Mean Deviation Questions in Gujarati

પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 2, 3, \ldots, n$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+2+3+\cdots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$MD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |i - \frac{n+1}{2}|$.
$n$ એકી સંખ્યા હોવાથી,$n = 2k+1$ લો. પદો મધ્યક $\frac{n+1}{2}$ ની આસપાસ સંમિત છે.
$MD = \frac{2}{n} \left[ \sum_{i=1}^{(n-1)/2} (\frac{n+1}{2} - i) \right] = \frac{2}{n} \left[ \frac{n^2-1}{4n} \right] = \frac{n^2-1}{4n}$.

પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $n$ બેકી છે,એટલે કે $1, 2, 3, \dots, n$.
$\therefore \quad \text{મધ્યક } \bar{x} = \frac{1+2+3+\dots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$MD = \frac{1}{n} \left[ \left| 1 - \frac{n+1}{2} \right| + \left| 2 - \frac{n+1}{2} \right| + \dots + \left| n - \frac{n+1}{2} \right| \right]$.
જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે પદો મધ્યકની આસપાસ સંમિત હોય છે. નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $2 \times \left( \frac{1}{2} + \frac{3}{2} + \dots + \frac{n-1}{2} \right)$ થાય છે.
સરવાળામાં આવા $\frac{n}{2}$ પદો છે.
$MD = \frac{1}{n} \times 2 \times \left( \frac{1+3+\dots+(n-1)}{2} \right) = \frac{1}{n} \times \left( \frac{n}{2} \right)^2 = \frac{n^2}{4n} = \frac{n}{4}$.

સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યબિંદુ $(x_i)$ શોધો અને મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:

વર્ગ અંતરાલ	$f_i$	$x_i$	$f_i x_i$	$|x_i - \bar{x}|$	$f_i |x_i - \bar{x}|$
$0-4$	$4$	$2$	$8$	$|2 - 9.2| = 7.2$	$28.8$
$4-8$	$6$	$6$	$36$	$|6 - 9.2| = 3.2$	$19.2$
$8-12$	$8$	$10$	$80$	$|10 - 9.2| = 0.8$	$6.4$
$12-16$	$5$	$14$	$70$	$|14 - 9.2| = 4.8$	$24.0$
$16-20$	$2$	$18$	$36$	$|18 - 9.2| = 8.8$	$17.6$
કુલ	$\Sigma f_i = 25$		$\Sigma f_i x_i = 230$		$\Sigma f_i d_i = 96$

$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{230}{25} = 9.2$
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i} = \frac{96}{25} = 3.84$

(7) પગલું $1$: સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ અને કુલ આવૃત્તિ $(N)$ શોધો.
પગલું $2$: મધ્યસ્થ વર્ગ શોધો.
અહીં $N = 20$ હોવાથી,$\frac{N}{2} = 10$. $10$ થી મોટી તરતની સંચયી આવૃત્તિ $12$ છે,તેથી મધ્યસ્થ વર્ગ $12-18$ છે.
પગલું $3$: મધ્યસ્થ $(M_d)$ ની ગણતરી કરો.
$M_d = l + \left( \frac{\frac{N}{2} - C}{f} \right) \times h = 12 + \left( \frac{10 - 9}{3} \right) \times 6 = 12 + 2 = 14$.
પગલું $4$: સરેરાશ વિચલન $(MD)$ ની ગણતરી કરો.
$MD = \frac{\sum f_i |x_i - M_d|}{N} = \frac{4|3-14| + 5|9-14| + 3|15-14| + 6|21-14| + 2|27-14|}{20} = \frac{140}{20} = 7$.

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{n+1}{2}$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકી $n$ માટે,પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનું મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{n^2-1}{4n}$ થાય છે.
આપેલ છે કે સરેરાશ વિચલન $\frac{5(n+1)}{n}$ છે,તેથી:
$\frac{n^2-1}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
$n^2-1 = (n-1)(n+1)$ હોવાથી:
$\frac{(n-1)(n+1)}{4n} = \frac{5(n+1)}{n}$.
બંને બાજુ $\frac{n+1}{n}$ વડે ભાગતા:
$\frac{n-1}{4} = 5$.
$n-1 = 20$.
$n = 21$.

(D) આપેલ માહિતી $3, 5, 7, 2k, 12, 16, 21, 24$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
$n$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યસ્થ $M = \frac{2k + 12}{2} = k + 6$ થાય.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{n} \sum |x_i - M| = 6$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{|3-(k+6)| + |5-(k+6)| + |7-(k+6)| + |2k-(k+6)| + |12-(k+6)| + |16-(k+6)| + |21-(k+6)| + |24-(k+6)|}{8} = 6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{58 - 2k}{8} = 6 \implies 58 - 2k = 48 \implies 2k = 10 \implies k = 5$.
તેથી,મધ્યસ્થ $M = k + 6 = 5 + 6 = 11$.

(C) ધારો કે $100$ ક્રમિક ધન પૂર્ણાંકો $a_1, a_1+1, a_1+2, \ldots, a_1+99$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = a_1 + 49.5$ મળે છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{100} \sum_{i=0}^{99} |i - 49.5| = 25$ થાય છે.
આ કિંમત $a_1$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી તે તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $a_1 \in \mathbb{N}$ માટે સાચું છે.
તેથી,$S = \mathbb{N}$.

(D) આપેલ અવલોકનો $1, 2, 4, 5, x, y$ છે. મધ્યક $\overline{x} = 5$ છે.
$\frac{1+2+4+5+x+y}{6} = 5 \implies 12+x+y = 30 \implies x+y = 18$ $(i)$.
વિચરણ $\sigma^2 = 10 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\overline{x})^2$.
$10 = \frac{1^2+2^2+4^2+5^2+x^2+y^2}{6} - 25$.
$35 = \frac{1+4+16+25+x^2+y^2}{6} \implies 210 = 46 + x^2+y^2 \implies x^2+y^2 = 164$ (ii).
$(x+y)^2 = x^2+y^2+2xy$ પરથી,$18^2 = 164 + 2xy \implies 324 - 164 = 2xy \implies 2xy = 160 \implies xy = 80$.
$x+y=18$ અને $xy=80$ ઉકેલતા,$x=8, y=10$ મળે છે.
અવલોકનો $1, 2, 4, 5, 8, 10$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\text{M.D.}(\overline{x}) = \frac{\sum |x_i - 5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{|1-5| + |2-5| + |4-5| + |5-5| + |8-5| + |10-5|}{6}$.
$\text{M.D.} = \frac{4+3+1+0+3+5}{6} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$.

(B) કુલ વિદ્યાર્થીઓની સંખ્યા $N = 40$ છે,તેથી $5 + 8 + 5 + 12 + X + Y = 40 \Rightarrow X + Y = 10 \dots (1)$.
સંચયી આવૃત્તિઓ: $5, 13, 18, 30, 30+X, 30+X+Y$.
$N=40$ હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $20$ માં અને $21$ માં અવલોકનોની સરેરાશ છે. સંચયી આવૃત્તિ જોતા,$20$ મું અને $21$ મું અવલોકન $18$ ની ઉંમરમાં આવે છે. તેથી,$\text{મધ્યસ્થ} (M) = 18$.
મધ્યસ્થ વિશે સરેરાશ વિચલન $\text{M.D.} = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\text{M.D.} = 1.25$,તેથી $1.25 = \frac{5|15-18| + 8|16-18| + 5|17-18| + 12|18-18| + X|19-18| + Y|20-18|}{40}$.
$1.25 = \frac{5(3) + 8(2) + 5(1) + 12(0) + X(1) + Y(2)}{40}$.
$50 = 15 + 16 + 5 + 0 + X + 2Y$.
$50 = 36 + X + 2Y \Rightarrow X + 2Y = 14 \dots (2)$.
$(2)$ માંથી $(1)$ બાદ કરતા:
$(X + 2Y) - (X + Y) = 14 - 10 \Rightarrow Y = 4$.
$(1)$ માં $Y=4$ મૂકતા,$X + 4 = 10 \Rightarrow X = 6$.
તેથી,$4X + 5Y = 4(6) + 5(4) = 24 + 20 = 44$.

(A) આપેલ અવલોકનો: $2, 3, 3, 4, 5, 7, a, b$. કુલ અવલોકનો $n = 8$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+3+3+4+5+7+a+b}{8} = 4 \implies 24 + a + b = 32 \implies a + b = 8$.
પ્રમાણિત વિચલન $\sigma = \sqrt{2} \implies \sigma^2 = 2$.
વિચરણનું સૂત્ર: $\sigma^2 = \frac{\sum x_i^2}{n} - (\bar{x})^2$.
$2 = \frac{4+9+9+16+25+49+a^2+b^2}{8} - 16$.
$18 = \frac{112 + a^2 + b^2}{8} \implies a^2 + b^2 = 32$.
$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab \implies 64 = 32 + 2ab \implies ab = 16$.
તેથી $a=4, b=4$.
અવલોકનો $2, 3, 3, 4, 4, 4, 5, 7$ છે. બહુલક $4$ છે.
બહુલક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{|2-4| + |3-4| + |3-4| + |4-4| + |4-4| + |4-4| + |5-4| + |7-4|}{8} = \frac{8}{8} = 1$.

(B) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક $(\mu)$ શોધો.
$\mu = \frac{4+7+8+9+10+12+13+17}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
પગલું $2$: મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $\frac{1}{N} \sum |x_i - \mu|$ નો ઉપયોગ કરો.
$|4-10| = 6, |7-10| = 3, |8-10| = 2, |9-10| = 1, |10-10| = 0, |12-10| = 2, |13-10| = 3, |17-10| = 7$.
નિરેપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $= 6+3+2+1+0+2+3+7 = 24$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{24}{8} = 3$.

(D) પગલું $ 1 $: આપેલી માહિતીનો મધ્યક $ \bar{x} $ શોધો.
$ \bar{x} = \frac{3 + 10 + 10 + 4 + 7 + 10 + 5}{7} = \frac{49}{7} = 7 $.
પગલું $ 2 $: મધ્યકથી નિરપેક્ષ વિચલનો $ |x_i - \bar{x}| $ શોધો.
$ |3 - 7| = 4 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |4 - 7| = 3 $
$ |7 - 7| = 0 $
$ |10 - 7| = 3 $
$ |5 - 7| = 2 $
પગલું $ 3 $: આ નિરપેક્ષ વિચલનોનો મધ્યક શોધો.
$ \text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{4 + 3 + 3 + 3 + 0 + 3 + 2}{7} = \frac{18}{7} \approx 2.57 $.

(C) સૌ પ્રથમ,$x_i$ ને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો અને સંચયી આવૃત્તિની ગણતરી કરો:

$x_i$	$f_i$	સંચયી આવૃત્તિ	$|x_i - M|$	$f_i |x_i - M|$
$3$	$3$	$3$	$10$	$30$
$6$	$4$	$7$	$7$	$28$
$9$	$5$	$12$	$4$	$20$
$12$	$2$	$14$	$1$	$2$
$13$	$4$	$18$	$0$	$0$
$15$	$5$	$23$	$2$	$10$
$21$	$4$	$27$	$8$	$32$
$22$	$3$	$30$	$9$	$27$

અહીં,$N = \Sigma f_i = 30$.
મધ્યસ્થ એ $\frac{N}{2} = 15$ થી તરત મોટી સંચયી આવૃત્તિને અનુરૂપ કિંમત છે.
સંચયી આવૃત્તિ $18$ એ $x_i = 13$ ને અનુરૂપ છે. તેથી,મધ્યસ્થ $(M) = 13$.
સરવાળો $\Sigma f_i |x_i - 13| = 30 + 28 + 20 + 2 + 0 + 10 + 32 + 27 = 149$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma f_i |x_i - M|}{N} = \frac{149}{30} \approx 4.97$.

(C) આવૃત્તિઓનો સરવાળો: $\sum f_i = (\alpha+2) + (\alpha-1)^2 + 4 + (\alpha-1) + 2 + \alpha = 20$.
સાદું રૂપ આપતા: $\alpha^2 + \alpha - 12 = 0 \implies \alpha = 3$.
આવૃત્તિઓ: $5, 4, 4, 2, 2, 3$.
મધ્યક $\bar{x} = 6$.
સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{54}{20} = 2.7$.

(B) પગલું $1$: દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો: $1, 3, 5, 7, 9$.
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (3 \times 3) + (4 \times 5) + (1 \times 7) + (2 \times 9)}{1+3+4+1+2} = \frac{1+9+20+7+18}{11} = \frac{55}{11} = 5$.
પગલું $3$: મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $(M.D.(\bar{x}))$ ની ગણતરી કરો:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 3|3-5| + 4|5-5| + 1|7-5| + 2|9-5|}{11} = \frac{1(4) + 3(2) + 4(0) + 1(2) + 2(4)}{11} = \frac{4+6+0+2+8}{11} = \frac{20}{11}$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવીએ અને સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણીએ:
$x_i: 2, 3, 5, 7, 9$
$f_i: 8, 6, 4, 2, 1$
$cf: 8, 14, 18, 20, 21$
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 21$.
મધ્યસ્થ એ $(\frac{N+1}{2})$-મું અવલોકન છે,જે $11$-મું અવલોકન છે. $cf$ કોષ્ટક પરથી,$11$-મું અવલોકન $3$ છે. તેથી,$\text{મધ્યસ્થ} (M) = 3$.
હવે,મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન ગણીએ:
$\text{M.D.}(M) = \frac{\sum f_i |x_i - M|}{N}$
$|x_i - 3|: |2-3|=1, |3-3|=0, |5-3|=2, |7-3|=4, |9-3|=6$
$f_i |x_i - 3|: 8(1)=8, 6(0)=0, 4(2)=8, 2(4)=8, 1(6)=6$
$\sum f_i |x_i - 3| = 8 + 0 + 8 + 8 + 6 = 30$
$\text{M.D.}(M) = \frac{30}{21} = \frac{10}{7}$.

(A) આપેલ માહિતી $20, 5, 15, 2, 7, 3, 11$ છે. અવલોકનોની સંખ્યા $n = 7$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{63}{7} = 9$.
મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $m = \frac{38}{7}$.
ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $2, 3, 5, 7, 11, 15, 20$. મધ્યસ્થ $= 7$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $M = \frac{36}{7}$.
$m$ અને $M$ નો મધ્યક $\bar{x}^{\prime} = \frac{37}{7}$.
$m$ અને $M$ નું મધ્યકની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{2} (|\frac{38}{7} - \frac{37}{7}| + |\frac{36}{7} - \frac{37}{7}|) = \frac{1}{7}$.

(A) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક શોધો. $\text{Mean} = \frac{6+7+10+12+13+4+12+16}{8} = \frac{80}{8} = 10$.
પગલું $2$: મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને શોધો.
$\text{Mean Deviation} = \frac{|6-10| + |7-10| + |10-10| + |12-10| + |13-10| + |4-10| + |12-10| + |16-10|}{8}$
$= \frac{4 + 3 + 0 + 2 + 3 + 6 + 2 + 6}{8} = \frac{26}{8} = 3.25$.

(B) પગલું $1$: મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{5+6+7+8+6+9+13+12+15}{9} = \frac{81}{9} = 9$
પગલું $2$: સૂત્ર $\frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{N}$ નો ઉપયોગ કરીને મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો:
$|5-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |6-9| + |9-9| + |13-9| + |12-9| + |15-9|$
$= 4 + 3 + 2 + 1 + 3 + 0 + 4 + 3 + 6 = 26$
પગલું $3$: કુલ અવલોકનોની સંખ્યા $(N=9)$ વડે ભાગાકાર કરો:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{26}{9} \approx 2.88$

(B) માહિતી $p, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ નો મધ્યક $\bar{x} = \frac{p + 6 + 6 + 7 + 8 + 11 + 15 + 16}{8} = \frac{p + 69}{8}$ છે.
આપેલ છે કે મધ્યક $3p$ છે,તેથી $\frac{p + 69}{8} = 3p$.
$p + 69 = 24p$ $\Rightarrow 23p = 69$ $\Rightarrow p = 3$.
આમ,માહિતી $3, 6, 6, 7, 8, 11, 15, 16$ છે અને મધ્યક $\bar{x} = 3 \times 3 = 9$ છે.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M.D. = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા મળે છે.
$M.D. = \frac{|3-9| + |6-9| + |6-9| + |7-9| + |8-9| + |11-9| + |15-9| + |16-9|}{8}$.
$M.D. = \frac{6 + 3 + 3 + 2 + 1 + 2 + 6 + 7}{8} = \frac{30}{8} = 3.75$.

(D) સૌ પ્રથમ,દરેક વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્ય-કિંમતો $(x_i)$ શોધો:
$0-20: 10$
$20-40: 30$
$40-60: 50$
$60-80: 70$
$80-100: 90$
મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f_i x_i}{\Sigma f_i} = \frac{(10 \times 10) + (8 \times 30) + (12 \times 50) + (9 \times 70) + (11 \times 90)}{10+8+12+9+11} = \frac{100+240+600+630+990}{50} = \frac{2560}{50} = 51.2$
હવે,સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \bar{x}|}{\Sigma f_i}$
$\Sigma f_i |x_i - 51.2| = 10|10-51.2| + 8|30-51.2| + 12|50-51.2| + 9|70-51.2| + 11|90-51.2|$
$= 10(41.2) + 8(21.2) + 12(1.2) + 9(18.8) + 11(38.8)$
$= 412 + 169.6 + 14.4 + 169.2 + 426.8 = 1192$
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1192}{50} = 23.84$

(B) આપેલ ડેટા $6, 3, 4, 9, 2, 7, 11$ છે.
પ્રથમ,ડેટાને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $2, 3, 4, 6, 7, 9, 11$.
અહીં કુલ $n = 7$ અવલોકનો છે,જે એકી સંખ્યા છે.
મધ્યસ્થ $M$ એ $\left(\frac{n+1}{2}\right)^{th}$ અવલોકન છે,જે $4^{th}$ અવલોકન છે.
તેથી,$M = 6$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - M|$ દ્વારા મળે છે.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{7} [|2-6| + |3-6| + |4-6| + |6-6| + |7-6| + |9-6| + |11-6|]$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{7} [|-4| + |-3| + |-2| + 0 + |1| + |3| + |5|]$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{1}{7} [4 + 3 + 2 + 0 + 1 + 3 + 5] = \frac{18}{7} \approx 2.57$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ અને મધ્યસ્થ $(M)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

$x_i$	$f_i$	$cf$	$|x_i - M|$	$f_i|x_i - M|$
$10$	$6$	$6$	$|10-12|=2$	$12$
$11$	$12$	$18$	$|11-12|=1$	$12$
$12$	$18$	$36$	$|12-12|=0$	$0$
$13$	$12$	$48$	$|13-12|=1$	$12$

કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 6 + 12 + 18 + 12 = 48$.
મધ્યસ્થ એ $\frac{N}{2} = \frac{48}{2} = 24$ માં અવલોકનને અનુરૂપ કિંમત છે. $cf$ કોલમ જોતા,$24$ મું અવલોકન $x = 12$ વાળા વર્ગમાં આવે છે. તેથી,$M = 12$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$MD = \frac{\sum f_i|x_i - M|}{N} = \frac{12 + 12 + 0 + 12}{48} = \frac{36}{48} = 0.75$.

(D) પ્રથમ,અવલોકનોનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો:
$\bar{x} = \frac{-1 + 0 + 4}{3} = \frac{3}{3} = 1$
હવે,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર વાપરો:
$MD = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$
$MD = \frac{|-1 - 1| + |0 - 1| + |4 - 1|}{3}$
$MD = \frac{|-2| + |-1| + |3|}{3}$
$MD = \frac{2 + 1 + 3}{3} = \frac{6}{3} = 2$

(D) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+2+\ldots+n}{n} = \frac{n(n+1)}{2n} = \frac{n+1}{2}$ છે.
આપેલ છે કે $n$ એ બેકી સંખ્યા છે,તેથી મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |i - \frac{n+1}{2}|$.
જ્યારે $n$ બેકી હોય,ત્યારે આ સરવાળો બે સમાન ભાગોમાં વહેંચાય છે:
$M.D.(\bar{x}) = \frac{1}{n} \left[ \sum_{i=1}^{n/2} (\frac{n+1}{2} - i) + \sum_{i=n/2+1}^{n} (i - \frac{n+1}{2}) \right]$.
આ સરવાળાની ગણતરી કરતા,આપણને $M.D.(\bar{x}) = \frac{n^2-1}{4n}$ મળે છે.

(C) આપેલ $12$ પદોની સમાંતર શ્રેણીનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{a_0 + a_{11}}{2}$ છે.
$a_n = a_0 + nd$ હોવાથી,$a_{11} = a_0 + 11d$,તેથી $\bar{x} = a_0 + \frac{11}{2}d$.
પદો $a_0, a_0+d, \ldots, a_0+11d$ છે.
મધ્યકથી વિચલનો $|a_k - \bar{x}| = |a_0 + kd - (a_0 + 5.5d)| = |k - 5.5||d|$ છે.
$k = 0, 1, \ldots, 11$ માટે,$|k - 5.5|$ ની કિંમતો $5.5, 4.5, 3.5, 2.5, 1.5, 0.5, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5$ છે.
આ વિચલનોનો સરવાળો $2 \times (5.5 + 4.5 + 3.5 + 2.5 + 1.5 + 0.5)|d| = 2 \times 18|d| = 36|d|$ થાય છે.
સરેરાશ વિચલન $\frac{36|d|}{12} = 3|d|$ છે.

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલા ડેટાનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધીએ.
વર્ગોના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45$ છે.
આવૃત્તિઓ $(f_i)$ $6, 8, 10, 4, 2$ છે.
કુલ આવૃત્તિ $N = \sum f_i = 30$.
ગુણાકારનો સરવાળો $\sum f_i x_i = 630$.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{630}{30} = 21$.
હવે,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{1}{N} \sum f_i |x_i - \bar{x}|$ નો ઉપયોગ કરીને:
$\sum f_i |x_i - 21| = 288$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{288}{30} = 9.6$.

(C) પ્રથમ,મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
$\sum f_i = 8 + 48 + 56 + 32 + 16 = 160$
$\sum f_i x_i = (5 \times 8) + (15 \times 48) + (25 \times 56) + (35 \times 32) + (45 \times 16) = 40 + 720 + 1400 + 1120 + 720 = 4000$
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{4000}{160} = 25$
હવે,મધ્યક વિશે સરેરાશ વિચલન ($M$.$D$.$(\bar{x})$) ની ગણતરી કરો:
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i}$
$|x_i - 25|$ ની કિંમતો: $|5-25|=20, |15-25|=10, |25-25|=0, |35-25|=10, |45-25|=20$
$\sum f_i |x_i - \bar{x}| = (8 \times 20) + (48 \times 10) + (56 \times 0) + (32 \times 10) + (16 \times 20) = 160 + 480 + 0 + 320 + 320 = 1280$
$M$.$D$.$(\bar{x})$ = $\frac{1280}{160} = 8$

(D) આપેલ સંખ્યાઓ $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$ છે. આ $N = 2n+1$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે.
મધ્યક $\bar{x}$ એ વચ્ચેનું પદ છે: $\bar{x} = a + nd$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{1}{N} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા મળે છે.
$MD = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |k-n||d|$.
ધારો કે $j = k-n$. જ્યારે $k$ એ $0$ થી $2n$ સુધી જાય,ત્યારે $j$ એ $-n$ થી $n$ સુધી જાય છે.
$MD = \frac{|d|}{2n+1} \sum_{j=-n}^{n} |j| = \frac{|d|}{2n+1} \left( 2 \sum_{j=1}^{n} j \right) = \frac{|d|}{2n+1} \cdot 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n(n+1)|d|}{2n+1}$.

(B) અવલોકનો $x_K = 1 + K\alpha$ છે,જ્યાં $K = 0, 1, 2, \ldots, 100$.
કુલ $n = 101$ અવલોકનો છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} (1 + K\alpha) = 1 + 50\alpha$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{101} \sum_{K=0}^{100} |K - 50| \alpha = 255$.
અહીં $\sum_{K=0}^{100} |K - 50| = 2550$ થાય છે.
તેથી,$\frac{\alpha \times 2550}{101} = 255$.
આમ,$\alpha = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(A) આપેલ અવલોકનો $\{k \alpha\}$ છે,જ્યાં $k=1, 2, \ldots, 50$.
આ અવલોકનો $\{\alpha, 2 \alpha, 3 \alpha, \ldots, 50 \alpha\}$ છે.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n=50$ બેકી હોવાથી,મધ્યસ્થ $M$ એ $25$ માં અને $26$ માં પદની સરેરાશ થશે:
$M = \frac{25 \alpha + 26 \alpha}{2} = 25.5 \alpha$.
મધ્યસ્થ સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - M| = 50$ છે.
$M = 25.5 \alpha$ મૂકતા:
$\frac{1}{50} \sum_{k=1}^{50} |k \alpha - 25.5 \alpha| = 50$.
$|\alpha| \sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = 2500$.
સરવાળો $\sum_{k=1}^{50} |k - 25.5| = |1-25.5| + |2-25.5| + \ldots + |50-25.5|$.
આ કિંમત $2 \times (24.5 + 23.5 + \ldots + 0.5) = 2 \times \frac{25}{2} (24.5 + 0.5) = 25 \times 25 = 625$ થાય.
તેથી,$|\alpha| \times 625 = 2500$.
$|\alpha| = \frac{2500}{625} = 4$.

(D) સૌ પ્રથમ,આપેલી સંખ્યાઓને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 20$.
અહીં અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$ (જે બેકી છે),તેથી મધ્યસ્થ એ $5$ મા અને $6$ ઠ્ઠા અવલોકનનો સરેરાશ થશે.
મધ્યસ્થ $M = \frac{9 + 11}{2} = \frac{20}{2} = 10$.
હવે,મધ્યસ્થથી નિરપેક્ષ વિચલન $|x_i - M|$ ગણો:
$|2 - 10| = 8, |3 - 10| = 7, |5 - 10| = 5, |7 - 10| = 3, |9 - 10| = 1, |11 - 10| = 1, |13 - 10| = 3, |15 - 10| = 5, |17 - 10| = 7, |20 - 10| = 10$.
આ નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $8 + 7 + 5 + 3 + 1 + 1 + 3 + 5 + 7 + 10 = 50$ છે.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - M| = \frac{50}{10} = 5$ છે.

(B) પગલું $1$: વર્ગ મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધો:
વર્ગ અંતરાલ માટે મધ્યબિંદુ આ રીતે ગણવામાં આવે છે: $x_i = \frac{\text{અધઃસીમા} + \text{ઉર્ધ્વસીમા}}{2}$
- $x_1 = 3, x_2 = 9, x_3 = 15, x_4 = 21, x_5 = 27$
પગલું $2$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો:
- $\sum f_i = 9$
- $\sum f_i x_i = 135$
- $\bar{x} = \frac{135}{9} = 15$
પગલું $3$: $|x_i - \bar{x}|$ અને $f_i |x_i - \bar{x}|$ શોધો:
- ગણતરી કરતા સરવાળો $\sum f_i |x_i - \bar{x}| = 48$ મળે છે.
પગલું $4$: મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધો:
- $\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{48}{9} = \frac{16}{3}$

(A) આપેલ માહિતી $n = 101$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,જ્યાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય તફાવત $d$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} (1 + id) = 1 + \frac{d}{101} \times \frac{100 \times 101}{2} = 1 + 50d$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $MD = \frac{1}{n} \sum_{i=0}^{100} |x_i - \bar{x}|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$MD = \frac{1}{101} \sum_{i=0}^{100} |(1 + id) - (1 + 50d)| = \frac{d}{101} \sum_{i=0}^{100} |i - 50|$.
સરવાળો $\sum_{i=0}^{100} |i - 50| = 50 + 49 + \ldots + 0 + \ldots + 50 = 2550$.
$MD = 255$ આપેલ હોવાથી,$255 = \frac{d}{101} \times 2550$.
$d = \frac{255 \times 101}{2550} = 10.1$.

(B) મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધવા માટે,આપણે પહેલા મધ્યક $\bar{X}$ ગણીએ છીએ.
વર્ગોના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ $5, 15, 25, 35, 45, 55, 65$ છે.
આવૃત્તિઓનો સરવાળો $N = \Sigma f_i = 4+6+16+28+16+6+4 = 80$.
સરવાળો $\Sigma f_i x_i = (4 \times 5) + (6 \times 15) + (16 \times 25) + (28 \times 35) + (16 \times 45) + (6 \times 55) + (4 \times 65) = 20 + 90 + 400 + 980 + 720 + 330 + 260 = 2800$.
મધ્યક $\bar{X} = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{2800}{80} = 35$.
હવે,$\Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \Sigma f_i |x_i - 35|$ ગણો:
$4|5-35| + 6|15-35| + 16|25-35| + 28|35-35| + 16|45-35| + 6|55-35| + 4|65-35|$
$= 4(30) + 6(20) + 16(10) + 28(0) + 16(10) + 6(20) + 4(30)$
$= 120 + 120 + 160 + 0 + 160 + 120 + 120 = 800$.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{1}{N} \Sigma f_i |x_i - \bar{X}| = \frac{800}{80} = 10$.

(B) આપેલ શ્રેણી $2n+1$ પદો ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે: $a, a+d, a+2d, \ldots, a+2nd$.
શ્રેણીનો મધ્યક $m$ એ વચ્ચેનું પદ છે: $m = a + nd$.
મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{2n+1} \sum_{i=0}^{2n} |x_i - m|$ દ્વારા મળે છે.
પદો મુકતા:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(a+kd) - (a+nd)| = \frac{1}{2n+1} \sum_{k=0}^{2n} |(k-n)d|$.
આ સરવાળો $\frac{d}{2n+1} [| -n | + | -(n-1) | + \ldots + | 0 | + \ldots + | n |]$ છે.
કૌંસની અંદરનો સરવાળો $2 \times (1 + 2 + \ldots + n) = 2 \times \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$ થાય છે.
આમ,સરેરાશ વિચલન $\frac{n(n+1)d}{2n+1}$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) પગલું $1$: મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરો.
$\bar{x} = \frac{\sum f_i x_i}{\sum f_i} = \frac{(10 \times 2) + (15 \times 4) + (20 \times 6) + (25 \times 8) + (30 \times 5)}{2 + 4 + 6 + 8 + 5} = \frac{550}{25} = 22$.
પગલું $2$: મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $(\text{M.D.}(\bar{x}))$ શોધો.
$\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{\sum f_i} = \frac{(2 \times 12) + (4 \times 7) + (6 \times 2) + (8 \times 3) + (5 \times 8)}{25} = \frac{128}{25} = 5.12$.

(A) પગલું $1$: ડેટાને $x_i$ ના ચડતા ક્રમમાં ગોઠવો: $x_i: 2, 3, 5, 7, 8, 9$ અને $f_i: 5, 6, 6, 1, 1, 3$.
પગલું $2$: સંચયી આવૃત્તિ $(cf)$ ગણો: $5, 11, 17, 18, 19, 22$. કુલ $N = 22$.
પગલું $3$: મધ્યસ્થ એ $(\frac{N}{2})^{th}$ અને $(\frac{N}{2} + 1)^{th}$ અવલોકનનું મૂલ્ય છે,જે $11$મું અને $12$મું અવલોકન છે. $11$મું અવલોકન $3$ છે અને $12$મું અવલોકન $5$ છે. મધ્યસ્થ $M = \frac{3+5}{2} = 4$.
પગલું $4$: $|x_i - M|$ ગણો: $|2-4|=2, |3-4|=1, |5-4|=1, |7-4|=3, |8-4|=4, |9-4|=5$.
પગલું $5$: $\sum f_i |x_i - M| = (5 \times 2) + (6 \times 1) + (6 \times 1) + (1 \times 3) + (1 \times 4) + (3 \times 5) = 10 + 6 + 6 + 3 + 4 + 15 = 44$.
પગલું $6$: મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન = $\frac{\sum f_i |x_i - M|}{N} = \frac{44}{22} = 2$.

(D) પગલું $1$: માહિતીનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધો.
$\bar{x} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13 + 17 + 19 + 22}{9} = \frac{99}{9} = 11$.
પગલું $2$: મધ્યકથી નિરપેક્ષ વિચલનો $|x_i - \bar{x}|$ ગણો.
$|2 - 11| = 9, |3 - 11| = 8, |5 - 11| = 6, |7 - 11| = 4, |11 - 11| = 0, |13 - 11| = 2, |17 - 11| = 6, |19 - 11| = 8, |22 - 11| = 11$.
પગલું $3$: આ નિરપેક્ષ વિચલનોનો મધ્યક શોધો.
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{9 + 8 + 6 + 4 + 0 + 2 + 6 + 8 + 11}{9} = \frac{54}{9} = 6$.

(C) અવલોકનોનો મધ્યક એ અવલોકનોના સરવાળા અને અવલોકનોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સરવાળો $= 1 + 3 + 4 + 7 + 11 + 18 + 29 + 47 + 78 = 198$.
મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{198}{9} = 22$.
હવે,મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન $M.D. = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{n}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$M.D. = \frac{|1-22| + |3-22| + |4-22| + |7-22| + |11-22| + |18-22| + |29-22| + |47-22| + |78-22|}{9}$.
$M.D. = \frac{21 + 19 + 18 + 15 + 11 + 4 + 7 + 25 + 56}{9}$.
$M.D. = \frac{176}{9}$.

(C) ધારો કે અવલોકનો $x_1, x_2, \ldots, x_n$ નો મધ્યક $\bar{x}$ છે.
આપેલ છે કે $x_i$ નું સરેરાશ વિચલન ($M$.$D$.) $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}| = 10$ છે.
ધારો કે નવા અવલોકનો $y_i = \frac{2x_i + 5}{3}$ છે.
નવા અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{2\bar{x} + 5}{3}$ છે.
નવા અવલોકનોનું સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$\text{નવું M.D.} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |y_i - \bar{y}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2x_i + 5}{3} - \frac{2\bar{x} + 5}{3}|$
$= \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |\frac{2(x_i - \bar{x})}{3}|$
$= \frac{2}{3} \times (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} |x_i - \bar{x}|)$
$= \frac{2}{3} \times 10 = \frac{20}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ $10$ અવલોકનોનો મધ્યક $\bar{x} = 10$ છે:
$\frac{2+3+5+18+17+15+13+x+9+7}{10} = 10$
$\Rightarrow 89 + x = 100$
$\Rightarrow x = 11$
માહિતીનો સમૂહ ${2, 3, 5, 18, 17, 15, 13, 11, 9, 7}$ છે.
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \bar{x}|$ તરીકે ગણવામાં આવે છે:

$x_i$	$|x_i - 10|$
$2$	$8$
$3$	$7$
$5$	$5$
$18$	$8$
$17$	$7$
$15$	$5$
$13$	$3$
$11$	$1$
$9$	$1$
$7$	$3$

નિરપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $= 8+7+5+8+7+5+3+1+1+3 = 48$.
સરેરાશ વિચલન $= \frac{48}{10} = 4.8$.

(B) પ્રથમ પાંચ એકી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ $1, 3, 5, 7, 9$ છે. તેમનો મધ્યક $\bar{x} = \frac{1+3+5+7+9}{5} = \frac{25}{5} = 5$ છે.
સરેરાશ વિચલન $O = \frac{\sum |x_i - \bar{x}|}{5} = \frac{|1-5| + |3-5| + |5-5| + |7-5| + |9-5|}{5} = \frac{4+2+0+2+4}{5} = \frac{12}{5} = 2.4$ છે.
પ્રથમ પાંચ અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ $2, 3, 5, 7, 11$ છે. તેમનો મધ્યક $\bar{y} = \frac{2+3+5+7+11}{5} = \frac{28}{5} = 5.6$ છે.
સરેરાશ વિચલન $P = \frac{\sum |y_i - \bar{y}|}{5} = \frac{|2-5.6| + |3-5.6| + |5-5.6| + |7-5.6| + |11-5.6|}{5} = \frac{3.6 + 2.6 + 0.6 + 1.4 + 5.4}{5} = \frac{13.6}{5} = 2.72$ છે.
તેથી,$P - O = 2.72 - 2.4 = 0.32$.

(B) પ્રથમ $15$ બેકી પૂર્ણાંકો $2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30$ છે.
મધ્યક $\bar{x} = \frac{2+4+6+\dots+30}{15} = 16$.
મધ્યસ્થ $\tilde{x} = \left(\frac{15+1}{2}\right)^{\text{મું}}$ પદ $= 8^{\text{મું}}$ પદ $= 16$.
$M_1 = \text{મધ્યકથી સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum_{i=1}^{15} |x_i - \bar{x}|}{15} = \frac{112}{15}$.
મધ્યક અને મધ્યસ્થ સમાન હોવાથી,$M_2 = \text{મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન} = M_1 = \frac{112}{15}$.
તેથી,$M_1 + M_2 = \frac{112}{15} + \frac{112}{15} = \frac{224}{15}$.

(A) આપેલ માહિતીને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $4, 4, 7, 12, 14, 15, 15, 23$.
અહીં,પદોની સંખ્યા $n = 8$ છે,જે બેકી સંખ્યા છે.
તેથી,મધ્યસ્થ એ $4$ થા અને $5$ થા પદની સરેરાશ થશે.
મધ્યસ્થ $= \frac{12 + 14}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
હવે,મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર $\frac{\sum |x_i - \text{Median}|}{n}$ નો ઉપયોગ કરીને ગણતરી કરીએ.

$x_i$	$|x_i - 13|$
$4$	$9$
$4$	$9$
$7$	$6$
$12$	$1$
$14$	$1$
$15$	$2$
$15$	$2$
$23$	$10$

નિપેક્ષ વિચલનોનો સરવાળો $\sum |d_i| = 9 + 9 + 6 + 1 + 1 + 2 + 2 + 10 = 40$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન $= \frac{40}{8} = 5$.

(C) સૌ પ્રથમ,આપણે દરેક વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(x_i)$ શોધીએ છીએ અને મધ્યક $(\bar{x})$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:
મધ્યક $(\bar{x})$ = $\frac{\sum f_i x_i}{N} = \frac{60}{10} = 6$
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન = $\frac{\sum f_i |x_i - \bar{x}|}{N} = \frac{32}{10} = 3.2$

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે આપેલ ડેટાનો મધ્યક $(\bar{x})$ શોધીએ:
$\bar{x} = \frac{\Sigma f x}{\Sigma f} = \frac{336}{42} = 8$
હવે,મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલનનું સૂત્ર વાપરીએ: $\text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{\Sigma f|x - \bar{x}|}{N}$
$\Sigma f|x - \bar{x}| = (3 \times 7) + (3 \times 5) + (4 \times 3) + (14 \times 1) + (7 \times 1) + (4 \times 3) + (3 \times 5) + (4 \times 7) = 124$
$\therefore \text{M.D.}(\bar{x}) = \frac{124}{42} \approx 2.95$

(D) સૌ પ્રથમ,આપણે વર્ગ અંતરાલના મધ્યબિંદુઓ $(y_i)$ શોધીએ છીએ:

$y_i$	$1$	$3$	$5$	$7$	$9$
$f_i$	$1$	$2$	$3$	$2$	$1$

મધ્યક $\bar{y}$ ની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\bar{y} = \frac{\sum f_i y_i}{\sum f_i} = \frac{(1 \times 1) + (2 \times 3) + (3 \times 5) + (2 \times 7) + (1 \times 9)}{1+2+3+2+1} = \frac{1+6+15+14+9}{9} = \frac{45}{9} = 5$
મધ્યક સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{\sum f_i |y_i - \bar{y}|}{\sum f_i} = \frac{1|1-5| + 2|3-5| + 3|5-5| + 2|7-5| + 1|9-5|}{9}$
$= \frac{1(4) + 2(2) + 3(0) + 2(2) + 1(4)}{9} = \frac{4+4+0+4+4}{9} = \frac{16}{9} \approx 1.78$

(C) આપેલ માહિતી: $16, 22, 3, 14, 5, 10, 8, 6, 11, 4$.
ચડતા ક્રમમાં ગોઠવતા: $3, 4, 5, 6, 8, 10, 11, 14, 16, 22$.
અવલોકનોની સંખ્યા $n = 10$.
$n$ બેકી સંખ્યા હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $5^{\text{th}}$ અને $6^{\text{th}}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે:
$\text{મધ્યસ્થ} = \frac{8 + 10}{2} = 9$.
મધ્યસ્થથી સરેરાશ વિચલન $\frac{1}{n} \sum |x_i - \text{મધ્યસ્થ}|$ દ્વારા મળે છે:
$\text{સરેરાશ વિચલન} = \frac{|3-9| + |4-9| + |5-9| + |6-9| + |8-9| + |10-9| + |11-9| + |14-9| + |16-9| + |22-9|}{10}$
$= \frac{6 + 5 + 4 + 3 + 1 + 1 + 2 + 5 + 7 + 13}{10}$
$= \frac{47}{10} = 4.7$.

(A) મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન શોધવા માટે,આપણે પ્રથમ સંચયી આવૃત્તિ $(c.f.)$ ની ગણતરી કરીએ છીએ:

$x$	$f$	$c.f.$	$|x_i - \text{Median}|$	$f_i |x_i - \text{Median}|$
$6$	$4$	$4$	$18$	$72$
$12$	$7$	$11$	$12$	$84$
$18$	$9$	$20$	$6$	$54$
$24$	$18$	$38$	$0$	$0$
$30$	$15$	$53$	$6$	$90$
$36$	$10$	$63$	$12$	$120$
$42$	$5$	$68$	$18$	$90$

કુલ આવૃત્તિ $N = \Sigma f_i = 68$.
મધ્યસ્થ એ $(\frac{N}{2})^{th} = 34^{th}$ અવલોકનને અનુરૂપ કિંમત છે. $c.f.$ કોલમ પરથી,$34^{th}$ અવલોકન $x = 24$ વાળા વર્ગમાં આવે છે.
તેથી,$\text{Median} = 24$.
મધ્યસ્થની સાપેક્ષ સરેરાશ વિચલન નીચે મુજબ છે:
$\text{M.D.}(\text{Median}) = \frac{\Sigma f_i |x_i - \text{Median}|}{\Sigma f_i} = \frac{72 + 84 + 54 + 0 + 90 + 120 + 90}{68} = \frac{510}{68} = 7.5$.