Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Gujarati

(D) ધારો કે $\vec{V}_r$ એ વરસાદનો વેગ છે અને $\vec{V}_m$ એ માણસનો વેગ છે.
જ્યારે માણસ દોડી રહ્યો હોય,ત્યારે માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\vec{V}_{rm} = \vec{V}_r - \vec{V}_m$ છે. આપેલ છે કે આ વેગ શિરોલંબ છે,તેથી $\vec{V}_{rm} = -10\hat{j}$.
આમ,$\vec{V}_r - \vec{V}_m = -10\hat{j}$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{V}_r = \vec{V}_m - 10\hat{j}$.
માણસ આડી દિશામાં દોડી રહ્યો હોવાથી,ધારો કે $\vec{V}_m = v\hat{i}$. તેથી,$\vec{V}_r = v\hat{i} - 10\hat{j}$.
જ્યારે માણસ ઉભો રહે છે,ત્યારે તે વરસાદનો વાસ્તવિક વેગ $\vec{V}_r$ જુએ છે,જે શિરોલંબ સાથે $30^o$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$\vec{V}_r$ ના ઘટકો પરથી,$\tan 30^o = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{v}{10}$.
તેથી,$v = 10 \tan 30^o = 10 \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}}\,m/s$.

(B) કણ $A$ એ કણ $B$ ને પકડવા માટે,$A$ ના વેગનો $B$ ની ગતિની દિશામાંનો ઘટક $B$ ના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ.
ધારો કે $A$ નો વેગ $v$ છે. $B$ નો વેગ શિરોલંબ દિશામાં $30 \ m/s$ છે.
$A$ એ $B$ ને પકડવા માટે,$A$ ના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $B$ ના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ:
$(v_y)_A = (v_y)_B$
$v \sin 37^{\circ} = 30 \ m/s$
કારણ કે $\sin 37^{\circ} = 3/5$,તેથી:
$v \times (3/5) = 30$
$v = 30 \times (5/3) = 50 \ m/s$
હવે,$B$ ને પકડવા માટે લાગતો સમય એ $A$ દ્વારા $B$ ની સાપેક્ષમાં $200 \ m$ નું સમક્ષિતિજ અંતર કાપવા માટે જરૂરી સમય છે:
સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{સાપેક્ષ સમક્ષિતિજ વેગ}} = \frac{200}{v \cos 37^{\circ}}$
કારણ કે $\cos 37^{\circ} = 4/5$,તેથી:
$t = \frac{200}{50 \times (4/5)} = \frac{200}{40} = 5 \ s$.

(C) ધારો કે પ્રથમ જહાજનો વેગ $\vec{v}_A = 10 \hat{i} \, km/hr$ છે.
ધારો કે બીજા જહાજનો વેગ $\vec{v}_B = v_B \sin(30^o) \hat{i} + v_B \cos(30^o) \hat{j}$ છે.
કારણ કે બીજું જહાજ હંમેશા પ્રથમ જહાજની ઉત્તરે રહે છે,તેથી સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ નો પૂર્વ-પશ્ચિમ દિશામાં કોઈ ઘટક હોવો જોઈએ નહીં (એટલે કે $\hat{i}$ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ).
તેથી,$v_B \sin(30^o) - 10 = 0$.
$v_B \times (1/2) = 10$.
$v_B = 20 \, km/hr$.

(C) કણ $P_1$ નો $P_2$ ની સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
સદિશો માટે ત્રિકોણની અસમતાનો ઉપયોગ કરતા,સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{12}| = |\vec{v}_1 + (-\vec{v}_2)|$ દ્વારા મળે છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$|\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a}| + |\vec{b}|$.
$\vec{a} = \vec{v}_1$ અને $\vec{b} = -\vec{v}_2$ મૂકતા,આપણને $|\vec{v}_{12}| \leq |\vec{v}_1| + |-\vec{v}_2|$ મળે છે.
કારણ કે $|-\vec{v}_2| = |\vec{v}_2|$,આ સમીકરણ $|\vec{v}_{12}| \leq v_1 + v_2$ માં પરિણમે છે.
તેથી,સાપેક્ષ વેગ $v_{12}$ એ વ્યક્તિગત વેગના સરવાળા $v_1 + v_2$ કરતા વધારે હોઈ શકે નહીં.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ $v_m$ છે અને નદીના પ્રવાહની ઝડપ $v_r$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ: $v_m + v_r = \frac{10\,km}{2\,hrs} = 5\,km/h$ $...(i)$
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ: $v_m - v_r = \frac{30\,km}{10\,hrs} = 3\,km/h$ $...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$2v_m = 8\,km/h \Rightarrow v_m = 4\,km/h$
સ્થિર પાણીમાં $40\,km$ તરવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{\text{અંતર}}{v_m} = \frac{40\,km}{4\,km/h} = 10\,hrs$.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસનો વેગ $v$ છે અને નદીના પ્રવાહનો વેગ $u = 5 \ m/s$ છે.
સીધા સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે,માણસે એવા ખૂણે તરવું જોઈએ કે જેથી તેનો પરિણામી વેગ નદીના પ્રવાહને લંબ હોય.
નદીની આરપાર માણસનો અસરકારક વેગ $v_{eff} = \sqrt{v^2 - u^2}$ છે.
નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{eff}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d = 60 \ m$ એ નદીની પહોળાઈ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 = \frac{60}{\sqrt{v^2 - 5^2}}$.
$\sqrt{v^2 - 25} = \frac{60}{5} = 12$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 - 25 = 144$.
$v^2 = 144 + 25 = 169$.
$v = \sqrt{169} = 13 \ m/s$.

(B) ધારો કે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -30\hat{j}\,ms^{-1}$ છે અને સાયકલનો વેગ $\vec{v}_b = -12\hat{i}\,ms^{-1}$ છે (કારણ કે તે પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરે છે).
સ્ત્રીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rb} = \vec{v}_r - \vec{v}_b = -30\hat{j} - (-12\hat{i}) = 12\hat{i} - 30\hat{j}\,ms^{-1}$ છે.
વરસાદથી બચવા માટે,તેણીએ છત્રીને વરસાદના સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rb}$ ની દિશામાં પકડવી જોઈએ.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{|v_b|}{|v_r|} = \frac{12}{30} = \frac{2}{5}$ દ્વારા મળે છે.
આમ,$\theta = \tan^{-1}(\frac{2}{5})$.
સાપેક્ષ વેગ સદિશનો $x$-ઘટક ધન (સ્ત્રીની સાપેક્ષમાં પૂર્વ તરફ) અને $y$-ઘટક ઋણ (નીચેની તરફ) હોવાથી,વરસાદ પૂર્વ દિશામાંથી આવતો હોય તેવું લાગે છે. તેથી,વરસાદને રોકવા માટે તેણીએ તેની છત્રી પશ્ચિમ તરફ નમાવવી જોઈએ.

(A) થી $B$ સુધી સીધી રેખામાં મુસાફરી કરવા માટે જ્યારે $v$ ઝડપનો પવન $AB$ ને લંબ રૂપે ફૂંકાતો હોય,ત્યારે વિમાને એવા ખૂણે ઉડવું પડે કે જેથી તેનો પરિણામી વેગ સદિશ સીધો $AB$ ની દિશામાં રહે.
ધારો કે જમીનની સાપેક્ષમાં વિમાનનો પરિણામી વેગ $V_g$ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$V^2 = V_g^2 + v^2$,જે જમીન પરની ઝડપ $V_g = \sqrt{V^2 - v^2}$ આપે છે.
$A$ થી $B$ સુધી મુસાફરી કરવા માટેનો સમય $t_1 = \frac{\ell}{V_g} = \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}}$ છે.
તે જ રીતે,$B$ થી $A$ સુધી પાછા આવવા માટેનો સમય $t_2 = \frac{\ell}{V_g} = \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}}$ છે.
રાઉન્ડ ટ્રીપ માટેનો કુલ સમય $T = t_1 + t_2 = \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}} + \frac{\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}} = \frac{2\ell}{\sqrt{V^2 - v^2}}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{V}_R$ એ વરસાદનો વાસ્તવિક વેગ (શિરોલંબ નીચેની તરફ) છે અને $\vec{V}_M$ એ માણસનો વેગ ($12 \ km/h$ સમક્ષિતિજ દિશામાં) છે.
માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{RM} = \vec{V}_R - \vec{V}_M$ છે.
વેક્ટર આકૃતિ પરથી,શિરોલંબ ($\vec{V}_R$ ની દિશા) અને સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{V}_{RM}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
$\vec{V}_R$,$\vec{V}_M$,અને $\vec{V}_{RM}$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં ત્રિકોણમિતિનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(60^{\circ}) = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{પાસેની બાજુ}} = \frac{V_M}{V_R}$
જ્ઞાત કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{3} = \frac{12}{V_R}$
$V_R$ માટે ઉકેલતા:
$V_R = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12 \times \sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3} \ km/h$.

(C) ધારો કે એસ્કેલેટરની લંબાઈ $L$ છે.
બંધ પડેલા એસ્કેલેટર પર વ્યક્તિની ચાલવાની ઝડપ $v_p = \frac{L}{60}$ છે.
એસ્કેલેટરની ઝડપ $v_e = \frac{L}{40}$ છે.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલતા એસ્કેલેટર પર ચાલે છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $v_{eff} = v_p + v_e$ થાય છે.
$v_{eff} = \frac{L}{60} + \frac{L}{40} = L \left( \frac{2+3}{120} \right) = \frac{5L}{120} = \frac{L}{24}$.
$L$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{v_{eff}} = \frac{L}{L/24} = 24\,s$ થાય.

(A) પેસેન્જર ટ્રેન દ્વારા માલગાડીને સંપૂર્ણપણે ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર તેમની લંબાઈનો સરવાળો છે: $D = 60\, m + 120\, m = 180\, m = 0.18\, km$.
$(i)$ જ્યારે સમાન દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = 80 - 30 = 50\, km/hr$ થાય.
લાગતો સમય $t_1 = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{0.18}{50}\, hr$ છે.
$(ii)$ જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોય,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = 80 + 30 = 110\, km/hr$ થાય.
લાગતો સમય $t_2 = \frac{D}{v_{rel}} = \frac{0.18}{110}\, hr$ છે.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{0.18 / 50}{0.18 / 110} = \frac{110}{50} = \frac{11}{5} = 2.2$ થાય.

(C) ધારો કે જહાજ $A$ નું સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર છે.
પ્રારંભિક સ્થાન સદિશો $\vec{r}_A = 0\hat{i} + 0\hat{j}$ અને $\vec{r}_B = 80\hat{i} + 150\hat{j}$ છે.
વેગ સદિશો $\vec{v}_A = 30\hat{i} + 50\hat{j}$ અને $\vec{v}_B = -10\hat{i}$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = 80\hat{i} + 150\hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (-10\hat{i}) - (30\hat{i} + 50\hat{j}) = -40\hat{i} - 50\hat{j}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર માટેનો સમય $t = -\frac{\vec{r}_{BA} \cdot \vec{v}_{BA}}{|\vec{v}_{BA}|^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$t = -\frac{(80\hat{i} + 150\hat{j}) \cdot (-40\hat{i} - 50\hat{j})}{(-40)^2 + (-50)^2}$
$t = -\frac{(80 \times -40) + (150 \times -50)}{1600 + 2500}$
$t = -\frac{-3200 - 7500}{4100} = \frac{10700}{4100} = \frac{107}{41} \approx 2.61\,\text{hrs}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સમય $2.6\,\text{hrs}$ છે.

(C) નદીને સીધી પાર કરવા માટે,તરવૈયાના વેગનો નદીના પ્રવાહને લંબ ઘટક નદીના વેગને સંતુલિત કરવો જોઈએ.
ધારો કે $\theta$ એ તરવૈયા દ્વારા નદીના પ્રવાહને લંબ રેખા સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
નદીનો વેગ $v_r = 2\,km/h$ છે.
તરવૈયાનો વેગ $v_s = 4\,km/h$ છે.
તરવૈયો સીધો સામેના કાંઠે પહોંચે તે માટે,તરવૈયાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક નદીના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ:
$v_s \sin \theta = v_r$
$4 \sin \theta = 2$
$\sin \theta = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^\circ$ (લંબ રેખાની સાપેક્ષમાં).
નદીના પ્રવાહની દિશા સાથેનો ખૂણો $90^\circ + \theta = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ$ થશે.

(D) ધારો કે જમીનની સાપેક્ષમાં પટ્ટાનો વેગ $v_{BG} = 4 \, km \, h^{-1}$ છે.
ધારો કે પટ્ટાની સાપેક્ષમાં બાળકનો વેગ $v_{CB} = 9 \, km \, h^{-1}$ છે.
જ્યારે બાળક પટ્ટાની ગતિની દિશામાં દોડતું હોય ત્યારે આપણે જમીનની સાપેક્ષમાં બાળકના વેગ $(v_{CG})$ ની ગણતરી કરવાની છે.
સાપેક્ષ વેગના સૂત્ર મુજબ: $v_{CG} = v_{CB} + v_{BG}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v_{CG} = 9 \, km \, h^{-1} + 4 \, km \, h^{-1} = 13 \, km \, h^{-1}$.
આમ,સ્થિર પ્લેટફોર્મ પરના અવલોકનકાર માટે,પટ્ટાની ગતિની દિશામાં દોડતા બાળકની ઝડપ $13 \, km \, h^{-1}$ છે.

(C) ધારો કે બેલ્ટની સાપેક્ષમાં બાળકની ઝડપ $v_{cb} = 9\,km/h$ છે.
ધારો કે જમીન (પ્લેટફોર્મ) ની સાપેક્ષમાં બેલ્ટની ઝડપ $v_{bg} = 4\,km/h$ છે.
જ્યારે બાળક બેલ્ટની ગતિની દિશામાં દોડતું હોય ત્યારે જમીનની સાપેક્ષમાં બાળકની ઝડપ $(v_{cg})$ શોધવાની છે.
સાપેક્ષ વેગના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા: $v_{cg} = v_{cb} + v_{bg}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $v_{cg} = 9\,km/h + 4\,km/h = 13\,km/h$.
તેથી,પ્લેટફોર્મ પરના અવલોકનકાર માટે,બેલ્ટની ગતિની દિશામાં બાળકની ઝડપ $13\,km/h$ છે.

(A) ધારો કે કાર $A$ અને $B$ ની ઝડપ $v_A = v_B = 45\,km/h$ સમાન દિશામાં છે.
ધારો કે કાર $C$ ની ઝડપ $v_C = 36\,km/h$ વિરુદ્ધ દિશામાં છે.
કાર $A$ અને $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $C$ ની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_A + v_C = 45 + 36 = 81\,km/h$ થશે.
કારણ કે કાર $C$ એ કાર $A$ અને કાર $B$ ને $\Delta t = 5\,min = \frac{5}{60}\,h = \frac{1}{12}\,h$ ના સમયના અંતરાલમાં મળે છે,તેથી કાર $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d$ એ તેમની સાપેક્ષ ઝડપ અને સમયના અંતરાલના ગુણાકાર જેટલું હોય.
$d = v_{rel} \times \Delta t = 81 \times \frac{1}{12} = 6.75\,km$.

(D) ધારો કે દક્ષિણથી ઉત્તર તરફની દિશા એ $x$-અક્ષની ધન દિશા છે.
ટ્રેનનો વેગ,$v_{T} = +10 \; m/s$.
પોપટનો વેગ,$v_{P} = -5 \; m/s$.
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પોપટનો સાપેક્ષ વેગ $v_{PT} = v_{P} - v_{T}$ દ્વારા મળે છે.
$v_{PT} = (-5 \; m/s) - (+10 \; m/s) = -15 \; m/s$.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $15 \; m/s$ છે,જેનો અર્થ છે કે ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પોપટ ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ $15 \; m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરતો જણાય છે.
ટ્રેનની લંબાઈ $L = 150 \; m$ છે.
તેથી,પોપટને ટ્રેન ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{|v_{PT}|} = \frac{150 \; m}{15 \; m/s} = 10 \; s$ છે.

(A) ધારો કે માણસનો વેગ $\vec{v}_m = 5 \, m/s$ (સમક્ષિતિજ) છે અને વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = v \, m/s$ (શિરોલંબ નીચેની તરફ) છે.
માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ છે.
આ સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{rm}$ શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સદિશ ઘટકોનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\tan 45^{\circ} = \frac{|v_m|}{|v_r|} = \frac{5}{v}$.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $1 = \frac{5}{v}$,જેનો અર્થ છે કે $v = 5 \, m/s$.

(A) આપેલ છે:
કણ $A$ નો વેગ,$\vec{v}_A = 3\hat{j}\,km/h$
કણ $B$ નો વેગ,$\vec{v}_B = -4\hat{i}\,km/h$
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v}_{AB} = 3\hat{j} - (-4\hat{i}) = 4\hat{i} + 3\hat{j}\,km/h$.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5\,km/h$ છે.
દિશા શોધવા માટે,ધારો કે $\alpha$ એ પૂર્વ દિશા (ધન $x$-અક્ષ) સાથેનો ખૂણો છે.
$\tan \alpha = \frac{v_{AB,y}}{v_{AB,x}} = \frac{3}{4}$.
કારણ કે $\tan 37^{\circ} = 3/4$,તેથી $\alpha = 37^{\circ}$ મળે.
આમ,દિશા પૂર્વની ઉત્તરે $37^{\circ}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) નદીને સૌથી ઓછા સમયમાં પાર કરવા માટે,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ રૂપે તેમના વેગના ઘટકને મહત્તમ કરવો જોઈએ.
ધારો કે સ્થિર પાણીમાં માણસનો વેગ $v_m = 20\,m/min$ છે અને નદીનો વેગ $v_r = 8\,m/min$ છે.
$d$ પહોળાઈ ધરાવતી નદીને પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_m \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ નદીના કાંઠાને લંબ સાથેનો ખૂણો છે.
$t$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,છેદ $v_m \cos \theta$ ને મહત્તમ કરવો આવશ્યક છે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos \theta = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\theta = 0^{\circ}$.
તેથી,માણસે નદીના પ્રવાહને લંબ રૂપે તરવું જોઈએ,જે સીધું ઉત્તર તરફ છે.

(C) ધારો કે ચોરની કારની દિશા ધન છે.
જમીનની સાપેક્ષે ચોરની કારનો વેગ: $v_{TG} = 10\,m/s$.
જમીનની સાપેક્ષે પોલીસ વાનનો વેગ: $v_{PG} = 5\,m/s$.
પોલીસ વાનની સાપેક્ષે ગોળીનો મઝલ વેગ: $v_{BP} = 72\,km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$.
જમીનની સાપેક્ષે ગોળીનો વેગ: $v_{BG} = v_{BP} + v_{PG} = 20 + 5 = 25\,m/s$.
ચોરની કારની સાપેક્ષે ગોળીનો વેગ: $v_{BT} = v_{BG} - v_{TG} = 25 - 10 = 15\,m/s$.
આમ,ગોળી $15\,m/s$ ની ઝડપે કારને અથડાશે.

(B) ધારો કે બે કારની ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ છે (જ્યાં $v_1 > v_2$).
જ્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં મુસાફરી કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો સરવાળો થાય છે:
$v_1 + v_2 = \frac{8\,m}{1\,s} = 8\,ms^{-1}$ (સમીકરણ $1$)
જ્યારે સમાન દિશામાં મુસાફરી કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપનો તફાવત થાય છે:
$v_1 - v_2 = \frac{0.8\,m}{1\,s} = 0.8\,ms^{-1}$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(v_1 + v_2) + (v_1 - v_2) = 8 + 0.8$
$2v_1 = 8.8$
$v_1 = 4.4\,ms^{-1}$
સમીકરણ $1$ માં $v_1$ ની કિંમત મૂકતા:
$4.4 + v_2 = 8$
$v_2 = 8 - 4.4 = 3.6\,ms^{-1}$
આમ,બંને કારની ઝડપ $4.4\,ms^{-1}$ અને $3.6\,ms^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે દરેક ટ્રેનની ઝડપ $v$ છે.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,પ્રથમ ટ્રેનનો વેગ $\vec{v}_1 = v \hat{i}$ અને બીજી ટ્રેનનો વેગ $\vec{v}_2 = -v \hat{i}$ લો.
પવન ટ્રેક પર $u$ ઝડપે ફૂંકાય છે,તેથી તેનો વેગ $\vec{v}_w = u \hat{i}$ છે.
પવનની સાપેક્ષમાં પ્રથમ ટ્રેનનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{1w} = \vec{v}_1 - \vec{v}_w = (v - u) \hat{i}$ છે.
પવનની સાપેક્ષમાં બીજી ટ્રેનનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{2w} = \vec{v}_2 - \vec{v}_w = (-v - u) \hat{i} = -(v + u) \hat{i}$ છે.
આ સાપેક્ષ વેગના મૂલ્યોનો ગુણોત્તર $1:2$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{|v - u|}{|-(v + u)|} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $v > u$,તો $\frac{v - u}{v + u} = \frac{1}{2}$ મળે.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા $2(v - u) = v + u$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $2v - 2u = v + u$ થાય છે.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = 3u$ મળે છે.

(A) પાણીના ટીપાં નળીની બાજુઓને સ્પર્શ્યા વગર અંદર પ્રવેશે તે માટે,નળીને છોકરાની સાપેક્ષમાં વરસાદના સાપેક્ષ વેગની દિશામાં ગોઠવવી આવશ્યક છે.
ધારો કે છોકરાનો વેગ $\vec{v}_b = v \hat{i}$ છે અને વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -u \hat{j}$ છે.
છોકરાની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rb} = \vec{v}_r - \vec{v}_b = -u \hat{j} - v \hat{i}$ થાય.
પરિણામી વેગ સદિશ શિરોલંબ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે $\tan \theta = \frac{|v_x|}{|v_y|} = \frac{v}{u}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta = \tan ^{-1}\left(\frac{v}{u}\right)$ થશે.

(D) ધારો કે એસ્કેલેટરની લંબાઈ $s$ છે.
એસ્કેલેટરની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિની ઝડપ $v_p = \frac{s}{90}$ છે.
એસ્કેલેટરની ઝડપ $v_e = \frac{s}{60}$ છે.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલુ એસ્કેલેટર પર ચાલે છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $v_{eff} = v_p + v_e$ થાય છે.
$v_{eff} = \frac{s}{90} + \frac{s}{60} = s \left( \frac{2 + 3}{180} \right) = \frac{5s}{180} = \frac{s}{36}$.
અંતર $s$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{s}{v_{eff}} = \frac{s}{s/36} = 36 \, s$ થાય.

(B) ધારો કે જહાજ $X$ નો વેગ $\vec{v}_X = v\hat{j}$ છે.
આપેલ છે કે $X$ ની સાપેક્ષમાં $Y$ નો વેગ $\vec{v}_{YX} = -v\hat{i}$ છે (કારણ કે તે પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરતું જણાય છે).
સાપેક્ષ વેગની વ્યાખ્યા મુજબ $\vec{v}_{YX} = \vec{v}_Y - \vec{v}_X$.
તેથી,$Y$ નો વાસ્તવિક વેગ $\vec{v}_Y = \vec{v}_{YX} + \vec{v}_X$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{v}_Y = -v\hat{i} + v\hat{j}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{v}_Y| = \sqrt{(-v)^2 + v^2} = \sqrt{2}v$ છે.
તેની દિશા ઉત્તર-પશ્ચિમ છે કારણ કે સદિશનો $x$-ઘટક ઋણ (પશ્ચિમ) અને $y$-ઘટક ધન (ઉત્તર) છે.

(C) ધારો કે નદીની સાપેક્ષે તરવૈયાનો વેગ $v_r$ છે.
તરવૈયો નદીના પ્રવાહ $v$ સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે દિશા રાખે છે. નદીના પ્રવાહને લંબ ઘટક $v_r \cos 30^{\circ}$ થશે.
નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_r \cos 30^{\circ}} = \frac{d}{v_r (\sqrt{3}/2)} = \frac{2d}{\sqrt{3} v_r}$ છે.
નદીના પ્રવાહની દિશામાં વિચલન $x = (v - v_r \sin 30^{\circ})t$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $x = d/2$,તેથી $d/2 = (v - v_r/2) \left( \frac{2d}{\sqrt{3} v_r} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા,$1/2 = \frac{2v - v_r}{\sqrt{3} v_r} \implies \sqrt{3} v_r = 4v - 2v_r$.
$v_r(2 + \sqrt{3}) = 4v \implies v_r = \frac{4v}{2 + \sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $v_r = \frac{4v(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{4v(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 4(2 - \sqrt{3})v$.

(D) ધારો કે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -v \hat{j}$ છે,જ્યાં $v$ એ વરસાદની ઝડપ છે.
ધારો કે ટ્રેનનો વેગ $\vec{v}_t = v \hat{i}$ છે (પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે).
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rt} = \vec{v}_r - \vec{v}_t$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\vec{v}_{rt} = -v \hat{j} - v \hat{i} = -v(\hat{i} + \hat{j})$ મળે છે.
આ સદિશની દિશા ત્રીજા ચરણમાં છે,જે દક્ષિણ અને પશ્ચિમ વચ્ચેની દિશા દર્શાવે છે. મુસાફરના દ્રષ્ટિકોણથી સાપેક્ષ ગતિ જોતા,વરસાદ પરિણામી વેગ સદિશની વિરુદ્ધ દિશામાંથી આવતો દેખાય છે.
આથી,વરસાદ શિરોલંબ સાથે $45^o$ ના ખૂણે પશ્ચિમ દિશામાં પડતો દેખાશે.

(B) ધારો કે તળાવનું અંતર $S$ છે.
શાંત દિવસે,હોડીની ઝડપ $V$ છે. જવા અને આવવા માટે લાગતો સમય $T_0 = \frac{S}{V} + \frac{S}{V} = \frac{2S}{V}$ છે.
તોફાની દિવસે,પ્રવાહની ઝડપ $v$ છે. આગળની મુસાફરી દરમિયાન ઝડપ $(V + v)$ અને પાછા ફરતી વખતે $(V - v)$ છે.
કુલ સમય $T = \frac{S}{V + v} + \frac{S}{V - v}$ છે.
$T = S \left( \frac{V - v + V + v}{V^2 - v^2} \right) = \frac{2SV}{V^2 - v^2}$.
હવે,ગુણોત્તર $T / T_0$ ની ગણતરી કરતા:
$T / T_0 = \frac{2SV / (V^2 - v^2)}{2S / V} = \frac{V^2}{V^2 - v^2}$.
અંશ અને છેદને $V^2$ વડે ભાગતા,આપણને $T / T_0 = \frac{1}{1 - v^2 / V^2}$ મળે છે.

(C) ધારો કે $L$ એ તળાવની લંબાઈ છે અને $V$ એ પાણીની સાપેક્ષમાં બોટનો વેગ છે.
શાંત દિવસે,પાણીનો વેગ $0$ છે. રાઉન્ડ ટ્રીપ માટે લાગતો સમય:
$t_{Q} = \frac{L}{V} + \frac{L}{V} = \frac{2L}{V} \quad ...(i)$
તોફાની દિવસે,ધારો કે $v$ એ સમાન પ્રવાહનો વેગ છે. આગળની મુસાફરી દરમિયાન,અસરકારક ઝડપ $(V + v)$ છે,અને પાછા ફરતી વખતે,અસરકારક ઝડપ $(V - v)$ છે.
તોફાની દિવસે રાઉન્ડ ટ્રીપ માટે લાગતો સમય:
$t_{R} = \frac{L}{V + v} + \frac{L}{V - v} = \frac{L(V - v) + L(V + v)}{V^{2} - v^{2}} = \frac{2LV}{V^{2} - v^{2}} = \frac{2L}{V(1 - (v/V)^{2})} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$t_{R} = t_{Q} \times \frac{1}{1 - (v/V)^{2}}$
કારણ કે $(v/V)^{2} > 0$,છેદ $1 - (v/V)^{2} < 1$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{1 - (v/V)^{2}} > 1$.
તેથી,$t_{R} > t_{Q}$. તોફાની દિવસે જરૂરી સમય વધારે હશે.

(A) આપેલ છે,પ્રથમ કારની ઝડપ $v_1 = 18\,km/h$.
બીજી કારની ઝડપ $v_2 = 27\,km/h$.
કારણ કે કાર એકબીજાની તરફ ગતિ કરે છે,તેથી તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_1 + v_2 = 18 + 27 = 45\,km/h$ થશે.
બંને કાર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 36\,km$ છે.
કારને મળવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{36}{45} = 0.8\,h$ છે.
પક્ષી સતત $v_b = 36\,km/h$ ની અચળ ઝડપે ઉડે છે જ્યાં સુધી કાર મળે નહીં.
તેથી,પક્ષી દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર $D = v_b \times t = 36 \times 0.8 = 28.8\,km$ છે.

(A) પહોળાઈ ધરાવતી નદીને પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_y}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_y$ એ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં નદીની સાપેક્ષમાં હોડીના વેગનો ઘટક છે.
જો નદીની સાપેક્ષમાં બે હોડીઓના વેગના મૂલ્યો સમાન હોય $(v_1 = v_2 = v)$,અને તેઓ નદીના કિનારાને લંબ દિશા સાથે સમાન ખૂણે $\theta$ પર ગતિ કરતી હોય,તો તેમના લંબ ઘટકો $v_y = v \cos \theta$ થાય.
અહીં $v$ અને $\theta$ બંને હોડીઓ માટે સમાન હોવાથી,તેમના લંબ ઘટકો $v_y$ સમાન છે.
તેથી,બંને હોડીઓ નદીને સમાન સમય $t = \frac{d}{v \cos \theta}$ માં પાર કરશે,ભલે તેઓ નદીના પ્રવાહને કારણે અલગ-અલગ માર્ગે ગતિ કરતી હોય.
આમ,Assertion અને Reason બંને સાચા છે,અને Reason એ Assertion ની સાચી સમજૂતી છે.

(A) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $v = 20 \; m/s$ છે અને નદીની ઝડપ $u = 10 \; m/s$ છે.
નદીને ટૂંકા રસ્તે (નદીના પ્રવાહને લંબ) ઓળંગવા માટે,તરવૈયાએ ઉત્તર દિશા (કિનારાને લંબ) સાથે $\theta$ ખૂણે તરવું જોઈએ જેથી તેના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક નદીના વેગને નાબૂદ કરે.
વેગ સદિશ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,આપણી પાસે છે:
$\sin \theta = \frac{u}{v}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\sin \theta = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$
તેથી,$\theta = \arcsin(1/2) = 30^{\circ}$.
આમ,તરવૈયાએ ઉત્તરથી પશ્ચિમ તરફ $30^{\circ}$ ના ખૂણે તરવું જોઈએ.

(C) પ્રથમ કણનો વેગ તેના સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરવાથી મળે છે: $v_x = \frac{dx}{dt} = 8 - 6t$. $t = 1 \; s$ સમયે,$v_x = 8 - 6(1) = 2 \; m/s$. તેથી,$\vec{v}_1 = 2 \hat{i} \; m/s$.
બીજા કણનો વેગ તેના સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરવાથી મળે છે: $v_y = \frac{dy}{dt} = -24t^2$. $t = 1 \; s$ સમયે,$v_y = -24(1)^2 = -24 \; m/s$. તેથી,$\vec{v}_2 = -24 \hat{j} \; m/s$.
પ્રથમ કણની સાપેક્ષે બીજા કણનો વેગ $\vec{v}_{21} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = -2 \hat{i} - 24 \hat{j}$ છે.
પ્રથમ કણના ફ્રેમમાં બીજા કણની ઝડપ એ સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય છે: $|\vec{v}_{21}| = \sqrt{(-2)^2 + (-24)^2} = \sqrt{4 + 576} = \sqrt{580}$.
આપેલ છે કે ઝડપ $\sqrt{v}$ છે,તેથી $\sqrt{v} = \sqrt{580}$,જેનો અર્થ છે કે $v = 580$.

(N/A) દ્રષ્ટિરેખા (Line of sight) એટલે પદાર્થ અને અવલોકનકારની આંખને જોડતી કાલ્પનિક રેખા.
જ્યારે આપણે ગતિ કરતી ટ્રેનમાં બેસીને નજીકની સ્થિર વસ્તુઓ જેવી કે વૃક્ષો કે ઘરોનું અવલોકન કરીએ છીએ,ત્યારે આપણે તેમની પાસેથી પસાર થઈએ છીએ તેમ આપણી આંખ પાસે આ વસ્તુઓ દ્વારા બનતો ખૂણો ખૂબ જ ઝડપથી બદલાય છે. દ્રષ્ટિરેખાની દિશામાં થતા આ ઝડપી ફેરફારને કારણે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપથી ગતિ કરતા દેખાય છે.
બીજી તરફ,પહાડોની ટોચ,ચંદ્ર અથવા તારાઓ જેવી દૂરની વસ્તુઓ માટે,અંતર એટલું વધારે હોય છે કે ટ્રેન નોંધપાત્ર અંતર કાપે તો પણ દ્રષ્ટિરેખાના ખૂણામાં થતો ફેરફાર નગણ્ય હોય છે. પરિણામે,આ વસ્તુઓ સ્થિર અથવા અવલોકનકારની સાથે ધીમેથી ગતિ કરતી જણાય છે.

(A) સંબંધ $\tan \theta = v$ ખોટો છે.
પરિમાણીય વિશ્લેષણ:
$L.H.S$ નું પરિમાણ $= \tan \theta = [M^0 L^0 T^0]$ (પરિમાણરહિત).
$R.H.S$ નું પરિમાણ $= v = [L T^{-1}]$.
ચૂકવણી મુજબ $L.H.S$ અને $R.H.S$ ના પરિમાણો સમાન ન હોવાથી,આ સમીકરણ પરિમાણીય રીતે અસંગત છે.
તેને પરિમાણીય રીતે સાચું બનાવવા માટે,$R.H.S$ પણ પરિમાણરહિત હોવું જોઈએ. આ $v$ ને વરસાદની ઝડપ $v'$ વડે ભાગીને પ્રાપ્ત કરી શકાય છે,જે પણ એક વેગ છે.
તેથી,સાચો સંબંધ $\tan \theta = \frac{v}{v'}$ છે,જ્યાં $v'$ એ વરસાદની ઝડપ છે.

(D) ધારો કે $x-$અક્ષની ધન દિશા દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ છે.
તેથી,ટ્રેન $A$ નો વેગ $v_{A} = +54 \; km \; h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = +15 \; m \; s^{-1}$ છે.
ટ્રેન $B$ નો વેગ $v_{B} = -90 \; km \; h^{-1} = -90 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = -25 \; m \; s^{-1}$ છે.
$A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{BA} = v_{B} - v_{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$v_{BA} = -25 \; m \; s^{-1} - (+15 \; m \; s^{-1}) = -40 \; m \; s^{-1}$ મળે છે.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ટ્રેન $B$,$A$ ને ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ $40 \; m \; s^{-1}$ ની ઝડપે ગતિ કરતી દેખાય છે.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષની ધન દિશા દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ છે.
ટ્રેન $A$ નો વેગ $v_{A} = +54 \; km \; h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = 15 \; m \; s^{-1}$ છે.
ટ્રેન $B$ નો વેગ $v_{B} = -90 \; km \; h^{-1} = -90 \times \frac{5}{18} \; m \; s^{-1} = -25 \; m \; s^{-1}$ છે.
ટ્રેન $B$ ની સાપેક્ષમાં જમીનનો વેગ $v_{GB} = v_{G} - v_{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જમીન સ્થિર હોવાથી,$v_{G} = 0 \; m \; s^{-1}$ છે.
તેથી,$v_{GB} = 0 - (-25 \; m \; s^{-1}) = +25 \; m \; s^{-1}$.
આમ,ટ્રેન $B$ ની સાપેક્ષમાં જમીનનો વેગ ઉત્તર દિશામાં $25 \; m \; s^{-1}$ છે.

(B) ધારો કે $x$-અક્ષની ધન દિશા દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ છે.
ટ્રેન $A$ નો વેગ $v_{A} = +54\; km\; h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18}\; m\; s^{-1} = +15\; m\; s^{-1}$ છે.
ટ્રેન $A$ ની સાપેક્ષ વાંદરાનો વેગ $v_{MA} = -18\; km\; h^{-1}$ છે (કારણ કે તે ટ્રેનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડે છે).
આને $m\; s^{-1}$ માં ફેરવતા: $v_{MA} = -18 \times \frac{5}{18}\; m\; s^{-1} = -5\; m\; s^{-1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે ટ્રેન $A$ ની સાપેક્ષ વાંદરાનો સાપેક્ષ વેગ $v_{MA} = v_{M} - v_{A}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{M}$ એ જમીનની સાપેક્ષ વાંદરાનો વેગ છે.
કિંમતો મૂકતા: $-5\; m\; s^{-1} = v_{M} - 15\; m\; s^{-1}$.
તેથી,$v_{M} = 15\; m\; s^{-1} - 5\; m\; s^{-1} = 10\; m\; s^{-1}$.

(C) ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે જેટ વિમાનનો વેગ $v_p = 500 \; km \; h^{-1}$ છે.
ધારો કે જેટ વિમાનની સાપેક્ષે દહનના ઉત્પાદનોનો વેગ $v_{cp/p} = -1500 \; km \; h^{-1}$ છે (કારણ કે તે વિમાનની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં બહાર ફેંકાય છે).
જમીનની સાપેક્ષે દહનના ઉત્પાદનોનો વેગ $v_{cp}$ સાપેક્ષ વેગના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_{cp/p} = v_{cp} - v_p$
કિંમતો મૂકતા:
$-1500 = v_{cp} - 500$
$v_{cp} = -1500 + 500 = -1000 \; km \; h^{-1}$.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,જે $1000 \; km \; h^{-1}$ છે.

(B) સૌ પ્રથમ,બધી ઝડપને $m/s$ માં ફેરવો:
$v_A = 36 \times (5/18) = 10 \; m/s$.
$v_B = 54 \times (5/18) = 15 \; m/s$.
$v_C = 54 \times (5/18) = 15 \; m/s$.
કાર $A$ ની સાપેક્ષે કાર $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{BA} = v_B - v_A = 15 - 10 = 5 \; m/s$ છે.
કાર $A$ ની સાપેક્ષે કાર $C$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{CA} = v_C - (-v_A) = 15 + 10 = 25 \; m/s$ છે.
અંતર $s = 1 \; km = 1000 \; m$ છે.
કાર $C$ ને કાર $A$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = s / v_{CA} = 1000 / 25 = 40 \; s$ છે.
અકસ્માત ટાળવા માટે,કાર $B$ એ $t = 40 \; s$ માં $1000 \; m$ અંતર કાપવું આવશ્યક છે.
ગતિના સમીકરણ $s = u_{BA}t + (1/2)at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1000 = 5 \times 40 + (1/2) \times a \times (40)^2$.
$1000 = 200 + 800a$.
$800 = 800a$.
$a = 1 \; m/s^2$.

(C) ધારો કે બસની ઝડપ $V$ છે. સાયકલ સવારની ઝડપ $v = 20 \; km/h$ છે.
જ્યારે બસ સાયકલ સવારની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(V - 20) \; km/h$ થાય છે. બસ સાયકલ સવારને દર $18 \; min = 18/60 \; h$ એ પસાર કરે છે. બે ક્રમિક બસો વચ્ચેનું અંતર $V \times (T/60)$ છે. તેથી,$(V - 20) \times (18/60) = V \times (T/60) \implies (V - 20) \times 18 = VT \quad \dots (i)$.
જ્યારે બસ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(V + 20) \; km/h$ થાય છે. બસ સાયકલ સવારને દર $6 \; min = 6/60 \; h$ એ પસાર કરે છે. તેથી,$(V + 20) \times (6/60) = V \times (T/60) \implies (V + 20) \times 6 = VT \quad \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$(V - 20) \times 18 = (V + 20) \times 6$
$3(V - 20) = V + 20$
$3V - 60 = V + 20$
$2V = 80 \implies V = 40 \; km/h$.
$V = 40$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$(40 + 20) \times 6 = 40 \times T$
$60 \times 6 = 40T$
$360 = 40T \implies T = 9 \; min$.

(C) સૌ પ્રથમ,ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવવા માટે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણો.
પોલીસ વાનની ઝડપ,$v_p = 30 \times \frac{5}{18} = 8.33\; m/s$.
ચોરની કારની ઝડપ,$v_t = 192 \times \frac{5}{18} = 53.33\; m/s$.
પોલીસ વાનની સાપેક્ષમાં ગોળીની મઝલ ઝડપ $v_{b/p} = 150\; m/s$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં ગોળીનો વેગ $v_b = v_{b/p} + v_p = 150 + 8.33 = 158.33\; m/s$ થાય.
ચોરની કારની સાપેક્ષમાં ગોળીનો સાપેક્ષ વેગ $v_{b/t} = v_b - v_t$ થાય.
$v_{b/t} = 158.33 - 53.33 = 105\; m/s$.

(N/A) પટ્ટાની ઝડપ,$v_{B} = 4 \; km \; h^{-1}$.
પટ્ટાની સાપેક્ષમાં બાળકની ઝડપ,$v_{c} = 9 \; km \; h^{-1}$.
$(a)$ બાળક પટ્ટાની ગતિની દિશામાં જ દોડતું હોવાથી,સ્થિર અવલોકનકાર માટે તેની ઝડપ:
$v_{a} = v_{c} + v_{B} = 9 + 4 = 13 \; km \; h^{-1}$.
$(b)$ બાળક પટ્ટાની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં દોડતું હોવાથી,સ્થિર અવલોકનકાર માટે તેની ઝડપ:
$v_{b} = v_{c} - v_{B} = 9 - 4 = 5 \; km \; h^{-1}$.
$(c)$ માતા-પિતા વચ્ચેનું અંતર,$d = 50 \; m = 0.05 \; km$.
બંને માતા-પિતા ગતિ કરતા પટ્ટા પર હોવાથી,માતા-પિતાની સાપેક્ષમાં બાળકની ઝડપ હંમેશા $9 \; km \; h^{-1}$ રહેશે.
ઝડપને $m \; s^{-1}$ માં ફેરવતા: $9 \; km \; h^{-1} = 9 \times \frac{5}{18} = 2.5 \; m \; s^{-1}$.
લાગતો સમય,$t = \frac{d}{v_{c}} = \frac{50 \; m}{2.5 \; m \; s^{-1}} = 20 \; s$.
જો ગતિનું અવલોકન માતા-પિતામાંથી કોઈ એક દ્વારા કરવામાં આવે,તો $(a)$ અને $(b)$ ના જવાબો બદલાશે કારણ કે માતા-પિતા પટ્ટાના સંદર્ભ ફ્રેમમાં જ છે. માતા-પિતા માટે બાળકની ઝડપ દિશાને ધ્યાનમાં લીધા વગર હંમેશા $9 \; km \; h^{-1}$ રહેશે. લાગતો સમય બદલાશે નહીં.

(N/A) વરસાદનો વેગ $(v_r)$ અને પવનનો વેગ $(v_w)$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ સદિશો દ્વારા રજૂ કરવામાં આવે છે. વરસાદ ઉભી દિશામાં નીચે પડે છે અને પવન પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ ફૂંકાય છે.
સદિશ સરવાળાના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,જમીનની સાપેક્ષમાં વરસાદનો પરિણામી વેગ $R$ એ $v_r$ અને $v_w$ નો સદિશ સરવાળો છે.
પરિણામી વેગ $R$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ છે:
$R = \sqrt{v_r^2 + v_w^2} = \sqrt{35^2 + 12^2} \; m s^{-1} = \sqrt{1225 + 144} \; m s^{-1} = \sqrt{1369} \; m s^{-1} = 37 \; m s^{-1}$.
પરિણામી વેગ $R$ શિરોલંબ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \frac{v_w}{v_r} = \frac{12}{35} \approx 0.343$.
$\theta = \tan^{-1}(0.343) \approx 19^{\circ}$.
પવન પશ્ચિમ તરફ ફૂંકાતો હોવાથી,વરસાદ પશ્ચિમ દિશામાંથી આવતો હોય તેવું લાગે છે. તેથી,છોકરાએ તેની છત્રીને શિરોલંબ સાથે પશ્ચિમ દિશામાં આશરે $19^{\circ}$ ના ખૂણે રાખવી જોઈએ.

(N/A) ધારો કે $v_b$ એ મોટરબોટનો વેગ (ઉત્તર દિશામાં) છે અને $v_c$ એ પાણીના પ્રવાહનો વેગ (દક્ષિણથી $60^{\circ}$ પૂર્વ દિશામાં) છે. $v_b$ અને $v_c$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ છે.
કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરીને,પરિણામી વેગ $R$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \sqrt{v_b^2 + v_c^2 + 2v_b v_c \cos(120^{\circ})}$
$R = \sqrt{25^2 + 10^2 + 2(25)(10)(-0.5)}$
$R = \sqrt{625 + 100 - 250} = \sqrt{475} \approx 21.8\; km/h$.
ઉત્તર દિશાની સાપેક્ષમાં પરિણામી વેગની દિશા $\phi$ શોધવા માટે,આપણે સાઇનનો નિયમ વાપરીએ છીએ:
$\frac{R}{\sin(120^{\circ})} = \frac{v_c}{\sin(\phi)}$
$\sin(\phi) = \frac{v_c \sin(120^{\circ})}{R} = \frac{10 \times 0.866}{21.8} \approx 0.397$
$\phi = \arcsin(0.397) \approx 23.4^{\circ}$.
આમ,પરિણામી વેગ આશરે $21.8\; km/h$ છે જે ઉત્તરથી પૂર્વ તરફ $23.4^{\circ}$ ના ખૂણે છે.

(N/A) ધારો કે $v_r$ એ વરસાદનો વેગ છે અને $v_b$ એ સાયકલનો વેગ છે,બંને જમીનની સાપેક્ષમાં છે.
સ્ત્રી સાયકલ ચલાવતી હોવાથી,તેને અનુભવાતો વરસાદનો વેગ એ સાયકલની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે,જે નીચે મુજબ છે:
$v_{rb} = v_r - v_b$
આ સાપેક્ષ વેગ સદિશ $v_{rb}$ આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
તે નીચે મુજબ મળે છે:
$\tan \theta = \frac{|v_b|}{|v_r|} = \frac{12}{35} \approx 0.343$
$\theta = \tan^{-1}(0.343) \approx 19^{\circ}$
તેથી,સ્ત્રીએ તેની છત્રી શિરોલંબ સાથે પશ્ચિમ દિશા તરફ આશરે $19^{\circ}$ ના ખૂણે રાખવી જોઈએ.

(B) ધારો કે $v_r$ એ શિરોલંબ નીચે પડતા વરસાદનો વેગ છે,$v_r = 30\; m/s$.
ધારો કે $v_c$ એ ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ ગતિ કરતી સાયકલ સવારનો વેગ છે,$v_c = 10\; m/s$.
સ્ત્રીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rw} = \vec{v}_r - \vec{v}_c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વરસાદથી બચવા માટે,સ્ત્રીએ તેની છત્રીને સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rw}$ ની દિશામાં રાખવી જોઈએ.
સાપેક્ષ વેગ સદિશ શિરોલંબ સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \frac{|\vec{v}_c|}{|\vec{v}_r|} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$.
સ્ત્રીએ તેની છત્રી શિરોલંબ સાથે દક્ષિણ દિશામાં $\tan^{-1}\left(\frac{1}{3}\right)$ ના ખૂણે રાખવી જોઈએ.

(A) સ્થિર પાણીમાં માણસની ઝડપ,$v_m = 4.0 \; km/h$.
નદીની પહોળાઈ,$d = 1.0 \; km$.
માણસ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરે છે,તેથી નદી ઓળંગવા માટેનો તેનો વેગનો ઘટક $v_m = 4.0 \; km/h$ છે.
નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય,$t = \frac{d}{v_m} = \frac{1.0 \; km}{4.0 \; km/h} = 0.25 \; h$.
મિનિટમાં ફેરવતા,$t = 0.25 \times 60 = 15 \; min$.
નદીના પ્રવાહની ઝડપ,$v_r = 3.0 \; km/h$.
નદીના પ્રવાહની દિશામાં કાપેલું અંતર (ડ્રિફ્ટ),$x = v_r \times t = 3.0 \; km/h \times 0.25 \; h = 0.75 \; km$.
મીટરમાં ફેરવતા,$x = 0.75 \times 1000 = 750 \; m$.

(D) હોડીનો વેગ,$v_{b} = 51 \; km/h$ (ઉત્તર તરફ).
પવનનો વેગ,$v_{w} = 72 \; km/h$ (ઉત્તર-પૂર્વ તરફ).
ધ્વજ હોડીની સાપેક્ષ પવનના વેગની દિશામાં લહેરાય છે,જે $\vec{v}_{wb} = \vec{v}_{w} - \vec{v}_{b} = \vec{v}_{w} + (-\vec{v}_{b})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$\vec{v}_{w}$ ઉત્તર (અથવા પૂર્વ) દિશા સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. સદિશ $(-\vec{v}_{b})$ દક્ષિણ દિશામાં છે.
$\vec{v}_{w}$ અને $(-\vec{v}_{b})$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ} + 45^{\circ} = 135^{\circ}$ છે.
સદિશ ઘટકોનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{v}_{w} = 72 \cos(45^{\circ}) \hat{i} + 72 \sin(45^{\circ}) \hat{j} = 50.91 \hat{i} + 50.91 \hat{j}$
$\vec{v}_{b} = 51 \hat{j}$
$\vec{v}_{wb} = \vec{v}_{w} - \vec{v}_{b} = 50.91 \hat{i} + (50.91 - 51) \hat{j} = 50.91 \hat{i} - 0.09 \hat{j}$
પૂર્વ દિશા સાથેનો ખૂણો $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{|v_{wb, y}|}{|v_{wb, x}|} = \frac{0.09}{50.91} \approx 0.00177$.
$\theta \approx \tan^{-1}(0.00177) \approx 0.1^{\circ}$ પૂર્વથી દક્ષિણ તરફ.
આમ,ધ્વજ લગભગ બરાબર પૂર્વ દિશામાં લહેરાશે.