यदि $a^{1/x} = b^{1/y} = c^{1/z}$ और $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,तो $x, y, z$ किसमें होंगे?

माना $x_{1}, x_{2}$ समीकरण $x^{2}-3x+a=0$ के मूल हैं और $x_{3}, x_{4}$ समीकरण $x^{2}-12x+b=0$ के मूल हैं। यदि $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ और $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}$ गुणोत्तर श्रेणी $(GP)$ में हैं,तो $ab$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $A_1, G_1, H_1$ दो भिन्न धनात्मक संख्याओं $a$ और $b$ के क्रमशः समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं। $n \geq 2$ के लिए,मान लीजिए $A_n, G_n, H_n$ क्रमशः $A_{n-1}$ और $H_{n-1}$ के समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं।
$1.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ और $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ और $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ और $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ निम्नलिखित में से कौन सा कथन सही है?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ और $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ और $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।

यदि $a$ और $b$ के समांतर माध्य और गुणोत्तर माध्य क्रमशः $A$ और $G$ हैं,तो $A - G$ का मान क्या होगा?

यदि $x$ और $y$ के $A.M.$ और $G.M.$ का अनुपात $p : q$ है,तो $x : y$ क्या होगा?

दो संख्याओं का योग उनके गुणोत्तर माध्य का $6$ गुना है। दर्शाइए कि संख्याएँ $(3+2 \sqrt{2}):(3-2 \sqrt{2})$ के अनुपात में हैं।