस प्रकार है:
$\vec{V}_{BA} = \vec{V}_{B} - \vec{V}_{A}$
इन व्यंजकों से हम देख सकते हैं कि:
$\vec{V}_{AB} = -\vec{V}_{BA}$ और $|\vec{V}_{AB}| = |\vec{V}_{BA}|$।
एक सामान्य निर्देश तंत्र $X$ में,यदि कणों $P$ और $Q$ के वेग तंत्र $X$ के सापेक्ष $\vec{V}_{PX}$ और $\vec{V}_{QX}$ हैं,तो $Q$ के सापेक्ष $P$ का सापेक्ष वेग होगा:
$\vec{V}_{PQ} = \vec{V}_{PX} - \vec{V}_{QX}$।
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यदि जमीन के सापेक्ष कणों $A$ और $B$ के वेग क्रमशः ${\overrightarrow v _A}$ और ${\overrightarrow v _B}$ हैं,तो:
$(a)$ $B$ के सापेक्ष $A$ के वेग का सूत्र लिखिए।
$(b)$ $A$ के सापेक्ष $B$ के वेग का सूत्र लिखिए।
$(c)$ क्या संबंध ${\overrightarrow v _{AB}} = -{\overrightarrow v _{BA}}$ सही है?
$(a)$ $B$ के सापेक्ष $A$ के वेग का सूत्र लिखिए।
$(b)$ $A$ के सापेक्ष $B$ के वेग का सूत्र लिखिए।
$(c)$ क्या संबंध ${\overrightarrow v _{AB}} = -{\overrightarrow v _{BA}}$ सही है?
Solution
(C) कण $B$ के सापेक्ष कण $A$ का वेग इस प्रकार दिया जाता है: ${\overrightarrow v _{AB}} = {\overrightarrow v _A} - {\overrightarrow v _B}$।
$(b)$ कण $A$ के सापेक्ष कण $B$ का वेग इस प्रकार दिया जाता है: ${\overrightarrow v _{BA}} = {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A}$।
$(c)$ हाँ,यह संबंध सही है। चूँकि ${\overrightarrow v _{AB}} = {\overrightarrow v _A} - {\overrightarrow v _B}$ और ${\overrightarrow v _{BA}} = {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A}$,इसलिए हम देख सकते हैं कि ${\overrightarrow v _{AB}} = - ( {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A} ) = - {\overrightarrow v _{BA}}$।
$(b)$ कण $A$ के सापेक्ष कण $B$ का वेग इस प्रकार दिया जाता है: ${\overrightarrow v _{BA}} = {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A}$।
$(c)$ हाँ,यह संबंध सही है। चूँकि ${\overrightarrow v _{AB}} = {\overrightarrow v _A} - {\overrightarrow v _B}$ और ${\overrightarrow v _{BA}} = {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A}$,इसलिए हम देख सकते हैं कि ${\overrightarrow v _{AB}} = - ( {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A} ) = - {\overrightarrow v _{BA}}$।
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एक लड़का $10 \, m/s$ की गति से सड़क पर क्षैतिज के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर हवा में एक गेंद फेंकता है। एक गुजरती हुई कार में बैठा दूसरा लड़का गेंद का अवलोकन करता है। यदि कार की गति $18 \, km/h$ है,तो कार में बैठे लड़के द्वारा देखी गई गेंद की गति का रेखाचित्र बनाइए। अपने आरेख के समर्थन में स्पष्टीकरण दीजिए।
Solution
(N/A) लड़का $10 \, m/s$ की गति से $60^{\circ}$ के कोण पर गेंद फेंकता है।
गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta = 10 \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$ है।
कार की गति $18 \, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \, m/s$ है।
चूंकि गेंद का क्षैतिज वेग $(5 \, m/s)$ और कार की गति $(5 \, m/s)$ समान है,इसलिए कार के सापेक्ष गेंद का सापेक्ष क्षैतिज वेग $v_{rel,x} = 5 - 5 = 0 \, m/s$ होगा।
अतः,कार में बैठा लड़का गेंद को केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में गति करते हुए देखेगा,जो एक सीधी ऊर्ध्वाधर रेखा के रूप में दिखाई देगी।
गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta = 10 \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$ है।
कार की गति $18 \, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \, m/s$ है।
चूंकि गेंद का क्षैतिज वेग $(5 \, m/s)$ और कार की गति $(5 \, m/s)$ समान है,इसलिए कार के सापेक्ष गेंद का सापेक्ष क्षैतिज वेग $v_{rel,x} = 5 - 5 = 0 \, m/s$ होगा।
अतः,कार में बैठा लड़का गेंद को केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में गति करते हुए देखेगा,जो एक सीधी ऊर्ध्वाधर रेखा के रूप में दिखाई देगी।
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एक पक्षी एक सीधी सड़क पर एक-दूसरे की ओर आ रही दो कारों के बीच इधर-उधर उड़ रहा है। एक कार की गति $18 \,km/h$ है जबकि दूसरी कार की गति $27 \,km/h$ है। जब दोनों कारों के बीच की दूरी $36 \,km$ थी,तब पक्षी पहली कार से दूसरी कार की ओर $36 \,km/h$ की गति से उड़ना शुरू करता है। पक्षी द्वारा तय की गई कुल दूरी क्या है?
Solution
(D) दिया गया है:
पहली कार की गति $v_{1} = 18 \,km/h$ है।
दूसरी कार की गति $v_{2} = 27 \,km/h$ है।
चूंकि कारें एक-दूसरे की ओर आ रही हैं,उनकी सापेक्ष गति $v_{rel} = v_{1} + v_{2} = 18 + 27 = 45 \,km/h$ होगी।
कारों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 36 \,km$ है।
कारों के मिलने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{36}{45} = 0.8 \,h$ है।
पक्षी लगातार $v_{b} = 36 \,km/h$ की स्थिर गति से तब तक उड़ता है जब तक कारें मिल नहीं जातीं।
अतः,पक्षी द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = v_{b} \times t = 36 \times 0.8 = 28.8 \,km$ है।
पहली कार की गति $v_{1} = 18 \,km/h$ है।
दूसरी कार की गति $v_{2} = 27 \,km/h$ है।
चूंकि कारें एक-दूसरे की ओर आ रही हैं,उनकी सापेक्ष गति $v_{rel} = v_{1} + v_{2} = 18 + 27 = 45 \,km/h$ होगी।
कारों के बीच की प्रारंभिक दूरी $d = 36 \,km$ है।
कारों के मिलने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{36}{45} = 0.8 \,h$ है।
पक्षी लगातार $v_{b} = 36 \,km/h$ की स्थिर गति से तब तक उड़ता है जब तक कारें मिल नहीं जातीं।
अतः,पक्षी द्वारा तय की गई कुल दूरी $D = v_{b} \times t = 36 \times 0.8 = 28.8 \,km$ है।
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एक लड़की $5 \, m/s$ की गति से उत्तर दिशा में साइकिल चला रही है,वह बारिश को लंबवत नीचे गिरते हुए देखती है। यदि वह अपनी गति बढ़ाकर $10 \, m/s$ कर लेती है,तो बारिश उसे ऊर्ध्वाधर (vertical) के साथ $45^o$ के कोण पर गिरती हुई प्रतीत होती है। बारिश की गति क्या है? जमीन पर खड़े प्रेक्षक द्वारा बारिश किस दिशा में गिरती हुई दिखाई देगी?
Solution
(A-D) मान लीजिए उत्तर दिशा $\hat{i}$ है और ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा $\hat{j}$ है।
बारिश का वेग $\vec{v}_r = a\hat{i} + b\hat{j}$ मान लीजिए।
स्थिति $1$: लड़की का वेग $\vec{v}_g = 5\hat{i} \, m/s$ है।
लड़की के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rg} = \vec{v}_r - \vec{v}_g = (a-5)\hat{i} + b\hat{j}$ है।
चूंकि बारिश लंबवत नीचे गिरती हुई प्रतीत होती है,इसलिए क्षैतिज घटक शून्य होना चाहिए: $a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5$.
स्थिति $2$: लड़की का वेग $\vec{v}_g = 10\hat{i} \, m/s$ है।
लड़की के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rg} = (a-10)\hat{i} + b\hat{j} = (5-10)\hat{i} + b\hat{j} = -5\hat{i} + b\hat{j}$ है।
चूंकि बारिश ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ पर गिरती हुई प्रतीत होती है,इसलिए $\tan 45^o = |\frac{\text{क्षैतिज घटक}}{\text{ऊर्ध्वाधर घटक}}| = |\frac{-5}{b}| = 1$.
अतः,$|b| = 5$. चूंकि बारिश नीचे गिर रही है,इसलिए $b = -5$.
बारिश का वेग $\vec{v}_r = 5\hat{i} - 5\hat{j} \, m/s$ है।
बारिश की गति $|\vec{v}_r| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, m/s$ है।
जमीन पर खड़े प्रेक्षक के लिए बारिश की दिशा ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर है,जहाँ $\tan \theta = \frac{|a|}{|b|} = \frac{5}{5} = 1$,इसलिए $\theta = 45^o$ उत्तर दिशा की ओर।
बारिश का वेग $\vec{v}_r = a\hat{i} + b\hat{j}$ मान लीजिए।
स्थिति $1$: लड़की का वेग $\vec{v}_g = 5\hat{i} \, m/s$ है।
लड़की के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rg} = \vec{v}_r - \vec{v}_g = (a-5)\hat{i} + b\hat{j}$ है।
चूंकि बारिश लंबवत नीचे गिरती हुई प्रतीत होती है,इसलिए क्षैतिज घटक शून्य होना चाहिए: $a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5$.
स्थिति $2$: लड़की का वेग $\vec{v}_g = 10\hat{i} \, m/s$ है।
लड़की के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{v}_{rg} = (a-10)\hat{i} + b\hat{j} = (5-10)\hat{i} + b\hat{j} = -5\hat{i} + b\hat{j}$ है।
चूंकि बारिश ऊर्ध्वाधर के साथ $45^o$ पर गिरती हुई प्रतीत होती है,इसलिए $\tan 45^o = |\frac{\text{क्षैतिज घटक}}{\text{ऊर्ध्वाधर घटक}}| = |\frac{-5}{b}| = 1$.
अतः,$|b| = 5$. चूंकि बारिश नीचे गिर रही है,इसलिए $b = -5$.
बारिश का वेग $\vec{v}_r = 5\hat{i} - 5\hat{j} \, m/s$ है।
बारिश की गति $|\vec{v}_r| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, m/s$ है।
जमीन पर खड़े प्रेक्षक के लिए बारिश की दिशा ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर है,जहाँ $\tan \theta = \frac{|a|}{|b|} = \frac{5}{5} = 1$,इसलिए $\theta = 45^o$ उत्तर दिशा की ओर।
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एक नदी $3\, ms^{-1}$ की गति से पूर्व की ओर बह रही है। एक तैराक स्थिर पानी में $4\, ms^{-1}$ की गति से तैर सकता है (आकृति)।
$(a)$ यदि तैराक उत्तर की ओर तैरना शुरू करता है,तो उसका परिणामी वेग (परिमाण और दिशा) क्या होगा?
$(b)$ यदि वह दक्षिण तट पर स्थित बिंदु $A$ से शुरू करके उत्तर तट पर स्थित विपरीत बिंदु $B$ तक पहुँचना चाहता है,
$(i)$ उसे किस दिशा में तैरना चाहिए?
$(ii)$ उसकी परिणामी गति क्या होगी?
$(c)$ ऊपर $(a)$ और $(b)$ में वर्णित दो अलग-अलग मामलों में से,किस मामले में वह विपरीत तट पर कम समय में पहुँचेगा?
$(a)$ यदि तैराक उत्तर की ओर तैरना शुरू करता है,तो उसका परिणामी वेग (परिमाण और दिशा) क्या होगा?
$(b)$ यदि वह दक्षिण तट पर स्थित बिंदु $A$ से शुरू करके उत्तर तट पर स्थित विपरीत बिंदु $B$ तक पहुँचना चाहता है,
$(i)$ उसे किस दिशा में तैरना चाहिए?
$(ii)$ उसकी परिणामी गति क्या होगी?
$(c)$ ऊपर $(a)$ और $(b)$ में वर्णित दो अलग-अलग मामलों में से,किस मामले में वह विपरीत तट पर कम समय में पहुँचेगा?
Solution
(N/A) दिया गया है: नदी की गति $V_r = 3\, ms^{-1}$ (पूर्व),स्थिर पानी में तैराक की गति $V_s = 4\, ms^{-1}$।
$(a)$ जब तैराक उत्तर की ओर तैरता है,तो परिणामी वेग $V$,$V_r$ और $V_s$ का सदिश योग होता है।
$V = \sqrt{V_r^2 + V_s^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\, ms^{-1}$।
उत्तर के सापेक्ष दिशा $\theta$,$\tan \theta = \frac{V_r}{V_s} = \frac{3}{4} = 0.75$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$ उत्तर से पूर्व की ओर।
$(b)$ $A$ के ठीक विपरीत बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए,तैराक को धारा के विपरीत (उत्तर से पश्चिम की ओर) $\theta$ कोण पर तैरना चाहिए ताकि उसके वेग का क्षैतिज घटक नदी के वेग को रद्द कर दे।
$(i)$ $\sin \theta = \frac{V_r}{V_s} = \frac{3}{4} = 0.75 \Rightarrow \theta = \sin^{-1}(0.75) \approx 48.6^{\circ}$ उत्तर से पश्चिम की ओर।
$(ii)$ परिणामी गति $V$ ऊर्ध्वाधर घटक है: $V = \sqrt{V_s^2 - V_r^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.65\, ms^{-1}$।
$(c)$ मान लीजिए नदी की चौड़ाई $d$ है। मामले $(a)$ में लगा समय $t_a = \frac{d}{V_s} = \frac{d}{4}$ है। मामले $(b)$ में लगा समय $t_b = \frac{d}{V} = \frac{d}{\sqrt{7}}$ है। चूँकि $\sqrt{7} < 4$,इसलिए $t_b > t_a$। अतः,तैराक मामले $(a)$ में विपरीत तट पर कम समय में पहुँचेगा।
$(a)$ जब तैराक उत्तर की ओर तैरता है,तो परिणामी वेग $V$,$V_r$ और $V_s$ का सदिश योग होता है।
$V = \sqrt{V_r^2 + V_s^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\, ms^{-1}$।
उत्तर के सापेक्ष दिशा $\theta$,$\tan \theta = \frac{V_r}{V_s} = \frac{3}{4} = 0.75$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$ उत्तर से पूर्व की ओर।
$(b)$ $A$ के ठीक विपरीत बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए,तैराक को धारा के विपरीत (उत्तर से पश्चिम की ओर) $\theta$ कोण पर तैरना चाहिए ताकि उसके वेग का क्षैतिज घटक नदी के वेग को रद्द कर दे।
$(i)$ $\sin \theta = \frac{V_r}{V_s} = \frac{3}{4} = 0.75 \Rightarrow \theta = \sin^{-1}(0.75) \approx 48.6^{\circ}$ उत्तर से पश्चिम की ओर।
$(ii)$ परिणामी गति $V$ ऊर्ध्वाधर घटक है: $V = \sqrt{V_s^2 - V_r^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.65\, ms^{-1}$।
$(c)$ मान लीजिए नदी की चौड़ाई $d$ है। मामले $(a)$ में लगा समय $t_a = \frac{d}{V_s} = \frac{d}{4}$ है। मामले $(b)$ में लगा समय $t_b = \frac{d}{V} = \frac{d}{\sqrt{7}}$ है। चूँकि $\sqrt{7} < 4$,इसलिए $t_b > t_a$। अतः,तैराक मामले $(a)$ में विपरीत तट पर कम समय में पहुँचेगा।
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ट्रेन $A$ और ट्रेन $B$ समानांतर पटरियों पर विपरीत दिशाओं में क्रमशः $36 \, km/h$ और $72 \, km/h$ की गति से चल रही हैं। एक व्यक्ति ट्रेन $A$ में उसकी गति की विपरीत दिशा में $1.8 \, km/h$ की गति से चल रहा है। ट्रेन $B$ से देखे जाने पर इस व्यक्ति की गति ($m/s$ में) किसके करीब होगी ($.5$ में)?
(पटरियों के बीच की दूरी को नगण्य मानें)
(पटरियों के बीच की दूरी को नगण्य मानें)
A
$30$
B
$29$
C
$31$
D
$28$
Solution
(B) मान लीजिए कि ट्रेन $A$ की गति की दिशा धनात्मक $(+)$ है और ट्रेन $B$ की गति की दिशा ऋणात्मक $(-)$ है।
ट्रेन $A$ का वेग $(V_A)$ = $+36 \, km/h$.
ट्रेन $B$ का वेग $(V_B)$ = $-72 \, km/h$.
ट्रेन $A$ के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $(V_{m/A})$ = $-1.8 \, km/h$ (क्योंकि व्यक्ति ट्रेन $A$ की गति की विपरीत दिशा में चल रहा है)।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $(V_m)$ = $V_{m/A} + V_A = -1.8 + 36 = 34.2 \, km/h$.
ट्रेन $B$ के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $(V_{m/B})$ = $V_m - V_B = 34.2 - (-72) = 34.2 + 72 = 106.2 \, km/h$.
$km/h$ को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
$V_{m/B} = 106.2 \times \frac{5}{18} = 5.9 \times 5 = 29.5 \, m/s$.
ट्रेन $A$ का वेग $(V_A)$ = $+36 \, km/h$.
ट्रेन $B$ का वेग $(V_B)$ = $-72 \, km/h$.
ट्रेन $A$ के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $(V_{m/A})$ = $-1.8 \, km/h$ (क्योंकि व्यक्ति ट्रेन $A$ की गति की विपरीत दिशा में चल रहा है)।
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $(V_m)$ = $V_{m/A} + V_A = -1.8 + 36 = 34.2 \, km/h$.
ट्रेन $B$ के सापेक्ष व्यक्ति का वेग $(V_{m/B})$ = $V_m - V_B = 34.2 - (-72) = 34.2 + 72 = 106.2 \, km/h$.
$km/h$ को $m/s$ में बदलने के लिए,$\frac{5}{18}$ से गुणा करें:
$V_{m/B} = 106.2 \times \frac{5}{18} = 5.9 \times 5 = 29.5 \, m/s$.
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जब कार स्थिर होती है,तो उसका ड्राइवर बारिश की बूंदों को उस पर लंबवत गिरते हुए देखता है। जब कार को $v$ गति से चलाया जाता है,तो वह देखता है कि बारिश की बूंदें क्षैतिज से $60^{\circ}$ के कोण पर आ रही हैं। कार की गति को बढ़ाकर $(1+\beta)v$ करने पर,यह कोण बदलकर $45^{\circ}$ हो जाता है। $\beta$ का मान किसके करीब है...
A
$0.41$
B
$0.50$
C
$0.37$
D
$0.73$
Solution
(D) मान लीजिए बारिश का वेग $\vec{v}_r = -v_r \hat{j}$ है और कार का वेग $\vec{v}_m = v_m \hat{i}$ है।
जब कार $v$ गति से चलती है,तो कार के सापेक्ष बारिश का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{r/m} = \vec{v}_r - \vec{v}_m = -v_r \hat{j} - v \hat{i}$ होता है।
क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{|v_r|}{|v_m|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\theta = 60^{\circ}$ और $v_m = v$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{v_r}{v} = \sqrt{3}$,अर्थात $v_r = v\sqrt{3}$।
जब कार की गति बढ़कर $(1+\beta)v$ हो जाती है,तो नया कोण $45^{\circ}$ होता है।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{v_r}{(1+\beta)v} = 1$।
$v_r = v\sqrt{3}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{v\sqrt{3}}{(1+\beta)v} = 1$।
$\sqrt{3} = 1 + \beta$।
$\beta = \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$।
इसलिए,$\beta$ का मान $0.73$ के करीब है।
जब कार $v$ गति से चलती है,तो कार के सापेक्ष बारिश का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{r/m} = \vec{v}_r - \vec{v}_m = -v_r \hat{j} - v \hat{i}$ होता है।
क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{|v_r|}{|v_m|}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि $\theta = 60^{\circ}$ और $v_m = v$,इसलिए $\tan 60^{\circ} = \frac{v_r}{v} = \sqrt{3}$,अर्थात $v_r = v\sqrt{3}$।
जब कार की गति बढ़कर $(1+\beta)v$ हो जाती है,तो नया कोण $45^{\circ}$ होता है।
अतः,$\tan 45^{\circ} = \frac{v_r}{(1+\beta)v} = 1$।
$v_r = v\sqrt{3}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{v\sqrt{3}}{(1+\beta)v} = 1$।
$\sqrt{3} = 1 + \beta$।
$\beta = \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$।
इसलिए,$\beta$ का मान $0.73$ के करीब है।
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एक व्यक्ति नदी के प्रवाह के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर $10\, m/s$ की गति से तैर रहा है और नदी के दूसरे किनारे पर ठीक सामने के बिंदु पर पहुँचता है। यदि नदी के प्रवाह की गति $x\, m/s$ है,तो $x$ का मान निकटतम पूर्णांक में ज्ञात कीजिए।
A
$5$
B
$4$
C
$10$
D
$8$
Solution
(A) माना नदी के सापेक्ष तैराक का वेग $\vec{v}_{sr} = 10\, m/s$ है और नदी का वेग $\vec{v}_r = x\, m/s$ है।
तैराक नदी के प्रवाह के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर तैरता है।
ठीक सामने के बिंदु पर पहुँचने के लिए,जमीन के सापेक्ष तैराक का परिणामी वेग $(\vec{v}_s = \vec{v}_{sr} + \vec{v}_r)$ नदी के प्रवाह के लंबवत होना चाहिए।
माना नदी का प्रवाह $x$-अक्ष की दिशा में है। तैराक का वेग सदिश $\vec{v}_{sr}$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$x$-अक्ष पर तैराक के वेग का घटक $v_{sr,x} = 10 \cos(120^{\circ}) = 10 \times (-0.5) = -5\, m/s$ है।
तैराक के सीधे पार जाने के लिए,$x$-अक्ष पर कुल वेग शून्य होना चाहिए।
अतः,$v_{net,x} = v_{sr,x} + v_r = 0$.
$-5 + x = 0$.
$x = 5\, m/s$.
तैराक नदी के प्रवाह के साथ $120^{\circ}$ के कोण पर तैरता है।
ठीक सामने के बिंदु पर पहुँचने के लिए,जमीन के सापेक्ष तैराक का परिणामी वेग $(\vec{v}_s = \vec{v}_{sr} + \vec{v}_r)$ नदी के प्रवाह के लंबवत होना चाहिए।
माना नदी का प्रवाह $x$-अक्ष की दिशा में है। तैराक का वेग सदिश $\vec{v}_{sr}$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $120^{\circ}$ का कोण बनाता है।
$x$-अक्ष पर तैराक के वेग का घटक $v_{sr,x} = 10 \cos(120^{\circ}) = 10 \times (-0.5) = -5\, m/s$ है।
तैराक के सीधे पार जाने के लिए,$x$-अक्ष पर कुल वेग शून्य होना चाहिए।
अतः,$v_{net,x} = v_{sr,x} + v_r = 0$.
$-5 + x = 0$.
$x = 5\, m/s$.
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एक तैराक स्थिर जल में $12 \, km/h$ के वेग से तैर सकता है। नदी में बहते पानी का वेग $6 \, km/h$ है। नदी के प्रवाह की दिशा के सापेक्ष उसे किस कोण पर तैरना चाहिए ताकि वह अपने शुरुआती बिंदु के ठीक विपरीत दूसरे किनारे पर स्थित बिंदु तक पहुँच सके? ........$^{\circ}$. (निकटतम पूर्णांक में पूर्णांकित करें)
A
$30$
B
$120$
C
$60$
D
$150$
Solution
(B) माना $V_{sw} = 12 \, km/h$ स्थिर जल में तैराक का वेग है और $v_r = 6 \, km/h$ नदी के प्रवाह का वेग है।
शुरुआती बिंदु के ठीक विपरीत बिंदु तक पहुँचने के लिए,तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत से $\theta$ कोण पर तैरना चाहिए ताकि उसके वेग का घटक नदी के प्रवाह के वेग को संतुलित कर सके।
$V_{sw} \sin \theta = v_r$
$12 \sin \theta = 6$
$\sin \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$ (लंबवत के साथ कोण)।
नदी के प्रवाह की दिशा के सापेक्ष कोण $\alpha = 90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।
शुरुआती बिंदु के ठीक विपरीत बिंदु तक पहुँचने के लिए,तैराक को नदी के प्रवाह के लंबवत से $\theta$ कोण पर तैरना चाहिए ताकि उसके वेग का घटक नदी के प्रवाह के वेग को संतुलित कर सके।
$V_{sw} \sin \theta = v_r$
$12 \sin \theta = 6$
$\sin \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$ (लंबवत के साथ कोण)।
नदी के प्रवाह की दिशा के सापेक्ष कोण $\alpha = 90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।
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क्षैतिज दिशा में उड़ रहे एक फाइटर प्लेन से एक बम गिराया जाता है। प्लेन में बैठे एक प्रेक्षक के लिए,बम का प्रक्षेप पथ कैसा होगा?
A
अतिपरवलय
B
प्लेन की गति की दिशा में परवलय
C
प्लेन से सीधे नीचे की ओर एक सीधी रेखा
D
प्लेन की गति की विपरीत दिशा में परवलय
Solution
(C) मान लीजिए प्लेन का वेग $\vec{v}_{P} = u_{0} \hat{i}$ है।
जब बम गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग प्लेन के वेग के समान होता है,इसलिए $\vec{v}_{B, initial} = u_{0} \hat{i}$।
किसी भी समय $t$ पर,जमीन के सापेक्ष बम का वेग $\vec{v}_{B} = u_{0} \hat{i} - gt \hat{j}$ है।
किसी भी समय $t$ पर प्लेन का वेग $\vec{v}_{P} = u_{0} \hat{i}$ है।
प्लेन में बैठे प्रेक्षक के सापेक्ष बम का वेग $\vec{v}_{B/P} = \vec{v}_{B} - \vec{v}_{P} = (u_{0} \hat{i} - gt \hat{j}) - u_{0} \hat{i} = -gt \hat{j}$ होगा।
चूंकि सापेक्ष वेग हमेशा लंबवत नीचे की ओर निर्देशित होता है,इसलिए प्लेन में बैठे प्रेक्षक के लिए बम का प्रक्षेप पथ सीधे नीचे की ओर एक सीधी रेखा होगी।
जब बम गिराया जाता है,तो उसका प्रारंभिक वेग प्लेन के वेग के समान होता है,इसलिए $\vec{v}_{B, initial} = u_{0} \hat{i}$।
किसी भी समय $t$ पर,जमीन के सापेक्ष बम का वेग $\vec{v}_{B} = u_{0} \hat{i} - gt \hat{j}$ है।
किसी भी समय $t$ पर प्लेन का वेग $\vec{v}_{P} = u_{0} \hat{i}$ है।
प्लेन में बैठे प्रेक्षक के सापेक्ष बम का वेग $\vec{v}_{B/P} = \vec{v}_{B} - \vec{v}_{P} = (u_{0} \hat{i} - gt \hat{j}) - u_{0} \hat{i} = -gt \hat{j}$ होगा।
चूंकि सापेक्ष वेग हमेशा लंबवत नीचे की ओर निर्देशित होता है,इसलिए प्लेन में बैठे प्रेक्षक के लिए बम का प्रक्षेप पथ सीधे नीचे की ओर एक सीधी रेखा होगी।
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एक तितली उत्तर-पूर्व दिशा में $4 \sqrt{2} \, m/s$ के वेग से उड़ रही है। हवा उत्तर से दक्षिण की ओर $1 \, m/s$ की गति से चल रही है। $3 \, s$ में तितली का परिणामी विस्थापन $.... \, m$ है।
A
$15$
B
$122$
C
$3$
D
$20$
Solution
(A) मान लीजिए कि पूर्व दिशा $\hat{i}$ अक्ष के अनुदिश है और उत्तर दिशा $\hat{j}$ अक्ष के अनुदिश है।
हवा के सापेक्ष तितली का वेग $\vec{V}_{BA} = 4\sqrt{2} \cos(45^\circ) \hat{i} + 4\sqrt{2} \sin(45^\circ) \hat{j} = 4\hat{i} + 4\hat{j} \, m/s$ है।
हवा का वेग $\vec{V}_W = -1\hat{j} \, m/s$ है।
जमीन के सापेक्ष तितली का परिणामी वेग $\vec{V}_B = \vec{V}_{BA} + \vec{V}_W = (4\hat{i} + 4\hat{j}) + (-1\hat{j}) = 4\hat{i} + 3\hat{j} \, m/s$ है।
$t = 3 \, s$ में तितली का विस्थापन $\vec{S} = \vec{V}_B \times t = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \times 3 = 12\hat{i} + 9\hat{j} \, m$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{S}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, m$ है।
हवा के सापेक्ष तितली का वेग $\vec{V}_{BA} = 4\sqrt{2} \cos(45^\circ) \hat{i} + 4\sqrt{2} \sin(45^\circ) \hat{j} = 4\hat{i} + 4\hat{j} \, m/s$ है।
हवा का वेग $\vec{V}_W = -1\hat{j} \, m/s$ है।
जमीन के सापेक्ष तितली का परिणामी वेग $\vec{V}_B = \vec{V}_{BA} + \vec{V}_W = (4\hat{i} + 4\hat{j}) + (-1\hat{j}) = 4\hat{i} + 3\hat{j} \, m/s$ है।
$t = 3 \, s$ में तितली का विस्थापन $\vec{S} = \vec{V}_B \times t = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \times 3 = 12\hat{i} + 9\hat{j} \, m$ है।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{S}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, m$ है।
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एक तैराक नदी को बिंदु $A$ से बिंदु $B$ तक पार करना चाहता है। रेखा $AB$ नदी के प्रवाह के साथ $30^{\circ}$ का कोण बनाती है। तैराक के वेग का परिमाण नदी के वेग के समान है। रेखा $AB$ के साथ कोण $\theta$ कितने डिग्री होना चाहिए,ताकि तैराक बिंदु $B$ तक पहुँच सके?
A
$30$
B
$60$
C
$90$
D
$120$
Solution
(A) मान लीजिए कि नदी का वेग $\vec{v}_r$ है और नदी के सापेक्ष तैराक का वेग $\vec{v}_{sr}$ है।
यह दिया गया है कि परिमाण समान हैं,इसलिए $|\vec{v}_r| = |\vec{v}_{sr}| = v$ लें।
बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए परिणामी वेग $\vec{v}_s = \vec{v}_{sr} + \vec{v}_r$ को रेखा $AB$ के अनुदिश होना चाहिए।
चूंकि दो सदिशों $\vec{v}_{sr}$ और $\vec{v}_r$ के परिमाण समान हैं,इसलिए उनका परिणामी सदिश $\vec{v}_s$ उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए कि नदी के प्रवाह (क्षैतिज) और रेखा $AB$ के बीच का कोण $\alpha = 30^{\circ}$ है।
मान लीजिए कि तैराक के वेग $\vec{v}_{sr}$ और रेखा $AB$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तो तैराक के वेग $\vec{v}_{sr}$ और नदी के प्रवाह $\vec{v}_r$ के बीच का कोण $(\theta + 30^{\circ})$ होगा।
चूंकि परिणामी वेग $\vec{v}_s$ (जो $AB$ के अनुदिश है) इस कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\vec{v}_s$ और $\vec{v}_r$ के बीच का कोण $\vec{v}_s$ और $\vec{v}_{sr}$ के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$30^{\circ} = \theta$।
अतः,आवश्यक कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
यह दिया गया है कि परिमाण समान हैं,इसलिए $|\vec{v}_r| = |\vec{v}_{sr}| = v$ लें।
बिंदु $B$ तक पहुँचने के लिए परिणामी वेग $\vec{v}_s = \vec{v}_{sr} + \vec{v}_r$ को रेखा $AB$ के अनुदिश होना चाहिए।
चूंकि दो सदिशों $\vec{v}_{sr}$ और $\vec{v}_r$ के परिमाण समान हैं,इसलिए उनका परिणामी सदिश $\vec{v}_s$ उनके बीच के कोण को समद्विभाजित करता है।
मान लीजिए कि नदी के प्रवाह (क्षैतिज) और रेखा $AB$ के बीच का कोण $\alpha = 30^{\circ}$ है।
मान लीजिए कि तैराक के वेग $\vec{v}_{sr}$ और रेखा $AB$ के बीच का कोण $\theta$ है।
तो तैराक के वेग $\vec{v}_{sr}$ और नदी के प्रवाह $\vec{v}_r$ के बीच का कोण $(\theta + 30^{\circ})$ होगा।
चूंकि परिणामी वेग $\vec{v}_s$ (जो $AB$ के अनुदिश है) इस कोण को समद्विभाजित करता है,इसलिए $\vec{v}_s$ और $\vec{v}_r$ के बीच का कोण $\vec{v}_s$ और $\vec{v}_{sr}$ के बीच के कोण के बराबर होना चाहिए।
इसलिए,$30^{\circ} = \theta$।
अतः,आवश्यक कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
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सड़क पर खड़ी एक लड़की बारिश से बचने के लिए अपनी छतरी को ऊर्ध्वाधर (vertical) के साथ $45^{\circ}$ पर रखती है। यदि वह $15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ की गति से बिना छतरी के दौड़ना शुरू करती है,तो बारिश की बूंदें उसके सिर पर लंबवत (vertically) गिरती हैं। गतिमान लड़की के सापेक्ष बारिश की बूंदों की गति ........... $kmh^{-1}$ है।
A
$30$
B
$\frac{25}{\sqrt{2}}$
C
$\frac{30}{\sqrt{2}}$
D
$15$
Solution
(C) मान लीजिए $\vec{V}_R$ जमीन के सापेक्ष बारिश का वेग है और $\vec{V}_G$ जमीन के सापेक्ष लड़की का वेग है।
जब लड़की खड़ी होती है,तो वह छतरी को ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर रखती है,जिसका अर्थ है कि जमीन के सापेक्ष बारिश की दिशा ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
वेक्टर त्रिभुज से,$\tan 45^{\circ} = \frac{|\vec{V}_G|}{|\vec{V}_{R,G}|}$,जहाँ $\vec{V}_{R,G}$ लड़की के सापेक्ष बारिश का वेग है।
जब लड़की $\vec{V}_G = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ के वेग से दौड़ना शुरू करती है,तो बारिश उसके सिर पर लंबवत गिरती है। इसका मतलब है कि लड़की के सापेक्ष बारिश का सापेक्ष वेग,$\vec{V}_{R,G} = \vec{V}_R - \vec{V}_G$,ऊर्ध्वाधर है।
वेग त्रिभुज की ज्यामिति से,$|\vec{V}_{R,G}| = \frac{|\vec{V}_G|}{\tan 45^{\circ}}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें $|\vec{V}_{R,G}| = |\vec{V}_G| = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ प्राप्त होता है।
बारिश का ऊर्ध्वाधर घटक $V_{R,G} = V_R \cos 45^{\circ} = 30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} \; kmh^{-1}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
जब लड़की खड़ी होती है,तो वह छतरी को ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ पर रखती है,जिसका अर्थ है कि जमीन के सापेक्ष बारिश की दिशा ऊर्ध्वाधर के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाती है।
वेक्टर त्रिभुज से,$\tan 45^{\circ} = \frac{|\vec{V}_G|}{|\vec{V}_{R,G}|}$,जहाँ $\vec{V}_{R,G}$ लड़की के सापेक्ष बारिश का वेग है।
जब लड़की $\vec{V}_G = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ के वेग से दौड़ना शुरू करती है,तो बारिश उसके सिर पर लंबवत गिरती है। इसका मतलब है कि लड़की के सापेक्ष बारिश का सापेक्ष वेग,$\vec{V}_{R,G} = \vec{V}_R - \vec{V}_G$,ऊर्ध्वाधर है।
वेग त्रिभुज की ज्यामिति से,$|\vec{V}_{R,G}| = \frac{|\vec{V}_G|}{\tan 45^{\circ}}$.
चूंकि $\tan 45^{\circ} = 1$,हमें $|\vec{V}_{R,G}| = |\vec{V}_G| = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ प्राप्त होता है।
बारिश का ऊर्ध्वाधर घटक $V_{R,G} = V_R \cos 45^{\circ} = 30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} \; kmh^{-1}$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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एक नाव नदी पार करते समय स्थिर जल के सापेक्ष $v$ वेग से चलती है। नदी किनारे के सापेक्ष $v/2$ वेग से बह रही है। बहाव की दिशा के सापेक्ष वह कोण जिस पर नाव को चलना चाहिए ताकि बहाव (drift) न्यूनतम हो,है ($^{\circ}$ में)
A
$30$
B
$60$
C
$150$
D
$120$
Solution
(D) बहाव (drift) को न्यूनतम करने के लिए,नाव को इस तरह से चलाया जाना चाहिए कि उसका परिणामी वेग नदी के किनारे के लंबवत हो।
मान लीजिए कि नाव नदी के बहाव के लंबवत दिशा के साथ $\theta$ कोण पर निर्देशित है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
वेग त्रिभुज से,नदी के बहाव की दिशा में नाव के वेग $v$ का घटक नदी के वेग $v/2$ को रद्द करना चाहिए।
अतः,$v \sin \theta = v/2$।
$\sin \theta = 1/2$,जिससे $\theta = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
बहाव की दिशा के सापेक्ष कोण $90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।
मान लीजिए कि नाव नदी के बहाव के लंबवत दिशा के साथ $\theta$ कोण पर निर्देशित है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
वेग त्रिभुज से,नदी के बहाव की दिशा में नाव के वेग $v$ का घटक नदी के वेग $v/2$ को रद्द करना चाहिए।
अतः,$v \sin \theta = v/2$।
$\sin \theta = 1/2$,जिससे $\theta = 30^{\circ}$ प्राप्त होता है।
बहाव की दिशा के सापेक्ष कोण $90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ होगा।
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DifficultMCQ
फुटपाथ पर खड़ा एक लड़का एक गेंद को सीधे ऊपर उछालता है और उसे पकड़ लेता है। एकसमान वेग से गुजर रही कार का ड्राइवर इसे देखता है। ड्राइवर द्वारा देखी गई गेंद का प्रक्षेप पथ कैसा होगा?
A
B
C
D
Solution
(B) गेंद का वेग एक स्थिर संदर्भ फ्रेम के सापेक्ष मापा जाता है। जब संदर्भ फ्रेम गतिमान होता है (जैसे कार),तो वस्तु के पास संदर्भ फ्रेम के वेग के विपरीत दिशा में एक अतिरिक्त वेग होता है।
मान लीजिए कार का वेग $\vec{v}_{c}$ है। कार के फ्रेम में,गेंद के पास:
$(i)$ उछालने के कारण एक ऊर्ध्वाधर वेग घटक है।
$(ii)$ कार की गति के विपरीत दिशा में $-\vec{v}_{c}$ के बराबर एक क्षैतिज वेग घटक है।
चूंकि गेंद के पास ऊर्ध्वाधर दिशा में निरंतर त्वरण (गुरुत्वाकर्षण) और कार के सापेक्ष एक निरंतर क्षैतिज वेग है,इसलिए कार के संदर्भ फ्रेम में गेंद का प्रक्षेप पथ एक परवलय होता है। अतः,सही विकल्प $(b)$ है।
मान लीजिए कार का वेग $\vec{v}_{c}$ है। कार के फ्रेम में,गेंद के पास:
$(i)$ उछालने के कारण एक ऊर्ध्वाधर वेग घटक है।
$(ii)$ कार की गति के विपरीत दिशा में $-\vec{v}_{c}$ के बराबर एक क्षैतिज वेग घटक है।
चूंकि गेंद के पास ऊर्ध्वाधर दिशा में निरंतर त्वरण (गुरुत्वाकर्षण) और कार के सापेक्ष एक निरंतर क्षैतिज वेग है,इसलिए कार के संदर्भ फ्रेम में गेंद का प्रक्षेप पथ एक परवलय होता है। अतः,सही विकल्प $(b)$ है।
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DifficultMCQ
एक हवाई जहाज का एयरस्पीड इंडिकेटर $100 \, m/s$ पढ़ता है और इसका कंपास दिखाता है कि यह उत्तर से पूर्व की ओर $37^{\circ}$ के कोण पर जा रहा है। नेविगेटर को दी गई मौसम संबंधी जानकारी के अनुसार हवा का वेग पूर्व की ओर $20 \, m/s$ है। जमीन के सापेक्ष हवाई जहाज की गति लगभग ............ $\, m/s$ है।
A
$111$
B
$113$
C
$115$
D
$120$
Solution
(B) मान लीजिए $\vec{V}_p$ हवा के सापेक्ष हवाई जहाज का वेग है और $\vec{V}_w$ जमीन के सापेक्ष हवा का वेग है।
दिया गया है: $|\vec{V}_p| = 100 \, m/s$,उत्तर से पूर्व की ओर $37^{\circ}$ के कोण पर,और $\vec{V}_w = 20 \, m/s$ पूर्व की ओर।
जमीन के सापेक्ष हवाई जहाज का वेग $\vec{V}_g = \vec{V}_p + \vec{V}_w$ है।
वेक्टर घटकों में:
$\vec{V}_p = 100 \sin 37^{\circ} \hat{i} + 100 \cos 37^{\circ} \hat{j} = 100(0.6) \hat{i} + 100(0.8) \hat{j} = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
$\vec{V}_w = 20 \hat{i} \, m/s$.
$\vec{V}_g = (60 + 20) \hat{i} + 80 \hat{j} = 80 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
जमीन के सापेक्ष गति $|\vec{V}_g| = \sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt{2} \approx 80 \times 1.414 = 113.12 \, m/s$.
अतः,गति $113 \, m/s$ के सबसे करीब है।
दिया गया है: $|\vec{V}_p| = 100 \, m/s$,उत्तर से पूर्व की ओर $37^{\circ}$ के कोण पर,और $\vec{V}_w = 20 \, m/s$ पूर्व की ओर।
जमीन के सापेक्ष हवाई जहाज का वेग $\vec{V}_g = \vec{V}_p + \vec{V}_w$ है।
वेक्टर घटकों में:
$\vec{V}_p = 100 \sin 37^{\circ} \hat{i} + 100 \cos 37^{\circ} \hat{j} = 100(0.6) \hat{i} + 100(0.8) \hat{j} = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
$\vec{V}_w = 20 \hat{i} \, m/s$.
$\vec{V}_g = (60 + 20) \hat{i} + 80 \hat{j} = 80 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
जमीन के सापेक्ष गति $|\vec{V}_g| = \sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt{2} \approx 80 \times 1.414 = 113.12 \, m/s$.
अतः,गति $113 \, m/s$ के सबसे करीब है।
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DifficultMCQ
एक $2\,m$ चौड़ा ट्रक एक सीधी क्षैतिज सड़क पर $v_0=8\,m/s$ की एकसमान गति से चल रहा है। जब ट्रक एक पैदल यात्री से $4\,m$ दूर होता है,तो वह $v$ की एकसमान गति से सड़क पार करना शुरू करता है। वह न्यूनतम गति $v$ क्या है जिससे वह सुरक्षित रूप से सड़क पार कर सके? $...........\,m/s$.
A
$2.62$
B
$4.6$
C
$3.57$
D
$1.414$
Solution
(C) मान लीजिए कि व्यक्ति सड़क के लंबवत $\theta$ कोण पर सड़क पार करना शुरू करता है। सड़क की चौड़ाई $d = 2\,m$ है। सड़क पार करने के लिए व्यक्ति द्वारा तय की जाने वाली दूरी $d/\cos\theta = 2/\cos\theta$ है। व्यक्ति द्वारा लिया गया समय $t = (2/\cos\theta) / v$ है।
इस समय $t$ में,ट्रक $x = v_0 t = 8 \times (2 / (v \cos\theta)) = 16 / (v \cos\theta)$ दूरी तय करता है।
व्यक्ति के सुरक्षित रूप से पार करने के लिए,ट्रक को उस बिंदु को पार कर लेना चाहिए जहाँ व्यक्ति दूसरी तरफ पहुँचता है। व्यक्ति के पथ से ट्रक की प्रारंभिक दूरी $4\,m$ है। व्यक्ति अपने शुरुआती बिंदु से $d \tan\theta = 2 \tan\theta$ की क्षैतिज दूरी पर दूसरी तरफ पहुँचता है।
इस प्रकार,ट्रक को कुल $4 + 2 \tan\theta$ दूरी तय करनी होगी। इसलिए,$v_0 t = 4 + 2 \tan\theta$।
$t = 2 / (v \cos\theta)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$8 \times (2 / (v \cos\theta)) = 4 + 2 \tan\theta$
$16 / (v \cos\theta) = 4 + 2 (\sin\theta / \cos\theta)$
$16 / v = 4 \cos\theta + 2 \sin\theta$
$v = 16 / (4 \cos\theta + 2 \sin\theta) = 8 / (2 \cos\theta + \sin\theta)$।
$v$ को न्यूनतम करने के लिए,हम हर $f(\theta) = 2 \cos\theta + \sin\theta$ को अधिकतम करते हैं।
$f'(\theta) = -2 \sin\theta + \cos\theta = 0 \implies \tan\theta = 0.5$।
$\tan\theta = 0.5$ के लिए,$\sin\theta = 1/\sqrt{5}$ और $\cos\theta = 2/\sqrt{5}$।
$v_{\min} = 8 / (2(2/\sqrt{5}) + 1/\sqrt{5}) = 8 / (5/\sqrt{5}) = 8 / \sqrt{5} \approx 3.57\,m/s$।
इस समय $t$ में,ट्रक $x = v_0 t = 8 \times (2 / (v \cos\theta)) = 16 / (v \cos\theta)$ दूरी तय करता है।
व्यक्ति के सुरक्षित रूप से पार करने के लिए,ट्रक को उस बिंदु को पार कर लेना चाहिए जहाँ व्यक्ति दूसरी तरफ पहुँचता है। व्यक्ति के पथ से ट्रक की प्रारंभिक दूरी $4\,m$ है। व्यक्ति अपने शुरुआती बिंदु से $d \tan\theta = 2 \tan\theta$ की क्षैतिज दूरी पर दूसरी तरफ पहुँचता है।
इस प्रकार,ट्रक को कुल $4 + 2 \tan\theta$ दूरी तय करनी होगी। इसलिए,$v_0 t = 4 + 2 \tan\theta$।
$t = 2 / (v \cos\theta)$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$8 \times (2 / (v \cos\theta)) = 4 + 2 \tan\theta$
$16 / (v \cos\theta) = 4 + 2 (\sin\theta / \cos\theta)$
$16 / v = 4 \cos\theta + 2 \sin\theta$
$v = 16 / (4 \cos\theta + 2 \sin\theta) = 8 / (2 \cos\theta + \sin\theta)$।
$v$ को न्यूनतम करने के लिए,हम हर $f(\theta) = 2 \cos\theta + \sin\theta$ को अधिकतम करते हैं।
$f'(\theta) = -2 \sin\theta + \cos\theta = 0 \implies \tan\theta = 0.5$।
$\tan\theta = 0.5$ के लिए,$\sin\theta = 1/\sqrt{5}$ और $\cos\theta = 2/\sqrt{5}$।
$v_{\min} = 8 / (2(2/\sqrt{5}) + 1/\sqrt{5}) = 8 / (5/\sqrt{5}) = 8 / \sqrt{5} \approx 3.57\,m/s$।
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DifficultMCQ
एक नाव नदी में दो स्थानों के बीच एक निश्चित दूरी तय करने में धारा की दिशा में $t_1$ घंटे और धारा के विपरीत दिशा में $t_2$ घंटे का समय लेती है। शांत जल में समान दूरी तय करने में नाव को कितना समय लगेगा?
A
$\frac{t_1+t_2}{2}$
B
$2(t_2-t_1)$
C
$\frac{2 t_1 t_2}{t_1+t_2}$
D
$\sqrt{t_1 t_2}$
Solution
(C) मान लीजिए कि दो स्थानों के बीच की दूरी $d$ है,शांत जल में नाव की गति $v$ है और नदी की धारा की गति $u$ है।
धारा की दिशा में गति के लिए,प्रभावी गति $(v+u)$ है। अतः,$t_1 = \frac{d}{v+u} \Rightarrow d = (v+u)t_1 \dots (i)$
धारा के विपरीत दिशा में गति के लिए,प्रभावी गति $(v-u)$ है। अतः,$t_2 = \frac{d}{v-u} \Rightarrow d = (v-u)t_2 \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $(v+u)t_1 = (v-u)t_2$.
$vt_1 + ut_1 = vt_2 - ut_2 \Rightarrow u(t_1+t_2) = v(t_2-t_1) \Rightarrow u = v\frac{t_2-t_1}{t_1+t_2}$.
$u$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,$d = (v + v\frac{t_2-t_1}{t_1+t_2})t_1 = v(\frac{t_1+t_2+t_2-t_1}{t_1+t_2})t_1 = v(\frac{2t_2}{t_1+t_2})t_1$.
शांत जल में लिया गया समय $t = \frac{d}{v}$ है।
अतः,$t = \frac{v(\frac{2t_1t_2}{t_1+t_2})}{v} = \frac{2t_1t_2}{t_1+t_2}$.
धारा की दिशा में गति के लिए,प्रभावी गति $(v+u)$ है। अतः,$t_1 = \frac{d}{v+u} \Rightarrow d = (v+u)t_1 \dots (i)$
धारा के विपरीत दिशा में गति के लिए,प्रभावी गति $(v-u)$ है। अतः,$t_2 = \frac{d}{v-u} \Rightarrow d = (v-u)t_2 \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है $(v+u)t_1 = (v-u)t_2$.
$vt_1 + ut_1 = vt_2 - ut_2 \Rightarrow u(t_1+t_2) = v(t_2-t_1) \Rightarrow u = v\frac{t_2-t_1}{t_1+t_2}$.
$u$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर,$d = (v + v\frac{t_2-t_1}{t_1+t_2})t_1 = v(\frac{t_1+t_2+t_2-t_1}{t_1+t_2})t_1 = v(\frac{2t_2}{t_1+t_2})t_1$.
शांत जल में लिया गया समय $t = \frac{d}{v}$ है।
अतः,$t = \frac{v(\frac{2t_1t_2}{t_1+t_2})}{v} = \frac{2t_1t_2}{t_1+t_2}$.
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MediumMCQ
$100 \, m$ लंबाई की दो ट्रेनें एक-दूसरे की ओर विपरीत दिशा में क्रमशः $72 \, km/h$ और $36 \, km/h$ की गति से समानांतर चल रही हैं। वे एक-दूसरे को कितने समय में पार करेंगी ($, s$ में)?
A
$4.5$
B
$6.67$
C
$3.5$
D
$7.25$
Solution
(B) प्रत्येक ट्रेन की लंबाई $L = 100 \, m$ है। एक-दूसरे को पार करने के लिए तय की जाने वाली कुल दूरी $D = 100 \, m + 100 \, m = 200 \, m$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने पर:
$v_1 = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$
$v_2 = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$
सापेक्ष गति $v_{\text{rel}} = v_1 + v_2 = 20 + 10 = 30 \, m/s$.
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $t = \frac{D}{v_{\text{rel}}} = \frac{200}{30} \approx 6.67 \, s$ है।
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,इसलिए उनकी सापेक्ष गति उनकी व्यक्तिगत गति का योग होगी।
गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने पर:
$v_1 = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$
$v_2 = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$
सापेक्ष गति $v_{\text{rel}} = v_1 + v_2 = 20 + 10 = 30 \, m/s$.
एक-दूसरे को पार करने में लगा समय $t = \frac{D}{v_{\text{rel}}} = \frac{200}{30} \approx 6.67 \, s$ है।
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EasyMCQ
$A$ और $B$ के वेग $\vec{v}_A = 2 \hat{i} + 4 \hat{j}$ और $\vec{v}_B = 3 \hat{i} - 7 \hat{j}$ हैं। $A$ द्वारा प्रेक्षित $B$ का वेग क्या है?
A
$5 \hat{i} - 3 \hat{j}$
B
$\hat{i} - 11 \hat{j}$
C
$-\hat{i} + 11 \hat{j}$
D
$2 \hat{i} - 3 \hat{j}$
Solution
(B) के सापेक्ष $B$ का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{v}_{BA} = (3 \hat{i} - 7 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$= (3 - 2) \hat{i} + (-7 - 4) \hat{j}$
$= \hat{i} - 11 \hat{j}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{v}_{BA} = (3 \hat{i} - 7 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$= (3 - 2) \hat{i} + (-7 - 4) \hat{j}$
$= \hat{i} - 11 \hat{j}$.
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MediumMCQ
एक बस उत्तर दिशा में $7 \, km/hr$ की गति से चल रहे कार चालक को $25 \, km/hr$ की गति से चलती हुई दिखाई देती है। यदि बस वास्तव में पूर्व दिशा में यात्रा कर रही है,तो उसकी गति ......... $km/h$ है।
A
$24$
B
$23$
C
$26$
D
$30$
Solution
(A) मान लीजिए कि बस का वेग $\vec{V}_B = V_B \hat{i}$ (पूर्व दिशा में) है और कार का वेग $\vec{V}_C = 7 \hat{j}$ (उत्तर दिशा में) है।
कार के सापेक्ष बस का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{BC} = \vec{V}_B - \vec{V}_C = V_B \hat{i} - 7 \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष वेग का परिमाण $25 \, km/hr$ दिया गया है।
$|\vec{V}_{BC}| = \sqrt{V_B^2 + (-7)^2} = 25$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $V_B^2 + 49 = 625$ प्राप्त होता है।
$V_B^2 = 625 - 49 = 576$.
$V_B = \sqrt{576} = 24 \, km/hr$.
कार के सापेक्ष बस का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{BC} = \vec{V}_B - \vec{V}_C = V_B \hat{i} - 7 \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
सापेक्ष वेग का परिमाण $25 \, km/hr$ दिया गया है।
$|\vec{V}_{BC}| = \sqrt{V_B^2 + (-7)^2} = 25$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $V_B^2 + 49 = 625$ प्राप्त होता है।
$V_B^2 = 625 - 49 = 576$.
$V_B = \sqrt{576} = 24 \, km/hr$.
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MediumMCQ
राम $6 \, m/s$ की गति से पूर्व दिशा में चलता है और श्याम $6 \, m/s$ की गति से उत्तर से $30^{\circ}$ पूर्व की ओर चलता है। उनके सापेक्ष वेग का परिमाण ........ $m/s$ है।
A
$3$
B
$6$
C
$6\sqrt{3}$
D
$6\sqrt{2}$
Solution
(B) मान लीजिए $\vec{V}_R$ राम का वेग है और $\vec{V}_S$ श्याम का वेग है।
दिया गया है,$|\vec{V}_R| = 6 \, m/s$ (पूर्व की ओर) और $|\vec{V}_S| = 6 \, m/s$ (उत्तर से $30^{\circ}$ पूर्व की ओर)।
$\vec{V}_R$ और $\vec{V}_S$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
सापेक्ष वेग का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{V_R^2 + V_S^2 - 2 V_R V_S \cos \theta}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2 \times 6 \times 6 \times \cos 60^{\circ}}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{36 + 36 - 72 \times 0.5}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6 \, m/s$.
दिया गया है,$|\vec{V}_R| = 6 \, m/s$ (पूर्व की ओर) और $|\vec{V}_S| = 6 \, m/s$ (उत्तर से $30^{\circ}$ पूर्व की ओर)।
$\vec{V}_R$ और $\vec{V}_S$ के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ है।
सापेक्ष वेग का परिमाण इस प्रकार दिया जाता है:
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{V_R^2 + V_S^2 - 2 V_R V_S \cos \theta}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2 \times 6 \times 6 \times \cos 60^{\circ}}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{36 + 36 - 72 \times 0.5}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6 \, m/s$.
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EasyMCQ
चित्र में दो जहाजों को $x-y$ तल में $V_A$ और $V_B$ वेग के साथ चलते हुए दिखाया गया है। जहाज इस प्रकार चलते हैं कि $B$ हमेशा $A$ के उत्तर में रहता है। अनुपात $\frac{V_A}{V_B}$ ........ के बराबर है।
A
$\cos \theta$
B
$\sin \theta$
C
$\sec \theta$
D
$\operatorname{cosec} \theta$
Solution
(A) जहाज $B$ के हमेशा जहाज $A$ के उत्तर में रहने के लिए,उनके $x$-निर्देशांक हर समय समान रहने चाहिए। इसका अर्थ है कि $x$-अक्ष पर दोनों जहाजों के वेग के घटक समान होने चाहिए।
माना जहाज $A$ का वेग धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में $V_A$ है।
माना जहाज $B$ का वेग क्षैतिज ($x$-अक्ष) के साथ $\theta$ कोण पर $V_B$ है।
जहाज $A$ के वेग का $x$-घटक $V_{Ax} = V_A$ है।
जहाज $B$ के वेग का $x$-घटक $V_{Bx} = V_B \cos \theta$ है।
चूंकि $V_{Ax} = V_{Bx}$,इसलिए:
$V_A = V_B \cos \theta$
अतः,अनुपात है:
$\frac{V_A}{V_B} = \cos \theta$
माना जहाज $A$ का वेग धनात्मक $x$-अक्ष की दिशा में $V_A$ है।
माना जहाज $B$ का वेग क्षैतिज ($x$-अक्ष) के साथ $\theta$ कोण पर $V_B$ है।
जहाज $A$ के वेग का $x$-घटक $V_{Ax} = V_A$ है।
जहाज $B$ के वेग का $x$-घटक $V_{Bx} = V_B \cos \theta$ है।
चूंकि $V_{Ax} = V_{Bx}$,इसलिए:
$V_A = V_B \cos \theta$
अतः,अनुपात है:
$\frac{V_A}{V_B} = \cos \theta$
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MediumMCQ
एक कार जिसकी विंडशील्ड ऊर्ध्वाधर है,बारिश में $40 \, km/h$ की गति से चलती है। बारिश की बूंदें $20 \, m/s$ की स्थिर गति से ऊर्ध्वाधर नीचे गिर रही हैं। वह कोण जिस पर बारिश की बूंदें विंडशील्ड से टकराती हैं,......... है।
A
$\tan^{-1} \left(\frac{5}{9}\right)$
B
$\tan^{-1} \left(\frac{9}{5}\right)$
C
$\tan^{-1} \left(\frac{3}{2}\right)$
D
$\tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right)$
Solution
(A) सबसे पहले,कार की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v_m = 40 \times \frac{5}{18} = \frac{200}{18} = \frac{100}{9} \, m/s$.
बारिश का वेग $v_r = 20 \, m/s$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) है।
कार के सापेक्ष बारिश का वेग,बारिश के वेग और कार के वेग के ऋणात्मक सदिश का योग है।
वह कोण $\theta$ जिस पर बारिश विंडशील्ड से टकराती है,ऊर्ध्वाधर के साथ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{v_m}{v_r}$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{100/9}{20} = \frac{100}{9 \times 20} = \frac{5}{9}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{5}{9}\right)$.
$v_m = 40 \times \frac{5}{18} = \frac{200}{18} = \frac{100}{9} \, m/s$.
बारिश का वेग $v_r = 20 \, m/s$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर) है।
कार के सापेक्ष बारिश का वेग,बारिश के वेग और कार के वेग के ऋणात्मक सदिश का योग है।
वह कोण $\theta$ जिस पर बारिश विंडशील्ड से टकराती है,ऊर्ध्वाधर के साथ इस प्रकार दिया जाता है:
$\tan \theta = \frac{v_m}{v_r}$
मान रखने पर:
$\tan \theta = \frac{100/9}{20} = \frac{100}{9 \times 20} = \frac{5}{9}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{5}{9}\right)$.
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MediumMCQ
दो कण $A$ और $B$ मूल बिंदु से $xy$-समतल में गति करना शुरू करते हैं। कण $A$,$x$-अक्ष के अनुदिश $20 \, m/s$ के वेग से गति करता है,और कण $B$,$x$-अक्ष के साथ $45^{\circ}$ के कोण पर $30\sqrt{2} \, m/s$ के वेग से गति करता है। $A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग ........... $m/s$ है।
A
$(10 \hat{i} + 30 \hat{j})$
B
$(30 \hat{i} + 10 \hat{j})$
C
$(30 \hat{i} - 20\sqrt{2} \hat{j})$
D
$(30\sqrt{2} \hat{i} + 10\sqrt{2} \hat{j})$
Solution
(A) दिया गया है:
कण $A$ का वेग,$\vec{v}_A = 20 \hat{i} \, m/s$.
कण $B$ का वेग,$\vec{v}_B = 30\sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + 30\sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j} \, m/s$.
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\vec{v}_B = 30\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + 30\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = 30 \hat{i} + 30 \hat{j} \, m/s$.
$A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\vec{v}_{BA} = (30 \hat{i} + 30 \hat{j}) - (20 \hat{i}) = (30 - 20) \hat{i} + 30 \hat{j} = 10 \hat{i} + 30 \hat{j} \, m/s$.
कण $A$ का वेग,$\vec{v}_A = 20 \hat{i} \, m/s$.
कण $B$ का वेग,$\vec{v}_B = 30\sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + 30\sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j} \, m/s$.
चूंकि $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए:
$\vec{v}_B = 30\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + 30\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = 30 \hat{i} + 30 \hat{j} \, m/s$.
$A$ के सापेक्ष $B$ का आपेक्षिक वेग $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\vec{v}_{BA} = (30 \hat{i} + 30 \hat{j}) - (20 \hat{i}) = (30 - 20) \hat{i} + 30 \hat{j} = 10 \hat{i} + 30 \hat{j} \, m/s$.
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EasyMCQ
दो कारों $A$ और $B$ में से,कार $A$ पूर्व की ओर $10 \, m/s$ के वेग से चल रही है जबकि कार $B$ उत्तर की ओर $20 \, m/s$ के वेग से चल रही है,तो $B$ के सापेक्ष $A$ का वेग ......... $m/s$ (लगभग) है।
A
$30$
B
$10$
C
$22$
D
$42$
Solution
(C) दिया गया है:
कार $A$ का वेग,$\vec{v}_A = 10 \hat{i} \, m/s$
कार $B$ का वेग,$\vec{v}_B = 20 \hat{j} \, m/s$
$B$ के सापेक्ष $A$ का वेग $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v}_{AB} = 10 \hat{i} - 20 \hat{j}$
सापेक्ष वेग का परिमाण:
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{(10)^2 + (-20)^2}$
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500}$
$|\vec{v}_{AB}| \approx 22.36 \, m/s$
निकटतम पूर्णांक में,हमें $22 \, m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
कार $A$ का वेग,$\vec{v}_A = 10 \hat{i} \, m/s$
कार $B$ का वेग,$\vec{v}_B = 20 \hat{j} \, m/s$
$B$ के सापेक्ष $A$ का वेग $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{v}_{AB} = 10 \hat{i} - 20 \hat{j}$
सापेक्ष वेग का परिमाण:
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{(10)^2 + (-20)^2}$
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500}$
$|\vec{v}_{AB}| \approx 22.36 \, m/s$
निकटतम पूर्णांक में,हमें $22 \, m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।
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DifficultMCQ
$60 \,kg$ द्रव्यमान का एक व्यक्ति $140 \,kg$ द्रव्यमान की नाव पर खड़ा है,जो स्थिर पानी में रुकी हुई है। व्यक्ति शुरू में किनारे से $20 \,m$ की दूरी पर है। वह नाव पर किनारे की ओर $1.5 \,m/s$ की स्थिर गति से $4 \,s$ तक चलना शुरू करता है। किनारे से व्यक्ति की अंतिम दूरी .......... $m$ है।
A
$15.8$
B
$4.2$
C
$12.6$
D
$14.1$
Solution
(A) चूंकि निकाय (व्यक्ति + नाव) पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है।
माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m_m = 60 \,kg$ और नाव का द्रव्यमान $m_b = 140 \,kg$ है।
व्यक्ति नाव पर $d = v \times t = 1.5 \,m/s \times 4 \,s = 6.0 \,m$ की दूरी तय करता है।
माना व्यक्ति के किनारे की ओर चलने के कारण नाव किनारे से $x$ दूरी दूर खिसक जाती है।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन शून्य है:
$m_m \Delta x_m + m_b \Delta x_b = 0$
किनारे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर,जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $-(6.0 - x)$ और नाव का विस्थापन $+x$ है।
$60 \times -(6.0 - x) + 140 \times x = 0$
$-360 + 60x + 140x = 0$
$200x = 360$
$x = 1.8 \,m$
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $-(6.0 - 1.8) = -4.2 \,m$ है।
किनारे से प्रारंभिक दूरी $20 \,m$ थी।
अंतिम दूरी $= 20 - 4.2 = 15.8 \,m$।
माना व्यक्ति का द्रव्यमान $m_m = 60 \,kg$ और नाव का द्रव्यमान $m_b = 140 \,kg$ है।
व्यक्ति नाव पर $d = v \times t = 1.5 \,m/s \times 4 \,s = 6.0 \,m$ की दूरी तय करता है।
माना व्यक्ति के किनारे की ओर चलने के कारण नाव किनारे से $x$ दूरी दूर खिसक जाती है।
द्रव्यमान केंद्र के संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,द्रव्यमान केंद्र का विस्थापन शून्य है:
$m_m \Delta x_m + m_b \Delta x_b = 0$
किनारे की दिशा को ऋणात्मक लेने पर,जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $-(6.0 - x)$ और नाव का विस्थापन $+x$ है।
$60 \times -(6.0 - x) + 140 \times x = 0$
$-360 + 60x + 140x = 0$
$200x = 360$
$x = 1.8 \,m$
जमीन के सापेक्ष व्यक्ति का विस्थापन $-(6.0 - 1.8) = -4.2 \,m$ है।
किनारे से प्रारंभिक दूरी $20 \,m$ थी।
अंतिम दूरी $= 20 - 4.2 = 15.8 \,m$।
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MediumMCQ
स्थिर जल में एक तैराक की चाल $4\,km\,h^{-1}$ है। यदि तैराक $1\,km$ चौड़ी नदी के प्रवाह के लंबवत तैरता है,तो वह विपरीत तट पर धारा की दिशा में $750\,m$ दूर पहुँचता है। नदी के जल की चाल $.........\,km\,h^{-1}$ है।
A
$3$
B
$2$
C
$1$
D
$30$
Solution
(A) माना नदी की चौड़ाई $w = 1\,km = 1000\,m$ है। स्थिर जल में तैराक की चाल $v_{sm} = 4\,km\,h^{-1}$ है।
चूंकि तैराक नदी के प्रवाह के लंबवत तैरता है,इसलिए नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{w}{v_{sm}} = \frac{1\,km}{4\,km\,h^{-1}} = 0.25\,h$ है।
इस समय के दौरान,तैराक नदी की धारा के साथ नीचे की ओर बह जाता है। बहाव (drift) $x = 750\,m = 0.75\,km$ दिया गया है।
यह बहाव नदी के वेग $v_r$ के कारण होता है,इसलिए $x = v_r \times t$ है।
मान रखने पर: $0.75\,km = v_r \times 0.25\,h$।
अतः,$v_r = \frac{0.75}{0.25} = 3\,km\,h^{-1}$।
नदी के जल की चाल $3\,km\,h^{-1}$ है।
चूंकि तैराक नदी के प्रवाह के लंबवत तैरता है,इसलिए नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{w}{v_{sm}} = \frac{1\,km}{4\,km\,h^{-1}} = 0.25\,h$ है।
इस समय के दौरान,तैराक नदी की धारा के साथ नीचे की ओर बह जाता है। बहाव (drift) $x = 750\,m = 0.75\,km$ दिया गया है।
यह बहाव नदी के वेग $v_r$ के कारण होता है,इसलिए $x = v_r \times t$ है।
मान रखने पर: $0.75\,km = v_r \times 0.25\,h$।
अतः,$v_r = \frac{0.75}{0.25} = 3\,km\,h^{-1}$।
नदी के जल की चाल $3\,km\,h^{-1}$ है।
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MediumMCQ
$90\,km/h$ की गति से चल रही ट्रेन $A$ में बैठा एक यात्री विपरीत दिशा में चल रही दूसरी ट्रेन $B$ को $8\,s$ तक देखता है। यदि ट्रेन $B$ का वेग $54\,km/h$ है,तो ट्रेन $B$ की लंबाई $..........\,m$ है।
A
$80$
B
$200$
C
$120$
D
$320$
Solution
(D) ट्रेन $A$ का वेग,$V_A = 90\,km/h = 90 \times \frac{5}{18} = 25\,m/s$.
ट्रेन $B$ का वेग,$V_B = 54\,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15\,m/s$.
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,ट्रेन $A$ के सापेक्ष ट्रेन $B$ का सापेक्ष वेग $V_{BA} = V_B - (-V_A) = 15 + 25 = 40\,m/s$ होगा।
पार करने में लगा समय $t = 8\,s$ है।
ट्रेन $B$ की लंबाई $\ell = V_{BA} \times t$ द्वारा दी जाती है।
$\ell = 40\,m/s \times 8\,s = 320\,m$.
ट्रेन $B$ का वेग,$V_B = 54\,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15\,m/s$.
चूंकि ट्रेनें विपरीत दिशाओं में चल रही हैं,ट्रेन $A$ के सापेक्ष ट्रेन $B$ का सापेक्ष वेग $V_{BA} = V_B - (-V_A) = 15 + 25 = 40\,m/s$ होगा।
पार करने में लगा समय $t = 8\,s$ है।
ट्रेन $B$ की लंबाई $\ell = V_{BA} \times t$ द्वारा दी जाती है।
$\ell = 40\,m/s \times 8\,s = 320\,m$.
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DifficultMCQ
$STATEMENT-1$ एक तेज गति वाली ट्रेन की खिड़की से बाहर देखने वाले एक पर्यवेक्षक के लिए,पास की वस्तुएं ट्रेन की विपरीत दिशा में चलती हुई प्रतीत होती हैं,जबकि दूर की वस्तुएं स्थिर प्रतीत होती हैं।
$STATEMENT-2$ यदि पर्यवेक्षक और वस्तु प्रयोगशाला फ्रेम के संदर्भ में क्रमशः $\vec{V}_1$ और $\vec{V}_2$ वेग से चल रहे हैं,तो पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का वेग $\vec{V}_2 - \vec{V}_1$ है।
$STATEMENT-2$ यदि पर्यवेक्षक और वस्तु प्रयोगशाला फ्रेम के संदर्भ में क्रमशः $\vec{V}_1$ और $\vec{V}_2$ वेग से चल रहे हैं,तो पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का वेग $\vec{V}_2 - \vec{V}_1$ है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) $STATEMENT-1$ सत्य है। जब एक पर्यवेक्षक $\vec{V}_1$ वेग से चलता है,तो पास की वस्तु (प्रयोगशाला फ्रेम में स्थिर,$\vec{V}_2 = 0$) का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1 = -\vec{V}_1$ होता है। अतः,पास की वस्तुएं विपरीत दिशा में चलती हुई प्रतीत होती हैं।
$STATEMENT-2$ सत्य है। परिभाषा के अनुसार,पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_{object} - \vec{V}_{observer} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की व्याख्या नहीं है। यह अवलोकन कि दूर की वस्तुएं स्थिर दिखाई देती हैं,इसका कारण यह है कि बड़े $r$ (दूरी) के लिए कोणीय वेग $\omega = v/r$ बहुत छोटा होता है,न कि केवल सापेक्ष वेग के सूत्र के कारण।
$STATEMENT-2$ सत्य है। परिभाषा के अनुसार,पर्यवेक्षक के सापेक्ष वस्तु का सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_{object} - \vec{V}_{observer} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1$ होता है।
हालाँकि,$STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की व्याख्या नहीं है। यह अवलोकन कि दूर की वस्तुएं स्थिर दिखाई देती हैं,इसका कारण यह है कि बड़े $r$ (दूरी) के लिए कोणीय वेग $\omega = v/r$ बहुत छोटा होता है,न कि केवल सापेक्ष वेग के सूत्र के कारण।
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AdvancedMCQ
हवाई जहाज $A$ और $B$ चित्र में दिखाए अनुसार क्रमशः क्षैतिज के साथ $30^{\circ}$ और $60^{\circ}$ के कोण पर एक ही ऊर्ध्वाधर तल में स्थिर वेग से उड़ रहे हैं। $A$ की गति $100 \sqrt{3} \ m/s$ है। समय $t=0$ पर,$A$ में एक पर्यवेक्षक $B$ को $500 \ m$ की दूरी पर पाता है। यह पर्यवेक्षक $B$ को $A$ की गति की रेखा के लंबवत स्थिर वेग से चलते हुए देखता है। यदि $t = t_0$ पर,$A$ बस $B$ द्वारा टकराने से बच जाता है,तो $t_0$ सेकंड में क्या होगा?
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) मान लीजिए हवाई जहाज $A$ का वेग $\vec{V}_A$ है और $B$ का वेग $\vec{V}_B$ है। $A$ का क्षैतिज के साथ कोण $30^{\circ}$ है और $B$ का $60^{\circ}$ है।
दिया गया है,$V_A = 100\sqrt{3} \ m/s$.
$A$ में पर्यवेक्षक $B$ को $A$ की गति की रेखा के लंबवत चलते हुए देखता है। इसका मतलब है कि $A$ के सापेक्ष $B$ के सापेक्ष वेग का $A$ की गति की दिशा में घटक शून्य है।
मान लीजिए $\vec{V}_{BA} = \vec{V}_B - \vec{V}_A$. $\vec{V}_A$ की दिशा में $\vec{V}_{BA}$ का घटक $V_{B} \cos(60^{\circ} - 30^{\circ}) - V_A = 0$ है।
$V_B \cos(30^{\circ}) = V_A = 100\sqrt{3}$.
$V_B (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 100\sqrt{3} \implies V_B = 200 \ m/s$.
$A$ की गति की रेखा के लंबवत $B$ का सापेक्ष वेग $V_{BA, \perp} = V_B \sin(60^{\circ} - 30^{\circ}) = V_B \sin(30^{\circ}) = 200 \times \frac{1}{2} = 100 \ m/s$ है।
गति की रेखा के लंबवत प्रारंभिक दूरी $d = 500 \ m$ है।
इस दूरी को तय करने में लगा समय $t_0 = \frac{d}{V_{BA, \perp}} = \frac{500}{100} = 5 \ s$ है।
दिया गया है,$V_A = 100\sqrt{3} \ m/s$.
$A$ में पर्यवेक्षक $B$ को $A$ की गति की रेखा के लंबवत चलते हुए देखता है। इसका मतलब है कि $A$ के सापेक्ष $B$ के सापेक्ष वेग का $A$ की गति की दिशा में घटक शून्य है।
मान लीजिए $\vec{V}_{BA} = \vec{V}_B - \vec{V}_A$. $\vec{V}_A$ की दिशा में $\vec{V}_{BA}$ का घटक $V_{B} \cos(60^{\circ} - 30^{\circ}) - V_A = 0$ है।
$V_B \cos(30^{\circ}) = V_A = 100\sqrt{3}$.
$V_B (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 100\sqrt{3} \implies V_B = 200 \ m/s$.
$A$ की गति की रेखा के लंबवत $B$ का सापेक्ष वेग $V_{BA, \perp} = V_B \sin(60^{\circ} - 30^{\circ}) = V_B \sin(30^{\circ}) = 200 \times \frac{1}{2} = 100 \ m/s$ है।
गति की रेखा के लंबवत प्रारंभिक दूरी $d = 500 \ m$ है।
इस दूरी को तय करने में लगा समय $t_0 = \frac{d}{V_{BA, \perp}} = \frac{500}{100} = 5 \ s$ है।
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DifficultMCQ
स्थिर जल में एक नाव की अधिकतम चाल $27 \,km/h$ है। अब यह नाव $9 \,km/h$ की चाल से बह रही नदी में धारा के अनुकूल चल रही है। नाव में बैठा एक व्यक्ति गेंद को $10 \,m/s$ की चाल से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंकता है। नदी के किनारे स्थिर एक प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित गेंद की परास (Range) . . . . . . $cm$ है। ($g = 10 \,m/s^2$ लें)
A
$2000$
B
$1000$
C
$3000$
D
$4000$
Solution
(A) जमीन के सापेक्ष नाव का वेग स्थिर जल में नाव की चाल और नदी के प्रवाह की चाल का योग है: $v_b = 27 \,km/h + 9 \,km/h = 36 \,km/h$.
इसे $m/s$ में बदलने पर: $v_b = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
चूंकि गेंद को चलती हुई नाव से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,इसलिए जमीन के सापेक्ष इसका क्षैतिज वेग नाव के वेग के बराबर होगा,$v_x = 10 \,m/s$.
$u_y = 10 \,m/s$ के प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग के साथ फेंकी गई गेंद के लिए उड़ान का समय $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \,s$ है।
किनारे पर स्थित प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित क्षैतिज परास $R = v_x \times T = 10 \,m/s \times 2 \,s = 20 \,m$ है।
परास को सेंटीमीटर में बदलने पर: $R = 20 \,m = 2000 \,cm$.
इसे $m/s$ में बदलने पर: $v_b = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
चूंकि गेंद को चलती हुई नाव से ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,इसलिए जमीन के सापेक्ष इसका क्षैतिज वेग नाव के वेग के बराबर होगा,$v_x = 10 \,m/s$.
$u_y = 10 \,m/s$ के प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग के साथ फेंकी गई गेंद के लिए उड़ान का समय $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \,s$ है।
किनारे पर स्थित प्रेक्षक द्वारा प्रेक्षित क्षैतिज परास $R = v_x \times T = 10 \,m/s \times 2 \,s = 20 \,m$ है।
परास को सेंटीमीटर में बदलने पर: $R = 20 \,m = 2000 \,cm$.
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DifficultMCQ
एक नदी $9 \ km \ h^{-1}$ की गति से पश्चिम से पूर्व की ओर बह रही है। एक नाव, जो स्थिर पानी में $27 \ km \ h^{-1}$ की अधिकतम गति से चल सकती है, आधे मिनट में नदी पार करती है। यदि नाव नदी के प्रवाह की दिशा के साथ $150^{\circ}$ के कोण पर चलती है, तो नदी की चौड़ाई क्या है?
A
$300 \ m$
B
$112.5 \ m$
C
$75 \ m$
D
$112.5 \sqrt{3} \ m$
Solution
(B) स्थिर पानी में नाव का वेग $v_b = 27 \ km \ h^{-1}$ है।
नदी के प्रवाह के साथ कोण $\theta = 150^{\circ}$ है।
नदी के प्रवाह के लंबवत नाव के वेग का घटक $v_{\perp} = v_b \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 27 \times \sin(30^{\circ}) = 27 \times 0.5 = 13.5 \ km \ h^{-1}$ है।
इसे $m \ s^{-1}$ में बदलने के लिए, हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$v_{\perp} = 13.5 \times \frac{5}{18} = 3.75 \ m \ s^{-1}$।
नदी पार करने में लगा समय $t = 0.5 \ \text{minute} = 30 \ s$ है।
नदी की चौड़ाई $d$ का मान $d = v_{\perp} \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$d = 3.75 \ m \ s^{-1} \times 30 \ s = 112.5 \ m$।
नदी के प्रवाह के साथ कोण $\theta = 150^{\circ}$ है।
नदी के प्रवाह के लंबवत नाव के वेग का घटक $v_{\perp} = v_b \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 27 \times \sin(30^{\circ}) = 27 \times 0.5 = 13.5 \ km \ h^{-1}$ है।
इसे $m \ s^{-1}$ में बदलने के लिए, हम $\frac{5}{18}$ से गुणा करते हैं:
$v_{\perp} = 13.5 \times \frac{5}{18} = 3.75 \ m \ s^{-1}$।
नदी पार करने में लगा समय $t = 0.5 \ \text{minute} = 30 \ s$ है।
नदी की चौड़ाई $d$ का मान $d = v_{\perp} \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$d = 3.75 \ m \ s^{-1} \times 30 \ s = 112.5 \ m$।
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DifficultMCQ
दो शहर $X$ और $Y$ एक नियमित बस सेवा द्वारा जुड़े हुए हैं,जिसमें प्रत्येक $T$ मिनट में दोनों दिशाओं में एक बस निकलती है। एक लड़की $60 \ km/h$ की गति से $X$ से $Y$ की दिशा में स्कूटी चला रही है और देखती है कि उसकी गति की दिशा में हर $30$ मिनट में और विपरीत दिशा में हर $10$ मिनट में एक बस उसके पास से गुजरती है। बस सेवा की अवधि $T$ और बसों की गति (स्थिर मानी गई) के लिए सही विकल्प चुनें।
A
$9 \ min, 40 \ km/h$
B
$25 \ min, 100 \ km/h$
C
$10 \ min, 90 \ km/h$
D
$15 \ min, 120 \ km/h$
Solution
(D) मान लीजिए कि बस की गति $V_B$ है और स्कूटी की गति $V_S = 60 \ km/h$ है।
दो क्रमिक बसों के बीच की दूरी $d$ है,जो $d = V_B \times T$ द्वारा दी जाती है।
जब लड़की बस की समान दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(V_B - V_S)$ होती है। बसों के उसे पार करने के बीच का समय अंतराल $t_1 = 30 \ min = 0.5 \ h$ है।
अतः,$d = (V_B - V_S) t_1 \implies V_B T = (V_B - 60) \times 0.5$ --- $(1)$
जब लड़की विपरीत दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(V_B + V_S)$ होती है। समय अंतराल $t_2 = 10 \ min = 1/6 \ h$ है।
अतः,$d = (V_B + V_S) t_2 \implies V_B T = (V_B + 60) \times (1/6)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$0.5(V_B - 60) = \frac{1}{6}(V_B + 60)$
$3(V_B - 60) = V_B + 60$
$3V_B - 180 = V_B + 60$
$2V_B = 240 \implies V_B = 120 \ km/h$.
$V_B$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$120 \times T = (120 - 60) \times 0.5$
$120 \times T = 60 \times 0.5 = 30$
$T = 30/120 = 0.25 \ h = 15 \ min$.
दो क्रमिक बसों के बीच की दूरी $d$ है,जो $d = V_B \times T$ द्वारा दी जाती है।
जब लड़की बस की समान दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(V_B - V_S)$ होती है। बसों के उसे पार करने के बीच का समय अंतराल $t_1 = 30 \ min = 0.5 \ h$ है।
अतः,$d = (V_B - V_S) t_1 \implies V_B T = (V_B - 60) \times 0.5$ --- $(1)$
जब लड़की विपरीत दिशा में चलती है,तो सापेक्ष गति $(V_B + V_S)$ होती है। समय अंतराल $t_2 = 10 \ min = 1/6 \ h$ है।
अतः,$d = (V_B + V_S) t_2 \implies V_B T = (V_B + 60) \times (1/6)$ --- $(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ की तुलना करने पर:
$0.5(V_B - 60) = \frac{1}{6}(V_B + 60)$
$3(V_B - 60) = V_B + 60$
$3V_B - 180 = V_B + 60$
$2V_B = 240 \implies V_B = 120 \ km/h$.
$V_B$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$120 \times T = (120 - 60) \times 0.5$
$120 \times T = 60 \times 0.5 = 30$
$T = 30/120 = 0.25 \ h = 15 \ min$.
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MediumMCQ
एक आदमी $10 \ m/s$ की गति से समतल सड़क पर दौड़ रहा है। उसे लगता है कि बारिश $10 \sqrt{3} \ m/s$ की गति से लंबवत नीचे की ओर गिर रही है। यदि वह समान गति से विपरीत दिशा में दौड़ता है,तो उसके सापेक्ष बारिश की गति क्या होगी?
A
$20 \ m/s$
B
$10 \sqrt{3} \ m/s$
C
$10 \sqrt{7} \ m/s$
D
$\frac{10}{\sqrt{3}} \ m/s$
Solution
(C) मान लीजिए आदमी का वेग $\vec{V}_m = 10 \hat{i} \ m/s$ है।
आदमी के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{V}_{rm} = -10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।
बारिश का वेग $\vec{V}_r$ समीकरण $\vec{V}_{rm} = \vec{V}_r - \vec{V}_m$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\vec{V}_r = \vec{V}_{rm} + \vec{V}_m = 10 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।
अब,आदमी विपरीत दिशा में दौड़ता है,इसलिए उसका नया वेग $\vec{V}_{m'} = -10 \hat{i} \ m/s$ है।
आदमी के सापेक्ष बारिश का नया सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rm'} = \vec{V}_r - \vec{V}_{m'} = (10 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j}) - (-10 \hat{i}) = 20 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।
इस सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{V}_{rm'}| = \sqrt{(20)^2 + (-10 \sqrt{3})^2} = \sqrt{400 + 300} = \sqrt{700} = 10 \sqrt{7} \ m/s$ होगा।
आदमी के सापेक्ष बारिश का वेग $\vec{V}_{rm} = -10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।
बारिश का वेग $\vec{V}_r$ समीकरण $\vec{V}_{rm} = \vec{V}_r - \vec{V}_m$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\vec{V}_r = \vec{V}_{rm} + \vec{V}_m = 10 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।
अब,आदमी विपरीत दिशा में दौड़ता है,इसलिए उसका नया वेग $\vec{V}_{m'} = -10 \hat{i} \ m/s$ है।
आदमी के सापेक्ष बारिश का नया सापेक्ष वेग $\vec{V}_{rm'} = \vec{V}_r - \vec{V}_{m'} = (10 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j}) - (-10 \hat{i}) = 20 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ है।
इस सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{V}_{rm'}| = \sqrt{(20)^2 + (-10 \sqrt{3})^2} = \sqrt{400 + 300} = \sqrt{700} = 10 \sqrt{7} \ m/s$ होगा।
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MediumMCQ
एक तैराक स्थिर जल में $5 \,m/s$ की गति से तैर सकता है। यदि नदी $4 \,m/s$ की गति से बह रही है, तो $300 \,m$ चौड़ी नदी को पार करने में लगने वाला समय ज्ञात कीजिए यदि उसे ठीक विपरीत बिंदु पर पहुँचना है।
A
$60$
B
$75$
C
$100$
D
$200$
Solution
(C) ठीक विपरीत बिंदु पर पहुँचने के लिए, तैराक को नदी की धारा के विरुद्ध इस प्रकार तैरना चाहिए कि परिणामी वेग नदी के किनारे के लंबवत हो।
माना $v_s = 5 \,m/s$ स्थिर जल में तैराक की गति है और $v_r = 4 \,m/s$ नदी के प्रवाह की गति है।
किनारे के लंबवत प्रभावी वेग $v_{eff} = \sqrt{v_s^2 - v_r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{eff} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \,m/s$.
$d = 300 \,m$ चौड़ी नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{eff}}$ है।
$t = \frac{300}{3} = 100 \,s$.
माना $v_s = 5 \,m/s$ स्थिर जल में तैराक की गति है और $v_r = 4 \,m/s$ नदी के प्रवाह की गति है।
किनारे के लंबवत प्रभावी वेग $v_{eff} = \sqrt{v_s^2 - v_r^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$v_{eff} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \,m/s$.
$d = 300 \,m$ चौड़ी नदी को पार करने में लगा समय $t = \frac{d}{v_{eff}}$ है।
$t = \frac{300}{3} = 100 \,s$.
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EasyMCQ
दो ट्रेनें, प्रत्येक $30 \,m$ लंबी, विपरीत दिशाओं में $5 \,m/s$ और $10 \,m/s$ के वेग से यात्रा कर रही हैं। वे कितने समय बाद एक-दूसरे को पार करेंगी ($\,s$ में)?
A
$4$
B
$3$
C
$2$
D
$1$
Solution
(A) चूंकि दोनों ट्रेनें विपरीत दिशाओं में गति कर रही हैं, इसलिए एक ट्रेन का दूसरी ट्रेन के सापेक्ष वेग $V_{rel} = V_1 + V_2 = 5 \,m/s + 10 \,m/s = 15 \,m/s$ होगा।
एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए, तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई के योग के बराबर होनी चाहिए।
कुल दूरी $L = 30 \,m + 30 \,m = 60 \,m$.
पार करने में लगा समय $t = \frac{L}{V_{rel}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $t = \frac{60 \,m}{15 \,m/s} = 4 \,s$।
एक-दूसरे को पूरी तरह से पार करने के लिए, तय की गई कुल दूरी दोनों ट्रेनों की लंबाई के योग के बराबर होनी चाहिए।
कुल दूरी $L = 30 \,m + 30 \,m = 60 \,m$.
पार करने में लगा समय $t = \frac{L}{V_{rel}}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर, $t = \frac{60 \,m}{15 \,m/s} = 4 \,s$।
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MediumMCQ
दो लड़के जमीन पर बिंदुओं $A$ और $B$ पर खड़े हैं,जहाँ दूरी $AB = x$ है। $B$ पर स्थित लड़का $AB$ के लंबवत $v_1$ वेग से दौड़ना शुरू करता है। $A$ पर स्थित लड़का उसी समय $v$ वेग से दौड़ना शुरू करता है और $t$ समय में दूसरे लड़के से मिलता है। $t$ का मान क्या है?
A
$\frac{x}{\sqrt{v^2 - v_1^2}}$
B
$\frac{x}{\sqrt{v_1^2 - v^2}}$
C
$\frac{x}{v - v_1}$
D
$\frac{x}{v + v_1}$
Solution
(A) मान लीजिए कि $A$ पर स्थित लड़का मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और $B$ पर स्थित लड़का $(x, 0)$ पर है।
$B$ पर स्थित लड़का $y$-अक्ष के अनुदिश $v_1$ वेग से गति करता है। $t$ समय पर उसकी स्थिति $(x, v_1 t)$ है।
$A$ पर स्थित लड़का $v$ वेग से गति करता है और $t$ समय पर $B$ वाले लड़के से मिलता है। $t$ समय पर उसकी स्थिति $(v_x t, v_y t)$ है,ताकि $\sqrt{(v_x t)^2 + (v_y t)^2} = vt$ हो।
चूंकि वे $(x, v_1 t)$ पर मिलते हैं,इसलिए $v_x t = x$ और $v_y t = v_1 t$ है।
वेग के परिमाण की शर्त का उपयोग करते हुए: $(v_x t)^2 + (v_y t)^2 = (vt)^2$।
मान रखने पर: $x^2 + (v_1 t)^2 = v^2 t^2$।
$t^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = x^2$।
$t^2 (v^2 - v_1^2) = x^2$।
$t = \frac{x}{\sqrt{v^2 - v_1^2}}$।
$B$ पर स्थित लड़का $y$-अक्ष के अनुदिश $v_1$ वेग से गति करता है। $t$ समय पर उसकी स्थिति $(x, v_1 t)$ है।
$A$ पर स्थित लड़का $v$ वेग से गति करता है और $t$ समय पर $B$ वाले लड़के से मिलता है। $t$ समय पर उसकी स्थिति $(v_x t, v_y t)$ है,ताकि $\sqrt{(v_x t)^2 + (v_y t)^2} = vt$ हो।
चूंकि वे $(x, v_1 t)$ पर मिलते हैं,इसलिए $v_x t = x$ और $v_y t = v_1 t$ है।
वेग के परिमाण की शर्त का उपयोग करते हुए: $(v_x t)^2 + (v_y t)^2 = (vt)^2$।
मान रखने पर: $x^2 + (v_1 t)^2 = v^2 t^2$।
$t^2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = x^2$।
$t^2 (v^2 - v_1^2) = x^2$।
$t = \frac{x}{\sqrt{v^2 - v_1^2}}$।
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MediumMCQ
दो लड़कियाँ एक मैदान के सिरों $A$ और $B$ पर खड़ी हैं जहाँ $AB = b$ है। $B$ पर खड़ी लड़की $AB$ के लंबवत दिशा में $V_1$ वेग से दौड़ना शुरू करती है। $A$ पर खड़ी लड़की उसी समय $V_2$ वेग से दौड़ना शुरू करती है और न्यूनतम समय $t$ में दूसरी लड़की से मिल जाती है। $t$ का मान क्या है?
A
$\frac{b}{\sqrt{V_1^2 + V_2^2}}$
B
$\frac{b}{V_1 + V_2}$
C
$\frac{b}{V_2 - V_1}$
D
$\frac{b}{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}$
Solution
(D) मान लीजिए $A$ पर लड़की की स्थिति $(0, 0)$ है और $B$ पर लड़की की स्थिति $(b, 0)$ है।
$B$ पर लड़की $V_1$ वेग $\vec{V_1} = V_1 \hat{j}$ के साथ चलती है। समय $t$ पर उसकी स्थिति $\vec{r_B}(t) = b \hat{i} + V_1 t \hat{j}$ है।
$A$ पर लड़की $V_2$ वेग के साथ चलती है। मान लीजिए $\vec{V_2} = V_2 \cos \theta \hat{i} + V_2 \sin \theta \hat{j}$ है।
समय $t$ पर उसकी स्थिति $\vec{r_A}(t) = (V_2 \cos \theta) t \hat{i} + (V_2 \sin \theta) t \hat{j}$ है।
उनके मिलने के लिए,$\vec{r_A}(t) = \vec{r_B}(t)$ होना चाहिए,इसलिए $V_2 \cos \theta t = b$ और $V_2 \sin \theta t = V_1 t$ है।
दूसरे समीकरण से,$\sin \theta = V_1 / V_2$ है। अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - (V_1/V_2)^2} = \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2}$ है।
$\cos \theta$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $V_2 \left( \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2} \right) t = b$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{b}{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}$ है।
$B$ पर लड़की $V_1$ वेग $\vec{V_1} = V_1 \hat{j}$ के साथ चलती है। समय $t$ पर उसकी स्थिति $\vec{r_B}(t) = b \hat{i} + V_1 t \hat{j}$ है।
$A$ पर लड़की $V_2$ वेग के साथ चलती है। मान लीजिए $\vec{V_2} = V_2 \cos \theta \hat{i} + V_2 \sin \theta \hat{j}$ है।
समय $t$ पर उसकी स्थिति $\vec{r_A}(t) = (V_2 \cos \theta) t \hat{i} + (V_2 \sin \theta) t \hat{j}$ है।
उनके मिलने के लिए,$\vec{r_A}(t) = \vec{r_B}(t)$ होना चाहिए,इसलिए $V_2 \cos \theta t = b$ और $V_2 \sin \theta t = V_1 t$ है।
दूसरे समीकरण से,$\sin \theta = V_1 / V_2$ है। अतः,$\cos \theta = \sqrt{1 - (V_1/V_2)^2} = \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2}$ है।
$\cos \theta$ का मान पहले समीकरण में रखने पर: $V_2 \left( \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2} \right) t = b$ प्राप्त होता है।
अतः,$t = \frac{b}{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}$ है।
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DifficultMCQ
एक ट्रेन सीधी पटरी पर $2 \,ms^{-1}$ की स्थिर गति से धीरे-धीरे चल रही है। उस ट्रेन में एक यात्री ट्रेन की गति की विपरीत दिशा में ट्रेन के पिछले हिस्से की ओर $2 \,ms^{-1}$ की स्थिर गति से चलना शुरू करता है। प्लेटफॉर्म पर खड़े एक पर्यवेक्षक के लिए, जो उस यात्री के ठीक सामने है, यात्री का वेग कितना प्रतीत होगा?
A
$4 \,ms^{-1}$
B
$2 \,ms^{-1}$
C
ट्रेन की विपरीत दिशा में $2 \,ms^{-1}$
D
शून्य
Solution
(D) मान लीजिए कि जमीन के सापेक्ष ट्रेन का वेग $v_T = 2 \,ms^{-1}$ है (गति की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
ट्रेन के सापेक्ष यात्री का वेग $v_{P/T} = -2 \,ms^{-1}$ है (क्योंकि यात्री ट्रेन के पिछले हिस्से की ओर चल रहा है)।
जमीन के सापेक्ष (प्लेटफॉर्म पर पर्यवेक्षक) यात्री का वेग सापेक्ष वेग के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$v_P = v_{P/T} + v_T$
$v_P = -2 \,ms^{-1} + 2 \,ms^{-1} = 0 \,ms^{-1}$.
इसलिए, प्लेटफॉर्म पर खड़े पर्यवेक्षक को यात्री का वेग शून्य प्रतीत होगा।
ट्रेन के सापेक्ष यात्री का वेग $v_{P/T} = -2 \,ms^{-1}$ है (क्योंकि यात्री ट्रेन के पिछले हिस्से की ओर चल रहा है)।
जमीन के सापेक्ष (प्लेटफॉर्म पर पर्यवेक्षक) यात्री का वेग सापेक्ष वेग के सूत्र द्वारा प्राप्त होता है:
$v_P = v_{P/T} + v_T$
$v_P = -2 \,ms^{-1} + 2 \,ms^{-1} = 0 \,ms^{-1}$.
इसलिए, प्लेटफॉर्म पर खड़े पर्यवेक्षक को यात्री का वेग शून्य प्रतीत होगा।
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MediumMCQ
एक मोटरबोट नदी में धारा की दिशा (downstream) में एक निश्चित दूरी $6 \,h$ में तय करती है। वह धारा के विपरीत (upstream) वही दूरी $10 \,h$ में तय करती है। स्थिर जल में वही दूरी तय करने में उसे कितना समय लगेगा ($\,h$ में)?
A
$9$
B
$7.5$
C
$6.5$
D
$8$
Solution
(B) माना स्थिर जल में मोटरबोट का वेग $v_{b}$ है और नदी के जल का वेग $v_{w}$ है।
धारा की दिशा में चलते समय,प्रभावी वेग $(v_{b} + v_{w})$ होता है। $6 \,h$ में तय की गई दूरी $x$ है:
$x = (v_{b} + v_{w}) \times 6$ ---$(i)$
धारा के विपरीत चलते समय,प्रभावी वेग $(v_{b} - v_{w})$ होता है। $10 \,h$ में तय की गई दूरी $x$ है:
$x = (v_{b} - v_{w}) \times 10$ ---(ii)
दूरी $x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$(v_{b} + v_{w}) \times 6 = (v_{b} - v_{w}) \times 10$
$6v_{b} + 6v_{w} = 10v_{b} - 10v_{w}$
$16v_{w} = 4v_{b}$
$v_{w} = \frac{v_{b}}{4}$
$x$ को $v_{b}$ के पदों में ज्ञात करने के लिए $v_{w}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x = (v_{b} + \frac{v_{b}}{4}) \times 6 = (\frac{5v_{b}}{4}) \times 6 = 7.5v_{b}$
स्थिर जल में (जहाँ वेग $v_{b}$ है) दूरी $x$ तय करने में लगा समय $t$ है:
$t = \frac{x}{v_{b}} = \frac{7.5v_{b}}{v_{b}} = 7.5 \,h$
धारा की दिशा में चलते समय,प्रभावी वेग $(v_{b} + v_{w})$ होता है। $6 \,h$ में तय की गई दूरी $x$ है:
$x = (v_{b} + v_{w}) \times 6$ ---$(i)$
धारा के विपरीत चलते समय,प्रभावी वेग $(v_{b} - v_{w})$ होता है। $10 \,h$ में तय की गई दूरी $x$ है:
$x = (v_{b} - v_{w}) \times 10$ ---(ii)
दूरी $x$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$(v_{b} + v_{w}) \times 6 = (v_{b} - v_{w}) \times 10$
$6v_{b} + 6v_{w} = 10v_{b} - 10v_{w}$
$16v_{w} = 4v_{b}$
$v_{w} = \frac{v_{b}}{4}$
$x$ को $v_{b}$ के पदों में ज्ञात करने के लिए $v_{w}$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x = (v_{b} + \frac{v_{b}}{4}) \times 6 = (\frac{5v_{b}}{4}) \times 6 = 7.5v_{b}$
स्थिर जल में (जहाँ वेग $v_{b}$ है) दूरी $x$ तय करने में लगा समय $t$ है:
$t = \frac{x}{v_{b}} = \frac{7.5v_{b}}{v_{b}} = 7.5 \,h$
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EasyMCQ
बारिश $12 \ ms^{-1}$ की गति से ऊर्ध्वाधर नीचे गिर रही है। एक महिला $12 \ ms^{-1}$ की गति से पूर्व से पश्चिम दिशा में साइकिल चला रही है। उसे अपना छाता किस दिशा में रखना चाहिए?
A
$30^{\circ}$,पूर्व की ओर
B
$45^{\circ}$,पूर्व की ओर
C
$30^{\circ}$,पश्चिम की ओर
D
$45^{\circ}$,पश्चिम की ओर
Solution
(D) बारिश का वेग $\vec{v}_r = -12 \hat{j} \ ms^{-1}$ है।
महिला का वेग $\vec{v}_w = -12 \hat{i} \ ms^{-1}$ है (क्योंकि वह पूर्व से पश्चिम की ओर गति कर रही है)।
महिला के सापेक्ष बारिश का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{rw} = \vec{v}_r - \vec{v}_w = -12 \hat{j} - (-12 \hat{i}) = 12 \hat{i} - 12 \hat{j} \ ms^{-1}$ है।
बारिश से बचने के लिए,महिला को अपना छाता बारिश के सापेक्ष वेग की विपरीत दिशा में रखना चाहिए।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{|v_w|}{|v_r|} = \frac{12}{12} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ है।
चूंकि महिला पश्चिम की ओर गति कर रही है,सापेक्ष वेग सदिश पश्चिम की ओर इंगित करता है,इसलिए बारिश से बचने के लिए उसे छाता पश्चिम की ओर $45^{\circ}$ के कोण पर रखना चाहिए।
महिला का वेग $\vec{v}_w = -12 \hat{i} \ ms^{-1}$ है (क्योंकि वह पूर्व से पश्चिम की ओर गति कर रही है)।
महिला के सापेक्ष बारिश का सापेक्ष वेग $\vec{v}_{rw} = \vec{v}_r - \vec{v}_w = -12 \hat{j} - (-12 \hat{i}) = 12 \hat{i} - 12 \hat{j} \ ms^{-1}$ है।
बारिश से बचने के लिए,महिला को अपना छाता बारिश के सापेक्ष वेग की विपरीत दिशा में रखना चाहिए।
ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ का मान $\tan \theta = \frac{|v_w|}{|v_r|} = \frac{12}{12} = 1$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$ है।
चूंकि महिला पश्चिम की ओर गति कर रही है,सापेक्ष वेग सदिश पश्चिम की ओर इंगित करता है,इसलिए बारिश से बचने के लिए उसे छाता पश्चिम की ओर $45^{\circ}$ के कोण पर रखना चाहिए।
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MediumMCQ
दो कण जिनके स्थिति सदिश $r_1 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j}) \text{ m}$ और $r_2 = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j}) \text{ m}$ हैं,वे $v_1 = (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) \text{ m/s}$ और $v_2 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) \text{ m/s}$ के वेग से गति कर रहे हैं। यदि वे $2 \text{ s}$ बाद टकराते हैं,तो $a$ का मान क्या है?
A
$2$
B
$4$
C
$6$
D
$8$
Solution
(D) दो कणों के टकराने के लिए,समय $t$ पर उनकी स्थिति समान होनी चाहिए: $r_1 + v_1 t = r_2 + v_2 t$.
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
दिया गया है $r_1 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$ और $r_2 = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j})$,तो सापेक्ष स्थिति सदिश $r_1 - r_2 = (3 - (-5)) \hat{i} + (5 - (-3)) \hat{j} = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \text{ m}$ है।
सापेक्ष वेग $v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
$t = 2 \text{ s}$ के साथ टक्कर की स्थिति में इन मानों को रखने पर:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ से विभाजित करने पर: $4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $4 = a - 4$,जिससे $a = 8$ प्राप्त होता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
दिया गया है $r_1 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$ और $r_2 = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j})$,तो सापेक्ष स्थिति सदिश $r_1 - r_2 = (3 - (-5)) \hat{i} + (5 - (-3)) \hat{j} = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \text{ m}$ है।
सापेक्ष वेग $v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$ है।
$t = 2 \text{ s}$ के साथ टक्कर की स्थिति में इन मानों को रखने पर:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ से विभाजित करने पर: $4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ के गुणांकों की तुलना करने पर: $4 = a - 4$,जिससे $a = 8$ प्राप्त होता है।
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View Solution3-2.Motion in Plane — Relative Velocity (river boat, rain, wind) · Frequently Asked Questions
1Are these 3-2.Motion in Plane questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
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