Questions related to geometrical conditions Questions in Hindi

(A) मान लीजिए बिंदु $A(-a, -b)$,$B(0, 0)$,$C(a, b)$ और $D(a^2, ab)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या बिंदु संरेख हैं,हम क्रमिक बिंदुओं के बीच ढाल (slope) की जांच कर सकते हैं।
$AB$ की ढाल $= \frac{0 - (-b)}{0 - (-a)} = \frac{b}{a}$।
$BC$ की ढाल $= \frac{b - 0}{a - 0} = \frac{b}{a}$।
चूंकि $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अब,$CD$ की ढाल $= \frac{ab - b}{a^2 - a} = \frac{b(a - 1)}{a(a - 1)} = \frac{b}{a}$ (मान लें $a \neq 1, 0$)।
चूंकि $AB, BC$ और $CD$ की ढाल समान है,इसलिए चारों बिंदु एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु संरेख हैं।

(C) माना शीर्ष $A(-2, 2), B(-2, -1), C(3, -1)$ और $D(3, 2)$ हैं।
दूरी सूत्र $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ का उपयोग करके भुजाओं की लंबाई ज्ञात करें:
$AB = \sqrt{(-2 - (-2))^2 + (-1 - 2)^2} = \sqrt{0^2 + (-3)^2} = 3$
$BC = \sqrt{(3 - (-2))^2 + (-1 - (-1))^2} = \sqrt{5^2 + 0^2} = 5$
$CD = \sqrt{(3 - 3)^2 + (2 - (-1))^2} = \sqrt{0^2 + 3^2} = 3$
$DA = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (2 - 2)^2} = \sqrt{(-5)^2 + 0^2} = 5$
चूंकि सम्मुख भुजाएं बराबर हैं ($AB = CD = 3$ और $BC = DA = 5$) और आसन्न भुजाएं लंबवत हैं,इसलिए यह आकृति एक आयत है।

(A) वर्ग के विकर्ण मूल बिंदु पर $90^{\circ}$ पर एक-दूसरे को समद्विभाजित करते हैं। मान लीजिए कि शीर्ष अक्षों पर स्थित हैं। मूल बिंदु से प्रत्येक शीर्ष की दूरी विकर्ण की लंबाई की आधी होती है।
चूंकि भुजा की लंबाई $a$ है,इसलिए विकर्ण की लंबाई $d = a\sqrt{2}$ है।
मूल बिंदु से प्रत्येक शीर्ष की दूरी $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ है।
अतः,वर्ग के शीर्ष $\left(\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$,$\left(-\frac{a}{\sqrt{2}}, 0\right)$,$\left(0, \frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ और $\left(0, -\frac{a}{\sqrt{2}}\right)$ हैं।
इनकी दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,बिंदु $(a\sqrt{2}, 0)$ वर्ग का शीर्ष नहीं है।

(D) माना बिंदु $C$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
दिया गया है $\angle A - \angle B = \theta$,इसलिए $\tan(A - B) = \tan \theta$ .....$(i)$
समकोण त्रिभुज $CDA$ में,जहाँ $D$,$x$-अक्ष पर $C$ का प्रक्षेप है,$\tan A = \frac{k}{a - h}$।
समकोण त्रिभुज $CDB$ में,$\tan B = \frac{k}{h - (-a)} = \frac{k}{h + a}$।
$(i)$ से,$\frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \tan \theta$।
$\tan A$ और $\tan B$ के मान रखने पर:
$\frac{\frac{k}{a - h} - \frac{k}{a + h}}{1 + \frac{k^2}{a^2 - h^2}} = \tan \theta$
$\frac{2kh}{a^2 - h^2 + k^2} = \tan \theta$
$h^2 - k^2 + 2hk \cot \theta = a^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ ${x^2} - {y^2} + 2xy \cot \theta = {a^2}$ प्राप्त होता है।

(B) ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ वाले बिंदु के कार्तीय निर्देशांक $(x, y)$ इस प्रकार दिए जाते हैं: $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$।
यहाँ $r = \sqrt{2}$ और $\theta = -\frac{3\pi}{4}$ दिया गया है।
$x = \sqrt{2} \cos\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \cos\left( \frac{3\pi}{4} \right) = \sqrt{2} \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -1$।
$y = \sqrt{2} \sin\left( -\frac{3\pi}{4} \right) = -\sqrt{2} \sin\left( \frac{3\pi}{4} \right) = -\sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = -1$।
अतः,कार्तीय निर्देशांक $(-1, -1)$ हैं।

(C) कीड़े की प्रारंभिक स्थिति $A(3, 2)$ है।
पश्चिम दिशा (ऋणात्मक $x$-दिशा) में $4 \ units$ चलने पर $x$-निर्देशांक बदलता है: $3 - 4 = -1$. स्थिति $(-1, 2)$ हो जाती है।
दक्षिण दिशा (ऋणात्मक $y$-दिशा) में $3 \ units$ चलने पर $y$-निर्देशांक बदलता है: $2 - 3 = -1$. अंतिम बिंदु $B(-1, -1)$ है।
बिंदु $B(-1, -1)$ के लिए ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ ज्ञात करने हेतु:
$r = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.
चूंकि बिंदु $(-1, -1)$ तीसरे चतुर्थांश में है,इसलिए कोण $\theta = -\pi + \tan^{-1}\left(\frac{-1}{-1}\right) = -\pi + \frac{\pi}{4} = -\frac{3\pi}{4}$ होगा।
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $\left( \sqrt{2}, -\frac{3\pi}{4} \right)$ हैं।

(B) माना वर्ग के शीर्ष $O(0, 0)$,$A$,$B$,और $C$ हैं। भुजा $OA$,धनात्मक $x-$अक्ष के साथ $30^o$ का कोण बनाती है। भुजा की लंबाई $2$ होने के कारण,$A$ के निर्देशांक $(2 \cos 30^o, 2 \sin 30^o) = (\sqrt{3}, 1)$ होंगे।
भुजा $OC$,$OA$ के लंबवत है और धनात्मक $x-$अक्ष के साथ $30^o + 90^o = 120^o$ का कोण बनाती है। $C$ के निर्देशांक $(2 \cos 120^o, 2 \sin 120^o) = (-1, \sqrt{3})$ होंगे।
शीर्ष $B$,सदिश $\vec{OA}$ और $\vec{OC}$ का योग है,इसलिए $B = (\sqrt{3} - 1, 1 + \sqrt{3})$ है।
शीर्षों के $x-$निर्देशांक $0$,$\sqrt{3}$,$-1$,और $\sqrt{3} - 1$ हैं।
$x-$निर्देशांकों का योग $0 + \sqrt{3} - 1 + \sqrt{3} - 1 = 2\sqrt{3} - 2$ है।

(B) मान लीजिए वर्ग $ABCD$ की भुजा की लंबाई $x$ है। वर्ग का क्षेत्रफल $x^2$ है।
विकर्ण $AC$ और $BD$ एक दूसरे को $M$ पर समकोण पर समद्विभाजित करते हैं,इसलिए $AM = BM = \frac{x}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $E, A, C$ संरेख हैं,$EA$ विकर्ण $AC$ पर स्थित है। $\triangle EBD$ में,$EB = ED = \sqrt{130}$ और $EM \perp BD$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,$EM^2 + BM^2 = EB^2$ $\Rightarrow EM^2 + \frac{x^2}{2} = 130$ $\Rightarrow EM = \sqrt{130 - \frac{x^2}{2}}$.
$\triangle EAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times EA \times \sin(135^\circ) = \frac{ax}{2}$ (जहाँ $EA=a$)।
दिया गया है कि $\frac{ax}{2} = x^2 \Rightarrow a = 2x$.
$EB^2 = (x+a)^2 + a^2 = 130$ $\Rightarrow (3x)^2 + (2x)^2 = 130$ $\Rightarrow 13x^2 = 130$ $\Rightarrow x^2 = 10$.
अतः,वर्ग का क्षेत्रफल $10$ है।

(C) दिए गए कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = \left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}, \frac{5}{2}\right)$ हैं।
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{\left(-\frac{5 \sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{5}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{75}{4} + \frac{25}{4}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = 5$.
चूंकि बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित है $(x < 0, y > 0)$,ध्रुवीय कोण $\theta = \pi - \tan^{-1}\left|\frac{y}{x}\right|$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\theta = \pi - \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5 \pi}{6}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta) = \left(5, \frac{5 \pi}{6}\right)$ हैं।

(D) दिए गए ध्रुवीय निर्देशांक $P(r, \theta) = \left(\frac{1}{2}, 120^{\circ}\right)$ हैं,जहाँ $r = \frac{1}{2}$ और $\theta = 120^{\circ}$ है।
हम रूपांतरण सूत्रों $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$ का उपयोग करते हैं।
$x$ के लिए: $x = \frac{1}{2} \cos 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{4}$।
$y$ के लिए: $y = \frac{1}{2} \sin 120^{\circ} = \frac{1}{2} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3}}{4}$।
अतः,कार्तीय निर्देशांक $\left(-\frac{1}{4}, \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$ हैं।

(B) दिए गए कार्तीय निर्देशांक $(x, y) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ हैं।
ध्रुवीय निर्देशांक $(r, \theta)$ ज्ञात करने के लिए:
$r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2$.
चूंकि $x = r \cos \theta$ और $y = r \sin \theta$,हमारे पास है:
$\cos \theta = \frac{-\sqrt{2}}{2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin \theta = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
चूंकि $\cos \theta < 0$ और $\sin \theta > 0$,बिंदु दूसरे चतुर्थांश में स्थित है।
$\theta = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3 \pi}{4}$.
अतः,ध्रुवीय निर्देशांक $\left(2, \frac{3 \pi}{4}\right)$ हैं।

(C) दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ है।
$x$ और $y$ के प्रथम घात वाले पदों को हटाने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$4(x^2 - 2x) + 9(y^2 + 4y) + 4 = 0$
$4(x^2 - 2x + 1 - 1) + 9(y^2 + 4y + 4 - 4) + 4 = 0$
$4(x - 1)^2 - 4 + 9(y + 2)^2 - 36 + 4 = 0$
$4(x - 1)^2 + 9(y + 2)^2 = 36$
मान लीजिए कि नए निर्देशांक $X = x - 1$ और $Y = y + 2$ हैं।
इसका अर्थ है कि $x = X + 1$ और $y = Y - 2$ है।
अतः,$x$ और $y$ के पदों को हटाने के लिए मूल बिंदु को $(1, -2)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(A) दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 - 8x + 36y + 4 = 0$ है।
$x$ और $y$ पदों को हटाने के लिए,हम मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करते हैं।
मान लीजिए $x = X + h$ और $y = Y + k$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $4(X+h)^2 + 9(Y+k)^2 - 8(X+h) + 36(Y+k) + 4 = 0$।
पदों का विस्तार करने पर: $4(X^2 + 2hX + h^2) + 9(Y^2 + 2kY + k^2) - 8X - 8h + 36Y + 36k + 4 = 0$।
रैखिक पदों को समूहित करने पर: $(8h - 8)X + (18k + 36)Y + (4h^2 + 9k^2 - 8h + 36k + 4) = 0$।
$X$ और $Y$ पदों को हटाने के लिए,उनके गुणांक शून्य होने चाहिए:
$8h - 8 = 0 \implies h = 1$।
$18k + 36 = 0 \implies k = -2$।
अतः,मूल बिंदु को $(1, -2)$ पर स्थानांतरित किया जाता है।

(D) दिया गया है,वर्ग $ABCD$ जिसके शीर्ष $A(0,0), B(2,0), C(2,2), D(0,2)$ हैं।
$f_1(x, y) \longrightarrow (y, x)$ लागू करने पर:
$A(0,0)$ $\longrightarrow A'(0,0), B(2,0)$ $\longrightarrow B'(0,2), C(2,2)$ $\longrightarrow C'(2,2), D(0,2)$ $\longrightarrow D'(2,0)$.
$f_2(x, y) \longrightarrow (x+3y, y)$ लागू करने पर:
$A'(0,0)$ $\longrightarrow A''(0,0), B'(0,2)$ $\longrightarrow B''(6,2), C'(2,2)$ $\longrightarrow C''(8,2), D'(2,0)$ $\longrightarrow D''(2,0)$.
$f_3(x, y) \longrightarrow \left(\frac{x-y}{2}, \frac{x+y}{2}\right)$ लागू करने पर:
$A''(0,0)$ $\longrightarrow A'''(0,0), B''(6,2)$ $\longrightarrow B'''(2,4), C''(8,2)$ $\longrightarrow C'''(3,5), D''(2,0)$ $\longrightarrow D'''(1,1)$.
अंतिम शीर्ष: $A(0,0), B(2,4), C(3,5), D(1,1)$.
भुजाओं की लंबाई की गणना:
$AB = \sqrt{(2-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$BC = \sqrt{(3-2)^2 + (5-4)^2} = \sqrt{2}$.
$CD = \sqrt{(1-3)^2 + (1-5)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$.
$DA = \sqrt{(0-1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{2}$.
चूंकि सम्मुख भुजाएँ बराबर हैं ($AB=CD$ और $BC=DA$) और आसन्न भुजाएँ बराबर नहीं हैं,इसलिए यह आकृति एक समांतर चतुर्भुज है।