Transformation of axes Questions in Hindi

(C) माना $\theta = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ घूर्णन का कोण है। तब $\cos \theta = \frac{4}{5}$ और $\sin \theta = \frac{3}{5}$ है।
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ होते हैं।
$\sin \theta$ और $\cos \theta$ के मान रखने पर,हमें $x = \frac{4X - 3Y}{5}$ और $y = \frac{3X + 4Y}{5}$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण $x^2 + y^2 = 9$ में रखने पर:
$\left(\frac{4X - 3Y}{5}\right)^2 + \left(\frac{3X + 4Y}{5}\right)^2 = 9$
$\frac{16X^2 + 9Y^2 - 24XY + 9X^2 + 16Y^2 + 24XY}{25} = 9$
$\frac{25X^2 + 25Y^2}{25} = 9$
$X^2 + Y^2 = 9$.
अतः,समीकरण अपरिवर्तित रहता है।

(C) द्विघात का सामान्य समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
$x^2 + 2xy - y^2 = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 1$,$h = 1$,और $b = -1$ प्राप्त होता है।
$xy$ पद को हटाने के लिए आवश्यक घूर्णन कोण $\theta$,$\tan(2\theta) = \frac{2h}{a-b}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,$\tan(2\theta) = \frac{2(1)}{1 - (-1)} = \frac{2}{2} = 1$।
अतः,$2\theta = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है कि $\theta = \frac{\pi}{8}$।

(A) माना मूल निर्देशांक $(X, Y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया घूर्णन कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ है।
रूपांतरित समीकरण $x^2+y^2-6x+8y+21=0$ में $x = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{-X+Y}{\sqrt{2}}$ प्रतिस्थापित करने पर,
सरल करने पर हमें $X^2+Y^2 - 7\sqrt{2}X + \sqrt{2}Y + 21 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं। घूर्णन रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \frac{\pi}{6} - Y \sin \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin \frac{\pi}{6} + Y \cos \frac{\pi}{6} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
इन्हें $\sqrt{3}x^2 - 4xy + \sqrt{3}y^2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{3} \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right)^2 - 4 \left( \frac{\sqrt{3}X - Y}{2} \right) \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right) + \sqrt{3} \left( \frac{X + \sqrt{3}Y}{2} \right)^2 = 0$
गणना करने पर:
$0X^2 - 8XY + 8\sqrt{3}Y^2 = 0$
$-8$ से भाग देने पर:
$XY - \sqrt{3}Y^2 = 0$
अतः,रूपांतरित समीकरण $\sqrt{3}Y^2 - XY = 0$ है।

(C) चरण $1$: मूलबिंदु को $(1,2)$ पर स्थानांतरित करने पर,पुरानी प्रणाली का बिंदु $(7,5)$ नई प्रणाली में $(7-1, 5-2) = (6,3)$ हो जाता है।
चरण $2$: बिंदु $(6,3)$ को नई $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा में $2$ इकाई स्थानांतरित करने पर $(6-2, 3) = (4,3)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: बिंदु $(4,3)$ को नई प्रणाली के मूलबिंदु के चारों ओर दक्षिणावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर। दक्षिणावर्त घूर्णन का सूत्र $(x', y') = (x \cos \theta + y \sin \theta, -x \sin \theta + y \cos \theta)$ है।
$x=4, y=3, \theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$x' = 4 \cos \frac{\pi}{4} + 3 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{7}{\sqrt{2}}$
$y' = -4 \sin \frac{\pi}{4} + 3 \cos \frac{\pi}{4} = -\frac{4}{\sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$
अतः,अंतिम स्थिति $\left(\frac{7}{\sqrt{2}}, -\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+y^2=r^2$ है।
जब अक्षों को $\theta = 36^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
इन मानों को मूल समीकरण में रखने पर:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = r^2$
पदों का विस्तार करने पर:
$(X^2 \cos^2 \theta + Y^2 \sin^2 \theta - 2XY \sin \theta \cos \theta) + (X^2 \sin^2 \theta + Y^2 \cos^2 \theta + 2XY \sin \theta \cos \theta) = r^2$
सरल करने पर:
$X^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta) + Y^2(\sin^2 \theta + \cos^2 \theta) = r^2$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,हमें प्राप्त होता है:
$X^2 + Y^2 = r^2$.

(D) माना मूल प्रणाली में निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नई प्रणाली में निर्देशांक $(x', y')$ हैं,जहाँ $\theta = 135^{\circ}$ है।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$
$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$
दिया गया है कि $(x', y') = (4, -3)$ और $\theta = 135^{\circ}$,अतः:
$4 = -\frac{x}{\sqrt{2}} + \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow -x + y = 4\sqrt{2} \quad (i)$
$-3 = -\frac{x}{\sqrt{2}} - \frac{y}{\sqrt{2}} \Rightarrow x + y = 3\sqrt{2} \quad (ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर $2y = 7\sqrt{2} \Rightarrow y = \frac{7}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ से $(i)$ को घटाने पर $2x = -\sqrt{2} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल प्रणाली में निर्देशांक $(-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{7}{\sqrt{2}})$ हैं।

(D) अंतःखंड $a$ और $b$ वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ है।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर:
$\frac{x' \cos \theta - y' \sin \theta}{a} + \frac{x' \sin \theta + y' \cos \theta}{b} = 1$
$x' \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right) + y' \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right) = 1$.
इसे नए अक्षों में रेखा के अंतःखंड रूप $\frac{x'}{p} + \frac{y'}{q} = 1$ से तुलना करने पर,हमें मिलता है:
$\frac{1}{p} = \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b}$ और $\frac{1}{q} = \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a}$.
इन समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2} = \left( \frac{\cos \theta}{a} + \frac{\sin \theta}{b} \right)^2 + \left( \frac{\cos \theta}{b} - \frac{\sin \theta}{a} \right)^2$
$= \frac{\cos^2 \theta}{a^2} + \frac{\sin^2 \theta}{b^2} + \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab} + \frac{\cos^2 \theta}{b^2} + \frac{\sin^2 \theta}{a^2} - \frac{2 \sin \theta \cos \theta}{ab}$
$= \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{a^2} + \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{b^2}$
$= \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$.
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$.

(C) माना मूल बिंदु $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।
नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं।
अतः $x = x' + h$ और $y = y' + k$।
इन मानों को समीकरण $9x^2 + 4y^2 + 10x + 12y + 1 = 0$ में रखने पर:
$9(x' + h)^2 + 4(y' + k)^2 + 10(x' + h) + 12(y' + k) + 1 = 0$
$x'$ और $y'$ के पदों को हटाने के लिए,उनके गुणांकों को शून्य के बराबर रखने पर:
$18h + 10 = 0 \implies h = -\frac{5}{9}$
$8k + 12 = 0 \implies k = -\frac{3}{2}$
अतः,मूल बिंदु को $\left(-\frac{5}{9}, -\frac{3}{2}\right)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(C) दिया गया समीकरण $f(x, y) = 2x^2+3xy-2y^2-17x+6y+8=0$ है।
मूल बिंदु को $(\alpha, \beta)$ पर स्थानांतरित करके रैखिक पदों को हटाने के लिए,हम $x$ और $y$ के सापेक्ष आंशिक अवकलज को शून्य के बराबर रखते हैं:
$f_x = 4x+3y-17 = 0$
$f_y = 3x-4y+6 = 0$
इन समीकरणों को हल करने पर:
$x = 2$ और $y = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,नया मूल बिंदु $(\alpha, \beta) = (2, 3)$ है।
रूपांतरित समीकरण में अचर पद $c = f(\alpha, \beta) = 0$ है।
इसलिए,$3\alpha+c = 3(2)+0 = 6$।
यहाँ $2\beta = 2(3) = 6$ है,इसलिए सही विकल्प $2\beta$ है।

(C) दिया गया समीकरण: $x^2-y^2+2x+4y=0$
माना नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं और मूल बिंदु को $(-1, 2)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
रूपांतरण समीकरण $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ हैं।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$

(C) दिया गया समीकरण: $x^2-y^2+2x+4y=0$।
जब मूल बिंदु को $(h, k) = (-1, 2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो रूपांतरण समीकरण $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ होते हैं।
इन मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X-1)^2 - (Y+2)^2 + 2(X-1) + 4(Y+2) = 0$।
पदों का विस्तार करने पर:
$(X^2 - 2X + 1) - (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 + 4Y + 8 = 0$।
सरल करने पर:
$X^2 - Y^2 + 3 = 0$।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+y^2+2x+2y-5=0$ है।
मान लीजिए अक्षों को $\alpha$ कोण से घुमाया गया है। रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \alpha - Y \sin \alpha$ और $y = X \sin \alpha + Y \cos \alpha$ हैं।
इन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X \cos \alpha - Y \sin \alpha)^2 + (X \sin \alpha + Y \cos \alpha)^2 + 2(X \cos \alpha - Y \sin \alpha) + 2(X \sin \alpha + Y \cos \alpha) - 5 = 0$.
द्विघात पदों को सरल करने पर:
$X^2(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) + Y^2(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) = X^2 + Y^2$.
रैखिक पदों को सरल करने पर:
$2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha)$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $X^2 + Y^2 + 2X(\cos \alpha + \sin \alpha) + 2Y(\cos \alpha - \sin \alpha) - 5 = 0$ है।
समीकरण में कोई रैखिक पद न होने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$\cos \alpha + \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = -1$
$\cos \alpha - \sin \alpha = 0 \implies \tan \alpha = 1$
चूंकि $\tan \alpha$ एक साथ $1$ और $-1$ नहीं हो सकता,इसलिए $\alpha$ का ऐसा कोई मान नहीं है जो दोनों शर्तों को पूरा करे।
अतः,$\alpha$ के मानों की संख्या $0$ है।

(C) माना घूर्णन का कोण $\theta = \operatorname{Tan}^{-1}(2)$ है। अतः $\tan \theta = 2$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर,$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$।
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
मान रखने पर,$x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ और $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$।
इन मानों को दिए गए समीकरण $3x^2 - 4xy = r^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right)^2 - 4 \left( \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}} \right) \left( \frac{2X + Y}{\sqrt{5}} \right) = r^2$।
गणना करने पर,हमें $4Y^2 - X^2 = r^2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy+y^2=1$ है।
अक्षों के घूर्णन के अंतर्गत $A+B$ और $AB-H^2$ अपरिवर्तित रहते हैं।
यहाँ $A+B = 2$ और $AB-H^2 = -3$ है।
नए समीकरण के लिए $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} = 2$ और $-\frac{1}{a^2b^2} = -3$ प्राप्त होता है।
इन समीकरणों को हल करने पर $a^2 = 1/3$ और $b^2 = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}} = \sqrt{1+3} = 2$.

(A) मान लीजिए कि अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है। रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
$3x^2 + 2\sqrt{3}xy + y^2 = 0$ समीकरण के लिए,$XY$ का गुणांक $2(A-B)\sin \theta \cos \theta + 2H(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta)$ है।
यहाँ $A=3, H=\sqrt{3}, B=1$ है। नए $XY$ गुणांक को $0$ रखने पर,हमें $2\sin 2\theta + 2\sqrt{3}\cos 2\theta = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\tan 2\theta = -\sqrt{3}$,इसलिए $2\theta = 120^{\circ}$ या $\theta = 60^{\circ}$।
$x^2 + y^2 + 2xy = 2$ में $\theta = 60^{\circ}$ रखने पर,हमें रूपांतरित समीकरण $(2+\sqrt{3})X^2 + (2-\sqrt{3})Y^2 + 2XY = 4$ प्राप्त होता है।

(C) माना नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं जहाँ $x = X+h$ और $y = Y+k$ है।
समीकरण $x^2+2x+2y-7=0$ में इन मानों को रखने पर:
$(X+h)^2 + 2(X+h) + 2(Y+k) - 7 = 0$
$X^2 + 2hX + h^2 + 2X + 2h + 2Y + 2k - 7 = 0$
$X^2 + (2h+2)X + 2Y + (h^2+2h+2k-7) = 0$
$x$ पद को हटाने के लिए,$X$ का गुणांक शून्य होना चाहिए:
$2h+2 = 0 \Rightarrow h = -1$
अचर पद को हटाने के लिए,अचर भाग शून्य होना चाहिए:
$h^2+2h+2k-7 = 0$
$h = -1$ रखने पर:
$(-1)^2 + 2(-1) + 2k - 7 = 0$
$1 - 2 + 2k - 7 = 0$
$2k - 8 = 0 \Rightarrow k = 4$
अतः,$2h+k = 2(-1) + 4 = -2 + 4 = 2$.

(C) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
घूर्णन रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4}$ है,इसलिए $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$x = \frac{X - Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X + Y}{\sqrt{2}}$.
रूपांतरित समीकरण $9X^2 + 25Y^2 = 225$ है।
मूल समीकरण प्राप्त करने के लिए $X$ और $Y$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$9\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 25\left(\frac{-x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 = 225$
$\frac{9}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{25}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) = 225$
$9(x^2 + y^2 + 2xy) + 25(x^2 + y^2 - 2xy) = 450$
$34x^2 + 34y^2 - 32xy = 450$
$2$ से भाग देने पर,हमें $17x^2 - 16xy + 17y^2 = 225$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया घूर्णन कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = x' \cos 45^{\circ} - y' \sin 45^{\circ} = \frac{x'-y'}{\sqrt{2}}$
$y = x' \sin 45^{\circ} + y' \cos 45^{\circ} = \frac{x'+y'}{\sqrt{2}}$
इन्हें समीकरण $y^2 = 4ax$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{x'+y'}{\sqrt{2}})^2 = 4a(\frac{x'-y'}{\sqrt{2}})$
$\frac{(x'+y')^2}{2} = \frac{4a(x'-y')}{\sqrt{2}}$
$(x'+y')^2 = 4\sqrt{2}a(x'-y')$
अतः,रूपांतरित समीकरण $(x+y)^2 = 4\sqrt{2}a(x-y)$ है।

(C) माना $X = \frac{\sqrt{3}x - y}{2}$ और $Y = \frac{x + \sqrt{3}y}{2}$ है।
यह रूपांतरण निर्देशांक अक्षों के $\theta = 30^\circ$ (या $\pi/6$ रेडियन) के कोण पर घूर्णन को दर्शाता है।
चूंकि घूर्णन एक आइसोमेट्री है (यह दूरी और क्षेत्रफल को संरक्षित करता है),नई निर्देशांक प्रणाली $(X, Y)$ में वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल मूल निर्देशांक प्रणाली $(x, y)$ में $Y = X^2$ और $X = Y^2$ वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल के समान होता है।
दिए गए समीकरण $\frac{x+\sqrt{3} y}{2}=\left(\frac{\sqrt{3} x-y}{2}\right)^2$ और $\frac{\sqrt{3} x-y}{2}=\left(\frac{x+\sqrt{3} y}{2}\right)^2$ क्रमशः $Y = X^2$ और $X = Y^2$ में रूपांतरित हो जाते हैं।
अतः,इन वक्रों द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $y=x^2$ और $x=y^2$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र के क्षेत्रफल के बराबर है,जो कि $k$ दिया गया है।

(A) माना मूल निर्देशांक $(x, y, z) = (3, -7, 5)$ हैं।
माना मूल बिंदु को $(h, k, l) = (-1, -1, -1)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
नए निर्देशांक $(x', y', z')$ रूपांतरण द्वारा प्राप्त होते हैं:
$x' = x - h$
$y' = y - k$
$z' = z - l$
मान रखने पर:
$x' = 3 - (-1) = 3 + 1 = 4$
$y' = -7 - (-1) = -7 + 1 = -6$
$z' = 5 - (-1) = 5 + 1 = 6$
अतः,नए निर्देशांक $(4, -6, 6)$ हैं।

(A) माना प्रारंभिक बिंदु $P_0 = (\alpha, \beta)$ है।
चरण $1$: $x$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई का स्थानांतरण करने पर $P_1 = (\alpha + 3, \beta)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $y = -x$ के सापेक्ष परावर्तन करने पर $(x, y)$ बिंदु $(-y, -x)$ में परिवर्तित हो जाता है। अतः,$P_2 = (-\beta, -(\alpha + 3)) = (-\beta, -\alpha - 3)$।
चरण $3$: अक्षों का $\theta = \frac{\pi}{4}$ के कोण पर धनात्मक दिशा में घूर्णन। नए निर्देशांक $(x', y')$ और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ के बीच संबंध $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$ है। दिया गया है कि $(x', y') = (-4\sqrt{2}, -2\sqrt{2})$,इसलिए:
$x = (-4\sqrt{2}) \cos \frac{\pi}{4} - (-2\sqrt{2}) \sin \frac{\pi}{4} = -2$.
$y = (-4\sqrt{2}) \sin \frac{\pi}{4} + (-2\sqrt{2}) \cos \frac{\pi}{4} = -6$.
$P_2 = (x, y)$ की तुलना करने पर,$-\beta = -2 \implies \beta = 2$ और $-\alpha - 3 = -6 \implies \alpha = 3$।
अतः,$\alpha + \beta = 3 + 2 = 5$।

(D) माना मूल निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
मूलबिंदु को $(-1, 2)$ पर स्थानांतरित करने पर $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को $2x^2 - xy + y^2 - 3x + 4y - 5 = 0$ में रखने पर:
$2(X-1)^2 - (X-1)(Y+2) + (Y+2)^2 - 3(X-1) + 4(Y+2) - 5 = 0$
सरल करने पर $2X^2 - XY + Y^2 - 9X + 9Y + 14 = 0$ प्राप्त होता है।
तुलना करने पर $a = 2, h = -0.5, b = 1, g = -4.5, f = 4.5, c = 14$ प्राप्त होता है।
अतः $2(f + g + h) = 2(4.5 - 4.5 - 0.5) = -1$.
विकल्प $D$ अर्थात $c - 5(a + b) = 14 - 5(3) = -1$ सही है।

(C) चरण $1$: अक्षों का स्थानांतरण। मूल निर्देशांक $(x, y) = (2, 3)$ हैं और मूलबिंदु $(h, k) = (3, 2)$ पर स्थानांतरित किया गया है। नए निर्देशांक $(a, b) = (x-h, y-k) = (2-3, 3-2) = (-1, 1)$ प्राप्त होते हैं।
चरण $2$: अक्षों का घूर्णन। बिंदु $(-1, 1)$ को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर,नए निर्देशांक $(c, d)$ के लिए $c = a \cos \theta + b \sin \theta$ और $d = -a \sin \theta + b \cos \theta$ का उपयोग करते हैं।
चरण $3$: $c$ और $d$ की गणना। चूँकि $\cos \frac{\pi}{4} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,इसलिए $c = (-1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0$ और $d = -(-1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) + (1)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चरण $4$: $d - c = \sqrt{2} - 0 = \sqrt{2}$.

(B) अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण से घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
इन मानों को $ax^2+2hxy+by^2=c$ में रखने पर:
$X^2(\frac{a+2h+b}{2}) + XY(b-a) + Y^2(\frac{a-2h+b}{2}) = c$
$25X^2+9Y^2=225$ से तुलना करने पर:
$a+2h+b = 50$
$c = 225 \implies \sqrt{c} = 15$
अतः,$(a+2h+b-\sqrt{c})^2 = (50-15)^2 = 35^2 = 1225$.

(D) दिया गया है कि मूल बिंदु को $(2, b)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए रूपांतरण समीकरण $x = X + 2$ और $y = Y + b$ हैं।
बिंदु $(a, 4)$ बदलकर $(6, 8)$ हो जाता है,इसलिए $a = 6 + 2 = 8$ और $4 = 8 + b$,जिससे $b = -4$ प्राप्त होता है।
अब,मूल बिंदु को $(a, b) = (8, -4)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,इसलिए रूपांतरण समीकरण $x = X + 8$ और $y = Y - 4$ हैं।
इन मानों को $x^2 + 4xy + y^2 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X + 8)^2 + 4(X + 8)(Y - 4) + (Y - 4)^2 = 0$
$(X^2 + 16X + 64) + 4(XY - 4X + 8Y - 32) + (Y^2 - 8Y + 16) = 0$
$X^2 + 16X + 64 + 4XY - 16X + 32Y - 128 + Y^2 - 8Y + 16 = 0$
$X^2 + 4XY + Y^2 + 24Y - 48 = 0$
इसे $X^2 + 2HXY + Y^2 + 2GX + 2FY + C = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $2H = 4 \Rightarrow H = 2$,$2G = 0 \Rightarrow G = 0$,$2F = 24 \Rightarrow F = 12$,और $C = -48$ प्राप्त होता है।
अंत में,$2H(G + F) = 2(2)(0 + 12) = 4(12) = 48$।
चूंकि $C = -48$,इसलिए $48 = -C$।

(C) माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। रूपांतरण समीकरण $x = x' + \frac{3}{2}$ और $y = y' - 2$ हैं।
इन मानों को दिए गए समीकरण $2x^2 + 4xy + y^2 + 2x - 2y + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(x' + \frac{3}{2})^2 + 4(x' + \frac{3}{2})(y' - 2) + (y' - 2)^2 + 2(x' + \frac{3}{2}) - 2(y' - 2) + 1 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$2(x')^2 + 4x'y' + (y')^2 + \frac{9}{2} = 0$
भिन्न को हटाने के लिए $2$ से गुणा करने पर:
$4(x')^2 + 8x'y' + 2(y')^2 + 9 = 0$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $4x^2 + 8xy + 2y^2 + 9 = 0$ है.

(B) मूल बिंदु को $(h, 5)$ पर स्थानांतरित करने पर,संबंध $x = X + h$ और $y = Y + 5$ प्राप्त होते हैं।
समीकरण $y = x^3 - 9x^2 + cx - d$ में मान रखने पर:
$Y + 5 = (X + h)^3 - 9(X + h)^2 + c(X + h) - d$
$Y = X^3 + (3h - 9)X^2 + (3h^2 - 18h + c)X + (h^3 - 9h^2 + ch - d - 5)$
$Y = X^3$ से तुलना करने पर:
$1) 3h - 9 = 0 \Rightarrow h = 3$
$2) 3h^2 - 18h + c = 0 \Rightarrow c = 27$
$3) h^3 - 9h^2 + ch - d - 5 = 0 \Rightarrow d = 22$
अतः,$\left(d - \frac{c}{h}\right) = 22 - \frac{27}{3} = 13$.

(D) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 = 0$ है।
यहाँ,$a = \sqrt{3}$,$2h = \sqrt{3}-1$,और $b = -1$ है।
$xy$ पद को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाना चाहिए,जिसका सूत्र है:
$\tan 2\theta = \frac{2h}{a-b}$
मान रखने पर:
$\tan 2\theta = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}-(-1)} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$
अंश और हर को $(\sqrt{3}-1)$ से गुणा करने पर:
$\tan 2\theta = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{3-1} = \frac{3+1-2\sqrt{3}}{2} = \frac{4-2\sqrt{3}}{2} = 2-\sqrt{3}$
हम जानते हैं कि $\tan 15^{\circ} = 2-\sqrt{3}$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \tan 15^{\circ}$।
$2\theta = 15^{\circ} \implies \theta = 7.5^{\circ}$।

(D) माना मूल बिंदु को बिंदु $P(h, k)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
रूपांतरण समीकरण $x = X+h$ और $y = Y+k$ हैं।
इन मानों को $2x^2+y^2-4x+4y=0$ में रखने पर:
$2(X+h)^2 + (Y+k)^2 - 4(X+h) + 4(Y+k) = 0$
$2X^2 + Y^2 + (4h-4)X + (2k+4)Y + (2h^2+k^2-4h+4k) = 0$.
इस समीकरण की तुलना $2X^2+Y^2-8X+8Y+18=0$ से करने पर:
$4h-4 = -8 \Rightarrow h = -1$.
$2k+4 = 8 \Rightarrow k = 2$.
अतः,मूल बिंदु $P(-1, 2)$ पर स्थानांतरित हुआ है।
रेखा $x+2y+2=0$ के लिए,नए निर्देशांक $x = X-1$ और $y = Y+2$ हैं।
रेखा के समीकरण में इन मानों को रखने पर:
$(X-1) + 2(Y+2) + 2 = 0$
$X+2Y+5 = 0$.

(C) निर्देशांक अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने का रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
यहाँ $\theta = \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}$ है,इसलिए $\cos \theta = \sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$x = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$।
इन मानों को $49x^2 + 25y^2 = 1225$ में रखने पर:
$49 \left( \frac{X-Y}{\sqrt{2}} \right)^2 + 25 \left( \frac{X+Y}{\sqrt{2}} \right)^2 = 1225$
$\frac{49}{2} (X^2 + Y^2 - 2XY) + \frac{25}{2} (X^2 + Y^2 + 2XY) = 1225$
$2$ से गुणा करने पर:
$49(X^2 + Y^2 - 2XY) + 25(X^2 + Y^2 + 2XY) = 2450$
$74X^2 - 48XY + 74Y^2 = 2450$
$2$ से भाग देने पर:
$37X^2 - 24XY + 37Y^2 = 1225$
$px^2 + qxy + ry^2 = t$ से तुलना करने पर,$p=37, q=-24, r=37, t=1225$ प्राप्त होता है।
विकल्प $C$ की जाँच करने पर: $(p+q+r-15)^2 = (37 - 24 + 37 - 15)^2 = (35)^2 = 1225 = t$।

(A) दिया गया समीकरण $y^2+4y+8x-2=0$ है।
मान लीजिए कि मूल बिंदु को $(\alpha, \beta)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
तब,$x = X + \alpha$ और $y = Y + \beta$।
मूल समीकरण में मान रखने पर:
$(Y + \beta)^2 + 4(Y + \beta) + 8(X + \alpha) - 2 = 0$
$Y^2 + 2Y\beta + \beta^2 + 4Y + 4\beta + 8X + 8\alpha - 2 = 0$
$Y^2 + Y(2\beta + 4) + 8X + (\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2) = 0$।
रूपांतरित समीकरण में $Y$ पद और अचर पद न होने के लिए,उनके गुणांकों को शून्य के बराबर रखने पर:
$2\beta + 4 = 0 \Rightarrow \beta = -2$।
$\beta^2 + 4\beta + 8\alpha - 2 = 0$।
$\beta = -2$ रखने पर:
$(-2)^2 + 4(-2) + 8\alpha - 2 = 0$
$4 - 8 + 8\alpha - 2 = 0$
$8\alpha - 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{3}{4}$।
अतः,मूल बिंदु को $\left(\frac{3}{4}, -2\right)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।

(A) माना कि नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं और पुराने निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि मूलबिंदु को $(h, k) = (-1, 2)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
रूपांतरण समीकरण $x = X + h$ और $y = Y + k$ हैं।
अतः,$x = X - 1$ और $y = Y + 2$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण $x^2+y^2+2x-4y+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X-1)^2 + (Y+2)^2 + 2(X-1) - 4(Y+2) + 1 = 0$
$(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 4Y + 4) + 2X - 2 - 4Y - 8 + 1 = 0$
$X^2 + Y^2 + (-2X + 2X) + (4Y - 4Y) + (1 + 4 - 2 - 8 + 1) = 0$
$X^2 + Y^2 - 4 = 0$
$X^2 + Y^2 = 4$

(A) दिया गया समीकरण $x^2+4xy-y^2=0$ है।
इसे सामान्य द्विघात समीकरण $Ax^2+Bxy+Cy^2=0$ से तुलना करने पर,हमें $A=1, B=4, C=-1$ प्राप्त होता है।
$XY$ पद को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाना चाहिए ताकि $\cot(2\theta) = \frac{A-C}{B}$ हो।
मान रखने पर,$\cot(2\theta) = \frac{1-(-1)}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\tan(2\theta) = 2$,जिसका अर्थ है $2\theta = \tan^{-1}(2)$।
इस प्रकार,$\theta = \frac{1}{2} \tan^{-1}(2)$।

(A) चूंकि निर्देशांक अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,हम $(x, y)$ को $(x \cos 45^{\circ} - y \sin 45^{\circ}, x \sin 45^{\circ} + y \cos 45^{\circ})$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
यह $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ में सरल हो जाता है।
इन मानों को $3x^2 + 3y^2 + 2xy - 2 = 0$ में रखने पर:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) - 2 = 0$
$\Rightarrow \frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + (x^2 - y^2) - 2 = 0$
$\Rightarrow \frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + x^2 - y^2 - 2 = 0$
$\Rightarrow 3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 - 2 = 0$
$\Rightarrow 4x^2 + 2y^2 = 2$
$\Rightarrow 2x^2 + y^2 = 1$.

(B) अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = \frac{X-Y}{\sqrt{2}}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = \frac{X+Y}{\sqrt{2}}$
इन्हें $X^2+Y^2-6X+8Y+21=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right)^2 + \left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right)^2 - 6\left(\frac{X-Y}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{X+Y}{\sqrt{2}}\right) + 21 = 0$
$\frac{X^2+Y^2-2XY}{2} + \frac{X^2+Y^2+2XY}{2} - 3\sqrt{2}(X-Y) + 4\sqrt{2}(X+Y) + 21 = 0$
$X^2 + Y^2 - 3\sqrt{2}X + 3\sqrt{2}Y + 4\sqrt{2}X + 4\sqrt{2}Y + 21 = 0$
$X^2 + Y^2 + \sqrt{2}X + 7\sqrt{2}Y + 21 = 0$
$ax^2+by^2+cx+dy+e=0$ से तुलना करने पर,$a=1, b=1, c=\sqrt{2}, d=7\sqrt{2}, e=21$ प्राप्त होता है।
अब,$(a+b+c^2+d^2-5e)^2$ की गणना करने पर:
$(1+1+(\sqrt{2})^2+(7\sqrt{2})^2-5(21))^2$
$= (2 + 2 + 98 - 105)^2$
$= (102 - 105)^2 = (-3)^2 = 9$.

(C) दिया गया है $\theta = \tan^{-1}(2)$,इसलिए $\tan \theta = 2$.
$\sin \theta = \frac{2}{\sqrt{5}}$ और $\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
अक्षों के घूर्णन के लिए रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $x = \frac{X - 2Y}{\sqrt{5}}$ और $y = \frac{2X + Y}{\sqrt{5}}$.
इन्हें मूल समीकरण $3x^2 - 4xy = r^2$ में रखने पर:
गणना करने पर परिणाम $4Y^2 - X^2 = r^2$ प्राप्त होता है।

(C) माना मूल बिंदु $(h, k) = (2, 3)$ पर स्थानांतरित होता है। रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta + 2$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta + 3$ हैं।
इन्हें $3x^2 + 2xy + 3y^2 - 18x - 22y + 50 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,रूपांतरित समीकरण $4X^2 + 2Y^2 - 1 = 0$ में $XY$ पद शून्य होना चाहिए।
सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + 2hxy + by^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ में $\theta$ कोण पर घूर्णन के बाद $XY$ का गुणांक $2h' = (b - a) \sin 2\theta + 2h \cos 2\theta$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$a = 3, b = 3, h = 1$ है।
$2h' = 0$ रखने पर,हमें $(3 - 3) \sin 2\theta + 2(1) \cos 2\theta = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $2 \cos 2\theta = 0$,अतः $\cos 2\theta = 0$ है।
इस प्रकार,$2\theta = \frac{\pi}{2}$,जिससे $\theta = \frac{\pi}{4}$ प्राप्त होता है।

(D) समीकरण $32 x^2+8 x y+32 y^2-108 x-108 y+99=0$ में $x=X+\frac{3}{2}$ और $y=Y+\frac{3}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$32(X+\frac{3}{2})^2 + 8(X+\frac{3}{2})(Y+\frac{3}{2}) + 32(Y+\frac{3}{2})^2 - 108(X+\frac{3}{2}) - 108(Y+\frac{3}{2}) + 99 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$32(X^2 + 3X + \frac{9}{4}) + 8(XY + \frac{3}{2}X + \frac{3}{2}Y + \frac{9}{4}) + 32(Y^2 + 3Y + \frac{9}{4}) - 108X - 162 - 108Y - 162 + 99 = 0$
$32X^2 + 96X + 72 + 8XY + 12X + 12Y + 18 + 32Y^2 + 96Y + 72 - 108X - 108Y - 162 - 162 + 99 = 0$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$32X^2 + 32Y^2 + 8XY + (96+12-108)X + (96+12-108)Y + (72+18+72-162-162+99) = 0$
$32X^2 + 8XY + 32Y^2 - 63 = 0$

(C) जब निर्देशांक अक्षों को $\theta$ कोण पर वामावर्त दिशा में घुमाया जाता है,तो रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta$
इन्हें $x^2+y^2+2xy+2x+6y+1=0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 + 2(X \cos \theta - Y \sin \theta)(X \sin \theta + Y \cos \theta) + 2(X \cos \theta - Y \sin \theta) + 6(X \sin \theta + Y \cos \theta) + 1 = 0$
गुणांकों को सरल करने पर:
$X^2(1 + \sin 2\theta) + 2XY(\cos 2\theta) + Y^2(1 - \sin 2\theta) + X(2 \cos \theta + 6 \sin \theta) + Y(6 \cos \theta - 2 \sin \theta) + 1 = 0$
इसे $(2+\sqrt{3})X^2 + 2XY + (2-\sqrt{3})Y^2 + aX + bY + 2 = 0$ के साथ तुलना करने पर:
नोट: दिए गए समीकरण में अचर पद $2$ है,इसलिए प्राप्त समीकरण को $2$ से गुणा करने पर:
$2(1 + \sin 2\theta) = 2 + \sqrt{3}$ $\Rightarrow \sin 2\theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $\Rightarrow 2\theta = 60^\circ$ $\Rightarrow \theta = 30^\circ$
अतः $a = 2(2 \cos 30^\circ + 6 \sin 30^\circ) = 2(2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 6 \cdot \frac{1}{2}) = 2(\sqrt{3} + 3) = 6 + 2\sqrt{3}$
$b = 2(6 \cos 30^\circ - 2 \sin 30^\circ) = 2(6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - 2 \cdot \frac{1}{2}) = 2(3\sqrt{3} - 1) = 6\sqrt{3} - 2$
$3a - b = 3(6 + 2\sqrt{3}) - (6\sqrt{3} - 2) = 18 + 6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 2 = 20$

(D) अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण $x = X \cos \theta - Y \sin \theta$ और $y = X \sin \theta + Y \cos \theta$ हैं।
इन मानों को दिए गए समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2 = 4a^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(X \cos \theta - Y \sin \theta)^2 + 2\sqrt{3}(X \cos \theta - Y \sin \theta)(X \sin \theta + Y \cos \theta) - (X \sin \theta + Y \cos \theta)^2 = 4a^2$.
पदों का विस्तार करने पर,समीकरण को $X^2 - Y^2 = 2a^2$ के रूप में आने के लिए $XY$ पद का गुणांक शून्य होना चाहिए।
$XY$ पद का गुणांक $-2 \sin \theta \cos \theta + 2\sqrt{3}(\cos^2 \theta - \sin^2 \theta) - 2 \sin \theta \cos \theta = 0$ है।
इसका सरलीकरण $-4 \sin \theta \cos \theta + 2\sqrt{3} \cos 2\theta = 0$ अर्थात $-2 \sin 2\theta + 2\sqrt{3} \cos 2\theta = 0$ होता है।
अतः,$\tan 2\theta = \sqrt{3}$,जिसका अर्थ है $2\theta = 60^{\circ}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$।

(C) $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$,$4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ का रूपांतरित समीकरण है।
दिए गए रूपांतरण समीकरण:
$\alpha=\frac{\sqrt{3}}{2} x+\frac{y}{2}$ और $\beta=-\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2} y$.
$\alpha$ और $\beta$ के पदों में $x$ और $y$ के लिए हल करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x=\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta$ और $y=\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta$.
$4 x^2+\sqrt{3} x y+5 y^2-4=0$ में इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$4(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)^2+\sqrt{3}(\frac{\sqrt{3}}{2} \alpha-\frac{1}{2} \beta)(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)+5(\frac{1}{2} \alpha+\frac{\sqrt{3}}{2} \beta)^2-4=0$.
विस्तार और सरलीकरण करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$5 \alpha^2+4 \beta^2+\sqrt{3} \alpha \beta-4=0$.
इसकी तुलना $a \alpha^2+b \beta^2+c \alpha \beta+d=0$ से करने पर,हमें $a=5, b=4, c=\sqrt{3}, d=-4$ प्राप्त होता है।
अतः,$c(a+b+d)=\sqrt{3}(5+4-4)=5 \sqrt{3}$.

(C) और $b$ अंतःखंडों वाली रेखा $L$ का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
मूलबिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा की लंबवत दूरी $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}}}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\frac{1}{d^2} = \frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।
जब अक्षों को घुमाया जाता है,तो मूलबिंदु स्थिर रहता है,इसलिए रेखा $L$ की मूलबिंदु से लंबवत दूरी $d$ अपरिवर्तित रहती है।
नई निर्देशांक प्रणाली में,रेखा $L$ के अंतःखंड $p$ और $q$ हैं,इसलिए इसका समीकरण $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ है।
इस नई रेखा की मूलबिंदु से लंबवत दूरी $d = \frac{1}{\sqrt{\frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}}}$ है,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{d^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$।
अतः,$\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{p^2} + \frac{1}{q^2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2\sqrt{3}xy - y^2 = 2a^2$ है।
चूंकि अक्षों को $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर घुमाया गया है,इसलिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x = X \cos 30^{\circ} - Y \sin 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}X - Y}{2}$
$y = X \sin 30^{\circ} + Y \cos 30^{\circ} = \frac{X + \sqrt{3}Y}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)^2 + 2\sqrt{3}\left(\frac{\sqrt{3}X - Y}{2}\right)\left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right) - \left(\frac{X + \sqrt{3}Y}{2}\right)^2 = 2a^2$
$4$ से गुणा करने पर:
$(\sqrt{3}X - Y)^2 + 2\sqrt{3}(\sqrt{3}X^2 + 2XY - \sqrt{3}Y^2) - (X + \sqrt{3}Y)^2 = 8a^2$
सरल करने पर:
$8X^2 - 8Y^2 = 8a^2$
$X^2 - Y^2 = a^2$

(B) माना मूल बिंदु $(h, k)$ पर स्थानांतरित किया गया है। रूपांतरण समीकरण $x = x' + h$ और $y = y' + k$ हैं। दिए गए समीकरण $x^2 + 5xy + 2y^2 + 5x + 6y + 7 = 0$ में इन्हें प्रतिस्थापित करने पर:
$(x' + h)^2 + 5(x' + h)(y' + k) + 2(y' + k)^2 + 5(x' + h) + 6(y' + k) + 7 = 0$.
इसका विस्तार करने पर,$x'$ और $y'$ के प्रथम घात के पद हैं:
$(2h + 5k + 5)x' + (5h + 4k + 6)y'$.
समीकरण को प्रथम कोटि के पदों से मुक्त होने के लिए,इन गुणांकों को शून्य होना चाहिए:
$2h + 5k + 5 = 0$ $(i)$
$5h + 4k + 6 = 0$ (ii)
$(i)$ को $4$ से और (ii) को $5$ से गुणा करने पर:
$8h + 20k + 20 = 0$
$25h + 20k + 30 = 0$
दूसरे समीकरण से पहले को घटाने पर: $17h + 10 = 0 \implies h = -\frac{10}{17}$.
$h$ का मान $(i)$ में रखने पर: $2(-\frac{10}{17}) + 5k + 5 = 0 \implies -\frac{20}{17} + 5k + 5 = 0 \implies 5k = -\frac{65}{17} \implies k = -\frac{13}{17}$.
अतः,$h = -\frac{10}{17}$ और $k = -\frac{13}{17}$.