Area of some geometrical figures Questions in Hindi

(B) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 4 \, cm, b = 5 \, cm, c = 6 \, cm$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a + b + c}{2} = \frac{4 + 5 + 6}{2} = \frac{15}{2} \, cm$ है।
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $= \sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{\frac{15}{2} \left( \frac{15}{2} - 4 \right) \left( \frac{15}{2} - 5 \right) \left( \frac{15}{2} - 6 \right)}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{\frac{15}{2} \times \frac{7}{2} \times \frac{5}{2} \times \frac{3}{2}}$।
क्षेत्रफल $= \sqrt{\frac{15 \times 7 \times 15}{16}} = \frac{15}{4} \sqrt{7} \, cm^2$।

(D) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
दिए गए शीर्षों को प्रतिस्थापित करने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |a \cos \theta (b \cos \theta + b \sin \theta) - a \sin \theta (-2b \sin \theta) - a \cos \theta (b \sin \theta - b \cos \theta)|$
$= \frac{ab}{2} |2 \cos^2 \theta + 2 \sin^2 \theta|$
$= \frac{ab}{2} \times 2(1) = ab$.

(A) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर क्षेत्रफल का सूत्र:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
दिए गए शीर्षों $(-4, 1), (1, 2), (4, -3)$ का मान रखने पर:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(2 - (-3)) + 1(-3 - 1) + 4(1 - 2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-4(5) + 1(-4) + 4(-1)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-20 - 4 - 4|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |-28| = 14$ वर्ग इकाई।

(B) सम्मुख भुजाओं के समानांतर रेखाएं खींचकर बनाया गया चतुर्भुज $PQRS$ एक समांतर चतुर्भुज है।
इस समांतर चतुर्भुज $PQRS$ का क्षेत्रफल $\Delta PQR$ के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।
$\Delta PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2(-1 - 2) + 4(2 - 1) + 3(1 - (-1))|$
$= \frac{1}{2} |-6 + 4 + 6| = 2$
अतः,$PQRS$ का क्षेत्रफल $= 2 \times 2 = 4$.

(A) त्रिभुज $ABC$ के शीर्ष $A(2, 1)$,$B(4, 3)$ और $C(2, 5)$ हैं।
मध्य-बिंदु $D$,$E$ और $F$ इस प्रकार हैं:
$D = (3, 2)$
$E = (3, 4)$
$F = (2, 3)$
त्रिभुज $DEF$ का क्षेत्रफल:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3(4 - 3) + 3(3 - 2) + 2(2 - 4)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |3 + 3 - 4| = 1$ वर्ग इकाई।

(C) समीकरण $|x| + |y| = 1$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(1, 0)$,$(0, 1)$,$(-1, 0)$,और $(0, -1)$ हैं।
क्रमागत शीर्षों (जैसे $(1, 0)$ और $(0, 1)$) के बीच की दूरी भुजा की लंबाई $s = \sqrt{(1-0)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $s^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,क्षेत्रफल $= (\sqrt{2})^2 = 2$ वर्ग इकाई है।
वैकल्पिक रूप से,$|x| + |y| = a$ द्वारा निर्मित वर्ग का क्षेत्रफल $2a^2$ होता है। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए क्षेत्रफल $2(1)^2 = 2$ है।

(B) माना मध्य-बिंदु $D(0, 0), E(1, 2)$ और $F(-3, 4)$ हैं।
त्रिभुज $DEF$ का क्षेत्रफल सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(2 - 4) + 1(4 - 0) + (-3)(0 - 2)|$
$= \frac{1}{2} |0 + 4 + 6| = \frac{1}{2} \times 10 = 5$.
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल,मध्य-बिंदुओं को जोड़ने से बने त्रिभुज के क्षेत्रफल का $4$ गुना होता है।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= 4 \times \Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= 4 \times 5 = 20$.

(B) चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 + x_2y_3 + x_3y_4 + x_4y_1) - (y_1x_2 + y_2x_3 + y_3x_4 + y_4x_1)|$.
दिए गए बिंदुओं $(1, 1)$,$(3, 4)$,$(5, -2)$ और $(4, -7)$ को रखने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(1 \times 4 + 3 \times -2 + 5 \times -7 + 4 \times 1) - (1 \times 3 + 4 \times 5 + -2 \times 4 + -7 \times 1)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(4 - 6 - 35 + 4) - (3 + 20 - 8 - 7)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |(-33) - (8)|$.
$\text{Area} = \frac{1}{2} |-41| = 20.5 \text{ वर्ग इकाई}$.

(C) वर्ग $OPQR$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$P(\alpha, 0)$,$Q(\alpha, \alpha)$,और $R(0, \alpha)$ हैं।
वर्ग $OPQR$ का क्षेत्रफल $= \alpha^2$.
$M$,$PQ$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $M = (\alpha, \frac{\alpha}{2})$.
$N$,$QR$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $N = (\frac{\alpha}{2}, \alpha)$.
$\triangle OMN$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$M(\alpha, \frac{\alpha}{2})$,और $N(\frac{\alpha}{2}, \alpha)$ हैं।
$\triangle OMN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |\alpha^2 - \frac{\alpha^2}{4}| = \frac{3\alpha^2}{8}$.
अनुपात $= \frac{\alpha^2}{\frac{3\alpha^2}{8}} = \frac{8}{3} = 8 : 3$.

(C) बहुभुज के क्षेत्रफल का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |(x_1y_2 - y_1x_2) + (x_2y_3 - y_2x_3) + (x_3y_4 - y_3x_4) + (x_4y_5 - y_4x_5) + (x_5y_1 - y_5x_1)|$. \\ दिए गए बिंदुओं $A(1, 1), B(7, 21), C(7, -3), D(12, 2), E(0, -3)$ को रखने पर: \\ $\text{Area} = \frac{1}{2} |(1 \times 21 - 1 \times 7) + (7 \times -3 - 21 \times 7) + (7 \times 2 - (-3) \times 12) + (12 \times -3 - 2 \times 0) + (0 \times 1 - (-3) \times 1)|$ \\ $\text{Area} = \frac{1}{2} |(21 - 7) + (-21 - 147) + (14 + 36) + (-36 - 0) + (0 + 3)|$ \\ $\text{Area} = \frac{1}{2} |14 - 168 + 50 - 36 + 3| = \frac{1}{2} |-137| = \frac{137}{2} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को जोड़ने से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
सबसे पहले,$A(5, -1), B(-7, 6)$ और $C(1, 3)$ निर्देशांकों का उपयोग करके $\Delta ABC$ का क्षेत्रफल ज्ञात करें।
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
$= \frac{1}{2} |5(6 - 3) + (-7)(3 - (-1)) + 1(-1 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |5(3) - 7(4) + 1(-7)|$
$= \frac{1}{2} |15 - 28 - 7|$
$= \frac{1}{2} |-20| = 10 \text{ वर्ग इकाई}$.
चूंकि $\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \Delta ABC$ का क्षेत्रफल है,
$\Delta DEF$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \text{ वर्ग इकाई}$.

(D) माना मध्य बिंदु $M_1(1, 2)$,$M_2(-1, 1)$ और $M_3(0, 3)$ हैं।
त्रिभुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
मध्य बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(1 - 3) + (-1)(3 - 2) + 0(2 - 1)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |1(-2) - 1(1) + 0| = \frac{1}{2} |-2 - 1| = \frac{1}{2} |-3| = 1.5 \text{ वर्ग इकाई}$.
मूल त्रिभुज का क्षेत्रफल $= 4 \times (\text{मध्य बिंदुओं द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल}) = 4 \times 1.5 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$.

(A) दिया गया समीकरण $|x + y| + |x - y| = 11$ है।
मान लीजिए $u = x + y$ और $v = x - y$। समीकरण $|u| + |v| = 11$ हो जाता है।
यह $uv$-समतल में एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(11, 0), (0, 11), (-11, 0), (0, -11)$ हैं।
$uv$-समतल में इस वर्ग का क्षेत्रफल $2 \times (11)^2 = 242$ है।
$(x, y)$ से $(u, v)$ में रूपांतरण $u = x + y$ और $v = x - y$ द्वारा दिया गया है।
इस रूपांतरण का जैकोबियन $J = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2$ है।
$xy$-समतल में क्षेत्रफल $\text{Area}_{xy} = \frac{\text{Area}_{uv}}{|J|} = \frac{242}{|-2|} = 121$ है।
वैकल्पिक रूप से,समीकरण $|x + y| + |x - y| = a$ एक वर्ग को दर्शाता है जिसके शीर्ष $(\pm a/2, \pm a/2)$ हैं। यहाँ $a = 11$ है,इसलिए शीर्ष $(\pm 5.5, \pm 5.5)$ हैं।
इस वर्ग की भुजा की लंबाई $11$ है।
अतः,क्षेत्रफल $11^2 = 121$ है।

(C) माना वर्ग की भुजा की लंबाई $a$ है। शीर्षों $O, P, Q, R$ के निर्देशांक $(0,0), (a, 0), (a, a), (0, a)$ हैं।
वर्ग $OPQR$ का क्षेत्रफल $a^2$ है।
$M$,$PQ$ का मध्यबिंदु है,अतः इसके निर्देशांक $\left(a, \frac{a}{2}\right)$ हैं।
$N$,$QR$ का मध्यबिंदु है,अतः इसके निर्देशांक $\left(\frac{a}{2}, a\right)$ हैं।
$\Delta OMN$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(\frac{a}{2} - a) + a(a - 0) + \frac{a}{2}(0 - \frac{a}{2})| = \frac{3a^2}{8}$.
वर्ग और $\Delta OMN$ के क्षेत्रफल का अनुपात $a^2 : \frac{3a^2}{8} = 8 : 3$ है।

(A) माना $ABCD$ एक चतुर्भुज है जिसके शीर्ष $A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5)$ और $D(-4, -2)$ हैं।
चतुर्भुज $ABCD$ का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम विकर्ण $AC$ खींचकर इसे दो त्रिभुजों में विभाजित करते हैं।
क्षेत्रफल $(ABCD) = \text{क्षेत्रफल}(\Delta ABC) + \text{क्षेत्रफल}(\Delta ACD).$
त्रिभुज का क्षेत्रफल जिसके शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ हैं,उसका सूत्र $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ है।
$\Delta ABC$ के लिए जिसके शीर्ष $A(-4, 5), B(0, 7), C(5, -5)$ हैं:
क्षेत्रफल $(\Delta ABC) = \frac{1}{2} |-4(7 - (-5)) + 0(-5 - 5) + 5(5 - 7)| = 29 \text{ इकाई}^2.$
$\Delta ACD$ के लिए जिसके शीर्ष $A(-4, 5), C(5, -5), D(-4, -2)$ हैं:
क्षेत्रफल $(\Delta ACD) = \frac{1}{2} |-4(-5 - (-2)) + 5(-2 - 5) + (-4)(5 - (-5))| = 31.5 \text{ इकाई}^2.$
कुल क्षेत्रफल $(ABCD) = 29 + 31.5 = 60.5 = \frac{121}{2} \text{ इकाई}^2.$

(D) आकृति से,आयत के आयाम $12 \times 9$ हैं। आयत का क्षेत्रफल $12 \times 9 = 108 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
आयत से काटे गए त्रिकोणीय कोने की भुजाओं की लंबाई $3$ और $4$ है,और कर्ण की लंबाई $5$ है।
इस समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \text{ वर्ग इकाई}$ है।
परिणामी पंचभुज का क्षेत्रफल आयत के क्षेत्रफल में से त्रिभुज का क्षेत्रफल घटाने पर प्राप्त होता है: $108 - 6 = 102 \text{ वर्ग इकाई}$।
पंचभुज के क्षेत्रफल का आयत के क्षेत्रफल से अनुपात $\frac{102}{108}$ है।
अंश और हर दोनों को $6$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{17}{18}$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि स्तंभों की चौड़ाई $x_1, x_2, x_3, x_4$ है और पंक्तियों की ऊँचाई $y_1, y_2, y_3, y_4$ है।
दिए गए क्षेत्रफलों से,हमारे पास है:
$x_1 y_1 = 10$,$x_2 y_1 = 4$,$x_3 y_2 = 12$,$x_4 y_2 = 15$,$x_4 y_3 = 25$.
हमें आयत $KLMN$ का क्षेत्रफल ज्ञात करना है,जो $x_1 y_3$ है।
संबंधों से:
$x_1 = \frac{10}{y_1}$,$x_2 = \frac{4}{y_1}$,$x_3 = \frac{12}{y_2}$,$x_4 = \frac{15}{y_2}$,$y_3 = \frac{25}{x_4} = \frac{25}{15/y_2} = \frac{25 y_2}{15} = \frac{5}{3} y_2$.
अतः,क्षेत्रफल $KLMN = x_1 y_3 = \left(\frac{10}{y_1}\right) \left(\frac{5}{3} y_2\right) = \frac{50}{3} \frac{y_2}{y_1}$.
ग्रिड को देखने पर,आयत $KLMN$ का क्षेत्रफल $50$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई रेखाओं का युग्म $xy=0$ निर्देशांक अक्षों को दर्शाता है,अर्थात $x=0$ और $y=0$।
अन्य रेखाएँ $x-4=0$ (जो $x=4$ है) और $y+5=0$ (जो $y=-5$ है) हैं।
ये चार रेखाएँ $x=0, x=4, y=0$ और $y=-5$ कार्तीय तल में एक आयताकार क्षेत्र को परिबद्ध करती हैं।
इस आयत के शीर्ष $(0, 0), (4, 0), (4, -5)$ और $(0, -5)$ हैं।
आयत की लंबाई $x=0$ और $x=4$ के बीच की दूरी है,जो $|4-0| = 4 \text{ इकाई}$ है।
आयत की चौड़ाई $y=0$ और $y=-5$ के बीच की दूरी है,जो $|0-(-5)| = 5 \text{ इकाई}$ है।
अतः,आयत का क्षेत्रफल $= \text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = 4 \times 5 = 20 \text{ वर्ग इकाई}$ है।

(B) ध्रुवीय निर्देशांक $(r_1, \theta_1)$,$(r_2, \theta_2)$ और $(r_3, \theta_3)$ वाले शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |r_1 r_2 \sin(\theta_2 - \theta_1) + r_2 r_3 \sin(\theta_3 - \theta_2) + r_3 r_1 \sin(\theta_1 - \theta_3)|$
दिए गए मानों $(1, 0)$,$(2, \frac{\pi}{3})$ और $(3, \frac{2\pi}{3})$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |1 \cdot 2 \sin(\frac{\pi}{3} - 0) + 2 \cdot 3 \sin(\frac{2\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) + 3 \cdot 1 \sin(0 - \frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |2 \sin(\frac{\pi}{3}) + 6 \sin(\frac{\pi}{3}) + 3 \sin(-\frac{2\pi}{3})|$
$\text{Area} = \frac{1}{2} |\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \frac{3\sqrt{3}}{2}| = \frac{5\sqrt{3}}{4} \text{ वर्ग इकाई}$

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
भुजाओं के मध्य-बिंदु $M_1(2, 7)$,$M_2(1, 1)$ और $M_3(10, 8)$ दिए गए हैं।
त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ होता है।
सबसे पहले,मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ का उपयोग करके ज्ञात करें।
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(1 - 8) + 1(8 - 7) + 10(7 - 1)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(-7) + 1(1) + 10(6)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |-14 + 1 + 60| = \frac{1}{2} |47| = 23.5$.
चूंकि $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times \text{Area}_{\text{mid}}$,इसलिए $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times 23.5 = 94$.