Relative Velocity (river boat, rain, wind) Questions in Gujarati

(1-C, 2-A) $(1)$ માટે: જો $A$ અને $B$ પરસ્પર લંબરૂપે ગતિ કરે,તો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ થાય. તેઓ લંબ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $v_{AB} = \sqrt{v_A^2 + (-v_B)^2} = \sqrt{v_A^2 + v_B^2}$ થાય. તેથી,$(1)$ એ $(c)$ સાથે જોડાય છે.
$(2)$ માટે: માણસની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r - \vec{v}_m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જોકે,સાપેક્ષ ગતિ માટે પ્રમાણિત સદિશ સંકેતમાં,$\vec{v}_{rm} = \vec{v}_r + (-\vec{v}_m)$ લખી શકાય. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$(a)$ એ સદિશ સરવાળાનું સ્વરૂપ દર્શાવે છે જેનો ઉપયોગ સાપેક્ષ વેગના પ્રશ્નોમાં થાય છે. તેથી,$(2)$ એ $(a)$ સાથે જોડાય છે.

(N/A) પદાર્થ $B$ ની સાપેક્ષે પદાર્થ $A$ નો સાપેક્ષ વેગ એટલે $B$ પરથી અવલોકન કરતા $A$ ના સ્થાનમાં થતા ફેરફારનો દર.
ગાણિતિક રીતે,$B$ ની સાપેક્ષે $A$ નો સાપેક્ષ વેગ,જેને $v_{AB}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,તે તેમના વેગના સદિશ તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{AB} = v_A - v_B$
અહીં,$v_A$ એ પદાર્થ $A$ નો વેગ છે અને $v_B$ એ સામાન્ય સંદર્ભ ફ્રેમ (સામાન્ય રીતે જમીન) ની સાપેક્ષે પદાર્થ $B$ નો વેગ છે.

(B) પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી બે વસ્તુઓ $A$ અને $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_A + v_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $v_A$ અને $v_B$ એ વેગના ધન મૂલ્યો હોવાથી,$v_{rel}$ નું મૂલ્ય $v_A$ અથવા $v_B$ બંને કરતાં વધારે હશે.
તેથી,જ્યારે બે કાર પરસ્પર વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેમનો સાપેક્ષ વેગ તેમના સ્વતંત્ર વેગના સરવાળા જેટલો થાય છે,જે બંને કારના વ્યક્તિગત વેગ કરતાં વધારે હોય છે.

(B) ધારો કે બે કારના વેગ $v_A$ અને $v_B$ છે. કાર $B$ ની સાપેક્ષે કાર $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $v_{AB} = v_A - v_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો બંને કાર એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોય,તો સાપેક્ષ વેગ એ તેમના વ્યક્તિગત વેગનો તફાવત છે,એટલે કે $|v_A - v_B|$,જે કોઈપણ કારના વ્યક્તિગત વેગ કરતા ઓછો હોય છે (ધારી લઈએ કે $v_A, v_B > 0$).
જો તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે,તો સાપેક્ષ વેગ $|v_A + v_B|$ થાય છે,જે કોઈપણ કારના વ્યક્તિગત વેગ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,જ્યારે બંને કાર એક જ દિશામાં ગતિ કરતી હોય ત્યારે સાપેક્ષ વેગ વ્યક્તિગત વેગ કરતા ઓછો હોય છે.

(N/A) સાપેક્ષ વેગ એટલે કોઈ ચોક્કસ સંદર્ભ ફ્રેમ (frame of reference) પરથી અવલોકન કરવામાં આવતા પદાર્થનો વેગ.
ધારો કે બે સંદર્ભ ફ્રેમ $A$ અને $B$ છે,જે એકબીજાની સાપેક્ષમાં અચળ વેગથી ગતિ કરે છે. ધારો કે $P$ એક કણ છે.
આકૃતિ પરથી,ફ્રેમ $A$ ના ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં કણ $P$ નો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{P,A} = \vec{OO'} + \vec{O'P}$ છે.
અહીં $\vec{OO'} = \vec{r}_{B,A}$ (ફ્રેમ $A$ ના ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષમાં ફ્રેમ $B$ ના ઉગમબિંદુ $O'$ નું સ્થાન) અને $\vec{O'P} = \vec{r}_{P,B}$ (ફ્રેમ $B$ ના ઉગમબિંદુ $O'$ ની સાપેક્ષમાં કણ $P$ નું સ્થાન) હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\vec{r}_{P,A} = \vec{r}_{P,B} + \vec{r}_{B,A}$
આ સમીકરણનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(\vec{r}_{P,A}) = \frac{d}{dt}(\vec{r}_{P,B}) + \frac{d}{dt}(\vec{r}_{B,A})$
$\vec{v}_{P,A} = \vec{v}_{P,B} + \vec{v}_{B,A}$
અહીં,$\vec{v}_{P,A}$ એ ફ્રેમ $A$ ની સાપેક્ષમાં કણ $P$ નો વેગ છે,$\vec{v}_{P,B}$ એ ફ્રેમ $B$ ની સાપેક્ષમાં કણ $P$ નો વેગ છે,અને $\vec{v}_{B,A}$ એ ફ્રેમ $A$ ની સાપેક્ષમાં ફ્રેમ $B$ નો વેગ છે.

(N/A) એકબીજાની સાપેક્ષે અચળ વેગથી ગતિ કરતી બે જડત્વિય નિર્દેશફ્રેમો $A$ અને $B$ ધ્યાનમાં લો.
ધારો કે નિર્દેશફ્રેમ $A$ માં રહેલો એક અવલોકનકાર અને નિર્દેશફ્રેમ $B$ માં રહેલો બીજો અવલોકનકાર કણ $P$ ની ગતિનો અભ્યાસ કરે છે.
ધારો કે,$t$ સમયે ગતિ કરતા કણ $P$ ના નિર્દેશફ્રેમો $A$ અને $B$ ના ઊગમબિંદુઓની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ અનુક્રમે $\overrightarrow{r_{P,A}} = \overrightarrow{OP}$ અને $\overrightarrow{r_{P,B}} = \overrightarrow{O'P}$ છે,અને $O$ ની સાપેક્ષે $O'$ નો સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r_{B,A}} = \overrightarrow{OO'}$ છે.
સદિશોની ભૂમિતિ પરથી,$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OO'} + \overrightarrow{O'P}$.
તેથી,$\overrightarrow{r_{P,A}} = \overrightarrow{r_{B,A}} + \overrightarrow{r_{P,B}}$.
સમય $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરતા:
$\frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{P,A}}) = \frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{P,B}}) + \frac{d}{dt}(\overrightarrow{r_{B,A}})$.
આમ,$\overrightarrow{v_{P,A}} = \overrightarrow{v_{P,B}} + \overrightarrow{v_{B,A}}$.
અહીં,$\overrightarrow{v_{P,A}}$ એ નિર્દેશફ્રેમ $A$ ની સાપેક્ષે કણ $P$ નો વેગ છે,$\overrightarrow{v_{P,B}}$ એ નિર્દેશફ્રેમ $B$ ની સાપેક્ષે કણ $P$ નો વેગ છે,અને $\overrightarrow{v_{B,A}}$ એ નિર્દેશફ્રેમ $A$ ની સાપેક્ષે નિર્દેશફ્રેમ $B$ નો વેગ છે.

(N/A) ધારો કે એક સંદર્ભ ફ્રેમમાં બે કણો $A$ અને $B$ છે,જેમના વેગ અનુક્રમે $\vec{V}_{A}$ અને $\vec{V}_{B}$ છે.
કણ $B$ ની સાપેક્ષમાં કણ $A$ નો વેગ સદિશ તફાવત દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{V}_{AB} = \vec{V}_{A} - \vec{V}_{B}$
તે જ રીતે,કણ $A$ ની સાપેક્ષમાં કણ $B$ નો વેગ નીચે મુજબ છે:
$\vec{V}_{BA} = \vec{V}_{B} - \vec{V}_{A}$
આ સમીકરણો પરથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે:
$\vec{V}_{AB} = -\vec{V}_{BA}$ અને $|\vec{V}_{AB}| = |\vec{V}_{BA}|$.
સામાન્ય સંદર્ભ ફ્રેમ $X$ માં,જો કણો $P$ અને $Q$ ના વેગ ફ્રેમ $X$ ની સાપેક્ષમાં $\vec{V}_{PX}$ અને $\vec{V}_{QX}$ હોય,તો $Q$ ની સાપેક્ષમાં $P$ નો સાપેક્ષ વેગ:
$\vec{V}_{PQ} = \vec{V}_{PX} - \vec{V}_{QX}$ થાય.

(C) કણ $B$ ની સાપેક્ષે કણ $A$ નો વેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: ${\overrightarrow v _{AB}} = {\overrightarrow v _A} - {\overrightarrow v _B}$.
$(b)$ કણ $A$ ની સાપેક્ષે કણ $B$ નો વેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે: ${\overrightarrow v _{BA}} = {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A}$.
$(c)$ હા,આ સંબંધ સાચો છે. કારણ કે ${\overrightarrow v _{AB}} = {\overrightarrow v _A} - {\overrightarrow v _B}$ અને ${\overrightarrow v _{BA}} = {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A}$,તેથી આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે ${\overrightarrow v _{AB}} = - ( {\overrightarrow v _B} - {\overrightarrow v _A} ) = - {\overrightarrow v _{BA}}$.

(N/A) છોકરો $10 \, m/s$ ની ઝડપે $60^{\circ}$ ના ખૂણે દડો ફેંકે છે.
દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta = 10 \cos 60^{\circ} = 10 \times 0.5 = 5 \, m/s$ છે.
કારની ઝડપ $18 \, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \, m/s$ છે.
કારણ કે દડાનો સમક્ષિતિજ વેગ $(5 \, m/s)$ અને કારની ઝડપ $(5 \, m/s)$ સમાન છે,તેથી કારની સાપેક્ષમાં દડાનો સાપેક્ષ સમક્ષિતિજ વેગ $v_{rel,x} = 5 - 5 = 0 \, m/s$ થશે.
તેથી,કારમાં બેઠેલો છોકરો દડાને ફક્ત શિરોલંબ દિશામાં ગતિ કરતો જોશે,જે સીધી શિરોલંબ રેખા તરીકે દેખાશે.

(D) આપેલ છે:
પ્રથમ કારની ઝડપ $v_{1} = 18 \,km/h$.
બીજી કારની ઝડપ $v_{2} = 27 \,km/h$.
કાર એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ $v_{rel} = v_{1} + v_{2} = 18 + 27 = 45 \,km/h$ થશે.
બંને કાર વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 36 \,km$ છે.
કારને મળવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{rel}} = \frac{36}{45} = 0.8 \,h$ છે.
પક્ષી સતત $v_{b} = 36 \,km/h$ ની અચળ ઝડપે ઉડે છે જ્યાં સુધી કાર એકબીજાને મળે નહીં.
તેથી,પક્ષી દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $D = v_{b} \times t = 36 \times 0.8 = 28.8 \,km$ થાય.

(A-D) ધારો કે ઉત્તર દિશા $\hat{i}$ છે અને શિરોલંબ નીચેની દિશા $\hat{j}$ છે.
વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = a\hat{i} + b\hat{j}$ લો.
કિસ્સો $1$: છોકરીનો વેગ $\vec{v}_g = 5\hat{i} \, m/s$ છે.
છોકરીની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rg} = \vec{v}_r - \vec{v}_g = (a-5)\hat{i} + b\hat{j}$ છે.
વરસાદ શિરોલંબ નીચે પડતો હોવાથી,તેનો સમક્ષિતિજ ઘટક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $a - 5 = 0 \Rightarrow a = 5$.
કિસ્સો $2$: છોકરીનો વેગ $\vec{v}_g = 10\hat{i} \, m/s$ છે.
છોકરીની સાપેક્ષે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_{rg} = (a-10)\hat{i} + b\hat{j} = (5-10)\hat{i} + b\hat{j} = -5\hat{i} + b\hat{j}$ છે.
વરસાદ શિરોલંબ સાથે $45^o$ ના ખૂણે પડતો હોવાથી,$\tan 45^o = |\frac{\text{સમક્ષિતિજ ઘટક}}{\text{શિરોલંબ ઘટક}}| = |\frac{-5}{b}| = 1$.
તેથી,$|b| = 5$. વરસાદ નીચે પડતો હોવાથી,$b = -5$.
વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = 5\hat{i} - 5\hat{j} \, m/s$ છે.
વરસાદની ઝડપ $|\vec{v}_r| = \sqrt{5^2 + (-5)^2} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \, m/s$ છે.
જમીન પરના અવલોકનકાર માટે વરસાદની દિશા શિરોલંબ સાથે $\theta$ ખૂણે છે,જ્યાં $\tan \theta = \frac{|a|}{|b|} = \frac{5}{5} = 1$,તેથી $\theta = 45^o$ ઉત્તર દિશા તરફ.

(N/A) આપેલ છે: નદીની ઝડપ $V_r = 3\, ms^{-1}$ (પૂર્વ),સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $V_s = 4\, ms^{-1}$.
$(a)$ જ્યારે તરવૈયો ઉત્તર દિશામાં તરે છે,ત્યારે પરિણામી વેગ $V$ એ $V_r$ અને $V_s$ નો સદિશ સરવાળો છે.
$V = \sqrt{V_r^2 + V_s^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = 5\, ms^{-1}$.
ઉત્તરની સાપેક્ષમાં દિશા $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{V_r}{V_s} = \frac{3}{4} = 0.75$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \tan^{-1}(0.75) \approx 36.87^{\circ}$ ઉત્તરની પૂર્વ દિશામાં.
$(b)$ $A$ ની બરાબર સામેના બિંદુ $B$ પર પહોંચવા માટે,તરવૈયાએ પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં (ઉત્તરની પશ્ચિમ તરફ) $\theta$ ખૂણે તરવું જોઈએ જેથી તેના વેગનો આડો ઘટક નદીના વેગને નાબૂદ કરે.
$(i)$ $\sin \theta = \frac{V_r}{V_s} = \frac{3}{4} = 0.75 \Rightarrow \theta = \sin^{-1}(0.75) \approx 48.6^{\circ}$ ઉત્તરની પશ્ચિમ દિશામાં.
$(ii)$ પરિણામી ઝડપ $V$ એ ઊભો ઘટક છે: $V = \sqrt{V_s^2 - V_r^2} = \sqrt{4^2 - 3^2} = \sqrt{16 - 9} = \sqrt{7} \approx 2.65\, ms^{-1}$.
$(c)$ ધારો કે નદીની પહોળાઈ $d$ છે. કિસ્સા $(a)$ માં લાગતો સમય $t_a = \frac{d}{V_s} = \frac{d}{4}$ છે. કિસ્સા $(b)$ માં લાગતો સમય $t_b = \frac{d}{V} = \frac{d}{\sqrt{7}}$ છે. કારણ કે $\sqrt{7} < 4$,તેથી $t_b > t_a$. આમ,તરવૈયો કિસ્સા $(a)$ માં સામેના કાંઠે ઓછા સમયમાં પહોંચશે.

(B) ધારો કે ટ્રેન $A$ ની ગતિની દિશા ધન $(+)$ છે અને ટ્રેન $B$ ની ગતિની દિશા ઋણ $(-)$ છે.
ટ્રેન $A$ નો વેગ $(V_A)$ = $+36 \, km/h$.
ટ્રેન $B$ નો વેગ $(V_B)$ = $-72 \, km/h$.
ટ્રેન $A$ ની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિનો વેગ $(V_{m/A})$ = $-1.8 \, km/h$ (કારણ કે વ્યક્તિ ટ્રેન $A$ ની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ચાલી રહી છે).
જમીનની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિનો વેગ $(V_m)$ = $V_{m/A} + V_A = -1.8 + 36 = 34.2 \, km/h$.
ટ્રેન $B$ ની સાપેક્ષમાં વ્યક્તિનો વેગ $(V_{m/B})$ = $V_m - V_B = 34.2 - (-72) = 34.2 + 72 = 106.2 \, km/h$.
$km/h$ ને $m/s$ માં ફેરવવા માટે,$\frac{5}{18}$ વડે ગુણો:
$V_{m/B} = 106.2 \times \frac{5}{18} = 5.9 \times 5 = 29.5 \, m/s$.

(D) ધારો કે વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -v_r \hat{j}$ છે અને કારનો વેગ $\vec{v}_m = v_m \hat{i}$ છે.
જ્યારે કાર $v$ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે કારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{r/m} = \vec{v}_r - \vec{v}_m = -v_r \hat{j} - v \hat{i}$ થાય છે.
સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{|v_r|}{|v_m|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\theta = 60^{\circ}$ અને $v_m = v$,તેથી $\tan 60^{\circ} = \frac{v_r}{v} = \sqrt{3}$,એટલે કે $v_r = v\sqrt{3}$.
જ્યારે કારની ઝડપ વધીને $(1+\beta)v$ થાય છે,ત્યારે નવો ખૂણો $45^{\circ}$ છે.
તેથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{v_r}{(1+\beta)v} = 1$.
$v_r = v\sqrt{3}$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{v\sqrt{3}}{(1+\beta)v} = 1$.
$\sqrt{3} = 1 + \beta$.
$\beta = \sqrt{3} - 1 \approx 1.732 - 1 = 0.732$.
તેથી,$\beta$ નું મૂલ્ય $0.73$ ની નજીક છે.

(A) ધારો કે નદીના સાપેક્ષ તરવૈયાનો વેગ $\vec{v}_{sr} = 10\, m/s$ છે અને નદીનો વેગ $\vec{v}_r = x\, m/s$ છે.
તરવૈયો નદીના પ્રવાહ સાથે $120^{\circ}$ ના ખૂણે તરે છે.
બરાબર સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે,જમીનની સાપેક્ષ તરવૈયાનો પરિણામી વેગ $(\vec{v}_s = \vec{v}_{sr} + \vec{v}_r)$ નદીના પ્રવાહને લંબ હોવો જોઈએ.
ધારો કે નદીનો પ્રવાહ $x$-અક્ષની દિશામાં છે. તરવૈયાનો વેગ સદિશ $\vec{v}_{sr}$ એ ધન $x$-અક્ષ સાથે $120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
$x$-અક્ષ પર તરવૈયાના વેગનો ઘટક $v_{sr,x} = 10 \cos(120^{\circ}) = 10 \times (-0.5) = -5\, m/s$ છે.
તરવૈયો સીધો સામેના કિનારે પહોંચે તે માટે,$x$-અક્ષ પરનો કુલ વેગ શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$v_{net,x} = v_{sr,x} + v_r = 0$.
$-5 + x = 0$.
$x = 5\, m/s$.

(B) ધારો કે $V_{sw} = 12 \, km/h$ એ સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાનો વેગ છે અને $v_r = 6 \, km/h$ એ નદીના પ્રવાહનો વેગ છે.
પ્રારંભિક બિંદુની બરાબર સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે,તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહને લંબ સાથે $\theta$ ખૂણે તરવું જોઈએ જેથી તેના વેગનો ઘટક નદીના પ્રવાહના વેગને નાબૂદ કરે.
$V_{sw} \sin \theta = v_r$
$12 \sin \theta = 6$
$\sin \theta = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
$\theta = 30^{\circ}$ (લંબ સાથેનો ખૂણો).
નદીના પ્રવાહની દિશાની સાપેક્ષમાં ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ થશે.

(C) ધારો કે પ્લેનનો વેગ $\vec{v}_{P} = u_{0} \hat{i}$ છે.
જ્યારે બોમ્બ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ પ્લેનના વેગ જેટલો જ હોય છે,તેથી $\vec{v}_{B, initial} = u_{0} \hat{i}$.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,જમીનની સાપેક્ષે બોમ્બનો વેગ $\vec{v}_{B} = u_{0} \hat{i} - gt \hat{j}$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર પ્લેનનો વેગ $\vec{v}_{P} = u_{0} \hat{i}$ છે.
પ્લેનમાં બેઠેલા અવલોકનકારની સાપેક્ષે બોમ્બનો વેગ $\vec{v}_{B/P} = \vec{v}_{B} - \vec{v}_{P} = (u_{0} \hat{i} - gt \hat{j}) - u_{0} \hat{i} = -gt \hat{j}$ થાય.
સાપેક્ષ વેગ હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ હોવાથી,પ્લેનમાં બેઠેલા અવલોકનકાર માટે બોમ્બનો ગતિપથ સીધી નીચેની તરફની સુરેખ રેખા હશે.

(A) ધારો કે પૂર્વ દિશા $\hat{i}$ અક્ષ પર છે અને ઉત્તર દિશા $\hat{j}$ અક્ષ પર છે.
હવાની સાપેક્ષમાં પતંગિયાનો વેગ $\vec{V}_{BA} = 4\sqrt{2} \cos(45^\circ) \hat{i} + 4\sqrt{2} \sin(45^\circ) \hat{j} = 4\hat{i} + 4\hat{j} \, m/s$ છે.
પવનનો વેગ $\vec{V}_W = -1\hat{j} \, m/s$ છે.
જમીનની સાપેક્ષમાં પતંગિયાનો પરિણામી વેગ $\vec{V}_B = \vec{V}_{BA} + \vec{V}_W = (4\hat{i} + 4\hat{j}) + (-1\hat{j}) = 4\hat{i} + 3\hat{j} \, m/s$ છે.
$t = 3 \, s$ માં પતંગિયાનું સ્થાનાંતર $\vec{S} = \vec{V}_B \times t = (4\hat{i} + 3\hat{j}) \times 3 = 12\hat{i} + 9\hat{j} \, m$ છે.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $|\vec{S}| = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15 \, m$ થાય.

(A) ધારો કે નદીનો વેગ $\vec{v}_r$ છે અને નદીની સાપેક્ષમાં તરવૈયાનો વેગ $\vec{v}_{sr}$ છે.
આપેલ છે કે બંનેના મૂલ્યો સમાન છે,તેથી $|\vec{v}_r| = |\vec{v}_{sr}| = v$ લો.
પરિણામી વેગ $\vec{v}_s = \vec{v}_{sr} + \vec{v}_r$ એ બિંદુ $B$ સુધી પહોંચવા માટે રેખા $AB$ ની દિશામાં હોવો જોઈએ.
બે સદિશો $\vec{v}_{sr}$ અને $\vec{v}_r$ ના મૂલ્યો સમાન હોવાથી,તેમનો પરિણામી સદિશ $\vec{v}_s$ તેમની વચ્ચેના ખૂણાને દુભાગે છે.
ધારો કે નદીના પ્રવાહ (ક્ષિતિજ સમાંતર) અને રેખા $AB$ વચ્ચેનો ખૂણો $\alpha = 30^{\circ}$ છે.
ધારો કે તરવૈયાના વેગ $\vec{v}_{sr}$ અને રેખા $AB$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
તો તરવૈયાના વેગ $\vec{v}_{sr}$ અને નદીના પ્રવાહ $\vec{v}_r$ વચ્ચેનો ખૂણો $(\theta + 30^{\circ})$ થશે.
પરિણામી વેગ $\vec{v}_s$ (જે $AB$ ની દિશામાં છે) આ ખૂણાને દુભાગે છે,તેથી $\vec{v}_s$ અને $\vec{v}_r$ વચ્ચેનો ખૂણો એ $\vec{v}_s$ અને $\vec{v}_{sr}$ વચ્ચેના ખૂણા જેટલો જ હોવો જોઈએ.
તેથી,$30^{\circ} = \theta$.
આમ,જરૂરી ખૂણો $\theta = 30^{\circ}$ છે.

(C) ધારો કે $\vec{V}_R$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે અને $\vec{V}_G$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં છોકરીનો વેગ છે.
જ્યારે છોકરી ઉભી હોય છે,ત્યારે તે છત્રીને શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ ના ખૂણે રાખે છે,જેનો અર્થ છે કે જમીનની સાપેક્ષમાં વરસાદની દિશા શિરોલંબ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
વેક્ટર ત્રિકોણ પરથી,$\tan 45^{\circ} = \frac{|\vec{V}_G|}{|\vec{V}_{R,G}|}$,જ્યાં $\vec{V}_{R,G}$ એ છોકરીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ છે.
જ્યારે છોકરી $\vec{V}_G = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ ના વેગથી દોડવાનું શરૂ કરે છે,ત્યારે વરસાદ તેના માથા પર શિરોલંબ અથડાય છે. આનો અર્થ એ છે કે છોકરીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ,$\vec{V}_{R,G} = \vec{V}_R - \vec{V}_G$,શિરોલંબ છે.
વેગ ત્રિકોણની ભૂમિતિ પરથી,$|\vec{V}_{R,G}| = \frac{|\vec{V}_G|}{\tan 45^{\circ}}$.
$\tan 45^{\circ} = 1$ હોવાથી,આપણને $|\vec{V}_{R,G}| = |\vec{V}_G| = 15 \sqrt{2} \; kmh^{-1}$ મળે છે.
વરસાદનો શિરોલંબ ઘટક $V_{R,G} = V_R \cos 45^{\circ} = 30 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{30}{\sqrt{2}} \; kmh^{-1}$ છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ડ્રિફ્ટને ન્યૂનતમ કરવા માટે,હોડીને એવી રીતે હંકાવવી જોઈએ કે જેથી તેનો પરિણામી વેગ નદીના કિનારાને લંબ હોય.
ધારો કે હોડી નદીના પ્રવાહને લંબ દિશા સાથે $\theta$ ખૂણે નિર્દેશિત છે,જે આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
વેગના ત્રિકોણ પરથી,નદીના પ્રવાહની દિશામાં હોડીના વેગ $v$ નો ઘટક નદીના વેગ $v/2$ ને નાબૂદ કરવો જોઈએ.
તેથી,$v \sin \theta = v/2$.
$\sin \theta = 1/2$,જે $\theta = 30^{\circ}$ આપે છે.
પ્રવાહની દિશાની સાપેક્ષે ખૂણો $90^{\circ} + \theta = 90^{\circ} + 30^{\circ} = 120^{\circ}$ થશે.

(B) દડાનો વેગ સ્થિર સંદર્ભ ફ્રેમની સાપેક્ષમાં માપવામાં આવે છે. જ્યારે સંદર્ભ ફ્રેમ ગતિમાં હોય (જેમ કે કાર),ત્યારે પદાર્થ પાસે સંદર્ભ ફ્રેમના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં વધારાનો વેગ હોય તેમ જણાય છે.
ધારો કે કારનો વેગ $\vec{v}_{c}$ છે. કારની ફ્રેમમાં,દડા પાસે:
$(i)$ ફેંકવાને કારણે ઉર્ધ્વ વેગનો ઘટક છે.
$(ii)$ કારની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $-\vec{v}_{c}$ જેટલો સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક છે.
દડા પાસે ઉર્ધ્વ દિશામાં અચળ પ્રવેગ (ગુરુત્વાકર્ષણ) અને કારની સાપેક્ષમાં અચળ સમક્ષિતિજ વેગ હોવાથી,કારની સંદર્ભ ફ્રેમમાં દડાનો ગતિપથ પરવલયાકાર હોય છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(B) ધારો કે $\vec{V}_p$ એ હવાના સાપેક્ષમાં વિમાનનો વેગ છે અને $\vec{V}_w$ એ જમીનની સાપેક્ષમાં પવનનો વેગ છે.
આપેલ છે: $|\vec{V}_p| = 100 \, m/s$,ઉત્તરથી પૂર્વ તરફ $37^{\circ}$ ના ખૂણે,અને $\vec{V}_w = 20 \, m/s$ પૂર્વ તરફ.
જમીનની સાપેક્ષે વિમાનનો વેગ $\vec{V}_g = \vec{V}_p + \vec{V}_w$ છે.
વેક્ટર ઘટકોમાં:
$\vec{V}_p = 100 \sin 37^{\circ} \hat{i} + 100 \cos 37^{\circ} \hat{j} = 100(0.6) \hat{i} + 100(0.8) \hat{j} = 60 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
$\vec{V}_w = 20 \hat{i} \, m/s$.
$\vec{V}_g = (60 + 20) \hat{i} + 80 \hat{j} = 80 \hat{i} + 80 \hat{j} \, m/s$.
જમીનની સાપેક્ષે ઝડપ $|\vec{V}_g| = \sqrt{80^2 + 80^2} = 80\sqrt{2} \approx 80 \times 1.414 = 113.12 \, m/s$.
આમ,ઝડપ $113 \, m/s$ ની સૌથી નજીક છે.

(C) ધારો કે માણસ રસ્તાને લંબ સાથે $\theta$ ખૂણે રસ્તો ઓળંગવાનું શરૂ કરે છે. રસ્તાની પહોળાઈ $d = 2\,m$ છે. માણસે રસ્તો ઓળંગવા માટે કાપવાનું અંતર $d/\cos\theta = 2/\cos\theta$ છે. માણસ દ્વારા લેવાયેલ સમય $t = (2/\cos\theta) / v$ છે.
આ સમય $t$ માં,ટ્રક $x = v_0 t = 8 \times (2 / (v \cos\theta)) = 16 / (v \cos\theta)$ અંતર કાપે છે.
માણસ સુરક્ષિત રીતે રસ્તો ઓળંગી શકે તે માટે,ટ્રક તે બિંદુને પસાર કરી લેવી જોઈએ જ્યાં માણસ બીજી બાજુ પહોંચે છે. માણસના માર્ગથી ટ્રકનું પ્રારંભિક અંતર $4\,m$ છે. માણસ તેના પ્રારંભિક બિંદુથી $d \tan\theta = 2 \tan\theta$ ના આડા અંતરે બીજી બાજુ પહોંચે છે.
આમ,ટ્રકે કુલ $4 + 2 \tan\theta$ અંતર કાપવું આવશ્યક છે. તેથી,$v_0 t = 4 + 2 \tan\theta$.
$t = 2 / (v \cos\theta)$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$8 \times (2 / (v \cos\theta)) = 4 + 2 \tan\theta$
$16 / (v \cos\theta) = 4 + 2 (\sin\theta / \cos\theta)$
$16 / v = 4 \cos\theta + 2 \sin\theta$
$v = 16 / (4 \cos\theta + 2 \sin\theta) = 8 / (2 \cos\theta + \sin\theta)$.
$v$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે છેદ $f(\theta) = 2 \cos\theta + \sin\theta$ ને મહત્તમ કરીએ છીએ.
$f'(\theta) = -2 \sin\theta + \cos\theta = 0 \implies \tan\theta = 0.5$.
$\tan\theta = 0.5$ માટે,$\sin\theta = 1/\sqrt{5}$ અને $\cos\theta = 2/\sqrt{5}$.
$v_{\min} = 8 / (2(2/\sqrt{5}) + 1/\sqrt{5}) = 8 / (5/\sqrt{5}) = 8 / \sqrt{5} \approx 3.57\,m/s$.

(C) ધારો કે બે સ્થળો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ $v$ છે અને નદીના પ્રવાહની ઝડપ $u$ છે.
પ્રવાહની દિશામાં ગતિ માટે,અસરકારક ઝડપ $(v+u)$ છે. તેથી,$t_1 = \frac{d}{v+u} \Rightarrow d = (v+u)t_1 \dots (i)$
પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ માટે,અસરકારક ઝડપ $(v-u)$ છે. તેથી,$t_2 = \frac{d}{v-u} \Rightarrow d = (v-u)t_2 \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે $(v+u)t_1 = (v-u)t_2$.
$vt_1 + ut_1 = vt_2 - ut_2 \Rightarrow u(t_1+t_2) = v(t_2-t_1) \Rightarrow u = v\frac{t_2-t_1}{t_1+t_2}$.
$u$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$d = (v + v\frac{t_2-t_1}{t_1+t_2})t_1 = v(\frac{t_1+t_2+t_2-t_1}{t_1+t_2})t_1 = v(\frac{2t_2}{t_1+t_2})t_1$.
સ્થિર પાણીમાં લાગતો સમય $t = \frac{d}{v}$ છે.
તેથી,$t = \frac{v(\frac{2t_1t_2}{t_1+t_2})}{v} = \frac{2t_1t_2}{t_1+t_2}$.

(B) દરેક ટ્રેનની લંબાઈ $L = 100 \, m$ છે. એકબીજાને ઓળંગવા માટે કાપવાનું કુલ અંતર $D = 100 \, m + 100 \, m = 200 \, m$ થાય.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,તેમની સાપેક્ષ ઝડપ તેમની વ્યક્તિગત ઝડપના સરવાળા જેટલી થશે.
ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવતા:
$v_1 = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \, m/s$
$v_2 = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \, m/s$
સાપેક્ષ ઝડપ $v_{\text{rel}} = v_1 + v_2 = 20 + 10 = 30 \, m/s$.
એકબીજાને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{D}{v_{\text{rel}}} = \frac{200}{30} \approx 6.67 \, s$ થાય.

(B) ની સાપેક્ષે $B$ નો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{BA} = (3 \hat{i} - 7 \hat{j}) - (2 \hat{i} + 4 \hat{j})$
$= (3 - 2) \hat{i} + (-7 - 4) \hat{j}$
$= \hat{i} - 11 \hat{j}$.

(A) ધારો કે બસનો વેગ $\vec{V}_B = V_B \hat{i}$ (પૂર્વ દિશામાં) છે અને કારનો વેગ $\vec{V}_C = 7 \hat{j}$ (ઉત્તર દિશામાં) છે.
કારની સાપેક્ષમાં બસનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{BC} = \vec{V}_B - \vec{V}_C = V_B \hat{i} - 7 \hat{j}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $25 \, km/hr$ આપેલું છે.
$|\vec{V}_{BC}| = \sqrt{V_B^2 + (-7)^2} = 25$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $V_B^2 + 49 = 625$ મળે છે.
$V_B^2 = 625 - 49 = 576$.
$V_B = \sqrt{576} = 24 \, km/hr$.

(B) ધારો કે $\vec{V}_R$ એ રામનો વેગ છે અને $\vec{V}_S$ એ શ્યામનો વેગ છે.
આપેલ છે કે,$|\vec{V}_R| = 6 \, m/s$ (પૂર્વ દિશામાં) અને $|\vec{V}_S| = 6 \, m/s$ (ઉત્તરથી $30^{\circ}$ પૂર્વ દિશામાં).
$\vec{V}_R$ અને $\vec{V}_S$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ છે.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{V_R^2 + V_S^2 - 2 V_R V_S \cos \theta}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{6^2 + 6^2 - 2 \times 6 \times 6 \times \cos 60^{\circ}}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{36 + 36 - 72 \times 0.5}$
$|\vec{V}_{RS}| = \sqrt{72 - 36} = \sqrt{36} = 6 \, m/s$.

(A) જહાજ $B$ હંમેશા જહાજ $A$ ની ઉત્તરે રહે તે માટે,તેમના $x$-યામ દરેક સમયે સમાન રહેવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $x$-અક્ષ પર બંને જહાજોના વેગના ઘટકો સમાન હોવા જોઈએ.
ધારો કે જહાજ $A$ નો વેગ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં $V_A$ છે.
ધારો કે જહાજ $B$ નો વેગ સમક્ષિતિજ ($x$-અક્ષ) સાથે $\theta$ ખૂણે $V_B$ છે.
જહાજ $A$ ના વેગનો $x$-ઘટક $V_{Ax} = V_A$ છે.
જહાજ $B$ ના વેગનો $x$-ઘટક $V_{Bx} = V_B \cos \theta$ છે.
કારણ કે $V_{Ax} = V_{Bx}$,તેથી:
$V_A = V_B \cos \theta$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{V_A}{V_B} = \cos \theta$

(A) સૌ પ્રથમ,કારની ઝડપને $km/h$ માંથી $m/s$ માં ફેરવો:
$v_m = 40 \times \frac{5}{18} = \frac{200}{18} = \frac{100}{9} \, m/s$.
વરસાદનો વેગ $v_r = 20 \, m/s$ (ઉભી નીચેની દિશામાં) છે.
કારની સાપેક્ષમાં વરસાદનો વેગ એ વરસાદના વેગ અને કારના વેગના વિરોધી સદિશનો સરવાળો છે.
વરસાદ વિન્ડશિલ્ડ સાથે ઉભી દિશા સાથે જે ખૂણો $\theta$ બનાવે છે તે નીચે મુજબ છે:
$\tan \theta = \frac{v_m}{v_r}$
કિંમતો મૂકતા:
$\tan \theta = \frac{100/9}{20} = \frac{100}{9 \times 20} = \frac{5}{9}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1} \left(\frac{5}{9}\right)$.

(A) આપેલ છે:
કણ $A$ નો વેગ,$\vec{v}_A = 20 \hat{i} \, m/s$.
કણ $B$ નો વેગ,$\vec{v}_B = 30\sqrt{2} \cos 45^{\circ} \hat{i} + 30\sqrt{2} \sin 45^{\circ} \hat{j} \, m/s$.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી:
$\vec{v}_B = 30\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{i} + 30\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \hat{j} = 30 \hat{i} + 30 \hat{j} \, m/s$.
$A$ ની સાપેક્ષે $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{BA} = (30 \hat{i} + 30 \hat{j}) - (20 \hat{i}) = (30 - 20) \hat{i} + 30 \hat{j} = 10 \hat{i} + 30 \hat{j} \, m/s$.

(C) આપેલ છે:
કાર $A$ નો વેગ,$\vec{v}_A = 10 \hat{i} \, m/s$
કાર $B$ નો વેગ,$\vec{v}_B = 20 \hat{j} \, m/s$
$B$ ની સાપેક્ષે $A$ નો વેગ $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\vec{v}_{AB} = 10 \hat{i} - 20 \hat{j}$
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય:
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{(10)^2 + (-20)^2}$
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{100 + 400} = \sqrt{500}$
$|\vec{v}_{AB}| \approx 22.36 \, m/s$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,આપણને $22 \, m/s$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) તંત્ર (માણસ + હોડી) પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે માણસનું દળ $m_m = 60 \,kg$ અને હોડીનું દળ $m_b = 140 \,kg$ છે.
માણસ હોડી પર $d = v \times t = 1.5 \,m/s \times 4 \,s = 6.0 \,m$ જેટલું અંતર કાપે છે.
ધારો કે માણસ કિનારા તરફ ચાલે છે,તેથી હોડી કિનારાથી $x$ જેટલી દૂર ખસે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર શૂન્ય છે:
$m_m \Delta x_m + m_b \Delta x_b = 0$
કિનારા તરફની દિશાને ઋણ લેતા,જમીનની સાપેક્ષે માણસનું સ્થાનાંતર $-(6.0 - x)$ અને હોડીનું સ્થાનાંતર $+x$ થાય.
$60 \times -(6.0 - x) + 140 \times x = 0$
$-360 + 60x + 140x = 0$
$200x = 360$
$x = 1.8 \,m$
જમીનની સાપેક્ષે માણસનું સ્થાનાંતર $-(6.0 - 1.8) = -4.2 \,m$ છે.
કિનારાથી પ્રારંભિક અંતર $20 \,m$ હતું.
અંતિમ અંતર $= 20 - 4.2 = 15.8 \,m$.

(A) ધારો કે નદીની પહોળાઈ $w = 1\,km = 1000\,m$ છે. સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ $v_{sm} = 4\,km\,h^{-1}$ છે.
તરવૈયો નદીના પ્રવાહને લંબ દિશામાં તરતો હોવાથી,નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{w}{v_{sm}} = \frac{1\,km}{4\,km\,h^{-1}} = 0.25\,h$ થાય.
આ સમય દરમિયાન,તરવૈયો નદીના પ્રવાહને કારણે નીચેની તરફ જાય છે. ડ્રિફ્ટ (સ્થળાંતર) $x = 750\,m = 0.75\,km$ આપેલ છે.
આ ડ્રિફ્ટ નદીના વેગ $v_r$ ને કારણે થાય છે,તેથી $x = v_r \times t$.
કિંમતો મૂકતા: $0.75\,km = v_r \times 0.25\,h$.
તેથી,$v_r = \frac{0.75}{0.25} = 3\,km\,h^{-1}$.
નદીના પાણીની ઝડપ $3\,km\,h^{-1}$ છે.

(D) ટ્રેન $A$ નો વેગ,$V_A = 90\,km/h = 90 \times \frac{5}{18} = 25\,m/s$.
ટ્રેન $B$ નો વેગ,$V_B = 54\,km/h = 54 \times \frac{5}{18} = 15\,m/s$.
ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોવાથી,ટ્રેન $A$ ની સાપેક્ષમાં ટ્રેન $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $V_{BA} = V_B - (-V_A) = 15 + 25 = 40\,m/s$ થાય.
ટ્રેનને પસાર કરવા માટે લાગતો સમય $t = 8\,s$ છે.
ટ્રેન $B$ ની લંબાઈ $\ell = V_{BA} \times t$ દ્વારા મળે છે.
$\ell = 40\,m/s \times 8\,s = 320\,m$.

(B) $STATEMENT-1$ સાચું છે. જ્યારે અવલોકનકાર $\vec{V}_1$ વેગથી ગતિ કરે છે,ત્યારે નજીકની વસ્તુ (જે પ્રયોગશાળાના સંદર્ભમાં સ્થિર છે,$\vec{V}_2 = 0$) નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1 = -\vec{V}_1$ થાય છે. તેથી,નજીકની વસ્તુઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી જણાય છે.
$STATEMENT-2$ સાચું છે. વ્યાખ્યા મુજબ,અવલોકનકારની સાપેક્ષમાં વસ્તુનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{rel} = \vec{V}_{object} - \vec{V}_{observer} = \vec{V}_2 - \vec{V}_1$ છે.
જોકે,$STATEMENT-2$ એ $STATEMENT-1$ ની સમજૂતી નથી. દૂરની વસ્તુઓ સ્થિર દેખાય છે કારણ કે મોટા અંતર $r$ માટે કોણીય વેગ $\omega = v/r$ ખૂબ નાનો હોય છે,માત્ર સાપેક્ષ વેગના સૂત્રને કારણે નહીં.

(A) ધારો કે વિમાન $A$ નો વેગ $\vec{V}_A$ છે અને $B$ નો વેગ $\vec{V}_B$ છે. $A$ નો સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે અને $B$ નો $60^{\circ}$ છે.
આપેલ છે,$V_A = 100\sqrt{3} \ m/s$.
$A$ માં રહેલ અવલોકનકાર $B$ ને $A$ ની ગતિની રેખાને લંબ ગતિ કરતું જુએ છે. આનો અર્થ એ છે કે $A$ ની સાપેક્ષમાં $B$ ના સાપેક્ષ વેગનો $A$ ની ગતિની દિશામાં ઘટક શૂન્ય છે.
ધારો કે $\vec{V}_{BA} = \vec{V}_B - \vec{V}_A$. $\vec{V}_A$ ની દિશામાં $\vec{V}_{BA}$ નો ઘટક $V_{B} \cos(60^{\circ} - 30^{\circ}) - V_A = 0$ છે.
$V_B \cos(30^{\circ}) = V_A = 100\sqrt{3}$.
$V_B (\frac{\sqrt{3}}{2}) = 100\sqrt{3} \implies V_B = 200 \ m/s$.
$A$ ની ગતિની રેખાને લંબ $B$ નો સાપેક્ષ વેગ $V_{BA, \perp} = V_B \sin(60^{\circ} - 30^{\circ}) = V_B \sin(30^{\circ}) = 200 \times \frac{1}{2} = 100 \ m/s$ છે.
ગતિની રેખાને લંબ પ્રારંભિક અંતર $d = 500 \ m$ છે.
આ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_0 = \frac{d}{V_{BA, \perp}} = \frac{500}{100} = 5 \ s$ છે.

(A) જમીનની સાપેક્ષે હોડીનો વેગ એ સ્થિર પાણીમાં હોડીની ઝડપ અને નદીના પ્રવાહની ઝડપનો સરવાળો છે: $v_b = 27 \,km/h + 9 \,km/h = 36 \,km/h$.
આને $m/s$ માં ફેરવતા: $v_b = 36 \times \frac{5}{18} = 10 \,m/s$.
કારણ કે દડાને ગતિ કરતી હોડીમાંથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,તેથી જમીનની સાપેક્ષે તેનો સમક્ષિતિજ વેગ હોડીના વેગ જેટલો જ રહેશે,$v_x = 10 \,m/s$.
$u_y = 10 \,m/s$ ના પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ સાથે ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 10}{10} = 2 \,s$ છે.
કિનારા પરના અવલોકનકાર દ્વારા અવલોકન કરાયેલ સમક્ષિતિજ અવધિ $R = v_x \times T = 10 \,m/s \times 2 \,s = 20 \,m$ છે.
અવધિને સેન્ટિમીટરમાં ફેરવતા: $R = 20 \,m = 2000 \,cm$.

(B) સ્થિર પાણીમાં હોડીનો વેગ $v_b = 27 \ km \ h^{-1}$ છે.
નદીના પ્રવાહ સાથેનો ખૂણો $\theta = 150^{\circ}$ છે.
નદીના પ્રવાહને લંબ હોડીના વેગનો ઘટક $v_{\perp} = v_b \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(150^{\circ}) = 27 \times \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = 27 \times \sin(30^{\circ}) = 27 \times 0.5 = 13.5 \ km \ h^{-1}$ છે.
આને $m \ s^{-1}$ માં ફેરવવા માટે, આપણે $\frac{5}{18}$ વડે ગુણીએ છીએ:
$v_{\perp} = 13.5 \times \frac{5}{18} = 3.75 \ m \ s^{-1}$.
નદી ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = 0.5 \ \text{minute} = 30 \ s$ છે.
નદીની પહોળાઈ $d$ એ $d = v_{\perp} \times t$ દ્વારા મળે છે.
$d = 3.75 \ m \ s^{-1} \times 30 \ s = 112.5 \ m$.

(D) ધારો કે બસની ઝડપ $V_B$ છે અને સ્કૂટીની ઝડપ $V_S = 60 \ km/h$ છે.
બે ક્રમિક બસો વચ્ચેનું અંતર $d$ છે,જે $d = V_B \times T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે છોકરી બસની સમાન દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(V_B - V_S)$ થાય છે. બસો તેને પસાર કરે તે વચ્ચેનો સમયગાળો $t_1 = 30 \ min = 0.5 \ h$ છે.
તેથી,$d = (V_B - V_S) t_1 \implies V_B T = (V_B - 60) \times 0.5$ --- $(1)$
જ્યારે છોકરી વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે સાપેક્ષ ઝડપ $(V_B + V_S)$ થાય છે. સમયગાળો $t_2 = 10 \ min = 1/6 \ h$ છે.
તેથી,$d = (V_B + V_S) t_2 \implies V_B T = (V_B + 60) \times (1/6)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ને સરખાવતા:
$0.5(V_B - 60) = \frac{1}{6}(V_B + 60)$
$3(V_B - 60) = V_B + 60$
$3V_B - 180 = V_B + 60$
$2V_B = 240 \implies V_B = 120 \ km/h$.
$V_B$ ની કિંમત $(1)$ માં મૂકતા:
$120 \times T = (120 - 60) \times 0.5$
$120 \times T = 60 \times 0.5 = 30$
$T = 30/120 = 0.25 \ h = 15 \ min$.

(C) ધારો કે માણસનો વેગ $\vec{V}_m = 10 \hat{i} \ m/s$ છે.
માણસની સાપેક્ષ વરસાદનો વેગ $\vec{V}_{rm} = -10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ છે.
વરસાદનો વેગ $\vec{V}_r$ એ $\vec{V}_{rm} = \vec{V}_r - \vec{V}_m$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\vec{V}_r = \vec{V}_{rm} + \vec{V}_m = 10 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$.
હવે,માણસ વિરુદ્ધ દિશામાં દોડે છે,તેથી તેનો નવો વેગ $\vec{V}_{m'} = -10 \hat{i} \ m/s$ છે.
માણસની સાપેક્ષ વરસાદનો નવો સાપેક્ષ વેગ $\vec{V}_{rm'} = \vec{V}_r - \vec{V}_{m'} = (10 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j}) - (-10 \hat{i}) = 20 \hat{i} - 10 \sqrt{3} \hat{j} \ m/s$ છે.
આ સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{V}_{rm'}| = \sqrt{(20)^2 + (-10 \sqrt{3})^2} = \sqrt{400 + 300} = \sqrt{700} = 10 \sqrt{7} \ m/s$ થશે.

(C) બરાબર સામેના બિંદુએ પહોંચવા માટે, તરવૈયાએ નદીના પ્રવાહની વિરુદ્ધ એવી રીતે તરવું જોઈએ કે જેથી પરિણામી વેગ નદીના કિનારાને લંબ હોય.
ધારો કે $v_s = 5 \,m/s$ એ સ્થિર પાણીમાં તરવૈયાની ઝડપ છે અને $v_r = 4 \,m/s$ એ નદીના પ્રવાહની ઝડપ છે.
કિનારાને લંબ અસરકારક વેગ $v_{eff} = \sqrt{v_s^2 - v_r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v_{eff} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \,m/s$.
$d = 300 \,m$ પહોળી નદીને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{d}{v_{eff}}$ છે.
$t = \frac{300}{3} = 100 \,s$.

(A) જ્યારે બે ટ્રેનો વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતી હોય, ત્યારે એક ટ્રેનનો બીજી ટ્રેનની સાપેક્ષ વેગ $V_{rel} = V_1 + V_2 = 5 \,m/s + 10 \,m/s = 15 \,m/s$ થાય છે.
એકબીજાને સંપૂર્ણપણે ઓળંગવા માટે, કાપેલું કુલ અંતર બંને ટ્રેનોની લંબાઈના સરવાળા જેટલું હોવું જોઈએ.
કુલ અંતર $L = 30 \,m + 30 \,m = 60 \,m$.
ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{L}{V_{rel}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા, $t = \frac{60 \,m}{15 \,m/s} = 4 \,s$.

(A) ધારો કે $A$ પરનો છોકરો ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને $B$ પરનો છોકરો $(x, 0)$ પર છે.
$B$ પરનો છોકરો $y$-અક્ષ પર $v_1$ વેગથી ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $(x, v_1 t)$ છે.
$A$ પરનો છોકરો $v$ વેગથી ગતિ કરીને $t$ સમયે $B$ વાળા છોકરાને મળે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $(v_x t, v_y t)$ છે,જેથી $\sqrt{(v_x t)^2 + (v_y t)^2} = vt$ થાય.
તેઓ $(x, v_1 t)$ પર મળે છે,તેથી $v_x t = x$ અને $v_y t = v_1 t$ થાય.
વેગના માનની શરતનો ઉપયોગ કરતા: $(v_x t)^2 + (v_y t)^2 = (vt)^2$.
કિંમતો મૂકતા: $x^2 + (v_1 t)^2 = v^2 t^2$.
$t^2$ માટે ગોઠવતા: $v^2 t^2 - v_1^2 t^2 = x^2$.
$t^2 (v^2 - v_1^2) = x^2$.
$t = \frac{x}{\sqrt{v^2 - v_1^2}}$.

(D) ધારો કે $A$ પરની છોકરીનું સ્થાન $(0, 0)$ છે અને $B$ પરની છોકરીનું સ્થાન $(b, 0)$ છે.
$B$ પરની છોકરી $V_1$ વેગ સાથે $\vec{V_1} = V_1 \hat{j}$ દિશામાં ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r_B}(t) = b \hat{i} + V_1 t \hat{j}$ છે.
$A$ પરની છોકરી $V_2$ વેગ સાથે ગતિ કરે છે. ધારો કે $\vec{V_2} = V_2 \cos \theta \hat{i} + V_2 \sin \theta \hat{j}$.
$t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r_A}(t) = (V_2 \cos \theta) t \hat{i} + (V_2 \sin \theta) t \hat{j}$ છે.
તેઓ મળે તે માટે,$\vec{r_A}(t) = \vec{r_B}(t)$ હોવું જોઈએ,તેથી $V_2 \cos \theta t = b$ અને $V_2 \sin \theta t = V_1 t$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\sin \theta = V_1 / V_2$. તેથી,$\cos \theta = \sqrt{1 - (V_1/V_2)^2} = \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2}$.
$\cos \theta$ ની કિંમત પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $V_2 \left( \frac{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}{V_2} \right) t = b$.
તેથી,$t = \frac{b}{\sqrt{V_2^2 - V_1^2}}$.

(D) ધારો કે જમીનની સાપેક્ષે ટ્રેનનો વેગ $v_T = 2 \,ms^{-1}$ છે (ગતિની દિશાને ધન લેતા).
ટ્રેનની સાપેક્ષે મુસાફરનો વેગ $v_{P/T} = -2 \,ms^{-1}$ છે (કારણ કે મુસાફર ટ્રેનના પાછળના ભાગ તરફ ચાલી રહ્યો છે).
જમીનની સાપેક્ષે (પ્લેટફોર્મ પરના નિરીક્ષક) મુસાફરનો વેગ સાપેક્ષ વેગના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_P = v_{P/T} + v_T$
$v_P = -2 \,ms^{-1} + 2 \,ms^{-1} = 0 \,ms^{-1}$.
તેથી, પ્લેટફોર્મ પરના નિરીક્ષક માટે મુસાફરનો વેગ શૂન્ય જણાશે.

(B) ધારો કે સ્થિર પાણીમાં મોટરબોટનો વેગ $v_{b}$ છે અને નદીના પાણીનો વેગ $v_{w}$ છે.
જ્યારે પ્રવાહની દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક વેગ $(v_{b} + v_{w})$ થાય છે. $6 \,h$ માં કાપેલું અંતર $x$:
$x = (v_{b} + v_{w}) \times 6$ ---$(i)$
જ્યારે પ્રવાહની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,ત્યારે અસરકારક વેગ $(v_{b} - v_{w})$ થાય છે. $10 \,h$ માં કાપેલું અંતર $x$:
$x = (v_{b} - v_{w}) \times 10$ ---(ii)
અંતર $x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$(v_{b} + v_{w}) \times 6 = (v_{b} - v_{w}) \times 10$
$6v_{b} + 6v_{w} = 10v_{b} - 10v_{w}$
$16v_{w} = 4v_{b}$
$v_{w} = \frac{v_{b}}{4}$
$x$ ને $v_{b}$ ના સ્વરૂપમાં શોધવા માટે $v_{w}$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$x = (v_{b} + \frac{v_{b}}{4}) \times 6 = (\frac{5v_{b}}{4}) \times 6 = 7.5v_{b}$
સ્થિર પાણીમાં (જ્યાં વેગ $v_{b}$ છે) અંતર $x$ કાપવા માટે લાગતો સમય $t$:
$t = \frac{x}{v_{b}} = \frac{7.5v_{b}}{v_{b}} = 7.5 \,h$

(D) વરસાદનો વેગ $\vec{v}_r = -12 \hat{j} \ ms^{-1}$ છે.
સ્ત્રીનો વેગ $\vec{v}_w = -12 \hat{i} \ ms^{-1}$ છે (કારણ કે તે પૂર્વથી પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરે છે).
સ્ત્રીની સાપેક્ષમાં વરસાદનો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rw} = \vec{v}_r - \vec{v}_w = -12 \hat{j} - (-12 \hat{i}) = 12 \hat{i} - 12 \hat{j} \ ms^{-1}$ છે.
વરસાદથી બચવા માટે,સ્ત્રીએ તેની છત્રીને વરસાદના સાપેક્ષ વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં રાખવી જોઈએ.
શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{|v_w|}{|v_r|} = \frac{12}{12} = 1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1) = 45^{\circ}$.
સ્ત્રી પશ્ચિમ તરફ ગતિ કરી રહી હોવાથી,સાપેક્ષ વેગ સદિશ પશ્ચિમ તરફ નિર્દેશ કરે છે,તેથી વરસાદને રોકવા માટે તેણીએ છત્રીને પશ્ચિમ તરફ $45^{\circ}$ ના ખૂણે રાખવી જોઈએ.

(D) બે કણો અથડાય તે માટે,$t$ સમયે તેમના સ્થાન સમાન હોવા જોઈએ: $r_1 + v_1 t = r_2 + v_2 t$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $r_1 - r_2 = (v_2 - v_1) t$.
આપેલ છે કે $r_1 = (3 \hat{i} + 5 \hat{j})$ અને $r_2 = (-5 \hat{i} - 3 \hat{j})$,તેથી સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $r_1 - r_2 = (3 - (-5)) \hat{i} + (5 - (-3)) \hat{j} = (8 \hat{i} + 8 \hat{j}) \text{ m}$ થાય.
સાપેક્ષ વેગ $v_2 - v_1 = (a \hat{i} + 7 \hat{j}) - (4 \hat{i} + 3 \hat{j}) = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$ છે.
$t = 2 \text{ s}$ સાથે અથડામણની શરતમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$8 \hat{i} + 8 \hat{j} = ((a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}) \times 2$.
$2$ વડે ભાગતા: $4 \hat{i} + 4 \hat{j} = (a - 4) \hat{i} + 4 \hat{j}$.
$\hat{i}$ ના સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $4 = a - 4$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $a = 8$ મળે છે.