Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Hindi

(A) ऊष्मा चालकों के श्रेणी संयोजन में,ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ प्रत्येक छड़ से समान रहती है।
$H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{l}$
चूंकि $A$ और $l$ तीनों छड़ों के लिए समान हैं,इसलिए ऊष्मा धारा $H$,$k \Delta T$ के समानुपाती है।
मान लीजिए $H$ स्थिर ऊष्मा धारा है। तब:
$H = \frac{(2K)A(100 - T_1)}{l} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l} = \frac{(K/2)A(T_2 - 0)}{l}$
सभी भागों से $\frac{KA}{l}$ को हटाने पर:
$2(100 - T_1) = (T_1 - T_2) = 0.5 T_2$
दूसरे और तीसरे भाग से:
$T_1 - T_2 = 0.5 T_2 \Rightarrow T_1 = 1.5 T_2 = \frac{3}{2} T_2$
पहले और दूसरे भाग से:
$2(100 - T_1) = T_1 - T_2$
$200 - 2T_1 = T_1 - T_2$
$200 = 3T_1 - T_2$
समीकरण में $T_1 = \frac{3}{2} T_2$ रखने पर:
$200 = 3(\frac{3}{2} T_2) - T_2$
$200 = \frac{9}{2} T_2 - T_2 = \frac{7}{2} T_2$
$T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$
अब,$T_1$ ज्ञात करें:
$T_1 = \frac{3}{2} (\frac{400}{7}) = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$
अतः,तापमान $T_1 = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$ और $T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$ हैं।

(D) माना बिंदु $C$ का तापमान $T$ है। $A$ से $C$ तक ऊष्मा प्रवाह $H_1 = \frac{KA(T_A - T)}{l_1} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (20 - T)}{0.1}$ है।
$B$ से $C$ तक ऊष्मा प्रवाह $H_2 = \frac{KA(T_B - T)}{l_2} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (40 - T)}{0.2}$ है।
बर्फ के बॉक्स में जाने वाला कुल ऊष्मा प्रवाह $H = H_1 + H_2$ है। चूंकि तार अत्यधिक सुचालक है,इसलिए $T = 0^{\circ} C$ होगा।
$H = \frac{336 \times 10^{-4} \times 20}{0.1} + \frac{336 \times 10^{-4} \times 40}{0.2} = 6.72 + 6.72 = 13.44 \ W$ ($SI$ इकाइयों में)।
कैलोरी में बदलने पर: $H = \frac{13.44}{4.2} = 3.2 \ cal/s$.
बर्फ के पिघलने की दर $dm/dt = \frac{H}{L_{ice}} = \frac{3.2}{80} = 0.04 \ g/s = 40 \ mg/s$। अतः सही विकल्प $D$ है।

(A) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA\Delta T}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ों के आयाम समान हैं ($A$ और $L$ स्थिर हैं),ऊष्मा प्रवाह ऊष्मीय चालकता $K$ के समानुपाती है।
जंक्शन $P$ पर,स्थिर अवस्था में ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार,जंक्शन में आने वाली ऊष्मा = जंक्शन से बाहर जाने वाली ऊष्मा।
मान लीजिए जंक्शन $P$ का तापमान $T$ है।
$100^{\circ}C$ से $P$ तक प्रवाहित ऊष्मा = $P$ से $50^{\circ}C$ तक प्रवाहित ऊष्मा + $P$ से $0^{\circ}C$ तक प्रवाहित ऊष्मा।
$\frac{3K A (100 - T)}{L} = \frac{2K A (T - 50)}{L} + \frac{K A (T - 0)}{L}$
दोनों पक्षों से $\frac{KA}{L}$ को हटाने पर:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + T$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$400 = 6T$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ}C$.

(C) मान लीजिए जंक्शन का तापमान $T$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें एक जंक्शन पर जुड़ी हुई हैं, जंक्शन से दूर बहने वाली ऊष्मा धाराओं का योग शून्य होना चाहिए: $H_{Cu} + H_{Br} + H_{St} = 0$.
दिया गया है: सभी छड़ों के लिए $A = 4 \,cm^2$।
$H_{Cu} = \frac{0.92 \times 4 \times (T - 100)}{46} = 0.08(T - 100)$
$H_{Br} = \frac{0.26 \times 4 \times (T - 0)}{13} = 0.08T$
$H_{St} = \frac{0.12 \times 4 \times (T - 0)}{12} = 0.04T$
इनका योग करने पर: $0.08(T - 100) + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.08T - 8 + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.20T = 8 \implies T = 40 \,^{\circ}C$।
तांबे की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $H_{Cu} = 0.08(40 - 100) = 0.08(-60) = -4.8 \,cal \,s^{-1}$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर का परिमाण $4.8 \,cal \,s^{-1}$ है।

(D) स्थिर अवस्था में,परतों $P$ और $Q$ से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए $K_P$ और $K_Q$ ऊष्मीय चालकताएँ हैं,$x$ प्रत्येक परत की मोटाई है,और $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
दिया गया है: $K_Q = \frac{K_P}{2} \Rightarrow K_P = 2K_Q$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{x}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि ऊष्मा प्रवाह समान है: $\frac{K_P A (T_1 - T_0)}{x} = \frac{K_Q A (T_0 - T_2)}{x}$.
$K_P = 2K_Q$ प्रतिस्थापित करने पर: $2K_Q (T_1 - T_0) = K_Q (T_0 - T_2)$.
$2(T_1 - T_0) = (T_0 - T_2) \Rightarrow T_0 - T_2 = 2(T_1 - T_0)$.
दीवार के आर-पार कुल तापमान का अंतर $(T_1 - T_2) = 24^{\circ} C$ है।
हम लिख सकते हैं $(T_1 - T_2) = (T_1 - T_0) + (T_0 - T_2) = 24^{\circ} C$.
$(T_0 - T_2) = 2(T_1 - T_0)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(T_1 - T_0) + 2(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$3(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$(T_1 - T_0) = 8^{\circ} C$.
अतः,परत $P$ के आर-पार तापमान का अंतर $8^{\circ} C$ है।

(A) किसी सामग्री के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA \Delta T}{d}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $d$ कंटेनर की दीवार की मोटाई है।
चूंकि कंटेनरों के आयाम समान हैं,इसलिए $A$ और $d$ स्थिर हैं। यदि तापमान का अंतर $\Delta T$ दोनों के लिए समान है,तो ऊष्मा प्रवाह की दर ऊष्मीय चालकता के समानुपाती होती है: $H \propto K$.
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $Q = mL$ है,जहाँ $m$ बर्फ का द्रव्यमान है और $L$ संलयन की गुप्त ऊष्मा है। चूंकि दोनों कंटेनर समान आयामों के हैं और बर्फ से भरे हुए हैं,इसलिए $m$ दोनों के लिए समान है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{Q}{t} = \frac{mL}{t}$ भी है,इसलिए $H \propto \frac{1}{t}$.
इन दोनों समानुपातों की तुलना करने पर,हमें $K \propto \frac{1}{t}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$.
यहाँ $t_1 = 20 \ min$ और $t_2 = 10 \ min$ दिया गया है,इसलिए $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
अतः,ऊष्मीय चालकता का अनुपात $1: 2$ है।

(C) ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ द्वारा दी जाती है।
छड़ $A$ के लिए: $\Delta T_A = 40^{\circ} C$,और छड़ $B$ के लिए: $\Delta T_B = 60^{\circ} C$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दरों का अनुपात $\frac{H_A}{H_B} = \frac{3}{8}$ है।
चूंकि छड़ें समान पदार्थ की हैं,इसलिए $k_A = k_B = k$ होगा।
अतः,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{A_A \Delta T_A / l_A}{A_B \Delta T_B / l_B} = \frac{A_A}{A_B} \cdot \frac{l_B}{l_A} \cdot \frac{40}{60} = \frac{3}{8}$ ....$(i)$
चूंकि छड़ों का द्रव्यमान और पदार्थ समान है,इसलिए उनके आयतन समान हैं: $V_A = V_B \Rightarrow A_A l_A = A_B l_B \Rightarrow \frac{A_A}{A_B} = \frac{l_B}{l_A}$ ....(ii)
समीकरण (ii) को $(i)$ में रखने पर: $\left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{40}{60}\right) = \frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।
$\left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{8} \Rightarrow \left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}$।
वर्गमूल लेने पर,$\frac{l_B}{l_A} = \frac{3}{4}$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबाई का अनुपात $l_A : l_B = 4 : 3$ है।

(B) दीवारों से ऊष्मा प्रवाह की दर $dQ/dt$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$.
यहाँ, $K = 10^{-2} \,W m^{-1} K^{-1}$, $A = 1000 \,cm^2 = 0.1 \,m^2$, $\Delta T = 42^{\circ}C - 0^{\circ}C = 42 \,K$, और $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
इन मानों को रखने पर: $dQ/dt = (10^{-2} \times 0.1 \times 42) / (2 \times 10^{-3}) = (4.2 \times 10^{-2}) / (2 \times 10^{-3}) = 21 \,W$ (या $21 \,J/s$).
कुल समय $t = 160 \,minutes = 160 \times 60 \,s = 9600 \,s$.
कुल स्थानांतरित ऊष्मा $Q = (dQ/dt) \times t = 21 \times 9600 = 201600 \,J$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m_{melted} = Q / L$, जहाँ $L = 336 \times 10^3 \,J/kg$.
$m_{melted} = 201600 / (336 \times 10^3) = 0.6 \,kg$.
शेष बची बर्फ का द्रव्यमान = प्रारंभिक द्रव्यमान - पिघला हुआ द्रव्यमान = $1.5 \,kg - 0.6 \,kg = 0.9 \,kg$.

(C) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ सूत्र द्वारा दी जाती है: $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$.
दिया गया है: $K = 90 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$,$A = 4 \ cm^2 = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,$L = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
मान रखने पर: $H = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times (100 - 0)}{0.2} = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{3.6}{0.2} = 18 \ J/s$.
$t = 7 \ minutes = 420 \ s$ समय में स्थानांतरित कुल ऊष्मा $Q = H \times t = 18 \times 420 = 7560 \ J$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m$,$Q = mL_f$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $L_f = 336 \times 10^3 \ J/kg$.
$m = \frac{Q}{L_f} = \frac{7560}{336 \times 10^3} = 0.0225 \ kg = 22.5 \ g$.

(B) दिया गया है: मोटाई $\Delta x = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$,क्षेत्रफल $A = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,तापमान का अंतर $\Delta T = 14^{\circ} C$,ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = 42 \ J/s = 42 \ W$.
स्थिर अवस्था में ऊष्मा चालन का सूत्र $Q = \frac{K A \Delta T}{\Delta x}$ है।
ऊष्मीय चालकता $K$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $K = \frac{Q \Delta x}{A \Delta T}$.
मान रखने पर: $K = \frac{42 \times 5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4} \times 14}$.
सरल करने पर: $K = \frac{42 \times 10^{-3}}{10^{-4} \times 14} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 3 \times 10 = 30 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.

(B) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 0.2 \,m^2$,मोटाई $d = 2.0 \,cm = 0.02 \,m$,ऊष्मीय चालकता $K = 120 \,J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,गुप्त ऊष्मा $L = 2 \times 10^6 \,J/kg$,और पानी उबलने की दर $dm/dt = 3.0 \,kg/min = 3.0/60 \,kg/s = 0.05 \,kg/s$.
बर्तन के आधार से ऊष्मा चालन की दर: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T - T_{water})}{d}$.
पानी उबालने के लिए आवश्यक ऊष्मा की दर: $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt}$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{KA}{d} (T - 100) = L \frac{dm}{dt}$.
मान रखने पर: $\frac{120 \times 0.2}{0.02} (T - 100) = (2 \times 10^6) \times 0.05$.
$1200 (T - 100) = 100,000$.
$T - 100 = \frac{100,000}{1200} = 83.33$.
$T \approx 183.33^{\circ} C$. अतः,तापमान लगभग $183^{\circ} C$ है।

(C) स्थिर अवस्था में,पदार्थों $A$ और $B$ से होकर गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि सामान्य सतह का तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA \Delta T}{X}$ द्वारा दी जाती है। यदि दोनों स्लैब के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,तो:
$Q_A = Q_B$
$\frac{K_A (75^{\circ} C - T)}{X_A} = \frac{K_B (T - 50^{\circ} C)}{X_B}$
दिया गया है कि $K_A = \frac{K_B}{2}$ और $X_A = 2 X_B$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{(K_B / 2) (75^{\circ} C - T)}{2 X_B} = \frac{K_B (T - 50^{\circ} C)}{X_B}$
$\frac{75^{\circ} C - T}{4} = T - 50^{\circ} C$
$75^{\circ} C - T = 4T - 200^{\circ} C$
$5T = 275^{\circ} C$
$T = 55^{\circ} C$
अतः,सामान्य सतह का तापमान $55^{\circ} C$ है।

(C) स्थिर अवस्था में,छड़ के माध्यम से संचालित ऊष्मा संवहन और विकिरण द्वारा छड़ की सतह से आसपास के वातावरण में खो जाती है। मान लीजिए $P$ छड़ों का परिमाप है और $h$ ऊष्मा स्थानांतरण गुणांक है। गर्म सिरे से $x$ दूरी पर ऊष्मा प्रवाह की दर $q = -kA \frac{dT}{dx}$ है।
$dx$ घटक द्वारा आसपास के वातावरण में खोई गई ऊष्मा $dQ = hP(T - T_0) dx$ है।
स्थिर अवस्था में,ऊष्मा संतुलन समीकरण $-kA \frac{d^2T}{dx^2} = hP(T - T_0)$ है।
मान लीजिए $\theta = T - T_0$,तो $\frac{d^2\theta}{dx^2} = \frac{hP}{kA} \theta$। इसका हल $\theta = \theta_0 e^{-mx}$ है,जहाँ $m = \sqrt{\frac{hP}{kA}}$ है।
मोम $l$ लंबाई तक पिघलता है जहाँ तापमान $\theta$ गलनांक $\theta_m$ तक पहुँच जाता है। अतः,$\theta_m = \theta_0 e^{-ml}$।
चूंकि $\theta_m, \theta_0, h,$ और $P$ दोनों छड़ों के लिए समान हैं,इसलिए $ml$ स्थिर होना चाहिए। अतः,$l \propto \frac{1}{\sqrt{m^2}} \propto \sqrt{k}$।
इस प्रकार,$\frac{l_A}{l_B} = \sqrt{\frac{k_A}{k_B}}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{k_A}{k_B} = \frac{l_A^2}{l_B^2}$।

(C) दिया गया है,दो पतले धात्विक गोलाकार कोशों की त्रिज्याएँ $r_1 = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ और $r_2 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ हैं।
आंतरिक कोश का तापमान $T_1 = 300 \text{ K}$,बाहरी कोश का तापमान $T_2 = 310 \text{ K}$,और ऊष्मा प्रवाह की दर $H = 40 \text{ W}$ है।
स्थिर अवस्था में कोश के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की त्रिज्यीय दर ऊष्मा चालन के फूरियर नियम द्वारा दी जाती है:
$H = \frac{dQ}{dt} = \alpha A \frac{dT}{dr} = \alpha (4 \pi r^2) \frac{dT}{dr}$
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dr}{r^2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} dT$
दोनों पक्षों का $r_1$ से $r_2$ और $T_1$ से $T_2$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} \int_{T_1}^{T_2} dT$
$[-\frac{1}{r}]_{r_1}^{r_2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} (T_2 - T_1)$
$\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{4 \pi \alpha (T_2 - T_1)}{H}$
$\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} = \frac{4 \pi \alpha (T_2 - T_1)}{H}$
$\alpha$ के लिए हल करने पर:
$\alpha = \frac{H(r_2 - r_1)}{4 \pi r_1 r_2 (T_2 - T_1)}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha = \frac{40 \times (0.3 - 0.2)}{4 \pi \times 0.3 \times 0.2 \times (310 - 300)}$
$\alpha = \frac{40 \times 0.1}{4 \pi \times 0.06 \times 10} = \frac{4}{2.4 \pi} = \frac{40}{24 \pi} = \frac{5}{3 \pi}$
अतः,$\alpha$ का मान $\frac{5}{3 \pi} \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$ है।

(A) मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $T \,K$ है। स्थिर अवस्था में, ऊष्मा प्रवाह की दर दोनों छड़ों के माध्यम से समान होती है।
ऊष्मा चालन के सूत्र $\frac{Q}{t} = \frac{kA(T_2 - T_1)}{l}$ का उपयोग करते हुए, हमारे पास है:
$\frac{Q}{t} = \frac{k_{steel} A (500 - T)}{2} = \frac{k_{Al} A (T - 300)}{1}$
चूंकि दोनों छड़ों के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है, इसलिए हम उन्हें काट सकते हैं:
$\frac{50(500 - T)}{2} = \frac{200(T - 300)}{1}$
$25(500 - T) = 200(T - 300)$
$12500 - 25T = 200T - 60000$
$225T = 72500$
$T = \frac{72500}{225} \approx 322.2 \,K$
अतः, जंक्शन का तापमान लगभग $322 \,K$ है।

(D) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 1.0 \,m^2$, मोटाई $l = 3 \,cm = 0.03 \,m$, तापमान का अंतर $\Delta \theta = 30^{\circ} C - 0^{\circ} C = 30^{\circ} C$, ऊष्मीय चालकता $K = 0.03 \,W/mK$, गुप्त ऊष्मा $L = 3.00 \times 10^5 \,J/kg$, समय $t = 24 \times 3600 \,s = 86400 \,s$.
ऊष्मा चालन के सूत्र का उपयोग करते हुए: $Q = \frac{K A \Delta \theta t}{l}$.
चूंकि $Q = m L$, इसलिए $m = \frac{K A \Delta \theta t}{L l}$.
मान रखने पर: $m = \frac{0.03 \times 1.0 \times 30 \times 86400}{3.00 \times 10^5 \times 0.03}$.
$m = \frac{0.9 \times 86400}{9000} = \frac{77760}{9000} = 8.64 \,kg$.

(D) दिया गया है: स्लैब का क्षेत्रफल $(A) = 3600 \, cm^2 = 0.36 \, m^2$.
मोटाई $(d) = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
तापमान का अंतर $(\Delta \theta) = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \, K$.
समय $(t) = 1 \, \text{घंटा } = 3600 \, s$.
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $(m) = 4.8 \, kg$.
गलन की गुप्त ऊष्मा $(L) = 3.36 \times 10^5 \, J/kg$.
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = m \times L = 4.8 \times 3.36 \times 10^5 \, J$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{Q}{t} = \frac{K A \Delta \theta}{d}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर:
$\frac{4.8 \times 3.36 \times 10^5}{3600} = \frac{K \times 0.36 \times 100}{0.1}$.
$\frac{1612800}{3600} = K \times 360$.
$448 = K \times 360$.
$K = \frac{448}{360} \approx 1.24 \, J \, s^{-1} \, m^{-1} \, K^{-1}$.

(A) स्थिर अवस्था में,जंक्शन में आने वाली ऊष्मा धारा,जंक्शन से बाहर जाने वाली ऊष्मा धारा के योग के बराबर होनी चाहिए। मान लीजिए जंक्शन का तापमान $T$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि सभी छड़ों के लिए विमाएं (लंबाई $l$ और क्षेत्रफल $A$) समान हैं,इसलिए जंक्शन पर ऊष्मा धारा का समीकरण होगा:
$H_{in} = H_{out1} + H_{out2}$
$\frac{3KA(100 - T)}{l} = \frac{2KA(T - 50)}{l} + \frac{KA(T - 0)}{l}$
दोनों पक्षों से $\frac{KA}{l}$ को हटाने पर:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + (T - 0)$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$6T = 400$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ} C$

(D) एक बेलनाकार छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{kA \Delta \theta}{\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta \theta$ तापमान का अंतर है,और $\ell$ लंबाई है।
चूंकि पदार्थ समान है,इसलिए $k_A = k_B$ है।
दिया गया है: $\frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} = \frac{2}{3}$,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5}{9}$,और $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{2}$।
सूत्र $\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \frac{2}{12} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{\ell_B}{\ell_A} = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$
अतः,$\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{3}{10}$।

(A) किसी सामग्री के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर इस सूत्र द्वारा दी जाती है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\Delta T)}{x}$,जहाँ $K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ सतह का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है,और $x$ दीवार की मोटाई है।
चूंकि पात्रों का आकार,आकृति और दीवार की मोटाई समान है,इसलिए $A$ और $x$ स्थिर हैं। परिवेश समान है,इसलिए $\Delta T$ भी स्थिर है।
बर्फ के दिए गए द्रव्यमान $m$ के लिए,इसे पिघलाने के लिए आवश्यक कुल ऊष्मा $Q = mL$ है,जहाँ $L$ संलयन की गुप्त ऊष्मा है। इस प्रकार,दोनों पात्रों के लिए $Q$ स्थिर है।
ऊष्मा प्रवाह की दर बर्फ को पिघलाने में लगने वाले समय के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{t}$.
इसलिए,$K \propto \frac{1}{t}$,जिसका अर्थ है $K_P t_1 = K_Q t_2$.
इसे व्यवस्थित करने पर हमें ऊष्मीय चालकता का अनुपात प्राप्त होता है: $\frac{K_P}{K_Q} = \frac{t_2}{t_1}$.

(D) माना $A$ तालाब का पृष्ठीय क्षेत्रफल है और $x$ किसी समय $t$ पर बर्फ की परत की मोटाई है। बर्फ की परत के आर-पार तापमान का अंतर $\Delta T = 0^{\circ} C - (-20^{\circ} C) = 20^{\circ} C$ है।
बर्फ की परत के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर चालन द्वारा दी जाती है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA \Delta T}{x} = \frac{kA(20)}{x}$।
जैसे-जैसे बर्फ की परत समय $dt$ में $dx$ तक मोटी होती है,मुक्त हुई ऊष्मा $dQ = L dm = L(\rho A dx)$ है।
$\frac{dQ}{dt}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\rho A L \frac{dx}{dt} = \frac{20 k A}{x}$
$\int_{0}^{Z} x dx = \int_{0}^{t} \frac{20 k}{\rho L} dt$
$\frac{Z^2}{2} = \frac{20 k}{\rho L} t$
$Z^2 = \frac{40 k}{\rho L} t$।

(B) ऊष्मा चालन की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{x}$
दिया गया है:
ऊष्मा $Q = 1.56 \times 10^5 \ J$
क्षेत्रफल $A = 2 \ m^2$
मोटाई $x = 12 \ cm = 0.12 \ m$
समय $t = 1 \ hour = 3600 \ s$
तापमान का अंतर $\Delta T = 20^{\circ} C$
मान रखने पर:
$\frac{1.56 \times 10^5}{3600} = \frac{K \times 2 \times 20}{0.12}$
$K = \frac{1.56 \times 10^5 \times 0.12}{3600 \times 40}$
$K = \frac{1.56 \times 10^5 \times 12 \times 10^{-2}}{3600 \times 40}$
$K = \frac{1.56 \times 10^3 \times 12}{3600 \times 40} = \frac{1.56 \times 12000}{144000} = \frac{1.56}{12} = 0.13 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$