Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 9.8 \, m/s$
પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 30^o$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 9.8 \, m/s^2$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 9.8 \times \sin 30^o}{9.8}$
કારણ કે $\sin 30^o = 0.5$,તેથી:
$T = \frac{2 \times 9.8 \times 0.5}{9.8} = 1 \, s$.
આમ,પદાર્થ $1 \, s$ પછી જમીન પર અથડાશે.

(A) ક્ષૈતિજ સ્થાન $x = 36t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ક્ષૈતિજ વેગ $v_x = \frac{dx}{dt} = 36 \, m/s$ છે.
શિરોલંબ સ્થાન $2y = 96t - 9.8t^2$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y = 48t - 4.9t^2$ થાય છે. શિરોલંબ વેગ $v_y = \frac{dy}{dt} = 48 - 9.8t$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત સમયે $(t = 0)$,પ્રારંભિક ક્ષૈતિજ વેગ $u_x = 36 \, m/s$ અને પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 48 \, m/s$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{u_y}{u_x} = \frac{48}{36} = \frac{4}{3}$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણના ત્રિકોણમિતીય ગુણોત્તર મુજબ,જો સામેની બાજુ $4$ અને પાસેની બાજુ $3$ હોય,તો કર્ણ $\sqrt{4^2 + 3^2} = 5$ થાય. તેથી,$\sin \theta = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{4}{5}$ થાય.
આમ,$\theta = \sin^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$.

(B) આપેલ વેગ $u$ માટે,અવધિ $R$ એ બે પ્રક્ષિપ્ત કોણો $\theta$ અને $(90^\circ - \theta)$ માટે સમાન હોય છે.
કોણ $\theta$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_1 = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
કોણ $(90^\circ - \theta)$ માટે ઉડ્ડયન સમય $t_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \theta)}{g} = \frac{2u \cos \theta}{g}$ છે.
બંને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર કરતા:
$t_1 t_2 = \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right) \left( \frac{2u \cos \theta}{g} \right) = \frac{4u^2 \sin \theta \cos \theta}{g^2}$.
નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t_1 t_2 = \frac{2u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g^2} = \frac{2(u^2 \sin 2\theta)}{g^2}$.
અવધિ $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$t_1 t_2 = \frac{2R}{g}$.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી,આપણે કહી શકીએ કે $t_1 t_2 \propto R$.

(C) શરૂઆતનો વેગ $v$ બે ઘટકોમાં વિભાજિત થાય છે:
સમક્ષિતિજ ઘટક: $v_x = v\cos\theta$
શિરોલંબ ઘટક: $v_y = v\sin\theta$
$t$ સેકન્ડ પછી,સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે: $v_x = v\cos\theta$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે શિરોલંબ ઘટક બદલાય છે: $v_y = v\sin\theta - gt$
પરિણામી વેગ $v_t$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$v_t = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
$v_t = \sqrt{(v\cos\theta)^2 + (v\sin\theta - gt)^2}$
$v_t = \sqrt{v^2\cos^2\theta + v^2\sin^2\theta + g^2t^2 - 2vgt\sin\theta}$
કારણ કે $\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1$,તેથી:
$v_t = \sqrt{v^2 + g^2t^2 - 2vgt\sin\theta}$

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{max}$ નું સૂત્ર $R_{max} = \frac{u^2}{g} = 100 \, m$ છે.
જ્યારે દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
અવધિના સૂત્ર પરથી $u^2$ ની કિંમત $(u^2 = 100g)$ મૂકતા:
$H = \frac{100g}{2g} = \frac{100}{2} = 50 \, m$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R_{\text{max}} = \frac{u^2}{g}$ છે.
અહીં $R_{\text{max}} = 100\, m$ આપેલ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ લેતા:
$100 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 1000$
$u = \sqrt{1000} \approx 31.62\, m/s$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$u = 32\, m/s$ મળે છે.
આથી,સાચો વિકલ્પ $32\, m/s$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ઉડ્ડયન સમય $(T)$ એ કુલ સમય છે જે દરમિયાન પદાર્થ હવામાં રહે છે.
તેનું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
પ્રારંભિક વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta$ હોવાથી,આપણે સૂત્રને $T = \frac{2u_y}{g}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,ઉડ્ડયન સમય પ્રારંભિક વેગના શિરોલંબ ઘટક $U_{\text{vertical}}$ દ્વારા નક્કી થાય છે.

(A) વ્યક્તિ દડાને ત્યારે જ પકડી શકે જો તેની અચળ ઝડપ દડાના વેગના સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલી હોય,કારણ કે દડો તેના સમક્ષિતિજ ગતિ દ્વારા નક્કી થયેલ અંતરે પડશે.
દડાના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v_0 \cos \theta$ છે.
વ્યક્તિની ઝડપ $v_p = v_0/2$ છે.
વ્યક્તિ દડાને પકડી શકે તે માટે,તેમની ઝડપ સમાન હોવી જોઈએ: $v_0/2 = v_0 \cos \theta$.
બંને બાજુ $v_0$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\cos \theta = 1/2$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}(1/2) = 60^\circ$.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
$H$ ના સમીકરણ પરથી,આપણે લખી શકીએ કે $u^2 \sin^2 \theta = 2gH$,જેનો અર્થ છે કે $u \sin \theta = \sqrt{2gH}$.
$u \sin \theta$ ની આ કિંમતને $T$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$T = \frac{2}{g} \times \sqrt{2gH} = \frac{2 \sqrt{2} \sqrt{g} \sqrt{H}}{g} = 2 \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$R$ ને $H$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{R}{H} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} \times \frac{2g}{u^2 \sin^2 \theta} = 4 \cot \theta$ મળે છે.
આપેલ છે કે $R = 4\sqrt{3} H$,તેથી $\frac{R}{H} = 4\sqrt{3}$ થાય.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $4 \cot \theta = 4\sqrt{3}$.
તેથી,$\cot \theta = \sqrt{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 30^\circ = \sqrt{3}$,તેથી પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^\circ$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને માત્ર વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક બાકી રહે છે. ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે. સમક્ષિતિજ વેગ એ શિરોલંબ પ્રવેગને લંબ હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ પર વેગ અને પ્રવેગ એકબીજાને લંબ હોય છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$R$ અને $H$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta / 2} = \frac{4 \cos \theta}{\sin \theta} = 4 \cot \theta$.
અહીં પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{R}{H} = 4 \cot(45^\circ) = 4(1) = 4$.
આમ,$R:H$ નો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 400\, m$ છે (જ્યારે $\theta = 45^\circ$ હોય).
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ માટે,પદાર્થને $\theta = 90^\circ$ ના ખૂણે પ્રક્ષિપ્ત કરવો પડે,તેથી $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$.
સમીકરણમાં $\frac{u^2}{g} = 400\, m$ ની કિંમત મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{1}{2} \times \left( \frac{u^2}{g} \right) = \frac{1}{2} \times 400 = 200\, m$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ એ $T = \frac{2u_y}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u_y$ એ પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગનો ઘટક છે. કારણ કે ચારેય માર્ગો સમાન મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u_y^2}{2g}$ સુધી પહોંચે છે,તેથી તે બધાનો પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ ઘટક $u_y$ સમાન છે અને તેથી ઉડ્ડયન સમય $T$ પણ સમાન છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ $R = u_x T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u_x$ એ પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગનો ઘટક છે.
બધા માર્ગો માટે $T$ અચળ હોવાથી,અવધિ $R$ એ પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગના ઘટક $u_x$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(R \propto u_x)$.
આકૃતિ પરથી,અવધિઓ $R_4 > R_3 > R_2 > R_1$ છે. તેથી,પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગના ઘટકોનો ક્રમ $4, 3, 2, 1$ છે.

(B) જ્યારે હવાનો અવરોધ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે છે,ત્યારે તે પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ દિશામાં અવરોધક બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ અવરોધક બળ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર સતત ઋણ કાર્ય કરે છે,જેના પરિણામે યાંત્રિક ઉર્જાનો વ્યય થાય છે.
પરિણામે,આદર્શ કિસ્સાની તુલનામાં સમય જતાં સમક્ષિતિજ વેગ અને ઉર્ધ્વ વેગ બંનેના ઘટકો ઘટે છે.
તેથી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ શૂન્યાવકાશની સરખામણીમાં ઓછી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે અને ઓછો સમક્ષિતિજ વિસ્તાર (રેન્જ) કાપશે.
આપેલ આકૃતિમાં,તૂટક રેખા આદર્શ માર્ગ દર્શાવે છે. માર્ગ $A$ તૂટક રેખાની તુલનામાં ઓછી મહત્તમ ઊંચાઈ અને ટૂંકી રેન્જ ધરાવતો માર્ગ દર્શાવે છે. તેથી,જ્યારે હવાનો અવરોધ ધ્યાનમાં લેવામાં આવે ત્યારે માર્ગ $A$ યોગ્ય છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
આપેલ છે કે પ્રક્ષેપણ વેગ $u$ અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ અચળ છે,તેથી અવધિ $R$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto \frac{1}{g}$.
ધારો કે $R_e$ અને $g_e$ એ પૃથ્વી પરની અવધિ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે,અને $R_m$ અને $g_m$ એ ચંદ્ર પરની અવધિ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આપણને આપેલ છે કે $g_m = 0.2 \, g_e$.
પ્રમાણસરતા $R_m \, g_m = R_e \, g_e$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$R_m = R_e \left( \frac{g_e}{g_m} \right)$
$R_m = R_e \left( \frac{g_e}{0.2 \, g_e} \right)$
$R_m = \frac{R_e}{0.2} = 5 \, R_e$.
તેથી,ચંદ્રની સપાટી પર મહત્તમ અવધિ $5 \, R_e$ છે.

(B) પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
પ્રક્ષિપ્ત ગતિના મહત્તમ બિંદુએ, વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને કણ પાસે માત્ર વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ બાકી રહે છે.
મહત્તમ બિંદુએ ગતિઊર્જા $K'$ એ $K' = \frac{1}{2}m(u \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mu^2 \cos^2 \theta$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા, આપણને $K' = K \cos^2(45^{\circ}) = K \times (1/\sqrt{2})^2 = K/2$ મળે છે.

(C) ધારો કે પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E_0 = \frac{1}{2}mv_0^2$ છે,જ્યાં $v_0$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિતિ-ઊર્જા $U = \frac{3}{4}E_0$ છે.
ઊર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,કુલ ઊર્જા અચળ રહે છે. તેથી મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K = E_0 - U = E_0 - \frac{3}{4}E_0 = \frac{1}{4}E_0$ થશે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે,તેથી ગતિઊર્જા ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v_0 \cos \theta$ ને કારણે હોય છે.
આમ,$K = \frac{1}{2}m(v_0 \cos \theta)^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 \cos^2 \theta = E_0 \cos^2 \theta$.
$K$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $E_0 \cos^2 \theta = \frac{1}{4}E_0$.
$\cos^2 \theta = \frac{1}{4} \implies \cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\theta = 60^o$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{3} x - \frac{gx^2}{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\tan \theta$ ના પદને ઓળખી શકીએ છીએ.
અહીં,$\tan \theta = \sqrt{3}$ મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,તેથી પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^\circ$ થશે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta - \frac{gx^2}{2u^2 \cos^2 \theta}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $y = \sqrt{3}x - \frac{x^2}{2}$ સાથે સરખાવતા:
$\tan \theta = \sqrt{3} \implies \theta = 60^\circ$.
વળી,$\frac{g}{2u^2 \cos^2 \theta} = \frac{1}{2}$.
$g = 10 \, m/s^2$ અને $\theta = 60^\circ$ લેતા,$\cos 60^\circ = 1/2$,તેથી $\cos^2 60^\circ = 1/4$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{10}{2u^2(1/4)} = \frac{1}{2}$.
$\frac{10}{u^2/2} = \frac{1}{2} \implies \frac{20}{u^2} = \frac{1}{2}$.
$u^2 = 40 \implies u = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \, m/s$.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિનું પ્રમાણિત સમીકરણ $y = x \tan \theta \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ છે,જ્યાં $R$ એ અવધિ (horizontal range) છે.
આપેલ સમીકરણ: $y = 16x - \frac{5x^2}{4}$.
આ સમીકરણમાંથી $16x$ સામાન્ય લેતા: $y = 16x \left( 1 - \frac{5x^2}{4 \cdot 16x} \right) = 16x \left( 1 - \frac{5x}{64} \right)$.
કૌંસના પદને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખતા: $y = 16x \left( 1 - \frac{x}{64/5} \right)$.
આ સમીકરણને $y = x \tan \theta \left( 1 - \frac{x}{R} \right)$ સાથે સરખાવતા,આપણને $R = \frac{64}{5}$ મળે છે.
ગણતરી કરતા: $R = 12.8 \ m$.

(A) $x$-દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
$v_{x} = u \cos \theta = 30 \cos 30^{\circ} = 30 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\; m/s$.
સમય $t$ પછી વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_{y} = u \sin \theta - gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $v_{y} = 30 \sin 30^{\circ} - 10 \times 1 = 30 \times \frac{1}{2} - 10 = 15 - 10 = 5\; m/s$.
પરિણામી વેગ $v$ નું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_{x}^{2} + v_{y}^{2}}$ દ્વારા મળે છે.
$v = \sqrt{(15\sqrt{3})^{2} + (5)^{2}} = \sqrt{225 \times 3 + 25} = \sqrt{675 + 25} = \sqrt{700}$.
$v = 10\sqrt{7}\; m/s$.

(B) આપેલ છે કે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 80 \; ms^{-1}$ અને $\theta = 30^{\circ}$ છે.
$\sin 30^{\circ} = 0.5$ હોવાથી,$u = \frac{80}{0.5} = 160 \; ms^{-1}$ મળે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta = 160 \cos 30^{\circ} = 160 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 80\sqrt{3} \; ms^{-1}$ થાય.
$t = \frac{T}{2}$ સમયે,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ તેની મહત્તમ ઊંચાઈ પર હોય છે,જ્યાં વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = 0$ થાય છે.
તેથી,$t = \frac{T}{2}$ સમયે પરિણામી વેગ એ સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x$ જેટલો જ હોય છે,જે ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
આમ,$v = u_x = 80\sqrt{3} \; ms^{-1}$.

(B) કણો અથડાય તે માટે,તેઓએ એક જ સમયે એક જ બિંદુ પર પહોંચવું આવશ્યક છે.
કણ $P$ તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે ત્યારે તેનો શિરોલંબ વેગ શૂન્ય થાય છે.
કણ $Q$ ને $P$ ની મહત્તમ ઊંચાઈની નીચેથી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી જો બંને કણો મહત્તમ ઊંચાઈએ અથડાય,તો બંનેને ત્યાં પહોંચવા માટે લાગતો સમય સમાન હોવો જોઈએ.
$P$ માટે શિરોલંબ વેગનો ઘટક $u_{1y} = u_1 \sin 30^\circ$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u_y}{g}$ છે.
$P$ માટે,$t_P = \frac{u_1 \sin 30^\circ}{g}$.
$Q$ માટે,$t_Q = \frac{u_2}{g}$.
$t_P = t_Q$ લેતા,$u_1 \sin 30^\circ = u_2$.
$u_1 \times \frac{1}{2} = u_2$.
તેથી,$u_1 = 2u_2$.

(C) કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી વેગ $\vec{v} = u \cos \theta \hat{i}$ થાય છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u}$ છે.
$\Delta \vec{v} = (u \cos \theta \hat{i}) - (u \cos \theta \hat{i} + u \sin \theta \hat{j}) = -u \sin \theta \hat{j}$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = u \sin \theta$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}$ છે.
$P$ બિંદુ પાસે,વેગ $\vec{v}$ એ $\vec{u}$ ને લંબ છે,તેથી $\vec{v} \cdot \vec{u} = 0$.
કોઈપણ સમયે $t$ વેગ $\vec{v} = u \cos \alpha \hat{i} + (u \sin \alpha - gt) \hat{j}$ છે.
ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $(u \cos \alpha \hat{i} + (u \sin \alpha - gt) \hat{j}) \cdot (u \cos \alpha \hat{i} + u \sin \alpha \hat{j}) = 0$.
$u^2 \cos^2 \alpha + u \sin \alpha (u \sin \alpha - gt) = 0$.
$u^2 \cos^2 \alpha + u^2 \sin^2 \alpha - u \sin \alpha gt = 0$.
$u^2 (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) = u \sin \alpha gt$.
$u^2 = u \sin \alpha gt$.
$t = \frac{u}{g \sin \alpha} = \frac{u \csc \alpha}{g}$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે,જ્યાં $\theta$ એ સમક્ષિતીજ સાથેનો પ્રક્ષેપણ ખૂણો છે.
પ્રથમ કણ માટે,સમક્ષિતીજ સાથેનો ખૂણો $\theta_1 = \alpha$ છે. તેથી,$T_1 = \frac{2u \sin \alpha}{g}$.
બીજા કણ માટે,શિરોલંબ સાથેનો ખૂણો $\alpha$ છે,તેથી સમક્ષિતીજ સાથેનો ખૂણો $\theta_2 = 90^\circ - \alpha$ થાય. તેથી,$T_2 = \frac{2u \sin(90^\circ - \alpha)}{g} = \frac{2u \cos \alpha}{g}$.
તેમના ઉડ્ડયન સમયનો ગુણોત્તર $\frac{T_1}{T_2} = \frac{\frac{2u \sin \alpha}{g}}{\frac{2u \cos \alpha}{g}} = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $\tan \alpha : 1$ છે.

(A) બોલને $10 \ m$ ની ઊંચાઈ પરથી ફેંકવામાં આવે છે અને તે ફરીથી તે જ ઊંચાઈ $(10 \ m)$ પર પાછો આવે છે. આ કિસ્સો સમક્ષિતિજ સપાટી પરના પ્રક્ષિપ્ત ગતિના અવધિ (Range) જેવો જ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \ m/s$
પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 30^\circ$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$R = \frac{(10)^2 \sin(2 \times 30^\circ)}{10}$
$R = \frac{100 \times \sin(60^\circ)}{10}$
$R = 10 \times \frac{\sqrt{3}}{2}$
$R = 5\sqrt{3} \ m$
$\sqrt{3} \approx 1.732$ લેતા:
$R = 5 \times 1.732 = 8.66 \ m$

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક વેગ $u$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ અચળ હોવાથી,અવધિ $R$ એ માત્ર $\sin(2\theta)$ પર આધાર રાખે છે.
આપેલા ખૂણાઓ માટે:
$P$ $(\theta = 15^o)$ માટે: $2\theta = 30^o$,$\sin(30^o) = 0.5$
$Q$ $(\theta = 30^o)$ માટે: $2\theta = 60^o$,$\sin(60^o) \approx 0.866$
$R$ $(\theta = 45^o)$ માટે: $2\theta = 90^o$,$\sin(90^o) = 1.0$
$S$ $(\theta = 60^o)$ માટે: $2\theta = 120^o$,$\sin(120^o) = \sin(60^o) \approx 0.866$
કિંમતોની સરખામણી કરતા,$\sin(2\theta)$ નું મૂલ્ય $\theta = 15^o$ (એટલે કે $P$) માટે લઘુત્તમ છે. તેથી,$P$ ની અવધિ લઘુત્તમ હશે.

(C) મહત્તમ અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^\circ$ છે.
ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુએ,વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે અને વેગ લઘુત્તમ હોય છે,જે $u \cos \theta$ જેટલો હોય છે.
સર્વોચ્ચ બિંદુના યામ $(x, y) = (R/2, H)$ છે,જ્યાં $R$ એ અવધિ છે અને $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે અને અવધિ માટે $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ છે.
$\theta = 45^\circ$ માટે,$H = \frac{u^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u^2}{4g}$ અને $R = \frac{u^2 \sin 90^\circ}{g} = \frac{u^2}{g}$ મળે.
આમ,$H = R/4$ થાય.
તેથી,સર્વોચ્ચ બિંદુના યામ $(R/2, R/4)$ છે.

(A) ધારો કે શરૂઆતનો વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક $0$ હોય છે,તેથી વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ જેટલો જ હોય છે.
આપેલ છે કે $v_x = \frac{u}{\sqrt{2}}$,તેથી $u \cos \theta = \frac{u}{\sqrt{2}}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\theta = 45^o$.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
$\theta = 45^o$ મૂકતા,આપણને મળે છે $R = \frac{u^2 \sin(2 \times 45^o)}{g} = \frac{u^2 \sin(90^o)}{g}$.
કારણ કે $\sin(90^o) = 1$,તેથી અવધિ $R = \frac{u^2}{g}$ થાય.

(B) આપેલ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ $\vec{u} = (6\hat{i} + 8\hat{j}) \ m/s$ છે.
અહીં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = 6 \ m/s$ અને શિરોલંબ ઘટક $u_y = 8 \ m/s$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 8}{10} = 1.6 \ s$ છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = u_x \times T$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = 6 \times 1.6 = 9.6 \ m$ મળે.
તેથી,તેની અવધિ $9.6 \ m$ છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આ પરથી કહી શકાય કે $R \propto u^2 \sin(2\theta)$.
ધારો કે પ્રારંભિક અવધિ $R_1 = R$,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = u$ અને પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 15^o$ છે.
ધારો કે અંતિમ અવધિ $R_2$,અંતિમ વેગ $u_2 = 2u$ અને અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 45^o$ છે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{u_2}{u_1} \right)^2 \left( \frac{\sin(2\theta_2)}{\sin(2\theta_1)} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_2}{R} = \left( \frac{2u}{u} \right)^2 \left( \frac{\sin(2 \times 45^o)}{\sin(2 \times 15^o)} \right)$
$\frac{R_2}{R} = (2)^2 \left( \frac{\sin(90^o)}{\sin(30^o)} \right)$
$\frac{R_2}{R} = 4 \left( \frac{1}{0.5} \right) = 4 \times 2 = 8$
તેથી,$R_2 = 8R$.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે,તેથી પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો વેગ તેના સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે આ વેગ પ્રારંભિક વેગ $u$ ના અડધા જેટલો છે,તેથી $u \cos \theta = \frac{u}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{2}$,તેથી પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 60^\circ$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
$\theta = 60^\circ$ મૂકતા,આપણને મળે છે $R = \frac{u^2 \sin(2 \times 60^\circ)}{g} = \frac{u^2 \sin(120^\circ)}{g}$.
કારણ કે $\sin(120^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,તેથી અવધિ $R = \frac{\sqrt{3} u^2}{2g}$ થશે.

(D) સમક્ષિતિજ વેગ $u_x = 9.8 \; m/s$ અને શિરોલંબ વેગ $u_y = 19.6 \; m/s$ આપેલ છે.
હવામાં રહેવાનો સમય $T = \frac{2u_y}{g} = \frac{2 \times 19.6}{9.8} = 4 \; s$ થાય.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R = u_x \times T$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R = 9.8 \times 4 = 39.2 \; m$ મળે.
વૈકલ્પિક રીતે,સૂત્ર $R = \frac{2u_x u_y}{g} = \frac{2 \times 9.8 \times 19.6}{9.8} = 39.2 \; m$ નો ઉપયોગ કરી શકાય છે.

(A) અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
આપેલ છે કે અવધિ એ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતાં બમણી છે,એટલે કે $R = 2H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 2 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $2 \sin \theta \cos \theta = \sin^2 \theta$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan \theta = 2$.
જો $\tan \theta = 2$ હોય,તો $\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ અને $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$ થાય.
આ કિંમતો અવધિના સૂત્રમાં મૂકતા: $R = \frac{2u^2}{g} \left( \frac{2}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{1}{\sqrt{5}} \right) = \frac{4u^2}{5g}$.

(C) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^\circ$ છે.
મહત્તમ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 1.6 \; m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = 10 \; m/s^2$ લેતા,આપણને $u^2 = 1.6 \times 10 = 16$ મળે છે,તેથી $u = 4 \; m/s$.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta = 4 \cos 45^\circ = 4 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \; m/s$ છે.
જમીન પર વિતાવેલો સમય નહિવત હોવાથી,તીડ $10 \; s$ ના સમગ્ર સમયગાળા દરમિયાન હવામાં રહે છે.
$t = 10 \; s$ સમયમાં કપાયેલું કુલ સમક્ષિતિજ અંતર $S = v_x \times t$ છે.
$S = 2\sqrt{2} \times 10 = 20\sqrt{2} \; m$.

(C) શરૂઆતનો વેગના ઘટકો $v_x = a$ અને $v_y = b$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta$ માટે $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{b}{a}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અવધિ $R = \frac{2v_x v_y}{g} = \frac{2ab}{g}$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{v_y^2}{2g} = \frac{b^2}{2g}$ છે.
આપેલ શરત $R = 2H$ મુજબ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2ab}{g} = 2 \left( \frac{b^2}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{2ab}{g} = \frac{b^2}{g}$.
બંને બાજુ $b/g$ વડે ભાગતા ($b \neq 0$ ધારતા):
$2a = b$ અથવા $b = 2a$.

(D) મહત્તમ આડી અવધિ (Range) નું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 100\,m$ છે (જ્યારે $\theta = 45^\circ$ હોય).
તેથી,$u^2 = 100 \times g = 1000\,m^2/s^2$ ($g = 10\,m/s^2$ લેતા).
જ્યારે દડાને શિરોલંબ દિશામાં ફેંકવામાં આવે ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ છે (જ્યારે $\theta = 90^\circ$ હોય).
$u^2$ ની કિંમત મૂકતા,$H_{\max} = \frac{1000}{2 \times 10} = 50\,m$ મળે.

(C) ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g} = 2 \, s$ છે.
આના પરથી,આપણને $u \sin \theta = \frac{g \times T}{2} = \frac{10 \times 2}{2} = 10 \, m/s$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$u \sin \theta = 10 \, m/s$ ની કિંમત મૂકતા:
$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \, m$.
તેથી,દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $5 \, m$ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં બંને કિસ્સામાં પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે,$\theta_1 = \pi/3 = 60^\circ$,તેથી $H_1 = Y = \frac{u^2 \sin^2(60^\circ)}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^2 = \frac{3u^2}{8g}$.
બીજા પદાર્થ માટે,$\theta_2 = \pi/6 = 30^\circ$,તેથી $H_2 = \frac{u^2 \sin^2(30^\circ)}{2g} = \frac{u^2}{2g} \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{u^2}{8g}$.
બંને ઊંચાઈઓની સરખામણી કરતા: $\frac{H_2}{H_1} = \frac{u^2/8g}{3u^2/8g} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$H_2 = \frac{H_1}{3} = \frac{Y}{3}$.

(A) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 400\;m$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^\circ$ હોય છે.
ઊંચાઈના સૂત્રમાં $\theta = 45^\circ$ મૂકતા:
$H = \frac{u^2 \sin^2 45^\circ}{2g} = \frac{u^2 (1/\sqrt{2})^2}{2g} = \frac{u^2}{2g \times 2} = \frac{u^2}{4g}$.
કારણ કે $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 400\;m$,તેથી:
$H = \frac{1}{4} \times R_{\max} = \frac{1}{4} \times 400\;m = 100\;m$.

(D) મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ નું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g} = 80 \, m$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
જ્યારે દડાને શિરોલંબ દિશામાં ઉપર ફેંકવામાં આવે ત્યારે પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ નું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
$H_{\max}$ ના સમીકરણમાં $R_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{1}{2} \left( \frac{u^2}{g} \right) = \frac{1}{2} \times 80 \, m = 40 \, m$.
આમ,દડાને મહત્તમ $40 \, m$ ઊંચાઈ સુધી ફેંકી શકાય છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,પૂરક ખૂણાઓ $\theta$ અને $90^o - \theta$ માટે અવધિ સમાન હોય છે.
આ ખૂણાઓ માટે પ્રાપ્ત કરેલી મહત્તમ ઊંચાઈ નીચે મુજબ છે:
$y_1 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
$y_2 = \frac{u^2 \sin^2(90^o - \theta)}{2g} = \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$
બંને ઊંચાઈઓનો સરવાળો કરતા:
$y_1 + y_2 = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} + \frac{u^2 \cos^2 \theta}{2g}$
$y_1 + y_2 = \frac{u^2}{2g} (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)$
કારણ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી આપણને મળે છે:
$y_1 + y_2 = \frac{u^2}{2g}$

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m v^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ અચળ રહે છે,તેથી જ્યારે વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y$ શૂન્ય થાય ત્યારે ગતિઊર્જા લઘુત્તમ હોય છે.
આ સ્થિતિ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ જોવા મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર એ કુલ સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ કરતા અડધું હોય છે.
તેથી,સમક્ષિતિજ અંતર $R/2$ અથવા $0.5 \, R$ થાય છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $KE = \frac{1}{2} m (u \cos \theta)^2$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે અને $\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે.
શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 90^o$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે.
કારણ કે $\cos 90^o = 0$ થાય છે,તેથી શિરોલંબ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $KE = \frac{1}{2} m (u \cos 90^o)^2 = 0$ થશે.
તેથી,પહેલા દડાની મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $0$ હશે.

(D) શરૂઆતની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે,તેથી વેગ ફક્ત સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ જેટલો જ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $K'$ એ $K' = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2 = K \cos^2 \theta$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે કે $K = 100 \, J$ અને $K' = 30 \, J$,તેથી:
$30 = 100 \cos^2 \theta$
$\cos^2 \theta = \frac{30}{100} = \frac{3}{10}$
$\cos \theta = \sqrt{\frac{3}{10}}$
$\theta = \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{3}{10}} \right)$.

(C) સીડીની ટોચ પરથી સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનો ગતિપથનું સમીકરણ $y = \frac{g x^2}{2 u^2}$ છે.
દડો $n$ માં પગથિયાની ધાર પર અથડાય તે માટે,કાપેલું સમક્ષિતિજ અંતર $x = n b$ અને કાપેલું શિરોલંબ અંતર $y = n h$ છે.
આ કિંમતોને ગતિપથના સમીકરણમાં મૂકતા:
$n h = \frac{g (n b)^2}{2 u^2}$
$n h = \frac{g n^2 b^2}{2 u^2}$
બંને બાજુને $n$ વડે ભાગતા (ધારો કે $n \neq 0$):
$h = \frac{g n b^2}{2 u^2}$
$n$ માટે ઉકેલતા:
$n = \frac{2 h u^2}{g b^2}$