Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(B) प्रक्षेप्य गति के लिए उड़ान का समय $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 9.8 \, m/s$
प्रक्षेप्य कोण $\theta = 30^o$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \, m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 9.8 \times \sin 30^o}{9.8}$
चूंकि $\sin 30^o = 0.5$,हमें प्राप्त होता है:
$T = \frac{2 \times 9.8 \times 0.5}{9.8} = 1 \, s$.
अतः,पिंड $1 \, s$ के बाद जमीन से टकराएगा।

(A) क्षैतिज स्थिति $x = 36t$ द्वारा दी गई है। क्षैतिज वेग $v_x = \frac{dx}{dt} = 36 \, m/s$ है।
ऊर्ध्वाधर स्थिति $2y = 96t - 9.8t^2$ है,जिसे सरल करने पर $y = 48t - 4.9t^2$ प्राप्त होता है। ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = \frac{dy}{dt} = 48 - 9.8t$ है।
प्रक्षेपण के समय $(t = 0)$,प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 36 \, m/s$ और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 48 \, m/s$ है।
प्रक्षेप्य कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ होता है।
समकोण त्रिभुज के त्रिकोणमितीय अनुपात के अनुसार,यदि सम्मुख भुजा $4$ और आसन्न भुजा $3$ है,तो कर्ण $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ होगा। इसलिए,$\sin \theta = \frac{\text{सम्मुख भुजा}}{\text{कर्ण}} = \frac{4}{5}$ होगा।
अतः,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$।

(B) दिए गए वेग $u$ के लिए,परास $R$ दो प्रक्षेपण कोणों $\theta$ और $(90^\circ - \theta)$ के लिए समान होता है।
कोण $\theta$ के लिए उड़ान का समय $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
कोण $(90^\circ - \theta)$ के लिए उड़ान का समय $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ है।
दोनों उड़ान समयों का गुणा करने पर:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
चूंकि परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है,हम इस मान को समीकरण में रख सकते हैं:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
चूंकि $g$ स्थिर है,हम निष्कर्ष निकालते हैं कि $t_1 t_2 \propto R$.

(C) प्रारंभिक वेग $v$ को दो घटकों में विभाजित किया जाता है:
क्षैतिज घटक: $v_x = v\cos\theta$
ऊर्ध्वाधर घटक: $v_y = v\sin\theta$
$t$ सेकंड के बाद,क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = v\cos\theta$
गुरुत्वाकर्षण के कारण ऊर्ध्वाधर घटक बदल जाता है: $v_y = v\sin\theta - gt$
परिणामी वेग $v_t$ का परिमाण इस प्रकार है:
$v_t = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v_t = \sqrt{(v\cos\theta)^2 + (v\sin\theta - gt)^2}$
$v_t = \sqrt{v^2\cos^2\theta + v^2\sin^2\theta + g^2t^2 - 2vgt\sin\theta}$
चूंकि $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$,इसलिए:
$v_t = \sqrt{v^2 + g^2t^2 - 2vgt\sin\theta}$

(D) प्रक्षेप्य के लिए अधिकतम क्षैतिज परास $R_{max}$ का सूत्र $R_{max} = \frac{u^2}{g} = 100 \, m$ है।
जब गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2}{2g}$ है।
परास के सूत्र से $u^2$ का मान $(u^2 = 100g)$ रखने पर:
$H = \frac{100g}{2g} = \frac{100}{2} = 50 \, m$.

(C) प्रक्षेप्य की अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र $R_{\text{max}} = \frac{u^2}{g}$ होता है।
यहाँ $R_{\text{max}} = 100\, m$ दिया गया है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$ लेने पर:
$100 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 1000$
$u = \sqrt{1000} \approx 31.62\, m/s$.
निकटतम पूर्णांक में लेने पर,$u = 32\, m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $32\, m/s$ है।

(A) प्रक्षेप्य का उड्डयन काल $(T)$ वह कुल समय है जिसके दौरान प्रक्षेप्य हवा में रहता है।
यह सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta$ है,इसलिए हम सूत्र को $T = \frac{2u_y}{g}$ के रूप में लिख सकते हैं।
अतः,उड्डयन काल प्रारंभिक वेग के ऊर्ध्वाधर घटक $U_{\text{vertical}}$ द्वारा निर्धारित होता है।

(A) व्यक्ति गेंद को तभी पकड़ सकता है यदि उसकी निरंतर गति गेंद के वेग के क्षैतिज घटक के बराबर हो,क्योंकि गेंद अपनी क्षैतिज गति द्वारा निर्धारित दूरी पर गिरेगी।
गेंद के वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v_0 \cos \theta$ है।
व्यक्ति की गति $v_p = v_0/2$ है।
व्यक्ति के गेंद को पकड़ने के लिए,उनकी गति समान होनी चाहिए: $v_0/2 = v_0 \cos \theta$.
दोनों पक्षों को $v_0$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\cos \theta = 1/2$.
इसलिए,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = 60^\circ$.

(B) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है।
$H$ के समीकरण से,हम लिख सकते हैं कि $u^2 \sin^2 \theta = 2gH$,जिसका अर्थ है कि $u \sin \theta = \sqrt{2gH}$।
$u \sin \theta$ के इस मान को $T$ के सूत्र में रखने पर:
$T = \frac{2}{g} \times \sqrt{2gH} = \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{g} \sqrt{H}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$R$ को $H$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{R}{H} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \times \frac{2g}{u^2 \sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $R = 4\sqrt{3} H$,इसलिए $\frac{R}{H} = 4\sqrt{3}$ है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $4 \cot \theta = 4\sqrt{3}$।
अतः,$\cot \theta = \sqrt{3}$।
चूँकि $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$ होता है,इसलिए प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^\circ$ है।

(C) प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल वेग का क्षैतिज घटक शेष रहता है। गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ हमेशा ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है। चूंकि क्षैतिज वेग ऊर्ध्वाधर त्वरण के लंबवत होता है,इसलिए उच्चतम बिंदु पर वेग और त्वरण एक-दूसरे के लंबवत होते हैं।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$R$ और $H$ का अनुपात लेने पर:
$\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta / 2} = \frac{4 \cos \theta}{\sin \theta} = 4 \cot \theta$.
यहाँ प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ दिया गया है,इसलिए:
$\frac{R}{H} = 4 \cot(45^\circ) = 4(1) = 4$.
अतः,$R:H$ का अनुपात $4:1$ है।

(B) अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 400\, m$ है (जब $\theta = 45^\circ$ हो)।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई के लिए,प्रक्षेप्य को $\theta = 90^\circ$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए,इसलिए $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ होगा।
समीकरण में $\frac{u^2}{g} = 400\, m$ का मान रखने पर:
$H_{\max} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{u^2}{g} \right) = \frac{1}{2} \times 400 = 200\, m$।

(D) प्रक्षेप्य के लिए उड़ान का समय $T$,$T = \frac{2u_y}{g}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u_y$ प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक है। चूँकि सभी चार पथ समान अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u_y^2}{2g}$ तक पहुँचते हैं,इसलिए उन सभी का प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग घटक $u_y$ समान है और इस प्रकार उड़ान का समय $T$ भी समान है।
क्षैतिज परास $R$,$R = u_x T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $u_x$ प्रारंभिक क्षैतिज वेग घटक है।
चूँकि सभी पथों के लिए $T$ स्थिर है,इसलिए परास $R$ प्रारंभिक क्षैतिज वेग घटक $u_x$ के सीधे आनुपातिक है $(R \propto u_x)$।
चित्र से,परास $R_4 > R_3 > R_2 > R_1$ हैं। इसलिए,प्रारंभिक क्षैतिज वेग घटकों का क्रम $4, 3, 2, 1$ है।

(B) जब हवा के प्रतिरोध को ध्यान में रखा जाता है,तो यह प्रक्षेप्य की गति की दिशा के विपरीत एक प्रतिरोधी बल के रूप में कार्य करता है।
यह प्रतिरोधी बल प्रक्षेप्य पर लगातार नकारात्मक कार्य करता है,जिससे यांत्रिक ऊर्जा का ह्रास होता है।
परिणामस्वरूप,आदर्श स्थिति की तुलना में समय के साथ क्षैतिज वेग और ऊर्ध्वाधर वेग दोनों के घटक कम हो जाते हैं।
अतः,प्रक्षेप्य निर्वात की तुलना में कम अधिकतम ऊँचाई प्राप्त करेगा और कम क्षैतिज परास (रेंज) तय करेगा।
दिए गए चित्र में,बिंदुदार रेखा आदर्श पथ को दर्शाती है। पथ $A$ बिंदुदार रेखा की तुलना में कम अधिकतम ऊँचाई और छोटी रेंज वाला प्रक्षेपवक्र दिखाता है। इसलिए,हवा के प्रतिरोध को ध्यान में रखने पर पथ $A$ उपयुक्त है।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
यह दिया गया है कि प्रक्षेप्य वेग $u$ और प्रक्षेप्य कोण $\theta$ स्थिर हैं,इसलिए परास $R$ गुरुत्वीय त्वरण $g$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $R \propto \frac{1}{g}$।
मान लीजिए कि $R_e$ और $g_e$ पृथ्वी पर परास और गुरुत्वीय त्वरण हैं,और $R_m$ और $g_m$ चंद्रमा पर परास और गुरुत्वीय त्वरण हैं।
हमें दिया गया है कि $g_m = 0.2 \, g_e$।
आनुपातिकता $R_m \, g_m = R_e \, g_e$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R_m = R_e \left( \frac{g_e}{g_m} \right)$
$R_m = R_e \left( \frac{g_e}{0.2 \, g_e} \right)$
$R_m = \frac{R_e}{0.2} = 5 \, R_e$।
अतः,चंद्रमा की सतह पर अधिकतम परास $5 \, R_e$ है।

(B) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mu^2$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य गति के उच्चतम बिंदु पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और कण के पास केवल वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ शेष रहता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K'$ का मान $K' = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta$ होता है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर, हमें $K' = K \cos^2(45^{\circ}) = K \times (1/\sqrt{2})^2 = K/2$ प्राप्त होता है।

(C) माना प्रक्षेप्य की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $E_0 = \frac{1}{2}mv_0^2$ है,जहाँ $v_0$ प्रारंभिक वेग है।
अधिकतम ऊँचाई पर स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{3}{4}E_0$ है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,कुल ऊर्जा नियत रहती है। अतः अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K = E_0 - U = E_0 - \frac{3}{4}E_0 = \frac{1}{4}E_0$ होगी।
अधिकतम ऊँचाई पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा केवल क्षैतिज घटक $v_x = v_0 \cos \theta$ के कारण होती है।
अतः,$K = \frac{1}{2}m(v_0 \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 \cos^2 \theta = E_0 \cos^2 \theta$.
$K$ के दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $E_0 \cos^2 \theta = \frac{1}{4}E_0$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \cos \theta = \frac{1}{2}$.
अतः,$\theta = 60^o$।

(C) प्रक्षेप्य पथ का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = \sqrt{3} x - \frac{gx^2}{2}$ के साथ इसकी तुलना करने पर,हम $\tan \theta$ वाले पद की पहचान कर सकते हैं।
यहाँ,$\tan \theta = \sqrt{3}$ है।
चूँकि $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$ होता है,इसलिए प्रक्षेप्य कोण $\theta = 60^\circ$ है।

(B) प्रक्षेप्य का मानक समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ होता है।
दिए गए समीकरण $y = \sqrt{3}x - \frac{x^2}{2}$ से तुलना करने पर:
$\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$.
साथ ही,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{1}{2}$.
$g = 10 \, m/s^2$ और $\theta = 60^\circ$ लेने पर,$\cos 60^\circ = 1/2$,इसलिए $\cos^2 60^\circ = 1/4$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{10}{2u^2(1/4)} = \frac{1}{2}$.
$\frac{10}{u^2/2} = \frac{1}{2} \implies \frac{20}{u^2} = \frac{1}{2}$.
$u^2 = 40 \implies u = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \, m/s$.

(D) प्रक्षेप्य गति का मानक समीकरण $y = x \tan \theta \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ है,जहाँ $R$ क्षैतिज परास है।
दिया गया समीकरण: $y = 16x - \frac{5x^2}{4}$.
समीकरण से $16x$ कॉमन लेने पर: $y = 16x \left( 1 - \frac{5x^2}{4 \cdot 16x} \right) = 16x \left( 1 - \frac{5x}{64} \right)$.
कोष्ठक के अंदर के पद को मानक रूप में लिखने पर: $y = 16x \left( 1 - \frac{x}{64/5} \right)$.
इसकी तुलना मानक समीकरण $y = x \tan \theta \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ से करने पर,हमें $R = \frac{64}{5}$ प्राप्त होता है।
गणना करने पर: $R = 12.8 \ m$.

(A) $x$-दिशा में कोई त्वरण न होने के कारण वेग का क्षैतिज घटक गति के दौरान स्थिर रहता है।
$v_{x} = u \cos \theta = 30 \cos 30^{\circ} = 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\; m/s$.
समय $t$ के बाद वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_{y} = u \sin \theta - gt$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v_{y} = 30 \sin 30^{\circ} - 10 \times 1 = 30 \times \frac{1}{2} - 10 = 15 - 10 = 5\; m/s$.
परिणामी वेग $v$ का परिमाण $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$ द्वारा प्राप्त होता है।
$v = \sqrt{(15\sqrt{3})^{2} + (5)^{2}} = \sqrt{225 \times 3 + 25} = \sqrt{675 + 25} = \sqrt{700}$.
$v = 10\sqrt{7}\; m/s$.

(B) दिया गया है कि वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 80 \; ms^{-1}$ और $\theta = 30^{\circ}$ है।
चूंकि $\sin 30^{\circ} = 0.5$,इसलिए $u = \frac{80}{0.5} = 160 \; ms^{-1}$ है।
वेग का क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta = 160 \cos 30^{\circ} = 160 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 80\sqrt{3} \; ms^{-1}$ है।
समय $t = \frac{T}{2}$ पर,प्रक्षेप्य अपनी अधिकतम ऊंचाई पर होता है,जहां वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = 0$ होता है।
इसलिए,$t = \frac{T}{2}$ पर परिणामी वेग क्षैतिज घटक $u_x$ के बराबर होता है,जो पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
अतः,$v = u_x = 80\sqrt{3} \; ms^{-1}$।

(B) कणों के टकराने के लिए,उन्हें एक ही समय पर एक ही बिंदु पर पहुँचना चाहिए।
कण $P$ अपनी अधिकतम ऊँचाई पर पहुँचता है जहाँ उसका ऊर्ध्वाधर वेग शून्य हो जाता है।
कण $Q$ को $P$ की अधिकतम ऊँचाई के ठीक नीचे से प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए यदि वे अधिकतम ऊँचाई पर टकराते हैं,तो दोनों को वहाँ पहुँचने में लगा समय समान होना चाहिए।
$P$ के लिए प्रारंभिक वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_{1y} = u_1 \sin 30^\circ$ है।
अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u_y}{g}$ होता है।
$P$ के लिए,$t_P = \frac{u_1 \sin 30^\circ}{g}$।
$Q$ के लिए,$t_Q = \frac{u_2}{g}$।
$t_P = t_Q$ रखने पर,$u_1 \sin 30^\circ = u_2$।
$u_1 \times \frac{1}{2} = u_2$।
अतः,$u_1 = 2u_2$।

(C) कण का प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,इसलिए वेग $\vec{v} = u \cos \theta \hat{i}$ होता है।
वेग में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}$ है।
$\Delta \vec{v} = (u \cos \theta \hat{i}) - (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) = -u \sin \theta \hat{j}$।
वेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{v}| = u \sin \theta$ है।

(B) माना प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}$ है।
बिंदु $P$ पर,वेग $\vec{v}$,$\vec{u}$ के लंबवत है,इसलिए $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$ है।
किसी भी समय $t$ पर वेग $\vec{v} = u \cos \alpha \hat{i} + (u \sin \alpha - gt) \hat{j}$ होता है।
डॉट प्रोडक्ट लेने पर: $(u \cos \alpha \hat{i} + (u \sin \alpha - gt) \hat{j}) \cdot (u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}) = 0$।
$u^2 \cos^2 \alpha + u \sin \alpha (u \sin \alpha - gt) = 0$।
$u^2 \cos^2 \alpha + u^2 \sin^2 \alpha - u \sin \alpha gt = 0$।
$u^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = u \sin \alpha gt$।
$u^2 = u \sin \alpha gt$।
$t = \frac{u}{g \sin \alpha} = \frac{u \csc \alpha}{g}$।

(A) प्रक्षेप्य के लिए उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ है,जहाँ $\theta$ क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण है।
पहले कण के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\theta_1 = \alpha$ है। अतः,$T_1 = \frac{2u \sin \alpha}{g}$।
दूसरे कण के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\alpha$ है,इसलिए क्षैतिज के साथ कोण $\theta_2 = 90^\circ - \alpha$ होगा। अतः,$T_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \alpha)}{g} = \frac{2u \cos \alpha}{g}$।
उनके उड्डयन काल का अनुपात $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2u \sin \alpha}{g}}{\frac{2u \cos \alpha}{g}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ है।
अतः,अनुपात $\tan \alpha : 1$ है।

(A) गेंद को $10 \ m$ की ऊँचाई से प्रक्षेपित किया जाता है और वह वापस उसी ऊँचाई $(10 \ m)$ पर लौट आती है। यह एक समतल सतह पर प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास (Range) के समान है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
दिया गया है:
प्रारंभिक वेग $u = 10 \ m/s$
प्रक्षेपण कोण $\theta = 30^\circ$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
मान रखने पर:
$R = \frac{(10)^2 \sin(2 \times 30^\circ)}{10}$
$R = \frac{100 \times \sin(60^\circ)}{10}$
$R = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$R = 5\sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर:
$R = 5 \times 1.732 = 8.66 \ m$

(A) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
चूंकि प्रारंभिक वेग $u$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ सभी वस्तुओं के लिए समान हैं,इसलिए परास $R$ केवल $\sin(2\theta)$ पर निर्भर करती है।
दिए गए कोणों के लिए:
$P$ $(\theta = 15^o)$ के लिए: $2\theta = 30^o$,$\sin(30^o) = 0.5$
$Q$ $(\theta = 30^o)$ के लिए: $2\theta = 60^o$,$\sin(60^o) \approx 0.866$
$R$ $(\theta = 45^o)$ के लिए: $2\theta = 90^o$,$\sin(90^o) = 1.0$
$S$ $(\theta = 60^o)$ के लिए: $2\theta = 120^o$,$\sin(120^o) = \sin(60^o) \approx 0.866$
मानों की तुलना करने पर,$\sin(2\theta)$ का मान $\theta = 15^o$ (अर्थात $P$) के लिए न्यूनतम है। अतः,$P$ की परास न्यूनतम होगी।

(C) अधिकतम परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और वेग न्यूनतम होता है,जो $u \cos \theta$ के बराबर होता है।
उच्चतम बिंदु के निर्देशांक $(x, y) = (R/2, H)$ हैं,जहाँ $R$ परास है और $H$ अधिकतम ऊँचाई है।
अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है और परास के लिए $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
$\theta = 45^\circ$ के लिए,$H = \frac{u^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u^2}{4g}$ और $R = \frac{u^2 \sin 90^\circ}{g} = \frac{u^2}{g}$ प्राप्त होता है।
अतः,$H = R/4$ होता है।
इसलिए,उच्चतम बिंदु के निर्देशांक $(R/2, R/4)$ हैं।

(A) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ होता है,इसलिए वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ के बराबर होता है।
दिया गया है कि $v_x = \frac{u}{\sqrt{2}}$,इसलिए $u \cos \theta = \frac{u}{\sqrt{2}}$।
इसका अर्थ है कि $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,अतः $\theta = 45^o$।
प्रक्षेप्य की परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
$\theta = 45^o$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $R = \frac{u^2 \sin(2 \times 45^o)}{g} = \frac{u^2 \sin(90^o)}{g}$।
चूँकि $\sin(90^o) = 1$,इसलिए परास $R = \frac{u^2}{g}$ है।

(B) प्रक्षेप्य का दिया गया वेग $\vec{u} = (6\hat{i} + 8\hat{j}) \ m/s$ है।
यहाँ,वेग का क्षैतिज घटक $u_x = 6 \ m/s$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 8 \ m/s$ है।
उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 8}{10} = 1.6 \ s$ है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = u_x \times T$ है।
मान रखने पर,$R = 6 \times 1.6 = 9.6 \ m$ प्राप्त होता है।
अतः,इसकी क्षैतिज परास $9.6 \ m$ है।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ होता है।
इससे हम देख सकते हैं कि $R \propto u^2 \sin(2\theta)$ है।
मान लीजिए प्रारंभिक परास $R_1 = R$,प्रारंभिक वेग $u_1 = u$ और प्रारंभिक कोण $\theta_1 = 15^o$ है।
मान लीजिए अंतिम परास $R_2$,अंतिम वेग $u_2 = 2u$ और अंतिम कोण $\theta_2 = 45^o$ है।
अनुपात लेने पर:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2 \left( \frac{\sin(2\theta_2)}{\sin(2\theta_1)} \right)$
मान रखने पर:
$\frac{R_2}{R} = \left( \frac{2u}{u} \right)^2 \left( \frac{\sin(2 \times 45^o)}{\sin(2 \times 15^o)} \right)$
$\frac{R_2}{R} = (2)^2 \left( \frac{\sin(90^o)}{\sin(30^o)} \right)$
$\frac{R_2}{R} = 4 \left( \frac{1}{0.5} \right) = 4 \times 2 = 8$
अतः,$R_2 = 8R$.

(A) अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है,इसलिए प्रक्षेप्य का वेग उसके क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ के बराबर होता है।
यह दिया गया है कि यह वेग प्रारंभिक वेग $u$ का आधा है,इसलिए $u \cos \theta = \frac{u}{2}$।
इसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{2}$,अतः प्रक्षेपण कोण $\theta = 60^\circ$ है।
प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
$\theta = 60^\circ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $R = \frac{u^2 \sin(2 \times 60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(120^\circ)}{g}$।
चूँकि $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए परास $R = \frac{\sqrt{3} u^2}{2g}$ होगी।

(D) क्षैतिज वेग $u_x = 9.8 \; m/s$ और ऊर्ध्वाधर वेग $u_y = 19.6 \; m/s$ दिया गया है।
उड़ान का समय $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 19.6}{9.8} = 4 \; s$ है।
क्षैतिज परास $R = u_x \times T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$R = 9.8 \times 4 = 39.2 \; m$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,सूत्र $R = \frac{2u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 9.8 \times 19.6}{9.8} = 39.2 \; m$ का उपयोग किया जा सकता है।

(A) परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
दिया गया है कि परास अधिकतम ऊँचाई की दोगुनी है,यानी $R = 2H$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
सरल करने पर,हमें $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 2$.
यदि $\tan \theta = 2$ है,तो $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ होगा।
इन मानों को परास के सूत्र में रखने पर: $R = \frac{2u^2}{g} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4u^2}{5g}$.

(C) अधिकतम क्षैतिज परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ होता है।
अधिकतम परास $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 1.6 \; m$ द्वारा दिया जाता है।
$g = 10 \; m/s^2$ लेने पर,हमें $u^2 = 1.6 \times 10 = 16$ प्राप्त होता है,इसलिए $u = 4 \; m/s$ है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta = 4 \cos 45^\circ = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \; m/s$ है।
चूंकि जमीन पर बिताया गया समय नगण्य है,इसलिए टिड्डा $10 \; s$ की पूरी अवधि के दौरान हवा में रहता है।
$t = 10 \; s$ समय में तय की गई कुल क्षैतिज दूरी $S = v_x \times t$ है।
$S = 2\sqrt{2} \times 10 = 20\sqrt{2} \; m$।

(C) प्रारंभिक वेग के घटक $v_x = a$ और $v_y = b$ हैं।
प्रक्षेप्य कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{b}{a}$ होता है।
हम जानते हैं कि परास $R = \frac{2v_x v_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ और अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ होती है।
दी गई शर्त $R = 2H$ के अनुसार मान रखने पर:
$\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
दोनों पक्षों को $b/g$ से विभाजित करने पर ($b \neq 0$ मानते हुए):
$2a = b$ या $b = 2a$.

(D) अधिकतम क्षैतिज परास का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 100\,m$ है (जब $\theta = 45^\circ$ हो)।
अतः,$u^2 = 100 \times g = 1000\,m^2/s^2$ ($g = 10\,m/s^2$ लेने पर)।
जब गेंद को ऊर्ध्वाधर दिशा में फेंका जाता है,तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ होती है (जब $\theta = 90^\circ$ हो)।
$u^2$ का मान रखने पर,$H_{\max} = \frac{1000}{2 \times 10} = 50\,m$ प्राप्त होता है।

(C) उड्डयन काल $T$ का सूत्र $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = 2 \, s$ है।
इससे हमें $u \sin \theta = \frac{g \times T}{2} = \frac{10 \times 2}{2} = 10 \, m/s$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
$u \sin \theta = 10 \, m/s$ का मान रखने पर:
$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \, m$.
अतः,गेंद द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $5 \, m$ है।

(D) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
यहाँ दोनों स्थितियों में प्रारंभिक वेग $u$ समान है।
पहले प्रक्षेप्य के लिए,$\theta_1 = \pi/3 = 60^\circ$,इसलिए $H_1 = Y = \frac{u^2 \sin^2(60^\circ)}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3u^2}{8g}$।
दूसरे प्रक्षेप्य के लिए,$\theta_2 = \pi/6 = 30^\circ$,इसलिए $H_2 = \frac{u^2 \sin^2(30^\circ)}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{u^2}{8g}$।
दोनों ऊँचाइयों की तुलना करने पर: $\frac{H_2}{H_1} = \frac{u^2/8g}{3u^2/8g} = \frac{1}{3}$।
अतः,$H_2 = \frac{H_1}{3} = \frac{Y}{3}$।

(A) अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 400\;m$ द्वारा दी जाती है।
प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
अधिकतम क्षैतिज परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ होता है।
ऊँचाई के सूत्र में $\theta = 45^\circ$ रखने पर:
$H = \frac{u^2 \sin^2 45^\circ}{2g} = \frac{u^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u^2}{2g \times 2} = \frac{u^2}{4g}$.
चूँकि $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 400\;m$,इसलिए:
$H = \frac{1}{4} \times R_{\max} = \frac{1}{4} \times 400\;m = 100\;m$.

(D) अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 80 \, m$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जब गेंद को ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर फेंका जाता है,तो प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{\max}$ का सूत्र $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ है।
$H_{\max}$ के समीकरण में $R_{\max}$ का मान रखने पर:
$H_{\max} = \frac{1}{2} \left( \frac{u^2}{g} \right) = \frac{1}{2} \times 80 \, m = 40 \, m$.
अतः,गेंद को अधिकतम $40 \, m$ की ऊँचाई तक फेंका जा सकता है।

(C) प्रक्षेप्य गति के लिए,पूरक कोणों $\theta$ और $90^o - \theta$ के लिए परास समान होती है।
इन कोणों के लिए प्राप्त अधिकतम ऊंचाइयां इस प्रकार हैं:
$y_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$y_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^o - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$
दोनों ऊंचाइयों को जोड़ने पर:
$y_1 + y_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} + \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$
$y_1 + y_2 = \frac{u^2}{2g} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$y_1 + y_2 = \frac{u^2}{2g}$

(B) प्रक्षेप्य की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m v^2$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है,इसलिए गतिज ऊर्जा तब न्यूनतम होती है जब वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ शून्य हो जाता है।
यह प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर होता है।
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने के लिए तय की गई क्षैतिज दूरी कुल क्षैतिज परास $R$ की आधी होती है।
अतः,क्षैतिज दूरी $R/2$ या $0.5 \, R$ है।

(D) प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
लंबवत ऊपर की ओर फेंकी गई गेंद के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 90^o$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है।
चूँकि $\cos 90^o = 0$ होता है,इसलिए लंबवत फेंकी गई गेंद के लिए अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} m (u \cos 90^o)^2 = 0$ होगी।
अतः,पहली गेंद की अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $0$ होगी।

(D) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है,इसलिए वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K'$ का मान $K' = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2 = K \cos^2 \theta$ होता है।
दिया गया है कि $K = 100 \, J$ और $K' = 30 \, J$,अतः:
$30 = 100 \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$\cos \theta = \sqrt{\frac{3}{10}}$
$\theta = \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{3}{10}} \right)$.

(C) सीढ़ियों के शीर्ष से क्षैतिज रूप से प्रक्षेपित वस्तु के प्रक्षेप पथ का समीकरण $y = \frac{g x^2}{2 u^2}$ द्वारा दिया जाता है।
गेंद के $n$ वें चरण के किनारे से टकराने के लिए,तय की गई क्षैतिज दूरी $x = n b$ और तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी $y = n h$ है।
इन मानों को प्रक्षेप पथ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$n h = \frac{g (n b)^2}{2 u^2}$
$n h = \frac{g n^2 b^2}{2 u^2}$
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर (यह मानते हुए कि $n \neq 0$):
$h = \frac{g n b^2}{2 u^2}$
$n$ के लिए हल करने पर:
$n = \frac{2 h u^2}{g b^2}$