Circle connected with triangle Questions in Hindi

(D) दिया है,$r_1=36, r_2=18, r_3=12$.
हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,अंतःत्रिज्या $r$ और बहिःत्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ के बीच संबंध $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ होता है।
मान रखने पर: $\frac{1}{r} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
अतः,$r=6$.
हम यह भी जानते हैं कि $\Delta^2 = r \cdot r_1 \cdot r_2 \cdot r_3$.
$\Delta^2 = 6 \times 36 \times 18 \times 12 = 6^6$.
इसलिए,$\Delta = 6^3 = 216$.
चूंकि $r = \frac{\Delta}{s}$,इसलिए $s = \frac{\Delta}{r} = \frac{216}{6} = 36$.

(D) दिया है,$\frac{a}{4} = \frac{b}{5} = \frac{c}{6} = k$ (माना)।
अतः,$a = 4k, b = 5k, c = 6k$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \cdot \frac{7k}{2} \cdot \frac{5k}{2} \cdot \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2 / 4}{15k / 2} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{(4k)(5k)(6k)}{4 \cdot (15\sqrt{7}k^2 / 4)} = \frac{120k^3}{15\sqrt{7}k^2} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$।
अतः,अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \div \frac{\sqrt{7}k}{2} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \cdot \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$।

(B) एक समकोण त्रिभुज $\triangle ABC$ में जहाँ $\angle C = \frac{\pi}{2}$ है,भुजाएँ $a$,$b$ और $c$ (कर्ण) हैं।
अंतःवृत्त के गुणों के अनुसार,शीर्ष $C$ से भुजाओं $AC$ और $BC$ पर स्पर्श बिंदुओं की दूरी $r$ है।
अतः,भुजाओं को $b = x+r$ और $a = y+r$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $x$ और $y$ क्रमशः शीर्ष $A$ और $B$ से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई हैं।
कर्ण $c = x+y$ है।
चूँकि $c$ परिवृत्त का व्यास है,$c = 2R$,इसलिए $x+y = 2R$ है।
अब,$a$ और $b$ के योग के लिए:
$a+b = (y+r) + (x+r) = (x+y) + 2r = 2R + 2r$ है।
$2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R+r = \frac{a+b}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
अतः,$ab - r_1 r_2 = ab - \frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)}$.
चूँकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $ab - r_1 r_2 = ab - s(s-c)$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $ab - \frac{a+b+c}{2} \cdot \frac{a+b-c}{2} = ab - \frac{(a+b)^2 - c^2}{4} = \frac{4ab - (a^2 + 2ab + b^2) + c^2}{4} = \frac{c^2 - (a-b)^2}{4} = \frac{c-(a-b)}{2} \cdot \frac{c+(a-b)}{2} = (s-a)(s-b)$ प्राप्त होता है।
अब,$\frac{ab - r_1 r_2}{r_3} = \frac{(s-a)(s-b)}{\frac{\Delta}{s-c}} = \frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{\Delta} = \frac{\Delta^2}{s \Delta} = \frac{\Delta}{s} = r$।

(A) $\triangle ABC$ के लिए,बाह्य-त्रिज्याएँ $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$ हैं और अंतःत्रिज्या $r=\frac{\Delta}{s}$ है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
हम जानते हैं कि $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$ होता है।
अतः,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$ होगा।
दिया गया है $r_1=2, r_2=3, r_3=6$,हम $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ संबंध का उपयोग करके $r$ ज्ञात कर सकते हैं।
$\frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$,इसलिए $r=1$ है।
मान रखने पर,$r_1+r_2+r_3-r = 2+3+6-1 = 10$ प्राप्त होता है।
अतः,$r_1+r_2+r_3-r = 4R$ है।

(A) दिया गया है,$\triangle ABC$ में,$r_1=2, r_2=3, r_3=6$।
हम बाह्यवृत्त की त्रिज्या के सूत्र जानते हैं: $r_1=\frac{\Delta}{s-a}, r_2=\frac{\Delta}{s-b}, r_3=\frac{\Delta}{s-c}$।
अतः,$s-a=\frac{\Delta}{2}, s-b=\frac{\Delta}{3}, s-c=\frac{\Delta}{6}$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $(s-a)+(s-b)+(s-c) = \Delta(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})$।
$3s-(a+b+c) = \Delta(\frac{3+2+1}{6}) = \Delta$।
चूंकि $a+b+c=2s$,हमारे पास $3s-2s = \Delta$ है,इसलिए $s=\Delta$।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
$s=\Delta$ और $(s-a), (s-b), (s-c)$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \sqrt{\Delta \cdot \frac{\Delta}{2} \cdot \frac{\Delta}{3} \cdot \frac{\Delta}{6}} = \sqrt{\frac{\Delta^4}{36}} = \frac{\Delta^2}{6}$।
चूंकि $\Delta \neq 0$,हमें $1 = \frac{\Delta}{6}$ प्राप्त होता है,इसलिए $\Delta = 6$।
अतः,$s = 6$।
अब,$s-a = \frac{6}{2} = 3 \Rightarrow a = 6-3 = 3$।
$s-b = \frac{6}{3} = 2 \Rightarrow b = 6-2 = 4$।
$s-c = \frac{6}{6} = 1 \Rightarrow c = 6-1 = 5$।
इसलिए,$(a, b, c) = (3, 4, 5)$।

(D) $\triangle ABC$ में,बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ होती हैं।
$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$,$\sin \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}}$,और $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{ac}} \cdot \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}{abc}$
चूँकि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ और $abc = 4R\Delta$ है,इसलिए:
$E = \frac{16 R s \Delta}{s-c} \cdot \frac{(s-c) \Delta}{4R\Delta} = 4s\Delta$.
अब,$r_1 r_2 r_3 = \frac{\Delta^3}{(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta^3}{\Delta^2/s} = s\Delta$.
अतः,$4s\Delta = 4 r_1 r_2 r_3$.

(A) दिया गया है $a: b: c = 4: 5: 6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{15\sqrt{7}}{4} k^2$.
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8}{\sqrt{7}} k$.
अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}}{2} k$.
अनुपात $R: r = \frac{8}{\sqrt{7}} k : \frac{\sqrt{7}}{2} k = \frac{16}{7}$.

(C) $\triangle IBC$ में,$\angle BIC = 90^\circ + \frac{A}{2}$। $\triangle IBC$ की परिवृत्त त्रिज्या $P_1 = \frac{a}{2 \sin(\angle BIC)} = \frac{a}{2 \cos(A/2)}$ है।
इसी प्रकार,$P_2 = \frac{b}{2 \cos(B/2)}$ और $P_3 = \frac{c}{2 \cos(C/2)}$।
अतः,$P_1 P_2 P_3 = \frac{abc}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)}$।
$a = 2R \sin A = 4R \sin(A/2) \cos(A/2)$ का उपयोग करने पर,$abc = 8R^3 \sin A \sin B \sin C = 8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$P_1 P_2 P_3 = \frac{8R^3 (8 \sin(A/2) \cos(A/2) \sin(B/2) \cos(B/2) \sin(C/2) \cos(C/2))}{8 \cos(A/2) \cos(B/2) \cos(C/2)} = 8R^3 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$।
चूंकि $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$,इसलिए $\sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2) = \frac{r}{4R}$।
अतः,$P_1 P_2 P_3 = 8R^3 \times \frac{r}{4R} = 2R^2r$।

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$.
मान रखने पर: $a^2 = 2^2 + (\sqrt{3})^2 - 2(2)(\sqrt{3}) \cos 30^{\circ} = 4 + 3 - 4\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 7 - 6 = 1$.
अतः,$a = 1$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} bc \sin A = \frac{1}{2} (2)(\sqrt{3}) \sin 30^{\circ} = \sqrt{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{1+2+\sqrt{3}}{2} = \frac{3+\sqrt{3}}{2}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{3}/2}{(3+\sqrt{3})/2} = \frac{\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $r = \frac{\sqrt{3}(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})(3-\sqrt{3})} = \frac{3\sqrt{3}-3}{9-3} = \frac{3(\sqrt{3}-1)}{6} = \frac{\sqrt{3}-1}{2}$.

(C) हम जानते हैं कि बाह्य त्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ और परिवृत्त त्रिज्या $R$ के बीच संबंध $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ है,जहाँ $r$ अंतःत्रिज्या है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{r r_1 r_2 r_3}$ है।
दिया गया है $r_1=3, r_2=10, r_3=15$.
$\frac{1}{r} = \frac{1}{3} + \frac{1}{10} + \frac{1}{15} = \frac{15}{30} = \frac{1}{2}$.
अतः,$r=2$.
अब,$\Delta = \sqrt{2 \times 3 \times 10 \times 15} = 30$.
सूत्र $\Delta = rs$ का उपयोग करने पर,$30 = 2s \implies s = 15$.
भुजाएँ $a=5, b=12, c=13$ प्राप्त होती हैं।
चूँकि यह एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2} = \frac{13}{2}$.

(A) माना $\alpha, \beta, \gamma$ क्रमशः शीर्षों $A, B, C$ से अंतःवृत्त पर स्पर्श रेखाओं की लंबाई हैं।
तब त्रिभुज की भुजाएँ $a = \beta + \gamma$,$b = \alpha + \gamma$,और $c = \alpha + \beta$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \alpha + \beta + \gamma$ है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha)(\beta)(\gamma)} = \sqrt{s \alpha \beta \gamma}$ है।
हम जानते हैं कि अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
अतः,$r^2 = \frac{\Delta^2}{s^2} = \frac{s \alpha \beta \gamma}{s^2} = \frac{\alpha \beta \gamma}{s}$ है।
$s = \alpha + \beta + \gamma$ रखने पर,$r^2 = \frac{\alpha \beta \gamma}{\alpha + \beta + \gamma}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$\alpha + \beta + \gamma = \frac{\alpha \beta \gamma}{r^2}$।

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$,$r_3 = 4R \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$,और $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$.
इन मानों को $r_1+r_2+r_3-r$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 4R [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} + \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} (\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}) + \sin \frac{C}{2} (\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{A+B}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{A+B}{2})]$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \sin (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) + \sin \frac{C}{2} \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2})]$
$= 4R [\cos \frac{C}{2} \cos \frac{C}{2} + \sin \frac{C}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$= 4R [\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}] = 4R(1) = 4R$.

(D) माना परिवृत्त की त्रिज्या $R_c$ है। दिया गया है $R_c = PQ$। $\triangle PQR$ में,$PQ = PR$,इसलिए $\angle Q = \angle R$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{PQ}{\sin R} = 2R_c$।
$R_c = PQ$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{PQ}{\sin R} = 2PQ$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\sin R = \frac{1}{2}$,इसलिए $R = 30^{\circ}$।
चूंकि $\angle Q = \angle R$,इसलिए $\angle Q = 30^{\circ}$।
$\triangle PQR$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $\angle P + \angle Q + \angle R = 180^{\circ}$।
$\angle P + 30^{\circ} + 30^{\circ} = 180^{\circ} \Rightarrow \angle P = 120^{\circ}$।

(D) दिया गया है $r = \frac{\Delta}{s}$ और $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$.
$rr_1 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} = \frac{s(s-a)(s-b)(s-c)}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$.
चूंकि त्रिभुज आधार $BC$ के साथ समद्विबाहु है,इसलिए $b = c$ है।
अतः,$rr_1 = (s-b)^2$.
चूंकि $2s = a+b+c = a+2b$,इसलिए $s-b = \frac{a+2b-2b}{2} = \frac{a}{2}$ है।
इसलिए,$rr_1 = (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$,इसलिए $rr_1 = \frac{(2R \sin A)^2}{4} = \frac{4R^2 \sin^2 A}{4} = R^2 \sin^2 A$.

(A) हमें दिया गया है $r r_2 = r_1 r_3$।
सूत्रों $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right) = \left(\frac{\Delta}{s-a}\right) \left(\frac{\Delta}{s-c}\right)$
$\Rightarrow s(s-b) = (s-a)(s-c)$
इस समीकरण को हल करने पर हमें $B = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\cos 2B = \cos \pi = -1$।

(A) बहिर्वृत्तों के व्यास $d_1 = \frac{2\Delta}{s-a}$,$d_2 = \frac{2\Delta}{s-b}$,और $d_3 = \frac{2\Delta}{s-c}$ द्वारा दिए जाते हैं।
हमें $d_1 d_2 + d_2 d_3 + d_3 d_1 = \frac{4\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{4\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{4\Delta^2}{(s-c)(s-a)}$ की गणना करनी है।
$4\Delta^2$ को उभयनिष्ठ लेने पर,हमें $4\Delta^2 \left[ \frac{(s-c) + (s-a) + (s-b)}{(s-a)(s-b)(s-c)} \right]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,अंश $3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$ हो जाता है।
अतः,व्यंजक $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{(s-a)(s-b)(s-c)}$ बन जाता है।
हेरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए $(s-a)(s-b)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s}$।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{4\Delta^2 \cdot s}{\Delta^2 / s} = 4s^2 = (2s)^2 = (a+b+c)^2$ प्राप्त होता है।

(C) . $\because \tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
साथ ही,$\frac{r}{s-a} = \frac{\Delta}{s(s-a)} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$.
$\therefore \tan \frac{A}{2} = \frac{r}{s-a} = \frac{(s-b)(s-c)}{\Delta}$. अतः,$A-V$.
$B$. आकृति से,$r = IF = (AI) \sin \frac{A}{2} = (AI) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$. अतः,$B-I$.
$C$. $SI$ परिकेंद्र और अंतःकेंद्र के बीच की दूरी है,जो $SI = \sqrt{R^2 - 2rR}$ द्वारा दी जाती है।
वर्ग करने पर $(SI)^2 = R^2 - 2rR$ प्राप्त होता है,इसलिए $(SI)^2 + 2Rr = R^2$. अतः,$C-II$.
$D$. हम जानते हैं कि $r_1 + r_2 + r_3 = 4R + r$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2(r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1)$.
$r_1r_2 + r_2r_3 + r_3r_1 = s^2$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1^2 + r_2^2 + r_3^2 = (4R + r)^2 - 2s^2 = (4R + r + \sqrt{2}s)(4R + r - \sqrt{2}s)$ प्राप्त होता है। अतः,$D-III$.

(D) हमें संबंध $2R + r = r_2$ दिया गया है।
परित्रिज्या $R$,अंतःत्रिज्या $r$ और बहिःत्रिज्या $r_2$ के मानक सूत्रों का उपयोग करने पर:
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} [\cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2} - \sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2}]$
$r_2 - r = 4R \sin \frac{B}{2} \cos(\frac{A+C}{2})$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B}{2}$,अतः $\cos(\frac{A+C}{2}) = \sin \frac{B}{2}$.
इस प्रकार,$r_2 - r = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
दिया गया है कि $2R = r_2 - r$,इसलिए $2R = 4R \sin^2 \frac{B}{2}$.
$2R$ से भाग देने पर,$1 = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$,जिसका अर्थ है $\sin^2 \frac{B}{2} = \frac{1}{2}$.
अतः,$\sin \frac{B}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \sin \frac{\pi}{4}$.
इससे $\frac{B}{2} = \frac{\pi}{4}$,अर्थात $B = \frac{\pi}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1}{r^2} + \frac{1}{r_1^2} + \frac{1}{r_2^2} + \frac{1}{r_3^2} = \frac{s^2}{\Delta^2} + \frac{(s-a)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-b)^2}{\Delta^2} + \frac{(s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s-a)^2 + (s-b)^2 + (s-c)^2}{\Delta^2}$
$= \frac{s^2 + (s^2 - 2as + a^2) + (s^2 - 2bs + b^2) + (s^2 - 2cs + c^2)}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 2s(a+b+c) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए:
$= \frac{4s^2 - 2s(2s) + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{4s^2 - 4s^2 + a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{\Delta^2}$

(A) त्रिभुज $\triangle ABC$ में,निम्नलिखित मानक सर्वसमिकाएँ सत्य हैं:
$1$. अंतःत्रिज्या $r$ और बाह्यत्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ का गुणनफल $r r_1 r_2 r_3 = \Delta^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
$2$. बाह्यत्रिज्याओं के दो-दो के गुणनफल का योग $r_1 r_2 + r_2 r_3 + r_3 r_1 = s^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $s$ त्रिभुज का अर्ध-परिमाप है।
अतः,दोनों कथन $(I)$ और $(II)$ सत्य हैं।

(D) $I$. हम जानते हैं कि $r = 4R \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ त्रिभुज की अंतःत्रिज्या (inradius) के लिए एक मानक सूत्र है।
$II$. हम जानते हैं कि $r_1 = (s-a) \tan \frac{A}{2}$ शीर्ष $A$ के सम्मुख बाह्यत्रिज्या (exradius) $r_1$ के लिए एक मानक सूत्र है।
$III$. हम जानते हैं कि $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ शीर्ष $C$ के सम्मुख बाह्यत्रिज्या (exradius) $r_3$ के लिए एक मानक सूत्र है।
अतः,तीनों कथन सही हैं।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,और $r_3 = s \tan(C/2)$ हैं,और अंतःत्रिज्या $r = (s-a) \tan(A/2)$ है।
दिया गया है कि $\angle A = 90^{\circ}$,इसलिए $A/2 = 45^{\circ}$।
अतः,$r_1 = s \tan(45^{\circ}) = s$।
साथ ही,$r = (s-a) \tan(45^{\circ}) = s-a$।
इसलिए,$r_1 - r = s - (s-a) = a$।
समकोण त्रिभुज में,कर्ण $a = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इस प्रकार,$r_2+r_3 = r_1-r$ होता है।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,बाह्य त्रिज्याएँ $r_2 = s \tan \left(\frac{B}{2}\right)$ और $r_3 = s \tan \left(\frac{C}{2}\right)$ होती हैं।
$r_2 + r_3 = a \cot \left(\frac{A}{2}\right)$ होता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$a = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right)$ है।
अतः,$(r_2 + r_3) \operatorname{cosec}^2 \left(\frac{A}{2}\right) = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \cos \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \frac{1}{\sin^2 \left(\frac{A}{2}\right)} = 4R \cot \left(\frac{A}{2}\right)$।

(D) पर समकोण त्रिभुज $ABC$ में,भुजाएँ $a$ ($A$ के सम्मुख),$c$ ($C$ के सम्मुख),और $b$ (कर्ण,$B$ के सम्मुख) हैं।
दिया गया है $a = 13$ और $c = 84$।
कर्ण $b = \sqrt{a^2 + c^2} = \sqrt{13^2 + 84^2} = \sqrt{169 + 7056} = \sqrt{7225} = 85$।
समकोण त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{a + c - b}{2} = \frac{13 + 84 - 85}{2} = \frac{12}{2} = 6$।
समकोण त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{b}{2} = \frac{85}{2} = 42.5$।
अतः,$r + R = 6 + 42.5 = 48.5$।

(A) त्रिभुज $ABC$ में,$AD$,$\angle A$ का समद्विभाजक है।
समान वृत्तखंड के कोण बराबर होने के कारण,$\triangle ABD \sim \triangle AEC$ है।
अतः,$\frac{AD}{AE} = \frac{c}{b}$ प्राप्त होता है।
$DE = AE - AD$ का उपयोग करके,हल करने पर $DE \cos \frac{A}{2} = \frac{a^2}{2(b+c)}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{7}{9}} = \frac{\sqrt{7}}{3}$.
सूत्र $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ का उपयोग करने पर,$\tan^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
यहाँ $a=5, b=4$ है,इसलिए $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{9+c}{2}$.
अतः $s-a = \frac{c-1}{2}$ और $s-b = \frac{c+1}{2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{(\frac{c-1}{2})(\frac{c+1}{2})}{s(s-c)} = \frac{c^2-1}{4s(s-c)} = \frac{7}{9}$.
क्षेत्रफल के सूत्र $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ से,$r = \frac{\Delta}{s} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$.
$\tan \frac{C}{2} = \frac{r}{s-c}$ से,$r = (s-c) \tan \frac{C}{2}$.
गणना करने पर $c=6$ प्राप्त होता है। इसलिए $s = \frac{5+4+6}{2} = 7.5$.
$r = (s-c) \tan \frac{C}{2} = (7.5 - 6) \times \frac{\sqrt{7}}{3} = 1.5 \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{3}{2} \times \frac{\sqrt{7}}{3} = \frac{\sqrt{7}}{2}$.

(C) दिया गया समीकरण $x^3-11x^2+36x-36=0$ है।
त्रिघातीय समीकरण का गुणनखंड करने पर,$(x-2)(x-3)(x-6)=0$ प्राप्त होता है।
अतः,बहिःत्रिज्याएँ $r_1=2, r_2=3, r_3=6$ हैं।
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = 1$।
चूँकि $r = \frac{\Delta}{s} = 1$,इसलिए $\Delta = s$ है।
$r_1 = \frac{s}{s-a} = 2$ का उपयोग करने पर,$s = 2s - 2a$,जिससे $2a = s$ प्राप्त होता है।
$r_2 = \frac{s}{s-b} = 3$ का उपयोग करने पर,$s = 3s - 3b$,जिससे $3b = 2s$ प्राप्त होता है।
$r_3 = \frac{s}{s-c} = 6$ का उपयोग करने पर,$s = 6s - 6c$,जिससे $6c = 5s$ प्राप्त होता है।
चूँकि $s = \frac{a+b+c}{2}$,इसलिए $2s = a+b+c$ है।
$a = \frac{s}{2}, b = \frac{2s}{3}, c = \frac{5s}{6}$ को $a+b+c = 2s$ में रखने पर:
$\frac{s}{2} + \frac{2s}{3} + \frac{5s}{6} = \frac{3s+4s+5s}{6} = \frac{12s}{6} = 2s$।
यह किसी भी $s$ के लिए सत्य है। परिमाप $2s$ ज्ञात करने के लिए,हम $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = s$ का उपयोग करते हैं।
$\sqrt{s(s-\frac{s}{2})(s-\frac{2s}{3})(s-\frac{5s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{s(\frac{s}{2})(\frac{s}{3})(\frac{s}{6})} = s$ $\Rightarrow \sqrt{\frac{s^4}{36}} = s$ $\Rightarrow \frac{s^2}{6} = s$।
चूँकि $s \neq 0$,इसलिए $s = 6$ है।
अतः,परिमाप $2s = 2(6) = 12$ है।

(B) दिया गया है $a=7, b=8, c=9$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{7+8+9}{2} = 12$।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{12(12-7)(12-8)(12-9)} = \sqrt{12 \times 5 \times 4 \times 3} = \sqrt{720} = 12\sqrt{5}$।
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
अतः,$\frac{1}{r_1^2}+\frac{1}{r_2^2}+\frac{1}{r_3^2} = \frac{(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2}{\Delta^2}$।
मान रखने पर:
$= \frac{(12-7)^2+(12-8)^2+(12-9)^2}{720} = \frac{5^2+4^2+3^2}{720} = \frac{25+16+9}{720} = \frac{50}{720} = \frac{5}{72}$।

(D) दिया है $b=6, c=7$ और $\tan \frac{A}{2}=\frac{1}{\sqrt{6}}$.
सूत्र $\cos A = \frac{1-\tan^2(A/2)}{1+\tan^2(A/2)}$ का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{1-1/6}{1+1/6} = \frac{5/6}{7/6} = \frac{5}{7}$.
कोसाइन नियम $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{5}{7} = \frac{6^2+7^2-a^2}{2 \times 6 \times 7} = \frac{36+49-a^2}{84}$.
$60 = 85 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 25$ $\Rightarrow a=5$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5+6+7}{2} = 9$.
अंतःत्रिज्या $r = (s-a) \tan \frac{A}{2}$.
$r = (9-5) \times \frac{1}{\sqrt{6}} = \frac{4}{\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6}}{6} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

(A) दिया गया है $a : b : c = 4 : 5 : 6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2}(\frac{7k}{2})(\frac{5k}{2})(\frac{3k}{2})} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{120k^3}{4 \times \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{\sqrt{7}k} = \frac{16}{7}$.

(D) वृत्त का क्षेत्रफल $\pi r^2$ द्वारा दिया जाता है। दिए गए बहिर्वृत्तों के क्षेत्रफल $A_1, A_2, A_3$ क्रमशः $4, 9, 16$ हैं,इसलिए:
$\pi r_1^2 = 4 \Rightarrow r_1 = \frac{2}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_2^2 = 9 \Rightarrow r_2 = \frac{3}{\sqrt{\pi}}$
$\pi r_3^2 = 16 \Rightarrow r_3 = \frac{4}{\sqrt{\pi}}$
अंतःत्रिज्या $r$ और बहिर्त्रिज्याओं $r_1, r_2, r_3$ के बीच का संबंध $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1}{r} = \frac{\sqrt{\pi}}{2} + \frac{\sqrt{\pi}}{3} + \frac{\sqrt{\pi}}{4} = \sqrt{\pi} \left( \frac{6+4+3}{12} \right) = \frac{13\sqrt{\pi}}{12}$.
अतः,$r = \frac{12}{13\sqrt{\pi}}$.
अंतःवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{12}{13\sqrt{\pi}} \right)^2 = \pi \left( \frac{144}{169\pi} \right) = \frac{144}{169}$.

(D) सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $S$ की गणना करें:
$S = \frac{7+10+11}{2} = 14$
हीरोन के सूत्र का उपयोग करके क्षेत्रफल $\Delta$ ज्ञात करें:
$\Delta = \sqrt{14(14-7)(14-10)(14-11)} = \sqrt{14 \times 7 \times 4 \times 3} = 14\sqrt{6}$
हमारे पास सूत्र हैं $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और $r = \frac{\Delta}{S}$.
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{abc \times S}{4\Delta^2}$.
मान रखने पर:
$\frac{R}{r} = \frac{7 \times 10 \times 11 \times 14}{4 \times 1176} = \frac{55}{24}$.

(B) त्रिभुज की दी गई भुजाएँ $a=12, b=16, c=20$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{12+16+20}{2} = 24$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{24(12)(8)(4)} = 96$ है।
बाह्य-त्रिज्याएँ $r_A = \frac{\Delta}{s-a}, r_B = \frac{\Delta}{s-b}, r_C = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं।
$r_C = \frac{96}{4} = 24, r_B = \frac{96}{8} = 12, r_A = \frac{96}{12} = 8$ है।
अनुपात $r_C : r_B : r_A = 24 : 12 : 8 = 6 : 3 : 2$ है।

(A) दिया गया है,$a:b:c = 4:5:6$. मान लीजिए $a=4x, b=5x, c=6x$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{4x+5x+6x}{2} = \frac{15x}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15x}{2} \cdot \frac{7x}{2} \cdot \frac{5x}{2} \cdot \frac{3x}{2}} = \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4x \cdot 5x \cdot 6x}{4 \cdot \frac{15x^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{8x}{\sqrt{7}}$.
हम जानते हैं कि $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$. साथ ही,$r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15x^2\sqrt{7}/4}{15x/2} = \frac{\sqrt{7}x}{2}$.
अतः,$r_1+r_2+r_3 = 4R + \frac{\sqrt{7}x}{2} = 4(\frac{8x}{\sqrt{7}}) + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{32x}{\sqrt{7}} + \frac{\sqrt{7}x}{2} = \frac{64x+7x}{2\sqrt{7}} = \frac{71x}{2\sqrt{7}}$.
अंत में,$\frac{1}{4R}[r_1+r_2+r_3] = \frac{1}{4(8x/\sqrt{7})} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{\sqrt{7}}{32x} \cdot \frac{71x}{2\sqrt{7}} = \frac{71}{64}$.

(B) दिया गया है: $r_1=12, r_2=6, r_3=4$.
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$s-a = \frac{\Delta}{12}, s-b = \frac{\Delta}{6}, s-c = \frac{\Delta}{4}$.
इनका योग करने पर,$(s-a)+(s-b)+(s-c) = 3s-(a+b+c) = s = \Delta(\frac{1}{12} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4}) = \Delta(\frac{1+2+3}{12}) = \frac{6\Delta}{12} = \frac{\Delta}{2}$.
अतः,$\Delta = 2s$.
अब,$s-a = \frac{2s}{12} = \frac{s}{6} \Rightarrow a = s - \frac{s}{6} = \frac{5s}{6}$.
$s-b = \frac{2s}{6} = \frac{s}{3} \Rightarrow b = s - \frac{s}{3} = \frac{2s}{3}$.
$s-c = \frac{2s}{4} = \frac{s}{2} \Rightarrow c = s - \frac{s}{2} = \frac{s}{2}$.
$\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ का उपयोग करने पर,$(2s)^2 = s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2})$.
$4s^2 = \frac{s^4}{36}$ $\Rightarrow s^2 = 144$ $\Rightarrow s = 12$.
अतः $a = \frac{5 \times 12}{6} = 10, b = \frac{2 \times 12}{3} = 8, c = \frac{12}{2} = 6$.
इसलिए,$a+2b+3c = 10 + 2(8) + 3(6) = 10 + 16 + 18 = 44$.

(A) एक समबाहु त्रिभुज में,मान लीजिए भुजा की लंबाई $a$ है।
तब,अर्ध-परिमाप $s = \frac{3a}{2}$ और क्षेत्रफल $\Delta = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$ है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{a}{\sqrt{3}}$ है।
बहिःत्रिज्या $r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ है।
अब,अनुपात $r : R : r_1 = \frac{a}{2\sqrt{3}} : \frac{a}{\sqrt{3}} : \frac{\sqrt{3}a}{2} = 1 : 2 : 3$ है।

(C) त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या उस वृत्त की त्रिज्या होती है जो त्रिभुज के सभी शीर्षों से होकर गुजरती है।
दी गई त्रिभुज की भुजाएँ $3$,$4$ और $5$ हैं।
चूँकि $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$,इसलिए यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज के लिए,परिवृत्त त्रिज्या $R$ कर्ण की आधी होती है।
यहाँ कर्ण सबसे लंबी भुजा $5$ है।
अतः,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{\text{कर्ण}}{2} = \frac{5}{2}$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है।
अतः,$\frac{1}{p_1} = \frac{a}{2\Delta}$,$\frac{1}{p_2} = \frac{b}{2\Delta}$,और $\frac{1}{p_3} = \frac{c}{2\Delta}$ है।
इसलिए,$\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right) = \frac{a+b+c}{2\Delta} = \frac{2s}{2\Delta} = \frac{s}{\Delta} = \frac{1}{r}$ होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\left(\frac{1}{p_1}+\frac{1}{p_2}+\frac{1}{p_3}\right)^2 = \frac{1}{r^2}$ प्राप्त होता है।
हम यह भी जानते हैं कि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{r}$ होता है।
अतः,$\frac{1}{r^2} = \frac{1}{r} \left(\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3}\right)$ है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $a=4k, b=5k, c=6k$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15k}{2}$.
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{4k \times 5k \times 6k}{4 \times \frac{15k^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{120k^3}{15k^2\sqrt{7}} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15k^2\sqrt{7}}{4} \times \frac{2}{15k} = \frac{k\sqrt{7}}{2}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{8k}{\sqrt{7}} \times \frac{2}{k\sqrt{7}} = \frac{16}{7}$.

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,और $r = \frac{\Delta}{s}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{\Delta^2}{a^2+b^2+c^2}\left(\frac{(s-a)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-b)^2}{\Delta^2}+\frac{(s-c)^2}{\Delta^2}+\frac{s^2}{\Delta^2}\right)$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[(s-a)^2+(s-b)^2+(s-c)^2+s^2\right]$
$s = \frac{a+b+c}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2}\left[\left(\frac{b+c-a}{2}\right)^2+\left(\frac{a+c-b}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b-c}{2}\right)^2+\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2\right]$
$= \frac{1}{a^2+b^2+c^2} \cdot \frac{1}{4} \left[(b+c-a)^2 + (a+c-b)^2 + (a+b-c)^2 + (a+b+c)^2\right]$
वर्गों का विस्तार करने पर,सभी अतिरिक्त पद कट जाएंगे:
$= \frac{1}{4(a^2+b^2+c^2)} \left[4(a^2+b^2+c^2)\right] = 1$.

(A-II, B-III, C-I) $\triangle ABC$ में,हम बहिःत्रिज्याओं $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$ के मानक सूत्रों का उपयोग करते हैं।
$(A)$ दिया गया है $rr_2 = r_1r_3$:
$\frac{\Delta}{s} \cdot \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{\Delta}{s-c}$
$\Rightarrow (s-a)(s-c) = s(s-b)$
$\Rightarrow s^2 - s(a+c) + ac = s^2 - sb$
चूंकि $a+c = 2s-b$,हमारे पास $s^2 - s(2s-b) + ac = s^2 - sb$ है
$\Rightarrow -s^2 + 2sb + ac = 0$. यह $b^2 = a^2 + c^2$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $\angle B = 90^{\circ}$। अतः,$(A)$ $\rightarrow$ $(II)$।
$(B)$ दिया गया है $r_1 + r_2 = r_3 - r$:
$\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-c} - \frac{\Delta}{s}$
$\frac{s-b+s-a}{(s-a)(s-b)} = \frac{s-(s-c)}{s(s-c)}$
$\frac{c}{(s-a)(s-b)} = \frac{c}{s(s-c)}$
$\Rightarrow s(s-c) = (s-a)(s-b)$
$\Rightarrow s^2 - sc = s^2 - s(a+b) + ab$
$\Rightarrow s(a+b-c) = ab$
चूंकि $a+b-c = 2(s-c)$,यह $\angle C = 90^{\circ}$ की ओर ले जाता है। अतः,$(B)$ $\rightarrow$ $(III)$।
$(C)$ दिया गया है $r_1 = r + 2R$:
$r_1 - r = 4R \sin^2(A/2)$ और $r_1+r_2+r_3-r = 4R$ का उपयोग करते हुए,यह विशिष्ट सर्वसमिका $r_1 = r + 2R$ ज्ञात है कि $\angle A = 90^{\circ}$ के संगत है। अतः,$(C)$ $\rightarrow$ $(I)$।

(B) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
इनका योग करने पर,$r_1+r_2+r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} + \frac{1}{s-c} \right)$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $r_1+r_2+r_3 = 4R+r$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है और $r$ अंतःत्रिज्या है,परिणाम $4R+r$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $a: b: c = 4: 5: 6$. मान लीजिए $a = 4x, b = 5x, c = 6x$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{15x}{2}$.
परिवृत्त की त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta}$ और अंतःवृत्त की त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s}$,जहाँ $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
अनुपात $\frac{R}{r} = \frac{abc}{4(s-a)(s-b)(s-c)}$.
मान रखने पर:
$(s-a) = \frac{7x}{2}, (s-b) = \frac{5x}{2}, (s-c) = \frac{3x}{2}$.
$\frac{R}{r} = \frac{(4x)(5x)(6x)}{4(\frac{7x}{2})(\frac{5x}{2})(\frac{3x}{2})} = \frac{120x^3}{\frac{105x^3}{2}} = \frac{16}{7}$.
अतः,अनुपात $R: r = 16: 7$ है।

(A) माना $\triangle DEF$ की परिवृत्त त्रिज्या $R'$ है।
$\triangle ABC$ में,पैडल त्रिभुज $\triangle DEF$ के कोण $\angle FDE = 180^{\circ} - 2A$,$\angle DEF = 180^{\circ} - 2B$ और $\angle EFD = 180^{\circ} - 2C$ हैं।
पैडल त्रिभुज की भुजा $EF$ की लंबाई $EF = R \sin 2A$ द्वारा दी जाती है।
$\triangle DEF$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$2R' = \frac{EF}{\sin(\angle FDE)}$।
मान रखने पर,$2R' = \frac{R \sin 2A}{\sin(180^{\circ} - 2A)} = \frac{R \sin 2A}{\sin 2A} = R$।
अतः,$R' = \frac{R}{2}$।

(C) एक समकोण त्रिभुज $\Delta ABC$ में जहाँ $\angle C = 90^{\circ}$ है,अंतःत्रिज्या $r = \frac{a+b-c}{2}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $\angle C = 90^{\circ}$ है,कर्ण $c$ परिवृत्त का व्यास है,इसलिए परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2}$,जिसका अर्थ है कि $2R = c$ है।
अब,व्यंजक $2(r+R) = 2r + 2R$ पर विचार करें।
मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2(\frac{a+b-c}{2}) + c$ प्राप्त होता है।
$= (a+b-c) + c = a+b$।
अतः,$2(r+R) = a+b$।

(B) समद्विबाहु त्रिभुज $ABC$ में $AB = AC = 15$ और $BC = 10$ है,जहाँ $P$,$BC$ का मध्यबिंदु है।
चूँकि $AP$,आधार $BC$ पर लंब है,इसलिए $BP = PC = 5$ होगा।
$\Delta ABP$ में पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करने पर:
$AP = \sqrt{AB^2 - BP^2} = \sqrt{15^2 - 5^2} = \sqrt{225 - 25} = \sqrt{200} = 10 \sqrt{2}$।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} \times BC \times AP = \frac{1}{2} \times 10 \times 10 \sqrt{2} = 50 \sqrt{2}$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{15 + 15 + 10}{2} = 20$ है।
त्रिभुज की अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{50 \sqrt{2}}{20} = \frac{5 \sqrt{2}}{2} = \frac{5}{\sqrt{2}}$।
चूँकि $O$ अंतःवृत्त का केंद्र है और $P$,$BC$ पर स्पर्श बिंदु है,इसलिए $OP$ की दूरी अंतःत्रिज्या $r$ के बराबर होगी।
अतः,$OP = \frac{5}{\sqrt{2}}$ इकाई।