अ Hindi
Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Hindi
Class 11 Physics · 10-2.Heat Transfer · Heat Conduction and Thermal Conductivity
223+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 223 questions in Hindi
151
MediumMCQ
ऊष्मीय चालकता किस कारक पर निर्भर करती है?
A
पदार्थ का द्रव्यमान
B
पदार्थ का आयतन
C
पदार्थ का प्रकार और तापमान
D
पदार्थ का आकार
Solution
(C) ऊष्मीय चालकता $(k)$ पदार्थ का एक आंतरिक गुण है जो ऊष्मा का संचालन करने की उसकी क्षमता को मापता है।
यह मुख्य रूप से पदार्थ की प्रकृति (परमाणु संरचना,घनत्व और बंधन) और पदार्थ के तापमान पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे तापमान बदलता है,परमाणुओं की कंपन ऊर्जा और मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति (धातुओं में) बदल जाती है,जो ऊष्मा स्थानांतरण की दर को प्रभावित करती है।
इसलिए,ऊष्मीय चालकता पदार्थ के प्रकार और तापमान पर निर्भर करती है।
यह मुख्य रूप से पदार्थ की प्रकृति (परमाणु संरचना,घनत्व और बंधन) और पदार्थ के तापमान पर निर्भर करता है।
जैसे-जैसे तापमान बदलता है,परमाणुओं की कंपन ऊर्जा और मुक्त इलेक्ट्रॉनों की गति (धातुओं में) बदल जाती है,जो ऊष्मा स्थानांतरण की दर को प्रभावित करती है।
इसलिए,ऊष्मीय चालकता पदार्थ के प्रकार और तापमान पर निर्भर करती है।
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Easy
समान तापमान पर एक धातु की छड़ लकड़ी की छड़ की तुलना में अधिक गर्म क्यों दिखाई देती है? समान रूप से,यदि वे दोनों कमरे के तापमान से ठंडे हैं,तो यह लकड़ी की छड़ की तुलना में अधिक ठंडा भी दिखाई देता है।
Solution
(N/A) गर्मी या ठंडक का अनुभव हमारी त्वचा और वस्तु के बीच ऊष्मा स्थानांतरण की दर पर निर्भर करता है।
धातु की ऊष्मीय चालकता लकड़ी की तुलना में काफी अधिक होती है।
जब हम अपने शरीर के तापमान से अधिक तापमान वाली धातु की छड़ को छूते हैं,तो उसकी उच्च ऊष्मीय चालकता के कारण धातु से हमारी उंगलियों में ऊष्मा बहुत तेजी से प्रवाहित होती है,जिससे वह अधिक गर्म महसूस होती है।
इसके विपरीत,जब दोनों वस्तुएं हमारे शरीर के तापमान से कम तापमान पर होती हैं,तो हमारी उंगलियों से धातु में ऊष्मा बहुत तेजी से प्रवाहित होती है,जिससे यह लकड़ी की छड़ की तुलना में अधिक ठंडी महसूस होती है,क्योंकि लकड़ी ऊष्मा का स्थानांतरण बहुत धीमी गति से करती है।
धातु की ऊष्मीय चालकता लकड़ी की तुलना में काफी अधिक होती है।
जब हम अपने शरीर के तापमान से अधिक तापमान वाली धातु की छड़ को छूते हैं,तो उसकी उच्च ऊष्मीय चालकता के कारण धातु से हमारी उंगलियों में ऊष्मा बहुत तेजी से प्रवाहित होती है,जिससे वह अधिक गर्म महसूस होती है।
इसके विपरीत,जब दोनों वस्तुएं हमारे शरीर के तापमान से कम तापमान पर होती हैं,तो हमारी उंगलियों से धातु में ऊष्मा बहुत तेजी से प्रवाहित होती है,जिससे यह लकड़ी की छड़ की तुलना में अधिक ठंडी महसूस होती है,क्योंकि लकड़ी ऊष्मा का स्थानांतरण बहुत धीमी गति से करती है।
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Difficult
आजकल लोग तांबे के तले वाले स्टील के बर्तनों का उपयोग करते हैं। भोजन को समान रूप से गर्म करने के लिए इसे अच्छा माना जाता है। इस प्रभाव को इस तथ्य का उपयोग करके समझाएं कि तांबा ऊष्मा का एक बेहतर सुचालक है।
Solution
तांबा स्टील की तुलना में ऊष्मा का बहुत बेहतर सुचालक है। जब स्टील के बर्तन के तल पर तांबे की परत लगाई जाती है,तो अपनी उच्च ऊष्मीय चालकता के कारण यह ज्वाला से ऊष्मा को बहुत जल्दी अवशोषित कर लेता है।
चूंकि तांबा पूरे आधार पर ऊष्मा को तेजी से फैलाता है,इसलिए यह बर्तन के अंदर के भोजन को समान रूप से गर्म करना सुनिश्चित करता है।
यह हॉट स्पॉट (hot spots) के गठन को रोकता है और भोजन को अधिक कुशलतापूर्वक और जल्दी पकाने में मदद करता है।
चूंकि तांबा पूरे आधार पर ऊष्मा को तेजी से फैलाता है,इसलिए यह बर्तन के अंदर के भोजन को समान रूप से गर्म करना सुनिश्चित करता है।
यह हॉट स्पॉट (hot spots) के गठन को रोकता है और भोजन को अधिक कुशलतापूर्वक और जल्दी पकाने में मदद करता है।
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MediumMCQ
ऊष्मीय चालकता के लिए विमीय सूत्र क्या है? (यहाँ $K$ तापमान को दर्शाता है)
A
$MLT^{-3}K$
B
$MLT^{-2}K$
C
$MLT^{-2}K^{-2}$
D
$MLT^{-3}K^{-1}$
Solution
(D) ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{dQ}{dt} = kA \frac{dT}{dx}$
जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ क्षेत्रफल है,और $\frac{dT}{dx}$ तापमान प्रवणता है।
$k$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $k = \frac{(dQ/dt)}{A(dT/dx)}$
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[dQ/dt] = [ML^2T^{-3}]$ (शक्ति)
$[A] = [L^2]$
$[dT/dx] = [KL^{-1}]$
$[k] = \frac{[ML^2T^{-3}]}{[L^2][KL^{-1}]} = [MLT^{-3}K^{-1}]$
जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ क्षेत्रफल है,और $\frac{dT}{dx}$ तापमान प्रवणता है।
$k$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $k = \frac{(dQ/dt)}{A(dT/dx)}$
विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$[dQ/dt] = [ML^2T^{-3}]$ (शक्ति)
$[A] = [L^2]$
$[dT/dx] = [KL^{-1}]$
$[k] = \frac{[ML^2T^{-3}]}{[L^2][KL^{-1}]} = [MLT^{-3}K^{-1}]$
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DifficultMCQ
समान अनुप्रस्थ काट और लंबाई वाली तीन छड़ें क्रमशः $K_{1}, K_{2}$ और $K_{3}$ ऊष्मीय चालकता वाले तीन अलग-अलग पदार्थों से बनी हैं। उन्हें एक लंबी छड़ बनाने के लिए उनके सिरों पर जोड़ा जाता है। लंबी छड़ का एक सिरा $100^{\circ} C$ पर और दूसरा $0^{\circ} C$ पर रखा जाता है। यदि स्थिर अवस्था में छड़ के जोड़ $70^{\circ} C$ और $20^{\circ} C$ पर हैं और छड़ की सतह से ऊर्जा का कोई ह्रास नहीं होता है,तो $K_{1}, K_{2}$ और $K_{3}$ के बीच सही संबंध क्या है?
A
$K_{1}: K_{3}=2: 3 ; K_{2}: K_{3}=2: 5$
B
$K_{1}< K_{2}< K_{3}$
C
$K_{1}: K_{2}=5: 2 ; K_{1}: K_{3}=3: 5$
D
$K_{1}> K_{2}> K_{3}$
Solution
(A) छड़ें समान हैं,जिसका अर्थ है कि उनकी लंबाई $(\ell)$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A)$ समान है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में सभी छड़ों के लिए ऊष्मा प्रवाह (heat current) समान होता है।
मान लीजिए ऊष्मा प्रवाह $H = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ है।
$H = \frac{K_{1} A (100 - 70)}{\ell} = \frac{K_{2} A (70 - 20)}{\ell} = \frac{K_{3} A (20 - 0)}{\ell}$
समीकरण को सरल करने पर:
$30 K_{1} = 50 K_{2} = 20 K_{3}$
$10$ से भाग देने पर:
$3 K_{1} = 5 K_{2} = 2 K_{3}$
$3 K_{1} = 2 K_{3}$ से,हमें $\frac{K_{1}}{K_{3}} = \frac{2}{3}$ या $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ प्राप्त होता है।
$5 K_{2} = 2 K_{3}$ से,हमें $\frac{K_{2}}{K_{3}} = \frac{2}{5}$ या $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ और $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में सभी छड़ों के लिए ऊष्मा प्रवाह (heat current) समान होता है।
मान लीजिए ऊष्मा प्रवाह $H = \frac{\Delta Q}{\Delta t}$ है।
$H = \frac{K_{1} A (100 - 70)}{\ell} = \frac{K_{2} A (70 - 20)}{\ell} = \frac{K_{3} A (20 - 0)}{\ell}$
समीकरण को सरल करने पर:
$30 K_{1} = 50 K_{2} = 20 K_{3}$
$10$ से भाग देने पर:
$3 K_{1} = 5 K_{2} = 2 K_{3}$
$3 K_{1} = 2 K_{3}$ से,हमें $\frac{K_{1}}{K_{3}} = \frac{2}{3}$ या $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ प्राप्त होता है।
$5 K_{2} = 2 K_{3}$ से,हमें $\frac{K_{2}}{K_{3}} = \frac{2}{5}$ या $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ प्राप्त होता है।
अतः,सही संबंध $K_{1}: K_{3} = 2: 3$ और $K_{2}: K_{3} = 2: 5$ है।
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MediumMCQ
$L$ लंबाई और $A$ समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक छड़ के दो सिरों को $T_{1}$ और $T_{2}$ $(T_{1} > T_{2})$ तापमान पर रखा गया है। स्थिर अवस्था में छड़ से होकर ऊष्मा स्थानांतरण की दर $\frac{dQ}{dt}$ क्या है?
A
$\frac{dQ}{dt} = \frac{k(T_{1} - T_{2})}{LA}$
B
$\frac{dQ}{dt} = kLA(T_{1} - T_{2})$
C
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{1} - T_{2})}{L}$
D
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kL(T_{1} - T_{2})}{A}$
Solution
(C) फूरियर के ऊष्मा चालन के नियम के अनुसार,स्थिर अवस्था में किसी पदार्थ से होकर ऊष्मा स्थानांतरण की दर (ऊष्मा धारा) अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और तापमान के अंतर $\Delta T = (T_{1} - T_{2})$ के समानुपाती होती है,और छड़ की लंबाई $L$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{1} - T_{2})}{L}$
जहाँ $k$ पदार्थ की ऊष्मीय चालकता है।
इसका सूत्र इस प्रकार है:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{1} - T_{2})}{L}$
जहाँ $k$ पदार्थ की ऊष्मीय चालकता है।
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DifficultMCQ
$r_{1}$ और $r_{2}$ $(r_{1} < r_{2})$ त्रिज्या वाले दो पतले धात्विक गोलाकार कोशों को उनके केंद्रों के संपाती होने की स्थिति में रखा गया है। कोशों के बीच के स्थान में $K$ ऊष्मीय चालकता वाला पदार्थ भरा गया है। आंतरिक कोश का तापमान $\theta_{1}$ और बाहरी कोश का तापमान $\theta_{2}$ $(\theta_{1} < \theta_{2})$ बनाए रखा जाता है। पदार्थ के माध्यम से त्रिज्यीय रूप से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर क्या है?
A
$\frac{4 \pi K r_{1} r_{2}(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$
B
$\frac{\pi r_{1} r_{2}(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$
C
$\frac{K(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$
D
$\frac{K(\theta_{2}-\theta_{1})(r_{2}-r_{1})}{4 \pi r_{1} r_{2}}$
Solution
(A) पदार्थ के भीतर $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाले एक पतले गोलाकार कोश पर विचार करें।
इस पतले कोश का ऊष्मीय प्रतिरोध $dR$ इस प्रकार है:
$dR = \frac{dr}{K(4 \pi r^{2})}$
कोशों के बीच कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ ज्ञात करने के लिए,हम $r_{1}$ से $r_{2}$ तक समाकलन करते हैं:
$R = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{dr}{4 \pi K r^{2}} = \frac{1}{4 \pi K} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}$
$R = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)$
ऊष्मा प्रवाह की दर (ऊष्मीय धारा $i$) इस प्रकार है:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{R}$
$R$ का मान रखने पर:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{\frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)} = \frac{4 \pi K r_{1} r_{2}(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$
इस पतले कोश का ऊष्मीय प्रतिरोध $dR$ इस प्रकार है:
$dR = \frac{dr}{K(4 \pi r^{2})}$
कोशों के बीच कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R$ ज्ञात करने के लिए,हम $r_{1}$ से $r_{2}$ तक समाकलन करते हैं:
$R = \int_{r_{1}}^{r_{2}} \frac{dr}{4 \pi K r^{2}} = \frac{1}{4 \pi K} \left[ -\frac{1}{r} \right]_{r_{1}}^{r_{2}}$
$R = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{1}{r_{1}} - \frac{1}{r_{2}} \right) = \frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)$
ऊष्मा प्रवाह की दर (ऊष्मीय धारा $i$) इस प्रकार है:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{R}$
$R$ का मान रखने पर:
$i = \frac{\theta_{2}-\theta_{1}}{\frac{1}{4 \pi K} \left( \frac{r_{2}-r_{1}}{r_{1} r_{2}} \right)} = \frac{4 \pi K r_{1} r_{2}(\theta_{2}-\theta_{1})}{r_{2}-r_{1}}$
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View Solution158
MediumMCQ
समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले दो धात्विक ब्लॉक $M_{1}$ और $M_{2}$ को चित्र में दिखाए अनुसार एक-दूसरे से जोड़ा गया है। यदि $M_{2}$ की ऊष्मीय चालकता $K$ है,तो $M_{1}$ की ऊष्मीय चालकता $xK$ होगी। $x$ का मान ज्ञात कीजिए। [स्थायी अवस्था ऊष्मा चालन मानिए]
A
$10$
B
$8$
C
$12.5$
D
$2$
Solution
(B) स्थायी अवस्था ऊष्मा चालन में,दोनों ब्लॉकों से गुजरने वाली ऊष्मा की दर $H$ समान होती है।
$H = \frac{K_{1} A \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} A \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
दिया है: $\ell_{1} = 16 \text{ cm}$,$\ell_{2} = 8 \text{ cm}$,$K_{2} = K$,$K_{1} = xK$.
$M_{1}$ के सिरों पर तापांतर $\Delta T_{1} = 100^{\circ}C - 80^{\circ}C = 20^{\circ}C$ है।
$M_{2}$ के सिरों पर तापांतर $\Delta T_{2} = 80^{\circ}C - 0^{\circ}C = 80^{\circ}C$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए:
$\frac{K_{1} \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
$\frac{(xK) \times 20}{16} = \frac{K \times 80}{8}$
$x \times \frac{20}{16} = 10$
$x = 10 \times \frac{16}{20} = 8$.
अतः,$M_{1}$ की ऊष्मीय चालकता $8K$ है।
$H = \frac{K_{1} A \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} A \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
दिया है: $\ell_{1} = 16 \text{ cm}$,$\ell_{2} = 8 \text{ cm}$,$K_{2} = K$,$K_{1} = xK$.
$M_{1}$ के सिरों पर तापांतर $\Delta T_{1} = 100^{\circ}C - 80^{\circ}C = 20^{\circ}C$ है।
$M_{2}$ के सिरों पर तापांतर $\Delta T_{2} = 80^{\circ}C - 0^{\circ}C = 80^{\circ}C$ है।
चूंकि क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए:
$\frac{K_{1} \Delta T_{1}}{\ell_{1}} = \frac{K_{2} \Delta T_{2}}{\ell_{2}}$
$\frac{(xK) \times 20}{16} = \frac{K \times 80}{8}$
$x \times \frac{20}{16} = 10$
$x = 10 \times \frac{16}{20} = 8$.
अतः,$M_{1}$ की ऊष्मीय चालकता $8K$ है।
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DifficultMCQ
$60\,cm \times 50\,cm \times 20\,cm$ आयामों वाले बर्फ के एक टुकड़े को $1\,cm$ मोटाई वाले इंसुलेशन बॉक्स में रखा गया है। बर्फ के टुकड़े को $0^{\circ}C$ तापमान पर रखने वाले इस बॉक्स को $40^{\circ}C$ तापमान वाले कमरे में लाया जाता है। बर्फ के पिघलने की दर लगभग कितनी है? (बर्फ के गलन की गुप्त ऊष्मा $3.4 \times 10^{5}\,J\,kg^{-1}$ है और इंसुलेशन दीवार की ऊष्मीय चालकता $0.05\,W\,m^{-1\circ}C^{-1}$ है।)
A
$61 \times 10^{-1}\,kg\,s^{-1}$
B
$61 \times 10^{-5}\,kg\,s^{-1}$
C
$208\,kg\,s^{-1}$
D
$30 \times 10^{-5}\,kg\,s^{-1}$
Solution
(B) ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA\Delta T}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2(0.6 \times 0.5 + 0.5 \times 0.2 + 0.2 \times 0.6) = 2(0.3 + 0.1 + 0.12) = 2(0.52) = 1.04\,m^2$ है।
यहाँ ऊष्मीय चालकता $K = 0.05\,W\,m^{-1\circ}C^{-1}$,मोटाई $\ell = 1\,cm = 0.01\,m$,और तापमान का अंतर $\Delta T = 40^{\circ}C - 0^{\circ}C = 40^{\circ}C$ है।
मान रखने पर:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.05 \times 1.04 \times 40}{0.01} = 0.05 \times 1.04 \times 4000 = 208\,J/s$.
बर्फ के पिघलने की दर $m$ को $\frac{dQ}{dt} = m L_f$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $L_f = 3.4 \times 10^5\,J/kg$ है।
$m = \frac{208}{3.4 \times 10^5} = \frac{208}{3.4} \times 10^{-5} \approx 61.17 \times 10^{-5}\,kg/s$.
अतः,बर्फ के पिघलने की दर लगभग $61 \times 10^{-5}\,kg/s$ है।
बॉक्स का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2(0.6 \times 0.5 + 0.5 \times 0.2 + 0.2 \times 0.6) = 2(0.3 + 0.1 + 0.12) = 2(0.52) = 1.04\,m^2$ है।
यहाँ ऊष्मीय चालकता $K = 0.05\,W\,m^{-1\circ}C^{-1}$,मोटाई $\ell = 1\,cm = 0.01\,m$,और तापमान का अंतर $\Delta T = 40^{\circ}C - 0^{\circ}C = 40^{\circ}C$ है।
मान रखने पर:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{0.05 \times 1.04 \times 40}{0.01} = 0.05 \times 1.04 \times 4000 = 208\,J/s$.
बर्फ के पिघलने की दर $m$ को $\frac{dQ}{dt} = m L_f$ द्वारा ज्ञात किया जाता है,जहाँ $L_f = 3.4 \times 10^5\,J/kg$ है।
$m = \frac{208}{3.4 \times 10^5} = \frac{208}{3.4} \times 10^{-5} \approx 61.17 \times 10^{-5}\,kg/s$.
अतः,बर्फ के पिघलने की दर लगभग $61 \times 10^{-5}\,kg/s$ है।
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MediumMCQ
यदि $K_{1}$ और $K_{2}$ क्रमशः स्टील और तांबे की छड़ों की ऊष्मीय चालकता,$L_{1}$ और $L_{2}$ उनकी लंबाई,और $A_{1}$ और $A_{2}$ उनके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल हैं,ताकि $\frac{K_{2}}{K_{1}}=9$,$\frac{A_{1}}{A_{2}}=2$,और $\frac{L_{1}}{L_{2}}=2$ हो। चित्र में दिखाए गए विन्यास के लिए,स्थिर अवस्था में स्टील-तांबा जंक्शन के तापमान $T$ का मान ........... $^{\circ}C$ होगा।
A
$18$
B
$14$
C
$45$
D
$150$
Solution
(C) स्थिर अवस्था में,स्टील की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर तांबे की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_{1} A_{1} (T_{1} - T)}{L_{1}} = \frac{K_{2} A_{2} (T - T_{2})}{L_{2}}$
दिया गया है: $T_{1} = 450^{\circ}C$,$T_{2} = 0^{\circ}C$,$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 9$,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = 2$,$\frac{L_{1}}{L_{2}} = 2$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{450 - T}{T - 0} = \frac{K_{2}}{K_{1}} \times \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{L_{1}}{L_{2}}$
$\frac{450 - T}{T} = 9 \times \frac{1}{2} \times 2 = 9$
$450 - T = 9T$
$10T = 450$
$T = 45^{\circ}C$
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_{1} A_{1} (T_{1} - T)}{L_{1}} = \frac{K_{2} A_{2} (T - T_{2})}{L_{2}}$
दिया गया है: $T_{1} = 450^{\circ}C$,$T_{2} = 0^{\circ}C$,$\frac{K_{2}}{K_{1}} = 9$,$\frac{A_{1}}{A_{2}} = 2$,$\frac{L_{1}}{L_{2}} = 2$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{450 - T}{T - 0} = \frac{K_{2}}{K_{1}} \times \frac{A_{2}}{A_{1}} \times \frac{L_{1}}{L_{2}}$
$\frac{450 - T}{T} = 9 \times \frac{1}{2} \times 2 = 9$
$450 - T = 9T$
$10T = 450$
$T = 45^{\circ}C$
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AdvancedMCQ
स्थिर अवस्था ऊष्मा चालन में,अंतरिक्ष में ऊष्मा धारा $j(r)$ [प्रति इकाई समय प्रति इकाई क्षेत्रफल में प्रवाहित ऊष्मा] और तापमान $T(r)$ को निर्धारित करने वाले समीकरण बिल्कुल वैसे ही हैं जैसे विद्युत क्षेत्र $E(r)$ और इलेक्ट्रोस्टैटिक विभव $V(r)$ को नियंत्रित करने वाले समीकरण,जो नीचे दी गई तालिका में समानता के साथ दिए गए हैं।
हम इस समानता का उपयोग विभिन्न त्रिज्याओं के गोलों की सतहों से चालन द्वारा प्रवाहित होने वाली कुल ऊष्मा की दर $\dot{Q}$ की भविष्यवाणी करने के लिए करते हैं,जिन्हें समान तापमान पर बनाए रखा जाता है। यदि $\dot{Q} \propto R^{n}$ है,जहाँ $R$ त्रिज्या है,तो $n$ का मान क्या है?
| ऊष्मा प्रवाह | इलेक्ट्रोस्टैटिक्स |
|---|---|
| $T(r)$ | $V(r)$ |
| $j(r)$ | $E(r)$ |
हम इस समानता का उपयोग विभिन्न त्रिज्याओं के गोलों की सतहों से चालन द्वारा प्रवाहित होने वाली कुल ऊष्मा की दर $\dot{Q}$ की भविष्यवाणी करने के लिए करते हैं,जिन्हें समान तापमान पर बनाए रखा जाता है। यदि $\dot{Q} \propto R^{n}$ है,जहाँ $R$ त्रिज्या है,तो $n$ का मान क्या है?
A
$2$
B
$1$
C
$-1$
D
$-2$
Solution
(B) इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में,बिंदु आवेश $q$ से $R$ दूरी पर विद्युत क्षेत्र $E = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q}{R^2}$ द्वारा दिया जाता है।
विभव $V$ विद्युत क्षेत्र से $E = -\frac{dV}{dR}$ द्वारा संबंधित है।
दी गई समानता के अनुसार,ऊष्मा धारा घनत्व $j$ विद्युत क्षेत्र $E$ के समतुल्य है,और तापमान $T$ विभव $V$ के समतुल्य है।
इस प्रकार,स्रोत से $R$ दूरी पर ऊष्मा धारा घनत्व $j$,$\frac{1}{R^2}$ के समानुपाती होता है।
$R$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह से प्रवाहित होने वाली कुल ऊष्मा की दर $\dot{Q}$,ऊष्मा धारा घनत्व $j$ और सतह के क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$\dot{Q} = j \cdot A \propto \left( \frac{1}{R^2} \right) \cdot R^2 = R^0$.
हालाँकि,अनंत के सापेक्ष स्थिर तापमान अंतर पर बनाए रखे गए गोले के लिए,ऊष्मा प्रवाह दर $\dot{Q}$ गोले की धारिता (capacitance) के समानुपाती होती है,जो $R$ के समानुपाती होती है।
विशेष रूप से,$\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{th}}$,जहाँ $R_{th} = \frac{1}{4\pi k R}$ है।
अतः,$\dot{Q} = 4\pi k R \Delta T \propto R^1$.
इसलिए,$n = 1$.
विभव $V$ विद्युत क्षेत्र से $E = -\frac{dV}{dR}$ द्वारा संबंधित है।
दी गई समानता के अनुसार,ऊष्मा धारा घनत्व $j$ विद्युत क्षेत्र $E$ के समतुल्य है,और तापमान $T$ विभव $V$ के समतुल्य है।
इस प्रकार,स्रोत से $R$ दूरी पर ऊष्मा धारा घनत्व $j$,$\frac{1}{R^2}$ के समानुपाती होता है।
$R$ त्रिज्या वाली गोलाकार सतह से प्रवाहित होने वाली कुल ऊष्मा की दर $\dot{Q}$,ऊष्मा धारा घनत्व $j$ और सतह के क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ के गुणनफल द्वारा दी जाती है।
इसलिए,$\dot{Q} = j \cdot A \propto \left( \frac{1}{R^2} \right) \cdot R^2 = R^0$.
हालाँकि,अनंत के सापेक्ष स्थिर तापमान अंतर पर बनाए रखे गए गोले के लिए,ऊष्मा प्रवाह दर $\dot{Q}$ गोले की धारिता (capacitance) के समानुपाती होती है,जो $R$ के समानुपाती होती है।
विशेष रूप से,$\dot{Q} = \frac{\Delta T}{R_{th}}$,जहाँ $R_{th} = \frac{1}{4\pi k R}$ है।
अतः,$\dot{Q} = 4\pi k R \Delta T \propto R^1$.
इसलिए,$n = 1$.
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MediumMCQ
$0.10 \,m$ लंबाई और $50 \,Wm^{-1}K^{-1}$ ऊष्मीय चालकता वाली एक बेलनाकार स्टील की छड़ को $400 \,Wm^{-1}K^{-1}$ ऊष्मीय चालकता और समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली लेकिन $0.20 \,m$ लंबी तांबे की छड़ के साथ सिरे से सिरा जोड़कर वेल्ड किया गया है। स्टील की छड़ का मुक्त सिरा $100^{\circ}C$ पर और तांबे की छड़ का मुक्त सिरा $0^{\circ}C$ पर बनाए रखा जाता है। यह मानते हुए कि छड़ें आसपास के वातावरण से पूरी तरह से अछूता (insulated) हैं,दोनों छड़ों के जंक्शन पर तापमान ................... $^{\circ}C$ है।
A
$20$
B
$30$
C
$40$
D
$50$
Solution
(A) स्थिर अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए कि जंक्शन पर तापमान $T$ है।
$\left(\frac{kA(T_1 - T)}{l}\right)_{\text{steel}} = \left(\frac{kA(T - T_2)}{l}\right)_{\text{copper}}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए यह कट जाएगा:
$\frac{50(100 - T)}{0.1} = \frac{400(T - 0)}{0.2}$
$500(100 - T) = 2000(T)$
$100 - T = 4T$
$5T = 100$
$T = 20^{\circ}C$
मान लीजिए कि जंक्शन पर तापमान $T$ है।
$\left(\frac{kA(T_1 - T)}{l}\right)_{\text{steel}} = \left(\frac{kA(T - T_2)}{l}\right)_{\text{copper}}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए यह कट जाएगा:
$\frac{50(100 - T)}{0.1} = \frac{400(T - 0)}{0.2}$
$500(100 - T) = 2000(T)$
$100 - T = 4T$
$5T = 100$
$T = 20^{\circ}C$
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MediumMCQ
दो छड़ें,एक तांबे की और दूसरी स्टील की,जिनकी लंबाई और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है,एक साथ जुड़ी हुई हैं। तांबे की ऊष्मीय चालकता $385 \, J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$ है और स्टील की $50 \, J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$ है। यदि तांबे का सिरा $100^{\circ} C$ पर और स्टील का सिरा $0^{\circ} C$ पर रखा जाए,तो जंक्शन का तापमान ........... $^{\circ} C$ होगा (यह मानते हुए कि कोई अन्य ऊष्मा हानि नहीं होती है)।
A
$12$
B
$50$
C
$73$
D
$88$
Solution
(D) माना जंक्शन का तापमान $T^{\circ} C$ है।
स्थिर अवस्था में,तांबे की छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर और स्टील की छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर समान होनी चाहिए,यह मानते हुए कि किनारों से कोई ऊष्मा हानि नहीं होती है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ को $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा प्रवाह को बराबर करने पर:
$\frac{K_{\text{copper}} A (100 - T)}{l} = \frac{K_{\text{steel}} A (T - 0)}{l}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए वे कट जाएंगे:
$K_{\text{copper}} (100 - T) = K_{\text{steel}} T$
दिए गए मान $K_{\text{copper}} = 385$ और $K_{\text{steel}} = 50$ रखने पर:
$385(100 - T) = 50T$
$38500 - 385T = 50T$
$38500 = 435T$
$T = \frac{38500}{435} \approx 88.5^{\circ} C$.
निकटतम पूर्णांक में,जंक्शन का तापमान $88^{\circ} C$ है।
स्थिर अवस्था में,तांबे की छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर और स्टील की छड़ से प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर समान होनी चाहिए,यह मानते हुए कि किनारों से कोई ऊष्मा हानि नहीं होती है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ को $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों छड़ों के लिए ऊष्मा प्रवाह को बराबर करने पर:
$\frac{K_{\text{copper}} A (100 - T)}{l} = \frac{K_{\text{steel}} A (T - 0)}{l}$
चूंकि दोनों छड़ों के लिए लंबाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए वे कट जाएंगे:
$K_{\text{copper}} (100 - T) = K_{\text{steel}} T$
दिए गए मान $K_{\text{copper}} = 385$ और $K_{\text{steel}} = 50$ रखने पर:
$385(100 - T) = 50T$
$38500 - 385T = 50T$
$38500 = 435T$
$T = \frac{38500}{435} \approx 88.5^{\circ} C$.
निकटतम पूर्णांक में,जंक्शन का तापमान $88^{\circ} C$ है।
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MediumMCQ
आर्कटिक क्षेत्र में,बर्फ से बने अर्धगोलाकार घरों को इग्लू कहा जाता है। इग्लू के अंदर $20^{\circ} C$ तक का तापमान बनाए रखना संभव है क्योंकि
A
बर्फ की ऊष्मीय चालकता उच्च होती है
B
बर्फ की ऊष्मीय चालकता कम होती है
C
बर्फ की विशिष्ट ऊष्मा उच्च होती है
D
बर्फ का घनत्व पानी से अधिक होता है
Solution
(B) सही उत्तर $(B)$ है।
बर्फ ऊष्मा का कुचालक है,जिसका अर्थ है कि इसकी ऊष्मीय चालकता बहुत कम होती है।
इस कम ऊष्मीय चालकता के कारण,इग्लू की बर्फ की दीवारें एक इन्सुलेटर के रूप में कार्य करती हैं,जो अंदर उत्पन्न गर्मी को बाहर के ठंडे वातावरण में जाने से रोकती हैं और बाहर की ठंड को अंदर आने से रोकती हैं।
यह इग्लू के अंदर के तापमान को $20^{\circ} C$ जैसे आरामदायक स्तर पर बनाए रखना संभव बनाता है,भले ही बाहर का तापमान अत्यंत कम हो।
बर्फ की ऊष्मीय चालकता लगभग $1.6 \, W m^{-1} K^{-1}$ होती है।
बर्फ ऊष्मा का कुचालक है,जिसका अर्थ है कि इसकी ऊष्मीय चालकता बहुत कम होती है।
इस कम ऊष्मीय चालकता के कारण,इग्लू की बर्फ की दीवारें एक इन्सुलेटर के रूप में कार्य करती हैं,जो अंदर उत्पन्न गर्मी को बाहर के ठंडे वातावरण में जाने से रोकती हैं और बाहर की ठंड को अंदर आने से रोकती हैं।
यह इग्लू के अंदर के तापमान को $20^{\circ} C$ जैसे आरामदायक स्तर पर बनाए रखना संभव बनाता है,भले ही बाहर का तापमान अत्यंत कम हो।
बर्फ की ऊष्मीय चालकता लगभग $1.6 \, W m^{-1} K^{-1}$ होती है।
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AdvancedMCQ
$10 \,m$ लंबाई के एक तांबे के पाइप में $110^{\circ} C$ तापमान पर भाप प्रवाहित हो रही है। पाइप की बाहरी सतह का तापमान $10^{\circ} C$ बनाए रखा गया है। पाइप की आंतरिक और बाहरी त्रिज्याएँ क्रमशः $2 \,cm$ और $4 \,cm$ हैं। तांबे की ऊष्मीय चालकता $0.38 \,kW / m /^{\circ} C$ है। स्थिर अवस्था में,पाइप से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर प्रवाहित होने वाली ऊष्मा की दर लगभग ............. $\,kW$ है।
A
$3245$
B
$3445$
C
$3645$
D
$3845$
Solution
(B) ऊष्मा प्रवाह बेलनाकार पाइप से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर होता है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई के एक बेलनाकार कवच के लिए,ऊष्मीय प्रतिरोध $dR_T = \frac{dx}{k(2\pi x \ell)}$ द्वारा दिया जाता है।
आंतरिक त्रिज्या $R_1$ से बाहरी त्रिज्या $R_2$ तक समाकलन करने पर,कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_T$ प्राप्त होता है:
$R_T = \int_{R_1}^{R_2} \frac{dx}{2\pi k \ell x} = \frac{1}{2\pi k \ell} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_T} = \frac{2\pi k \ell (T_1 - T_2)}{\ln(R_2/R_1)}$ है।
दिया गया है: $T_1 = 110^{\circ} C$,$T_2 = 10^{\circ} C$,$\Delta T = 100^{\circ} C$,$k = 0.38 \,kW/m/^{\circ} C$,$\ell = 10 \,m$,$R_1 = 2 \,cm$,$R_2 = 4 \,cm$.
मान रखने पर:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{2 \times 3.14159 \times 0.38 \times 10 \times 100}{\ln(4/2)} = \frac{2387.6}{0.6931} \approx 3444.6 \,kW$.
अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर लगभग $3445 \,kW$ है।
$x$ त्रिज्या और $dx$ मोटाई के एक बेलनाकार कवच के लिए,ऊष्मीय प्रतिरोध $dR_T = \frac{dx}{k(2\pi x \ell)}$ द्वारा दिया जाता है।
आंतरिक त्रिज्या $R_1$ से बाहरी त्रिज्या $R_2$ तक समाकलन करने पर,कुल ऊष्मीय प्रतिरोध $R_T$ प्राप्त होता है:
$R_T = \int_{R_1}^{R_2} \frac{dx}{2\pi k \ell x} = \frac{1}{2\pi k \ell} \ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)$.
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{\Delta T}{R_T} = \frac{2\pi k \ell (T_1 - T_2)}{\ln(R_2/R_1)}$ है।
दिया गया है: $T_1 = 110^{\circ} C$,$T_2 = 10^{\circ} C$,$\Delta T = 100^{\circ} C$,$k = 0.38 \,kW/m/^{\circ} C$,$\ell = 10 \,m$,$R_1 = 2 \,cm$,$R_2 = 4 \,cm$.
मान रखने पर:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{2 \times 3.14159 \times 0.38 \times 10 \times 100}{\ln(4/2)} = \frac{2387.6}{0.6931} \approx 3444.6 \,kW$.
अतः,ऊष्मा प्रवाह की दर लगभग $3445 \,kW$ है।
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EasyMCQ
लोहे और पीतल की समान मोटाई से बनी एक आयताकार स्लैब की बाहरी सतहों को क्रमशः $100^{\circ} C$ और $0^{\circ} C$ पर रखा गया है। इंटरफ़ेस पर तापमान ........... $^{\circ} C$ है। (लोहे और पीतल की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $0.2$ और $0.3$ है।)
A
$100$
B
$40$
C
$50$
D
$70$
Solution
(B) स्थिर अवस्था में,लोहे के स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा की दर और पीतल के स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस पर तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ है।
चूंकि मोटाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ दोनों स्लैब के लिए समान हैं,इसलिए:
$K_{\text{iron}} \cdot A \cdot \frac{(100 - T)}{l} = K_{\text{brass}} \cdot A \cdot \frac{(T - 0)}{l}$
दिए गए मान $K_{\text{iron}} = 0.2$ और $K_{\text{brass}} = 0.3$ रखने पर:
$0.2(100 - T) = 0.3(T - 0)$
$20 - 0.2T = 0.3T$
$20 = 0.5T$
$T = \frac{20}{0.5} = 40^{\circ} C$
अतः,इंटरफ़ेस पर तापमान $40^{\circ} C$ है।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस पर तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ है।
चूंकि मोटाई $l$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ दोनों स्लैब के लिए समान हैं,इसलिए:
$K_{\text{iron}} \cdot A \cdot \frac{(100 - T)}{l} = K_{\text{brass}} \cdot A \cdot \frac{(T - 0)}{l}$
दिए गए मान $K_{\text{iron}} = 0.2$ और $K_{\text{brass}} = 0.3$ रखने पर:
$0.2(100 - T) = 0.3(T - 0)$
$20 - 0.2T = 0.3T$
$20 = 0.5T$
$T = \frac{20}{0.5} = 40^{\circ} C$
अतः,इंटरफ़ेस पर तापमान $40^{\circ} C$ है।
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MediumMCQ
खाना पकाने के बर्तन के लिए निम्नलिखित में से कौन से पदार्थ के गुण सबसे उपयुक्त हैं?
A
कम चालकता और कम विशिष्ट ऊष्मा
B
उच्च चालकता और कम विशिष्ट ऊष्मा
C
कम चालकता और उच्च विशिष्ट ऊष्मा
D
उच्च चालकता और उच्च विशिष्ट ऊष्मा
Solution
(B) सही उत्तर $B$ है।
खाना पकाने के बर्तन के लिए,हमें उच्च तापीय चालकता की आवश्यकता होती है ताकि ऊष्मा स्रोत से भोजन तक जल्दी स्थानांतरित हो सके।
इसके अतिरिक्त,हमें कम विशिष्ट ऊष्मा धारिता की आवश्यकता होती है ताकि बर्तन स्वयं आवश्यक तापमान तक पहुँचने के लिए अधिक ऊष्मा ऊर्जा को अवशोषित न करे,जिससे भोजन पकाने के लिए अधिक ऊर्जा का उपयोग किया जा सके।
खाना पकाने के बर्तन के लिए,हमें उच्च तापीय चालकता की आवश्यकता होती है ताकि ऊष्मा स्रोत से भोजन तक जल्दी स्थानांतरित हो सके।
इसके अतिरिक्त,हमें कम विशिष्ट ऊष्मा धारिता की आवश्यकता होती है ताकि बर्तन स्वयं आवश्यक तापमान तक पहुँचने के लिए अधिक ऊष्मा ऊर्जा को अवशोषित न करे,जिससे भोजन पकाने के लिए अधिक ऊर्जा का उपयोग किया जा सके।
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EasyMCQ
निम्नलिखित में से कौन से कारक एक छड़ की ऊष्मीय चालकता को प्रभावित करते हैं?
A
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल
B
छड़ की लंबाई
C
छड़ का पदार्थ
D
ये सभी
Solution
(C) किसी पदार्थ की ऊष्मीय चालकता $(k)$ उस पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है,जैसे कि उसकी परमाणु संरचना और इलेक्ट्रॉनिक विन्यास।
यह छड़ के ज्यामितीय आयामों,जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से,केवल छड़ का पदार्थ ही उसकी ऊष्मीय चालकता को प्रभावित करता है।
यह पदार्थ की प्रकृति पर निर्भर करता है,जैसे कि उसकी परमाणु संरचना और इलेक्ट्रॉनिक विन्यास।
यह छड़ के ज्यामितीय आयामों,जैसे कि उसकी लंबाई $(L)$ या उसके अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $(A)$ पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,दिए गए विकल्पों में से,केवल छड़ का पदार्थ ही उसकी ऊष्मीय चालकता को प्रभावित करता है।
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MediumMCQ
दो छड़ें,एक तांबे की और दूसरी स्टील की,समान लंबाई और समान अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल की,एक साथ जुड़ी हुई हैं। तांबे और स्टील की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $385 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ और $50 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ है। तांबे और स्टील के मुक्त सिरों को क्रमशः $100^{\circ} \, C$ और $0^{\circ} \, C$ पर रखा गया है। जंक्शन पर तापमान लगभग $.......^{\circ} \, C$ है।
A
$12$
B
$50$
C
$73$
D
$88.5$
Solution
(D) स्थायी अवस्था में,दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
मान लीजिए जंक्शन पर तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए ऊष्मा धारा $H$ दोनों के लिए समान है।
$H_{Cu} = H_{Steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{\ell} = \frac{K_{Steel} A (\theta - 0)}{\ell}$
यहाँ $K_{Cu} = 385 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ और $K_{Steel} = 50 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ दिया गया है।
$385(100 - \theta) = 50(\theta - 0)$
$5$ से विभाजित करने पर:
$77(100 - \theta) = 10\theta$
$7700 - 77\theta = 10\theta$
$87\theta = 7700$
$\theta = \frac{7700}{87} \approx 88.5^{\circ} \, C$.
मान लीजिए जंक्शन पर तापमान $\theta$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{\ell}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए ऊष्मा धारा $H$ दोनों के लिए समान है।
$H_{Cu} = H_{Steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{\ell} = \frac{K_{Steel} A (\theta - 0)}{\ell}$
यहाँ $K_{Cu} = 385 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ और $K_{Steel} = 50 \, W \, m^{-1} \, K^{-1}$ दिया गया है।
$385(100 - \theta) = 50(\theta - 0)$
$5$ से विभाजित करने पर:
$77(100 - \theta) = 10\theta$
$7700 - 77\theta = 10\theta$
$87\theta = 7700$
$\theta = \frac{7700}{87} \approx 88.5^{\circ} \, C$.
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MediumMCQ
दो प्लेटों $A$ और $B$ की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $84 \, W m^{-1} K^{-1}$ और $126 \, W m^{-1} K^{-1}$ है। उनका पृष्ठीय क्षेत्रफल और मोटाई समान है। उन्हें उनकी सतहों के साथ संपर्क में रखा गया है। यदि $A$ और $B$ की बाहरी सतहों का तापमान क्रमशः $100^{\circ} C$ और $0^{\circ} C$ रखा जाता है,तो स्थिर अवस्था में संपर्क सतह का तापमान $.......... \, ^{\circ} C$ होगा।
A
$20$
B
$40$
C
$60$
D
$80$
Solution
(B) स्थिर अवस्था में,प्लेट $A$ से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर प्लेट $B$ से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
मान लीजिए कि संपर्क सतह का तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ को $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों प्लेटों के लिए क्षेत्रफल $A$ और मोटाई $L$ समान है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$H_A = H_B$
$\frac{K_A A(100 - T)}{L} = \frac{K_B A(T - 0)}{L}$
$K_A(100 - T) = K_B(T)$
दिए गए मान $K_A = 84 \, W m^{-1} K^{-1}$ और $K_B = 126 \, W m^{-1} K^{-1}$ रखने पर:
$84(100 - T) = 126T$
दोनों पक्षों को $42$ से विभाजित करने पर:
$2(100 - T) = 3T$
$200 - 2T = 3T$
$5T = 200$
$T = 40^{\circ} C$
मान लीजिए कि संपर्क सतह का तापमान $T$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ को $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों प्लेटों के लिए क्षेत्रफल $A$ और मोटाई $L$ समान है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$H_A = H_B$
$\frac{K_A A(100 - T)}{L} = \frac{K_B A(T - 0)}{L}$
$K_A(100 - T) = K_B(T)$
दिए गए मान $K_A = 84 \, W m^{-1} K^{-1}$ और $K_B = 126 \, W m^{-1} K^{-1}$ रखने पर:
$84(100 - T) = 126T$
दोनों पक्षों को $42$ से विभाजित करने पर:
$2(100 - T) = 3T$
$200 - 2T = 3T$
$5T = 200$
$T = 40^{\circ} C$
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MediumMCQ
दो पतले तारों $PQ$ और $RS$ के सिरों $Q$ और $R$ को एक साथ जोड़ा गया है। प्रारंभ में,प्रत्येक तार की लंबाई $10^{\circ} C$ पर $1 \,m$ है। अब,सिरे $P$ को $10^{\circ} C$ पर रखा जाता है,जबकि सिरे $S$ को गर्म करके $400^{\circ} C$ पर बनाए रखा जाता है। यह प्रणाली अपने परिवेश से ऊष्मीय रूप से पृथक (insulated) है। यदि तार $PQ$ की ऊष्मीय चालकता तार $RS$ की तुलना में दोगुनी है और $PQ$ का रेखीय ऊष्मीय प्रसार गुणांक $1.2 \times 10^{-5} \,K^{-1}$ है,तो तार $PQ$ की लंबाई में परिवर्तन क्या होगा ($\,mm$ में)?
A
$0.78$
B
$0.90$
C
$1.56$
D
$2.34$
Solution
(A) मान लीजिए कि जंक्शन का तापमान $T$ है।
चूंकि प्रणाली स्थिर अवस्था में है और ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए $PQ$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $RS$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होगी।
$\frac{d Q}{d t} = \frac{K_{PQ} A (T - 10)}{L} = \frac{K_{RS} A (400 - T)}{L}$
दिया गया है $K_{PQ} = 2 K_{RS}$,इसलिए:
$2(T - 10) = 400 - T$
$2T - 20 = 400 - T$
$3T = 420 \Rightarrow T = 140^{\circ} C$
तार $PQ$ के लिए,तापमान प्रवणता $\frac{dT}{dx} = \frac{140 - 10}{1} = 130^{\circ} C/m$ है।
$P$ से $x$ दूरी पर तापमान $T(x) = 10 + 130x$ है।
$dx$ लंबाई के एक तत्व में लंबाई का परिवर्तन $dy = \alpha (T(x) - 10) dx = \alpha (130x) dx$ है।
$x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_0^1 \alpha (130x) dx = 130 \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 65 \alpha$
$\Delta L = 65 \times 1.2 \times 10^{-5} = 78 \times 10^{-5} m = 0.78 \times 10^{-3} m = 0.78 \,mm$.
चूंकि प्रणाली स्थिर अवस्था में है और ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए $PQ$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $RS$ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होगी।
$\frac{d Q}{d t} = \frac{K_{PQ} A (T - 10)}{L} = \frac{K_{RS} A (400 - T)}{L}$
दिया गया है $K_{PQ} = 2 K_{RS}$,इसलिए:
$2(T - 10) = 400 - T$
$2T - 20 = 400 - T$
$3T = 420 \Rightarrow T = 140^{\circ} C$
तार $PQ$ के लिए,तापमान प्रवणता $\frac{dT}{dx} = \frac{140 - 10}{1} = 130^{\circ} C/m$ है।
$P$ से $x$ दूरी पर तापमान $T(x) = 10 + 130x$ है।
$dx$ लंबाई के एक तत्व में लंबाई का परिवर्तन $dy = \alpha (T(x) - 10) dx = \alpha (130x) dx$ है।
$x = 0$ से $x = 1$ तक समाकलन करने पर:
$\Delta L = \int_0^1 \alpha (130x) dx = 130 \alpha \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 65 \alpha$
$\Delta L = 65 \times 1.2 \times 10^{-5} = 78 \times 10^{-5} m = 0.78 \times 10^{-3} m = 0.78 \,mm$.
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MediumMCQ
समान लंबाई लेकिन अलग-अलग त्रिज्या वाले दो चालक बेलनों को चित्र में दिखाए अनुसार $T_1=300 \ K$ और $T_2=100 \ K$ तापमान पर रखे गए दो ऊष्मा बाथ के बीच श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। बड़े बेलन की त्रिज्या छोटे बेलन की त्रिज्या से दोगुनी है और छोटे तथा बड़े बेलन के पदार्थों की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $K_1$ और $K_2$ है। यदि स्थिर अवस्था में दोनों बेलनों के जंक्शन पर तापमान $200 \ K$ है,तो $K_1 / K_2 = . . . . . .$
A
$4$
B
$8$
C
$9$
D
$10$
Solution
(A) स्थिर अवस्था में,दोनों बेलनों से होकर ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए छोटे बेलन की त्रिज्या $r_1$ है और बड़े बेलन की त्रिज्या $r_2$ है।
दिया गया है $r_2 = 2 r_1$,अतः अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2$ और $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2 r_1)^2 = 4 \pi r_1^2 = 4 A_1$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{K A \Delta T}{L}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A_1 (300 - 200)}{L} = \frac{K_1 A_1 (100)}{L}$।
दूसरे बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_2 A_2 (200 - 100)}{L} = \frac{K_2 (4 A_1) (100)}{L}$।
ऊष्मा प्रवाह की दोनों दरों को बराबर करने पर:
$\frac{K_1 A_1 (100)}{L} = \frac{K_2 (4 A_1) (100)}{L}$।
$K_1 = 4 K_2$।
अतः,$\frac{K_1}{K_2} = 4$।
मान लीजिए छोटे बेलन की त्रिज्या $r_1$ है और बड़े बेलन की त्रिज्या $r_2$ है।
दिया गया है $r_2 = 2 r_1$,अतः अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2$ और $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2 r_1)^2 = 4 \pi r_1^2 = 4 A_1$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{K A \Delta T}{L}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A_1 (300 - 200)}{L} = \frac{K_1 A_1 (100)}{L}$।
दूसरे बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_2 A_2 (200 - 100)}{L} = \frac{K_2 (4 A_1) (100)}{L}$।
ऊष्मा प्रवाह की दोनों दरों को बराबर करने पर:
$\frac{K_1 A_1 (100)}{L} = \frac{K_2 (4 A_1) (100)}{L}$।
$K_1 = 4 K_2$।
अतः,$\frac{K_1}{K_2} = 4$।
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DifficultMCQ
$10x$ लंबाई की एक धातु की छड़ $AB$ का एक सिरा $A$,$0^{\circ}C$ पर बर्फ में है और दूसरा सिरा $B$,$100^{\circ}C$ पर पानी में है। यदि छड़ पर एक बिंदु $P$ को $400^{\circ}C$ पर बनाए रखा जाता है,तो यह पाया जाता है कि प्रति इकाई समय में समान मात्रा में पानी का वाष्पीकरण होता है और बर्फ पिघलती है। पानी के वाष्पीकरण की गुप्त ऊष्मा $540 \ cal/g$ है और बर्फ के पिघलने की गुप्त ऊष्मा $80 \ cal/g$ है। यदि बिंदु $P$,बर्फ वाले सिरे $A$ से $\lambda x$ की दूरी पर है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए। (परिवेश में होने वाली ऊष्मा की हानि को नगण्य मानें।)
A
$4$
B
$9$
C
$5$
D
$2$
Solution
(B) माना कि प्रति इकाई समय में पिघलने वाली बर्फ का द्रव्यमान और वाष्पित होने वाले पानी का द्रव्यमान $m$ है।
$A$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_1 = m \times L_f = m \times 80$ है।
$B$ पर पानी को वाष्पित करने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_2 = m \times L_v = m \times 540$ है।
ऊष्मा चालन के सूत्र $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ का उपयोग करते हुए:
खंड $AP$ के लिए: $H_1 = \frac{KA(400 - 0)}{\lambda x} = 80m \quad \dots(1)$
खंड $PB$ के लिए: $H_2 = \frac{KA(400 - 100)}{(10 - \lambda)x} = 540m \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{80m}{540m} = \frac{KA(400) / \lambda x}{KA(300) / (10 - \lambda)x}$
$\frac{8}{54} = \frac{400}{300} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{4}{27} = \frac{4}{3} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{1}{9} = \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\lambda = 90 - 9\lambda$
$10\lambda = 90$
$\lambda = 9$.
$A$ पर बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_1 = m \times L_f = m \times 80$ है।
$B$ पर पानी को वाष्पित करने के लिए आवश्यक ऊष्मा प्रवाह दर $H_2 = m \times L_v = m \times 540$ है।
ऊष्मा चालन के सूत्र $H = \frac{KA \Delta T}{L}$ का उपयोग करते हुए:
खंड $AP$ के लिए: $H_1 = \frac{KA(400 - 0)}{\lambda x} = 80m \quad \dots(1)$
खंड $PB$ के लिए: $H_2 = \frac{KA(400 - 100)}{(10 - \lambda)x} = 540m \quad \dots(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{80m}{540m} = \frac{KA(400) / \lambda x}{KA(300) / (10 - \lambda)x}$
$\frac{8}{54} = \frac{400}{300} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{4}{27} = \frac{4}{3} \times \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\frac{1}{9} = \frac{10 - \lambda}{\lambda}$
$\lambda = 90 - 9\lambda$
$10\lambda = 90$
$\lambda = 9$.
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AdvancedMCQ
समान लंबाई लेकिन अलग-अलग त्रिज्या वाले दो चालक बेलनों को $T_1 = 300 \ K$ और $T_2 = 100 \ K$ तापमान पर रखे गए दो ऊष्मा बाथ के बीच श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बड़े बेलन की त्रिज्या छोटे बेलन की त्रिज्या से दोगुनी है और छोटे तथा बड़े बेलन के पदार्थों की ऊष्मीय चालकता क्रमशः $K_1$ और $K_2$ है। यदि स्थिर अवस्था में दोनों बेलनों के जंक्शन पर तापमान $200 \ K$ है,तो $K_1 / K_2 = \dots$
A
$5$
B
$7$
C
$4$
D
$8$
Solution
(C) स्थिर अवस्था में,दोनों बेलनों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है।
मान लीजिए कि छोटे बेलन की त्रिज्या $r_1$ है और बड़े बेलन की त्रिज्या $r_2$ है।
दिया गया है कि $r_2 = 2r_1$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2$ और $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{L}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A_1 (300 - 200)}{L} = \frac{K_1 A_1 (100)}{L}$।
दूसरे बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_2 A_2 (200 - 100)}{L} = \frac{K_2 (4A_1) (100)}{L}$।
ऊष्मा प्रवाह की दरों को बराबर करने पर:
$\frac{K_1 A_1 (100)}{L} = \frac{K_2 (4A_1) (100)}{L}$।
$K_1 = 4K_2$।
अतः,$K_1 / K_2 = 4$।
मान लीजिए कि छोटे बेलन की त्रिज्या $r_1$ है और बड़े बेलन की त्रिज्या $r_2$ है।
दिया गया है कि $r_2 = 2r_1$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_1 = \pi r_1^2$ और $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_{high} - T_{low})}{L}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
पहले बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A_1 (300 - 200)}{L} = \frac{K_1 A_1 (100)}{L}$।
दूसरे बेलन के लिए: $\frac{dQ}{dt} = \frac{K_2 A_2 (200 - 100)}{L} = \frac{K_2 (4A_1) (100)}{L}$।
ऊष्मा प्रवाह की दरों को बराबर करने पर:
$\frac{K_1 A_1 (100)}{L} = \frac{K_2 (4A_1) (100)}{L}$।
$K_1 = 4K_2$।
अतः,$K_1 / K_2 = 4$।
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View Solution175
DifficultMCQ
तीन समान ऊष्मा चालक छड़ों को चित्र में दिखाए अनुसार श्रेणीक्रम में जोड़ा गया है। किनारों वाली छड़ों की ऊष्मीय चालकता $2K$ है जबकि बीच वाली छड़ की ऊष्मीय चालकता $K$ है। संयोजन का बायां सिरा $3T$ तापमान पर और दायां सिरा $T$ तापमान पर रखा गया है। छड़ें बाहर से ऊष्मीय रूप से अछूता (insulated) हैं। स्थिर अवस्था में,बाएं जंक्शन पर तापमान $T_1$ है और दाएं जंक्शन पर तापमान $T_2$ है। अनुपात $T_1 / T_2$ है
A
$3/2$
B
$4/3$
C
$5/3$
D
$5/4$
Solution
(C) स्थिर अवस्था में,प्रत्येक छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होती है:
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_1 = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_3$
ऊष्मा चालन के सूत्र $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_H - T_L)}{L}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2KA(3T - T_1)}{L} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L} = \frac{2KA(T_2 - T)}{L}$
$KA/L$ से विभाजित करने पर:
$2(3T - T_1) = (T_1 - T_2) = 2(T_2 - T)$
पहली समानता से:
$6T - 2T_1 = T_1 - T_2 \Rightarrow 3T_1 - T_2 = 6T$ --- $(1)$
दूसरी समानता से:
$T_1 - T_2 = 2T_2 - 2T \Rightarrow T_1 - 3T_2 = -2T$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3T_1 - 9T_2 = -6T$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ में से $(3)$ घटाने पर:
$(3T_1 - T_2) - (3T_1 - 9T_2) = 6T - (-6T)$
$8T_2 = 12T \Rightarrow T_2 = 1.5T$
$T_2$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$T_1 - 3(1.5T) = -2T \Rightarrow T_1 - 4.5T = -2T \Rightarrow T_1 = 2.5T$
अतः,अनुपात $T_1 / T_2 = 2.5T / 1.5T = 5/3$ है।
$\left(\frac{dQ}{dt}\right)_1 = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_2 = \left(\frac{dQ}{dt}\right)_3$
ऊष्मा चालन के सूत्र $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T_H - T_L)}{L}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{2KA(3T - T_1)}{L} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L} = \frac{2KA(T_2 - T)}{L}$
$KA/L$ से विभाजित करने पर:
$2(3T - T_1) = (T_1 - T_2) = 2(T_2 - T)$
पहली समानता से:
$6T - 2T_1 = T_1 - T_2 \Rightarrow 3T_1 - T_2 = 6T$ --- $(1)$
दूसरी समानता से:
$T_1 - T_2 = 2T_2 - 2T \Rightarrow T_1 - 3T_2 = -2T$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3T_1 - 9T_2 = -6T$ --- $(3)$
समीकरण $(1)$ में से $(3)$ घटाने पर:
$(3T_1 - T_2) - (3T_1 - 9T_2) = 6T - (-6T)$
$8T_2 = 12T \Rightarrow T_2 = 1.5T$
$T_2$ का मान समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$T_1 - 3(1.5T) = -2T \Rightarrow T_1 - 4.5T = -2T \Rightarrow T_1 = 2.5T$
अतः,अनुपात $T_1 / T_2 = 2.5T / 1.5T = 5/3$ है।
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View Solution176
DifficultMCQ
एक छड़ की ऊष्मीय चालकता $2$ है। इसकी ऊष्मीय प्रतिरोधकता क्या है?
A
$0.5$
B
$1$
C
$0.25$
D
$2$
Solution
(A) मुख्य विचार: ऊष्मीय प्रतिरोधकता,ऊष्मीय चालकता का व्युत्क्रम होती है।
ऊष्मीय प्रतिरोधकता = $\frac{1}{\text{ऊष्मीय चालकता}}$
ऊष्मीय प्रतिरोधकता = $\frac{1}{2} = 0.5$
ऊष्मीय प्रतिरोधकता = $\frac{1}{\text{ऊष्मीय चालकता}}$
ऊष्मीय प्रतिरोधकता = $\frac{1}{2} = 0.5$
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View Solution177
EasyMCQ
$x$ लंबाई और $A$ समान अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक छड़ के दो सिरों को क्रमशः $T_1$ और $T_2$ तापमान पर रखा गया है $(T_1 > T_2)$। यदि स्थिर अवस्था में छड़ के माध्यम से ऊष्मा स्थानांतरण की दर $Q/t$ है,तो ऊष्मीय चालकता गुणांक $K$ क्या होगा?
A
$\frac{AQ}{tx(T_1-T_2)}$
B
$\frac{xQ}{tA(T_1-T_2)}$
C
$\frac{xAQ}{t(T_1-T_2)}$
D
$\frac{Q}{txA(T_1-T_2)}$
Solution
(B) चालन द्वारा एक छड़ के माध्यम से ऊष्मा स्थानांतरण की दर $H$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$H = \frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{x}$
जहाँ:
$Q/t$ ऊष्मा स्थानांतरण की दर है,
$K$ ऊष्मीय चालकता गुणांक है,
$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,
$x$ छड़ की लंबाई है,
$(T_1 - T_2)$ तापमान का अंतर है।
$K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{(Q/t) \cdot x}{A(T_1 - T_2)}$
$K = \frac{xQ}{tA(T_1 - T_2)}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।
$H = \frac{Q}{t} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{x}$
जहाँ:
$Q/t$ ऊष्मा स्थानांतरण की दर है,
$K$ ऊष्मीय चालकता गुणांक है,
$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,
$x$ छड़ की लंबाई है,
$(T_1 - T_2)$ तापमान का अंतर है।
$K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$K = \frac{(Q/t) \cdot x}{A(T_1 - T_2)}$
$K = \frac{xQ}{tA(T_1 - T_2)}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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EasyMCQ
एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा के प्रवाह की दर $H_1$ है। छड़ के सिरों का तापमान $T_1$ और $T_2$ है। यदि छड़ के सभी आयाम दोगुने हो जाएं और तापमान का अंतर समान रहे,तो ऊष्मा के प्रवाह की दर $H_2$ हो जाती है। तब:
A
$H_2 = 4H_1$
B
$H_2 = 2H_1$
C
$H_2 = \frac{H_1}{2}$
D
$H_2 = \frac{H_1}{4}$
Solution
(B) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ का सूत्र $H = \frac{kA(T_2 - T_1)}{l}$ है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $l$ छड़ की लंबाई है।
प्रारंभिक छड़ के लिए,$H_1 = \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1}$ है।
जब सभी आयाम दोगुने कर दिए जाते हैं,तो नई लंबाई $l_2 = 2l_1$ और नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ हो जाती है।
नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ होगा।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $H_2 = \frac{kA_2(T_2 - T_1)}{l_2}$ है।
$A_2$ और $l_2$ के मान रखने पर:
$H_2 = \frac{k(4A_1)(T_2 - T_1)}{2l_1} = 2 \left[ \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1} \right] = 2H_1$।
प्रारंभिक छड़ के लिए,$H_1 = \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1}$ है।
जब सभी आयाम दोगुने कर दिए जाते हैं,तो नई लंबाई $l_2 = 2l_1$ और नई त्रिज्या $r_2 = 2r_1$ हो जाती है।
नया अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_2 = \pi r_2^2 = \pi (2r_1)^2 = 4\pi r_1^2 = 4A_1$ होगा।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $H_2 = \frac{kA_2(T_2 - T_1)}{l_2}$ है।
$A_2$ और $l_2$ के मान रखने पर:
$H_2 = \frac{k(4A_1)(T_2 - T_1)}{2l_1} = 2 \left[ \frac{kA_1(T_2 - T_1)}{l_1} \right] = 2H_1$।
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MediumMCQ
एक बेलनाकार धात्विक छड़ अपने दोनों सिरों पर दो ऊष्मा भंडारों के साथ तापीय संपर्क में है और '$t$' समय में '$Q_1$' ऊष्मा का चालन करती है। धात्विक छड़ को पिघलाया जाता है और सामग्री से मूल छड़ की लंबाई से चार गुना लंबाई की एक नई छड़ बनाई जाती है। जब नई छड़ को उन्हीं दो भंडारों के साथ '$t$' समय के लिए तापीय संपर्क में रखा जाता है,तो चालित ऊष्मा '$Q_2$' है। तब $\frac{Q_1}{Q_2}$ का मान ज्ञात कीजिए।
A
$16$
B
$\frac{1}{16}$
C
$\frac{1}{4}$
D
$4$
Solution
(A) ऊष्मा चालन की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{k A (T_1 - T_2)}{l}$.
चूंकि पिघलाने और नया आकार देने के दौरान सामग्री का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $A_1 l_1 = A_2 l_2$ होगा।
दिया गया है कि नई लंबाई $l_2 = 4 l_1$ है,इसे आयतन समीकरण में रखने पर: $A_1 l_1 = A_2 (4 l_1)$,जिससे $A_2 = \frac{A_1}{4}$ प्राप्त होता है।
नई छड़ के लिए,'$t$' समय में चालित ऊष्मा $Q_2 = \frac{k A_2 (T_1 - T_2) t}{l_2}$ है।
$A_2 = \frac{A_1}{4}$ और $l_2 = 4 l_1$ को $Q_2$ के समीकरण में रखने पर:
$Q_2 = \frac{k (A_1 / 4) (T_1 - T_2) t}{4 l_1} = \frac{1}{16} \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$.
चूंकि $Q_1 = \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$,इसलिए हमें $Q_2 = \frac{1}{16} Q_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{Q_1}{Q_2} = 16$ होगा।
चूंकि पिघलाने और नया आकार देने के दौरान सामग्री का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए $A_1 l_1 = A_2 l_2$ होगा।
दिया गया है कि नई लंबाई $l_2 = 4 l_1$ है,इसे आयतन समीकरण में रखने पर: $A_1 l_1 = A_2 (4 l_1)$,जिससे $A_2 = \frac{A_1}{4}$ प्राप्त होता है।
नई छड़ के लिए,'$t$' समय में चालित ऊष्मा $Q_2 = \frac{k A_2 (T_1 - T_2) t}{l_2}$ है।
$A_2 = \frac{A_1}{4}$ और $l_2 = 4 l_1$ को $Q_2$ के समीकरण में रखने पर:
$Q_2 = \frac{k (A_1 / 4) (T_1 - T_2) t}{4 l_1} = \frac{1}{16} \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$.
चूंकि $Q_1 = \frac{k A_1 (T_1 - T_2) t}{l_1}$,इसलिए हमें $Q_2 = \frac{1}{16} Q_1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{Q_1}{Q_2} = 16$ होगा।
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View Solution180
EasyMCQ
एक छड़ के ऊष्मीय चालकता गुणांक का मान निर्भर करता है इसके
A
अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल पर।
B
छड़ के पदार्थ पर।
C
लंबाई पर।
D
द्रव्यमान पर।
Solution
(B) ऊष्मीय चालकता गुणांक $(K)$ छड़ के पदार्थ का एक आंतरिक गुण है।
यह किसी पदार्थ की ऊष्मा का चालन करने की क्षमता को दर्शाता है।
यह छड़ के भौतिक आयामों जैसे अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,लंबाई या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यह केवल छड़ के पदार्थ पर निर्भर करता है।
यह किसी पदार्थ की ऊष्मा का चालन करने की क्षमता को दर्शाता है।
यह छड़ के भौतिक आयामों जैसे अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,लंबाई या द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करता है।
इसलिए,यह केवल छड़ के पदार्थ पर निर्भर करता है।
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View Solution181
MediumMCQ
दो धातु की छड़ें $P$ और $Q$ समान लंबाई की हैं और उनके सिरों के बीच तापमान का अंतर भी समान है। उनकी ऊष्मीय चालकता क्रमशः $K_1$ और $K_2$ है,और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल क्रमशः $A_1$ और $A_2$ है। यदि छड़ $Q$ से ऊष्मा प्रवाह की दर छड़ $P$ की तुलना में तीन गुना है,तो:
A
$K_1 A_1 = 3 K_2 A_2$
B
$3 K_1 A_1 = K_2 A_2$
C
$3 K_1 A_1 = 2 K_2 A_2$
D
$2 K_1 A_1 = 3 K_2 A_2$
Solution
(B) एक छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $\dot{Q}$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\dot{Q} = \frac{KA \Delta T}{l}$.
यहाँ,$K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $l$ छड़ की लंबाई है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों $P$ और $Q$ के लिए लंबाई $l$ और तापमान का अंतर $\Delta T$ समान है,इसलिए ऊष्मा प्रवाह की दर $KA$ के गुणनफल के समानुपाती है।
प्रश्न के अनुसार,छड़ $Q$ से ऊष्मा प्रवाह की दर छड़ $P$ की तुलना में तीन गुना है:
$(\dot{Q})_Q = 3 (\dot{Q})_P$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{K_2 A_2 \Delta T}{l} = 3 \left( \frac{K_1 A_1 \Delta T}{l} \right)$
चूंकि $l$ और $\Delta T$ समान हैं,इसलिए वे दोनों पक्षों से कट जाएंगे:
$K_2 A_2 = 3 K_1 A_1$ या $3 K_1 A_1 = K_2 A_2$.
यहाँ,$K$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $l$ छड़ की लंबाई है।
यह दिया गया है कि दोनों छड़ों $P$ और $Q$ के लिए लंबाई $l$ और तापमान का अंतर $\Delta T$ समान है,इसलिए ऊष्मा प्रवाह की दर $KA$ के गुणनफल के समानुपाती है।
प्रश्न के अनुसार,छड़ $Q$ से ऊष्मा प्रवाह की दर छड़ $P$ की तुलना में तीन गुना है:
$(\dot{Q})_Q = 3 (\dot{Q})_P$
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\frac{K_2 A_2 \Delta T}{l} = 3 \left( \frac{K_1 A_1 \Delta T}{l} \right)$
चूंकि $l$ और $\Delta T$ समान हैं,इसलिए वे दोनों पक्षों से कट जाएंगे:
$K_2 A_2 = 3 K_1 A_1$ या $3 K_1 A_1 = K_2 A_2$.
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EasyMCQ
$1 \,m$ लंबाई की एक चालक छड़ का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $10^{-3} \,m^2$ है। एक सिरा उबलते पानी $(100^{\circ} C)$ में और दूसरा सिरा बर्फ $(0^{\circ} C)$ में डूबा हुआ है। यदि छड़ का ऊष्मीय चालकता गुणांक $96 \,cal/(s \cdot m \cdot ^{\circ}C)$ है और बर्फ की गलन की गुप्त ऊष्मा $8 \times 10^4 \,cal/kg$ है,तो एक मिनट में पिघलने वाली बर्फ की मात्रा क्या होगी?
A
$5.4 \times 10^{-3} \,kg$
B
$7.2 \times 10^{-3} \,kg$
C
$1.8 \times 10^{-3} \,kg$
D
$3.6 \times 10^{-3} \,kg$
Solution
(B) छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $Q = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
यह ऊष्मा बर्फ को पिघलाने के लिए उपयोग की जाती है,इसलिए $Q = mL$,जहाँ $m$ पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान है और $L$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $mL = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
दिए गए मान: $K = 96 \,cal/(s \cdot m \cdot ^{\circ}C)$,$A = 10^{-3} \,m^2$,$\Delta \theta = 100^{\circ}C$,$t = 60 \,s$,$\ell = 1 \,m$,और $L = 8 \times 10^4 \,cal/kg$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$m = \frac{96 \times 10^{-3} \times 100 \times 60}{1 \times 8 \times 10^4}$.
$m = \frac{96 \times 10^{-1} \times 60}{8 \times 10^4} = \frac{576}{8 \times 10^5} = 72 \times 10^{-4} \,kg = 7.2 \times 10^{-3} \,kg$.
यह ऊष्मा बर्फ को पिघलाने के लिए उपयोग की जाती है,इसलिए $Q = mL$,जहाँ $m$ पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान है और $L$ गलन की गुप्त ऊष्मा है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $mL = \frac{KA(\Delta \theta)t}{\ell}$.
दिए गए मान: $K = 96 \,cal/(s \cdot m \cdot ^{\circ}C)$,$A = 10^{-3} \,m^2$,$\Delta \theta = 100^{\circ}C$,$t = 60 \,s$,$\ell = 1 \,m$,और $L = 8 \times 10^4 \,cal/kg$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$m = \frac{96 \times 10^{-3} \times 100 \times 60}{1 \times 8 \times 10^4}$.
$m = \frac{96 \times 10^{-1} \times 60}{8 \times 10^4} = \frac{576}{8 \times 10^5} = 72 \times 10^{-4} \,kg = 7.2 \times 10^{-3} \,kg$.
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DifficultMCQ
$3 \ cm$ मोटी धातु की प्लेट के दो किनारों के बीच का तापमान अंतर $15^{\circ} C$ है। स्थिर अवस्था में प्लेट से ऊष्मा का संचरण $900 \ kcal$ प्रति मिनट प्रति $m^2$ की दर से होता है। धातु की ऊष्मीय चालकता ज्ञात कीजिए।
A
$1.8 \times 10^{-2} \ \frac{kcal}{m \cdot s \cdot ^{\circ}C}$
B
$4.5 \times 10^{-2} \ \frac{kcal}{m \cdot s \cdot ^{\circ}C}$
C
$3 \times 10^{-2} \ \frac{kcal}{m \cdot s \cdot ^{\circ}C}$
D
$6 \times 10^{-2} \ \frac{kcal}{m \cdot s \cdot ^{\circ}C}$
Solution
(C) चालक के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{kA \Delta \theta}{d}$.
ऊष्मीय चालकता $k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $k = \frac{Q}{tA} \cdot \frac{d}{\Delta \theta}$.
दिया गया है: ऊष्मा फ्लक्स $\frac{Q}{tA} = 900 \ kcal / (min \cdot m^2) = \frac{900}{60} \ kcal / (s \cdot m^2) = 15 \ kcal / (s \cdot m^2)$.
मोटाई $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
तापमान अंतर $\Delta \theta = 15^{\circ} C$.
मान रखने पर: $k = \frac{15 \times 3 \times 10^{-2}}{15} = 3 \times 10^{-2} \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ}C)$.
ऊष्मीय चालकता $k$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $k = \frac{Q}{tA} \cdot \frac{d}{\Delta \theta}$.
दिया गया है: ऊष्मा फ्लक्स $\frac{Q}{tA} = 900 \ kcal / (min \cdot m^2) = \frac{900}{60} \ kcal / (s \cdot m^2) = 15 \ kcal / (s \cdot m^2)$.
मोटाई $d = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$.
तापमान अंतर $\Delta \theta = 15^{\circ} C$.
मान रखने पर: $k = \frac{15 \times 3 \times 10^{-2}}{15} = 3 \times 10^{-2} \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ}C)$.
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EasyMCQ
एक बेलनाकार छड़ के सिरों का तापमान $\theta_1$ और $\theta_2$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $Q \ J s^{-1}$ है। यदि छड़ के तापमान को स्थिर रखते हुए इसकी सभी रैखिक विमाओं को दोगुना कर दिया जाए,तो ऊष्मा प्रवाह की नई दर क्या होगी?
A
$\frac{Q}{2}$
B
$\frac{Q}{4}$
C
$2 Q$
D
$\frac{3 Q}{2}$
Solution
(C) छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\ell$ छड़ की लंबाई है।
जब सभी रैखिक विमाओं को दोगुना किया जाता है,तो त्रिज्या $r$,$2r$ हो जाती है और लंबाई $\ell$,$2\ell$ हो जाती है।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ होगा।
नई लंबाई $\ell' = 2\ell$ होगी।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q'$ का मान $Q' = \frac{kA'(\theta_1 - \theta_2)}{\ell'}$ होगा।
नए मान रखने पर: $Q' = \frac{k(4A)(\theta_1 - \theta_2)}{2\ell} = 2 \left( \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell} \right) = 2Q$।
जब सभी रैखिक विमाओं को दोगुना किया जाता है,तो त्रिज्या $r$,$2r$ हो जाती है और लंबाई $\ell$,$2\ell$ हो जाती है।
नया क्षेत्रफल $A' = \pi(2r)^2 = 4\pi r^2 = 4A$ होगा।
नई लंबाई $\ell' = 2\ell$ होगी।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q'$ का मान $Q' = \frac{kA'(\theta_1 - \theta_2)}{\ell'}$ होगा।
नए मान रखने पर: $Q' = \frac{k(4A)(\theta_1 - \theta_2)}{2\ell} = 2 \left( \frac{kA(\theta_1 - \theta_2)}{\ell} \right) = 2Q$।
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MediumMCQ
$1.8 \ cm$ मोटी लोहे की प्लेट के दो किनारों के बीच का तापमान अंतर $9^{\circ} C$ है। स्थिर अवस्था में प्लेट से होकर गुजरने वाली ऊष्मा की दर $10 \ kcal / (s \cdot m^2)$ है। लोहे की ऊष्मीय चालकता ज्ञात कीजिए।
A
$0.02 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$
B
$0.04 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$
C
$0.05 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$
D
$0.004 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$
Solution
(A) प्रति इकाई क्षेत्रफल ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{At} = \frac{k \Delta \theta}{d}$.
दिया गया है:
ऊष्मा फ्लक्स $\frac{Q}{At} = 10 \ kcal / (s \cdot m^2)$
मोटाई $d = 1.8 \ cm = 1.8 \times 10^{-2} \ m$
तापमान अंतर $\Delta \theta = 9^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = k \times \frac{9}{1.8 \times 10^{-2}}$
$10 = k \times \frac{9}{0.018}$
$10 = k \times 500$
$k = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} = 0.02 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$.
दिया गया है:
ऊष्मा फ्लक्स $\frac{Q}{At} = 10 \ kcal / (s \cdot m^2)$
मोटाई $d = 1.8 \ cm = 1.8 \times 10^{-2} \ m$
तापमान अंतर $\Delta \theta = 9^{\circ} C$
सूत्र में मान रखने पर:
$10 = k \times \frac{9}{1.8 \times 10^{-2}}$
$10 = k \times \frac{9}{0.018}$
$10 = k \times 500$
$k = \frac{10}{500} = \frac{1}{50} = 0.02 \ kcal / (m \cdot s \cdot ^{\circ} C)$.
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MediumMCQ
एक बेलनाकार छड़ के सिरों का तापमान $T_1$ और $T_2$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $Q_1 \text{ cal s}^{-1}$ है। यदि छड़ की लंबाई और त्रिज्या को दोगुना कर दिया जाए और तापमान को स्थिर रखा जाए,तो ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q_2$ क्या होगी?
A
$Q_2 = \frac{Q_1}{2}$
B
$Q_2 = \frac{Q_1}{4}$
C
$Q_2 = 4 Q_1$
D
$Q_2 = 2 Q_1$
Solution
(D) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $Q = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$,जहाँ $A = \pi r^2$ है।
अतः,$Q_1 = \frac{k \pi r_1^2 (T_1 - T_2)}{L_1}$ है।
जब लंबाई और त्रिज्या को दोगुना किया जाता है,तो $L_2 = 2L_1$ और $r_2 = 2r_1$ हो जाता है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q_2 = \frac{k \pi r_2^2 (T_1 - T_2)}{L_2}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \cdot \left( \frac{L_1}{L_2} \right)$।
मान रखने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$।
अतः,$Q_2 = 2 Q_1$।
अतः,$Q_1 = \frac{k \pi r_1^2 (T_1 - T_2)}{L_1}$ है।
जब लंबाई और त्रिज्या को दोगुना किया जाता है,तो $L_2 = 2L_1$ और $r_2 = 2r_1$ हो जाता है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q_2 = \frac{k \pi r_2^2 (T_1 - T_2)}{L_2}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^2 \cdot \left( \frac{L_1}{L_2} \right)$।
मान रखने पर: $\frac{Q_2}{Q_1} = (2)^2 \cdot \left( \frac{1}{2} \right) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2$।
अतः,$Q_2 = 2 Q_1$।
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EasyMCQ
एक बेलनाकार छड़ के सिरों पर तापमान $\theta_1$ और $\theta_2$ है। ऊष्मा प्रवाह की दर $Q$ है। यदि छड़ के सभी रैखिक आयामों को दोगुना कर दिया जाए और तापमान को स्थिर रखा जाए,तो ऊष्मा प्रवाह की नई दर क्या होगी?
A
$4Q$
B
$2Q$
C
$\frac{Q}{2}$
D
$\frac{Q}{4}$
Solution
(B) एक बेलनाकार छड़ के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर का सूत्र है: $\frac{Q}{t} = \frac{KA(\theta_1 - \theta_2)}{\Delta x}$,जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $\Delta x$ छड़ की लंबाई है।
इस प्रकार,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{r^2}{\Delta x}$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ और लंबाई $\Delta x_1 = L$ है। प्रारंभिक दर $Q \propto \frac{r^2}{L}$ है।
जब सभी रैखिक आयामों को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ और नई लंबाई $\Delta x_2 = 2L$ हो जाती है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q'$,$\frac{(2r)^2}{2L} = \frac{4r^2}{2L} = 2 \left( \frac{r^2}{L} \right)$ के समानुपाती है।
अतः,$Q' = 2Q$.
इस प्रकार,ऊष्मा प्रवाह की दर $\frac{r^2}{\Delta x}$ के समानुपाती होती है।
मान लीजिए प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ और लंबाई $\Delta x_1 = L$ है। प्रारंभिक दर $Q \propto \frac{r^2}{L}$ है।
जब सभी रैखिक आयामों को दोगुना किया जाता है,तो नई त्रिज्या $r_2 = 2r$ और नई लंबाई $\Delta x_2 = 2L$ हो जाती है।
ऊष्मा प्रवाह की नई दर $Q'$,$\frac{(2r)^2}{2L} = \frac{4r^2}{2L} = 2 \left( \frac{r^2}{L} \right)$ के समानुपाती है।
अतः,$Q' = 2Q$.
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MediumMCQ
विभिन्न त्रिज्या $r$ और लंबाई $l$ वाली चार छड़ों का उपयोग दो अलग-अलग तापमान वाले ऊष्मा भंडारों को जोड़ने के लिए किया जाता है। कौन सी छड़ सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी?
A
$r = 1 \text{ cm}, l = 1 \text{ m}$
B
$r = 1 \text{ cm}, l = 0.5 \text{ m}$
C
$r = 2 \text{ cm}, l = 2 \text{ m}$
D
$r = 2 \text{ cm}, l = 0.5 \text{ m}$
Solution
(D) छड़ के माध्यम से ऊष्मा चालन की दर $H$ का सूत्र $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\Delta T$ तापमान का अंतर है और $l$ लंबाई है।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $H \propto \frac{r^2}{l}$ होता है।
सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करने के लिए,अनुपात $\frac{r^2}{l}$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{r^2}{l}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A: \frac{1^2}{1} = 1$
$B: \frac{1^2}{0.5} = 2$
$C: \frac{2^2}{2} = 2$
$D: \frac{2^2}{0.5} = 8$
चूँकि विकल्प $D$ का मान सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी।
चूँकि $A = \pi r^2$,इसलिए $H \propto \frac{r^2}{l}$ होता है।
सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करने के लिए,अनुपात $\frac{r^2}{l}$ का मान अधिकतम होना चाहिए।
प्रत्येक विकल्प के लिए $\frac{r^2}{l}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$A: \frac{1^2}{1} = 1$
$B: \frac{1^2}{0.5} = 2$
$C: \frac{2^2}{2} = 2$
$D: \frac{2^2}{0.5} = 8$
चूँकि विकल्प $D$ का मान सबसे अधिक है,इसलिए यह सबसे अधिक ऊष्मा का चालन करेगी।
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DifficultMCQ
$R$ त्रिज्या का एक ठोस बेलन जो $K_{1}$ ऊष्मीय चालकता वाले पदार्थ से बना है,उसे $R$ आंतरिक त्रिज्या और $2R$ बाहरी त्रिज्या वाले एक बेलनाकार खोल से घेरा गया है जो $K_{2}$ ऊष्मीय चालकता वाले पदार्थ से बना है। संयुक्त निकाय के दोनों सिरों को दो अलग-अलग तापमानों पर रखा गया है। बेलनाकार सतह से ऊष्मा का कोई नुकसान नहीं होता है और निकाय स्थिर अवस्था में है। निकाय की प्रभावी ऊष्मीय चालकता क्या है?
A
$K_{1}+K_{2}$
B
$\frac{K_{1} K_{2}}{K_{1}+K_{2}}$
C
$\frac{2 K_{1}+K_{2}}{4}$
D
$\frac{K_{1}+3 K_{2}}{4}$
Solution
(D) यह निकाय ऊष्मा प्रवाह के लिए दो समानांतर पथों से बना है: आंतरिक ठोस बेलन और बाहरी बेलनाकार खोल।
चूंकि निकाय स्थिर अवस्था में है और बेलनाकार सतह से ऊष्मा का कोई नुकसान नहीं होता है,इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह $Q_{\text{total}}$ दोनों भागों से गुजरने वाले ऊष्मा प्रवाह का योग है: $Q_{\text{total}} = Q_{1} + Q_{2}$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA \Delta \theta}{L}$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक बेलन के लिए,क्षेत्रफल $A_{1} = \pi R^{2}$ है।
बाहरी खोल के लिए,क्षेत्रफल $A_{2} = \pi (2R)^{2} - \pi R^{2} = 3\pi R^{2}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = A_{1} + A_{2} = 4\pi R^{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह को बराबर करने पर: $\frac{K(4\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} = \frac{K_{1}(\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} + \frac{K_{2}(3\pi R^{2}) \Delta \theta}{L}$।
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{\pi R^{2} \Delta \theta}{L}$ को हटाने पर:
$4K = K_{1} + 3K_{2}$।
अतः,प्रभावी ऊष्मीय चालकता $K = \frac{K_{1} + 3K_{2}}{4}$ है।
चूंकि निकाय स्थिर अवस्था में है और बेलनाकार सतह से ऊष्मा का कोई नुकसान नहीं होता है,इसलिए कुल ऊष्मा प्रवाह $Q_{\text{total}}$ दोनों भागों से गुजरने वाले ऊष्मा प्रवाह का योग है: $Q_{\text{total}} = Q_{1} + Q_{2}$।
ऊष्मा प्रवाह की दर $Q = \frac{KA \Delta \theta}{L}$ द्वारा दी जाती है।
आंतरिक बेलन के लिए,क्षेत्रफल $A_{1} = \pi R^{2}$ है।
बाहरी खोल के लिए,क्षेत्रफल $A_{2} = \pi (2R)^{2} - \pi R^{2} = 3\pi R^{2}$ है।
कुल क्षेत्रफल $A = A_{1} + A_{2} = 4\pi R^{2}$ है।
ऊष्मा प्रवाह को बराबर करने पर: $\frac{K(4\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} = \frac{K_{1}(\pi R^{2}) \Delta \theta}{L} + \frac{K_{2}(3\pi R^{2}) \Delta \theta}{L}$।
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{\pi R^{2} \Delta \theta}{L}$ को हटाने पर:
$4K = K_{1} + 3K_{2}$।
अतः,प्रभावी ऊष्मीय चालकता $K = \frac{K_{1} + 3K_{2}}{4}$ है।
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DifficultMCQ
दो स्लैब की मोटाई $d_{1}$ और $d_{2}$ है। उनकी ऊष्मीय चालकता क्रमशः $K_{1}$ और $K_{2}$ है। वे श्रेणीक्रम में हैं। इन दो स्लैबों के संयोजन के मुक्त सिरों को $\theta_{1}$ और $\theta_{2}$ तापमान पर रखा गया है। मान लीजिए $\theta_{1} > \theta_{2}$ है। उनके सामान्य जंक्शन का तापमान $\theta$ क्या होगा?
A
$\frac{K_{1} \theta_{1} + K_{2} \theta_{2}}{\theta_{1} + \theta_{2}}$
B
$\frac{K_{1} \theta_{1} d_{1} + K_{2} \theta_{2} d_{2}}{K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1}}$
C
$\frac{K_{1} \theta_{1} d_{2} + K_{2} \theta_{2} d_{1}}{K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1}}$
D
$\frac{K_{1} \theta_{1} + K_{2} \theta_{2}}{K_{1} + K_{2}}$
Solution
(C) पहले स्लैब के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H_{1} = \frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}}$ है।
दूसरे स्लैब के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H_{2} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में हैं,स्थिर अवस्था में दोनों से गुजरने वाला ऊष्मा प्रवाह समान होगा,इसलिए $H_{1} = H_{2}$।
$\frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$\frac{K_{1} (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$K_{1} d_{2} (\theta_{1} - \theta) = K_{2} d_{1} (\theta - \theta_{2})$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} - K_{1} d_{2} \theta = K_{2} d_{1} \theta - K_{2} d_{1} \theta_{2}$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} + K_{2} d_{1} \theta_{2} = \theta (K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1})$
$\theta = \frac{K_{1} \theta_{1} d_{2} + K_{2} \theta_{2} d_{1}}{K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1}}$
दूसरे स्लैब के लिए,ऊष्मा प्रवाह $H_{2} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$ है।
चूंकि स्लैब श्रेणीक्रम में हैं,स्थिर अवस्था में दोनों से गुजरने वाला ऊष्मा प्रवाह समान होगा,इसलिए $H_{1} = H_{2}$।
$\frac{K_{1} A (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} A (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$\frac{K_{1} (\theta_{1} - \theta)}{d_{1}} = \frac{K_{2} (\theta - \theta_{2})}{d_{2}}$
$K_{1} d_{2} (\theta_{1} - \theta) = K_{2} d_{1} (\theta - \theta_{2})$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} - K_{1} d_{2} \theta = K_{2} d_{1} \theta - K_{2} d_{1} \theta_{2}$
$K_{1} d_{2} \theta_{1} + K_{2} d_{1} \theta_{2} = \theta (K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1})$
$\theta = \frac{K_{1} \theta_{1} d_{2} + K_{2} \theta_{2} d_{1}}{K_{1} d_{2} + K_{2} d_{1}}$
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MediumMCQ
तांबे का ऊष्मीय चालकता गुणांक स्टील का $9$ गुना है। चित्र में दिखाए गए मिश्रित बेलनाकार छड़ में,तांबे और स्टील के जंक्शन पर तापमान क्या होगा ($^{\circ} C$ में)?
A
$75$
B
$67$
C
$25$
D
$33$
Solution
(D) माना जंक्शन पर तापमान $\theta$ है। स्थिर अवस्था में,तांबे की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर स्टील की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर के बराबर होनी चाहिए।
$H_{Cu} = H_{steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{L_{Cu}} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L_{steel}}$
दिया गया है कि $K_{Cu} = 9 K_{steel}$,$L_{Cu} = 18 \text{ cm}$,और $L_{steel} = 6 \text{ cm}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{9 K_{steel} (100 - \theta)}{18} = \frac{K_{steel} (\theta - 0)}{6}$
$\frac{100 - \theta}{2} = \theta$
$100 - \theta = 2\theta$
$3\theta = 100$
$\theta = \frac{100}{3} \approx 33.3^{\circ} C$
अतः,जंक्शन पर तापमान लगभग $33^{\circ} C$ है।
$H_{Cu} = H_{steel}$
$\frac{K_{Cu} A (100 - \theta)}{L_{Cu}} = \frac{K_{steel} A (\theta - 0)}{L_{steel}}$
दिया गया है कि $K_{Cu} = 9 K_{steel}$,$L_{Cu} = 18 \text{ cm}$,और $L_{steel} = 6 \text{ cm}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{9 K_{steel} (100 - \theta)}{18} = \frac{K_{steel} (\theta - 0)}{6}$
$\frac{100 - \theta}{2} = \theta$
$100 - \theta = 2\theta$
$3\theta = 100$
$\theta = \frac{100}{3} \approx 33.3^{\circ} C$
अतः,जंक्शन पर तापमान लगभग $33^{\circ} C$ है।
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View Solution192
MediumMCQ
दो समान छड़ें $AC$ और $CB$ जो दो अलग-अलग धातुओं से बनी हैं और जिनकी ऊष्मीय चालकता का अनुपात $2:3$ है,उन्हें सिरे $C$ पर एक-दूसरे के संपर्क में रखा गया है। $A$ का तापमान $100^{\circ}C$ और $B$ का तापमान $25^{\circ}C$ है। तो जंक्शन $C$ का तापमान क्या होगा ($^{\circ}C$ में)?
A
$55$
B
$60$
C
$75$
D
$50$
Solution
(A) माना जंक्शन $C$ का तापमान $\theta$ है।
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें समान हैं,इसलिए दोनों के लिए $A$ और $L$ समान हैं।
अतः,$K_1(100 - \theta) = K_2(\theta - 25)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$.
तिर्यक गुणा करने पर $2(100 - \theta) = 3(\theta - 25)$ प्राप्त होता है।
$200 - 2\theta = 3\theta - 75$.
$5\theta = 275$.
$\theta = 55^{\circ}C$.
चूंकि छड़ें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों छड़ों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H = \frac{KA(\Delta T)}{L}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि छड़ें समान हैं,इसलिए दोनों के लिए $A$ और $L$ समान हैं।
अतः,$K_1(100 - \theta) = K_2(\theta - 25)$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{2}{3} = \frac{\theta - 25}{100 - \theta}$.
तिर्यक गुणा करने पर $2(100 - \theta) = 3(\theta - 25)$ प्राप्त होता है।
$200 - 2\theta = 3\theta - 75$.
$5\theta = 275$.
$\theta = 55^{\circ}C$.
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MediumMCQ
एक धातु की छड़ की लंबाई $20 \ cm$ और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $4 \times 10^{-4} \ m^2$ है। यदि छड़ का एक सिरा $0^{\circ} C$ पर बर्फ में और दूसरा सिरा $100^{\circ} C$ पर भाप में रखा जाता है,तो एक मिनट में पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $5 \ g$ है। धातु की ऊष्मीय चालकता $W \ m^{-1} \ K^{-1}$ में ज्ञात कीजिए (गलन की गुप्त ऊष्मा $= 80 \ cal/g$):
A
$140$
B
$120$
C
$100$
D
$160$
Solution
(A) दिया गया है: लंबाई $l = 20 \ cm = 0.2 \ m$,क्षेत्रफल $A = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,तापमान का अंतर $\Delta \theta = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \ K$,समय $t = 60 \ s$,बर्फ का द्रव्यमान $m = 5 \ g$,गलन की गुप्त ऊष्मा $L = 80 \ cal/g = 80 \times 4.2 \ J/g = 336 \ J/g = 336000 \ J/kg$.
छड़ के माध्यम से प्रवाहित ऊष्मा $H = \frac{kA \Delta \theta}{l}$.
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{kA \Delta \theta}{l} = \frac{mL}{t}$.
मान रखने पर: $\frac{k \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{5 \times 10^{-3} \ kg \times 336000 \ J/kg}{60 \ s}$.
$k \times 0.2 = \frac{1680}{60} = 28$.
$k = \frac{28}{0.2} = 140 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.
छड़ के माध्यम से प्रवाहित ऊष्मा $H = \frac{kA \Delta \theta}{l}$.
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = mL$.
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{kA \Delta \theta}{l} = \frac{mL}{t}$.
मान रखने पर: $\frac{k \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{5 \times 10^{-3} \ kg \times 336000 \ J/kg}{60 \ s}$.
$k \times 0.2 = \frac{1680}{60} = 28$.
$k = \frac{28}{0.2} = 140 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.
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MediumMCQ
यदि $4 \, kg$ बर्फ $20 \, cm$ भुजा की लंबाई और $4 \, cm$ मोटाई वाले एक बंद घनाकार थर्मोकोल बॉक्स के अंदर है, तो $10 \, \text{घंटे}$ बाद शेष बर्फ का द्रव्यमान लगभग कितना होगा ($ \, kg$ में)? (दिया है: बाहरी तापमान $= 50^{\circ}C$, थर्मोकोल की ऊष्मीय चालकता $K = 0.01 \, Js^{-1}m^{-1\circ}C^{-1}$, बर्फ के गलन की गुप्त ऊष्मा $L = 335 \times 10^3 \, Jkg^{-1}$)
A
$3.678$
B
$6.378$
C
$2.87$
D
$1.87$
Solution
(A) बॉक्स की दीवारों के माध्यम से ऊष्मा प्रवाह की दर $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ, सतह का क्षेत्रफल $A = 6 \times (\text{भुजा})^2 = 6 \times (0.2 \, m)^2 = 6 \times 0.04 = 0.24 \, m^2$ है।
मोटाई $d = 0.04 \, m$ और तापमान का अंतर $\Delta T = 50^{\circ}C - 0^{\circ}C = 50^{\circ}C$ है।
अतः, $dQ/dt = (0.01 \times 0.24 \times 50) / 0.04 = 0.12 / 0.04 = 3 \, Js^{-1}$।
कुल समय $t = 10 \, \text{घंटे } = 10 \times 3600 = 36000 \, s$।
कुल प्राप्त ऊष्मा $Q = (dQ/dt) \times t = 3 \times 36000 = 108000 \, J$।
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m_{melted} = Q / L = 108000 / (335 \times 10^3) \approx 0.322 \, kg$।
शेष बर्फ का द्रव्यमान $= 4 \, kg - 0.322 \, kg = 3.678 \, kg$।
यहाँ, सतह का क्षेत्रफल $A = 6 \times (\text{भुजा})^2 = 6 \times (0.2 \, m)^2 = 6 \times 0.04 = 0.24 \, m^2$ है।
मोटाई $d = 0.04 \, m$ और तापमान का अंतर $\Delta T = 50^{\circ}C - 0^{\circ}C = 50^{\circ}C$ है।
अतः, $dQ/dt = (0.01 \times 0.24 \times 50) / 0.04 = 0.12 / 0.04 = 3 \, Js^{-1}$।
कुल समय $t = 10 \, \text{घंटे } = 10 \times 3600 = 36000 \, s$।
कुल प्राप्त ऊष्मा $Q = (dQ/dt) \times t = 3 \times 36000 = 108000 \, J$।
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान $m_{melted} = Q / L = 108000 / (335 \times 10^3) \approx 0.322 \, kg$।
शेष बर्फ का द्रव्यमान $= 4 \, kg - 0.322 \, kg = 3.678 \, kg$।
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EasyMCQ
एक आयताकार स्लैब समान भुजाओं वाले तांबे और पीतल के दो घनों से बना है,जिनकी ऊष्मीय चालकता का अनुपात $4: 1$ है। यदि पीतल का मुक्त फलक $0^{\circ} C$ पर है और तांबे का मुक्त फलक $100^{\circ} C$ पर है,तो उनके इंटरफ़ेस का तापमान क्या है ($^{\circ} C$ में)?
A
$80$
B
$20$
C
$60$
D
$40$
Solution
(A) स्थिर अवस्था में,श्रेणीक्रम में जुड़े तांबे और पीतल के स्लैब से गुजरने वाली ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ समान होनी चाहिए।
$H = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{L} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{L}$
यह दिया गया है कि भुजाएं समान हैं,इसलिए दोनों घनों का क्षेत्रफल $(A)$ और लंबाई $(L)$ समान है।
मान लीजिए $K_c$ तांबे की ऊष्मीय चालकता है और $K_b$ पीतल की ऊष्मीय चालकता है।
दिया गया है $K_c : K_b = 4 : 1$,इसलिए $K_c = 4K_b$.
मान लीजिए $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
$4K_b (100 - T) = K_b (T - 0)$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$.
$H = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{L} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{L}$
यह दिया गया है कि भुजाएं समान हैं,इसलिए दोनों घनों का क्षेत्रफल $(A)$ और लंबाई $(L)$ समान है।
मान लीजिए $K_c$ तांबे की ऊष्मीय चालकता है और $K_b$ पीतल की ऊष्मीय चालकता है।
दिया गया है $K_c : K_b = 4 : 1$,इसलिए $K_c = 4K_b$.
मान लीजिए $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
$4K_b (100 - T) = K_b (T - 0)$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$.
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MediumMCQ
एक स्लैब तांबे और पीतल की दो समान प्लेटों से बना है। पीतल का मुक्त फलक $0^{\circ} C$ पर और तांबे का मुक्त फलक $100^{\circ} C$ पर है। यदि पीतल और तांबे की ऊष्मीय चालकता का अनुपात $1: 4$ है,तो इंटरफ़ेस का तापमान क्या होगा ($^{\circ} C$ में)?
A
$20$
B
$40$
C
$60$
D
$80$
Solution
(D) मान लीजिए $K_b$ और $K_c$ क्रमशः पीतल और तांबे की ऊष्मीय चालकता हैं। दिया गया है कि $K_b : K_c = 1 : 4$ है।
मान लीजिए $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ समान होनी चाहिए।
$H = \frac{K_c A(100 - T)}{x} = \frac{K_b A(T - 0)}{x}$
जहाँ $A$ क्षेत्रफल है और $x$ प्रत्येक प्लेट की मोटाई है।
दोनों पक्षों से $A$ और $x$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K_c(100 - T) = K_b(T)$
$\frac{K_c}{K_b} = \frac{T}{100 - T}$
चूंकि $\frac{K_b}{K_c} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $\frac{K_c}{K_b} = 4$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = \frac{T}{100 - T}$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$
मान लीजिए $T$ इंटरफ़ेस का तापमान है।
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर $H$ समान होनी चाहिए।
$H = \frac{K_c A(100 - T)}{x} = \frac{K_b A(T - 0)}{x}$
जहाँ $A$ क्षेत्रफल है और $x$ प्रत्येक प्लेट की मोटाई है।
दोनों पक्षों से $A$ और $x$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K_c(100 - T) = K_b(T)$
$\frac{K_c}{K_b} = \frac{T}{100 - T}$
चूंकि $\frac{K_b}{K_c} = \frac{1}{4}$ है,इसलिए $\frac{K_c}{K_b} = 4$ होगा।
इस मान को प्रतिस्थापित करने पर:
$4 = \frac{T}{100 - T}$
$4(100 - T) = T$
$400 - 4T = T$
$5T = 400$
$T = 80^{\circ} C$
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MediumMCQ
समान क्षेत्रफल वाली दो प्लेटें संपर्क में रखी गई हैं। उनकी मोटाई और उनकी ऊष्मीय चालकता का अनुपात $2:3$ है। एक प्लेट की बाहरी सतह $10^{\circ} C$ पर और दूसरी की $0^{\circ} C$ पर बनाए रखी जाती है। उभयनिष्ठ सतह पर तापमान क्या है ($^{\circ} C$ में)?
A
$0$
B
$25$
C
$5$
D
$6.5$
Solution
(C) दिया गया है कि दो प्लेटों का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ समान है।
मान लीजिए $K_1, K_2$ उनकी ऊष्मीय चालकता है और $t_1, t_2$ उनकी मोटाई है।
प्रश्न के अनुसार,अनुपात हैं:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{t_1}{t_2} = \frac{2}{3}$.
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{t_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{t_2}$
जहाँ $T$ उभयनिष्ठ सतह का तापमान है।
दिए गए मान $T_1 = 10^{\circ} C$ और $T_2 = 0^{\circ} C$ रखने पर:
$\frac{K_1}{t_1} (10 - T) = \frac{K_2}{t_2} (T - 0)$
$\frac{K_1}{K_2} \cdot \frac{t_2}{t_1} (10 - T) = T$
अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$\left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right) (10 - T) = T$
$1 \cdot (10 - T) = T$
$10 - T = T$
$2T = 10$
$T = 5^{\circ} C$
मान लीजिए $K_1, K_2$ उनकी ऊष्मीय चालकता है और $t_1, t_2$ उनकी मोटाई है।
प्रश्न के अनुसार,अनुपात हैं:
$\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{t_1}{t_2} = \frac{2}{3}$.
चूंकि प्लेटें श्रेणीक्रम में हैं,इसलिए स्थिर अवस्था में दोनों प्लेटों से ऊष्मा प्रवाह की दर समान होनी चाहिए:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{K_1 A (T_1 - T)}{t_1} = \frac{K_2 A (T - T_2)}{t_2}$
जहाँ $T$ उभयनिष्ठ सतह का तापमान है।
दिए गए मान $T_1 = 10^{\circ} C$ और $T_2 = 0^{\circ} C$ रखने पर:
$\frac{K_1}{t_1} (10 - T) = \frac{K_2}{t_2} (T - 0)$
$\frac{K_1}{K_2} \cdot \frac{t_2}{t_1} (10 - T) = T$
अनुपात $\frac{K_1}{K_2} = \frac{2}{3}$ और $\frac{t_2}{t_1} = \frac{3}{2}$ रखने पर:
$\left( \frac{2}{3} \right) \cdot \left( \frac{3}{2} \right) (10 - T) = T$
$1 \cdot (10 - T) = T$
$10 - T = T$
$2T = 10$
$T = 5^{\circ} C$
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DifficultMCQ
$2 \,m$ लंबाई और $2 \,cm^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक बेलनाकार तांबे की छड़ की वक्र सतह को कुचालक बनाया गया है। छड़ का एक सिरा $100^{\circ} C$ पर भाप कक्ष में और दूसरा सिरा $0^{\circ} C$ पर बर्फ में रखा गया है। तांबे की ऊष्मीय चालकता $386 \,Js^{-1} \,m^{-1} {}^{\circ} C^{-1}$ है। ठंडे सिरे से $120 \,cm$ की दूरी पर स्थित बिंदु पर तापमान ज्ञात कीजिए। ($^{\circ} C$ में)
A
$80$
B
$50$
C
$60$
D
$70$
Solution
(C) दिया गया है:
छड़ की लंबाई $L = 2 \,m = 200 \,cm$.
गर्म सिरे का तापमान $\theta_1 = 100^{\circ} C$.
ठंडे सिरे का तापमान $\theta_2 = 0^{\circ} C$.
ठंडे सिरे से दूरी $x_2 = 120 \,cm$.
गर्म सिरे से दूरी $x_1 = L - x_2 = 200 \,cm - 120 \,cm = 80 \,cm$.
स्थिर अवस्था में,छड़ के किसी भी अनुप्रस्थ काट से ऊष्मा प्रवाह की दर $(dQ/dt)$ स्थिर रहती है।
चूंकि $dQ/dt = KA(\Delta \theta / \Delta x)$,और छड़ के लिए $K$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए तापमान प्रवणता $(\Delta \theta / \Delta x)$ पूरी छड़ में स्थिर रहनी चाहिए।
अतः,$\frac{\theta_1 - \theta}{x_1} = \frac{\theta - \theta_2}{x_2}$.
मान रखने पर:
$\frac{100^{\circ} C - \theta}{80 \,cm} = \frac{\theta - 0^{\circ} C}{120 \,cm}$.
$120(100 - \theta) = 80\theta$.
$12000 - 120\theta = 80\theta$.
$200\theta = 12000$.
$\theta = \frac{12000}{200} = 60^{\circ} C$.
इस प्रकार,उस बिंदु पर तापमान $60^{\circ} C$ है।
छड़ की लंबाई $L = 2 \,m = 200 \,cm$.
गर्म सिरे का तापमान $\theta_1 = 100^{\circ} C$.
ठंडे सिरे का तापमान $\theta_2 = 0^{\circ} C$.
ठंडे सिरे से दूरी $x_2 = 120 \,cm$.
गर्म सिरे से दूरी $x_1 = L - x_2 = 200 \,cm - 120 \,cm = 80 \,cm$.
स्थिर अवस्था में,छड़ के किसी भी अनुप्रस्थ काट से ऊष्मा प्रवाह की दर $(dQ/dt)$ स्थिर रहती है।
चूंकि $dQ/dt = KA(\Delta \theta / \Delta x)$,और छड़ के लिए $K$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए तापमान प्रवणता $(\Delta \theta / \Delta x)$ पूरी छड़ में स्थिर रहनी चाहिए।
अतः,$\frac{\theta_1 - \theta}{x_1} = \frac{\theta - \theta_2}{x_2}$.
मान रखने पर:
$\frac{100^{\circ} C - \theta}{80 \,cm} = \frac{\theta - 0^{\circ} C}{120 \,cm}$.
$120(100 - \theta) = 80\theta$.
$12000 - 120\theta = 80\theta$.
$200\theta = 12000$.
$\theta = \frac{12000}{200} = 60^{\circ} C$.
इस प्रकार,उस बिंदु पर तापमान $60^{\circ} C$ है।
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DifficultMCQ
$10 \text{ cm}$ लंबाई और $2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली एक धातु की छड़ को एक कुचालक पदार्थ से ढका गया है। इसका एक सिरा $80^{\circ} \text{C}$ पर रखा गया है,जबकि दूसरा सिरा $0^{\circ} \text{C}$ पर बर्फ में रखा गया है। यह पाया जाता है कि $5 \text{ min}$ में $20 \text{ g}$ बर्फ पिघल जाती है। धातु की ऊष्मीय चालकता $\text{J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$ में ज्ञात कीजिए। (बर्फ की गुप्त ऊष्मा $80 \text{ cal g}^{-1}$ है।)
A
$70$
B
$80$
C
$90$
D
$100$
Solution
(D) दिया गया है:
छड़ की लंबाई,$l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
तापमान का अंतर,$\Delta T = 80^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 80 \text{ K}$
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान,$m = 20 \text{ g}$
लिया गया समय,$t = 5 \text{ min} = 300 \text{ s}$
बर्फ की गुप्त ऊष्मा,$L = 80 \text{ cal/g} = 80 \times 4.184 \text{ J/g} = 334.72 \text{ J/g}$
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा,$Q = m \times L = 20 \text{ g} \times 334.72 \text{ J/g} = 6694.4 \text{ J}$
ऊष्मा प्रवाह की दर,$H = \frac{Q}{t} = \frac{6694.4 \text{ J}}{300 \text{ s}} \approx 22.314 \text{ W}$
ऊष्मीय चालन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$H = \frac{k A \Delta T}{l}$
$22.314 = \frac{k \times (2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 80 \text{ K}}{0.1 \text{ m}}$
$22.314 = k \times 0.224$
$k = \frac{22.314}{0.224} \approx 99.61 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$
निकटतम पूर्णांक में,$k \approx 100 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
छड़ की लंबाई,$l = 10 \text{ cm} = 0.1 \text{ m}$
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल,$A = 2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
तापमान का अंतर,$\Delta T = 80^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 80 \text{ K}$
पिघली हुई बर्फ का द्रव्यमान,$m = 20 \text{ g}$
लिया गया समय,$t = 5 \text{ min} = 300 \text{ s}$
बर्फ की गुप्त ऊष्मा,$L = 80 \text{ cal/g} = 80 \times 4.184 \text{ J/g} = 334.72 \text{ J/g}$
बर्फ को पिघलाने के लिए आवश्यक ऊष्मा,$Q = m \times L = 20 \text{ g} \times 334.72 \text{ J/g} = 6694.4 \text{ J}$
ऊष्मा प्रवाह की दर,$H = \frac{Q}{t} = \frac{6694.4 \text{ J}}{300 \text{ s}} \approx 22.314 \text{ W}$
ऊष्मीय चालन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$H = \frac{k A \Delta T}{l}$
$22.314 = \frac{k \times (2.8 \times 10^{-4} \text{ m}^2) \times 80 \text{ K}}{0.1 \text{ m}}$
$22.314 = k \times 0.224$
$k = \frac{22.314}{0.224} \approx 99.61 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$
निकटतम पूर्णांक में,$k \approx 100 \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
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DifficultMCQ
$60 \text{ cm}$ किनारे वाले एक बंद घनाकार बक्से की दीवारें $1 \text{ mm}$ मोटाई और $4 \times 10^{-4} \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} {}^{\circ}\text{C}^{-1}$ ऊष्मीय चालकता वाले पदार्थ से बनी हैं। बक्से के अंदर रखे एक हीटर द्वारा बक्से के आंतरिक भाग को बाहरी तापमान से $1000^{\circ}\text{C}$ ऊपर बनाए रखा जाता है,जो $400 \text{ V}$ $DC$ आपूर्ति से जुड़ा है। हीटर का प्रतिरोध क्या है ($Omega$ में)?
A
$4.41$
B
$44.1$
C
$0.441$
D
$441$
Solution
(C) चालन द्वारा घन की दीवारों से ऊष्मा प्रवाह की दर: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_0)}{x}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 6a^2 = 6 \times (60 \text{ cm})^2 = 21600 \text{ cm}^2$.
मोटाई $x = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
ऊष्मीय चालकता $k = 4 \times 10^{-4} \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} {}^{\circ}\text{C}^{-1}$.
तापमान का अंतर $\Delta T = 1000^{\circ}\text{C}$.
ऊष्मा प्रवाह दर को $SI$ इकाइयों (वाट) में बदलने के लिए,हम $4.184 \text{ J/cal}$ से गुणा करते हैं:
$P = \frac{k A \Delta T}{x} \times 4.184 = \frac{4 \times 10^{-4} \times 21600 \times 1000}{0.1} \times 4.184 \text{ W}$.
$P = 86400 \times 4.184 = 361497.6 \text{ W}$.
चूंकि $P = V^2/R$,इसलिए $R = V^2/P = (400)^2 / 361497.6 = 160000 / 361497.6 \approx 0.4426 \Omega$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,प्रतिरोध $0.441 \Omega$ है।
यहाँ,कुल सतह का क्षेत्रफल $A = 6a^2 = 6 \times (60 \text{ cm})^2 = 21600 \text{ cm}^2$.
मोटाई $x = 1 \text{ mm} = 0.1 \text{ cm}$.
ऊष्मीय चालकता $k = 4 \times 10^{-4} \text{ cal s}^{-1} \text{ cm}^{-1} {}^{\circ}\text{C}^{-1}$.
तापमान का अंतर $\Delta T = 1000^{\circ}\text{C}$.
ऊष्मा प्रवाह दर को $SI$ इकाइयों (वाट) में बदलने के लिए,हम $4.184 \text{ J/cal}$ से गुणा करते हैं:
$P = \frac{k A \Delta T}{x} \times 4.184 = \frac{4 \times 10^{-4} \times 21600 \times 1000}{0.1} \times 4.184 \text{ W}$.
$P = 86400 \times 4.184 = 361497.6 \text{ W}$.
चूंकि $P = V^2/R$,इसलिए $R = V^2/P = (400)^2 / 361497.6 = 160000 / 361497.6 \approx 0.4426 \Omega$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,प्रतिरोध $0.441 \Omega$ है।
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