Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(C) दोनों गेंदों की ऊर्ध्वाधर गति,गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा निर्धारित होती है।
दोनों गेंदों के लिए,प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है।
अतः,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
चूँकि दोनों गेंदों के लिए $h$ और $g$ समान हैं,इसलिए उनके क्षैतिज वेग की परवाह किए बिना,दोनों गेंदों को जमीन तक पहुँचने में समान समय लगता है।

(B) गोली द्वारा लक्ष्य तक पहुँचने में लिया गया समय $t = \frac{\text{दूरी}}{\text{गति}} = \frac{100 \, m}{1000 \, m/s} = 0.1 \, s$ है।
इस समय के दौरान,गुरुत्वाकर्षण के कारण गोली का ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर विस्थापन $h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $h = \frac{1}{2} \times 10 \, m/s^2 \times (0.1 \, s)^2 = 5 \times 0.01 \, m = 0.05 \, m = 5 \, cm$।
इस नीचे की ओर गिरावट की भरपाई करने के लिए,बंदूक को लक्ष्य से $5 \, cm$ ऊपर निशाना लगाना चाहिए।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास $(R_{\max})$ का सूत्र है: $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$,जहाँ $u$ मज़ल वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है: $R_{\max} = 16 \, km = 16,000 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$।
सूत्र में मान रखने पर:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000} = 400 \, m/s$।
अतः,शेल का मज़ल वेग $400 \, m/s$ है।

(C) जब पत्थर को चलती ट्रेन से छोड़ा जाता है,तो उसके पास ट्रेन के वेग के बराबर प्रारंभिक क्षैतिज वेग होता है।
छोड़ने के बाद,पत्थर पर कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है (हवा के प्रतिरोध को छोड़कर),इसलिए इसका क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।
साथ ही,पत्थर पर गुरुत्वाकर्षण के कारण नीचे की ओर एक स्थिर त्वरण $(g)$ कार्य करता है।
स्थिर क्षैतिज वेग और स्थिर ऊर्ध्वाधर त्वरण का संयोजन एक परवलयाकार प्रक्षेप पथ बनाता है।
इसलिए,पत्थर परवलयाकार पथ का अनुसरण करते हुए जमीन से टकराएगा।

(B) दोनों गोलियों की गति का विश्लेषण उनके ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घटकों को अलग करके किया जा सकता है। दोनों गोलियों के लिए,प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 0$ है। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h$ गति के समीकरण $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है। $u_y = 0$ रखने पर,हमें $h = \frac{1}{2} g t^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ मिलता है। चूँकि समय $t$ केवल ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,इसलिए दोनों गोलियाँ एक साथ जमीन पर टकराएंगी।

(C) जब पायलट गेंद को छोड़ता है,तो उसमें हवाई जहाज के समान ही क्षैतिज वेग $(600\, km/hr)$ होता है।
हवाई जहाज के अंदर पायलट के लिए,गेंद का सापेक्ष क्षैतिज वेग शून्य होता है। इसलिए,पायलट गेंद को एक सीधी रेखा में लंबवत गिरते हुए देखता है।
हालाँकि,जमीन पर खड़े एक पर्यवेक्षक के लिए,गेंद में निरंतर क्षैतिज वेग और गुरुत्वाकर्षण के कारण लंबवत वेग घटक दोनों होते हैं। इन गतियों के संयोजन के परिणामस्वरूप एक परवलयाकार प्रक्षेपवक्र (parabolic trajectory) बनता है।
इस प्रकार,जमीन पर मौजूद पर्यवेक्षक को गेंद परवलयाकार पथ पर गिरती हुई दिखाई देगी।

(C) बम का क्षैतिज वेग $u = 600 \, km/h = 600 \times \frac{5}{18} \, m/s = \frac{500}{3} \, m/s$ है।
वह ऊँचाई जहाँ से बम गिराया जाता है $h = 1960 \, m$ है।
बम को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 9.8 \, m/s^2$ लेने पर,हमें मिलता है $t = \sqrt{\frac{2 \times 1960}{9.8}} = \sqrt{\frac{3920}{9.8}} = \sqrt{400} = 20 \, s$.
क्षैतिज दूरी $AB$ क्षैतिज विस्थापन है,जो $AB = u \times t$ द्वारा दिया जाता है।
$AB = \frac{500}{3} \times 20 = \frac{10000}{3} \, m = 3333.33 \, m = 3.33 \, km$.

(C) $h$ ऊँचाई से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वस्तु के लिए,जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $h = 5 \, m$ और $g = 10 \, m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = \sqrt{1} = 1 \, s$ प्राप्त होता है।
क्षैतिज दूरी (परास) $R$ का सूत्र $R = u \times t$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक क्षैतिज वेग है।
यहाँ $R = 10 \, m$ दिया गया है,इसलिए $10 = u \times 1$ होता है।
अतः,$u = 10 \, m/s$ प्राप्त होता है।

(A) दोनों कणों के लिए,ऊर्ध्वाधर गति गति के समीकरण $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि दोनों कणों को समान ऊंचाई $h$ से छोड़ा गया है और दोनों ही स्थितियों में प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग का घटक $u_y = 0$ है,इसलिए जमीन तक पहुंचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ होगा।
चूंकि दोनों के लिए $h$ और $g$ समान हैं,इसलिए दोनों कणों के लिए लिया गया समय $t$ समान होगा।
अतः,दोनों कण एक साथ जमीन पर पहुंचेंगे।

(C) एक कण प्रारंभिक वेग से भिन्न दिशा में एकसमान त्वरण के साथ गति करता है। मान लीजिए प्रारंभिक वेग $v$ है और त्वरण $a$ है,और उनके बीच का कोण $\theta$ $(0 < \theta < 180^{\circ})$ है।
वेग को दो घटकों में विभाजित करें: एक त्वरण के समानांतर $(v \cos \theta)$ और एक त्वरण के लंबवत $(v \sin \theta)$।
मान लीजिए त्वरण के लंबवत दिशा $x$-अक्ष है और त्वरण की दिशा $y$-अक्ष है।
$x$-दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए विस्थापन $x = (v \sin \theta) t$ है,जिससे $t = \frac{x}{v \sin \theta}$ प्राप्त होता है।
$y$-दिशा में,प्रारंभिक वेग $v \cos \theta$ है और त्वरण $a$ है। विस्थापन $y = (v \cos \theta) t + \frac{1}{2} a t^2$ है।
$t$ का मान $y$ के समीकरण में रखने पर:
$y = (v \cos \theta) \left( \frac{x}{v \sin \theta} \right) + \frac{1}{2} a \left( \frac{x}{v \sin \theta} \right)^2$
$y = x \cot \theta + \frac{a}{2 v^2 \sin^2 \theta} x^2$.
यह समीकरण $y = Ax^2 + Bx$ के रूप में है,जो एक परवलय को दर्शाता है।

(B) समान गति $v$ के साथ सभी दिशाओं में चलाई गई गोलियां जमीन पर एक वृत्ताकार क्षेत्र को कवर करेंगी।
इस वृत्त की त्रिज्या प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ के बराबर होती है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम परास $\theta = 45^\circ$ पर प्राप्त होती है,जहाँ $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$ होता है।
गोलियों द्वारा कवर किया गया क्षेत्रफल $A$,$R_{\max}$ त्रिज्या वाले वृत्त का क्षेत्रफल है,जो $A = \pi R_{\max}^2$ द्वारा दिया जाता है।
$R_{\max}$ का मान रखने पर,हमें $A = \pi \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 = \frac{\pi v^4}{g^2}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$.
इस व्यंजक से स्पष्ट है कि परास प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती है,अर्थात $R \propto u^2$.
यदि प्रारंभिक वेग $u$ को दोगुना कर दिया जाए (अर्थात $u' = 2u$),तो नई परास $R'$ होगी:
$R' = \frac{(2u)^2 \sin(2\theta)}{g} = 4 \times \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = 4R$.
अतः,नई परास $4R$ होगी।

(C) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $(H)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
इस व्यंजक से,हम देख सकते हैं कि अधिकतम ऊँचाई प्रारंभिक वेग $(u)$ के वर्ग के सीधे आनुपातिक है:
$H \propto u^2$
यदि प्रारंभिक वेग को दोगुना $(u' = 2u)$ कर दिया जाए,तो नई अधिकतम ऊँचाई $(H')$ होगी:
$H' \propto (2u)^2 = 4u^2$
इसलिए,$H' = 4H$.
अतः,प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई चार गुनी हो जाएगी।

(A) गुरुत्वाकर्षण के अंतर्गत प्रक्षेप्य की गति में,वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो एक संरक्षी बल है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल संरक्षी है,इसलिए प्रक्षेप्य की कुल यांत्रिक ऊर्जा (गतिज ऊर्जा + स्थितिज ऊर्जा) अपनी पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहती है।
हालाँकि,चूंकि प्रक्षेप्य पर एक बाहरी गुरुत्वाकर्षण बल कार्य कर रहा है,इसलिए कुल बाहरी बल शून्य नहीं है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर बाहरी बल के बराबर होती है। चूंकि बाहरी बल शून्य नहीं है,इसलिए प्रक्षेप्य का रैखिक संवेग संरक्षित नहीं रहता है।
इसलिए,केवल कुल ऊर्जा ही संरक्षित रहती है।

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
न्यूनतम परास ज्ञात करने के लिए,हम वह कोण $\theta$ देखते हैं जो $\sin(2\theta)$ को न्यूनतम बनाता है।
परास $R$ तब न्यूनतम होती है जब $\sin(2\theta) = 0$ हो,जो $2\theta = 0^\circ$ या $2\theta = 180^\circ$ पर होता है।
$2\theta = 180^\circ$ के लिए,हमें $\theta = 90^\circ$ प्राप्त होता है।
$\theta = 90^\circ$ पर,प्रक्षेप्य को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,और यह प्रक्षेपण बिंदु पर ही वापस आ जाता है,जिसके परिणामस्वरूप क्षैतिज परास $R = 0$ होती है।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ है।
प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि क्षैतिज परास और अधिकतम ऊँचाई बराबर हैं,अर्थात $R = H$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$।
समीकरण को सरल करने पर: $2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$।
$\tan\theta$ के लिए हल करने पर: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4$,जिसका अर्थ है $\tan\theta = 4$।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(4)$,जो लगभग $76^\circ$ है।

(C) प्रक्षेप्य गति में,वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
क्षैतिज दिशा में कोई बल कार्य नहीं करता है,जिसका अर्थ है कि क्षैतिज त्वरण $a_x = 0$ है।
चूंकि $a_x = 0$ है,इसलिए वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ के कारण वेग का ऊर्ध्वाधर घटक बदलता रहता है,और परिणामस्वरूप,चाल और गतिज ऊर्जा भी बदलती रहती है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(A) वेग की दिशा हमेशा प्रक्षेप्य के पथ के स्पर्शरेखीय होती है। प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,इसलिए वेग सदिश पूरी तरह से क्षैतिज होता है।
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पूरी गति के दौरान हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की दिशा में कार्य करता है।
चूंकि वेग क्षैतिज है और त्वरण ऊर्ध्वाधर है,इसलिए वेग सदिश $\vec{v}$ और त्वरण सदिश $\vec{g}$ के बीच का कोण $90^o$ है।
इसलिए,वे एक-दूसरे के लंबवत हैं।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
अधिकतम ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$R$ को $H$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta / 2} = 4 \cot \theta$.
अतः,$R = 4H \cot \theta$.
यहाँ प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए:
$R = 4H \cot(45^\circ)$.
चूँकि $\cot(45^\circ) = 1$,इसलिए $R = 4H$.
इस प्रकार,क्षैतिज परास ऊर्ध्वाधर ऊँचाई की चार गुनी है।

(C) वेग के घटक स्थिति समीकरणों का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करके प्राप्त किए जाते हैं।
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6 \ m/s$.
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 5t^2) = 8 - 10t \ m/s$.
प्रक्षेपण के समय,$t = 0$ होता है।
वेग के घटकों में $t = 0$ रखने पर:
$v_x = 6 \ m/s$.
$v_y = 8 - 10(0) = 8 \ m/s$.
प्रारंभिक वेग $v$ का परिमाण $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
$v = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.

(B) वेग के घटक समय $t$ के सापेक्ष स्थिति समीकरणों का अवकलन करके प्राप्त किए जाते हैं।
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 5t^2) = 8 - 10t \ m/s$
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6 \ m/s$
प्रक्षेपण के समय,$t = 0$ होता है।
वेग के घटकों में $t = 0$ रखने पर:
$v_{y0} = 8 - 10(0) = 8 \ m/s$
$v_{x0} = 6 \ m/s$
प्रक्षेपण कोण $\theta$ को $\tan \theta = \frac{v_{y0}}{v_{x0}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\tan \theta = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
अतः,$\theta = \tan^{-1}(4/3)$।

(A) प्रक्षेप्य के स्थिति निर्देशांक $x = 6t$ और $y = 8t - 5t^2$ द्वारा दिए गए हैं।
त्वरण ज्ञात करने के लिए,हम समय $t$ के सापेक्ष स्थिति का अवकलन करके वेग के घटक ज्ञात करते हैं।
$x$-दिशा में वेग: $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6 \text{ m/s}$.
$y$-दिशा में वेग: $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 5t^2) = 8 - 10t \text{ m/s}$.
अब,हम समय $t$ के सापेक्ष वेग का अवकलन करके त्वरण के घटक ज्ञात करते हैं।
$x$-दिशा में त्वरण: $a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(6) = 0 \text{ m/s}^2$.
$y$-दिशा में त्वरण: $a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(8 - 10t) = -10 \text{ m/s}^2$.
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि त्वरण नीचे की ओर कार्य कर रहा है। गुरुत्वीय त्वरण का परिमाण $g = |a_y| = 10 \text{ m/s}^2$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
$\theta_1 = 15^\circ$ के लिए,परास $R_1 = \frac{u^2 \sin(30^\circ)}{g} = \frac{u^2}{2g} = 1.5 \, km$ है।
इससे,हमें $\frac{u^2}{g} = 1.5 \times 2 = 3.0 \, km$ प्राप्त होता है।
$\theta_2 = 45^\circ$ के लिए,परास $R_2 = \frac{u^2 \sin(90^\circ)}{g} = \frac{u^2}{g}$ होगी।
मान रखने पर,$R_2 = 3.0 \, km$ प्राप्त होता है।

(A) प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta = 25 \cos 60^\circ = 25 \times 0.5 = 12.5\,m/s$ है।
प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v \sin \theta = 25 \sin 60^\circ = 25 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12.5\sqrt{3}\,m/s$ है।
$50\,m$ की क्षैतिज दूरी तय करने में लगा समय $t = \frac{x}{v_x} = \frac{50}{12.5} = 4\,s$ है।
समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $y$ गति के समीकरण $y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $y = (12.5\sqrt{3}) \times 4 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$.
$y = 50\sqrt{3} - 4.9 \times 16 = 50 \times 1.732 - 78.4 = 86.6 - 78.4 = 8.2\,m$.

(A) प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 25 \sin \theta$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
यहाँ $h = 5\,m$,$t = 2\,s$,और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$5 = (25 \sin \theta) \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2$.
$5 = 50 \sin \theta - 20$.
$25 = 50 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{25}{50} = 0.5$.
अतः,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^\circ$।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\alpha$ प्रक्षेप कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
प्रथम प्रक्षेप कोण $\alpha_1 = (45^\circ - \theta)$ के लिए:
$R_1 = \frac{u^2 \sin(2(45^\circ - \theta))}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ - 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
द्वितीय प्रक्षेप कोण $\alpha_2 = (45^\circ + \theta)$ के लिए:
$R_2 = \frac{u^2 \sin(2(45^\circ + \theta))}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ + 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
दोनों परासों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $R_1 = R_2$ है।
अतः,क्षैतिज परास का अनुपात $R_1 : R_2 = 1 : 1$ है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
यहाँ,$v$ प्रारंभिक चाल है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी की सतह पर,परास $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g_e}$ है,जहाँ $g_e = g$ है।
चंद्रमा की सतह पर,गुरुत्वीय त्वरण $g_m = \frac{g_e}{6} = \frac{g}{6}$ होता है।
चूंकि चाल $v$ और कोण $\theta$ समान रहते हैं,चंद्रमा पर नई परास $R_m$ इस प्रकार होगी: $R_m = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g_m} = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g/6} = 6 \times \left( \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} \right)$.
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R_m = 6R$ प्राप्त होता है।

(B) गेंद की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ है।
उच्चतम बिंदु पर,गेंद का वेग $v_h = v \cos \theta$ होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $E' = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ है।
$E' = (\frac{1}{2}mv^2) \cos^2 \theta = E \cos^2 \theta$.
यहाँ $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$E' = E (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = E (\frac{1}{2}) = \frac{E}{2}$.

(B) अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 45^{\circ} = v / \sqrt{2}$ होता है।
इस बिंदु पर कण का संवेग $p = m v_x = mv / \sqrt{2}$ है।
प्रक्षेपण बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L = p \times h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ अधिकतम ऊँचाई है।
अधिकतम ऊँचाई $h = (v^2 \sin^2 45^{\circ}) / (2g) = (v^2 \cdot (1/2)) / (2g) = v^2 / (4g)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $L = (mv / \sqrt{2}) \times (v^2 / 4g) = mv^3 / (4\sqrt{2}g)$ प्राप्त होता है।

(C) प्रक्षेप्य गति में,क्षैतिज विस्थापन $x = u_x t$ द्वारा दिया जाता है,जो समय का एक रैखिक फलन है। ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है,जो नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है। अधिकतम ऊँचाई पर,ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = \frac{dy}{dt} = 0$ होता है। ऊर्ध्वाधर गति के लिए विस्थापन-समय ग्राफ पर,ढाल $\frac{dy}{dt}$ है। अधिकतम ऊँचाई पर,ढाल $0$ है। चूँकि पथ नीचे की ओर खुलने वाला परवलय है ($y = at^2 + bt + c$ जहाँ $a < 0$),इसलिए द्वितीय अवकलज $\frac{d^2y}{dt^2} = -g$ ऋणात्मक है। अतः,विस्थापन-समय ग्राफ पर अधिकतम बिंदु पर ढाल शून्य और वक्रता ऋणात्मक होती है।

(D) प्रक्षेप्य गति के दौरान,वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण बल है,जो हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = F/m = mg/m = g$ होता है।
अतः,प्रक्षेप्य गति के दौरान त्वरण स्थिर रहता है और इसका मान हमेशा $g$ के बराबर होता है,जिसमें प्रक्षेप पथ का उच्चतम बिंदु भी शामिल है।

(C) प्रारंभिक वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ है।
चूंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं है,इसलिए गति के दौरान क्षैतिज वेग स्थिर रहता है।
प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
क्षैतिज परास $R$,क्षैतिज वेग और उड़ान के समय का गुणनफल है:
$R = u_x \times T$
$R = (u \cos \theta) \times \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$.

(C) प्रक्षेप्य गति में उड़ान का समय (Time of flight) $T$ ज्ञात करने का सूत्र है:
$T = \frac{2u \sin \theta}{g}$
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 50 \ m/s$
प्रक्षेप्य कोण $\theta = 30^{\circ}$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 50 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$T = \frac{100 \times 0.5}{10} = \frac{50}{10} = 5 \ s$
अतः,गेंद हवा में $5 \ s$ तक रहेगी।

(D) प्रक्षेप्य का क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,क्षैतिज परास अधिकतम ऊँचाई का तीन गुना है,इसलिए $R = 3H$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$2 \cos \theta = \frac{3}{2} \sin \theta$.
$\tan \theta$ का मान ज्ञात करने पर:
$\tan \theta = \frac{4}{3}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(1.333) \approx 53^\circ 8'$.

(C) मान लीजिए गोली का प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है। लक्ष्य बंदूक से $d$ दूरी पर है। गोली को $d$ क्षैतिज दूरी तय करने में लगा समय $t = d / (u \cos \theta)$ है।
इस समय $t$ में,गुरुत्वाकर्षण के कारण गोली का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y_1 = (1/2) g t^2$ है।
दृष्टि रेखा (जो $\theta$ कोण पर है) के सापेक्ष गोली की ऊर्ध्वाधर स्थिति $y_2 = (u \sin \theta) t - (1/2) g t^2$ है।
चूंकि लक्ष्य बंदूक की नली की रेखा में है,इसलिए लक्ष्य की प्रारंभिक ऊँचाई $h = d \tan \theta = (u \sin \theta) t$ है।
समय $t$ पर लक्ष्य की वास्तविक स्थिति $h' = h - (1/2) g t^2 = (u \sin \theta) t - (1/2) g t^2$ है।
चूंकि गोली की ऊर्ध्वाधर स्थिति $y_2$ और लक्ष्य की ऊर्ध्वाधर स्थिति $h'$ समान है,इसलिए गोली लक्ष्य से टकराएगी।

(B) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
चूंकि दोनों पिंडों को समान वेग $u$ से प्रक्षेपित किया गया है,इसलिए अधिकतम ऊंचाइयों $H_1$ और $H_2$ का अनुपात होगा:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$.
यहाँ $\theta_1 = 30^\circ$ और $\theta_2 = 60^\circ$ दिया गया है,अतः:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 30^\circ}{\sin^2 60^\circ} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
अतः,अनुपात $1:3$ है।

(D) $V$ मज़ल गति और $\theta$ उन्नयन कोण के साथ फायर किए गए प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र इस प्रकार है:
$R = \frac{V^2 \sin(2\theta)}{g}$
$\theta$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\sin(2\theta) = \frac{Rg}{V^2}$
दोनों पक्षों का प्रतिलोम ज्या (inverse sine) लेने पर:
$2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{gR}{V^2}\right)$
$2$ से विभाजित करने पर:
$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{gR}{V^2}\right)$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रक्षेप्य के उड्डयन काल का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ होता है।
यहाँ $T = 10 \ s$ और $g = 10 \ m/s^2$ लेने पर,$10 = \frac{2u \sin \theta}{10}$ प्राप्त होता है,जिससे $u \sin \theta = 50 \ m/s$ मिलता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ होता है।
$u \sin \theta$ का मान रखने पर,$H = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g} = \frac{50^2}{2 \times 10} = \frac{2500}{20} = 125 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$।
पिंड $A$ के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta_A = 30^{\circ}$ है। अतः,$R_A = \frac{v^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(60^{\circ})}{g}$।
पिंड $B$ के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta_B = 60^{\circ}$ है। अतः,$R_B = \frac{v^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(120^{\circ})}{g}$।
चूंकि $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$,इसलिए $R_A = R_B$ होगा।
अतः,$A$ और $B$ की क्षैतिज परास का अनुपात $R_A : R_B = 1:1$ होगा।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दी गई मान हैं:
प्रारंभिक वेग $u = 500 \, m/s$
प्रक्षेपण कोण $\theta = 15^\circ$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$R = \frac{(500)^2 \times \sin(2 \times 15^\circ)}{10}$
$R = \frac{250000 \times \sin(30^\circ)}{10}$
चूंकि $\sin(30^\circ) = 0.5$,इसलिए:
$R = \frac{250000 \times 0.5}{10} = 25000 \times 0.5 = 12500 \, m$
इसे $12.5 \times 10^3 \, m$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$।
दिया गया है: $T = 2 \ s$,$\theta = 30^o$,और $g = 9.8 \ m/s^2$।
प्रारंभिक वेग $u$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$u = \frac{T \times g}{2 \sin \theta}$।
मान रखने पर:
$u = \frac{2 \times 9.8}{2 \times \sin 30^o} = \frac{19.6}{2 \times 0.5} = \frac{19.6}{1} = 19.6 \ m/s$।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
यह मानते हुए कि प्रक्षेपण कोण $\theta$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर रहते हैं,परास प्रारंभिक गति के वर्ग के सीधे आनुपातिक होती है: $R \propto u^2$।
मान लीजिए प्रारंभिक गति $u_1$ है और प्रारंभिक परास $R_1 = 50\, m$ है।
जब गति दोगुनी की जाती है,तो $u_2 = 2u_1$ हो जाता है।
नई परास $R_2$ इस प्रकार प्राप्त होती है: $R_2 = R_1 \times (\frac{u_2}{u_1})^2$।
मान रखने पर: $R_2 = 50 \times (\frac{2u_1}{u_1})^2 = 50 \times 2^2 = 50 \times 4 = 200\, m$।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
प्रथम स्थिति के लिए,$\theta_1 = 60^o$,अतः $R_1 = \frac{u^2 \sin(120^o)}{g} = 90 \,m$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए,$\theta_2 = 30^o$,अतः $R_2 = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$ है।
चूँकि $\sin(120^o) = \sin(180^o - 60^o) = \sin(60^o)$,इसलिए $\sin(2 \times 60^o) = \sin(2 \times 30^o)$ होता है।
अतः,पूरक कोणों (जिन कोणों का योग $90^o$ होता है) के लिए परास समान रहती है।
यहाँ $60^o + 30^o = 90^o$ है,इसलिए परास $R_2$ का मान $R_1$ के बराबर यानी $90 \,m$ होगा।

(A) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
उड़ान के समय का वर्ग करने पर,हमें $T^2 = \frac{4u^2 \sin^2 \theta}{g^2}$ प्राप्त होता है।
अब,अधिकतम ऊँचाई और उड़ान के समय के वर्ग का अनुपात $\frac{H}{T^2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{4u^2 \sin^2 \theta / g^2}$ है।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $\frac{H}{T^2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g^2}{4u^2 \sin^2 \theta} = \frac{g}{8}$।
चूँकि $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $\frac{H}{T^2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ प्राप्त होता है।

(B) लंबी कूद में तय की गई क्षैतिज दूरी प्रक्षेप्य गति (projectile motion) की परास (range) के बराबर होती है। क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि परास $R$ प्रारंभिक गति $u$ और प्रक्षेपण कोण $\theta$ (वह दिशा जिसमें एथलीट छलांग लगाता है) पर निर्भर करता है।
इसलिए,कारकों का सही समूह वह दिशा है जिसमें वह छलांग लगाता है और उसकी प्रारंभिक गति है।

(C) प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
यहाँ $T = 2 \ s$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $2 = \frac{2u \sin \theta}{10}$।
इससे $u \sin \theta = 10 \ m/s$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$u \sin \theta$ का मान रखने पर,$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य गति में,प्रक्षेप्य के वेग को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है: क्षैतिज $(u_x = u \cos \theta)$ और ऊर्ध्वाधर $(u_y = u \sin \theta)$।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है $(v_y = 0)$।
हालाँकि,क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण कार्य नहीं करता है,इसलिए पूरी गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
अतः,अधिकतम ऊँचाई पर वेग क्षैतिज घटक के बराबर होता है,जो $u \cos \theta$ है।

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिया गया है कि दोनों प्रक्षेप्यों के लिए प्रारंभिक वेग $u$ समान है।
पहले प्रक्षेप्य के लिए,$\theta_1 = 60^o$,इसलिए $R_1 = \frac{u^2 \sin(120^o)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$।
दूसरे प्रक्षेप्य के लिए,$\theta_2 = 30^o$,इसलिए $R_2 = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$।
चूँकि $\sin(120^o) = \sin(60^o)$,इसलिए दोनों कोणों के लिए क्षैतिज परास $R$ समान रहती है।
कोण $\theta$ और $(90^o - \theta)$ पूरक कोण हैं,और पूरक कोणों के किसी भी युग्म के लिए,क्षैतिज परास समान होती है।