Horizontal Projectile Motion Questions in Hindi

(C) क्षैतिज प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक $(v_x)$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है।
दिया गया है,प्रारंभिक क्षैतिज वेग $u_x = 18 \, ms^{-1}$ है।
इसलिए,जमीन से टकराते समय,$v_x = 18 \, ms^{-1}$ होगा।
जमीन के साथ टकराने का कोण $\theta = 45^o$ दिया गया है।
वेग के घटकों और कोण के बीच का संबंध $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\tan 45^o = \frac{v_y}{18}$।
चूंकि $\tan 45^o = 1$,इसलिए $1 = \frac{v_y}{18}$।
अतः,$v_y = 18 \, ms^{-1}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र है: $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\alpha$ प्रक्षेप कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
प्रथम प्रक्षेप कोण $\alpha_1 = (45^\circ - \theta)$ के लिए:
$R_1 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ - \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ - 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
द्वितीय प्रक्षेप कोण $\alpha_2 = (45^\circ + \theta)$ के लिए:
$R_2 = \frac{u^2 \sin[2(45^\circ + \theta)]}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ + 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
दोनों परासों की तुलना करने पर:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}}{\frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}} = \frac{1}{1}$.
अतः,क्षैतिज परास का अनुपात $1:1$ है।

(C) एक प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ है।
एक प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$R = H$.
इसलिए,$\frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
सर्वसमिका $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर:
$\frac{2 u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
$u^2$,$g$,और $\sin \theta$ को हटाने पर:
$2 \cos \theta = \frac{\sin \theta}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = 4$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan \theta = 4$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}(4)$।

(C) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक $(v_x)$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है क्योंकि क्षैतिज दिशा में कोई त्वरण नहीं होता है।
बिंदु $A$ पर,वेग $\vec{v}_A = 2\hat i + 3\hat j \text{ m/s}$ है।
बिंदु $B$ पर,जो बिंदु $A$ के समान क्षैतिज स्तर पर है,क्षैतिज घटक $2\hat i \text{ m/s}$ ही रहता है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $(v_y)$ गुरुत्वाकर्षण के कारण बदलता है। समान क्षैतिज स्तर पर,ऊर्ध्वाधर घटक का परिमाण समान रहता है,लेकिन इसकी दिशा उलट जाती है।
इसलिए,बिंदु $B$ पर ऊर्ध्वाधर घटक $-3\hat j \text{ m/s}$ हो जाता है।
अतः,बिंदु $B$ पर वेग $\vec{v}_B = 2\hat i - 3\hat j \text{ m/s}$ है।

(C) जब किसी प्रक्षेप्य को $u$ प्रारंभिक वेग और $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है,तो किसी भी बिंदु पर वेग $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y$ शून्य $(0)$ हो जाता है,जबकि क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ स्थिर रहता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ होती है,यह वेग के वर्ग के समानुपाती होती है।
उच्चतम बिंदु पर,वेग न्यूनतम $(v = v_x = u \cos \theta)$ होता है,इसलिए गतिज ऊर्जा न्यूनतम होती है।
इसके विपरीत,स्थितिज ऊर्जा $U = mgh$ उच्चतम बिंदु पर अधिकतम होती है क्योंकि ऊंचाई $h$ अधिकतम होती है।

(D) प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,जहाँ $v$ प्रारंभिक वेग है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और वेग केवल क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \theta$ के बराबर होता है।
उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ है।
$K = \frac{1}{2}mv^2$ का उपयोग करने पर,हमें $K' = K \cos^2 \theta$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\theta = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $K' = K \cos^2(30^{\circ}) = K \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3K}{4}$ होगा।

(C) प्रारंभिक वेग $v_0$ और $\theta$ कोण पर प्रक्षेपित किए गए प्रक्षेप्य का प्रक्षेप पथ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
यहाँ,$x$ क्षैतिज दूरी को दर्शाता है और $y$ ऊर्ध्वाधर ऊँचाई को दर्शाता है।
चूँकि चट्टान $D$ क्षैतिज दूरी पर स्थित है,ऊँचाई $h$ ज्ञात करने के लिए समीकरण में $x = D$ रखने पर:
$h = D \tan \theta - \frac{gD^2}{2v_0^2 \cos^2 \theta}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) कुल उड़ान का समय $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $T = \frac{2 \times 50 \times \sin(30^o)}{10} = \frac{100 \times 0.5}{10} = 5 \, s$.
दिया गया है कि पत्थर $t_1 = 3 \, s$ पर दीवार को पार करता है,इसलिए दीवार पार करने के बाद हवा में शेष समय $t_2 = T - t_1 = 5 - 3 = 2 \, s$ है।
क्षैतिज वेग $v_x$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है: $v_x = u \cos \theta = 50 \times \cos(30^o) = 50 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{3} \, m/s$.
दीवार के आगे तय की गई दूरी $d = v_x \times t_2 = 25\sqrt{3} \times 2 = 50\sqrt{3} \, m$ है।
$\sqrt{3} \approx 1.732$ का उपयोग करने पर,$d = 50 \times 1.732 = 86.6 \, m$ प्राप्त होता है।

(B) वेग सदिश $\vec{V} = a\hat{i} + (b - ct)\hat{j}$ द्वारा दिया गया है।
इसे $\vec{V} = v_x\hat{i} + v_y\hat{j}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $v_x = a$ और $v_y = b - ct$ प्राप्त होता है।
$t = 0$ पर,प्रारंभिक वेग के घटक $u_x = a$ और $u_y = b$ हैं।
$y$-दिशा में त्वरण $a_y = \frac{dv_y}{dt} = -c$ है।
उड्डयन काल $T$ वह समय है जब कण वापस क्षैतिज तल पर आता है,अर्थात $y$-दिशा में विस्थापन $0$ होता है।
$s_y = u_y T + \frac{1}{2} a_y T^2 = 0$ का उपयोग करने पर,हमें $bT - \frac{1}{2} cT^2 = 0$ प्राप्त होता है,जिससे $T = \frac{2b}{c}$ मिलता है।
परास $R$ उड्डयन काल के दौरान $x$-दिशा में हुआ विस्थापन है: $R = u_x T = a \times \left( \frac{2b}{c} \right) = \frac{2ab}{c}$.

(C) मान लीजिए गेंद को $v_x$ और $v_y$ वेग घटकों के साथ फेंका जाता है। पक्षी $u$ गति के साथ क्षैतिज रूप से चलता है। चूँकि गेंद पक्षी को स्पर्श करती है,इसलिए गेंद का क्षैतिज वेग पक्षी की गति के बराबर होना चाहिए,अतः $v_x = u$.
संपर्क बिंदु पर गेंद का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $h$ है। गति के समीकरण $h = v_y t - \frac{1}{2}gt^2$ का उपयोग करते हुए और इस शर्त के साथ कि गेंद पक्षी को 'बस स्पर्श करती है' (जिसका अर्थ है कि उस ऊँचाई पर गेंद का ऊर्ध्वाधर वेग शून्य है),हमें $h = \frac{v_y^2}{2g}$ प्राप्त होता है,जिससे $v_y = \sqrt{2gh}$ मिलता है।
$h$ ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{v_y}{g} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
प्रक्षेप्य के लिए कुल उड़ान का समय $T = 2t = 2\sqrt{\frac{2h}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v_x T = u \times 2\sqrt{\frac{2h}{g}} = 2u\sqrt{\frac{2h}{g}}$ प्राप्त होता है।

(B) प्रारंभिक बिंदु $(0,0)$ से उच्चतम बिंदु $(\frac{R}{2}, H)$ तक का विस्थापन सदिश $\vec{s} = \frac{R}{2} \hat{i} + H \hat{j}$ द्वारा दिया जाता है।
विस्थापन का परिमाण $|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{R}{2})^2 + H^2}$ है।
यहाँ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ और $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अतः,$\frac{R}{2} = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$.
$|\vec{s}| = \sqrt{(\frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g})^2 + (\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g})^2} = \frac{u^2 \sin \theta}{g} \sqrt{\cos^2 \theta + \frac{\sin^2 \theta}{4}} = \frac{u^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{4 \cos^2 \theta + \sin^2 \theta} = \frac{u^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}$.
उच्चतम बिंदु तक पहुँचने में लगा समय $t = \frac{u \sin \theta}{g}$ है।
औसत वेग $V_{avg} = \frac{|\vec{s}|}{t} = \frac{\frac{u^2 \sin \theta}{2g} \sqrt{3 \cos^2 \theta + 1}}{\frac{u \sin \theta}{g}} = \frac{u}{2} \sqrt{1 + 3 \cos^2 \theta}$.

(C) प्रक्षेप्य गति में,वेग का क्षैतिज घटक पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है।
$v_x = u \cos \theta$.
मान लीजिए कि $\alpha$ कोण पर प्रक्षेप्य की गति $v$ है। इस वेग का क्षैतिज घटक $v_x = v \cos \alpha$ है।
चूंकि क्षैतिज घटक स्थिर है,इसलिए $v \cos \alpha = u \cos \theta$ होगा।
$v$ के लिए हल करने पर,हमें $v = \frac{u \cos \theta}{\cos \alpha} = u \cos \theta \sec \alpha$ प्राप्त होता है।

(C) मान लीजिए कि प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊँचाई $H$ है और क्षैतिज परास $R$ है। गोला शिखर को पार करता है,जो प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर है।
आधार से शिखर का कोणीय उन्नयन $\beta$,$\tan \beta = \frac{H}{R/2} = \frac{2H}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ और क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g} = \frac{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g}$ के मानक सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\tan \beta = \frac{2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g} \right)}{\left( \frac{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha}{g} \right)}$
$\tan \beta = \frac{u^2 \sin^2 \alpha / g}{2u^2 \sin \alpha \cos \alpha / g} = \frac{\sin^2 \alpha}{2 \sin \alpha \cos \alpha} = \frac{\tan \alpha}{2}$.
अतः,$\beta = \tan^{-1}\left(\frac{\tan \alpha}{2}\right)$.

(A) जब नियत क्षैतिज वेग से उड़ रहे हवाई जहाज से बम गिराया जाता है,तो बम के पास छोड़ने के क्षण में हवाई जहाज के समान ही क्षैतिज वेग होता है।
चूंकि कोई वायु प्रतिरोध नहीं है (आदर्श स्थितियों को मानते हुए) और बम पर कोई क्षैतिज बल कार्य नहीं कर रहा है,इसलिए इसकी क्षैतिज गति पूरी उड़ान के दौरान नियत रहती है।
चूंकि हवाई जहाज और बम दोनों समान क्षैतिज वेग बनाए रखते हैं,इसलिए किसी भी समय $t$ पर दोनों वस्तुओं का क्षैतिज विस्थापन समान होगा।
इसलिए,बम अपने नीचे गिरने की प्रक्रिया के दौरान हमेशा हवाई जहाज के ठीक नीचे रहेगा।

(B) प्रक्षेप्य (projectile) के लिए उड़ान का समय $T$,सूत्र $T = \frac{2 u \sin \theta}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
हम यह भी जानते हैं कि प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है।
अधिकतम ऊंचाई के व्यंजक से,हम लिख सकते हैं $\sqrt{H} = \frac{u \sin \theta}{\sqrt{2g}}$,जिसका अर्थ है $u \sin \theta = \sqrt{2gH}$।
इसे उड़ान के समय के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $T = \frac{2 \sqrt{2gH}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$।
चूंकि $g$ स्थिर है,इसलिए $T \propto \sqrt{H}$ है।
अतः,जो बेसबॉल अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचता है,वह सबसे लंबे समय तक हवा में रहेगा।

(B) प्रक्षेप्य दो दीवारों को $t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 6 \ s$ पर पार करता है।
समरूपता के कारण,अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचने में लगा समय $T_{max} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \ s$ है।
ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,$y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$।
$t = 4 \ s$ पर,ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = 0$ होता है।
$v_y = u_y - gt$ का उपयोग करने पर,$0 = u_y - 10(4)$,जिससे $u_y = 40 \ m/s$ प्राप्त होता है।
अधिकतम ऊँचाई $H_{max} = \frac{u_y^2}{2g} = \frac{40^2}{2 \times 10} = \frac{1600}{20} = 80 \ m$ है।

(C) मान लीजिए कि प्रक्षेप्य को क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण पर $v_0$ वेग से फेंका जाता है।
प्रक्षेप्य दो दीवारों को $t_1 = 2 \ s$ और $t_2 = 6 \ s$ समय पर पार करता है।
चूंकि गति सममित है,अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने में लगा समय $t_{max} = \frac{t_1 + t_2}{2} = \frac{2 + 6}{2} = 4 \ s$ है।
अधिकतम ऊंचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है,इसलिए $v_y = v_0 \sin \theta - gt = 0$.
$g = 10 \ ms^{-2}$ का उपयोग करने पर,हमें $v_0 \sin \theta = 10 \times 4 = 40 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
दो दीवारों के बीच की क्षैतिज दूरी $d = 120 \ m$ है,और इस दूरी को तय करने में लगा समय $\Delta t = t_2 - t_1 = 6 - 2 = 4 \ s$ है।
वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = v_0 \cos \theta = \frac{d}{\Delta t} = \frac{120}{4} = 30 \ ms^{-1}$.
प्रक्षेपण वेग का परिमाण $v_0 = \sqrt{(v_x)^2 + (v_0 \sin \theta)^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \ ms^{-1}$ है।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक वेग $u = 50 \, ms^{-1}$,कोण $\theta = 53^o$ है।
वेग का क्षैतिज घटक: $u_x = u \cos 53^o = 50 \times (3/5) = 30 \, ms^{-1}$ है।
वेग का ऊर्ध्वाधर घटक: $u_y = u \sin 53^o = 50 \times (4/5) = 40 \, ms^{-1}$ है।
कथन $A$: शुरुआत में वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $40 \, ms^{-1}$ है। यह सही है।
कथन $B$: वेग का क्षैतिज घटक $30 \, ms^{-1}$ है। यह सही है।
कथन $C$: प्रक्षेप्य का न्यूनतम वेग उसके उच्चतम बिंदु पर होता है,जो क्षैतिज घटक $u_x = 30 \, ms^{-1}$ के बराबर होता है। यह सही है।
चूंकि सभी कथन $A, B,$ और $C$ सही हैं,इसलिए गलत कथन 'इनमें से कोई नहीं' है।

(D) वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin \theta = 50 \sin 53^o = 50 \times (4/5) = 40 \, m/s$ है।
किसी भी समय $t$ पर ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई ऊँचाई $h$ के लिए,समीकरण $\frac{1}{2} g t^2 - u_y t + h = 0$ है।
यह $t$ में एक द्विघात समीकरण है,जिसके दो मूल $t_1$ और $t_2$ हैं जो उन दो समयों को दर्शाते हैं जब प्रक्षेप्य $h$ ऊँचाई पर पहुँचता है।
मूलों का योग $t_1 + t_2 = \frac{-(-u_y)}{\frac{1}{2} g} = \frac{2 u_y}{g} = \frac{2 \times 40}{10} = 8 \, s$ है।
विकल्पों की जाँच करने पर:
$A$ के लिए: $1 + 7 = 8 \, s$।
$B$ के लिए: $3 + 5 = 8 \, s$।
$C$ के लिए: $2 + 6 = 8 \, s$।
चूँकि सभी जोड़े $t_1 + t_2 = 8 \, s$ की शर्त को पूरा करते हैं,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(A) प्रक्षेप्य पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: $u = 50 \, ms^{-1}$,$\theta = 53^o$,$g = 10 \, ms^{-2}$.
हम जानते हैं कि $\sin 53^o = 0.8$ और $\cos 53^o = 0.6$,इसलिए $\tan 53^o = \frac{0.8}{0.6} = \frac{4}{3}$.
मान रखने पर:
$y = x \left( \frac{4}{3} \right) - \frac{10 x^2}{2(50)^2 (0.6)^2}$
$y = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{2(2500)(0.36)}$
$y = \frac{4x}{3} - \frac{10 x^2}{1800}$
$y = \frac{4x}{3} - \frac{x^2}{180}$
पूरे समीकरण को $180$ से गुणा करने पर:
$180y = 180 \left( \frac{4x}{3} \right) - x^2$
$180y = 240x - x^2$.

(D) यह दिया गया है कि कण का त्वरण केवल ऋणात्मक $y$-दिशा में है,इसलिए $x$-दिशा में त्वरण $a_x = 0$ है। चूँकि $a_x = 0$ है,इसलिए वेग का $x$-घटक $v_x$ स्थिर रहेगा।
समीकरण $y = ax - bx^2$ का समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dt} = a\frac{dx}{dt} - 2bx\frac{dx}{dt}$,जिससे $v_y = v_x(a - 2bx)$ प्राप्त होता है।
समय के सापेक्ष पुनः अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dt^2} = a\frac{d^2x}{dt^2} - 2b\left[\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + x\frac{d^2x}{dt^2}\right]$.
चूँकि $a_x = 0$ और $a_y = -g$ है,हमें $-g = -2bv_x^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_x = \sqrt{\frac{g}{2b}}$.
मूल बिंदु पर $(x = 0)$,$v_y = a v_x = a\sqrt{\frac{g}{2b}}$.
$x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{a v_x}{v_x} = a$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\theta = \tan^{-1}(a)$.
अतः,सभी कथन सही हैं।

(B) प्रक्षेप्य (projectile) का उड्डयन काल केवल प्रारंभिक वेग के ऊर्ध्वाधर घटक और गुरुत्वीय त्वरण पर निर्भर करता है।
प्रारंभिक वेग $V$ ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण पर दिया गया है। इसलिए,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $V_y = V \cos \theta$ है।
एक ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ प्रत्यास्थ टक्कर में,वेग का क्षैतिज घटक दिशा बदलता है,लेकिन वेग का ऊर्ध्वाधर घटक अपरिवर्तित रहता है।
चूंकि ऊर्ध्वाधर गति ऊर्ध्वाधर दीवार के साथ टक्कर से प्रभावित नहीं होती है,इसलिए कुल उड्डयन काल वही रहता है जो बिना किसी टक्कर के गति करने वाले प्रक्षेप्य का होता है।
उड्डयन काल का सूत्र $T = \frac{2V_y}{g}$ है।
$V_y = V \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2V \cos \theta}{g}$ प्राप्त होता है।

(D) प्रक्षेपण बिंदु के परितः बल आघूर्ण $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,बल $\vec{F}$ नीचे की ओर कार्य करने वाला भार $m\vec{g}$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,प्रक्षेपण बिंदु से क्षैतिज दूरी $x = R/2$ है,जहाँ $R$ क्षैतिज परास (range) है।
क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दिया गया है $\theta = 45^o$,अतः $R = \frac{u^2 \sin(90^o)}{g} = \frac{u^2}{g}$।
अधिकतम ऊँचाई पर,क्षैतिज स्थिति $x = \frac{R}{2} = \frac{u^2}{2g}$ है।
ऊर्ध्वाधर बल $F = mg$ नीचे की ओर कार्य करता है।
बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = F \cdot x = (mg) \cdot \left( \frac{u^2}{2g} \right) = \frac{1}{2} m u^2$ होगा।

(D) माना कि कण का प्रारंभिक वेग $u$ है और उसका द्रव्यमान $m$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mu^2$ है।
प्रक्षेप्य पथ के उच्चतम बिंदु पर, वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल क्षैतिज घटक शेष रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos(60^\circ)$ है।
अतः, उच्चतम बिंदु पर गतिज ऊर्जा $K'$ होगी:
$K' = \frac{1}{2}m(v_x)^2 = \frac{1}{2}m(u \cos(60^\circ))^2$
$K' = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2(60^\circ)$
चूंकि $\cos(60^\circ) = \frac{1}{2}$, इसलिए $\cos^2(60^\circ) = \frac{1}{4}$ होगा।
$K = \frac{1}{2}mu^2$ का मान रखने पर, हमें प्राप्त होता है:
$K' = K \times \frac{1}{4} = \frac{K}{4}$.

(D) पानी का फव्वारा एक प्रक्षेप्य स्रोत के रूप में कार्य करता है जो $v$ गति के साथ सभी दिशाओं में पानी छिड़कता है। पानी की अधिकतम क्षैतिज परास $R_{\max}$ तब प्राप्त होती है जब प्रक्षेपण कोण $45^\circ$ होता है।
क्षैतिज परास के सूत्र का उपयोग करते हुए: $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$।
अधिकतम परास के लिए,$\sin(2\theta) = 1$,इसलिए $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$।
पानी फव्वारे के चारों ओर $R_{\max}$ त्रिज्या वाला एक वृत्ताकार क्षेत्र कवर करता है।
अतः,कुल क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार है: $A = \pi R_{\max}^2 = \pi \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 = \frac{\pi v^4}{g^2}$।

(A) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $H_{max}$ का सूत्र $H_{max} = \frac{u^2}{2g}$ है।
यहाँ $H_{max} = 10 \ m$ दिया गया है,इसलिए $10 = \frac{u^2}{2g}$,जिसका अर्थ है कि $u^2 = 20g$ है।
अधिकतम क्षैतिज परास $R_{max}$ तब प्राप्त होता है जब प्रक्षेपण कोण $45^\circ$ हो,जिसका सूत्र $R_{max} = \frac{u^2}{g}$ है।
$u^2$ का मान रखने पर,हमें $R_{max} = \frac{20g}{g} = 20 \ m$ प्राप्त होता है।

(B) प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{u} = (1 \hat{i} + 2 \hat{j}) \ ms^{-1}$ द्वारा दिया गया है।
इसे $\vec{u} = u_x \hat{i} + u_y \hat{j}$ के साथ तुलना करने पर,हमें क्षैतिज घटक $u_x = 1 \ ms^{-1}$ और ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = 2 \ ms^{-1}$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप्य के पथ का समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u_x^2}$ होता है।
चूँकि $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{2}{1} = 2$,मानों को समीकरण में रखने पर:
$y = x(2) - \frac{10 \cdot x^2}{2(1)^2}$
$y = 2x - \frac{10x^2}{2}$
$y = 2x - 5x^2$.

(D) माना कण का प्रारंभिक वेग $u$ है। प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mu^2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $0$ हो जाता है,लेकिन क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ है।
यहाँ $\theta = 60^o$ दिया गया है,इसलिए $v_x = u \cos 60^o = u/2$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर गतिज ऊर्जा $K' = \frac{1}{2}m(v_x)^2$ है।
$v_x = u/2$ रखने पर,हमें $K' = \frac{1}{2}m(u/2)^2 = \frac{1}{2}m(u^2/4) = \frac{1}{4} (\frac{1}{2}mu^2)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $K = \frac{1}{2}mu^2$,इसलिए $K' = K/4$ होगा।

(C) मान लीजिए कि $t = 0$ पर हीरो और विलेन समान क्षैतिज स्तर पर हैं। इस क्षण पर,विलेन क्षैतिज रूप से गोली चलाता है।
हीरो और विलेन दोनों का नीचे की ओर त्वरण $a_p = 2\ m/s^2$ है।
चूंकि गोली क्षैतिज रूप से चलाई गई है,इसका प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर वेग $0$ है। हालाँकि,एक बार जब गोली हवा में होती है,तो उस पर केवल गुरुत्वाकर्षण कार्य करता है (हवा के प्रतिरोध को अनदेखा करते हुए),इसलिए इसका ऊर्ध्वाधर त्वरण $a_b = g = 10\ m/s^2$ (नीचे की ओर) है।
मान लीजिए कि गोली को हीरो की क्षैतिज स्थिति तक पहुँचने में $t$ समय लगता है।
$t$ समय में हीरो का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y_h = u_y t + \frac{1}{2} a_p t^2 = u_y t + \frac{1}{2} (2) t^2 = u_y t + t^2$ है।
$t$ समय में गोली का ऊर्ध्वाधर विस्थापन $y_b = u_y t + \frac{1}{2} a_b t^2 = u_y t + \frac{1}{2} (10) t^2 = u_y t + 5t^2$ है।
चूंकि $5t^2 > t^2$,गोली समान समय में हीरो की तुलना में अधिक नीचे की ओर विस्थापित होगी।
इसलिए,गोली हीरो के नीचे से गुजर जाएगी।

(C) प्रक्षेप्य गति में,वस्तु पर कोई बाहरी क्षैतिज बल कार्य नहीं करता है (वायु प्रतिरोध को नगण्य मानते हुए)।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,यदि किसी दिशा में कुल बाहरी बल शून्य है,तो उस दिशा में संवेग स्थिर रहता है।
चूंकि वेग का क्षैतिज घटक $v_x = V_0 \cos(30^o)$ पूरी उड़ान के दौरान स्थिर रहता है,इसलिए संवेग का क्षैतिज घटक $p_x = m v_x$ संरक्षित रहता है।
अतः,सही कथन यह है कि संवेग का क्षैतिज घटक संरक्षित रहेगा।

(C) प्रक्षेप्य की गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
मान लीजिए $u = 147 \ m/s$ और $\theta_1 = 60^{\circ}$ है। क्षैतिज घटक $u_x = u \cos 60^{\circ} = 147 \times 0.5 = 73.5 \ m/s$ है।
समय $t$ पर,वेग $v$ है और कोण $\theta_2 = 45^{\circ}$ है। क्षैतिज घटक $v_x = v \cos 45^{\circ} = v / \sqrt{2}$ है।
चूंकि $u_x = v_x$,इसलिए $v \cos 45^{\circ} = u \cos 60^{\circ} \Rightarrow v = u \frac{\cos 60^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} = 147 \times \frac{0.5}{1/\sqrt{2}} = 73.5 \sqrt{2} \ m/s$ है।
समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = v \sin 45^{\circ} = (73.5 \sqrt{2}) \times (1/\sqrt{2}) = 73.5 \ m/s$ है।
प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर घटक $u_y = u \sin 60^{\circ} = 147 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 127.3 \ m/s$ है।
समीकरण $v_y = u_y - gt$ का उपयोग करने पर,$73.5 = 127.3 - 9.8t$ प्राप्त होता है।
$9.8t = 127.3 - 73.5 = 53.8$ है।
$t = 53.8 / 9.8 \approx 5.49 \ s$।

(B) तैराक की गति क्षैतिज प्रक्षेप्य गति (horizontal projectile motion) है।
माना $h = 10 \ m$ ऊर्ध्वाधर ऊंचाई है और $x = 2 \ m$ पार की जाने वाली क्षैतिज दूरी है।
$10 \ m$ नीचे गिरने में लगा समय $h = \frac{1}{2} g t^2$ सूत्र द्वारा प्राप्त होता है।
$g = 9.8 \ m/s^2$ का उपयोग करने पर,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 10}{9.8}} = \sqrt{2.04} \approx 1.428 \ s$।
किनारे को पार करने के लिए,तय की गई क्षैतिज दूरी कम से कम $2 \ m$ होनी चाहिए।
$x = v \times t$ का उपयोग करते हुए,$v = \frac{x}{t} = \frac{2}{1.428} \approx 1.4 \ m/s$।
अतः,आवश्यक न्यूनतम गति $1.4 \ m/s$ है।

(A) कण को $u = 10 \ m/s$ की गति और क्षैतिज के साथ $\theta = 60^\circ$ के कोण पर प्रक्षेपित किया जाता है।
प्रक्षेप्य गति की समरूपता के कारण,जब कण वापस उसी क्षैतिज स्तर पर आता है,तो उसकी गति $u = 10 \ m/s$ ही रहती है और वह क्षैतिज के साथ $\theta = 60^\circ$ का कोण बनाता है,लेकिन नीचे की दिशा में।
वक्रता त्रिज्या $R$ का सूत्र $R = \frac{v^2}{a_n}$ है,जहाँ $v$ गति है और $a_n$ अभिलंब त्वरण है।
अभिलंब त्वरण $a_n$,वेग सदिश के लंबवत त्वरण का घटक है।
जमीन पर पहुँचते समय,गुरुत्वीय त्वरण $g$ ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
वेग सदिश और क्षैतिज के बीच का कोण $60^\circ$ है,इसलिए वेग सदिश और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $30^\circ$ होगा।
वेग के लंबवत $g$ का घटक $a_n = g \cos(60^\circ)$ है।
मान रखने पर: $R = \frac{u^2}{g \cos(60^\circ)} = \frac{10^2}{10 \times 0.5} = \frac{100}{5} = 20 \ m$.

(D) गति के दौरान वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है: $v_x = u \cos \theta = 12 \cos 60^o = 12 \times 0.5 = 6 \, m/s$.
मान लीजिए कि किसी समय $t$ पर कण की गति $v = 10 \, m/s$ है। गति का सूत्र $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ है।
मान रखने पर: $10 = \sqrt{6^2 + v_y^2} \implies 100 = 36 + v_y^2 \implies v_y^2 = 64 \implies v_y = \pm 8 \, m/s$.
समय $t$ पर वेग का ऊर्ध्वाधर घटक $v_y = u \sin \theta - gt = 12 \sin 60^o - 10t = 6\sqrt{3} - 10t$ है।
$v_y = 8 \, m/s$ के लिए: $6\sqrt{3} - 10t_1 = 8 \implies t_1 = \frac{6\sqrt{3}-8}{10}$.
$v_y = -8 \, m/s$ के लिए: $6\sqrt{3} - 10t_2 = -8 \implies t_2 = \frac{6\sqrt{3}+8}{10}$.
समय अंतराल $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{6\sqrt{3}+8 - (6\sqrt{3}-8)}{10} = \frac{16}{10} = 1.6 \, s$.

(C) प्रक्षेप्य गति के लिए,त्वरण हमेशा $g$ होता है जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
किसी भी क्षण पर,स्पर्शरेखीय त्वरण $a_t = g \sin \theta$ और अभिलंब त्वरण $a_n = g \cos \theta$ होता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण है।
यह दिया गया है कि स्पर्शरेखीय और अभिलंब त्वरण के परिमाण समान हैं,इसलिए $a_t = a_n$।
अतः,$g \sin \theta = g \cos \theta$,जिसका अर्थ है कि $\tan \theta = 1$।
कोण $\theta$ वेग सदिश का क्षैतिज के साथ कोण है,इसलिए $\tan \theta = |v_y / v_x| = 1$।
इसका मतलब है कि $|v_y| = |v_x|$।
हम जानते हैं कि $v_x = u_x = 10\, m/s$ और $v_y = u_y - gt = 20 - 10t$।
इसलिए,$|20 - 10t| = 10$।
स्थिति $1$: $20 - 10t = 10 \Rightarrow 10t = 10 \Rightarrow t = 1\, s$।
स्थिति $2$: $20 - 10t = -10 \Rightarrow 10t = 30 \Rightarrow t = 3\, s$।
इस प्रकार,$t = 1\, s$ और $t = 3\, s$ पर परिमाण समान होते हैं।

(D) अधिकतम ऊँचाई $h$ पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य होता है और वेग का क्षैतिज घटक $V_x = V \cos 45^{\circ} = \frac{V}{\sqrt{2}}$ होता है।
अधिकतम ऊँचाई पर कण का संवेग $p = m V_x = \frac{mV}{\sqrt{2}}$ है।
प्रक्षेपण बिंदु के परितः कोणीय संवेग $L = p \times h$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ प्रक्षेपण बिंदु से लंबवत दूरी (अधिकतम ऊँचाई) है।
अधिकतम ऊँचाई $h = \frac{V^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{V^2}{4g}$ है।
इन मानों को कोणीय संवेग के सूत्र में रखने पर:
$L = \left( \frac{mV}{\sqrt{2}} \right) \times h = \frac{mV}{\sqrt{2}} \times \frac{V^2}{4g} = \frac{mV^3}{4\sqrt{2}g}$.
चूँकि $h = \frac{V^2}{4g}$,इसलिए $V^2 = 4gh$,जिसका अर्थ है $V = \sqrt{4gh} = 2\sqrt{gh}$.
$V$ का मान $L$ के व्यंजक में रखने पर:
$L = \frac{m(2\sqrt{gh})^3}{4\sqrt{2}g} = \frac{m(8g^{3/2}h^{3/2})}{4\sqrt{2}g} = \frac{2m g h \sqrt{gh}}{\sqrt{2}g} = \frac{2}{\sqrt{2}} m \sqrt{gh^3} = m\sqrt{2gh^3}$.

(B) प्रक्षेप्य का सामान्य समीकरण $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$ है।
दिए गए समीकरण $y = 12x - \frac{5}{9}x^2$ के साथ तुलना करने पर:
$1) \tan \theta = 12$
$2) \frac{g}{2 u^2 \cos^2 \theta} = \frac{5}{9}$
वेग का क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta = 3 \ ms^{-1}$ दिया गया है।
दूसरे समीकरण में $u \cos \theta = 3$ रखने पर:
$\frac{10}{2 (3)^2} = \frac{5}{9} \implies \frac{10}{18} = \frac{5}{9}$,जो सुसंगत है।
परास $R$ ज्ञात करने के लिए,गति के समीकरण में $y = 0$ रखने पर:
$0 = 12x - \frac{5}{9}x^2$
$x(12 - \frac{5}{9}x) = 0$
चूंकि $x \neq 0$,इसलिए $12 = \frac{5}{9}x$
$x = \frac{12 \times 9}{5} = \frac{108}{5} = 21.6 \ m$.
अतः,प्रक्षेप्य की परास $21.6 \ m$ है।

(B) प्रक्षेप्य गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
क्षैतिज विस्थापन: $d = (u \cos \theta) t$
ऊर्ध्वाधर विस्थापन: $h = (u \sin \theta) t - \frac{1}{2} g t^2$
क्षैतिज समीकरण से,$d$ दूरी तक पहुँचने के लिए समय:
$t = \frac{d}{u \cos \theta}$
$t$ के इस मान को ऊर्ध्वाधर विस्थापन समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$h = (u \sin \theta) \left( \frac{d}{u \cos \theta} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{d}{u \cos \theta} \right)^2$
$h = d \tan \theta - \frac{g d^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$
$u^2$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{g d^2}{2 u^2 \cos^2 \theta} = d \tan \theta - h$
$u^2 = \frac{g d^2}{2 \cos^2 \theta (d \tan \theta - h)}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$u = \frac{d}{\cos \theta} \sqrt{\frac{g}{2(d \tan \theta - h)}}$

(C) माना प्रारंभिक चाल $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर चाल $u \cos \theta$ होती है।
दिया गया है कि $u \cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} u$,इसलिए $\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = 30^{\circ}$ है।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ और परास $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ होती है।
हमें दिया गया है कि $R = P \times H$,इसलिए $P = \frac{R}{H}$ है।
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर: $P = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{4 \cos \theta}{\sin \theta} = 4 \cot \theta$.
$\theta = 30^{\circ}$ के लिए,$P = 4 \cot 30^{\circ} = 4 \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

(C) प्रक्षेप्य गति के लिए,परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ होता है।
अधिकतम परास प्राप्त करने के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^\circ$ होना चाहिए,जिससे $\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$ हो जाता है।
अतः,अधिकतम परास का सूत्र $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ है।
यहाँ प्रारंभिक वेग $u = 20\; m/s$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\; m/s^2$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $R_{\max} = \frac{(20)^2}{10} = \frac{400}{10} = 40\; m$.

(B) माना प्रारंभिक वेग $u$ है और यह क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है। क्षैतिज घटक $v_x = u \cos \theta$ और ऊर्ध्वाधर घटक $v_y(t) = u \sin \theta - gt$ है।
$t = 3 \, s$ पर,वस्तु अपनी अधिकतम ऊँचाई पर है,इसलिए $v_y(3) = 0$.
$u \sin \theta - g(3) = 0 \implies u \sin \theta = 3g = 30 \, m/s$ ($g = 10 \, m/s^2$ लेने पर)।
$t = 2 \, s$ पर,झुकाव का कोण $30^o$ है,इसलिए $\tan 30^o = \frac{v_y(2)}{v_x}$.
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{u \sin \theta - 2g}{u \cos \theta} = \frac{30 - 20}{u \cos \theta} = \frac{10}{u \cos \theta}$.
$u \cos \theta = 10\sqrt{3} \, m/s$.
प्रारंभिक वेग का परिमाण $u = \sqrt{(u \cos \theta)^2 + (u \sin \theta)^2} = \sqrt{(10\sqrt{3})^2 + 30^2} = \sqrt{300 + 900} = \sqrt{1200} = 20\sqrt{3} \, m/s$.
दिशा $\theta = \tan^{-1}(\frac{u \sin \theta}{u \cos \theta}) = \tan^{-1}(\frac{30}{10\sqrt{3}}) = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$।

(A) दिया गया है: क्षैतिज वेग $u = 4\, m/s$,समय $t = 0.4\, s$,गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, m/s^2$.
क्षैतिज दूरी (परास) $R = u \times t = 4 \times 0.4 = 1.6\, m$.
ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = \frac{1}{2}gt^2 = 0.5 \times 10 \times (0.4)^2 = 5 \times 0.16 = 0.8\, m$.
अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग $v_y = gt = 10 \times 0.4 = 4\, m/s$.
अंतिम गति $v = \sqrt{u^2 + v_y^2} = \sqrt{4^2 + 4^2} = 4\sqrt{2} \approx 5.66\, m/s$.
क्षैतिज के साथ कोण $\tan \theta = \frac{v_y}{u} = \frac{4}{4} = 1 \implies \theta = 45^o$.
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,विकल्प $A$ सही है।

(B) प्रक्षेप्य के प्रक्षेप पथ का समीकरण इस प्रकार है:
$y = x \tan \theta \left(1 - \frac{x}{R}\right)$
जहाँ $R$ प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास (horizontal range) है।
यहाँ कुल क्षैतिज दूरी $R = d_1 + d_2$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
क्षैतिज दूरी $x = d_1$ पर,गेंद की ऊँचाई $y = h$ है।
इन मानों को प्रक्षेप पथ के समीकरण में रखने पर:
$h = d_1 \tan 45^{\circ} \left(1 - \frac{d_1}{d_1 + d_2}\right)$
चूँकि $\tan 45^{\circ} = 1$:
$h = d_1 \left(\frac{d_1 + d_2 - d_1}{d_1 + d_2}\right)$
$h = d_1 \left(\frac{d_2}{d_1 + d_2}\right)$
$h = \frac{d_1 d_2}{d_1 + d_2}$

(C) अधिकतम क्षैतिज परास के लिए,प्रक्षेपण कोण $\theta = 45^{\circ}$ होता है।
क्षैतिज परास $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{u^2}{g}$ द्वारा दी जाती है।
प्रक्षेप्य की चाल उसके पथ के उच्चतम बिंदु पर न्यूनतम होती है,जहाँ वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है और केवल क्षैतिज घटक $u_x = u \cos \theta$ शेष रहता है।
उच्चतम बिंदु के निर्देशांक $(x, y) = \left( \frac{R}{2}, H \right)$ होते हैं।
अधिकतम ऊँचाई $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $H = \frac{u^2 \sin^2 45^{\circ}}{2g} = \frac{u^2 (1/2)}{2g} = \frac{u^2}{4g}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $R = \frac{u^2}{g}$,हम $H = \frac{R}{4}$ लिख सकते हैं।
अतः,उस बिंदु के निर्देशांक जहाँ चाल न्यूनतम है,$\left( \frac{R}{2}, \frac{R}{4} \right)$ हैं।

(D) प्रक्षेप्य द्वारा प्राप्त अधिकतम ऊंचाई $H$ का सूत्र $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ है,जहां $u$ प्रारंभिक गति है,$\theta$ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पहले पत्थर के लिए,प्रक्षेपण कोण $\alpha$ है,इसलिए इसकी अधिकतम ऊंचाई $H_1 = \frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}$ है।
दूसरे पत्थर के लिए,प्रक्षेपण कोण $(90^{\circ}-\alpha)$ है,इसलिए इसकी अधिकतम ऊंचाई $H_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^{\circ}-\alpha)}{2g}$ है।
चूंकि $\sin(90^{\circ}-\alpha) = \cos \alpha$,इसलिए $H_2 = \frac{u^2 \cos^2 \alpha}{2g}$ होगा।
उनकी अधिकतम ऊंचाइयों का अनुपात $\frac{H_1}{H_2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \alpha}{2g}}{\frac{u^2 \cos^2 \alpha}{2g}} = \frac{\sin^2 \alpha}{\cos^2 \alpha} = \tan^2 \alpha$ है।
अतः,अनुपात $\tan^2 \alpha : 1$ है।

(D) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक गति है और $\theta$ प्रक्षेपण कोण है।
चूंकि तीनों गेंदों के लिए $u$ स्थिर है,इसलिए $R \propto \sin(2\theta)$ होगा।
$\theta_1 = 15^{\circ}$ के लिए,$R_1 \propto \sin(30^{\circ}) = 0.5$।
$\theta_2 = 45^{\circ}$ के लिए,$R_2 \propto \sin(90^{\circ}) = 1$।
$\theta_3 = 75^{\circ}$ के लिए,$R_3 \propto \sin(150^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 30^{\circ}) = \sin(30^{\circ}) = 0.5$।
अतः,$R_1 = R_3 = 0.5 \times \frac{u^2}{g}$ और $R_2 = 1 \times \frac{u^2}{g}$ प्राप्त होता है।
इनकी तुलना करने पर,$R_1 = R_3 < R_2$ सही संबंध है।

(C) प्रक्षेप्य की क्षैतिज परास का सूत्र $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है,जहाँ $u$ प्रारंभिक वेग है,$\theta$ क्षैतिज के साथ प्रक्षेपण कोण है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पहले मामले के लिए,क्षैतिज के साथ कोण $\theta$ है,इसलिए परास $R_1 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ है।
दूसरे मामले के लिए,ऊर्ध्वाधर के साथ कोण $\theta$ है,जिसका अर्थ है कि क्षैतिज के साथ कोण $(90^{\circ} - \theta)$ है। इसलिए,परास $R_2 = \frac{u^2 \sin(2(90^{\circ} - \theta))}{g} = \frac{u^2 \sin(180^{\circ} - 2\theta)}{g}$ है।
चूंकि $\sin(180^{\circ} - 2\theta) = \sin(2\theta)$,इसलिए हमें $R_2 = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ प्राप्त होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $R_1 = R_2$।

(D) मान लीजिए कि प्रक्षेपण की गति $u$ है और प्रक्षेपण कोण $\theta$ है।
प्रक्षेपण बिंदु पर गति $v_1 = u$ है।
प्रक्षेप पथ के उच्चतम बिंदु पर,वेग का ऊर्ध्वाधर घटक शून्य हो जाता है,इसलिए गति $v_2 = u \cos \theta$ होती है।
प्रक्षेपण बिंदु पर गति और उच्चतम बिंदु पर गति का अनुपात $x$ दिया गया है।
इसलिए,$\frac{v_1}{v_2} = x$.
मान रखने पर,हमें $\frac{u}{u \cos \theta} = x$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{\cos \theta} = x$ मिलता है,जिसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{x}$.
अतः,प्रक्षेपण कोण $\theta = \cos^{-1}(\frac{1}{x})$ है।

(A) माना प्रारंभिक वेग $\vec{u} = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ है।
$t$ समय के बाद,वेग सदिश $\vec{v} = u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}$ होगा।
दिया गया है कि वेग सदिश $\vec{v}$ प्रारंभिक वेग $\vec{u}$ के लंबवत है,इसलिए उनका डॉट गुणनफल शून्य होना चाहिए: $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$.
$(u \cos \theta \hat{i} + (u \sin \theta - gt) \hat{j}) \cdot (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) = 0$.
$u^2 \cos^2 \theta + (u \sin \theta - gt)(u \sin \theta) = 0$.
$u^2 \cos^2 \theta + u^2 \sin^2 \theta - ugt \sin \theta = 0$.
$u^2 (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = ugt \sin \theta$.
$u^2 = ugt \sin \theta$.
$t = \frac{u}{g \sin \theta}$.

(A) प्रक्षेप्य गति में,प्रक्षेप्य पर कार्य करने वाला एकमात्र बल गुरुत्वाकर्षण है,जो ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,प्रक्षेप्य का त्वरण $\vec{a} = \frac{\vec{F}}{m} = \frac{m\vec{g}}{m} = \vec{g}$ द्वारा दिया जाता है।
वेग के परिवर्तन की दर को त्वरण के रूप में परिभाषित किया गया है,अर्थात $\frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{a} = \vec{g}$।
वेग के परिवर्तन की दर का मापांक $|\frac{d\vec{v}}{dt}| = |\vec{g}| = g$ है।
चूंकि गुरुत्वीय त्वरण $g$ पूरी गति के दौरान स्थिर रहता है,इसलिए वेग के परिवर्तन की दर का मापांक भी स्थिर रहता है।