Mix Examples-Rectangular Cartesian Co-ordinates Questions in Hindi

(C) त्रिभुज $OQ_1Q_2$ में,कोज्या नियम (cosine rule) लागू करने पर:
$Q_1Q_2^2 = OQ_1^2 + OQ_2^2 - 2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,$Q_1Q_2^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2$,$OQ_1^2 = x_1^2 + y_1^2$,और $OQ_2^2 = x_2^2 + y_2^2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को कोज्या नियम में प्रतिस्थापित करने पर:
$(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = (x_1^2 + y_1^2) + (x_2^2 + y_2^2) - 2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
$x_1^2 - 2x_1x_2 + x_2^2 + y_1^2 - 2y_1y_2 + y_2^2 = x_1^2 + y_1^2 + x_2^2 + y_2^2 - 2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
$-2x_1x_2 - 2y_1y_2 = -2OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2$
$-2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$OQ_1 \cdot OQ_2 \cos \angle Q_1OQ_2 = x_1x_2 + y_1y_2$

(C) दिया गया समीकरण: $ax^2-2xy+by^2-2x+4y+1=0$।
मूल बिंदु को $(0, k)$ पर स्थानांतरित करने पर,$x=X$ और $y=Y+k$।
समीकरण में मान रखने पर: $aX^2-2X(Y+k)+b(Y+k)^2-2X+4(Y+k)+1=0$।
विस्तार करने पर: $aX^2-2XY-2kX+bY^2+bk^2+2bkY-2X+4Y+4k+1=0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $aX^2-2XY+bY^2-2X(k+1)+2Y(bk+2)+bk^2+4k+1=0$।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए: $k+1=0 \Rightarrow k=-1$ और $bk+2=0$ $\Rightarrow -b+2=0$ $\Rightarrow b=2$।
अब,अक्षों को $\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2)$ कोण पर घुमाने पर,$\tan(2\theta) = 2$।
$xy$ पद को हटाने की शर्त: $\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$,जहाँ $h=-1$।
अतः,$\tan(2\theta) = \frac{2(-1)}{a-b} = \frac{2}{b-a} = 2 \Rightarrow b-a = 1$।
चूँकि $b=2$,$2-a=1 \Rightarrow a=1$।
इसलिए,$a+b = 1+2 = 3$।

(B) दिया गया समीकरण $4x^2+2xy+y^2-8x-4y-12=0$ है। प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,हम मूल बिंदु को $P(a, b)$ पर स्थानांतरित करते हैं।
$x=X+a$ और $y=Y+b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $4(X+a)^2+2(X+a)(Y+b)+(Y+b)^2-8(X+a)-4(Y+b)-12=0$ प्राप्त होता है।
पदों का विस्तार करने पर,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$8a+2b-8=0 \Rightarrow 4a+b=4$
$2a+2b-4=0 \Rightarrow a+b=2$
इन्हें हल करने पर,$a=2/3$ और $b=4/3$ प्राप्त होता है। अतः,$a+b=2$.
अब,समीकरण $4X^2+2XY+Y^2+C=0$ बन जाता है। $XY$-पद को हटाने के लिए,हम अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाते हैं जहाँ $\tan 2\theta = \frac{2h}{A-B}$,जहाँ समीकरण $AX^2+2hXY+BY^2+C=0$ है।
यहाँ $A=4, B=1, h=1$ है। अतः,$\tan 2\theta = \frac{2(1)}{4-1} = \frac{2}{3}$.
अंत में,$a+b+3 \tan 2\theta = 2 + 3 \left(\frac{2}{3}\right) = 2+2=4$.