System of co-ordinates, Distance between two points, Section formulae Questions in Gujarati

(C) $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $P(x, 0)$ ધારો.
આપેલ છે કે $P(x, 0)$ અને $(2, 3)$ વચ્ચેનું અંતર $c$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\sqrt{(x-2)^2 + (0-3)^2} = c$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(x-2)^2 + 9 = c^2$.
કારણ કે $c < 3$,તેથી $c^2 < 9$.
માટે,$(x-2)^2 = c^2 - 9$.
$c^2 < 9$ હોવાથી,$c^2 - 9 < 0$ થાય.
વાસ્તવિક સંખ્યાનો વર્ગ ક્યારેય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $x$ ની એવી કોઈ વાસ્તવિક કિંમત નથી જે આ સમીકરણનું સમાધાન કરે.
આમ,આવા બિંદુઓની સંખ્યા $0$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(8, 4)$ એ $A(5, -2)$ અને $B(9, 6)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P = \left( \frac{k(9) + 1(5)}{k + 1}, \frac{k(6) + 1(-2)}{k + 1} \right)$
$x$-યામને સરખાવતા:
$8 = \frac{9k + 5}{k + 1}$
$8(k + 1) = 9k + 5$
$8k + 8 = 9k + 5$
$8 - 5 = 9k - 8k$
$k = 3$
આમ,ગુણોત્તર $k : 1$ એ $3 : 1$ છે.

(D) બિંદુઓ $P, Q$ અને $R$ રેખાખંડ $AB$ ને ચાર સમાન ભાગમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,ગુણોત્તર $AR:RB$ એ $3:1$ થાય.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જો કોઈ બિંદુ $(x, y)$ એ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે,તો તેના યામ:
$x = \frac{mx_2 + nx_1}{m+n}, y = \frac{my_2 + ny_1}{m+n}$
બિંદુ $R$ માટે,$m=3$ અને $n=1$,જ્યાં $A(-6, 8)$ અને $B(8, -6)$ છે:
$x = \frac{3(8) + 1(-6)}{3+1} = \frac{24 - 6}{4} = \frac{18}{4} = \frac{9}{2}$
$y = \frac{3(-6) + 1(8)}{3+1} = \frac{-18 + 8}{4} = \frac{-10}{4} = -\frac{5}{2}$
તેથી,$R$ ના યામ $(\frac{9}{2}, -\frac{5}{2})$ છે.

(C) બિંદુ $(x, y)$ નું $x$-અક્ષથી અંતર તેના $y$-યામના નિરપેક્ષ મૂલ્ય $|y|$ જેટલું હોય છે.
અહીં આપેલ બિંદુ $(6, 8)$ માં $x$-યામ $6$ છે અને $y$-યામ $8$ છે.
તેથી,$x$-અક્ષથી અંતર $|8| = 8$ એકમ થાય.

(C) બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m : n$ ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરતા બિંદુના યામ શોધવાનું સૂત્ર:
$P = (\frac{mx_2 - nx_1}{m - n}, \frac{my_2 - ny_1}{m - n})$
અહીં $(x_1, y_1) = (-3, -4)$,$(x_2, y_2) = (-8, 7)$ અને $m : n = 7 : 5$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{7(-8) - 5(-3)}{7 - 5} = \frac{-56 + 15}{2} = \frac{-41}{2}$
$y = \frac{7(7) - 5(-4)}{7 - 5} = \frac{49 + 20}{2} = \frac{69}{2}$
તેથી,બિંદુના યામ $(-41/2, 69/2)$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(-3, 4)$ છે.
$P(-3, 4)$ થી $x$-અક્ષ પરના લંબનું અંતર $|y| = |4| = 4$ છે.
$P(-3, 4)$ થી $y$-અક્ષ પરના લંબનું અંતર $|x| = |-3| = 3$ છે.
આ લંબાઈઓના વર્ગોનો સરવાળો $4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$ થાય છે.
આ સરવાળાનું વર્ગમૂળ $\sqrt{25} = 5$ થાય.

(C) ધ્રુવીય યામ $(r, \theta) = (2, \pi /4)$ આપેલ છે.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ ને કાર્તિઝિયન યામ $(x, y)$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,આપણે નીચેના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$x = r \cos \theta$
$y = r \sin \theta$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$x = 2 \cos(\pi /4) = 2 \times (1 / \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
$y = 2 \sin(\pi /4) = 2 \times (1 / \sqrt{2}) = \sqrt{2}$
આમ,કાર્તિઝિયન યામ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ છે.

(C) $AC = 2BC$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{AC}{BC} = \frac{2}{1}$.
જો $C$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ હોય,તો આંતરિક વિભાજનના સૂત્ર મુજબ:
$x = \frac{2(2) + 1(-3)}{2+1} = \frac{1}{3}$
$y = \frac{2(1) + 1(4)}{2+1} = 2$
પરંતુ,જો $C$ એ $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બાહ્ય વિભાજન કરતું હોય,તો:
$x = \frac{2(2) - 1(-3)}{2-1} = 7$
$y = \frac{2(1) - 1(4)}{2-1} = -2$
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) કાટકોણ ત્રિકોણમાં,કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈ કરતા અડધી હોય છે.
પ્રથમ,$(0, 0)$ અને $(3, 4)$ વચ્ચેના અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને કર્ણની લંબાઈ શોધો:
$L = \sqrt{(3 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$.
કર્ણ પરની મધ્યગાની લંબાઈ કર્ણની લંબાઈના અડધા છે:
$\text{Median} = \frac{1}{2} \times 5 = 2.5$.

(C) વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને બિંદુ $A$ ના યામ $\left( \frac{3k - 5}{k + 1}, \frac{5k + 1}{k + 1} \right)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $B = (1, 5)$ અને $C = (7, -2)$,ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2} \left| \frac{3k - 5}{k + 1}(5 - (-2)) + 1(-2 - \frac{5k + 1}{k + 1}) + 7(\frac{5k + 1}{k + 1} - 5) \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{7(3k - 5) - (2k + 2 + 5k + 1) + 7(5k + 1 - 5k - 5)}{k + 1} \right| = 2$.
$\frac{1}{2} \left| \frac{21k - 35 - 7k - 3 - 28}{k + 1} \right| = 2$.
$|14k - 66| = 4|k + 1|$.
કિસ્સો $1$: $14k - 66 = 4k + 4$ $\Rightarrow 10k = 70$ $\Rightarrow k = 7$.
કિસ્સો $2$: $14k - 66 = -4k - 4$ $\Rightarrow 18k = 62$ $\Rightarrow k = 31/9$.

(C) આપેલ છે કે $AC = 2 BC$,તેથી $\frac{AC}{BC} = \frac{2}{1}$.
બિંદુ $C$ એ $AB$ રેખાખંડ પર બહારની તરફ આવેલું હોવાથી,તે $AB$ નું $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $m:n$ ગુણોત્તરમાં બહારથી વિભાજન કરતા બિંદુના યામ $\left(\frac{mx_2 - nx_1}{m-n}, \frac{my_2 - ny_1}{m-n}\right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(x_1, y_1) = (-3, 4)$,$(x_2, y_2) = (2, 1)$,$m = 2$,$n = 1$:
$x = \frac{2(2) - 1(-3)}{2-1} = 7$
$y = \frac{2(1) - 1(4)}{2-1} = -2$
આમ,$C$ ના યામ $(7, -2)$ છે.

(A) આપેલા બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ છે.
જ્યારે $PQ$ એ $y$-અક્ષને સમાંતર હોય,ત્યારે $x$-યામ સમાન હોય છે,તેથી $x_{1} = x_{2}$.
બે બિંદુઓ વચ્ચેના અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ છે.
સૂત્રમાં $x_{1} = x_{2}$ મૂકતા,આપણને $d = \sqrt{(x_{2}-x_{2})^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$ મળે છે.
$d = \sqrt{0^{2} + (y_{2}-y_{1})^{2}}$.
$d = \sqrt{(y_{2}-y_{1})^{2}} = |y_{2}-y_{1}|$.

(A) આપેલા બિંદુઓ $P(x_{1}, y_{1})$ અને $Q(x_{2}, y_{2})$ છે.
જ્યારે $PQ$ એ $x$-અક્ષને સમાંતર હોય,ત્યારે બંને બિંદુઓના $y$-યામ સમાન હોય છે,એટલે કે $y_{1} = y_{2}$.
અંતરનું સૂત્ર $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{2}-y_{1})^2}$ છે.
સૂત્રમાં $y_{2} = y_{1}$ મૂકતા,આપણને $d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + (y_{1}-y_{1})^2}$ મળે છે.
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2 + 0^2}$.
$d = \sqrt{(x_{2}-x_{1})^2} = |x_{2}-x_{1}|$.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષ પરનું બિંદુ $(a, 0)$ છે જે બિંદુઓ $P(7, 6)$ અને $Q(3, 4)$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતર સૂત્ર મુજબ,$(a, 0)$ થી $(7, 6)$ નું અંતર એ $(a, 0)$ થી $(3, 4)$ ના અંતર જેટલું છે.
$\sqrt{(7-a)^2 + (6-0)^2} = \sqrt{(3-a)^2 + (4-0)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(7-a)^2 + 36 = (3-a)^2 + 16$
$(49 - 14a + a^2) + 36 = (9 - 6a + a^2) + 16$
$85 - 14a = 25 - 6a$
$85 - 25 = 14a - 6a$
$60 = 8a$
$a = \frac{60}{8} = \frac{15}{2}$
આમ,$x$-અક્ષ પરનું જરૂરી બિંદુ $(\frac{15}{2}, 0)$ છે.

(B) $P(0, -4)$ અને $B(8, 0)$ બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડના મધ્યબિંદુના યામ નીચે મુજબ છે:
$\left(\frac{0+8}{2}, \frac{-4+0}{2}\right) = (4, -2)$.
બે બિંદુઓ $(x_1, y_1)$ અને $(x_2, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $(m)$ શોધવાનું સૂત્ર:
$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$.
રેખા ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ અને મધ્યબિંદુ $(4, -2)$ માંથી પસાર થાય છે.
આ કિંમતોને ઢાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$m = \frac{-2 - 0}{4 - 0} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
આમ,રેખાનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.

(A) $x$-અક્ષ પરના દરેક બિંદુનો $y$-યામ $0$ હોય છે.
તેથી,$x$-અક્ષનું સમીકરણ $y=0$ છે.
$y$-અક્ષ પરના દરેક બિંદુનો $x$-યામ $0$ હોય છે.
તેથી,$y$-અક્ષનું સમીકરણ $x=0$ છે.

(C) બે બિંદુઓ $A(a_1, a_2)$ અને $B(b_1, b_2)$ વચ્ચેનું અંતર $d = \sqrt{(b_1 - a_1)^2 + (b_2 - a_2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $a_1, a_2, b_1, b_2$ પૂર્ણાંકો હોવાથી,$x = |b_1 - a_1|$ અને $y = |b_2 - a_2|$ એ અ-ઋણ પૂર્ણાંકો છે.
તેથી,$d^2 = x^2 + y^2$.
આપેલા વિકલ્પો તપાસતા:
$A: \sqrt{65} = \sqrt{8^2 + 1^2}$,જે શક્ય છે.
$B: \sqrt{74} = \sqrt{7^2 + 5^2}$,જે શક્ય છે.
$C: \sqrt{83}$. આપણે તપાસીએ કે શું $83$ ને બે વર્ગોના સરવાળા તરીકે લખી શકાય. $83$ થી નાના વર્ગો $0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81$ છે. આમાંથી કોઈ પણ બેનો સરવાળો $83$ થતો નથી.
$D: \sqrt{97} = \sqrt{9^2 + 4^2}$,જે શક્ય છે.
તેથી,$\sqrt{83}$ એ શક્ય મૂલ્ય નથી.

(A) આપેલ છે કે ગણ $A$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^m$ છે અને ગણ $B$ ના ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$2^m - 2^n = 56$.
$2^n(2^{m-n} - 1) = 56 = 8 \times 7 = 2^3 \times 7$.
$2$ ની ઘાતની સરખામણી કરતા,$2^n = 2^3$,જેનો અર્થ છે કે $n = 3$.
વળી,$2^{m-n} - 1 = 7$,તેથી $2^{m-n} = 8 = 2^3$.
આમ,$m - n = 3$,અને $n = 3$ મૂકતા,આપણને $m = 6$ મળે છે.
બિંદુઓ $P(6, 3)$ અને $Q(-2, -3)$ છે.
અંતર $PQ = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{8^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે $P = (x_1, y_1) = (-\sin(\beta - \alpha), -\cos \beta)$ અને $Q = (x_2, y_2) = (\cos(\beta - \alpha), \sin \beta)$.
આપણે જોઈએ છીએ કે $R = (\cos(\beta - \alpha + \theta), \sin(\beta - \theta))$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$\cos(\beta - \alpha + \theta) = \cos(\beta - \alpha)\cos \theta - \sin(\beta - \alpha)\sin \theta = x_2 \cos \theta + x_1 \sin \theta$.
તે જ રીતે,$\sin(\beta - \theta) = \sin \beta \cos \theta - \cos \beta \sin \theta = y_2 \cos \theta + y_1 \sin \theta$.
આમ,$R = (x_2 \cos \theta + x_1 \sin \theta, y_2 \cos \theta + y_1 \sin \theta)$.
આ દર્શાવે છે કે $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ ને $\sin \theta : \cos \theta$ ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
કારણ કે $0 < \theta < \frac{\pi}{4}$,$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંને ધન છે,તેથી $R$ એ રેખાખંડ $QP$ પર આવેલું છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(1, 1)$ અને $B(2, 4)$ છે. બિંદુ $P(x, y)$ એ $AB$ નું $3:2$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{3(2) + 2(1)}{3+2} = \frac{8}{5}$ અને $y = \frac{3(4) + 2(1)}{3+2} = \frac{14}{5}$.
બિંદુ $P(\frac{8}{5}, \frac{14}{5})$ એ રેખા $2x + y = k$ પર આવેલું છે.
તેથી,$2(\frac{8}{5}) + \frac{14}{5} = k \implies k = \frac{30}{5} = 6$.
હવે,$(k+1):(k-1) = (6+1):(6-1) = 7:5$ એટલે કે $\frac{7}{5}$.

(D) ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ અને કાર્તેઝિયન યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ છે.
અહીં $r = \sqrt{2}$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
$x = \sqrt{2} \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
$y = \sqrt{2} \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1$.
તેથી,કાર્તેઝિયન યામ $(1, 1)$ છે.

(A) ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ અને કાર્તેઝિયન યામ $(x, y)$ વચ્ચેનો સંબંધ $x = r \cos \theta$ અને $y = r \sin \theta$ છે.
અહીં $r = 2$ અને $\theta = \frac{\pi}{4}$ આપેલ છે.
$x = 2 \cos \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
$y = 2 \sin \left(\frac{\pi}{4}\right) = 2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$.
તેથી,કાર્તેઝિયન યામ $(\sqrt{2}, \sqrt{2})$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$.
બિંદુ $(-2, -2)$ એ $III$ ચરણમાં આવેલું હોવાથી,ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{y}{x} = \frac{-2}{-2} = 1$ દ્વારા મળે છે.
બિંદુ $III$ ચરણમાં હોવાથી,$\theta = \pi + \tan^{-1}(1) = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5 \pi}{4}$.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ એ $(2 \sqrt{2}, \frac{5 \pi}{4})$ છે.

(A) $P, Q, R$ બિંદુઓ રેખાખંડ $AB$ ને $4$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરે છે. તેથી,$AP = PQ = QR = RB = k$ (ધારો).
$Q$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી તેના યામ $\left( \frac{2+6}{2}, \frac{-7+5}{2} \right) = (4, -1)$ છે.
$P$ એ $AQ$ નું મધ્યબિંદુ છે. $A(2, -7)$ અને $Q(4, -1)$ હોવાથી,$P$ ના યામ $= \left( \frac{2+4}{2}, \frac{-7-1}{2} \right) = (3, -4)$ છે.
$R$ એ $QB$ નું મધ્યબિંદુ છે. $Q(4, -1)$ અને $B(6, 5)$ હોવાથી,$R$ ના યામ $= \left( \frac{4+6}{2}, \frac{-1+5}{2} \right) = (5, 2)$ છે.
$PR$ નું મધ્યબિંદુ $= \left( \frac{3+5}{2}, \frac{-4+2}{2} \right) = (4, -1)$ છે.

(C) ધારો કે રેખા $3x + 4y = 6$ એ બિંદુઓ $P(2, -1)$ અને $Q(1, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,છેદબિંદુના યામ $\left(\frac{2+k}{k+1}, \frac{k-1}{k+1}\right)$ મળે છે.
આ બિંદુ રેખા $3x + 4y = 6$ પર હોવાથી,આપણે સમીકરણમાં કિંમતો મૂકીએ:
$3\left(\frac{2+k}{k+1}\right) + 4\left(\frac{k-1}{k+1}\right) = 6$.
$(k+1)$ વડે ગુણતા:
$3(2+k) + 4(k-1) = 6(k+1)$.
$6 + 3k + 4k - 4 = 6k + 6$.
$7k + 2 = 6k + 6$.
$k = 4$.
તેથી,ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(A) બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $a:b$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C$ ના યામ $\left(\frac{-2a + b}{a + b}, \frac{a + 2b}{a + b}\right)$ મળે છે.
$C$ એ રેખા $2x + y - 3 = 0$ પર હોવાથી:
$2\left(\frac{-2a + b}{a + b}\right) + \left(\frac{a + 2b}{a + b}\right) - 3 = 0$
$-4a + 2b + a + 2b - 3(a + b) = 0$
$-3a + 4b - 3a - 3b = 0$
$b = 6a \Rightarrow \frac{b}{a} = 6$.
હવે,$\frac{b}{a} = 6$ ને $P$ અને $Q$ ના યામમાં મૂકતા:
$P = \left(\frac{6}{3}, -3\right) = (2, -3)$
$Q = \left(-3, -\frac{6}{3}\right) = (-3, -2)$
બિંદુ $C$ એ $\left(\frac{-2a + 6a}{a + 6a}, \frac{a + 12a}{a + 6a}\right) = \left(\frac{4a}{7a}, \frac{13a}{7a}\right) = \left(\frac{4}{7}, \frac{13}{7}\right)$ છે.
ધારો કે $C$ એ $PQ$ નું $p:q$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. $x$-યામ માટે વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{-3p + 2q}{p + q} = \frac{4}{7}$
$-21p + 14q = 4p + 4q$
$10q = 25p \Rightarrow \frac{p}{q} = \frac{10}{25} = \frac{2}{5}$.
તેથી,$\frac{p}{q} + \frac{q}{p} = \frac{2}{5} + \frac{5}{2} = \frac{4 + 25}{10} = \frac{29}{10}$.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $m:n$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે. વિભાજન સૂત્ર મુજબ,$P$ ના યામ $\left(\frac{3m - 2n}{m + n}, \frac{-2m + 3n}{m + n}\right)$ છે.
બિંદુ $P$ રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$2\left(\frac{3m - 2n}{m + n}\right) - 3\left(\frac{-2m + 3n}{m + n}\right) + 4 = 0$.
$(m + n)$ વડે ગુણતા,$6m - 4n + 6m - 9n + 4m + 4n = 0$,જેનું સાદું રૂપ $16m - 9n = 0$ એટલે કે $\frac{m}{n} = \frac{9}{16}$ મળે છે.
આપણે $AB$ નું $k = \frac{-4m}{3n} = \frac{-4}{3} \times \frac{9}{16} = -\frac{3}{4}$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરતું બિંદુ શોધવાનું છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = -17$ અને $y = 18$ મળે છે.
આમ,બિંદુ $(-17, 18)$ છે.

(A) ધારો કે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $b$ છે. બિંદુઓના યામ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે બિંદુ $P(2, 3)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P = \left(\frac{2 \cdot 0 + 3 \cdot a}{2 + 3}, \frac{2 \cdot b + 3 \cdot 0}{2 + 3}\right) = \left(\frac{3a}{5}, \frac{2b}{5}\right)$.
યામોને $(2, 3)$ સાથે સરખાવતા:
$\frac{3a}{5} = 2$ $\Rightarrow 3a = 10$ $\Rightarrow a = \frac{10}{3}$.
$\frac{2b}{5} = 3$ $\Rightarrow 2b = 15$ $\Rightarrow b = \frac{15}{2}$.
અંતઃખંડોનો ગુણાકાર $a \cdot b = \left(\frac{10}{3}\right) \cdot \left(\frac{15}{2}\right) = 5 \cdot 5 = 25$.

(C) બિંદુ $N(x, y)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું $b: a$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે.
બાહ્ય વિભાજનના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$N$ ના યામ નીચે મુજબ મળે છે:
$x = \frac{b(a \cos \beta) - a(b \cos \alpha)}{b - a} = \frac{ab(\cos \beta - \cos \alpha)}{b - a}$
$y = \frac{b(a \sin \beta) - a(b \sin \alpha)}{b - a} = \frac{ab(\sin \beta - \sin \alpha)}{b - a}$
આના પરથી,આપણને મળે છે:
$\frac{x}{ab} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{b - a} \implies \frac{b - a}{ab} = \frac{\cos \beta - \cos \alpha}{x}$
$\frac{y}{ab} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{b - a} \implies \frac{b - a}{ab} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{y}$
$\frac{b - a}{ab}$ માટેના બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{\cos \beta - \cos \alpha}{x} = \frac{\sin \beta - \sin \alpha}{y}$
$y(\cos \beta - \cos \alpha) = x(\sin \beta - \sin \alpha)$
ત્રિકોણમિતિના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$y \left( -2 \sin \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right) = x \left( 2 \cos \frac{\beta + \alpha}{2} \sin \frac{\beta - \alpha}{2} \right)$
$2 \sin \frac{\beta - \alpha}{2}$ વડે ભાગતા:
$-y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = x \cos \frac{\alpha + \beta}{2}$
$x \cos \frac{\alpha + \beta}{2} + y \sin \frac{\alpha + \beta}{2} = 0$

(A) ધારો કે બિંદુઓ $A = (a \cos \theta, a \sin \theta)$ અને $B = (a \cos \phi, a \sin \phi)$ છે.
આપેલ અંતર $AB = 2a$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$AB^2 = (a \cos \theta - a \cos \phi)^2 + (a \sin \theta - a \sin \phi)^2 = (2a)^2$
$a^2(\cos^2 \theta + \cos^2 \phi - 2 \cos \theta \cos \phi + \sin^2 \theta + \sin^2 \phi - 2 \sin \theta \sin \phi) = 4a^2$
$a^2(2 - 2(\cos \theta \cos \phi + \sin \theta \sin \phi)) = 4a^2$
$2 - 2 \cos(\theta - \phi) = 4$
$-2 \cos(\theta - \phi) = 2$
$\cos(\theta - \phi) = -1$
$\cos(\theta - \phi) = -1$ હોવાથી,$\theta - \phi = (2n + 1)\pi = 2n\pi + \pi$,જ્યાં $n \in Z$.
તેથી,$\theta = 2n\pi + \pi + \phi$.

(D) ધારો કે ગુણોત્તર $m:n = k:1$ છે. બિંદુ $(a, b)$ એ $(2, -1)$ અને $(1, -4)$ ને જોડતા રેખાખંડને $k:1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{k(1) + 1(2)}{k+1} = \frac{k+2}{k+1}$ અને $b = \frac{k(-4) + 1(-1)}{k+1} = \frac{-4k-1}{k+1}$.
બિંદુ $(a, b)$ એ રેખા $2x - y - 4 = 0$ પર હોવાથી,$2(\frac{k+2}{k+1}) - (\frac{-4k-1}{k+1}) - 4 = 0$.
$(k+1)$ વડે ગુણતા,$2k + 4 + 4k + 1 - 4(k+1) = 0$,જેનું સાદું રૂપ $6k + 5 - 4k - 4 = 0$ એટલે કે $2k + 1 = 0$ થાય,તેથી $k = -\frac{1}{2}$.
આમ,$\frac{m}{n} = -\frac{1}{2}$.
$k = -\frac{1}{2}$ ને યામમાં મૂકતા: $a = \frac{-0.5+2}{-0.5+1} = \frac{1.5}{0.5} = 3$ અને $b = \frac{-4(-0.5)-1}{-0.5+1} = \frac{2-1}{0.5} = 2$.
છેલ્લે,$4(a - b(\frac{m}{n})^2) = 4(3 - 2(-\frac{1}{2})^2) = 4(3 - 2(\frac{1}{4})) = 4(3 - 0.5) = 4(2.5) = 10$.

(D) ધારો કે બિંદુઓ $A(3, 5)$ અને $B(4, 6)$ છે. રેખા $L \equiv 6x + 3y + k = 0$ એ $AB$ નું $-5: 4$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,છેદબિંદુ $Q = \left( \frac{-5(4) + 4(3)}{-5 + 4}, \frac{-5(6) + 4(5)}{-5 + 4} \right) = (8, 10)$.
$Q(8, 10)$ એ $L = 0$ પર હોવાથી,$6(8) + 3(10) + k = 0 \implies k = -78$.
તેથી,રેખા $L$ એ $2x + y - 26 = 0$ છે.
બિંદુ $P(g, h)$ એ $2x + y = 26$ અને $x - y = -1$ નું છેદબિંદુ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $3x = 25 \implies g = \frac{25}{3}$.
$x - y = -1$ માં $g$ ની કિંમત મૂકતા: $h = g + 1 = \frac{28}{3}$.
આમ,$h = g + 1$.

(A) બે કણો વચ્ચેનું અંતર $PQ$ અંતર સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$PQ = \sqrt{((t+1) - t)^2 + ((t^3 - 6t - 6) - (t^3 - 16t - 3))^2}$
$PQ = \sqrt{(1)^2 + (t^3 - 6t - 6 - t^3 + 16t + 3)^2}$
$PQ = \sqrt{1 + (10t - 3)^2}$
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,આપણે $PQ^2 = 1 + (10t - 3)^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધીએ.
દરેક વાસ્તવિક $t$ માટે $(10t - 3)^2 \geq 0$ હોવાથી,$(10t - 3)^2$ નું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ થાય છે જ્યારે $10t - 3 = 0$,એટલે કે $t = 0.3$.
આમ,ન્યૂનતમ અંતર $\sqrt{1 + 0} = 1$ છે.

(A) બિંદુ $P$ ના ધ્રુવીય યામ $\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ આપેલા છે.
કારણ કે રેખાખંડ $PQ$ નું પ્રારંભિક રેખા ($X$-અક્ષ) દ્વારા લંબદ્વિભાજન થાય છે,તેથી બિંદુ $Q$ એ $X$-અક્ષ પર $P$ નું પ્રતિબિંબ હોવું જોઈએ.
ધ્રુવીય યામ $(r, \theta)$ માં,બિંદુનું પ્રારંભિક રેખા પર પ્રતિબિંબ લેતી વખતે ખૂણા $\theta$ ની નિશાની બદલાય છે અને $r$ સમાન રહે છે.
તેથી,$\left(2, -\frac{\pi}{4}\right)$ નું $X$-અક્ષ પરનું પ્રતિબિંબ $\left(2, -\left(-\frac{\pi}{4}\right)\right) = \left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ થશે.
આમ,$Q$ ના યામ $\left(2, \frac{\pi}{4}\right)$ છે.

(A) આપેલ છે $A(b \cos \alpha, b \sin \alpha)$ અને $B(a \cos \beta, a \sin \beta)$.
બિંદુ $M(x, y)$ એ $AB$ નું $b : a$ ગુણોત્તરમાં બહારની તરફ વિભાજન કરે છે,તેથી વિભાજન સૂત્ર મુજબ:
$x = \frac{ab(\cos \beta - \cos \alpha)}{b - a}$
$y = \frac{ab(\sin \beta - \sin \alpha)}{b - a}$
હવે,$x \cos \frac{\alpha+\beta}{2} + y \sin \frac{\alpha+\beta}{2}$ માં કિંમતો મૂકતા:
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,પરિણામ $0$ મળે છે.

(B) ધારો કે રેખા $3x + y - 9 = 0$ એ $A(1, 3)$ અને $B(2, 7)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $k: 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,વિભાજન બિંદુના યામ $(\frac{2k+1}{k+1}, \frac{7k+3}{k+1})$ મળે છે.
આ બિંદુ રેખા $3x + y = 9$ પર હોવાથી:
$3(\frac{2k+1}{k+1}) + (\frac{7k+3}{k+1}) = 9$
$6k + 3 + 7k + 3 = 9(k + 1)$
$13k + 6 = 9k + 9$
$4k = 3$
$k = \frac{3}{4}$.
$k > 0$ હોવાથી,વિભાજન $3: 4$ ના ગુણોત્તરમાં આંતરિક રીતે થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $A \equiv (2, 4)$.
$C$ એ $x$-અક્ષમાં $A$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$C$ ના યામ $(2, -4)$ થશે.
$B$ એ $y$-અક્ષમાં $C$ નું પ્રતિબિંબ હોવાથી,$B$ ના યામ $(-2, -4)$ થશે.
હવે,અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $|AB|$ શોધીએ:
$|AB| = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - (-4))^2}$
$|AB| = \sqrt{(2 + 2)^2 + (4 + 4)^2}$
$|AB| = \sqrt{4^2 + 8^2}$
$|AB| = \sqrt{16 + 64}$
$|AB| = \sqrt{80}$
$|AB| = \sqrt{16 \times 5} = 4 \sqrt{5}$

(A) આપેલ છે કે $C$ એ $A(-3, 4)$ અને $B(2, 1)$ ને જોડતા રેખાખંડનું $AC : BC = 2 : 1$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$C(x, y)$ ના યામ:
$x = \frac{m_1x_2 + m_2x_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(2) + 1(-3)}{2 + 1} = \frac{4 - 3}{3} = \frac{1}{3}$
$y = \frac{m_1y_2 + m_2y_1}{m_1 + m_2} = \frac{2(1) + 1(4)}{2 + 1} = \frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2$
આમ,$C$ ના યામ $\left(\frac{1}{3}, 2\right)$ છે.