Transformation of axes Questions in Hindi

(C) हम जानते हैं कि यदि मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ को $(x - h, y - k)$ द्वारा प्राप्त किया जाता है।
दिया गया मूल बिंदु $(x, y) = (4, 5)$ है और नया मूल बिंदु $(h, k) = (1, -2)$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x' = 4 - 1 = 3$
$y' = 5 - (-2) = 5 + 2 = 7$
अतः,नए निर्देशांक $(3, 7)$ हैं।

(B) मूल अक्षों के सापेक्ष रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
जब अक्षों को $\alpha$ कोण पर घुमाया जाता है,तो निर्देशांकों का रूपांतरण $x = x'\cos \alpha - y'\sin \alpha$ और $y = x'\sin \alpha + y'\cos \alpha$ के रूप में होता है।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x'\cos \alpha - y'\sin \alpha}{a} + \frac{x'\sin \alpha + y'\cos \alpha}{b} = 1$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x'\left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right) + y'\left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right) = 1$
इसे अंतःखंड रूप $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ से तुलना करने पर:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}$ और $\frac{1}{q} = \frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left(\frac{\cos \alpha}{a} + \frac{\sin \alpha}{b}\right)^2 + \left(\frac{\cos \alpha}{b} - \frac{\sin \alpha}{a}\right)^2$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(C) रेखा का समीकरण $2x + y = 2$ है,जिसे अंतःखंड रूप में $\frac{x}{1} + \frac{y}{2} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है। यहाँ,मूल अक्षों पर अंतःखंड $a = 1$ और $b = 2$ हैं।
जब अक्षों को वामावर्त दिशा में $\alpha = 45^\circ$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो नए अंतःखंड $p$ और $q$ निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिए जाते हैं:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{a} \cos \alpha + \frac{1}{b} \sin \alpha$
$\frac{1}{q} = -\frac{1}{a} \sin \alpha + \frac{1}{b} \cos \alpha$
$a = 1$,$b = 2$,और $\alpha = 45^\circ$ रखने पर:
$\frac{1}{p} = \frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}}$ $\Rightarrow p = \frac{2\sqrt{2}}{3}$
$\frac{1}{q} = -\frac{1}{1} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{2\sqrt{2}}$ $\Rightarrow q = -2\sqrt{2}$
अतः,अंतःखंड $\frac{2\sqrt{2}}{3}$ और $-2\sqrt{2}$ हैं।

(C) माना कि मूल निर्देशांक $(x, y) = (4, -5)$ हैं और मूल बिंदु को $(h, k) = (-2, 1)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
नए निर्देशांक $(x', y')$ के लिए सूत्र:
$x' = x - h = 4 - (-2) = 4 + 2 = 6$
$y' = y - k = -5 - 1 = -6$
अतः,नए निर्देशांक $(6, -6)$ हैं।

(B) माना मूल निर्देशांक $(x, y) = (4, -2\sqrt{3})$ हैं और घूर्णन कोण $\theta = 30^{\circ}$ है।
नए निर्देशांक $(X, Y)$ के लिए रूपांतरण सूत्र इस प्रकार हैं:
$X = x \cos\theta + y \sin\theta$
$Y = -x \sin\theta + y \cos\theta$
मान रखने पर:
$X = 4 \cos(30^{\circ}) + (-2\sqrt{3}) \sin(30^{\circ}) = 4(\frac{\sqrt{3}}{2}) - 2\sqrt{3}(\frac{1}{2}) = 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = \sqrt{3}$
$Y = -4 \sin(30^{\circ}) + (-2\sqrt{3}) \cos(30^{\circ}) = -4(\frac{1}{2}) - 2\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2 - 3 = -5$
अतः,नए निर्देशांक $(\sqrt{3}, -5)$ हैं।

(A) अक्षों के स्थानांतरण के अंतर्गत त्रिभुज का क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है।
माना पहले त्रिभुज के शीर्ष $A(20, 22), B(21, 24), C(22, 23)$ हैं।
मूल बिंदु को $(20, 22)$ पर स्थानांतरित करने पर,नए निर्देशांक इस प्रकार होंगे:
$A' = (20-20, 22-22) = (0, 0)$
$B' = (21-20, 24-22) = (1, 2)$
$C' = (22-20, 23-22) = (2, 1)$
चूंकि स्थानांतरण के अंतर्गत क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है,इसलिए $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\triangle A'B'C'$ के क्षेत्रफल के बराबर है,जो बिंदुओं $P(0, 0), Q(1, 2)$ और $R(2, 1)$ द्वारा निर्मित त्रिभुज के समान है।
अतः,कथन $(A)$ और कारण $(R)$ दोनों सत्य हैं,और $(R), (A)$ की सही व्याख्या है।

(B) अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
यहाँ $\theta = -30^{\circ}$ लेने पर:
$x = x' \frac{\sqrt{3}}{2} + y' \frac{1}{2}$
$y = -x' \frac{1}{2} + y' \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(x, y) = (2, 1)$ रखने पर:
$2 = x' \frac{\sqrt{3}}{2} + y' \frac{1}{2} \implies 4 = x'\sqrt{3} + y'$
$1 = -x' \frac{1}{2} + y' \frac{\sqrt{3}}{2} \implies 2 = -x' + y'\sqrt{3}$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $x' = \frac{2\sqrt{3} - 1}{2}$ और $y' = \frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।

(B) माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = h + x' \cos \alpha - y' \sin \alpha$
$y = k + x' \sin \alpha + y' \cos \alpha$
यहाँ $(x, y) = (1, 1)$,$(h, k) = (1, -2)$,और $\alpha = 30^{\circ}$ दिया गया है।
मान रखने पर:
$1 = 1 + x' \cos 30^{\circ} - y' \sin 30^{\circ} \implies x' \sqrt{3} - y' = 0$ (समीकरण $1$)
$1 = -2 + x' \sin 30^{\circ} + y' \cos 30^{\circ} \implies x' + y' \sqrt{3} = 6$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ से,$y' = x' \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $2$ में मान रखने पर:
$x' + (x' \sqrt{3}) \sqrt{3} = 6$
$4x' = 6 \implies x' = \frac{3}{2}$.
अतः $y' = \frac{3\sqrt{3}}{2}$.
इस प्रकार,नए निर्देशांक $\left( \frac{3}{2}, \frac{3\sqrt{3}}{2} \right)$ हैं।

(C) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x', y') = (4, 2)$ हैं। घूर्णन का कोण $\theta = -\pi / 3 = -60^{\circ}$ है।
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
मान रखने पर:
$x = 4 \cos(-60^{\circ}) - 2 \sin(-60^{\circ})$
$x = 4(1/2) - 2(-\sqrt{3}/2) = 2 + \sqrt{3}$
$y = 4 \sin(-60^{\circ}) + 2 \cos(-60^{\circ})$
$y = 4(-\sqrt{3}/2) + 2(1/2) = -2\sqrt{3} + 1$
अतः,मूल निर्देशांक $(2 + \sqrt{3}, -2\sqrt{3} + 1)$ हैं।

(A) माना नया मूल बिंदु $(h, k)$ है। रूपांतरण समीकरण $x = X + h$ और $y = Y + k$ हैं।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(X + h)^2 + (Y + k)^2 - 4(X + h) + 6(Y + k) - 7 = 0$.
विस्तार करने पर: $X^2 + 2hX + h^2 + Y^2 + 2kY + k^2 - 4X - 4h + 6Y + 6k - 7 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $X^2 + Y^2 + X(2h - 4) + Y(2k + 6) + (h^2 + k^2 - 4h + 6k - 7) = 0$.
प्रथम-घात पदों को हटाने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$2h - 4 = 0 \implies h = 2$.
$2k + 6 = 0 \implies k = -3$.
अतः,मूल बिंदु को $(2, -3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(A) दिया गया बिंदु $P(2, -1)$ है।
$y$-अक्ष के सापेक्ष बिंदु $P(2, -1)$ का परावर्तन $P'(-2, -1)$ है।
जब अक्षों को $45^{\circ}$ के कोण पर ऋणात्मक दिशा (दक्षिणावर्त) में घुमाया जाता है,तो $\theta = -45^{\circ}$ होता है।
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण समीकरण:
$X = x \cos \theta + y \sin \theta$
$Y = -x \sin \theta + y \cos \theta$
$x = -2, y = -1$ और $\theta = -45^{\circ}$ रखने पर:
$X = (-2) \cos(-45^{\circ}) + (-1) \sin(-45^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$Y = -(-2) \sin(-45^{\circ}) + (-1) \cos(-45^{\circ}) = -\frac{3}{\sqrt{2}}$
अतः,नए निर्देशांक $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, -\frac{3}{\sqrt{2}} \right)$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $x^2 - 3xy + 11x - 12y + 36 = 0$.
माना नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं जहाँ $x = X - 4$ और $y = Y + 1$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(X - 4)^2 - 3(X - 4)(Y + 1) + 11(X - 4) - 12(Y + 1) + 36 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर:
$(X^2 - 8X + 16) - 3(XY + X - 4Y - 4) + 11X - 44 - 12Y - 12 + 36 = 0$.
$X^2 - 8X + 16 - 3XY - 3X + 12Y + 12 + 11X - 12Y - 20 = 0$.
सरल करने पर:
$X^2 - 3XY + 8 = 0$.
$8$ से भाग देने पर:
$\frac{X^2}{8} - \frac{3}{8}XY + 1 = 0$.
$ax^2 + bxy + 1 = 0$ से तुलना करने पर,$a = \frac{1}{8}$ और $b = -\frac{3}{8}$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 - a = (-\frac{3}{8})^2 - \frac{1}{8} = \frac{9}{64} - \frac{8}{64} = \frac{1}{64}$.

(C) माना मूल निर्देशांक $(x, y) = (-5, 3)$ हैं।
माना मूल बिंदु को $(h, k) = (2, -5)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
नए निर्देशांक $(x', y')$ के लिए रूपांतरण सूत्र हैं:
$x' = x - h$
$y' = y - k$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x' = -5 - 2 = -7$
$y' = 3 - (-5) = 3 + 5 = 8$
अतः,नए निर्देशांक $(-7, 8)$ हैं।

(C) चरण $1$: रेखा $y = x$ के सापेक्ष $(4, 1)$ का परावर्तन $(1, 4)$ बिंदु देता है।
चरण $2$: $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई द्वारा $(1, 4)$ का स्थानांतरण $(1 + 2, 4) = (3, 4)$ देता है।
चरण $3$: मूल बिंदु के चारों ओर वामावर्त दिशा में $\theta = \pi/4$ कोण पर $(3, 4)$ का घूर्णन निम्नलिखित रूपांतरण द्वारा प्राप्त होता है:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 3 \cos(\pi/4) - 4 \sin(\pi/4) = 3(1/\sqrt{2}) - 4(1/\sqrt{2}) = -1/\sqrt{2}$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 3 \sin(\pi/4) + 4 \cos(\pi/4) = 3(1/\sqrt{2}) + 4(1/\sqrt{2}) = 7/\sqrt{2}$
अतः,अंतिम स्थिति $\left( -\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}} \right)$ है।

(D) मान लीजिए $(x', y')$ नए अक्षों पर निर्देशांक हैं। रूपांतरण समीकरण $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ हैं।
इन्हें सामान्य समीकरण $ax^2 + by^2 + 2hxy + 2fy + 2gx + c = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,मिश्र पद को हटाने के लिए $x'y'$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$x'y'$ का गुणांक $2(b - a) \sin \theta \cos \theta + 2h(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $-(a - b) \sin 2\theta + 2h \cos 2\theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{2h}{a - b}$।

(A) जब अक्षों को दक्षिणावर्त दिशा में $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो बिंदु $(x, y)$ के नए निर्देशांक $(x', y')$ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिए जाते हैं:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
यहाँ $x = 4$,$y = 2$,और $\theta = \frac{\pi}{3}$ है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ और $\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ है।
मान रखने पर:
$x' = 4 \left(\frac{1}{2}\right) + 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2 + \sqrt{3}$
$y' = -4 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 \left(\frac{1}{2}\right) = -2\sqrt{3} + 1$
अतः,नए निर्देशांक $(2 + \sqrt{3}, -2\sqrt{3} + 1)$ हैं।

(D) मान लीजिए कि मूल इकाई सदिश $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ हैं। जब निर्देशांक प्रणाली को $z-$अक्ष के परितः $\pi / 2$ कोण से घुमाया जाता है ताकि $x-$अक्ष $y-$अक्ष पर आ जाए,तो नए इकाई सदिश $\hat{i}'$ और $\hat{j}'$ पुराने सदिशों से इस प्रकार संबंधित होते हैं:
$\hat{i}' = \hat{j}$
$\hat{j}' = -\hat{i}$
$\hat{k}' = \hat{k}$
दिया गया है $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 7\hat{k}$.
हम $\hat{i} = -\hat{j}'$ और $\hat{j} = \hat{i}'$ लिख सकते हैं।
इन मानों को $\vec{a}$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{a} = 2(-\hat{j}') + 3(\hat{i}') + 7\hat{k}'$
$\vec{a} = 3\hat{i}' - 2\hat{j}' + 7\hat{k}'$
अतः,नए घटक $(3, -2, 7)$ हैं।

(D) निर्देशांक अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत सदिश का परिमाण अपरिवर्तित रहता है।
दिया गया है $\vec{a}_{Old} = (3p, 1)$ और $\vec{a}_{New} = (p+1, \sqrt{10})$।
परिमाणों के वर्गों की तुलना करने पर:
$|\vec{a}_{Old}|^2 = |\vec{a}_{New}|^2$
$(3p)^2 + 1^2 = (p+1)^2 + (\sqrt{10})^2$
$9p^2 + 1 = p^2 + 2p + 1 + 10$
$8p^2 - 2p - 10 = 0$
$4p^2 - p - 5 = 0$
$(4p - 5)(p + 1) = 0$
अतः,$p = \frac{5}{4}$ या $p = -1$।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,सही मान $-1$ है।

(B) माना मूलबिंदु को $(\alpha, \beta)$ पर स्थानांतरित किया गया है। रूपांतरण समीकरण $x = X + \alpha$ और $y = Y + \beta$ हैं।
इन मानों को मूल समीकरण $3x^2 + 4y^2 - xy - 5x - 7y + 2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(X + \alpha)^2 + 4(Y + \beta)^2 - (X + \alpha)(Y + \beta) - 5(X + \alpha) - 7(Y + \beta) + 2 = 0$
इसका विस्तार करने पर,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए ताकि समीकरण $3X^2 + 4Y^2 - XY + k = 0$ के रूप में हो सके।
$X$ का गुणांक $6\alpha - \beta - 5 = 0$ है।
$Y$ का गुणांक $8\beta - \alpha - 7 = 0$ है।
इन समीकरणों को हल करने पर: $\alpha = 1, \beta = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1, \beta = 1$ को अचर पद में रखने पर:
$k = 3(1)^2 + 4(1)^2 - (1)(1) - 5(1) - 7(1) + 2 = 3 + 4 - 1 - 5 - 7 + 2 = -4$।
अतः,$\alpha + \beta - k = 1 + 1 - (-4) = 6$।

(A) मूल समीकरण $x^2+y^2=4$ है।
अक्षों का घूर्णन समीकरण के रूप को नहीं बदलता है क्योंकि मूल बिंदु से दूरी अपरिवर्तित रहती है।
यदि घूर्णन के बाद निर्देशांक $(x', y')$ हैं,तो $x'^2+y'^2=4$ होगा।
इसके बाद,अक्षों को नए मूल बिंदु $(h, k) = (2, -2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।
रूपांतरण समीकरण $x' = X + 2$ और $y' = Y - 2$ हैं।
इन मानों को $x'^2+y'^2=4$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X+2)^2 + (Y-2)^2 = 4$
$X^2 + 4X + 4 + Y^2 - 4Y + 4 = 4$
$X^2 + Y^2 + 4X - 4Y + 4 = 0$।
$X^2+Y^2+aX+bY+c=0$ के साथ तुलना करने पर,$a=4$,$b=-4$,और $c=4$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b+c = 4 - 4 + 4 = 4$।

(C) माना प्रारंभिक निर्देशांक $(x, y) = (4, 1)$ हैं।
$(i)$ मूलबिंदु को $(1, 6)$ पर स्थानांतरित करने के बाद,नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार हैं: $x' = x - 1 = 4 - 1 = 3$ और $y' = y - 6 = 1 - 6 = -5$। अतः,$P' = (3, -5)$।
(ii) $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $2$ इकाई के स्थानांतरण के बाद,नए निर्देशांक $(x'', y'')$ इस प्रकार हैं: $x'' = x' + 2 = 3 + 2 = 5$ और $y'' = y' = -5$। अतः,$P'' = (5, -5)$।
(iii) अक्षों को धनात्मक दिशा में $90^{\circ}$ घुमाने के बाद,नए निर्देशांक $(X, Y)$ इस प्रकार हैं: $X = x'' \cos(90^{\circ}) + y'' \sin(90^{\circ}) = 5(0) + (-5)(1) = -5$ और $Y = -x'' \sin(90^{\circ}) + y'' \cos(90^{\circ}) = -5(1) + (-5)(0) = -5$।
अतः,अंतिम निर्देशांक $(-5, -5)$ हैं।

(A) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
रूपांतरण समीकरण $x = X + 2$ और $y = Y + 3$ हैं।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X+2)^2 + 3(X+2)(Y+3) - 2(Y+3)^2 + 4(X+2) - (Y+3) - 20 = 0$
सरल करने पर:
$X^2 + 3XY - 2Y^2 + 17X - 7Y - 11 = 0$
यहाँ $D = 17$,$E = -7$,और $F = -11$ प्राप्त होता है।
अतः,$D + E + F = 17 - 7 - 11 = -1$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $A(7,5), B(-5,-7), C(7,-7)$ हैं।
चूंकि $AC$ ऊर्ध्वाधर $(x=7)$ है और $BC$ क्षैतिज $(y=-7)$ है,इसलिए त्रिभुज $C(7,-7)$ पर एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का लंबकेंद्र $H$ वह शीर्ष होता है जहाँ समकोण बनता है,इसलिए $H = (7,-7)$ है।
अक्षों को $(7,-7)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए नए निर्देशांक $(X, Y)$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $X = x - 7$ और $Y = y + 7$ है।
भुजाओं की लंबाई $a = BC = 12$,$b = AC = 12$,और $c = AB = 12\sqrt{2}$ है।
अंतःकेंद्र $I(x_i, y_i)$ का सूत्र $(\frac{ax_A + bx_B + cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A + by_B + cy_C}{a+b+c})$ है।
$x_i = \frac{12(7) + 12(-5) + 12\sqrt{2}(7)}{12 + 12 + 12\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} - 5$.
$y_i = \frac{12(5) + 12(-7) + 12\sqrt{2}(-7)}{12 + 12 + 12\sqrt{2}} = 5 - 6\sqrt{2}$.
नई प्रणाली में,$X_i = x_i - 7 = 6\sqrt{2} - 12$ और $Y_i = y_i + 7 = 12 - 6\sqrt{2}$ है।

(A) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। घूर्णन रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = x' \cos 60^{\circ} - y' \sin 60^{\circ} = \frac{x'}{2} - \frac{\sqrt{3}y'}{2}$
$y = x' \sin 60^{\circ} + y' \cos 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}x'}{2} + \frac{y'}{2}$
इन्हें समीकरण $x+y=1$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x'}{2} - \frac{\sqrt{3}y'}{2}) + (\frac{\sqrt{3}x'}{2} + \frac{y'}{2}) = 1$
$x'(\frac{1+\sqrt{3}}{2}) + y'(\frac{1-\sqrt{3}}{2}) = 1$
यह $\frac{x'}{a} + \frac{y'}{b} = 1$ के रूप में है,जहाँ $a = \frac{2}{1+\sqrt{3}}$ और $b = \frac{2}{1-\sqrt{3}}$ है।
अतः $\frac{1}{a} = \frac{1+\sqrt{3}}{2}$ और $\frac{1}{b} = \frac{1-\sqrt{3}}{2}$ है।
$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = (\frac{1+\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2$
$= \frac{1+3+2\sqrt{3}}{4} + \frac{1+3-2\sqrt{3}}{4} = \frac{4+2\sqrt{3} + 4-2\sqrt{3}}{4} = \frac{8}{4} = 2$.

(C) चरण $1$: अक्षों का स्थानांतरण।
दिया गया मूल बिंदु $(x, y) = (-1, 2)$ और नया मूल बिंदु $(h, k) = (2, -1)$ है।
नए निर्देशांक $(a, b) = (x - h, y - k) = (-1 - 2, 2 - (-1)) = (-3, 3)$ हैं।
चरण $2$: अक्षों का घूर्णन।
अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाने पर,नए निर्देशांक $(c, d)$:
$c = a \cos 45^{\circ} + b \sin 45^{\circ} = -3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$.
$d = -a \sin 45^{\circ} + b \cos 45^{\circ} = 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) + 3(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 3\sqrt{2}$.
अतः,$(c, d) = (0, 3\sqrt{2})$ है।
चरण $3$: $y = x$ पर परावर्तन।
बिंदु $(x, y)$ का $y = x$ पर परावर्तन $(y, x)$ होता है।
इसलिए,$(0, 3\sqrt{2})$ का परावर्तन $(3\sqrt{2}, 0)$ होगा।
अतः,$(e, f) = (3\sqrt{2}, 0)$।

(B) दिया गया समीकरण: $x^2-y^2+2y-1=0$.
मान लीजिए कि मूलबिंदु को $(0, k)$ पर स्थानांतरित किया गया है ताकि $x=X$ और $y=Y+k$ हो।
समीकरण में मान रखने पर:
$X^2-(Y+k)^2+2(Y+k)-1=0$
$X^2-(Y^2+2kY+k^2)+2Y+2k-1=0$
$X^2-Y^2+Y(2-2k)-k^2+2k-1=0$.
$Y$-पद को हटाने के लिए,$Y$ के गुणांक को शून्य के बराबर रखें:
$2-2k=0 \Rightarrow k=1$.
$k=1$ का मान समीकरण में रखने पर:
$X^2-Y^2-(1)^2+2(1)-1=0$
$X^2-Y^2-1+2-1=0$
$X^2-Y^2=0$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $x^2-y^2=0$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $2x^2 - 3y^2 + 4xy + 4x + 4y - 14 = 0$.
माना मूल बिंदु $(h, k)$ पर स्थानांतरित होता है,इसलिए $x = X + h$ और $y = Y + k$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2(X+h)^2 - 3(Y+k)^2 + 4(X+h)(Y+k) + 4(X+h) + 4(Y+k) - 14 = 0$.
पदों का विस्तार करने पर: $2X^2 - 3Y^2 + 4XY + (4h + 4k + 4)X + (4h - 6k + 4)Y + (2h^2 - 3k^2 + 4hk + 4h + 4k - 14) = 0$.
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांकों को शून्य लेने पर:
$4h + 4k + 4 = 0 \Rightarrow h + k = -1$
$4h - 6k + 4 = 0 \Rightarrow 2h - 3k = -2$
इन समीकरणों को हल करने पर: $h = -1, k = 0$.
अतः,रूपांतरण $x = X - 1$ और $y = Y$ है।
अब,इन मानों को $x^2 + y^2 - 3xy + 4y + 3 = 0$ में रखने पर:
$(X - 1)^2 + Y^2 - 3(X - 1)Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 - 2X + 1 + Y^2 - 3XY + 3Y + 4Y + 3 = 0$
$X^2 + Y^2 - 3XY - 2X + 7Y + 4 = 0$.

(A) दिया गया समीकरण: $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$.
मूलबिंदु को $(2,3)$ पर स्थानांतरित करने पर,$x=X+2, y=Y+3$ रखने पर:
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$.
सरल करने पर,$3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ प्राप्त होता है।
अब,अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने पर,$X=x'\cos\theta-y'\sin\theta$ और $Y=x'\sin\theta+y'\cos\theta$ रखने पर:
$(3+\sin 2\theta)x'^2 + (3-\sin 2\theta)y'^2 + (2\cos 2\theta)x'y' - 1 = 0$.
$4x^2+2y^2-1=0$ के साथ तुलना करने पर,$x'y'$ का गुणांक $0$ होना चाहिए:
$2\cos 2\theta = 0$ $\Rightarrow 2\theta = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta = \frac{\pi}{4}$.

(B) जब निर्देशांक अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाया जाता है,तो एक बिंदु $(x, y)$ के नए निर्देशांक $(x', y')$ निम्नलिखित समीकरणों द्वारा दिए जाते हैं:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
दिया गया है $(x, y) = (2 \sqrt{2}, -3 \sqrt{2})$ और $\theta = 45^{\circ}$।
मान प्रतिस्थापित करने पर:
$x' = (2 \sqrt{2}) \cos 45^{\circ} + (-3 \sqrt{2}) \sin 45^{\circ}$
$x' = (2 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (3 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 2 - 3 = -1$
$y' = -(2 \sqrt{2}) \sin 45^{\circ} + (-3 \sqrt{2}) \cos 45^{\circ}$
$y' = -(2 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} - (3 \sqrt{2}) \times \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 - 3 = -5$
अतः,नए निर्देशांक $(-1, -5)$ हैं।

(B) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और $\theta = 135^{\circ}$ के घूर्णन के बाद नए निर्देशांक $(x', y') = (4, -3)$ हैं।
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
यहाँ $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है।
मान रखने पर:
$x = 4 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-3) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (-3) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
अतः,मूल निर्देशांक $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(B) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और $\theta = 45^{\circ}$ के घूर्णन के बाद नए निर्देशांक $(X, Y) = (1, -1)$ हैं।
रूपांतरण सूत्रों का उपयोग करते हुए:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$x = (1) \cos 45^{\circ} - (-1) \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
$y = (1) \sin 45^{\circ} + (-1) \cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
अतः,मूल प्रणाली में $P$ के निर्देशांक $(\sqrt{2}, 0)$ हैं।

(B) दिया गया समीकरण $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2 \dots (i)$ है।
जब निर्देशांक अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{X - Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X + Y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(X^2 - 2XY + Y^2) + \frac{3}{2}(X^2 + 2XY + Y^2) + (X^2 - Y^2) = 2$
$3X^2 + 3Y^2 + X^2 - Y^2 = 2$
$4X^2 + 2Y^2 = 2$
$2$ से भाग देने पर,$2X^2 + Y^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + y^2 = 1$ है।

(D) दिया गया समीकरण $x^2+2 \sqrt{3} xy - y^2 = 8$ है।
जब अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{3}$ कोण से घुमाया जाता है,तो $(x, y)$ को $(X, Y)$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जहाँ:
$x = \frac{X - \sqrt{3}Y}{2}$
$y = \frac{\sqrt{3}X + Y}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 + 2 \sqrt{3} \left(\frac{X - \sqrt{3}Y}{2}\right) \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right) - \left(\frac{\sqrt{3}X + Y}{2}\right)^2 = 8$
सरल करने पर:
$X^2 - 2\sqrt{3}XY - Y^2 = 8$
अतः,रूपांतरित समीकरण $x^2 - 2\sqrt{3}xy - y^2 = 8$ है।

(B) जब मूल बिंदु को $(-1, 1)$ बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए निर्देशांक $(X, Y)$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$x = X - 1$
$y = Y + 1$
इन मानों को दिए गए समीकरण $3x^2 + y^2 + 2x + 4y + 15 = 0$ में रखने पर:
$3(X - 1)^2 + (Y + 1)^2 + 2(X - 1) + 4(Y + 1) + 15 = 0$
$3(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 2Y + 1) + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 - 6X + 3 + Y^2 + 2Y + 1 + 2X - 2 + 4Y + 4 + 15 = 0$
$3X^2 + Y^2 - 4X + 6Y + 21 = 0$
अतः,रूपांतरित समीकरण $3x^2 + y^2 - 4x + 6y + 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखा का समीकरण $x \cos \theta + y \sin \theta = p$ है ...$(i)$
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta) \cos \theta + (X \sin \theta + Y \cos \theta) \sin \theta = p$
$X \cos^2 \theta - Y \sin \theta \cos \theta + X \sin^2 \theta + Y \sin \theta \cos \theta = p$
$X (\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) = p$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$X = p$

(B) माना $(x, y)$ पुराने अक्षों के निर्देशांक हैं और $(X, Y)$ कोण $\theta = 45^{\circ}$ पर घुमाने के बाद नई प्रणाली के निर्देशांक हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
यहाँ $x = 4 \sqrt{2}$,$y = -6 \sqrt{2}$,और $\theta = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\cos 45^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
मान रखने पर:
$4 \sqrt{2} = X \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - Y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow X - Y = 8$
$-6 \sqrt{2} = X \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + Y \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \Rightarrow X + Y = -12$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2X = -4 \Rightarrow X = -2$.
दूसरे में से पहले समीकरण को घटाने पर: $2Y = -20 \Rightarrow Y = -10$.
अतः,नए निर्देशांक $(-2, -10)$ हैं।

(B) जब मूल बिंदु को $(h, k) = (2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो पुराने निर्देशांक $(X, Y)$ और नए निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $X = x + 2$ और $Y = y + 3$ होता है।
मूल समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम दिए गए रूपांतरित समीकरण में $x$ को $(X-2)$ और $y$ को $(Y-3)$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$(X-2)^2 + 3(X-2)(Y-3) - 2(Y-3)^2 + 17(X-2) - 7(Y-3) - 11 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(X^2 - 4X + 4) + 3(XY - 3X - 2Y + 6) - 2(Y^2 - 6Y + 9) + 17X - 34 - 7Y + 21 - 11 = 0$
$X^2 + 3XY - 2Y^2 + 4X - Y - 20 = 0$
अतः,मूल समीकरण $x^2+3xy-2y^2+4x-y-20=0$ है।

(C) दिया गया समीकरण $y^2-6y-4x+13=0$ है।
$y$ पदों के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$(y^2-6y+9)-9-4x+13=0$
$(y-3)^2-4x+4=0$
$(y-3)^2-4(x-1)=0$।
माना नया मूल बिंदु $(h,k)$ है। हम $y = Y+k$ और $x = X+h$ प्रतिस्थापित करते हैं।
समीकरण को $Y^2+AX=0$ के रूप में बदलने के लिए,हम $k=3$ और $h=1$ रखते हैं।
अतः,मूल बिंदु को $(1,3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।
इसलिए,विकल्प $C$ सही है।

(B) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x', y') = (4, -3)$ हैं। घूर्णन कोण $\theta = 135^{\circ}$ है।
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण सूत्र हैं:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
$\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ का मान रखने पर:
$x = 4 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - (-3) \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
$y = 4 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + (-3) \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{7}{\sqrt{2}}$
अतः,मूल निर्देशांक $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।

(D) दिया गया समीकरण $y^2-6y-4x+13=0$ है।
माना मूल बिंदु $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।
तब $y$ का मान $y+k$ और $x$ का मान $x+h$ हो जाता है।
समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(y+k)^2 - 6(y+k) - 4(x+h) + 13 = 0$.
विस्तार करने पर: $y^2 + 2ky + k^2 - 6y - 6k - 4x - 4h + 13 = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $y^2 + (2k-6)y - 4x + (k^2 - 6k - 4h + 13) = 0$.
समीकरण में $y$ का पद न होने के लिए,$y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए: $2k - 6 = 0 \implies k = 3$.
अचर पद न होने के लिए,अचर भाग शून्य होना चाहिए: $k^2 - 6k - 4h + 13 = 0$.
$k = 3$ रखने पर: $(3)^2 - 6(3) - 4h + 13 = 0$.
$9 - 18 - 4h + 13 = 0$.
$-9 - 4h + 13 = 0$.
$4 - 4h = 0 \implies h = 1$.
अतः,मूल बिंदु को $(1, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(C) $1$) त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके शीर्षों के निर्देशांकों पर निर्भर करता है। अक्षों के स्थानांतरण के दौरान मूल बिंदु बदल जाता है लेकिन अक्ष समानांतर रहते हैं,इसलिए क्षेत्रफल अपरिवर्तित रहता है। यह कथन सत्य है।
$2$) रेखा की ढाल $y$ में परिवर्तन और $x$ में परिवर्तन के अनुपात के रूप में परिभाषित होती है। स्थानांतरण के अंतर्गत,$x = X + h$ और $y = Y + k$ होने के कारण,$dx = dX$ और $dy = dY$ होता है। इसलिए ढाल $m = \frac{dy}{dx} = \frac{dY}{dX}$ अपरिवर्तित रहती है। यह कथन सत्य है।
$3$) परिभाषा के अनुसार,अक्षों का स्थानांतरण का अर्थ है अक्षों की दिशा बदले बिना मूल बिंदु को नए बिंदु $(h, k)$ पर ले जाना। यदि अक्षों की दिशा बदल दी जाए,तो इसे अक्षों का घूर्णन कहा जाता है। अतः,यह कथन असत्य है।
$4$) यदि मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो नए निर्देशांक $(X, Y)$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = X + h$ और $y = Y + k$ है। इस कथन में दिया गया तर्क उल्टा है। यह कथन असत्य है।

(B) जब निर्देशांक अक्षों को धनात्मक दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
इन्हें समीकरण $25x^2 + 9y^2 = 225$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$25 \left( \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \right)^2 + 9 \left( \frac{X+Y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 225$
$\frac{25}{2} (X^2 + Y^2 - 2XY) + \frac{9}{2} (X^2 + Y^2 + 2XY) = 225$
$\frac{34X^2 + 34Y^2 - 32XY}{2} = 225$
$17X^2 - 16XY + 17Y^2 = 225$
इसे $\alpha x^2 + \beta xy + \gamma y^2 = \delta$ से तुलना करने पर,हमें $\alpha = 17$,$\beta = -16$,$\gamma = 17$,और $\delta = 225$ प्राप्त होता है।
अब,$(\alpha + \beta + \gamma - \sqrt{\delta})^2$ की गणना करने पर:
$(17 - 16 + 17 - \sqrt{225})^2 = (18 - 15)^2 = 3^2 = 9$.

(B) दिया गया समीकरण $2 x^2+2 y^2-8 x-12 y+18=0$ है।
पूर्ण वर्ग बनाकर इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2(x^2-4x+4) + 2(y^2-6y+9) = -18 + 8 + 18$
$2(x-2)^2 + 2(y-3)^2 = 8$
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = 4$.
जब मूल बिंदु को $(2,3)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो समीकरण $X^2 + Y^2 = 4$ हो जाता है,जहाँ $X = x-2$ और $Y = y-3$ है।
अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाने से वृत्त $X^2 + Y^2 = r^2$ का रूप नहीं बदलता है,क्योंकि $X^2 + Y^2 = (X' \cos \theta - Y' \sin \theta)^2 + (X' \sin \theta + Y' \cos \theta)^2 = X'^2 + Y'^2$ होता है।
अतः,रूपांतरित समीकरण $x^2+y^2=4$ ही रहेगा।

(C) माना $(x, y)$ मूल निर्देशांक हैं और $(X, Y)$ अक्षों को $\theta = 135^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद नए निर्देशांक हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
दिया गया है $(X, Y) = (2, -6)$ और $\theta = 135^{\circ}$:
$x = 2 \cos 135^{\circ} - (-6) \sin 135^{\circ}$
$y = 2 \sin 135^{\circ} + (-6) \cos 135^{\circ}$
चूंकि $\cos 135^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 135^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$:
$x = 2 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 6 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$
$y = 2 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 6 \left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4 \sqrt{2}$
अतः,मूल निर्देशांक $(2 \sqrt{2}, 4 \sqrt{2})$ हैं।

(B) चरण $1$: मूल बिंदु को $(2,3)$ पर स्थानांतरित करें। समीकरण $3x^2+2xy+3y^2-18x-22y+50=0$ में $x = X+2$ और $y = Y+3$ प्रतिस्थापित करें।
$3(X+2)^2+2(X+2)(Y+3)+3(Y+3)^2-18(X+2)-22(Y+3)+50=0$
सरल करने पर,हमें $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{3}$ कोण पर वामावर्त दिशा में घुमाएं। रूपांतरण समीकरण हैं:
$X = \frac{x' - \sqrt{3}y'}{2}$,$Y = \frac{\sqrt{3}x' + y'}{2}$
इन मानों को $3X^2+2XY+3Y^2-1=0$ में रखने पर:
$3(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})^2 + 2(\frac{x'-\sqrt{3}y'}{2})(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2}) + 3(\frac{\sqrt{3}x'+y'}{2})^2 - 1 = 0$
$4$ से गुणा करने पर:
$3(x'^2+3y'^2-2\sqrt{3}x'y') + 2(\sqrt{3}x'^2-2x'y'-\sqrt{3}y'^2) + 3(3x'^2+y'^2+2\sqrt{3}x'y') - 4 = 0$
$(12+2\sqrt{3})x'^2 - 4x'y' + (12-2\sqrt{3})y'^2 - 4 = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$(6+\sqrt{3})x^2 - 2xy + (6-\sqrt{3})y^2 - 2 = 0$.

(B) माना मूल निर्देशांक $(x', y')$ हैं और नए निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए घूर्णन कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ के लिए,रूपांतरण समीकरण हैं:
$x' = \frac{x - y}{\sqrt{2}}$
$y' = \frac{x + y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को समीकरण $3(x')^2 - 6x'y' + 8(y')^2 = 8$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 6\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 8$
सरल करने पर:
$5x^2 + 10xy + 17y^2 - 16 = 0$

(D) जब अक्षों को धनात्मक दिशा में $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ होते हैं।
$\theta = 45^{\circ}$ रखने पर,हमें $x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
दिए गए रूपांतरित समीकरण $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ में $x$ और $y$ के मान रखने पर:
$17\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 16\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right) + 17\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
गणना करने पर,हमें $9X^2 + 25Y^2 = 225$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल समीकरण $9x^2 + 25y^2 = 225$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2 + 2xy + y^2 - 1 = 0$ है,जिसे $(x + y)^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
मूल बिंदु को $(1, 1)$ पर स्थानांतरित करने और अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाने के बाद नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = 1 + X \cos 45^{\circ} - Y \sin 45^{\circ} = 1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$
$y = 1 + X \sin 45^{\circ} + Y \cos 45^{\circ} = 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को $(x + y)^2 = 1$ में रखने पर:
$(1 + \frac{X - Y}{\sqrt{2}} + 1 + \frac{X + Y}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + \frac{2X}{\sqrt{2}})^2 = 1$
$(2 + X\sqrt{2})^2 = 1$
$4 + 4\sqrt{2}X + 2X^2 = 1$
$2X^2 + 4\sqrt{2}X + 3 = 0$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + 4\sqrt{2}x + 3 = 0$ है।