Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Gujarati

(D) બે કણો અથડાય તે માટે,$t$ સમયે તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $r_1 + v_1 t = r_2 + v_2 t$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
આપેલ છે કે $r_1 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$ અને $r_2 = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j})$,તેથી સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $r_1 - r_2 = (3 - (-5)) \hat{i} + (5 - (-3)) \hat{j} = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \text{ m}$ થાય.
સાપેક્ષ વેગ $v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સાથે અથડામણની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ વડે ભાગતા: $4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $4 = a - 4$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a = 8$ મળે છે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $v_b$ છે અને પ્રવાહની ઝડપ $v_s$ છે。
પ્રવાહની દિશામાં ઝડપ $v_b + v_s = \frac{16 \, km}{2 \, h} = 8 \, km/h$ છે。
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ઝડપ $v_b - v_s = \frac{16 \, km}{4 \, h} = 4 \, km/h$ છે。
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(v_b + v_s) + (v_b - v_s) = 8 + 4$。
$2v_b = 12 \, km/h$。
તેથી, સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $v_b = 6 \, km/h$ છે。

(C) આપેલ છે: ટ્રેનની લંબાઈ, $l = 100 \,m$.
પદાર્થને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય, $t = 7.2 \,s$.
વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા પદાર્થનો વેગ, $v_o = 5 \,km/h = 5 \times \frac{5}{18} \,m/s = \frac{25}{18} \,m/s \approx 1.39 \,m/s$.
ધારો કે ટ્રેનનો વેગ $v_t = v$ છે.
બંને પદાર્થો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી, સાપેક્ષ વેગ $v_{\text{rel}} = v_t + v_o$ થશે.
પદાર્થને ઓળંગવા માટે કાપેલું અંતર ટ્રેનની લંબાઈ જેટલું હોય છે, તેથી $l = v_{\text{rel}} \times t$.
$100 = (v + \frac{25}{18}) \times 7.2$.
$7.2$ વડે ભાગતા: $\frac{100}{7.2} = v + \frac{25}{18}$.
$\frac{1000}{72} = v + \frac{25}{18} \Rightarrow \frac{125}{9} = v + \frac{25}{18}$.
$v = \frac{250}{18} - \frac{25}{18} = \frac{225}{18} = 12.5 \,m/s$.
$km/h$ માં રૂપાંતર કરતા: $v = 12.5 \times \frac{18}{5} = 45 \,km/h$.

(C) ધારો કે બસની ઝડપ $v_B$ છે અને સાયકલ સવારની ઝડપ $v_C = 20 \,km/h$ છે.
ધારો કે બે ક્રમિક બસો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,જ્યાં $d = v_B \times T$.
કિસ્સો $1$: બસ $A$ થી $B$ તરફ જાય છે (સાયકલ સવારની સમાન દિશામાં).
સાયકલ સવારની સાપેક્ષમાં બસની ઝડપ $(v_B - v_C)$ છે.
બસ સાયકલ સવારને પસાર કરે તે સમયગાળો $t_1 = 18 \,min = \frac{18}{60} \,h = 0.3 \,h$ છે.
તેથી,$d = (v_B - 20) \times 0.3 \dots (i)$.
કિસ્સો $2$: બસ $B$ થી $A$ તરફ જાય છે (સાયકલ સવારની વિરુદ્ધ દિશામાં).
સાયકલ સવારની સાપેક્ષમાં બસની ઝડપ $(v_B + v_C)$ છે.
બસ સાયકલ સવારને પસાર કરે તે સમયગાળો $t_2 = 6 \,min = \frac{6}{60} \,h = 0.1 \,h$ છે.
તેથી,$d = (v_B + 20) \times 0.1 \dots (ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$(v_B - 20) \times 0.3 = (v_B + 20) \times 0.1$
$3(v_B - 20) = v_B + 20$
$3v_B - 60 = v_B + 20$
$2v_B = 80 \Rightarrow v_B = 40 \,km/h$.
હવે,સમીકરણ $(ii)$ નો ઉપયોગ કરીને $d = v_B \times T$ માં $v_B$ ની કિંમત મૂકતા:
$v_B \times T = (v_B + 20) \times 0.1$
$40 \times T = (40 + 20) \times 0.1$
$40T = 60 \times 0.1 = 6$
$T = \frac{6}{40} \,h = \frac{3}{20} \,h$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની દિશા (ઉત્તર) ધન છે અને પોપટની દિશા (દક્ષિણ) ઋણ છે.
ટ્રેનનો વેગ,$v_t = 10 \,ms^{-1}$.
પોપટનો વેગ,$v_p = -5 \,ms^{-1}$.
ટ્રેનની સાપેક્ષમાં પોપટનો સાપેક્ષ વેગ $v_{pt} = v_t - v_p$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{pt} = 10 - (-5) = 15 \,ms^{-1}$.
ટ્રેનની લંબાઈ $L = 150 \,m$ છે.
પોપટને ટ્રેનની સાથે ઉડવા માટે લાગતો સમય $t$ એ સાપેક્ષ વેગ સાથે ટ્રેનની લંબાઈ કાપવા માટે લાગતો સમય છે.
$t = \frac{L}{v_{pt}} = \frac{150}{15} = 10 \,s$.

(A) ધારો કે એસ્કેલેટરની લંબાઈ $L$ છે.
ધારો કે વ્યક્તિની ચાલવાની ઝડપ $v_p$ છે અને એસ્કેલેટરની ઝડપ $v_e$ છે.
જ્યારે એસ્કેલેટર બંધ હોય,ત્યારે વ્યક્તિ $L$ લંબાઈ $t_1 = 90 \ s$ માં કાપે છે. તેથી,$v_p = \frac{L}{90}$.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલુ એસ્કેલેટર પર ઉભી રહે છે,ત્યારે તે $t_2 = 60 \ s$ માં ઉપર પહોંચે છે. તેથી,$v_e = \frac{L}{60}$.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલુ એસ્કેલેટર પર ચાલીને ઉપર જાય છે,ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $v_{eff} = v_p + v_e$ થાય છે.
લાગતો સમય $t_3 = \frac{L}{v_p + v_e} = \frac{L}{\frac{L}{90} + \frac{L}{60}}$ દ્વારા મળે છે.
$t_3 = \frac{1}{\frac{1}{90} + \frac{1}{60}} = \frac{90 \times 60}{90 + 60} = \frac{5400}{150} = 36 \ s$.

(D) ધારો કે એસ્કેલેટરનું અંતર $D$ છે.
બંધ પડેલા એસ્કેલેટર પર વ્યક્તિની ચાલવાની ઝડપ $v_p = \frac{D}{80}$ છે.
ચાલુ એસ્કેલેટરની ઝડપ $v_e = \frac{D}{20}$ છે.
જ્યારે વ્યક્તિ ચાલુ એસ્કેલેટર પર ચાલે છે, ત્યારે તેની અસરકારક ઝડપ $v_{eff} = v_p + v_e$ થાય છે.
$v_{eff} = \frac{D}{80} + \frac{D}{20} = \frac{D + 4D}{80} = \frac{5D}{80} = \frac{D}{16}$.
ચાલુ એસ્કેલેટર પર ચાલીને ઉપર જવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{D}{v_{eff}} = \frac{D}{D/16} = 16 \,s$ થાય.

(A) બે કાર એકબીજાને મળે તે માટે લાગતો કુલ સમય નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કારનો સાપેક્ષ વેગ}}$
અહીં, અંતર $d = 36 \text{ km}$, કાર $1$ ની ઝડપ $v_1 = 54 \text{ kmh}^{-1}$, અને કાર $2$ ની ઝડપ $v_2 = 36 \text{ kmh}^{-1}$ છે.
તેઓ એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી, સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2 = 54 + 36 = 90 \text{ kmh}^{-1}$ થશે.
$T = \frac{36}{90} = 0.4 \text{ h}$.
પક્ષી આખા સમયગાળા $T$ દરમિયાન $v_b = 36 \text{ kmh}^{-1}$ ની ઝડપે સતત ઉડે છે.
પક્ષી દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $= v_b \times T = 36 \times 0.4 = 14.4 \text{ km}$.
મીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $14.4 \times 1000 = 14400 \text{ m}$.

(C) પહોળાઈ ધરાવતી નદીને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{V \cos \theta}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ તરવૈયા દ્વારા નદીના પ્રવાહને લંબ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
સમય $t$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,છેદ $V \cos \theta$ ને મહત્તમ બનાવવો પડે.
આ ત્યારે થાય છે જ્યારે $\cos \theta$ મહત્તમ હોય,જે $\theta = 0^{\circ}$ પર મળે છે.
તેથી,નદીને ઓછામાં ઓછા સમયમાં ઓળંગવા માટે તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરવું જોઈએ.

(C) ધારો કે $v_{CE}$ એ પૃથ્વીની સાપેક્ષમાં કારનો વેગ છે,$v_{RE}$ એ પૃથ્વીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે,અને $v_{RC}$ એ કારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
આપેલ છે: $v_{CE} = 40 \text{ km h}^{-1}$.
વરસાદ શિરોલંબ દિશામાં પડે છે,તેથી $v_{RE}$ શિરોલંબ દિશામાં છે.
કારની બારી પર વરસાદના નિશાન શિરોલંબ સાથે $\theta = 30^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
સાપેક્ષ વેગના સદિશ ત્રિકોણ પરથી,આપણી પાસે $\vec{v}_{RC} = \vec{v}_{RE} - \vec{v}_{CE}$ છે.
આ સદિશો દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કારના વેગ $v_{CE}$ ને દર્શાવતી બાજુ $\theta = 30^{\circ}$ ખૂણાની સામેની બાજુ છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{v_{CE}}{v_{RC}}$.
$v_{RC}$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$v_{RC} = \frac{v_{CE}}{\sin 30^{\circ}}$.
કિંમતો મૂકતા,$v_{RC} = \frac{40}{0.5} = 80 \text{ km h}^{-1}$.

(A) ધારો કે કાર $A$ અને $B$ નો વેગ $v_A = v_B = 30 \ km/h$ ધન દિશામાં છે.
ધારો કે કાર $C$ નો વેગ વિરુદ્ધ દિશામાં $v_C = -v$ છે (જ્યાં $v$ એ કાર $C$ ની ઝડપ છે).
કાર $A$ અને $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $C$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_A - v_C = 30 - (-v) = 30 + v$ થશે.
કાર $A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $d = 10 \ km$ છે.
કાર $C$ એ $8 \ minutes = \frac{8}{60} \ h = \frac{2}{15} \ h$ ના સમયગાળામાં કાર $B$ અને પછી કાર $A$ ને મળે છે.
સૂત્ર $d = v_{rel} \times t$ નો ઉપયોગ કરતા:
$10 = (30 + v) \times \frac{2}{15}$
$10 \times \frac{15}{2} = 30 + v$
$75 = 30 + v$
$v = 75 - 30 = 45 \ km/h$.

(C) ધારો કે $d$ એ નદીની પહોળાઈ છે. તરવૈયો સ્થિર પાણીમાં $v$ ઝડપે તરે છે.
સૌથી ઓછા સમય માટે,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ તરવું જોઈએ. લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ છે.
સૌથી ટૂંકા અંતર માટે,તરવૈયાએ એવા ખૂણે તરવું જોઈએ કે જેથી પરિણામી વેગ નદીના કિનારાને લંબ હોય. ધારો કે પ્રવાહના લંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ છે. તો $\sin \alpha = \frac{v_{river}}{v} = \frac{v/2}{v} = \frac{1}{2}$,તેથી $\alpha = 30^{\circ}$.
પ્રવાહની સામેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} + \alpha = 120^{\circ}$ છે.
સૌથી ટૂંકા અંતર માટે લાગતો સમય $t^{\prime} = \frac{d}{v \cos \alpha} = \frac{d}{v \sin \theta}$ છે.
લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t}{t^{\prime}} = \frac{d/v}{d/(v \sin \theta)} = \sin \theta$ છે.

(A) ધારો કે $t=0$ સમયે જહાજ $A$ નું સ્થાન $(0, 200)$ અને જહાજ $B$ નું સ્થાન $(0, 0)$ છે.
જહાજ $A$ નો વેગ $\vec{v}_A = -20 \hat{i} \ km h^{-1}$ છે.
જહાજ $B$ નો વેગ $\vec{v}_B = 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ છે.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = 20 \hat{i} + 10 \hat{j} \ km h^{-1}$ થાય.
સાપેક્ષ સ્થાન $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = -200 \hat{j} \ km$ થાય.
$t$ સમયે અંતર $d = |\vec{r}_{BA} + \vec{v}_{BA} t| = |20t \hat{i} + (10t - 200) \hat{j}|$ છે.
$d^2 = (20t)^2 + (10t - 200)^2 = 500t^2 - 4000t + 40000$ મળે.
લઘુત્તમ અંતર માટે,$\frac{d(d^2)}{dt} = 1000t - 4000 = 0 \implies t = 4 \ h$.
લઘુત્તમ અંતર $d = \sqrt{500(4)^2 - 4000(4) + 40000} = \sqrt{32000} = 80 \sqrt{5} \ km$ થાય.

(D) ધારો કે $\vec{v}_m$ એ માણસનો વેગ છે,$\vec{v}_r$ એ વરસાદનો વેગ છે,અને $\vec{v}_{rm}$ એ માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
આપેલ છે કે,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$.
જ્યારે માણસ દોડે છે,ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ પડતો જણાય છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}_{rm}$ શિરોલંબ છે.
જ્યારે માણસ ઉભો રહી જાય છે,ત્યારે વરસાદ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે પડે છે,જેનો અર્થ છે કે $\vec{v}_r$ સમક્ષિતિજ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વેક્ટર ત્રિકોણ પરથી,$\vec{v}_r$ અને શિરોલંબ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$\vec{v}_m$,$\vec{v}_r$,અને $\vec{v}_{rm}$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં:
$\tan(30^{\circ}) = \frac{|\vec{v}_m|}{|\vec{v}_{rm}|}$
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{5}{|\vec{v}_{rm}|}$
$|\vec{v}_{rm}| = 5\sqrt{3} \text{ km/h}$.

(D) કાપવાનું કુલ અંતર $2d$ છે ($d$ અંતર પ્રવાહની વિરુદ્ધ અને $d$ અંતર પ્રવાહની દિશામાં).
સ્થિર પાણીમાં,માણસ $2v$ ની ઝડપે તરે છે. $2d$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_0 = \frac{2d}{2v} = \frac{d}{v}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની દિશામાં તરે છે,ત્યારે અસરકારક ઝડપ $v_{down} = v_m + v_r = 2v + v = 3v$ થાય છે. લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{3v}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં તરે છે,ત્યારે અસરકારક ઝડપ $v_{up} = v_m - v_r = 2v - v = v$ થાય છે. લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v}$ છે.
કુલ લાગતો સમય $t = t_1 + t_2 = \frac{d}{3v} + \frac{d}{v} = \frac{d + 3d}{3v} = \frac{4d}{3v}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{t}{t_0} = \frac{4d/3v}{d/v} = \frac{4}{3}$ થાય.

(A) ધારો કે બસની ઝડપ $V$ છે અને માણસની ઝડપ $V_o$ છે. બે ક્રમિક બસો વચ્ચેનું અંતર $d = V \cdot T$ છે.
જ્યારે માણસ બસની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $V - V_o$ થાય છે. બસો તેની પાસેથી પસાર થાય તે વચ્ચેનો સમયગાળો $t_1 = \frac{d}{V - V_o} = \frac{VT}{V - V_o}$ છે.
આથી $V - V_o = \frac{VT}{t_1} \quad \dots (1)$.
જ્યારે માણસ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $V + V_o$ થાય છે. બસો તેની પાસેથી પસાર થાય તે વચ્ચેનો સમયગાળો $t_2 = \frac{d}{V + V_o} = \frac{VT}{V + V_o}$ છે.
આથી $V + V_o = \frac{VT}{t_2} \quad \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા:
$(V - V_o) + (V + V_o) = \frac{VT}{t_1} + \frac{VT}{t_2}$
$2V = VT \left( \frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} \right)$
$2 = T \left( \frac{t_1 + t_2}{t_1 t_2} \right)$
$T = \frac{2 t_1 t_2}{t_1 + t_2}$

(C) ધારો કે બંને ટ્રેનોની કુલ લંબાઈ $L$ છે. તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરી રહ્યા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_1 + v_2$ થશે.
આપેલ છે કે તેઓ એકબીજાને પસાર કરવામાં $4 \ s$ લે છે:
$L = (v_1 + v_2) \times 4$ --- $(i)$
જ્યારે ટ્રેન $A$ ની ઝડપમાં $50 \%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે ટ્રેન $A$ ની નવી ઝડપ $v_1' = v_1 + 0.5 v_1 = 1.5 v_1 = \frac{3}{2} v_1$ થાય છે.
નવો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel}' = \frac{3}{2} v_1 + v_2$ છે.
આપેલ છે કે તેઓ એકબીજાને પસાર કરવામાં $3 \ s$ લે છે:
$L = (\frac{3}{2} v_1 + v_2) \times 3$ --- (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા:
$4(v_1 + v_2) = 3(\frac{3}{2} v_1 + v_2)$
$4 v_1 + 4 v_2 = 4.5 v_1 + 3 v_2$
$v_2 = 0.5 v_1$
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{1}{0.5} = \frac{2}{1}$.

(A) ધારો કે $t$ સમયે,$A$ નું સ્થાન $\overrightarrow{r}_A = (0 + 0t)\hat{i} + (0 + 2t)\hat{j} = 2t\hat{j}$ છે.
ધારો કે $t$ સમયે,$B$ નું સ્થાન $\overrightarrow{r}_B = (0 + 2t)\hat{i} + (10 + 0t)\hat{j} = 2t\hat{i} + 10\hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}_{AB} = \overrightarrow{r}_B - \overrightarrow{r}_A = 2t\hat{i} + (10 - 2t)\hat{j}$ છે.
અંતરનો વર્ગ $D^2 = |\overrightarrow{r}_{AB}|^2 = (2t)^2 + (10 - 2t)^2$ થાય.
$D^2 = 4t^2 + 100 + 4t^2 - 40t = 8t^2 - 40t + 100$.
ન્યૂનતમ અંતર માટે,$\frac{d(D^2)}{dt} = 0$ લેતા.
$16t - 40 = 0$.
$t = \frac{40}{16} = 2.5 \text{ s}$.
અહીં $\frac{d^2(D^2)}{dt^2} = 16 > 0$ હોવાથી,$t = 2.5 \text{ s}$ સમયે અંતર ન્યૂનતમ હશે.

(A) કણ $A$ નો વેગ $x$-અક્ષ પર અચળ છે: $\vec{V}_A = 1 \hat{i} \,m/s$.
$y$-અક્ષ પર ગતિ કરતા કણ $B$ માટે, સ્થાન $y = ct^2$ છે।
કણ $B$ નો વેગ $\vec{V}_B = \frac{dy}{dt} \hat{j} = 2ct \hat{j}$ છે।
$t = 1 \,s$ અને $c = 1 \,m/s^2$ પર, કણ $B$ નો વેગ $\vec{V}_B = 2(1)(1) \hat{j} = 2 \hat{j} \,m/s$ છે।
કણ $B$ ની સાપેક્ષમાં કણ $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 1 \hat{i} - 2 \hat{j} \,m/s$ છે।
ઝડપ એ સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય છે: $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{(1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5} \,m/s$.

(A) આપેલ છે:
છોકરાનો વેગ,$\overrightarrow{v_b} = 4 \ m \ s^{-1}$ અને વરસાદનો વેગ,$\overrightarrow{v_r} = 8 \ m \ s^{-1}$.
છોકરાની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\overrightarrow{v_{rb}} = \overrightarrow{v_r} - \overrightarrow{v_b}$ છે.
ધારો કે શિરોલંબ દિશા $y$-અક્ષ છે અને આડી દિશા $x$-અક્ષ છે.
વરસાદના વેગના ઘટકો: $v_{rx} = v_r \sin(45^{\circ}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$ અને $v_{ry} = v_r \cos(45^{\circ}) = 8 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$.
જ્યારે છોકરો પશ્ચિમથી પૂર્વ તરફ દોડે છે $(\overrightarrow{v_b} = 4 \hat{i})$:
$\overrightarrow{v_{rb}} = (4\sqrt{2} - 4) \hat{i} - 4\sqrt{2} \hat{j}$.
$\tan \theta = \frac{|v_{rb,x}|}{|v_{rb,y}|} = \frac{4\sqrt{2} - 4}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2}}$.
જ્યારે છોકરો પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ દોડે છે $(\overrightarrow{v_b} = -4 \hat{i})$:
$\overrightarrow{v_{rb}} = (4\sqrt{2} + 4) \hat{i} - 4\sqrt{2} \hat{j}$.
$\tan \alpha = \frac{|v_{rb,x}|}{|v_{rb,y}|} = \frac{4\sqrt{2} + 4}{4\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} + 1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\tan \theta}{\tan \alpha} = \frac{(\sqrt{2} - 1)/\sqrt{2}}{(\sqrt{2} + 1)/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} + 1}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)} = \frac{2 + 1 - 2\sqrt{2}}{2 - 1} = 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2$.

(B) ધારો કે માણસનો વેગ $\vec{v}_m = 6 \hat{i} \text{ km/h}$ છે અને વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -6\sqrt{3} \hat{j} \text{ km/h}$ છે.
પોતાને બચાવવા માટે,માણસે છત્રીને માણસની સાપેક્ષે વરસાદના સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ ની દિશામાં રાખવી જોઈએ.
$\vec{v}_{rm} = -6\sqrt{3} \hat{j} - 6 \hat{i} \text{ km/h}$.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan \alpha = \frac{|v_m|}{|v_r|} = \frac{6}{6\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ દ્વારા મળે છે.
કારણ કે $\tan \alpha = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\alpha = 30^{\circ}$ મળે.
આમ,માણસે તેની છત્રી શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે રાખવી જોઈએ.

(B) ધારો કે કાર $A$ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તેનો વેગ $\vec{V}_A = 25 \hat{j} \ km/hr$ છે. ધારો કે કાર $B$ બિંદુ $(0, 50)$ પર છે અને તેનો વેગ $\vec{V}_B = -25 \hat{i} \ km/hr$ છે.
કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{AB} = \vec{V}_A - \vec{V}_B = 25 \hat{j} - (-25 \hat{i}) = 25 \hat{i} + 25 \hat{j} \ km/hr$ થાય.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{V}_{AB}| = \sqrt{25^2 + 25^2} = 25\sqrt{2} \ km/hr$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (0 - 0)\hat{i} + (0 - 50)\hat{j} = -50 \hat{j} \ km$ છે.
સૌથી નજીકના અંતરે પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = -\frac{\vec{r}_{AB} \cdot \vec{V}_{AB}}{|\vec{V}_{AB}|^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$t = -\frac{(-50 \hat{j}) \cdot (25 \hat{i} + 25 \hat{j})}{(25\sqrt{2})^2} = -\frac{-1250}{1250} = 1 \ hr$.
આમ,લાગતો સમય $60 \ min$ છે.

(A) આપેલ છે કે,કાર $A$ નો વેગ $\vec{v}_A = 30 \hat{i} \text{ km/h}$ (પૂર્વ તરફ) છે.
કાર $B$ માટે,વેગ $\vec{v}_B = 30 \hat{j} \text{ km/h}$ (ઉત્તર તરફ) છે.
કાર $A$ ની સાપેક્ષે કાર $B$ નો વેગ એ સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ છે.
$\vec{v}_{BA} = 30 \hat{j} - 30 \hat{i} \text{ km/h}$.
$\vec{v}_{BA}$ નું મૂલ્ય $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(-30)^2 + (30)^2} = \sqrt{900 + 900} = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42 \text{ km/h}$ છે.
દિશા $\tan \theta = \frac{v_{y}}{v_{x}} = \frac{30}{-30} = -1$ દ્વારા મળે છે. આ ધન $x$-અક્ષ (પૂર્વ) થી $135^{\circ}$ નો ખૂણો દર્શાવે છે.
આ સદિશ બીજા ચરણમાં (ઋણ $x$,ધન $y$) હોવાથી,તે પશ્ચિમની $45^{\circ}$ ઉત્તર દિશામાં છે.

(D) માણસ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં સ્ટ્રોક મારીને નદી પાર કરે છે. જમીનની સાપેક્ષે માણસનો વેગ એ સ્થિર પાણીમાં તેના વેગ અને નદીના વેગનો સદિશ સરવાળો છે. જો કે,નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય ફક્ત તેના વેગના નદીના પ્રવાહને લંબ ઘટક પર આધાર રાખે છે.
માણસ પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરતો હોવાથી,નદીને લંબ તેનો વેગ ઘટક $v_y = 4 \ km/h$ છે.
નદીની પહોળાઈ $d = 1 \ km$ છે.
નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય નીચે મુજબ છે:
$t = \frac{d}{v_y} = \frac{1 \ km}{4 \ km/h} = 0.25 \ h$
આને મિનિટમાં ફેરવતા:
$t = 0.25 \times 60 \ min = 15 \ min$.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
કાર $A$ નો વેગ ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે:
$\vec{v}_A = -120 \hat{i} \text{ km/h}$
કાર $B$ નો વેગ ઋણ $y$-અક્ષની દિશામાં છે:
$\vec{v}_B = -50 \hat{j} \text{ km/h}$
કાર $A$ ની સાપેક્ષે કાર $B$ નો સાપેક્ષ વેગ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$
$\vec{v}_{BA} = (-50 \hat{j}) - (-120 \hat{i})$
$\vec{v}_{BA} = 120 \hat{i} - 50 \hat{j}$
સાપેક્ષ ઝડપ એ સાપેક્ષ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{(120)^2 + (-50)^2}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{14400 + 2500}$
$|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{16900}$
$|\vec{v}_{BA}| = 130 \text{ km/h}$

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
નદીનો વેગ,$v_r = 3 \,m/s$.
પાણીની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ,$v_b = 15 \,m/s$.
નદીની પહોળાઈ,$d = AB = 200 \,m$.
આપણે આડું અંતર (ડ્રિફ્ટ),$BC$ શોધવાનું છે.
હોડીને નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય:
$t = \frac{d}{v_b} = \frac{200}{15} = \frac{40}{3} \,s$.
નદીના પ્રવાહને કારણે હોડી દ્વારા કપાતું આડું અંતર:
$BC = v_r \times t = 3 \times \frac{40}{3} = 40 \,m$.

(B) ધારો કે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r$ છે. વરસાદના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{rx} = v_r \sin(30^{\circ})$ અને શિરોલંબ ઘટક $v_{ry} = v_r \cos(30^{\circ})$ છે.
આપેલ છે કે વરસાદ $40 \ m/s$ ની ઝડપે શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે પડે છે,તેથી $v_r = 40 \ m/s$.
આમ,$v_{rx} = 40 \sin(30^{\circ}) = 40 \times 0.5 = 20 \ m/s$ અને $v_{ry} = 40 \cos(30^{\circ}) = 40 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 20\sqrt{3} \ m/s$.
કાર વરસાદના સમક્ષિતિજ ઘટકની વિરુદ્ધ દિશામાં $v_c = 40 \ m/s$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
ધારો કે કારનો વેગ $\vec{v}_c = 40 \hat{i} \ m/s$ છે. કારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rc} = \vec{v}_r - \vec{v}_c$ છે.
ધારો કે વરસાદનો સમક્ષિતિજ ઘટક ઋણ $x$-દિશામાં છે,$\vec{v}_r = -20 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}$.
તેથી $\vec{v}_{rc} = (-20 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}) - (40 \hat{i}) = -60 \hat{i} - 20\sqrt{3} \hat{j}$.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ એ $\tan(\alpha) = \frac{|v_{rc,x}|}{|v_{rc,y}|} = \frac{60}{20\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^{\circ}$.

(A) આપેલ છે, શિરોલંબ દિશામાં વરસાદની ઝડપ, $v_r = 30 \,m/s$.
માણસની ઝડપ, $v_m = 10 \,m/s$ (પશ્ચિમ તરફ).
માણસની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ છે.
માણસ પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરતો હોવાથી, સાપેક્ષ વેગ સદિશ $\vec{v}_{rm}$ શિરોલંબની સાપેક્ષમાં પશ્ચિમ દિશા તરફ નમેલો હશે.
ધારો કે શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે.
સદિશ ત્રિકોણ પરથી, $\tan \theta = \frac{v_m}{v_r} = \frac{10}{30} = \frac{1}{3}$.
તેથી, $\theta = \tan^{-1}(1/3)$ પશ્ચિમ દિશા તરફ.

(B) આપેલ છે:
નદીની પહોળાઈ $(w) = 200 \ m$
નદીનો વેગ $(v_r) = 2 \ m/s$
નદીના સાપેક્ષ તરવૈયાનો વેગ $(v_{sr}) = 1 \ m/s$
નદીને ઓછામાં ઓછા સમયમાં પાર કરવા માટે,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ તરવું જોઈએ.
નદી પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{w}{v_{sr}} = \frac{200 \ m}{1 \ m/s} = 200 \ s$ છે.
આ સમય દરમિયાન,તરવૈયો નદીના પ્રવાહ દ્વારા નીચેની તરફ ખેંચાય છે.
નીચેની તરફ કાપેલું અંતર $(d) = v_r \times t$ દ્વારા મળે છે.
$d = 2 \ m/s \times 200 \ s = 400 \ m$.
તેથી,તરવૈયો શરૂઆતના બિંદુની બરાબર સામેના બિંદુથી $400 \ m$ ના અંતરે સામેના કાંઠે પહોંચે છે.

$(\text{A})$ ધારો કે $\vec{v}_{r,g}$ એ જમીનની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ છે, $\vec{v}_{m,g}$ એ જમીનની સાપેક્ષે માણસનો વેગ છે, અને $\vec{v}_{r,m}$ એ માણસની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ છે.
જ્યારે માણસ સ્થિર હોય છે, ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે પડે છે. આમ, $\vec{v}_{r,g}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_{r,g} \sin 30^{\circ}$ છે અને શિરોલંબ ઘટક $v_{r,g} \cos 30^{\circ}$ છે.
જ્યારે માણસ $v_{m,g} = 10 \,km/h$ ની ઝડપે દોડે છે, ત્યારે વરસાદ શિરોલંબ રીતે પડતો જણાય છે. આનો અર્થ એ છે કે સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{r,m} = \vec{v}_{r,g} - \vec{v}_{m,g}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી, $\vec{v}_{r,g}$ નો સમક્ષિતિજ ઘટક માણસના વેગ જેટલો હોવો જોઈએ:
$v_{r,g} \sin 30^{\circ} = v_{m,g}$
$v_{r,g} \times (1/2) = 10 \,km/h$
$v_{r,g} = 20 \,km/h$.

(B) કણ $A$ નો વેગ $\vec{v}_A = 10 \hat{i} \ m/s$ છે.
કણ $B$ ના વેગને ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે. તેનું મૂલ્ય $X$-અક્ષ સાથે $60^{\circ}$ ના ખૂણે $20 \ m/s$ છે:
$\vec{v}_B = (20 \cos 60^{\circ}) \hat{i} + (20 \sin 60^{\circ}) \hat{j}$
$\vec{v}_B = (20 \times 0.5) \hat{i} + (20 \times \frac{\sqrt{3}}{2}) \hat{j} = 10 \hat{i} + 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$.
$A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ છે.
$\vec{v}_{BA} = (10 \hat{i} + 10 \sqrt{3} \hat{j}) - (10 \hat{i}) = 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$.
આ પરિણામ દર્શાવે છે કે $10 \sqrt{3} \ m/s$ નું મૂલ્ય ધરાવતો વેગ ધન $Y$-અક્ષની દિશામાં છે,જે $X$-અક્ષને લંબ છે.

(C) આપેલ છે: નદીની પહોળાઈ $d = 200 \ m$,નદીનો વેગ $v_R = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \ m/s$,સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $v_{BR} = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \ m/s$.
નદીને ન્યૂનતમ સમયમાં પાર કરવા માટે,હોડીએ નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં ગતિ કરવી જોઈએ.
નદીને એકવાર પાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{BR}} = \frac{200}{10} = 20 \ s$ છે.
રાઉન્ડ ટ્રીપ (જઈને પાછા આવવા) માટે,કુલ સમય $T = 20 + 20 = 40 \ s$ થાય.
આ સમય દરમિયાન,હોડી નદીના પ્રવાહ સાથે નીચેની તરફ જાય છે. નદીના કાંઠાની સાપેક્ષમાં હોડીનો વેગ $v_R = 5 \ m/s$ છે.
નદીના કાંઠા પરનું સ્થાનાંતર $x = v_R \times T = 5 \times 40 = 200 \ m$ છે.

(C) ધારો કે કાર $A$ નો વેગ $v_A = 100 \text{ km/h}$ અને કાર $B$ નો વેગ $v_B = 80 \text{ km/h}$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = v_A - v_B = 100 - 80 = 20 \text{ km/h}$ છે.
આને $\text{m/s}$ માં ફેરવતા,આપણને $20 \times (5/18) = 5.55 \text{ m/s}$ મળે છે.
ધારો કે કાર $B$ ની સાપેક્ષમાં પથ્થરનો વેગ $v$ છે. પથ્થર $A$ તરફ ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,જમીનની સાપેક્ષમાં તેનો વેગ $v_{sg} = v + v_B$ થશે.
કાર $A$ ની સાપેક્ષમાં પથ્થરનો વેગ $v_{sa} = v_{sg} - v_A = (v + v_B) - v_A = v - (v_A - v_B) = v - 20 \text{ km/h}$ છે.
આપેલ છે કે $A$ ની સાપેક્ષમાં પથ્થરની ઝડપ $5 \text{ m/s}$ છે,જે $5 \times (18/5) = 18 \text{ km/h}$ થાય છે.
તેથી,$|v - 20| = 18$.
પથ્થર કાર $A$ ને અથડાય તે માટે (જે આગળ છે),$v$ નું મૂલ્ય $20 \text{ km/h}$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$v - 20 = 18$,જે $v = 38 \text{ km/h}$ આપે છે.