Mean Deviation Questions in Gujarati

(B) સરેરાશ વિચલન એ મધ્યવર્તી મૂલ્યથી નિરપેક્ષ વિચલનોના સરવાળાને અવલોકનોની સંખ્યા વડે ભાગવાથી મળે છે.
તે એક જાણીતો ગાણિતિક ગુણધર્મ છે કે નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $\sum |x_i - A|$ ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે $A$ એ માહિતીનો મધ્યસ્થ હોય.
તેથી,મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન એ અન્ય કોઈપણ મૂલ્યથી માપેલા સરેરાશ વિચલન કરતા ન્યૂનતમ હોય છે.

(B) સૌ પ્રથમ,અંકગણિતીય સરેરાશ $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5$
ત્યારબાદ,સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર વાપરીને ગણતરી કરો:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{|3 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |6 - 5| + |7 - 5|}{5}$
$= \frac{|-2| + |-1| + |0| + |1| + |2|}{5}$
$= \frac{2 + 1 + 0 + 1 + 2}{5} = \frac{6}{5} = 1.2$

(C) આવૃત્તિ વિતરણ માટે મધ્યકથી સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{n} f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum_{i=1}^{n} f_i}$ છે.
અહીં,$d_i = x_i - \bar{x}$ એ મધ્યક $\bar{x}$ થી $i$-માં અવલોકનનું વિચલન દર્શાવે છે.
આમ,સૂત્રને $M.D. = \frac{\sum f|d|}{\sum f}$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) પગલું $1$: અવલોકનોનો મધ્યક શોધો.
મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
પગલું $2$: મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન શોધો.
$M.D. = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{|-1 - 1| + |0 - 1| + |4 - 1|}{3}$.
$M.D. = \frac{|-2| + |-1| + |3|}{3} = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$.

(A) પ્રથમ,આપેલ માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો:
$34, 38, 42, 44, 46, 48, 54, 55, 63, 70$
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ (બેકી) છે,તેથી મધ્યસ્થ $M$ એ $5$ મા અને $6$ ઠ્ઠા પદની સરેરાશ છે:
$M = \frac{46 + 48}{2} = 47$
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{1}{n} \sum |x_i - M|$.
દરેક પદ માટે $|x_i - 47|$ ની ગણતરી:
$|34-47| = 13, |38-47| = 9, |42-47| = 5, |44-47| = 3, |46-47| = 1, |48-47| = 1, |54-47| = 7, |55-47| = 8, |63-47| = 16, |70-47| = 23$
નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો = $13 + 9 + 5 + 3 + 1 + 1 + 7 + 8 + 16 + 23 = 86$
સરેરાશ વિચલન = $\frac{86}{10} = 8.6$.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ: $3, 4, 5, 6, 7$.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{3 + 4 + 5 + 6 + 7}{5} = \frac{25}{5} = 5$.
હવે,સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર વાપરો: $\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$.
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{1}{5} [|3 - 5| + |4 - 5| + |5 - 5| + |6 - 5| + |7 - 5|]$.
$= \frac{1}{5} [|-2| + |-1| + |0| + |1| + |2|]$.
$= \frac{1}{5} [2 + 1 + 0 + 1 + 2] = \frac{6}{5} = 1.2$.

(C) સૌ પ્રથમ,અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવો: $150, 210, 240, 300, 310, 320, 340$.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થ એ મધ્યમ પદ છે,જે $4^{th}$ પદ છે: $\text{Median} = 300$.
હવે,મધ્યસ્થ પરથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \text{Median}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને ગણો:

$x_i$	$|x_i - 300|$
$150$	$|150 - 300| = 150$
$210$	$|210 - 300| = 90$
$240$	$|240 - 300| = 60$
$300$	$|300 - 300| = 0$
$310$	$|310 - 300| = 10$
$320$	$|320 - 300| = 20$
$340$	$|340 - 300| = 40$
Total	$\sum |x_i - 300| = 370$

મધ્યસ્થ પરથી સરેરાશ વિચલન $= \frac{370}{7} \approx 52.857 \approx 52.86$.

(B) આપેલ સંખ્યાઓ $1, 2, 3, 4, 5$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\overline{x})$ શોધો:
$\overline{x} = \frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{5} = \frac{15}{5} = 3$.
હવે,સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $\frac{\sum |x_i - \overline{x}|}{N}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરો:
$|1 - 3| = 2$
$|2 - 3| = 1$
$|3 - 3| = 0$
$|4 - 3| = 1$
$|5 - 3| = 2$
નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $= 2 + 1 + 0 + 1 + 2 = 6$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{6}{5} = 1.2$.

(D) આવૃત્તિ વિતરણનું સરેરાશ વિચલન એ અવલોકનોના મધ્યક (મધ્યક અથવા મધ્યસ્થ) થી નિરપેક્ષ વિચલનોનો અંકગણિતીય મધ્યક છે.
આવૃત્તિ $f_i$ અને નિરપેક્ષ વિચલન $|d_i|$ ધરાવતા આવૃત્તિ વિતરણ માટે,સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum f_i |d_i|}{\sum f_i}$

(B) મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનો સહગુણક શોધવાનું સૂત્ર: $\text{સરેરાશ વિચલનનો સહગુણક} = \frac{\text{સરેરાશ વિચલન}}{\text{મધ્યક}}$.
અહીં,$\text{સરેરાશ વિચલન} = 1.2$ અને $\text{મધ્યક} = 3$ આપેલ છે.
તેથી,$\text{સરેરાશ વિચલનનો સહગુણક} = \frac{1.2}{3} = 0.4$.

(B) પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i}$ ની ગણતરી કરો.

$x_i$	$f_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$3$	$8$	$24$	$|3 - 15| = 12$	$96$
$9$	$10$	$90$	$|9 - 15| = 6$	$60$
$17$	$12$	$204$	$|17 - 15| = 2$	$24$
$23$	$9$	$207$	$|23 - 15| = 8$	$72$
$27$	$5$	$135$	$|27 - 15| = 12$	$60$
કુલ	$N = 44$	$\sum f_i x_i = 660$	-	$\sum f_i |x_i - \bar{x}| = 312$

મધ્યક $\bar{x} = \frac{660}{44} = 15$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{312}{44} \approx 7.09$.

(C) આપેલ અવલોકનો $x_i = -1, 0, 4$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$.
હવે,મધ્યકથી નિરપેક્ષ વિચલનો $|x_i - \bar{x}|$ શોધો:
$|-1 - 1| = |-2| = 2$
$|0 - 1| = |-1| = 1$
$|4 - 1| = |3| = 3$
નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો = $2 + 1 + 3 = 6$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}| = \frac{6}{3} = 2$.

(B) આપેલ શ્રેણી સમાંતર શ્રેણી છે: $5, 10, 15, \dots, 85$.
અહીં,પ્રથમ પદ $a = 5$,સામાન્ય તફાવત $d = 5$,અને અંતિમ પદ $l = 85$ છે.
પદોની સંખ્યા $n$ શોધતા: $85 = 5 + (n - 1)5$,જેનો અર્થ છે કે $n = 17$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{5 + 85}{2} = 45$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ છે.
જ્યારે $n$ એકી સંખ્યા હોય,ત્યારે સમાંતર શ્રેણી માટે સરેરાશ વિચલન $M.D. = \frac{d(n^2 - 1)}{4n}$ થાય.
અહીં $n = 17$ (એકી) અને $d = 5$ છે.
$M.D. = \frac{5(17^2 - 1)}{4 \times 17} = \frac{5(289 - 1)}{68} = \frac{5 \times 288}{68} = \frac{1440}{68} \approx 21.176$.

(B) સૌ પ્રથમ આપણે અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવીશું:
$34, 38, 42, 44, 46, 48, 54, 55, 63, 70$
અહીં $n = 10$ (યુગ્મ).
મધ્યસ્થ $(M) = \frac{(\frac{n}{2})\text{મું અવલોકન} + (\frac{n}{2} + 1)\text{મું અવલોકન}}{2} = \frac{46 + 48}{2} = 47$.
હવે,મધ્યસ્થથી નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો:
$\Sigma |x_i - M| = |34-47| + |38-47| + |42-47| + |44-47| + |46-47| + |48-47| + |54-47| + |55-47| + |63-47| + |70-47|$
$= 13 + 9 + 5 + 3 + 1 + 1 + 7 + 8 + 16 + 23 = 86$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma |x_i - M|}{n} = \frac{86}{10} = 8.6$.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે: $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$.
અહીં,પદોની સંખ્યા $N = 101$ છે.
આ પદોનો મધ્યક $\bar{x} = 1 + 50d$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $M.D. = \frac{|d|}{101} \sum_{i=0}^{100} |i-50|$ થાય.
સરવાળો ગણતા: $\sum_{i=0}^{100} |i-50| = 2550$.
તેથી,$M.D. = \frac{|d|}{101} \times 2550 = 255$.
$|d| = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $a, 2a, 3a, \dots, 50a$ છે. પદોની સંખ્યા $n = 50$ છે.
$n$ બેકી હોવાથી,મધ્યસ્થ $M$ એ $25$ માં અને $26$ માં પદની સરેરાશ છે:
$M = \frac{25a + 26a}{2} = 25.5a$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ દ્વારા મળે છે.
$M.D. = \frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} |ia - 25.5a| = \frac{|a|}{50} \sum_{i=1}^{50} |i - 25.5|$.
સરવાળો વિસ્તૃત કરતા: $\sum_{i=1}^{50} |i - 25.5| = |1 - 25.5| + |2 - 25.5| + \dots + |50 - 25.5|$.
$= 24.5 + 23.5 + \dots + 0.5 + 0.5 + \dots + 23.5 + 24.5$.
$= 2 \times (0.5 + 1.5 + \dots + 24.5)$.
આ $25$ પદોની સમાંતર શ્રેણી છે જ્યાં પ્રથમ પદ $a_1 = 0.5$ અને અંતિમ પદ $l = 24.5$ છે.
સરવાળો $= 2 \times \left[ \frac{25}{2} (0.5 + 24.5) \right] = 25 \times 25 = 625$.
આપેલ છે કે $M.D. = 50$,તેથી $\frac{|a|}{50} \times 625 = 50$.
$|a| \times 12.5 = 50 \Rightarrow |a| = \frac{50}{12.5} = 4$.

(B) અવલોકનોને ચઢતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $40, 54, 62, 68, 76, 90$.
પદોની સંખ્યા $(n) = 6$ (યુગ્મ).
મધ્યસ્થ $(M) = \frac{(\frac{n}{2}) \text{ મું પદ} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ મું પદ}}{2} = \frac{62 + 68}{2} = 65$.
$\Sigma |x_i - M| = |40-65| + |54-65| + |62-65| + |68-65| + |76-65| + |90-65| = 25 + 11 + 3 + 3 + 11 + 25 = 78$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma |x_i - M|}{n} = \frac{78}{6} = 13$.
સરેરાશ વિચલનનો સહગુણક $= \frac{\text{સરેરાશ વિચલન}}{\text{મધ્યસ્થ}} = \frac{13}{65} = 0.2$.

(D) આપેલ અવલોકનો $4, 7, 2, 8, 6, a$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$ છે.
મધ્યક $7$ આપેલ છે.
$\frac{4 + 7 + 2 + 8 + 6 + a}{6} = 7$
$\frac{27 + a}{6} = 7$
$27 + a = 42$
$a = 15$.
અવલોકનો $4, 7, 2, 8, 6, 15$ છે.
ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $2, 4, 6, 7, 8, 15$.
અહીં $n = 6$ (બેકી સંખ્યા) હોવાથી,મધ્યસ્થ $M = \frac{(n/2)^{th} \text{ પદ} + (n/2 + 1)^{th} \text{ પદ}}{2} = \frac{6 + 7}{2} = 6.5$.
મધ્યસ્થ પરથી સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum |x_i - M|}{n}$.

$x_i$	$|x_i - 6.5|$
$2$	$4.5$
$4$	$2.5$
$6$	$0.5$
$7$	$0.5$
$8$	$1.5$
$15$	$8.5$

વિચલનોનો સરવાળો $= 4.5 + 2.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 8.5 = 18$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{18}{6} = 3$.

(B) શ્રેણીમાં પદોની સંખ્યા $N = 2n + 1$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{a + (a + d) + (a + 2d) + \dots + (a + 2nd)}{2n + 1}$.
સમાંતર શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર મુજબ,$\bar{x} = \frac{1}{2n + 1} \left[ \frac{2n + 1}{2} (a + a + 2nd) \right] = a + nd$.
મધ્યક પરથી સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} |x_i - \bar{x}|$.
$\sum |x_i - \bar{x}| = |-nd| + |(1 - n)d| + \dots + |0| + \dots + |nd| = 2|d| [n + (n - 1) + \dots + 1] = 2|d| \frac{n(n + 1)}{2} = n(n + 1)|d|$.
તેથી,$MD = \frac{n(n + 1)|d|}{2n + 1}$.

(B) માહિતીના સમૂહનું સરેરાશ વિચલન એ કેન્દ્રવર્તી માપ $M$ થી અવલોકનોના નિરપેક્ષ વિચલનોની સરેરાશ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$M$ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $MD(M) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ એક સુસ્થાપિત આંકડાકીય ગુણધર્મ છે કે નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $\sum |x_i - M|$ ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે $M$ એ માહિતીનો મધ્યસ્થ હોય.
તેથી,મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન એ અન્ય કોઈપણ કેન્દ્રવર્તી માપની તુલનામાં ન્યૂનતમ સરેરાશ વિચલન છે.

(B) આપેલ શ્રેણી $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$ એ $n = 101$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ છે.
આ શ્રેણીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum_{r=0}^{100} (1+rd)}{101} = \frac{101 + d \frac{100 \times 101}{2}}{101} = 1 + 50d$ છે.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(1+rd) - (1+50d)| = \frac{1}{101} \sum_{r=0}^{100} |(r-50)d|$ દ્વારા મળે છે.
ધારો કે $d > 0$,તો આ $\frac{d}{101} [\sum_{r=0}^{50} (50-r) + \sum_{r=51}^{100} (r-50)]$ થાય.
$= \frac{d}{101} [ (50+49+\dots+0) + (1+2+\dots+50) ] = \frac{d}{101} [ 2 \times \frac{50 \times 51}{2} ] = \frac{50 \times 51 \times d}{101}$.
આપેલ છે કે સરેરાશ વિચલન $255$ છે,તેથી $\frac{50 \times 51 \times d}{101} = 255$.
$d = \frac{255 \times 101}{50 \times 51} = \frac{5 \times 101}{50} = \frac{101}{10} = 10.1$.

(B) આપેલ સંખ્યાઓ $a, 2a, 3a, \dots, 50a$ છે. કુલ પદોની સંખ્યા $n = 50$ છે.
$n$ બેકી હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $25$ માં અને $26$ માં પદની સરેરાશ છે:
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{25a + 26a}{2} = 25.5a$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \text{મધ્યસ્થ}| = 50$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{50} \sum_{i=1}^{50} |ia - 25.5a| = 50$.
$|a| (|25.5 - 1| + |25.5 - 2| + \dots + |25.5 - 50|) = 2500$.
$|a| (24.5 + 23.5 + \dots + 0.5 + 0.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 2 \times (0.5 + 1.5 + \dots + 24.5) = 2500$.
$|a| \times 25 \times 25 = 2500$.
$|a| = 4$.

(C) કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $3n$ છે.
$n$ અવલોકનો $a$ છે અને $2n$ અવલોકનો $-2a$ છે.
મધ્યક $(\bar{X}) = \frac{n(a) + 2n(-2a)}{3n} = \frac{na - 4na}{3n} = -a$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{3n} \sum_{i=1}^{3n} |x_i - \bar{X}|$.
કિંમતો મૂકતા:
સરેરાશ વિચલન $= \frac{n|a - (-a)| + 2n|-2a - (-a)|}{3n} = \frac{n|2a| + 2n|-a|}{3n} = \frac{2na + 2na}{3n} = \frac{4a}{3}$.

(A) આપેલ અવલોકનો $x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, 7x, 8x, 9x, 10x$ છે. અહીં $n = 10$ હોવાથી,મધ્યસ્થ $= \frac{5x + 6x}{2} = 5.5|x|$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{10} |x_i - \text{મધ્યસ્થ}| = 30$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{10} (|x - 5.5x| + |2x - 5.5x| + |3x - 5.5x| + |4x - 5.5x| + |5x - 5.5x| + |6x - 5.5x| + |7x - 5.5x| + |8x - 5.5x| + |9x - 5.5x| + |10x - 5.5x|) = 30$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{10} (4.5 + 3.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5) |x| = 30$.
$\frac{2}{10} (12.5) |x| = 30$.
$2.5 |x| = 30$.
$|x| = 12$.

(B) અવલોકનો $x_1, x_2, ..., x_n$ ના સમૂહ માટે $a$ ની સાપેક્ષમાં સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - a|$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
ગણિતનો એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $\sum |x_i - a|$ ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે $a$ એ માહિતીનો મધ્યસ્થ (Median) હોય.
તેથી,સરેરાશ વિચલન ત્યારે સૌથી ઓછું હોય છે જ્યારે તેની ગણતરી મધ્યસ્થની સાપેક્ષમાં કરવામાં આવે છે.

(A) આપેલ સંખ્યાઓ $1, 1+d, 1+2d, \dots, 1+100d$ છે. આ $n = 101$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{k=0}^{100} (1 + kd) = 1 + 50d$ છે.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન:
$MD = \frac{|d|}{101} \sum_{k=0}^{100} |k - 50| = \frac{|d|}{101} \times 2550 = 255$.
તેથી,$|d| = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(C) આપેલ છે $n = 5$,મધ્યક $\bar{x} = 5$,અને વિચરણ $\sigma^2 = 124$.
ધારો કે અવલોકનો $x_1=1, x_2=2, x_3=6, x_4, x_5$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum x_i}{5} = 5$ હોવાથી,$1+2+6+x_4+x_5 = 25$,તેથી $x_4+x_5 = 16$.
વિચરણ $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2 = 124$.
$\frac{1^2+2^2+6^2+x_4^2+x_5^2}{5} - 5^2 = 124$ $\Rightarrow \frac{1+4+36+x_4^2+x_5^2}{5} = 149$ $\Rightarrow x_4^2+x_5^2 = 704$.
સરેરાશ વિચલન $M$.$D$. $= \frac{1}{5} \sum |x_i - 5| = \frac{1}{5} (|1-5| + |2-5| + |6-5| + |x_4-5| + |x_5-5|)$.
$|x_4-5| + |x_5-5| = |x_4+x_5-10| = |16-10| = 6$.
$M$.$D$. $= \frac{4+3+1+6}{5} = \frac{14}{5} = 2.8$.

(D) આપેલ અવલોકનો $4, 7, 2, 8, 6, a$ છે અને મધ્યક $7$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મધ્યક $= \frac{4 + 7 + 2 + 8 + 6 + a}{6}$.
$7 = \frac{27 + a}{6}$ $\Rightarrow 42 = 27 + a$ $\Rightarrow a = 15$.
હવે,ચડતા ક્રમમાં અવલોકનો $2, 4, 6, 7, 8, 15$ છે.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 6$ (બેકી) હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $3^{rd}$ અને $4^{th}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે.
મધ્યસ્થ $= \frac{6 + 7}{2} = 6.5$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum |x_i - 6.5|}{6}$.
$= \frac{|2 - 6.5| + |4 - 6.5| + |6 - 6.5| + |7 - 6.5| + |8 - 6.5| + |15 - 6.5|}{6}$.
$= \frac{4.5 + 2.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 + 8.5}{6} = \frac{18}{6} = 3$.

(A) પગલું $1$: આપેલા ડેટાનો મધ્યક શોધો:
$\bar{x} = \frac{6+7+10+12+13+4+8+12}{8} = \frac{72}{8} = 9$
પગલું $2$: મધ્યકથી અવલોકનોના નિરપેક્ષ વિચલનો $|x_i - \bar{x}|$ શોધો:
$|6-9| = 3, |7-9| = 2, |10-9| = 1, |12-9| = 3, |13-9| = 4, |4-9| = 5, |8-9| = 1, |12-9| = 3$
પગલું $3$: મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{3+2+1+3+4+5+1+3}{8} = \frac{22}{8} = 2.75$

(A) પ્રથમ,આપણે આપેલ ડેટાનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધીએ:
$\bar{x} = \frac{1}{20} \sum_{i=1}^{20} x_i = \frac{201}{20} = 10.05$.
ત્યારબાદ,આપણે નિરપેક્ષ વિચલનો $|x_i - \bar{x}|$ શોધીએ છીએ:
બધા નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $\sum |x_i - \bar{x}| = 124$ થાય છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{124}{20} = 6.2$.

(A) અવલોકનોની સંખ્યા $n = 11$ છે,જે એકી સંખ્યા છે.
ડેટાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $3, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 12, 18, 19, 21$.
મધ્યસ્થ $(M) = \left(\frac{n+1}{2}\right)^{\text{th}}$ અવલોકન $= 6^{\text{th}}$ અવલોકન $= 9$.
મધ્યસ્થથી નિરપેક્ષ વિચલનો $|x_i - M|$ નીચે મુજબ છે:
$|3-9|=6, |3-9|=6, |4-9|=5, |5-9|=4, |7-9|=2, |9-9|=0, |10-9|=1, |12-9|=3, |18-9|=9, |19-9|=10, |21-9|=12$.
નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $\sum |x_i - M| = 6 + 6 + 5 + 4 + 2 + 0 + 1 + 3 + 9 + 10 + 12 = 58$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{n} \sum |x_i - M| = \frac{58}{11} \approx 5.27$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલ ડેટાનો મધ્યક $\bar{x}$ શોધીએ:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 2) + (5 \times 8) + (6 \times 10) + (8 \times 7) + (10 \times 8) + (12 \times 5)}{2 + 8 + 10 + 7 + 8 + 5} = \frac{4 + 40 + 60 + 56 + 80 + 60}{40} = \frac{300}{40} = 7.5$
ત્યારબાદ,આપણે મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ:
(કોષ્ટક ઉપર મુજબ)
$M.D.(\bar{x}) = \frac{92}{40} = 2.3$

આપેલ અવલોકનો પહેલેથી જ ચડતા ક્રમમાં છે. આપેલ માહિતીમાં સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ માટેની હરોળ ઉમેરતા:

$x_i$	$3$	$6$	$9$	$12$	$13$	$15$	$21$	$22$
$f_i$	$3$	$4$	$5$	$2$	$4$	$5$	$4$	$3$
$c.f.$	$3$	$7$	$12$	$14$	$18$	$23$	$27$	$30$

અહીં,$N = 30$,જે બેકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થ એ $15$ મા અને $16$ મા અવલોકનનો સરેરાશ છે. આ બંને અવલોકનો સંચયી આવૃત્તિ $18$ માં આવે છે,જેનું અનુરૂપ અવલોકન $13$ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ $M = \frac{15\text{મો અવલોકન} + 16\text{મો અવલોકન}}{2} = \frac{13+13}{2} = 13$.
હવે,મધ્યસ્થથી વિચલનોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો,$|x_i - M|$,ની ગણતરી કરતા:

$|x_i - M|$	$10$	$7$	$4$	$1$	$0$	$2$	$8$	$9$
$f_i$	$3$	$4$	$5$	$2$	$4$	$5$	$4$	$3$
$f_i|x_i - M|$	$30$	$28$	$20$	$2$	$0$	$10$	$32$	$27$

આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum f_i = 30$ અને $\sum f_i|x_i - M| = 149$.
તેથી,$M.D.(M) = \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{149}{30} = 4.97$.

(D) આપેલ ડેટા પરથી આપણે નીચે મુજબનું કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

મેળવેલ ગુણ	વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $(f_i)$	મધ્યબિંદુ $(x_i)$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$10-20$	$2$	$15$	$30$	$30$	$60$
$20-30$	$3$	$25$	$75$	$20$	$60$
$30-40$	$8$	$35$	$280$	$10$	$80$
$40-50$	$14$	$45$	$630$	$0$	$0$
$50-60$	$8$	$55$	$440$	$10$	$80$
$60-70$	$3$	$65$	$195$	$20$	$60$
$70-80$	$2$	$75$	$150$	$30$	$60$
કુલ	$N=40$	-	$1800$	-	$400$

અહીં,$N = \sum f_i = 40$ અને $\sum f_i x_i = 1800$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{1800}{40} = 45$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M.D.(\bar{x}) = \frac{400}{40} = 10$.

(10.16) મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન ગણવા માટે,આપણે પ્રથમ આવૃત્તિ વિતરણ કોષ્ટક બનાવીએ છીએ:

વર્ગ	આવૃત્તિ $(f_i)$	$c.f.$	મધ્યબિંદુ $(x_i)$	$|x_i - M|$	$f_i |x_i - M|$
$0-10$	$6$	$6$	$5$	$23$	$138$
$10-20$	$7$	$13$	$15$	$13$	$91$
$20-30$	$15$	$28$	$25$	$3$	$45$
$30-40$	$16$	$44$	$35$	$7$	$112$
$40-50$	$4$	$48$	$45$	$17$	$68$
$50-60$	$2$	$50$	$55$	$27$	$54$
કુલ	$N=50$	-	-	-	$508$

અહીં,$N = 50$,તેથી $\frac{N}{2} = 25$. $25$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $28$ છે,જે $20-30$ વર્ગને અનુરૂપ છે.
આમ,મધ્યસ્થ વર્ગ $20-30$ છે.
મધ્યસ્થ માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $M = l + \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \times h$
જ્યાં $l = 20, C = 13, f = 15, h = 10$.
$M = 20 + \frac{25 - 13}{15} \times 10 = 20 + \frac{120}{15} = 20 + 8 = 28$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - M| = \frac{508}{50} = 10.16$.

(B) આપેલી માહિતી $4, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 17$ છે.
માહિતીનો મધ્યક,$\bar{x} = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
મધ્યક $\bar{x}$ થી અવલોકનોના વિચલનોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો,એટલે કે $|x_{i} - \bar{x}|$,નીચે મુજબ છે:
$|4-10| = 6, |7-10| = 3, |8-10| = 2, |9-10| = 1, |10-10| = 0, |12-10| = 2, |13-10| = 3, |17-10| = 7$.
મધ્યકને સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum_{i=1}^{8} |x_{i} - \bar{x}|}{8} = \frac{6 + 3 + 2 + 1 + 0 + 2 + 3 + 7}{8} = \frac{24}{8} = 3$.

(A) આપેલી માહિતી $38, 70, 48, 40, 42, 55, 63, 46, 54, 44$ છે.
પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{38+70+48+40+42+55+63+46+54+44}{10} = \frac{500}{10} = 50$.
હવે,દરેક અવલોકન માટે નિરપેક્ષ વિચલન $|x_i - \bar{x}|$ શોધો:
$|38-50| = 12, |70-50| = 20, |48-50| = 2, |40-50| = 10, |42-50| = 8, |55-50| = 5, |63-50| = 13, |46-50| = 4, |54-50| = 4, |44-50| = 6$.
નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $12 + 20 + 2 + 10 + 8 + 5 + 13 + 4 + 4 + 6 = 84$ છે.
મધ્યકને અનુલક્ષીને સરેરાશ વિચલન $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n} = \frac{84}{10} = 8.4$ છે.

(A) આપેલ માહિતી $13, 17, 16, 14, 11, 13, 10, 16, 11, 18, 12, 17$ છે.
અહીં,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 12$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$10, 11, 11, 12, 13, 13, 14, 16, 16, 17, 17, 18$.
મધ્યસ્થ $M = \frac{(\frac{n}{2}) \text{ મું અવલોકન} + (\frac{n}{2} + 1) \text{ મું અવલોકન}}{2} = \frac{6 \text{ મું અવલોકન} + 7 \text{ મું અવલોકન}}{2} = \frac{13 + 14}{2} = 13.5$.
નિરપેક્ષ વિચલનો $|x_i - M|$:
$|10 - 13.5| = 3.5, |11 - 13.5| = 2.5, |11 - 13.5| = 2.5, |12 - 13.5| = 1.5, |13 - 13.5| = 0.5, |13 - 13.5| = 0.5, |14 - 13.5| = 0.5, |16 - 13.5| = 2.5, |16 - 13.5| = 2.5, |17 - 13.5| = 3.5, |17 - 13.5| = 3.5, |18 - 13.5| = 4.5$.
નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો = $28$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{\sum |x_i - M|}{n} = \frac{28}{12} \approx 2.33$.

(A) આપેલ માહિતી $36, 72, 46, 42, 60, 45, 53, 46, 51, 49$ છે.
અહીં,અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$36, 42, 45, 46, 46, 49, 51, 53, 60, 72$.
મધ્યસ્થ $M = \frac{(\frac{n}{2})\text{મું અવલોકન} + (\frac{n}{2} + 1)\text{મું અવલોકન}}{2}$.
$M = \frac{5\text{મું અવલોકન} + 6\text{મું અવલોકન}}{2} = \frac{46 + 49}{2} = \frac{95}{2} = 47.5$.
નિરૂપણ વિચલનો $|x_i - M|$ નીચે મુજબ છે:
$|36 - 47.5| = 11.5, |42 - 47.5| = 5.5, |45 - 47.5| = 2.5, |46 - 47.5| = 1.5, |46 - 47.5| = 1.5, |49 - 47.5| = 1.5, |51 - 47.5| = 3.5, |53 - 47.5| = 5.5, |60 - 47.5| = 12.5, |72 - 47.5| = 24.5$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{\sum |x_i - M|}{n} = \frac{70}{10} = 7.0$ છે.

સૌ પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{350}{25} = 14$
હવે,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન શોધો:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{158}{25} = 6.32$

(A) સૌ પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(10 \times 4) + (30 \times 24) + (50 \times 28) + (70 \times 16) + (90 \times 8)}{4 + 24 + 28 + 16 + 8} = \frac{40 + 720 + 1400 + 1120 + 720}{80} = \frac{4000}{80} = 50$.
હવે,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$ ની ગણતરી કરો:

$x_i$	$f_i$	$|x_i - 50|$	$f_i |x_i - 50|$
$10$	$4$	$40$	$160$
$30$	$24$	$20$	$480$
$50$	$28$	$0$	$0$
$70$	$16$	$20$	$320$
$90$	$8$	$40$	$320$
કુલ	$80$	-	$1280$

$M.D.(\bar{x}) = \frac{1280}{80} = 16$.

(A) આપેલ અવલોકનો પહેલેથી જ ચડતા ક્રમમાં છે. સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ નો કોલમ ઉમેરતા,આપણને નીચે મુજબનું કોષ્ટક મળે છે:

${x_i}$	${f_i}$	$c.f.$
$5$	$8$	$8$
$7$	$6$	$14$
$9$	$2$	$16$
$10$	$2$	$18$
$12$	$2$	$20$
$15$	$6$	$26$

અહીં,$N = 26,$ જે બેકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થ એ $13^{th}$ અને $14^{th}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે. આ બંને અવલોકનો સંચયી આવૃત્તિ $14$ માં આવે છે,જેનું અનુરૂપ અવલોકન $7$ છે.
$\therefore \text{મધ્યસ્થ} (M) = \frac{7 + 7}{2} = 7.$
મધ્યસ્થથી વિચલનોના નિરપેક્ષ મૂલ્યો $|x_i - M|$ નીચે મુજબ છે:

$x_i$	$|x_i - M|$	$f_i$	$f_i|x_i - M|$
$5$	$2$	$8$	$16$
$7$	$0$	$6$	$0$
$9$	$2$	$2$	$4$
$10$	$3$	$2$	$6$
$12$	$5$	$2$	$10$
$15$	$8$	$6$	$48$

$\sum f_i |x_i - M| = 16 + 0 + 4 + 6 + 10 + 48 = 84.$
$\text{સરેરાશ વિચલન} (M) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - M| = \frac{84}{26} \approx 3.23.$

(A) આપેલ અવલોકનો પહેલેથી જ ચડતા ક્રમમાં છે.
સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ માટે એક સ્તંભ ઉમેરતા:

$x_i$	$f_i$	$c.f.$
$15$	$3$	$3$
$21$	$5$	$8$
$27$	$6$	$14$
$30$	$7$	$21$
$35$	$8$	$29$

અહીં,$N = \sum f_i = 29$,જે એકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થ $= \left(\frac{N+1}{2}\right)^{th}$ અવલોકન $= \left(\frac{29+1}{2}\right)^{th} = 15^{th}$ અવલોકન.
આ અવલોકન સંચયી આવૃત્તિ $21$ માં આવે છે,જેની સામેનું અવલોકન $x_i = 30$ છે.
તેથી,મધ્યસ્થ $(M) = 30$.
$|x_i - M|$ અને $f_i|x_i - M|$ ની ગણતરી કરતા:

$x_i$	$f_i$	$|x_i - 30|$	$f_i|x_i - 30|$
$15$	$3$	$15$	$45$
$21$	$5$	$9$	$45$
$27$	$6$	$3$	$18$
$30$	$7$	$0$	$0$
$35$	$8$	$5$	$40$

સરવાળો $\sum f_i|x_i - M| = 45 + 45 + 18 + 0 + 40 = 148$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{N} \sum f_i|x_i - M| = \frac{148}{29} \approx 5.10$.

(A) મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

આવક	$f_i$	$x_i$	$f_ix_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i|x_i - \bar{x}|$
$0-100$	$4$	$50$	$200$	$308$	$1232$
$100-200$	$8$	$150$	$1200$	$208$	$1664$
$200-300$	$9$	$250$	$2250$	$108$	$972$
$300-400$	$10$	$350$	$3500$	$8$	$80$
$400-500$	$7$	$450$	$3150$	$92$	$644$
$500-600$	$5$	$550$	$2750$	$192$	$960$
$600-700$	$4$	$650$	$2600$	$292$	$1168$
$700-800$	$3$	$750$	$2250$	$392$	$1176$
કુલ	$50$	-	$17900$	-	$7896$

$N = \sum f_i = 50$
મધ્યક $\bar{x} = \frac{\sum f_ix_i}{N} = \frac{17900}{50} = 358$
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum f_i|x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{7896}{50} = 157.92$

(A) મધ્યકથી સરેરાશ વિચલનની ગણતરી નીચે મુજબ છે:

ઊંચાઈ $(cm)$	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$95-105$	$9$	$100$	$900$	$25.3$	$227.7$
$105-115$	$13$	$110$	$1430$	$15.3$	$198.9$
$115-125$	$26$	$120$	$3120$	$5.3$	$137.8$
$125-135$	$30$	$130$	$3900$	$4.7$	$141.0$
$135-145$	$12$	$140$	$1680$	$14.7$	$176.4$
$145-155$	$10$	$150$	$1500$	$24.7$	$247.0$
કુલ	$N=100$	-	$12530$	-	$1128.8$

$\text{મધ્યક } \bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{12530}{100} = 125.3$
$\text{સરેરાશ વિચલન } (M.D.) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{1128.8}{100} = 11.28$

(N/A) મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધવા માટે,આપણે પહેલા મધ્યસ્થની ગણતરી કરીએ છીએ.

ગુણ	$f_{i}$	$C_{f}$	$x_{i}$	$|x_{i}-M|$	$f_{i}|x_{i}-M|$
$0-10$	$6$	$6$	$5$	$22.86$	$137.16$
$10-20$	$8$	$14$	$15$	$12.86$	$102.88$
$20-30$	$14$	$28$	$25$	$2.86$	$40.04$
$30-40$	$16$	$44$	$35$	$7.14$	$114.24$
$40-50$	$4$	$48$	$45$	$17.14$	$68.56$
$50-60$	$2$	$50$	$55$	$27.14$	$54.28$
કુલ	$N=50$	-	-	-	$517.16$

અહીં,$N=50$,તેથી $\frac{N}{2} = 25$.
$25$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિ $28$ છે,તેથી મધ્યસ્થ વર્ગ $20-30$ છે.
મધ્યસ્થ $M = l + \frac{\frac{N}{2} - C_{f-1}}{f_{m}} \times h = 20 + \frac{25 - 14}{14} \times 10 = 20 + \frac{110}{14} = 20 + 7.86 = 27.86$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{\sum f_{i}|x_{i}-M|}{N} = \frac{517.16}{50} = 10.3432 \approx 10.34$.

(A) આપેલ માહિતી સતત નથી. આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલની નીચલી સીમામાંથી $0.5$ બાદ કરીને અને ઉપલી સીમામાં $0.5$ ઉમેરીને તેને સતત આવૃત્તિ વિતરણમાં ફેરવીએ છીએ.
મધ્યસ્થ $= 38$ મળે છે.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \text{Median}| = \frac{735}{100} = 7.35$.

પ્રથમ,મધ્યક $\bar{x}$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{433}{20} = 21.65$
ત્યારબાદ,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i} = \frac{25}{20} = 1.25$

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ અને મધ્યસ્થ $(M_e)$ શોધીએ છીએ.
$ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline \text{ગુણ} (x_i) & f_i & cf & |x_i - M_e| & f_i |x_i - M_e| \\ \hline 10 & 2 & 2 & |10-12|=2 & 4 \\ \hline 11 & 3 & 5 & |11-12|=1 & 3 \\ \hline 12 & 8 & 13 & |12-12|=0 & 0 \\ \hline 14 & 3 & 16 & |14-12|=2 & 6 \\ \hline 15 & 4 & 20 & |15-12|=3 & 12 \\ \hline \text{કુલ} & \Sigma f_i = 20 & & & \Sigma f_i |x_i - M_e| = 25 \\ \hline \end{array} $
અવલોકનોની કુલ સંખ્યા $N = \Sigma f_i = 20$.
$N$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યસ્થ $M_e$ એ $10$ માં અને $11$ માં અવલોકનનો સરેરાશ છે. $cf$ કોલમ જોતા,$10$ મું અને $11$ મું બંને અવલોકનો $12$ મૂલ્યમાં આવે છે.
તેથી,$M_e = 12$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન:
$MD(M_e) = \frac{\Sigma f_i |x_i - M_e|}{\Sigma f_i} = \frac{25}{20} = 1.25$.