Mix Examples-Motion in Plane Questions in Gujarati

(A) આપેલ છે: રેખીય ઝડપ $v = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \ m/s$.
ત્રિજ્યા $r = 0.25 \ m$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_0 = \frac{v}{r} = \frac{20}{0.25} = 80 \ rad \ s^{-1}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega = 0 \ rad \ s^{-1}$.
પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = 20$.
કુલ કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 2\pi n = 2 \times \pi \times 20 = 40\pi \ rad$.
ગતિના સમીકરણ $\omega^2 = \omega_0^2 + 2\alpha\theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (80)^2 + 2 \times \alpha \times (40\pi)$
$0 = 6400 + 80\pi\alpha$
$80\pi\alpha = -6400$
$\alpha = -\frac{6400}{80\pi} = -\frac{80}{\pi} \approx -\frac{80}{3.1416} \approx -25.46 \ rad \ s^{-2}$.
નજીકની કિંમત લેતા,આપણને $-25.5 \ rad \ s^{-2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 2 \; kg$,પ્રારંભિક વેગ $u = 3 \; m/s$ ($OE$ દિશામાં),બળ $F = 4 \; N$ ($OF$ દિશામાં),સમય $t = 4 \; s$.
$OE$ (x-દિશા) માં કોઈ બળ નથી,તેથી પ્રવેગ $a_x = 0$. સ્થાનાંતર $x$:
$x = u_x t = 3 \times 4 = 12 \; m$
$OF$ (y-દિશા) માં,પ્રારંભિક વેગ $u_y = 0$. પ્રવેગ $a_y$:
$a_y = \frac{F}{m} = \frac{4}{2} = 2 \; m/s^2$
સ્થાનાંતર $y$:
$y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (4)^2 = 16 \; m$
$O$ થી કુલ સ્થાનાંતર $d$:
$d = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \; m$

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ પર વેગ $\vec{v} = v_x \hat{i} + v_y \hat{j}$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહેતો હોવાથી,$v_x = u \cos \alpha$ થાય.
આપેલ છે કે વેગ $\vec{v}$ એ પ્રારંભિક વેગ $\vec{u}$ ને લંબ છે,તેથી તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$
$(u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}) \cdot (u \cos \alpha \hat{i} + v_y \hat{j}) = 0$
$u^2 \cos^2 \alpha + u \sin \alpha v_y = 0$
$v_y = -\frac{u^2 \cos^2 \alpha}{u \sin \alpha} = -u \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha}$
વેગ $v$ નું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \sqrt{(u \cos \alpha)^2 + (-u \frac{\cos^2 \alpha}{\sin \alpha})^2}$
$v = u \cos \alpha \sqrt{1 + \frac{\cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}} = u \cos \alpha \sqrt{\frac{\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha}}$
$v = u \cos \alpha \cdot \frac{1}{\sin \alpha} = u \cot \alpha$.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે. કણ $2 \, s$ પછીના $1 \, s$ માં મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે,તેથી મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો કુલ સમય $T = 2 + 1 = 3 \, s$ છે.
$T = \frac{u \sin \theta}{g} = 3 \, s$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $u \sin \theta = 3g = 30 \, m/s$ મળે છે ... $(i)$
$t = 2 \, s$ સમયે,વેગ સમક્ષિતીજ સાથે $30^\circ$ નો ખૂણો બનાવે છે. વેગનો સમક્ષિતીજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = u \cos \theta$.
$t = 2 \, s$ સમયે શિરોલંબ ઘટક $v_y = u \sin \theta - g(2) = 30 - 20 = 10 \, m/s$ છે.
$\tan 30^\circ = \frac{v_y}{v_x}$ હોવાથી,$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{10}{u \cos \theta}$,તેથી $u \cos \theta = 10\sqrt{3} \, m/s$ ... (ii)
$(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા: $\tan \theta = \frac{30}{10\sqrt{3}} = \sqrt{3}$,તેથી $\theta = 60^\circ$.
$(i)$ માં $\theta = 60^\circ$ મૂકતા: $u \sin 60^\circ = 30 \implies u(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30 \implies u = \frac{60}{\sqrt{3}} = 20\sqrt{3} \, m/s$.

(D) ધારો કે ઢાળની ટોચ પર પદાર્થનો વેગ $v$ છે. પદાર્થ $45^o$ ના ખૂણે $40 \, m$ પહોળા કુવાને પાર કરવા માટે પ્રક્ષિપ્ત ગતિ કરે છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
અહીં $R = 40 \, m$ અને $\theta = 45^o$ આપેલ છે,તેથી $40 = \frac{v^2 \sin(90^o)}{g} = \frac{v^2}{g}$.
$g = 10 \, m/s^2$ લેતા,$v^2 = 400$,તેથી $v = 20 \, m/s$.
હવે,$s = 20\sqrt{2} \, m$ લંબાઈના ઘર્ષણરહિત ઢાળ પરની ગતિ ધ્યાનમાં લો. ઢાળ પરનો પ્રવેગ $a = -g \sin(45^o) = -\frac{g}{\sqrt{2}}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u$ એ $M$ બિંદુ પાસેનો પ્રારંભિક વેગ છે:
$(20)^2 = u^2 + 2(-\frac{g}{\sqrt{2}})(20\sqrt{2})$.
$400 = u^2 - 2g(20) = u^2 - 40(10) = u^2 - 400$.
$u^2 = 800$,જે આપણને $u = \sqrt{800} = 20\sqrt{2} \, m/s$ આપે છે.

(D) પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m\vec{v}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી વેગ $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i}$ થાય છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i})$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -m v \sin \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = m v \sin \theta$ છે.
અહીં $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$,$v = 20 \, m \, s^{-1}$,અને $\theta = 30^\circ$ આપેલ છે.
$|\Delta \vec{p}| = 0.1 \times 20 \times \sin(30^\circ) = 0.1 \times 20 \times 0.5 = 1 \, kg \, m \, s^{-1}$.

(A) બંને પદાર્થો માટે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos\theta$ છે.
પદાર્થો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,તેમના સમક્ષિતિજ વેગના મૂલ્યો સમાન છે પરંતુ દિશા વિરુદ્ધ છે.
ધારો કે દરેક પદાર્થનું દળ $m$ છે.
પ્રથમ પદાર્થનું વેગમાન $\vec{p}_1 = m(v \cos\theta) \hat{i}$ છે.
બીજા પદાર્થનું વેગમાન $\vec{p}_2 = m(-v \cos\theta) \hat{i}$ છે.
તંત્રનું કુલ વેગમાન $\vec{P} = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = m v \cos\theta \hat{i} - m v \cos\theta \hat{i} = 0$ થાય.
તેથી,અથડામણના સમયે તંત્રનું વેગમાન $0$ છે.

(B) $u$ વેગથી અને $\theta$ ખૂણે ફેંકવામાં આવતા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નિશ્ચિત વેગ $u$ માટે,મહત્તમ અવધિ $R_{\max}$ ત્યારે મળે છે જ્યારે $\theta = 45^\circ$ હોય,જે $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
ગોળીઓ બધી દિશામાં છોડવામાં આવતી હોવાથી,તે જમીન પર $r = R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળાકાર ક્ષેત્રફળ આવરી લે છે.
આવરી લેવાયેલ ક્ષેત્રફળ $A = \pi r^2$ દ્વારા મળે છે.
$r$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left( \frac{u^2}{g} \right)^2 = \pi \frac{u^4}{g^2}$ મળે છે.

(D) આપેલ અવધિ $R$ માટે,પ્રક્ષિપ્તકોણના બે મૂલ્યો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ હોય છે.
$\theta$ ખૂણા માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $h_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$(90^\circ - \theta)$ ખૂણા માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $h_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^\circ - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$ છે.
$h_1$ અને $h_2$ નો ગુણાકાર કરતા:
$h_1 h_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \cdot \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g} = \frac{u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{4g^2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
અવધિનો વર્ગ કરતા,$R^2 = \frac{4u^4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta}{g^2}$.
બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે કે $h_1 h_2 = \frac{R^2}{16}$.
તેથી,$R^2 = 16 h_1 h_2$,જેનો અર્થ છે કે $R = 4 \sqrt{h_1 h_2}$.

(B) પ્રથમ દડા માટે જે $u_1$ વેગથી શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,તેનો ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u_1}{g}$ છે.
બીજા દડા માટે જે $u_2$ વેગથી સમક્ષિતિજ સાથે $(90^\circ - \theta)$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,તેનો ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u_2 \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u_2 \cos \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = T_2$,તેથી $\frac{2u_1}{g} = \frac{2u_2 \cos \theta}{g}$,જેનો અર્થ છે કે $u_1 = u_2 \cos \theta$.
પ્રથમ દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2}{2g}$ છે.
બીજા દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{(u_2 \sin(90^\circ - \theta))^2}{2g} = \frac{u_2^2 \cos^2 \theta}{2g}$ છે.
ઊંચાઈનો ગુણોત્તર લેતા: $\frac{H_1}{H_2} = \frac{u_1^2 / 2g}{u_2^2 \cos^2 \theta / 2g} = \frac{u_1^2}{u_2^2 \cos^2 \theta}$.
$u_1 = u_2 \cos \theta$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{H_1}{H_2} = \frac{(u_2 \cos \theta)^2}{u_2^2 \cos^2 \theta} = 1$.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^o$ છે. પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,અને પદાર્થ પાસે ફક્ત વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક બાકી રહે છે,જે $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K' = \frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ થાય.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ મૂકતા,આપણને $K' = K \cos^2 \theta$ મળે છે.
અહીં $\theta = 45^o$ હોવાથી,$\cos 45^o = 1/\sqrt{2}$ થાય.
તેથી,$K' = K (1/\sqrt{2})^2 = K/2$.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ પર સ્થિતિઊર્જા $(PE)$ નું સૂત્ર $PE = mgH$ છે.
ક્ષિતિજ સાથે $\theta$ ખૂણે $u$ વેગથી ફેંકવામાં આવતા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
તેથી,$PE = mg \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right) = \frac{1}{2} m u^2 \sin^2 \theta$.
પ્રથમ દડા માટે જે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = 90^\circ$ છે. તેથી,$(PE)_1 = \frac{1}{2} m u^2 \sin^2(90^\circ) = \frac{1}{2} m u^2$.
બીજા દડા માટે જે શિરોલંબ સાથે $60^\circ$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવે છે,ક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$ છે. તેથી,$(PE)_2 = \frac{1}{2} m u^2 \sin^2(30^\circ) = \frac{1}{2} m u^2 (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{8} m u^2$.
તેમની સ્થિતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{(PE)_1}{(PE)_2} = \frac{\frac{1}{2} m u^2}{\frac{1}{8} m u^2} = \frac{8}{2} = 4:1$ થાય.

(A) કુલ સમય $2 \,min \,20 \,sec = (2 \times 60) + 20 = 140 \,sec$ છે.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = 40 \,sec$ છે.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{\text{કુલ સમય}}{T} = \frac{140}{40} = 3.5$ મળે.
એક પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર એ વર્તુળનો પરિઘ $C = 2\pi r$ છે.
કુલ અંતર $d = n \times (2\pi r) = 3.5 \times 2 \times \pi \times 100$ થાય.
$d = 7 \times \pi \times 100 = 700\pi \,m$.

(B) વેગમાં થતો ફેરફાર સદિશ તફાવત $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,ધારો કે $v = |\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = 5 \, ms^{-1}$.
અડધા પરિભ્રમણ માટે,પ્રારંભિક વેગ સદિશ $\vec{v}_1$ અને અંતિમ વેગ સદિશ $\vec{v}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો $180^\circ$ છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta v = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos(180^\circ)} = \sqrt{2v^2 + 2v^2} = 2v$ દ્વારા મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,$\Delta v = 2v \sin(\theta/2)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $\theta = 180^\circ$:
$\Delta v = 2 \times 5 \times \sin(180^\circ / 2) = 10 \times \sin(90^\circ) = 10 \times 1 = 10 \, ms^{-1}$.

(B) કણ પર લાગતું પરિણામી બળ એ કેન્દ્રગામી બળ $(F_c)$ અને સ્પર્શકીય બળ $(F_t)$ ના સદિશ સરવાળા જેટલું હોય છે:
$F_{Net} = \sqrt{F_c^2 + F_t^2}$ ... $(i)$
આપેલ ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 = as^2$ હોવાથી,$v^2 = \frac{2as^2}{m}$ મળે.
કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R} = \frac{m}{R} \left( \frac{2as^2}{m} \right) = \frac{2as^2}{R}$ ... (ii)
સ્પર્શકીય બળ શોધવા માટે,$F_t = ma_t$ નો ઉપયોગ કરીએ,જ્યાં $a_t = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{ds} \cdot \frac{ds}{dt} = v \frac{dv}{ds}$ છે.
$v = s \sqrt{\frac{2a}{m}}$ હોવાથી,$\frac{dv}{ds} = \sqrt{\frac{2a}{m}}$ મળે.
તેથી,$a_t = \left( s \sqrt{\frac{2a}{m}} \right) \left( \sqrt{\frac{2a}{m}} \right) = \frac{2as}{m}$.
માટે,$F_t = m \left( \frac{2as}{m} \right) = 2as$ ... (iii)
(ii) અને (iii) ની કિંમત $(i)$ માં મૂકતા:
$F_{Net} = \sqrt{\left( \frac{2as^2}{R} \right)^2 + (2as)^2} = \sqrt{(2as)^2 \left( \frac{s^2}{R^2} + 1 \right)} = 2as \sqrt{1 + \frac{s^2}{R^2}}$.

(A) બ્લોકનો પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 1.5 \, m/s$ અને પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0 \, m/s$ છે.
સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $S_x = u_x \times t = 1.5 \times 4 = 6 \, m$.
શિરોલંબ પ્રવેગ $a_y = F/m = 5/5 = 1 \, m/s^2$.
શિરોલંબ સ્થાનાંતર $S_y = u_y t + \frac{1}{2} a_y t^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 1 \times (4)^2 = 8 \, m$.
બ્લોક દ્વારા કાપવામાં આવેલ કુલ અંતર (સ્થાનાંતર) $S = \sqrt{S_x^2 + S_y^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \, m$ છે.

(C) એક સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર લેપમાં કાપેલું અંતર ટ્રેકના પરિઘ જેટલું હોય છે,જે $2\pi r$ છે.
અહીં $r = 100\,m$ અને સમય $t = 62.8\,s$ આપેલ છે.
સરેરાશ ઝડપ એ કુલ અંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે:
$\text{સરેરાશ ઝડપ} = \frac{2\pi r}{t} = \frac{2 \times 3.14 \times 100}{62.8} = \frac{628}{62.8} = 10\,m/s$.
કાર એક સંપૂર્ણ લેપ પૂર્ણ કરતી હોવાથી,અંતિમ સ્થાન અને પ્રારંભિક સ્થાન સમાન છે.
તેથી,ચોખ્ખું સ્થાનાંતર $0\,m$ થાય છે.
સરેરાશ વેગ એ ચોખ્ખા સ્થાનાંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર છે:
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{ચોખ્ખું સ્થાનાંતર}}{t} = \frac{0}{62.8} = 0\,m/s$.
આમ,સરેરાશ વેગ $0\,m/s$ અને સરેરાશ ઝડપ $10\,m/s$ છે.

(A) કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j}$ છે.
જ્યારે કણ જમીન પર પાછો આવે ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -2mv \sin \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin \theta$ છે.
અહીં $\theta = 45^\circ$ આપેલ હોવાથી,$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,$|\Delta \vec{p}| = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}mv$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ,$\vec{u} = (3\hat{i} + 4\hat{j})\,m/s$
પ્રવેગ,$\vec{a} = (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j})\,m/s^2$
સમય,$t = 10\,s$
વેક્ટર માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (0.4\hat{i} + 0.3\hat{j}) \times 10$
$\vec{v} = (3\hat{i} + 4\hat{j}) + (4\hat{i} + 3\hat{j})$
$\vec{v} = (3+4)\hat{i} + (4+3)\hat{j} = 7\hat{i} + 7\hat{j}$
ઝડપ એ વેગ સદિશ $\vec{v}$ નું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}| = \sqrt{(7)^2 + (7)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98}$
$|\vec{v}| = 7\sqrt{2}$ એકમ.

(A) ધારો કે $u$ એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની પ્રારંભિક ઝડપ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,અને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ માત્ર સમક્ષિતિજ ઘટકને કારણે હોય છે.
આમ,મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ $v = u \cos \theta$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,મહત્તમ ઊંચાઈએ ઝડપ તેની પ્રારંભિક ઝડપ કરતાં અડધી છે:
$v = \frac{u}{2}$
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$u \cos \theta = \frac{u}{2}$
$\cos \theta = \frac{1}{2}$
$\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{2}) = 60^o$
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $60^o$ છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ,$\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$
પ્રવેગ,$\vec{a} = 0.3\hat{i} + 0.2\hat{j}$
સમય,$t = 10\,s$
સદિશ માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (0.3\hat{i} + 0.2\hat{j})(10)$
$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{i} + 2\hat{j}$
$\vec{v} = 5\hat{i} + 5\hat{j}$
ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}| = \sqrt{(5)^2 + (5)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\text{એકમ}$

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$.
બે ગતિપથ સમાન હોવા માટે અને પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta$ સમાન હોવા માટે,પદ $\frac{g}{u^2}$ અચળ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{g_{earth}}{u_{earth}^2} = \frac{g_{planet}}{u_{planet}^2}$.
આપેલ છે કે $g_{earth} = 9.8 \, m s^{-2}$,$u_{earth} = 5 \, m s^{-1}$,અને $u_{planet} = 3 \, m s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{9.8}{5^2} = \frac{g_{planet}}{3^2}$.
$\frac{9.8}{25} = \frac{g_{planet}}{9}$.
$g_{planet} = \frac{9.8 \times 9}{25} = \frac{88.2}{25} = 3.528 \, m s^{-2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3.5 \, m s^{-2}$ છે.

(D) સમય $t_1 = 0 \, s$ પર,કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.
સમય $t_2 = 5 \, s$ પર,કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = 13\hat{i} + 14\hat{j}$ છે.
$t = 0$ થી $t = 5 \, s$ સુધીનું સ્થાનાંતર $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta \vec{r} = (13\hat{i} + 14\hat{j}) - (2\hat{i} + 3\hat{j}) = 11\hat{i} + 11\hat{j}$.
સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{av}$ એ કુલ સ્થાનાંતરને કુલ સમયગાળા $\Delta t = t_2 - t_1 = 5 - 0 = 5 \, s$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$\vec{v}_{av} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{11\hat{i} + 11\hat{j}}{5} = \frac{11}{5}(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{R} = 4\sin(2\pi t)\hat{i} + 4\cos(2\pi t)\hat{j}$.
અહીં $x = 4\sin(2\pi t)$ અને $y = 4\cos(2\pi t)$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 16(\sin^2(2\pi t) + \cos^2(2\pi t)) = 16$. આ $4 \ m$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દર્શાવે છે.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{R}}{dt} = 8\pi\cos(2\pi t)\hat{i} - 8\pi\sin(2\pi t)\hat{j}$.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{(8\pi\cos(2\pi t))^2 + (-8\pi\sin(2\pi t))^2} = 8\pi \ m/s$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -16\pi^2\sin(2\pi t)\hat{i} - 16\pi^2\cos(2\pi t)\hat{j} = -4\pi^2\vec{R}$.
જેથી પ્રવેગ ઉગમબિંદુ તરફ ($- \vec{R}$ ની દિશામાં) છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,$a = \frac{V^2}{R}$. અહીં $V = 8\pi$ અને $R = 4$ હોવાથી,$a = \frac{(8\pi)^2}{4} = 16\pi^2$,જે પ્રવેગના મૂલ્ય સાથે સુસંગત છે.
વિધાન $(D)$ મુજબ વેગનું મૂલ્ય $8 \ m/s$ છે,પરંતુ તે $8\pi \ m/s$ છે. તેથી,$(D)$ ખોટું વિધાન છે.

(B) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પ્રથમ દડા માટે,ઉડ્ડયન સમય $T_1 = \frac{2u_1}{g} = 3 \; s$ છે. તેથી,$u_1 = \frac{3g}{2}$. મહત્તમ ઊંચાઈ $H_1 = \frac{u_1^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ છે.
શિરોલંબ સાથે $\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે ફેંકવામાં આવેલા બીજા દડા માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\alpha = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$ છે. ઉડ્ડયન સમય $T_2 = \frac{2u_2 \sin \alpha}{g} = 3 \; s$ છે. તેથી,$u_2 \sin \alpha = \frac{3g}{2}$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H_2 = \frac{(u_2 \sin \alpha)^2}{2g} = \frac{(3g/2)^2}{2g} = \frac{9g}{8}$ છે.
બંને ઊંચાઈઓની સરખામણી કરતા,$\frac{H_1}{H_2} = \frac{9g/8}{9g/8} = 1:1$ મળે છે.

(B) ધારો કે ભારે પથ્થરની સ્પર્શક ઝડપ $v$ છે.
આપેલ છે કે બંને પથ્થરો દ્વારા અનુભવાતું કેન્દ્રગામી બળ સમાન છે.
હલકા પથ્થર (દળ $m$,ત્રિજ્યા $r$,ઝડપ $nv$) માટે કેન્દ્રગામી બળ નીચે મુજબ છે:
$F_{lighter} = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$
ભારે પથ્થર (દળ $2m$,ત્રિજ્યા $r/2$,ઝડપ $v$) માટે કેન્દ્રગામી બળ નીચે મુજબ છે:
$F_{heavier} = \frac{(2m)v^2}{r/2} = \frac{4mv^2}{r}$
બંને બળોને સરખાવતા:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{4mv^2}{r}$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(D) આપેલ છે: દળ $m = 10\, g = 10^{-2}\, kg$,ત્રિજ્યા $R = 6.4\, cm = 6.4 \times 10^{-2}\, m$,અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = 8 \times 10^{-4}\, J$,પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = 0$.
સ્પર્શક બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે,કારણ કે કેન્દ્રગામી બળ કોઈ કાર્ય કરતું નથી.
થયેલ કાર્ય $W = F_t \times d$,જ્યાં $F_t = m a_t$ અને $d$ એ બે પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર છે.
અંતર $d = 2 \times (2\pi R) = 4\pi R$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $W = K_f - K_i = K_f$.
$m a_t (4\pi R) = K_f$.
$a_t = \frac{K_f}{4\pi R m}$.
કિંમતો મૂકતા: $a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{4 \times 3.14159 \times 6.4 \times 10^{-2} \times 10^{-2}}$.
$a_t = \frac{8 \times 10^{-4}}{4 \times 3.14159 \times 6.4 \times 10^{-4}} = \frac{8}{25.6 \times 3.14159} \approx \frac{8}{80.42} \approx 0.0995\, m/s^2$.
નજીકની કિંમત લેતા,$a_t \approx 0.1\, m/s^2$.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ પર લાગતું કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$F_c = 10 \, N$ અને $r = 20 \, cm = 0.2 \, m$ આપેલ છે.
તેથી,$\frac{mv^2}{0.2} = 10$,જેનો અર્થ છે કે $mv^2 = 10 \times 0.2 = 2 \, J$.
કણની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$mv^2$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $K = \frac{1}{2} \times 2 = 1 \, J$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) શિરોલંબ નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવેલા કણ માટે:
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જમીન પરનો અંતિમ વેગ $v_1 = \sqrt{u^2 + 2gh}$ મળે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા કણ માટે:
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u$ રહે છે.
જમીન પર વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = \sqrt{0^2 + 2gh} = \sqrt{2gh}$ થાય છે.
જમીન પર પરિણામી વેગ $v_2 = \sqrt{v_x^2 + v_y^2} = \sqrt{u^2 + 2gh}$ મળે છે.
બંનેની સરખામણી કરતા,$v_1 = v_2 = \sqrt{u^2 + 2gh}$.
તેથી,તેમના વેગનો ગુણોત્તર $1:1$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$\theta_1 = 30^{\circ}$,તેથી $R = \frac{u^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{u^2 \sin(60^{\circ})}{g}$.
બીજા કિસ્સામાં,$\theta_2 = 60^{\circ}$,તેથી $R' = \frac{u^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{u^2 \sin(120^{\circ})}{g}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$,તેથી $R' = \frac{u^2 \sin(60^{\circ})}{g} = R$.
આમ,કોટિકોણ (complementary angles) માટે (જ્યાં $\theta_1 + \theta_2 = 90^{\circ}$),સમક્ષિતિજ અવધિ સમાન રહે છે.

(B) પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ સમક્ષિતિજ સાથે $\theta = 45^{\circ}$ ના ખૂણે $v$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન સદિશ $\vec{p}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ છે.
જ્યારે પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v \cos \theta$ રહે છે અને શિરોલંબ ઘટક $-v \sin \theta$ થાય છે.
અંતિમ વેગમાન સદિશ $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -2mv \sin \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin \theta$ છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin(45^{\circ}) = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}mv$ મળે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g}$ છે,જ્યાં $u_y$ એ પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક છે.
બંને દડા હવામાં સમાન સમય માટે રહેતા હોવાથી,તેમના પ્રારંભિક વેગના શિરોલંબ ઘટકો $(u_y)$ સમાન હોવા જોઈએ.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u_y^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને દડા માટે $u_y$ અને $g$ સમાન હોવાથી,બંને દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ સમાન હશે.
તેથી,પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈનો ગુણોત્તર $H_1 : H_2 = 1:1$ થશે.

(D) ધારો કે પૈડાની ત્રિજ્યા $R = 5 \, m$ છે. અડધા પરિભ્રમણ પછી,પૈડું તેના પરિઘના અડધા જેટલા આડા અંતર જેટલું આગળ વધે છે,જે $\pi R$ છે. બિંદુ $P$ નું શિરોલંબ સ્થાનાંતર પૈડાના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2R$ છે. કુલ સ્થાનાંતર $d$ એ બિંદુ $P$ ના પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે પાયથાગોરસના પ્રમેય દ્વારા મળે છે: $d = \sqrt{(\pi R)^2 + (2R)^2} = R\sqrt{\pi^2 + 4}$. $R = 5 \, m$ મૂકતા,આપણને $d = 5\sqrt{\pi^2 + 4} \, m$ મળે છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં કણની ગતિ ઊર્જા $E$ એ $E = \frac{1}{2} L \omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega = 2\pi n$ અને $n$ એ ગતિની આવૃત્તિ છે.
આમ,$E = \frac{1}{2} L (2\pi n) = \pi L n$.
આ સૂચવે છે કે $E \propto L \times n$,અથવા $L \propto \frac{E}{n}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ $(E_1, n_1, L_1)$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(E_2, n_2, L_2)$ આપેલ છે જ્યાં $E_2 = \frac{E_1}{2}$ અને $n_2 = 2n_1$,તેથી:
$\frac{L_2}{L_1} = \frac{E_2}{E_1} \times \frac{n_1}{n_2} = \frac{E_1/2}{E_1} \times \frac{n_1}{2n_1} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$L_2 = \frac{L_1}{4} = \frac{L}{4}$.

(B) વેગના ઘટકો સમય $t$ ની સાપેક્ષે સ્થાનના યામોનું વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$v_{x} = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(5 \sin 10t) = 50 \cos 10t$
$v_{y} = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(5 \cos 10t) = -50 \sin 10t$
કણની ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$\text{ઝડપ} = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$
$\text{ઝડપ} = \sqrt{(50 \cos 10t)^{2} + (-50 \sin 10t)^{2}}$
$\text{ઝડપ} = \sqrt{2500 \cos^{2} 10t + 2500 \sin^{2} 10t}$
$\text{ઝડપ} = \sqrt{2500(\cos^{2} 10t + \sin^{2} 10t)}$
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી:
$\text{ઝડપ} = \sqrt{2500 \times 1} = 50$

(B) બોલનો પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$ છે અને પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta = 37^o$ છે. $g = 10 \ m/s^2$ લેતા,આપણી પાસે $\sin(37^o) \approx 0.6$ છે.
ફ્લાઇટનો કુલ સમય $T$ નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{2u \sin(\theta)}{g} = \frac{2 \times 15 \times 0.6}{10} = \frac{18}{10} = 1.8 \ s$.
માણસ $P$ બિંદુ પર છે,જે લેન્ડિંગ પોઈન્ટ $B$ થી $9 \ m$ દૂર છે. બોલને પકડવા માટે,માણસે આ અંતર $d = 9 \ m$ ને ફ્લાઇટના સમય $T = 1.8 \ s$ ની અંદર કાપવું આવશ્યક છે.
જરૂરી ન્યૂનતમ વેગ $v$ છે:
$v = \frac{d}{T} = \frac{9}{1.8} = 5 \ m/s$.

(D) $O$ થી ફેંકાયેલા પ્રથમ કણનું સ્થાન $\vec{r}_1(t) = (0, vt - \frac{1}{2}gt^2)$ છે.
$P(0, h)$ થી ફેંકાયેલા બીજા કણનું સ્થાન $\vec{r}_2(t) = (vt \cos \theta, h + vt \sin \theta - \frac{1}{2}gt^2)$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{rel} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (vt \cos \theta, h + vt \sin \theta - vt) = (vt \cos \theta, h - vt(1 - \sin \theta))$ છે.
અંતરનો વર્ગ $D^2 = |\vec{r}_{rel}|^2 = (vt \cos \theta)^2 + (h - vt(1 - \sin \theta))^2$ છે.
$D^2$ ને ન્યૂનતમ કરવા માટે,આપણે $t$ ની સાપેક્ષે વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ:
$\frac{d(D^2)}{dt} = 2(vt \cos \theta)(v \cos \theta) + 2(h - vt(1 - \sin \theta))(-v(1 - \sin \theta)) = 0$.
$v^2 t \cos^2 \theta - hv(1 - \sin \theta) + v^2 t(1 - \sin \theta)^2 = 0$.
$v^2 t [\cos^2 \theta + (1 - \sin \theta)^2] = hv(1 - \sin \theta)$.
$v^2 t [\cos^2 \theta + 1 + \sin^2 \theta - 2 \sin \theta] = hv(1 - \sin \theta)$.
$v^2 t [2 - 2 \sin \theta] = hv(1 - \sin \theta)$.
$2v^2 t (1 - \sin \theta) = hv(1 - \sin \theta)$.
$t = \frac{h}{2v}$.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુ ડાબી બાજુના પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $A$ પર છે અને $x$-અક્ષ $A$ અને $B$ ને જોડતી રેખા પર છે. $A$ નું પ્રારંભિક સ્થાન $(0, 0)$ છે અને $B$ નું $(20, 0)$ છે.
$A$ નો વેગ $\vec{v}_A = 20\sqrt{3}(\cos 60^{\circ} \hat{i} + \sin 60^{\circ} \hat{j}) = 20\sqrt{3}(\frac{1}{2} \hat{i} + \frac{\sqrt{3}}{2} \hat{j}) = 10\sqrt{3} \hat{i} + 30 \hat{j}$ છે.
$B$ નો વેગ $\vec{v}_B = 20(\cos 150^{\circ} \hat{i} + \sin 150^{\circ} \hat{j}) = 20(-\frac{\sqrt{3}}{2} \hat{i} + \frac{1}{2} \hat{j}) = -10\sqrt{3} \hat{i} + 10 \hat{j}$ છે.
$B$ ની સાપેક્ષમાં $A$ નો સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{AB} = \vec{v}_A - \vec{v}_B = (10\sqrt{3} - (-10\sqrt{3})) \hat{i} + (30 - 10) \hat{j} = 20\sqrt{3} \hat{i} + 20 \hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_{AB} = \vec{r}_A - \vec{r}_B = (0 - 20) \hat{i} + (0 - 0) \hat{j} = -20 \hat{i}$ છે.
લઘુત્તમ અંતર એ સાપેક્ષ ગતિની રેખા પર ઉગમબિંદુથી લંબ અંતર છે,જે $d_{\min} = \frac{|\vec{r}_{AB} \times \vec{v}_{AB}|}{|\vec{v}_{AB}|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$|\vec{r}_{AB} \times \vec{v}_{AB}| = |(-20 \hat{i}) \times (20\sqrt{3} \hat{i} + 20 \hat{j})| = |-400 \hat{k}| = 400$.
$|\vec{v}_{AB}| = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 20^2} = \sqrt{1200 + 400} = \sqrt{1600} = 40$.
$d_{\min} = \frac{400}{40} = 10 \ m$.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત ઝડપ $u$ છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $A$ માટે,સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_A = \theta$ છે. પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ $B$ માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\theta$ છે,તેથી સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta_B = 90^{\circ} - \theta$ છે.
ચું $\theta_B$ એ $\theta_A$ નો કોટિકોણ છે,તેથી આ કોટિકોણના ખૂણાઓ છે.
કોટિકોણના ખૂણાઓ માટે,સમક્ષિતિજ અવધિ સમાન હોય છે $(R_A = R_B)$.
જોકે,ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ એ ચોક્કસ ખૂણા $\theta$ પર આધાર રાખે છે.
જો $\theta = 45^{\circ}$ હોય,તો $\theta_A = \theta_B = 45^{\circ}$ થાય,અને તમામ પરિમાણો (ઉડ્ડયન સમય,મહત્તમ ઊંચાઈ અને અવધિ) સમાન હશે.
જો $\theta \neq 45^{\circ}$ હોય,તો $A$ અને $B$ માટે ઉડ્ડયન સમય અને મહત્તમ ઊંચાઈ અલગ-અલગ હશે.
તેથી,વિધાન કે તેઓનો ઉડ્ડયન સમય સમાન 'હોઈ શકે છે' તે સાચું છે,કારણ કે તે $\theta = 45^{\circ}$ ના કિસ્સામાં સાચું પડે છે.

(D) ધારો કે કણો $A$ અને $B$ ના પ્રારંભિક સ્થાન અનુક્રમે $(-x_0, 0)$ અને $(0, -y_0)$ છે,જ્યાં $x_0, y_0 > 0$ છે.
ધારો કે તેમના અચળ વેગ $\vec{v}_A = v_A \hat{i}$ અને $\vec{v}_B = v_B \hat{j}$ છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર,તેમના સ્થાન $\vec{r}_A(t) = (-x_0 + v_A t) \hat{i}$ અને $\vec{r}_B(t) = (-y_0 + v_B t) \hat{j}$ છે.
તેમની વચ્ચેનું અંતર $S = |\vec{r}_B - \vec{r}_A| = \sqrt{(v_B t - y_0)^2 + (x_0 - v_A t)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$S^2 = (v_B^2 + v_A^2) t^2 - 2(v_B y_0 + v_A x_0) t + (y_0^2 + x_0^2)$.
આ $S^2 = at^2 + bt + c$ સ્વરૂપનું દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જે અતિવલય (hyperbola) દર્શાવે છે. $S$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ એક અતિવલય છે જે ઘટીને ન્યૂનતમ મૂલ્ય સુધી પહોંચે છે અને પછી વધે છે,જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ વક્રને અનુરૂપ છે.

(B) ધારો કે $\vec{u}_{1}$ અને $\vec{u}_{2}$ એ બે કણોના પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta_{1}$ અને $\theta_{2}$ એ સમક્ષિતિજ સાથે તેમના પ્રક્ષેપણના ખૂણા છે.
કોઈપણ સમયે $t$ પર બે કણોના વેગ નીચે મુજબ છે:
$\vec{v}_{1} = (u \cos \theta_{1}) \hat{i} + (u \sin \theta_{1} - gt) \hat{j}$
$\vec{v}_{2} = (u \cos \theta_{2}) \hat{i} + (u \sin \theta_{2} - gt) \hat{j}$
એક કણનો બીજા કણની સાપેક્ષ વેગ:
$\vec{v}_{12} = \vec{v}_{1} - \vec{v}_{2} = u(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2}) \hat{i} + u(\sin \theta_{1} - \sin \theta_{2}) \hat{j}$
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{12}$ એ સમય $t$ થી સ્વતંત્ર હોવાથી,સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય છે $(\vec{a}_{12} = \vec{a}_{1} - \vec{a}_{2} = -g\hat{j} - (-g\hat{j}) = 0)$.
સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી અને સાપેક્ષ પ્રારંભિક સ્થાન શૂન્ય હોવાથી,સાપેક્ષ ગતિ એ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા છે. સાપેક્ષ વેગ સદિશ અચળ હોવાથી,પથ એ સમક્ષિતિજ સાથે અચળ ખૂણો બનાવતી સીધી રેખા છે.

(B) ધારો કે બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થોના વેગ $\vec{v}_1 = v_1 \cos \theta_1 \hat{i} + v_1 \sin \theta_1 \hat{j}$ અને $\vec{v}_2 = v_2 \cos \theta_2 \hat{i} + v_2 \sin \theta_2 \hat{j}$ છે.
બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે સમાન પ્રવેગ અનુભવે છે,$\vec{a}_1 = \vec{a}_2 = -g \hat{j}$.
કણ $2$ ની સાપેક્ષમાં કણ $1$ નો સાપેક્ષ પ્રવેગ $\vec{a}_{12} = \vec{a}_1 - \vec{a}_2 = 0$ છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{12} = \vec{v}_1 - \vec{v}_2$ અચળ રહે છે.
સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{12} = (v_1 \cos \theta_1 - v_2 \cos \theta_2) \hat{i} + (v_1 \sin \theta_1 - v_2 \sin \theta_2) \hat{j}$ છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી અને સાપેક્ષ વેગ અચળ હોવાથી,સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{12} = \vec{v}_{12} t$ એ $xy$-સમતલમાં સીધી રેખાનું સમીકરણ દર્શાવે છે.

(C) વેગના સમક્ષિતિજ ઘટકો $u_{x1} = v_1 \cos \theta_1$ અને $u_{x2} = v_2 \cos \theta_2$ છે. આપેલ છે કે $v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$,તેથી સમક્ષિતિજ વેગ સમાન છે.
બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે સમક્ષિતિજ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,કોઈપણ સમયે $t$ પર તેમનું સમક્ષિતિજ સ્થાન $x_1 = (v_1 \cos \theta_1)t$ અને $x_2 = (v_2 \cos \theta_2)t$ થશે.
$v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$ હોવાથી,દરેક $t$ માટે $x_1 = x_2$ થશે.
આનો અર્થ એ છે કે એક કણ હંમેશા બીજા કણની બરાબર નીચે અથવા ઉપર રહેશે (વિકલ્પ $A$ સાચું છે).
સાપેક્ષ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x_{rel} = x_1 - x_2 = 0$ છે. તેથી,એક કણની સાપેક્ષે બીજા કણનો ગતિપથ શિરોલંબ સીધી રેખા હશે (વિકલ્પ $B$ સાચું છે).
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2(v \cos \theta)(v \sin \theta)}{g}$ છે. $v_1 \cos \theta_1 = v_2 \cos \theta_2$ હોવાથી,અવધિ ત્યારે જ સમાન હોય જો $v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2$ હોય,જે હંમેશા સાચું હોવું જરૂરી નથી. તેથી,બંનેની અવધિ સમાન હશે તે વિધાન ખોટું છે. આમ,વિકલ્પ $C$ એ ખોટું વિધાન છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2v \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2$,તેથી $T_1 = T_2$ થાય. આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. કારણ કે $v_1 \sin \theta_1 = v_2 \sin \theta_2$,તેથી $H_1 = H_2$ થાય. આમ,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.
બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો વચ્ચેનો સાપેક્ષ પ્રવેગ $\vec{a}_{rel} = \vec{g} - \vec{g} = 0$ છે. સાપેક્ષ પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,સાપેક્ષ વેગ $\vec{v}_{rel}$ અચળ રહે છે. સાપેક્ષ ઉર્ધ્વ વેગ $v_{1y} - v_{2y} = v_1 \sin \theta_1 - v_2 \sin \theta_2 = 0$ છે. સાપેક્ષ ઉર્ધ્વ વેગ શૂન્ય હોવાથી,સાપેક્ષ ગતિ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ છે. તેથી,એક કણની સાપેક્ષે બીજા કણનો ગતિપથ સમક્ષિતિજ સીધી રેખા છે. વિકલ્પ $C$ સાચો છે.
આમ,બધા વિધાનો $A$,$B$,અને $C$ સાચા હોવાથી,ખોટું વિધાન 'આમાંથી કોઈ નહીં' છે.

(D) સમાન પ્રારંભિક વેગ $v$ અને અલગ ખૂણા $\theta_1$ અને $\theta_2$ ધરાવતા બે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે,ગતિના સમીકરણો $x_1 = v \cos \theta_1 t$,$y_1 = v \sin \theta_1 t - \frac{1}{2}gt^2$ અને $x_2 = v \cos \theta_2 t$,$y_2 = v \sin \theta_2 t - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
$\theta_1 > \theta_2$ હોવાથી,$\cos \theta_1 < \cos \theta_2$ થાય,તેથી કોઈપણ સમય $t > 0$ માટે $x_1 < x_2$ મળે.
વળી,સાપેક્ષ ઉર્ધ્વ સ્થાન $y_1 - y_2 = v t (\sin \theta_1 - \sin \theta_2)$ છે. $\theta_1 > \theta_2$ હોવાથી,$\sin \theta_1 > \sin \theta_2$ થાય,તેથી $y_1 > y_2$ મળે.
આનો અર્થ એ છે કે કણ $1$ હંમેશા કણ $2$ ની ઉપર રહે છે,તેથી કણ $2$ એ કણ $1$ ની નીચે ગતિ કરે છે.
સાપેક્ષ ગતિપથનો ઢાળ $\frac{dy_1 - dy_2}{dx_1 - dx_2}$ આ શરતો હેઠળ ધન રહે છે.
વિકલ્પ $C$ એ પૂરક ખૂણાઓ માટેનો સામાન્ય ગુણધર્મ છે,પરંતુ પ્રશ્ન $\theta_1 > \theta_2$ ની શરત માટે ખોટું વિધાન પૂછે છે. $A$ અને $B$ સાચા હોવાથી અને $C$ એ અવધિ વિશેનું સાચું વિધાન હોવાથી,$D$ એ સાચો વિકલ્પ છે કારણ કે આપેલા વિકલ્પોમાં કોઈ ખોટું વિધાન નથી.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ સમાન ઊંચાઈ $H$ ની બે દીવાલોને સપ્રમાણ રીતે ઓળંગે છે.
ધારો કે પ્રથમ દીવાલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = 2 \text{ s}$ છે અને બીજી દીવાલ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = 6 \text{ s}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિની સપ્રમાણતાને કારણે,ગતિપથનું શિખર બંને દીવાલોની બરાબર વચ્ચે આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે તે સમય $t_{peak} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \text{ s}$ છે.
જમીન પરથી ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,કુલ ઉડ્ડયન સમય $T$ એ મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતા સમય કરતાં બમણો હોય છે.
તેથી,$T = 2 \times t_{peak} = 2 \times 4 = 8 \text{ s}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ બે દીવાલોને $t_1 = 2 \ s$ અને $t_2 = 6 \ s$ સમયે ઓળંગે છે.
ગતિ સંમિત હોવાથી,ગતિપથના મહત્તમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{peak} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \ s$ છે.
$t = 2 \ s$ સમયે શિરોલંબ સ્થાનાંતર $H$ એ $H = (v_0 \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ બિંદુએ,શિરોલંબ વેગ શૂન્ય હોય છે,તેથી $v_y = v_0 \sin \theta - g t_{peak} = 0$,જે $v_0 \sin \theta = g t_{peak} = 10 \times 4 = 40 \ m/s$ આપે છે ($g = 10 \ m/s^2$ લેતા).
આ કિંમતને $H$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$H = (40)(2) - \frac{1}{2} (10)(2)^2$
$H = 80 - 20 = 60 \ m$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો સમક્ષિતિજ વેગ $v_x$ અચળ હોય છે. બે દીવાલો વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $d = 120\, m$ છે અને આ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = 6\, s - 2\, s = 4\, s$ છે.
તેથી,સમક્ષિતિજ વેગ $v_x = \frac{d}{\Delta t} = \frac{120\, m}{4\, s} = 30\, m/s$ મળે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિની સમપ્રમાણતાને કારણે,કુલ ઉડ્ડયન સમય $T$ એ તે સમયનો સરવાળો છે જેમાં તે શિખરની સાપેક્ષમાં સમપ્રમાણ રીતે દીવાલોને ઓળંગે છે. શિખર સમયગાળા $[t_1, t_2]$ ના મધ્યબિંદુ પર આવે છે,જે $t_{peak} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4\, s$ છે.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 2 \times t_{peak} = 2 \times 4\, s = 8\, s$ થાય.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R = v_x \times T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = 30\, m/s \times 8\, s = 240\, m$ મળે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u \sin \theta t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t_1 = 2 \, s$ અને $t_2 = 6 \, s$ સમયે,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ સમાન ઊંચાઈ $H$ પર છે.
તેથી,$H = u \sin \theta (2) - \frac{1}{2} g (2)^2 = 2 u \sin \theta - 2g$ અને $H = u \sin \theta (6) - \frac{1}{2} g (6)^2 = 6 u \sin \theta - 18g$.
$H$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$2 u \sin \theta - 2g = 6 u \sin \theta - 18g$
$4 u \sin \theta = 16g$
$u \sin \theta = 4g = 40 \, m/s$ ($g = 10 \, m/s^2$ લેતા).
બે દીવાલો વચ્ચેનું સમક્ષિતિજ અંતર $d = 120 \, m$ છે. બે દીવાલો ઓળંગવા વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = 6 - 2 = 4 \, s$ છે.
સમક્ષિતિજ વેગ $u \cos \theta$ અચળ હોવાથી:
$u \cos \theta = \frac{d}{\Delta t} = \frac{120}{4} = 30 \, m/s$.
હવે,$\tan \theta = \frac{u \sin \theta}{u \cos \theta} = \frac{40}{30} = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\theta = tan^{-1}(4/3)$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક ઝડપ $u = 50 \ m/s$,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 53^{\circ}$,અને ઊંચાઈ $y = 75 \ m$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$.
$g = 10 \ m/s^2$,$\tan 53^{\circ} = \frac{4}{3}$,અને $\cos 53^{\circ} = \frac{3}{5}$ લેતા.
કિંમતો મૂકતા: $75 = x \left(\frac{4}{3}\right) - \frac{10 x^2}{2 \times (50)^2 \times (3/5)^2}$.
$75 = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{2 \times 2500 \times (9/25)}$.
$75 = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{1800} \times 25 = \frac{4x}{3} - \frac{x^2}{180}$.
$180$ વડે ગુણતા: $13500 = 240x - x^2$.
દ્વિઘાત સમીકરણમાં ગોઠવતા: $x^2 - 240x + 13500 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $x$ શોધતા:
$x = \frac{240 \pm \sqrt{57600 - 4(13500)}}{2} = \frac{240 \pm \sqrt{57600 - 54000}}{2} = \frac{240 \pm \sqrt{3600}}{2} = \frac{240 \pm 60}{2}$.
$x_1 = \frac{300}{2} = 150 \ m$ અને $x_2 = \frac{180}{2} = 90 \ m$.
સમક્ષિતિજ અંતર $\Delta x = |x_1 - x_2| = 150 - 90 = 60 \ m$ છે.