જો $a, b, c$ એ $A.P.$ માં હોય અને $a, c - b, b - a$ એ $G.P.$ માં હોય $(a \ne b \ne c)$,તો $a:b:c$ શું થાય?

બે ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ધ્યાનમાં લો. જો $a$ અને $b$ નો સમાંતર મધ્યક તેમના ગુણોત્તર મધ્યક કરતા $\frac{3}{2}$ જેટલો વધારે હોય અને $a$ અને $b$ નો ગુણોત્તર મધ્યક તેમના હરાત્મક મધ્યક કરતા $\frac{6}{5}$ જેટલો વધારે હોય,તો $(a^2 - b^2)$ નું નિરપેક્ષ મૂલ્ય કેટલું થાય?

બે ભિન્ન $2$-અંકી સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ નો સમાંતર મધ્યક અને ગુણોત્તર મધ્યક બે પૂર્ણાંકો છે,જેમાંથી એક બીજાના અંકોને ઉલટાવીને મેળવી શકાય છે (બેઝ $10$ માં). તો,$x+y$ બરાબર શું થાય?

જો $a, b, c$ એ સમાંતર શ્રેણી $(A.P.)$ અને સમગુણોત્તર શ્રેણી $(G.P.)$ બંનેમાં હોય,તો......

ધારો કે $a, b$ અને $c$ એ એક અચળ ન હોય તેવી $A.P.$ ના અનુક્રમે $7^{th}, 11^{th}$ અને $13^{th}$ પદો છે. જો આ ત્રણ પદો $G.P.$ ના ત્રણ ક્રમિક પદો હોય,તો $\frac{a}{c}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A_1, G_1, H_1$ એ બે ભિન્ન ધન સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ ના અનુક્રમે સમાંતર,સમગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે. $n \geq 2$ માટે,ધારો કે $A_n, G_n, H_n$ એ $A_{n-1}$ અને $H_{n-1}$ ના અનુક્રમે સમાંતર,સમગુણોત્તર અને હરાત્મક મધ્યક છે.
$1.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $G_1 > G_2 > G_3 > \ldots$
$(B)$ $G_1 < G_2 < G_3 < \ldots$
$(C)$ $G_1 = G_2 = G_3 = \ldots$
$(D)$ $G_1 < G_3 < G_5 < \ldots$ અને $G_2 > G_4 > G_6 > \ldots$
$2.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $A_1 > A_2 > A_3 > \ldots$
$(B)$ $A_1 < A_2 < A_3 < \ldots$
$(C)$ $A_1 > A_3 > A_5 > \ldots$ અને $A_2 < A_4 < A_6 < \ldots$
$(D)$ $A_1 < A_3 < A_5 < \ldots$ અને $A_2 > A_4 > A_6 > \ldots$
$3.$ નીચેનામાંથી કયું વિધાન સાચું છે?
$(A)$ $H_1 > H_2 > H_3 > \ldots$
$(B)$ $H_1 < H_2 < H_3 < \ldots$
$(C)$ $H_1 > H_3 > H_5 > \ldots$ અને $H_2 < H_4 < H_6 < \ldots$
$(D)$ $H_1 < H_3 < H_5 < \ldots$ અને $H_2 > H_4 > H_6 > \ldots$
પ્રશ્ન $1, 2$ અને $3$ ના જવાબ આપો.