Horizontal Projectile Motion Questions in Gujarati

(C) બંને દડાની શિરોલંબ ગતિ ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
બંને દડા માટે,પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ છે.
તેથી,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
બંને દડા માટે $h$ અને $g$ સમાન હોવાથી,તેમના સમક્ષિતિજ વેગને ધ્યાનમાં લીધા વગર,બંને દડાને જમીન પર પહોંચવા માટે સમાન સમય લાગે છે.

(B) બુલેટને લક્ષ્ય સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{100 \, m}{1000 \, m/s} = 0.1 \, s$ છે.
આ સમય દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે બુલેટનું શિરોલંબ નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર $h = \frac{1}{2}gt^2$ મુજબ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $h = \frac{1}{2} \times 10 \, m/s^2 \times (0.1 \, s)^2 = 5 \times 0.01 \, m = 0.05 \, m = 5 \, cm$.
આ નીચેની તરફના ઘટાડાને સરભર કરવા માટે,બંદૂકને લક્ષ્યથી $5 \, cm$ ઉપર નિશાન કરવી જોઈએ.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ રેન્જ $(R_{\max})$ નું સૂત્ર: $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ મઝલ વેગ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
આપેલ છે: $R_{\max} = 16 \, km = 16,000 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$16,000 = \frac{u^2}{10}$
$u^2 = 16,000 \times 10 = 160,000$
$u = \sqrt{160,000} = 400 \, m/s$.
તેથી,શેલનો મઝલ વેગ $400 \, m/s$ છે.

(C) જ્યારે ગતિમાન ટ્રેનમાંથી પથ્થરને મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેની પાસે ટ્રેનના વેગ જેટલો જ પ્રારંભિક આડો વેગ હોય છે.
મુક્ત કર્યા પછી,પથ્થર પર કોઈ આડો બળ લાગતું નથી (હવાનો અવરોધ અવગણતા),તેથી તેનો આડો વેગ અચળ રહે છે.
તે જ સમયે,પથ્થર પર ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે નીચેની તરફ અચળ પ્રવેગ $(g)$ લાગે છે.
અચળ આડા વેગ અને અચળ ઉર્ધ્વ પ્રવેગના સંયોજનને કારણે પથ્થરનો ગતિપથ પરવલયાકાર બને છે.
તેથી,પથ્થર પરવલયાકાર માર્ગે જમીન પર અથડાશે.

(B) બંને બુલેટની ગતિનું વિશ્લેષણ તેમના શિરોલંબ અને સમક્ષિતિજ ઘટકોને અલગ કરીને કરી શકાય છે. બંને બુલેટ માટે,પ્રારંભિક શિરોલંબ વેગ $u_y = 0$ છે. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h$ એ ગતિના સમીકરણ $h = u_y t + \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. $u_y = 0$ મૂકતા,આપણને $h = \frac{1}{2} g t^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે. સમય $t$ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધારિત હોવાથી,બંને બુલેટ એકસાથે જમીન પર અથડાશે.

(C) જ્યારે પાઇલટ દડાને મુક્ત કરે છે,ત્યારે તે વિમાન જેટલો જ સમક્ષિતિજ વેગ $(600\, km/hr)$ ધરાવે છે.
વિમાનમાં રહેલા પાઇલટ માટે,દડાનો સાપેક્ષ સમક્ષિતિજ વેગ શૂન્ય છે. તેથી,પાઇલટ દડાને શિરોલંબ સીધી રેખામાં નીચે પડતો જુએ છે.
જો કે,જમીન પર ઉભેલા અવલોકનકાર માટે,દડો અચળ સમક્ષિતિજ વેગ અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે શિરોલંબ વેગ એમ બંને ધરાવે છે. આ ગતિઓના સંયોજનને કારણે દડો પરવલયાકાર માર્ગે ગતિ કરતો દેખાય છે.
આમ,જમીન પરના અવલોકનકારને દડો પરવલયાકાર માર્ગે પડતો દેખાશે.

(C) બોમ્બનો સમક્ષિતિજ વેગ $u = 600 \, km/h = 600 \times \frac{5}{18} \, m/s = \frac{500}{3} \, m/s$ છે.
બોમ્બ જે ઊંચાઈએથી છોડવામાં આવે છે તે $h = 1960 \, m$ છે.
બોમ્બને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$g = 9.8 \, m/s^2$ લેતા,આપણને મળે છે $t = \sqrt{\frac{2 \times 1960}{9.8}} = \sqrt{\frac{3920}{9.8}} = \sqrt{400} = 20 \, s$.
સમક્ષિતિજ અંતર $AB$ એ સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર છે,જે $AB = u \times t$ દ્વારા મળે છે.
$AB = \frac{500}{3} \times 20 = \frac{10000}{3} \, m = 3333.33 \, m = 3.33 \, km$.

(C) $h$ ઊંચાઈ પરથી સમક્ષિતિજ રીતે ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે,જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 5 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = \sqrt{1} = 1 \, s$ મળે છે.
સમક્ષિતિજ અંતર (અવધિ) $R$ એ $R = u \times t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક સમક્ષિતિજ વેગ છે.
અહીં $R = 10 \, m$ આપેલ છે,તેથી $10 = u \times 1$ થાય.
આમ,$u = 10 \, m/s$ મળે છે.

(A) બંને કણો માટે,ઉર્ધ્વ ગતિ એ ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા નક્કી થાય છે.
બંને કણો સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી મુક્ત કરવામાં આવ્યા હોવાથી અને બંને કિસ્સામાં પ્રારંભિક ઉર્ધ્વ વેગનો ઘટક $u_y = 0$ હોવાથી,જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
બંને માટે $h$ અને $g$ સમાન હોવાથી,બંને કણો માટે લાગતો સમય $t$ સમાન રહેશે.
તેથી,બંને કણો એકસાથે જમીન પર પહોંચશે.

(C) એક કણ પ્રારંભિક વેગ કરતા અલગ દિશામાં અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરે છે. ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v$ છે અને અચળ પ્રવેગ $a$ છે,અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ $(0 < \theta < 180^{\circ})$ છે.
વેગને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરો: એક પ્રવેગને સમાંતર $(v \cos \theta)$ અને એક પ્રવેગને લંબ $(v \sin \theta)$.
ધારો કે પ્રવેગને લંબ દિશા $x$-અક્ષ છે અને પ્રવેગની દિશા $y$-અક્ષ છે.
$x$-દિશામાં કોઈ પ્રવેગ નથી,તેથી સ્થાનાંતર $x = (v \sin \theta) t$ થાય,જેમાંથી $t = \frac{x}{v \sin \theta}$ મળે.
$y$-દિશામાં,પ્રારંભિક વેગ $v \cos \theta$ છે અને પ્રવેગ $a$ છે. સ્થાનાંતર $y = (v \cos \theta) t + \frac{1}{2} a t^2$ છે.
$t$ ની કિંમત $y$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = (v \cos \theta) \left( \frac{x}{v \sin \theta} \right) + \frac{1}{2} a \left( \frac{x}{v \sin \theta} \right)^2$
$y = x \cot \theta + \frac{a}{2 v^2 \sin^2 \theta} x^2$.
આ સમીકરણ $y = Ax^2 + Bx$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે પરવલય દર્શાવે છે.

(B) સમાન ઝડપ $v$ સાથે બધી દિશાઓમાં છોડવામાં આવેલી ગોળીઓ જમીન પર એક વર્તુળાકાર વિસ્તાર આવરી લેશે.
આ વર્તુળની ત્રિજ્યા એ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ સમક્ષિતિજ અવધિ $R_{\max}$ જેટલી હોય છે.
સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ $\theta = 45^\circ$ પર મળે છે,જ્યાં $R_{\max} = \frac{v^2}{g}$ થાય છે.
ગોળીઓ દ્વારા આવરી લેવાયેલ વિસ્તાર $A$ એ $R_{\max}$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $A = \pi R_{\max}^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R_{\max}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $A = \pi \left( \frac{v^2}{g} \right)^2 = \frac{\pi v^4}{g^2}$ મળે છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે: $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અવધિ એ પ્રારંભિક વેગના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $R \propto u^2$.
જો પ્રારંભિક વેગ $u$ ને બમણો કરવામાં આવે (એટલે કે $u' = 2u$),તો નવી અવધિ $R'$ નીચે મુજબ થશે:
$R' = \frac{(2u)^2 \sin(2\theta)}{g} = 4 \times \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = 4R$.
તેથી,નવી અવધિ $4R$ થશે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $(H)$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$
આ સમીકરણ પરથી જોઈ શકાય છે કે મહત્તમ ઊંચાઈ એ પ્રારંભિક વેગ $(u)$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે:
$H \propto u^2$
જો પ્રારંભિક વેગ બમણો કરવામાં આવે $(u' = 2u)$,તો નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $(H')$ નીચે મુજબ થશે:
$H' \propto (2u)^2 = 4u^2$
તેથી,$H' = 4H$.
આમ,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ ચાર ગણી થશે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની ગતિમાં,પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે સંરક્ષી બળ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ સંરક્ષી હોવાથી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા (ગતિ ઉર્જા + સ્થિતિ ઉર્જા) તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
જો કે,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ પર બાહ્ય ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું હોવાથી,કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય નથી.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,વેગમાનમાં ફેરફારનો દર બાહ્ય બળ જેટલો હોય છે. બાહ્ય બળ શૂન્ય ન હોવાથી,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થનું રેખીય વેગમાન સંરક્ષિત રહેતું નથી.
તેથી,માત્ર કુલ ઉર્જાનું જ સંરક્ષણ થાય છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ન્યૂનતમ અવધિ શોધવા માટે,આપણે એવો કોણ $\theta$ શોધીએ છીએ જે $\sin(2\theta)$ ને ન્યૂનતમ બનાવે.
અવધિ $R$ ત્યારે ન્યૂનતમ હોય છે જ્યારે $\sin(2\theta) = 0$ થાય,જે $2\theta = 0^\circ$ અથવા $2\theta = 180^\circ$ પર થાય છે.
$2\theta = 180^\circ$ માટે,આપણને $\theta = 90^\circ$ મળે છે.
$\theta = 90^\circ$ પર,પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,અને તે પ્રક્ષિપ્ત બિંદુ પર જ પાછો આવે છે,જેના પરિણામે સમક્ષિતિજ અવધિ $R = 0$ મળે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g}$ છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે,એટલે કે $R = H$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2u^2 \sin\theta \cos\theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2\theta}{2g}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2 \cos\theta = \frac{\sin\theta}{2}$.
$\tan\theta$ માટે ગોઠવતા: $\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 4$,એટલે કે $\tan\theta = 4$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(4)$,જે આશરે $76^\circ$ થાય છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ બળ લાગતું નથી,જેનો અર્થ છે કે સમક્ષિતિજ પ્રવેગ $a_x = 0$ છે.
$a_x = 0$ હોવાથી,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = u \cos \theta$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $(g)$ ને કારણે વેગનો શિરોલંબ ઘટક બદલાય છે,અને પરિણામે,ઝડપ અને ગતિઊર્જા પણ બદલાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) વેગની દિશા હંમેશા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથને સ્પર્શક હોય છે. ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુએ,વેગનો ઉર્ધ્વ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,તેથી વેગ સદિશ સંપૂર્ણપણે સમક્ષિતિજ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન હંમેશા શિરોલંબ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જેহেতু વેગ સમક્ષિતિજ છે અને પ્રવેગ શિરોલંબ છે,તેથી વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને પ્રવેગ સદિશ $\vec{g}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^o$ છે.
તેથી,તેઓ એકબીજાને લંબ છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$R$ ને $H$ વડે ભાગતા,આપણને મળે $\frac{R}{H} = \frac{u^2 \sin(2\theta) / g}{u^2 \sin^2 \theta / (2g)} = \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{\sin^2 \theta / 2} = 4 \cot \theta$.
તેથી,$R = 4H \cot \theta$.
અહીં પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે,તેથી:
$R = 4H \cot(45^\circ)$.
કારણ કે $\cot(45^\circ) = 1$,તેથી $R = 4H$.
આમ,સમક્ષિતિજ અવધિ એ ઊર્ધ્વ ઊંચાઈ કરતા ચાર ગણી છે.

(C) વેગના ઘટકો સ્થાનના સમીકરણોનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6 \ m/s$.
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 5t^2) = 8 - 10t \ m/s$.
પ્રક્ષેપણના સમયે,$t = 0$ હોય છે.
વેગના ઘટકોમાં $t = 0$ મૂકતા:
$v_x = 6 \ m/s$.
$v_y = 8 - 10(0) = 8 \ m/s$.
પ્રારંભિક વેગ $v$ નું મૂલ્ય $v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.

(B) વેગના ઘટકો સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનના સમીકરણોનું વિકલન કરીને મેળવવામાં આવે છે.
$v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 5t^2) = 8 - 10t \ m/s$
$v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6 \ m/s$
પ્રક્ષેપણના સમયે,$t = 0$ હોય છે.
વેગના ઘટકોમાં $t = 0$ મૂકતા:
$v_{y0} = 8 - 10(0) = 8 \ m/s$
$v_{x0} = 6 \ m/s$
પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_{y0}}{v_{x0}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\tan \theta = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(4/3)$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના સ્થાનના યામ $x = 6t$ અને $y = 8t - 5t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ શોધવા માટે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન કરીને વેગના ઘટકો શોધીએ છીએ.
$x$-દિશામાં વેગ: $v_x = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(6t) = 6 \text{ m/s}$.
$y$-દિશામાં વેગ: $v_y = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 5t^2) = 8 - 10t \text{ m/s}$.
હવે,આપણે સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન કરીને પ્રવેગના ઘટકો શોધીએ છીએ.
$x$-દિશામાં પ્રવેગ: $a_x = \frac{dv_x}{dt} = \frac{d}{dt}(6) = 0 \text{ m/s}^2$.
$y$-દિશામાં પ્રવેગ: $a_y = \frac{dv_y}{dt} = \frac{d}{dt}(8 - 10t) = -10 \text{ m/s}^2$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રવેગ નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગનું મૂલ્ય $g = |a_y| = 10 \text{ m/s}^2$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
$\theta_1 = 15^\circ$ માટે,અવધિ $R_1 = \frac{u^2 \sin(30^\circ)}{g} = \frac{u^2}{2g} = 1.5 \, km$ છે.
આના પરથી,આપણને $\frac{u^2}{g} = 1.5 \times 2 = 3.0 \, km$ મળે છે.
$\theta_2 = 45^\circ$ માટે,અવધિ $R_2 = \frac{u^2 \sin(90^\circ)}{g} = \frac{u^2}{g}$ થશે.
કિંમત મૂકતા,$R_2 = 3.0 \, km$ મળે છે.

(A) શરૂઆતના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta = 25 \cos 60^\circ = 25 \times 0.5 = 12.5\,m/s$ છે.
શરૂઆતના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_y = v \sin \theta = 25 \sin 60^\circ = 25 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 12.5\sqrt{3}\,m/s$ છે.
$50\,m$ નું સમક્ષિતિજ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{x}{v_x} = \frac{50}{12.5} = 4\,s$ છે.
સમય $t$ પર શિરોલંબ ઊંચાઈ $y$ ગતિના સમીકરણ $y = v_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $y = (12.5\sqrt{3}) \times 4 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4)^2$.
$y = 50\sqrt{3} - 4.9 \times 16 = 50 \times 1.732 - 78.4 = 86.6 - 78.4 = 8.2\,m$.

(A) શરૂઆતના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $u_y = u \sin \theta = 25 \sin \theta$ છે.
શિરોલંબ દિશા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $h = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$.
અહીં $h = 5\,m$,$t = 2\,s$,અને $g = 10\,m/s^2$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$5 = (25 \sin \theta) \times 2 - \frac{1}{2} \times 10 \times (2)^2$.
$5 = 50 \sin \theta - 20$.
$25 = 50 \sin \theta$.
$\sin \theta = \frac{25}{50} = 0.5$.
તેથી,$\theta = \arcsin(0.5) = 30^\circ$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\alpha)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\alpha$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પ્રથમ પ્રક્ષેપણ કોણ $\alpha_1 = (45^\circ - \theta)$ માટે:
$R_1 = \frac{u^2 \sin(2(45^\circ - \theta))}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ - 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
બીજા પ્રક્ષેપણ કોણ $\alpha_2 = (45^\circ + \theta)$ માટે:
$R_2 = \frac{u^2 \sin(2(45^\circ + \theta))}{g} = \frac{u^2 \sin(90^\circ + 2\theta)}{g} = \frac{u^2 \cos(2\theta)}{g}$.
બંને અવધિઓની સરખામણી કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $R_1 = R_2$.
તેથી,સમક્ષિતિજ અવધિનો ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = 1 : 1$ છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
અહીં,$v$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે,અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર,અવધિ $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g_e}$ છે,જ્યાં $g_e = g$.
ચંદ્રની સપાટી પર,ગુરુત્વપ્રવેગ $g_m = \frac{g_e}{6} = \frac{g}{6}$ છે.
ઝડપ $v$ અને ખૂણો $\theta$ સમાન રહેતા હોવાથી,ચંદ્ર પર નવી અવધિ $R_m$ નીચે મુજબ મળે: $R_m = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g_m} = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g/6} = 6 \times \left( \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g} \right)$.
$R$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R_m = 6R$ મળે છે.

(B) દડાની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $E = \frac{1}{2}mv^2$ છે,જ્યાં $v$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
ગતિપથના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે,જ્યારે સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos \theta$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,દડાનો વેગ $v_h = v \cos \theta$ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ ગતિઊર્જા $E' = \frac{1}{2}m(v_h)^2 = \frac{1}{2}m(v \cos \theta)^2$ છે.
$E' = (\frac{1}{2}mv^2) \cos^2 \theta = E \cos^2 \theta$.
અહીં $\theta = 45^\circ$ આપેલ છે,તેથી $\cos 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,$E' = E (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = E (\frac{1}{2}) = \frac{E}{2}$.

(B) મહત્તમ ઊંચાઈ પર,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય હોય છે અને સમક્ષિતિજ ઘટક $v_x = v \cos 45^{\circ} = v / \sqrt{2}$ થાય છે.
આ બિંદુએ કણનું વેગમાન $p = m v_x = mv / \sqrt{2}$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L = p \times h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = (v^2 \sin^2 45^{\circ}) / (2g) = (v^2 \cdot (1/2)) / (2g) = v^2 / (4g) $ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $L = (mv / \sqrt{2}) \times (v^2 / 4g) = mv^3 / (4\sqrt{2}g)$ મળે છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,સમક્ષિતિજ સ્થાનાંતર $x = u_x t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે સમયનું રેખીય વિધેય છે. શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y = u_y t - \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,શિરોલંબ વેગ $v_y = \frac{dy}{dt} = 0$ થાય છે. શિરોલંબ ગતિ માટેના સ્થાનાંતર-સમયના આલેખ પર,ઢાળ $\frac{dy}{dt}$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,ઢાળ $0$ છે. કારણ કે પથ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે ($y = at^2 + bt + c$ જ્યાં $a < 0$),તેથી દ્વિતીય વિકલન $\frac{d^2y}{dt^2} = -g$ ઋણ છે. આમ,સ્થાનાંતર-સમયના આલેખ પર મહત્તમ બિંદુએ ઢાળ શૂન્ય અને વક્રતા ઋણ હોય છે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત ગતિ દરમિયાન,પદાર્થ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે હંમેશા શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,તેથી પ્રવેગ $a = F/m = mg/m = g$ થાય છે.
આથી,પ્રક્ષિપ્ત ગતિ દરમિયાન પ્રવેગ અચળ રહે છે અને તેનું મૂલ્ય હંમેશા $g$ જેટલું હોય છે,જેમાં ગતિપથના સર્વોચ્ચ બિંદુનો પણ સમાવેશ થાય છે.

(C) શરૂઆતના વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $u_x = u \cos \theta$ છે.
સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ ન હોવાથી,ગતિ દરમિયાન સમક્ષિતિજ વેગ અચળ રહે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ એ સમક્ષિતિજ વેગ અને ઉડ્ડયન સમયનો ગુણાકાર છે:
$R = u_x \times T$
$R = (u \cos \theta) \times \left( \frac{2u \sin \theta}{g} \right)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$R = \frac{u^2 (2 \sin \theta \cos \theta)}{g} = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે હવામાં રહેવાનો સમય (Time of flight) $T$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$T = \frac{2u \sin \theta}{g}$
આપેલ છે:
શરૂઆતનો વેગ $u = 50 \ m/s$
પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta = 30^{\circ}$
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$
કિંમતો મૂકતા:
$T = \frac{2 \times 50 \times \sin 30^{\circ}}{10}$
કારણ કે $\sin 30^{\circ} = 0.5$:
$T = \frac{100 \times 0.5}{10} = \frac{50}{10} = 5 \ s$
આમ,દડો હવામાં $5 \ s$ સુધી રહેશે.

(D) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સમક્ષિતિજ અવધિ એ મહત્તમ ઊંચાઈ કરતાં ત્રણ ગણી છે,તેથી $R = 3H$.
સૂત્રો મૂકતા:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = 3 \left( \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \right)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$2 \cos \theta = \frac{3}{2} \sin \theta$.
$\tan \theta$ શોધવા માટે:
$\tan \theta = \frac{4}{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(1.333) \approx 53^\circ 8'$.

(C) ધારો કે ગોળીનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ છે. લક્ષ્ય બંદૂકથી $d$ અંતરે છે. ગોળીને $d$ જેટલું આડું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = d / (u \cos \theta)$ છે.
આ સમય $t$ માં,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ગોળીનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર $y_1 = (1/2) g t^2$ છે.
દ્રષ્ટિરેખા (જે $\theta$ કોણ પર છે) ની સાપેક્ષમાં ગોળીનું શિરોલંબ સ્થાન $y_2 = (u \sin \theta) t - (1/2) g t^2$ છે.
લક્ષ્ય બંદૂકની નળીની રેખામાં હોવાથી,લક્ષ્યની પ્રારંભિક ઊંચાઈ $h = d \tan \theta = (u \sin \theta) t$ છે.
સમય $t$ પર લક્ષ્યનું વાસ્તવિક સ્થાન $h' = h - (1/2) g t^2 = (u \sin \theta) t - (1/2) g t^2$ છે.
ગોળીનું શિરોલંબ સ્થાન $y_2$ અને લક્ષ્યનું શિરોલંબ સ્થાન $h'$ સમાન હોવાથી,ગોળી લક્ષ્યને અથડાશે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
બંને પદાર્થો સમાન વેગ $u$ થી ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈઓ $H_1$ અને $H_2$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 \theta_1}{\sin^2 \theta_2}$ થાય.
અહીં $\theta_1 = 30^\circ$ અને $\theta_2 = 60^\circ$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{H_1}{H_2} = \frac{\sin^2 30^\circ}{\sin^2 60^\circ} = \frac{(1/2)^2}{(\sqrt{3}/2)^2} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:3$ છે.

(D) $V$ મઝલ ઝડપ અને $\theta$ ઉન્નતકોણ સાથે છોડવામાં આવેલા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$R = \frac{V^2 \sin(2\theta)}{g}$
$\theta$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$\sin(2\theta) = \frac{Rg}{V^2}$
બંને બાજુ ઇન્વર્સ સાઇન લેતા:
$2\theta = \sin^{-1}\left(\frac{gR}{V^2}\right)$
$2$ વડે ભાગતા:
$\theta = \frac{1}{2} \sin^{-1}\left(\frac{gR}{V^2}\right)$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ઉડ્ડયન સમયનું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $T = 10 \ s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$10 = \frac{2u \sin \theta}{10}$ મળે,તેથી $u \sin \theta = 50 \ m/s$ થાય.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈનું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$u \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા,$H = \frac{(u \sin \theta)^2}{2g} = \frac{50^2}{2 \times 10} = \frac{2500}{20} = 125 \ m$ મળે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર: $R = \frac{v^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
પદાર્થ $A$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_A = 30^{\circ}$ છે. તેથી,$R_A = \frac{v^2 \sin(2 \times 30^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(60^{\circ})}{g}$.
પદાર્થ $B$ માટે,પ્રક્ષિપ્ત કોણ $\theta_B = 60^{\circ}$ છે. તેથી,$R_B = \frac{v^2 \sin(2 \times 60^{\circ})}{g} = \frac{v^2 \sin(120^{\circ})}{g}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(120^{\circ}) = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin(60^{\circ})$,તેથી $R_A = R_B$ થાય.
આમ,$A$ અને $B$ ની સમક્ષિતિજ અવધિનો ગુણોત્તર $R_A : R_B = 1:1$ થશે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
પ્રારંભિક વેગ $u = 500 \, m/s$
પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 15^\circ$
ગુરુત્વ પ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$R = \frac{(500)^2 \times \sin(2 \times 15^\circ)}{10}$
$R = \frac{250000 \times \sin(30^\circ)}{10}$
કારણ કે $\sin(30^\circ) = 0.5$,તેથી:
$R = \frac{250000 \times 0.5}{10} = 25000 \times 0.5 = 12500 \, m$
જેને $12.5 \times 10^3 \, m$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર: $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
આપેલ છે: $T = 2 \ s$,$\theta = 30^o$,અને $g = 9.8 \ m/s^2$.
પ્રારંભિક વેગ $u$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$u = \frac{T \times g}{2 \sin \theta}$.
કિંમતો મૂકતા:
$u = \frac{2 \times 9.8}{2 \times \sin 30^o} = \frac{19.6}{2 \times 0.5} = \frac{19.6}{1} = 19.6 \ m/s$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
ધારો કે પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ અચળ રહે છે,તો અવધિ એ પ્રારંભિક ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $R \propto u^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ $u_1$ છે અને પ્રારંભિક અવધિ $R_1 = 50\, m$ છે.
જ્યારે ઝડપ બમણી કરવામાં આવે છે,ત્યારે $u_2 = 2u_1$ થાય છે.
નવી અવધિ $R_2$ નીચે મુજબ મળે: $R_2 = R_1 \times (\frac{u_2}{u_1})^2$.
કિંમતો મૂકતા: $R_2 = 50 \times (\frac{2u_1}{u_1})^2 = 50 \times 2^2 = 50 \times 4 = 200\, m$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષિપ્ત કોણ છે અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$\theta_1 = 60^o$,તેથી $R_1 = \frac{u^2 \sin(120^o)}{g} = 90 \,m$.
બીજા કિસ્સા માટે,$\theta_2 = 30^o$,તેથી $R_2 = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$.
કારણ કે $\sin(120^o) = \sin(180^o - 60^o) = \sin(60^o)$,તેથી $\sin(2 \times 60^o) = \sin(2 \times 30^o)$ થાય છે.
આમ,કોટિકોણ (જે ખૂણાઓનો સરવાળો $90^o$ થાય) માટે અવધિ સમાન રહે છે.
અહીં $60^o + 30^o = 90^o$ હોવાથી,અવધિ $R_2$ એ $R_1$ જેટલી જ એટલે કે $90 \,m$ થશે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
ઉડ્ડયન સમયનો વર્ગ કરતા,આપણને $T^2 = \frac{4u^2 \sin^2 \theta}{g^2}$ મળે છે.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ અને ઉડ્ડયન સમયના વર્ગનો ગુણોત્તર $\frac{H}{T^2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta / 2g}{4u^2 \sin^2 \theta / g^2}$ થાય.
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{H}{T^2} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g} \times \frac{g^2}{4u^2 \sin^2 \theta} = \frac{g}{8}$.
અહીં $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{H}{T^2} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$ મળે છે.

(B) લાંબી કૂદમાં આવરી લેવાયેલ આડું અંતર એ પ્રક્ષિપ્ત ગતિના અવધિ (Range) જેટલું હોય છે. આડા અવધિ $R$ માટેનું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક ઝડપ છે,$\theta$ એ પ્રક્ષેપણ કોણ છે,અને $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે અવધિ $R$ એ પ્રારંભિક ઝડપ $u$ અને પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta$ (જે દિશામાં એથ્લેટ કૂદકો મારે છે) પર આધાર રાખે છે.
તેથી,પરિબળોનો સાચો સમૂહ એ છે કે તે કઈ દિશામાં કૂદકો મારે છે અને તેની પ્રારંભિક ઝડપ કેટલી છે.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય $T$ નું સૂત્ર $T = \frac{2u \sin \theta}{g}$ છે.
અહીં $T = 2 \ s$ અને $g = 10 \ m/s^2$ આપેલ છે,તેથી $2 = \frac{2u \sin \theta}{10}$.
આથી $u \sin \theta = 10 \ m/s$ મળે છે.
પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
$u \sin \theta$ ની કિંમત મૂકતા,$H = \frac{(10)^2}{2 \times 10} = \frac{100}{20} = 5 \ m$ મળે છે.

(B) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના વેગને બે ઘટકોમાં વિભાજિત કરી શકાય છે: સમક્ષિતિજ $(u_x = u \cos \theta)$ અને શિરોલંબ $(u_y = u \sin \theta)$.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગનો શિરોલંબ ઘટક શૂન્ય થઈ જાય છે $(v_y = 0)$.
જોકે,સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ કાર્ય કરતો ન હોવાથી,સમગ્ર ગતિ દરમિયાન વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક અચળ રહે છે.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ એ સમક્ષિતિજ ઘટક જેટલો હોય છે,જે $u \cos \theta$ છે.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થની સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
આપેલ છે કે બંને પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થો માટે પ્રારંભિક વેગ $u$ સમાન છે.
પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,$\theta_1 = 60^o$,તેથી $R_1 = \frac{u^2 \sin(120^o)}{g} = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,$\theta_2 = 30^o$,તેથી $R_2 = \frac{u^2 \sin(60^o)}{g}$.
કારણ કે $\sin(120^o) = \sin(60^o)$,તેથી બંને ખૂણાઓ માટે સમક્ષિતિજ અવધિ $R$ સમાન રહે છે.
ખૂણાઓ $\theta$ અને $(90^o - \theta)$ એ કોટિકોણ છે,અને કોઈપણ કોટિકોણની જોડી માટે,સમક્ષિતિજ અવધિ સમાન હોય છે.