Transformation of axes Questions in Hindi

(B) रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $P(1,4)$ का परावर्तन $A(4,1)$ है।
अब,$X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $1$ इकाई की दूरी के स्थानांतरण के बाद,बिंदु $A(4,1)$ के नए निर्देशांक $B(5,1)$ हैं।
अब,मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर बिंदु $B(5,1)$ के घूर्णन के बाद,नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार हैं:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta = 5 \cos \frac{\pi}{4} - 1 \sin \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}$.
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta = 5 \sin \frac{\pi}{4} + 1 \cos \frac{\pi}{4} = \frac{5}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{6}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.
अतः,$C$ के निर्देशांक $(2\sqrt{2}, 3\sqrt{2})$ हैं।
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(D) अक्षों को $\alpha$ कोण से घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण हैं:
$x' = x \cos \alpha + y \sin \alpha$
$y' = -x \sin \alpha + y \cos \alpha$
दिया गया है $(x, y) = (1, 2)$ और $(x', y') = \left(\frac{3 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}}, \frac{\sqrt{3}+3}{2 \sqrt{2}}\right)$:
$\frac{3 \sqrt{3}-1}{2 \sqrt{2}} = 1 \cos \alpha + 2 \sin \alpha$ $(1)$
$\frac{\sqrt{3}+3}{2 \sqrt{2}} = -1 \sin \alpha + 2 \cos \alpha$ $(2)$
इन समीकरणों को हल करने पर,हमें $\alpha = 15^{\circ} = \frac{\pi}{12}$ प्राप्त होता है।

(B) चरण $1$: रेखा $y=x$ के सापेक्ष बिंदु $P(3,2)$ का परावर्तन निर्देशांकों को बदल देता है,जिससे $(2,3)$ प्राप्त होता है।
चरण $2$: $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $(2,3)$ का $3$ इकाई का स्थानांतरण $x$-निर्देशांक में $3$ जोड़ता है,जिससे $(2+3, 3) = (5,3)$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: मूल बिंदु के सापेक्ष वामावर्त दिशा में $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर $(x,y) = (5,3)$ बिंदु का घूर्णन इस प्रकार है:
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
$x=5, y=3, \theta = \frac{\pi}{4}$ रखने पर:
$x' = 5 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) - 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$
$y' = 5 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) + 3 \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) = \frac{8}{\sqrt{2}} = 4\sqrt{2}$
अतः,अंतिम स्थिति $(\sqrt{2}, 4\sqrt{2})$ है।

(C) माना बिंदु के नए निर्देशांक $(X, Y)$ हैं।
दिया गया है कि मूल बिंदु को $(h, k) = (-\sqrt{2}, \sqrt{2})$ पर स्थानांतरित किया गया है और अक्षों को $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर वामावर्त घुमाया गया है।
मूल निर्देशांक $(x, y) = (1, -1)$ हैं।
नए निर्देशांक $(X, Y)$ के लिए सूत्र:
$X = (x - h) \cos \theta + (y - k) \sin \theta$
$Y = -(x - h) \sin \theta + (y - k) \cos \theta$
मान रखने पर:
$X = (1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$
$Y = -(1 + \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} + (-1 - \sqrt{2}) \frac{1}{\sqrt{2}} = -2 - \sqrt{2}$
अतः,नए निर्देशांक $(0, -2-\sqrt{2})$ हैं।

(A) $1$. $P(1,3)$ का $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन $Q(3,1)$ है।
$2$. $Q(3,1)$ का $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $3$ इकाई स्थानांतरण $R(6,1)$ है।
$3$. $R(6,1)$ का मूल बिंदु के परितः घड़ी की दिशा में (clockwise) $\theta = -\frac{\pi}{6}$ कोण पर घूर्णन:
$x' = 6 \cos(-\frac{\pi}{6}) - 1 \sin(-\frac{\pi}{6}) = \frac{6\sqrt{3}+1}{2}$
$y' = 6 \sin(-\frac{\pi}{6}) + 1 \cos(-\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}-6}{2}$
अंतिम स्थिति $\left(\frac{6 \sqrt{3}+1}{2}, \frac{\sqrt{3}-6}{2}\right)$ है।

(B) चूंकि अक्षों को $45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया गया है,हम $(x, y)$ को $\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}, \frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)$ से प्रतिस्थापित करते हैं।
इन मानों को $3x^2 + 3y^2 + 2xy = 2$ में रखने पर:
$3\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 3\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 2\left(\frac{x-y}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x+y}{\sqrt{2}}\right) = 2$
$\frac{3}{2}(x^2 + y^2 - 2xy) + \frac{3}{2}(x^2 + y^2 + 2xy) + \frac{2}{2}(x^2 - y^2) = 2$
$\frac{3}{2}(2x^2 + 2y^2) + (x^2 - y^2) = 2$
$3x^2 + 3y^2 + x^2 - y^2 = 2$
$4x^2 + 2y^2 = 2$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $2x^2 + y^2 = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना पुराने निर्देशांक $(x, y)$ हैं और नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। अक्षों को $\theta$ कोण पर घुमाने के लिए रूपांतरण समीकरण इस प्रकार हैं:
$x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$
$y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$
दिया गया है $\theta = 45^{\circ}$,$x' = \sqrt{2}$,और $y' = 4$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$x = \sqrt{2} \cos 45^{\circ} - 4 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) - 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 - 2\sqrt{2}$
$y = \sqrt{2} \sin 45^{\circ} + 4 \cos 45^{\circ} = \sqrt{2} \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) + 4 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = 1 + 2\sqrt{2}$
अतः,पुरानी प्रणाली में निर्देशांक $(1 - 2\sqrt{2}, 1 + 2\sqrt{2})$ हैं।

(A) दिया गया समीकरण $3x^2+4xy+y^2-8x-4y-4=0$ है।
रैखिक पदों को हटाने के लिए,हम मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करते हैं।
मान लीजिए $x = X+h$ और $y = Y+k$। इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$3(X+h)^2 + 4(X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 - 8(X+h) - 4(Y+k) - 4 = 0$.
विस्तार करने पर:
$3X^2 + 4XY + Y^2 + X(6h+4k-8) + Y(4h+2k-4) + (3h^2+4hk+k^2-8h-4k-4) = 0$.
रैखिक पदों को शून्य करने के लिए,$X$ और $Y$ के गुणांकों को शून्य लेते हैं:
$6h+4k-8 = 0 \Rightarrow 3h+2k=4$
$4h+2k-4 = 0 \Rightarrow 2h+k=2$
इन्हें हल करने पर,हमें $h=0$ और $k=2$ प्राप्त होता है।
अचर पद में $h=0, k=2$ रखने पर:
$c = 3(0)^2 + 4(0)(2) + (2)^2 - 8(0) - 4(2) - 4 = 4 - 8 - 4 = -8$.
अतः,रूपांतरित समीकरण $f(X, Y) = 3X^2 + 4XY + Y^2 - 8 = 0$ है।
इसलिए,$f(1,1) = 3(1)^2 + 4(1)(1) + (1)^2 - 8 = 3 + 4 + 1 - 8 = 0$.

(B) $a=5$ और $b=7$ अंतःखंडों वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{5} + \frac{y}{7} = 1$ है,जो $7x + 5y = 35$ के रूप में सरल होता है।
जब अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार होते हैं: $x = x' \cos \theta - y' \sin \theta$ और $y = x' \sin \theta + y' \cos \theta$।
इन मानों को रेखा के समीकरण में रखने पर: $7(x' \cos \theta - y' \sin \theta) + 5(x' \sin \theta + y' \cos \theta) = 35$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x'(7 \cos \theta + 5 \sin \theta) + y'(5 \cos \theta - 7 \sin \theta) = 35$।
नए अक्षों पर अंतःखंड $a' = \frac{35}{7 \cos \theta + 5 \sin \theta}$ और $b' = \frac{35}{5 \cos \theta - 7 \sin \theta}$ हैं।
चूंकि अंतःखंड समान हैं,$a' = b'$,इसलिए $7 \cos \theta + 5 \sin \theta = 5 \cos \theta - 7 \sin \theta$।
$12 \sin \theta = -2 \cos \theta$।
$\tan \theta = -\frac{2}{12} = -\frac{1}{6}$।
अतः,$|\tan \theta| = \frac{1}{6}$।

(B) चरण $1$: समीकरण $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 5y - 6 = 0$ से प्रथम-घात वाले पदों को हटाने के लिए मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करें। $x = X + h$ और $y = Y + k$ लें। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,$X$ और $Y$ के गुणांक शून्य होने चाहिए।
$4h - 3k = 0$ और $-3h + 8k + 5 = 0$।
हल करने पर,$h = -\frac{15}{23}$ और $k = -\frac{20}{23}$ प्राप्त होता है।
अतः बिंदु $(a, b) = (-\frac{15}{23}, -\frac{20}{23})$ है।
चरण $2$: $a = -\frac{15}{23}$ और $b = -\frac{20}{23}$ को $ax^2 + 23abxy + by^2 = 0$ में रखें।
$-\frac{15}{23}x^2 + 23(-\frac{15}{23})(-\frac{20}{23})xy - \frac{20}{23}y^2 = 0$।
$-23$ से गुणा करने पर,$15x^2 - 300xy + 20y^2 = 0$,अर्थात $3x^2 - 60xy + 4y^2 = 0$ प्राप्त होता है।
चरण $3$: अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाकर $xy$-पद को हटाने के लिए,सूत्र $\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}$ है,जहाँ समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 = 0$ है।
यहाँ $A = 3, B = -60, C = 4$ है।
$\tan 2\theta = \frac{-60}{3 - 4} = \frac{-60}{-1} = 60$।

(B) सामान्य द्विघात समीकरण $ax^2 + bxy + cy^2 + dx + ey + f = 0$ में $xy$ पद को हटाने के लिए,अक्षों को $\theta$ कोण से घुमाया जाना चाहिए ताकि $\tan 2\theta = \frac{b}{a-c}$ हो।
$A_1$ के लिए: $a=3, b=5, c=3$. $\tan 2\theta_1 = \frac{5}{3-3} = \infty$ $\Rightarrow 2\theta_1 = \frac{\pi}{2}$ $\Rightarrow \theta_1 = \frac{\pi}{4}$.
$A_2$ के लिए: $a=5, b=2\sqrt{3}, c=3$. $\tan 2\theta_2 = \frac{2\sqrt{3}}{5-3} = \sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_2 = \frac{\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_2 = \frac{\pi}{6}$.
$A_3$ के लिए: $a=4, b=\sqrt{3}, c=5$. $\tan 2\theta_3 = \frac{\sqrt{3}}{4-5} = -\sqrt{3}$ $\Rightarrow 2\theta_3 = \frac{2\pi}{3}$ $\Rightarrow \theta_3 = \frac{\pi}{3}$.
कोणों की तुलना करने पर: $\frac{\pi}{3} > \frac{\pi}{4} > \frac{\pi}{6}$,जिसका अर्थ है कि $\theta_3 > \theta_1 > \theta_2$।

(D) दिया गया है,मूल बिंदु $(h, k) = (1, -2)$ पर स्थानांतरित किया गया है।
मान लीजिए मूल निर्देशांक $(x, y) = (3, -2)$ हैं।
स्थानांतरण के बाद नए निर्देशांक $(\alpha, \beta)$,$\alpha = x - h$ और $\beta = y - k$ द्वारा प्राप्त होते हैं।
$\alpha = 3 - 1 = 2$ और $\beta = -2 - (-2) = 0$.
अतः,$(\alpha, \beta) = (2, 0)$.
अब,अक्षों को मूल बिंदु के चारों ओर $\theta = 45^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है।
घूर्णन के बाद नए निर्देशांक $(x', y')$ इस प्रकार हैं:
$x' = \alpha \cos \theta + \beta \sin \theta = 2 \cos 45^{\circ} + 0 \sin 45^{\circ} = \sqrt{2}$.
$y' = -\alpha \sin \theta + \beta \cos \theta = -2 \sin 45^{\circ} + 0 \cos 45^{\circ} = -\sqrt{2}$.
अतः,रूपांतरित निर्देशांक $(\sqrt{2}, -\sqrt{2})$ हैं।

(A) दिया गया है कि मूल बिंदु $(0, 0)$ से $(h, k) = (-1, 2)$ पर स्थानांतरित होता है।
हम रूपांतरण समीकरणों $x = X + h$ और $y = Y + k$ का उपयोग करते हैं।
मान रखने पर,हमें $x = X - 1$ और $y = Y + 2$ प्राप्त होता है।
इन मानों को मूल समीकरण $2x^2 + y^2 - 3x + 5y - 8 = 0$ में रखने पर:
$2(X - 1)^2 + (Y + 2)^2 - 3(X - 1) + 5(Y + 2) - 8 = 0$
$2(X^2 - 2X + 1) + (Y^2 + 4Y + 4) - 3X + 3 + 5Y + 10 - 8 = 0$
$2X^2 - 4X + 2 + Y^2 + 4Y + 4 - 3X + 5Y + 5 = 0$
समान पदों को जोड़ने पर: $2X^2 + Y^2 - 7X + 9Y + 11 = 0$.
$(X, Y)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + y^2 - 7x + 9y + 11 = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $x^2+6xy+8y^2=10$ $\dots$ $(i)$ है।
अक्षों को $\theta = \frac{\pi}{4}$ कोण पर घुमाने पर,रूपांतरण समीकरण:
$x = \frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}$ और $y = \frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}$
इन मानों को $(i)$ में रखने पर:
$\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 + 6\left(\frac{x_1-y_1}{\sqrt{2}}\right)\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right) + 8\left(\frac{x_1+y_1}{\sqrt{2}}\right)^2 = 10$
सरल करने पर:
$\frac{x_1^2+y_1^2-2x_1y_1 + 6x_1^2-6y_1^2 + 8x_1^2+8y_1^2+16x_1y_1}{2} = 10$
$15x_1^2 + 3y_1^2 + 14x_1y_1 = 20$
अतः,रूपांतरित समीकरण $15x^2+14xy+3y^2=20$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $S \equiv 2x^2 - xy - y^2 - 3x + 3y = 0$।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,हम $\frac{\partial S}{\partial x} = 0$ और $\frac{\partial S}{\partial y} = 0$ को हल करके नया मूल बिंदु $(h, k)$ ज्ञात करते हैं।
$\frac{\partial S}{\partial x} = 4x - y - 3 = 0$ और $\frac{\partial S}{\partial y} = -x - 2y + 3 = 0$।
इन्हें हल करने पर,हमें $x = 1, y = 1$ प्राप्त होता है,अतः $(h, k) = (1, 1)$।
घूर्णन द्वारा $xy$-पद को हटाने के लिए,हम सूत्र $\tan 2\theta = \frac{B}{A - C}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ समीकरण $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ है।
यहाँ $A = 2, B = -1, C = -1$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{-1}{2 - (-1)} = \frac{-1}{3}$।
चूंकि $h = 1$ और $k = 1$,हमारे पास $h = k$ है,इसलिए $\tan 2\theta = -\frac{h}{3k} = -\frac{1}{3}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) माना मूल समीकरण $f(x, y) = 2x^2+xy-6y^2-13x+9y+15=0$ है।
जब मूल बिंदु को $(a, b)$ पर स्थानांतरित किया जाता है,तो हम $x = X+a$ और $y = Y+b$ प्रतिस्थापित करते हैं।
केंद्र $(a, b)$ ज्ञात करने के लिए,$\frac{\partial f}{\partial x} = 4x+y-13 = 0$ और $\frac{\partial f}{\partial y} = x-12y+9 = 0$ हल करने पर,हमें $a=3$ और $b=1$ प्राप्त होता है।
मूल समीकरण में $x=X+3$ और $y=Y+1$ रखने पर,अचर पद $k$ का मान $0$ प्राप्त होता है।

(A) मूल समीकरण $2x^2 - xy + y^2 + 2x + 3y + 1 = 0$ है।
मूल बिंदु को $(h, k)$ पर स्थानांतरित करने के लिए,हम $x = X + h$ और $y = Y + k$ प्रतिस्थापित करते हैं।
नया समीकरण $2(X+h)^2 - (X+h)(Y+k) + (Y+k)^2 + 2(X+h) + 3(Y+k) + 1 = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर,$X$ और $Y$ के रैखिक पद $(4h - k + 2)X + (-h + 2k + 3)Y = 0$ प्राप्त होते हैं।
नए मूल बिंदु को केंद्र होने के लिए,इन गुणांकों को शून्य होना चाहिए:
$4h - k = -2$ और $-h + 2k = -3$।
इन्हें हल करने पर,$h = -1$ और $k = -2$ प्राप्त होता है।
अतः,$h + k = -3$।
समीकरण $2X^2 - XY + Y^2 + C' = 0$ बन जाता है।
घूर्णन द्वारा $XY$ पद को हटाने के लिए,हम $\tan 2\theta = \frac{2H}{A-B}$ का उपयोग करते हैं,जहाँ समीकरण $AX^2 + 2HXY + BY^2 = 0$ है।
यहाँ $A = 2, H = -1/2, B = 1$ है।
अतः,$\tan 2\theta = \frac{2(-1/2)}{2 - 1} = -1$।
इसलिए,$h + k + \tan 2\theta = -3 + (-1) = -4$।

(B) अक्षों को $\theta = 30^{\circ}$ के कोण पर घुमाने पर रूपांतरण इस प्रकार है:
$x = X \cos \theta - Y \sin \theta = X \frac{\sqrt{3}}{2} - Y \frac{1}{2}$
$y = X \sin \theta + Y \cos \theta = X \frac{1}{2} + Y \frac{\sqrt{3}}{2}$
इन मानों को $4x^2+12xy+9y^2+6x+9y+2=0$ में रखने पर:
$4x^2+12xy+9y^2 = (2x+3y)^2$
$2x+3y = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 3(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(\sqrt{3} + \frac{3}{2}) + Y(\frac{3\sqrt{3}-2}{2})$
रैखिक पद $6x+9y = 6(\frac{\sqrt{3}}{2}X - \frac{1}{2}Y) + 9(\frac{1}{2}X + \frac{\sqrt{3}}{2}Y) = X(3\sqrt{3} + \frac{9}{2}) + Y(\frac{9\sqrt{3}-6}{2})$
अतः,$2g = \frac{6\sqrt{3}+9}{2}$ और $2f = \frac{9\sqrt{3}-6}{2}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{g}{f} = \frac{6\sqrt{3}+9}{9\sqrt{3}-6} = \frac{3+2\sqrt{3}}{3\sqrt{3}-2}$
इसलिए,विकल्प $B$ सही है।

(A) दिए गए समीकरण की तुलना $ax^2+2hxy+by^2+2gx+2fy+c=0$ से करने पर,हमें $a=4, h=4, b=10, g=-4, f=-22$ और $c=14$ प्राप्त होता है।
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,मूल बिंदु $(0,0)$ को $(h_0, k_0)$ पर स्थानांतरित करना होगा,जहाँ $h_0 = \frac{bg-fh}{h^2-ab}$ और $k_0 = \frac{af-gh}{h^2-ab}$ है।
हर (denominator) की गणना: $h^2-ab = 4^2 - (4)(10) = 16 - 40 = -24$.
$h_0$ की गणना: $h_0 = \frac{(10)(-4) - (-22)(4)}{-24} = \frac{-40 + 88}{-24} = \frac{48}{-24} = -2$.
$k_0$ की गणना: $k_0 = \frac{(4)(-22) - (-4)(4)}{-24} = \frac{-88 + 16}{-24} = \frac{-72}{-24} = 3$.
अतः,मूल बिंदु को $(-2, 3)$ पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए।

(C) मान लीजिए मूलबिंदु $P(h, k)$ पर स्थानांतरित किया जाता है। रूपांतरण समीकरण $x = x' + h$ और $y = y' + k$ हैं।
प्रथम समीकरण $3x^2 + y^2 - 6x + 4y + 4 = 0$ में इन मानों को रखने पर:
$3(x' + h)^2 + (y' + k)^2 - 6(x' + h) + 4(y' + k) + 4 = 0$
$3(x'^2 + 2hx' + h^2) + (y'^2 + 2ky' + k^2) - 6x' - 6h + 4y' + 4k + 4 = 0$
$3x'^2 + y'^2 + (6h - 6)x' + (2k + 4)y' + (3h^2 + k^2 - 6h + 4k + 4) = 0$.
प्रथम घात के पदों को हटाने के लिए,$x'$ और $y'$ के गुणांकों को शून्य लेने पर:
$6h - 6 = 0 \Rightarrow h = 1$
$2k + 4 = 0 \Rightarrow k = -2$.
अतः,मूलबिंदु $P(1, -2)$ पर स्थानांतरित होता है।
अब,दूसरे समीकरण $2x^2 + 3xy - 5y^2 + 2x - 23y - 24 = 0$ में $x = x' + 1$ और $y = y' - 2$ रखने पर:
$2(x' + 1)^2 + 3(x' + 1)(y' - 2) - 5(y' - 2)^2 + 2(x' + 1) - 23(y' - 2) - 24 = 0$
गणना करने पर हमें प्राप्त होता है:
$2x'^2 + 3x'y' - 5y'^2 = 0$.
इस प्रकार,रूपांतरित समीकरण $2x^2 + 3xy - 5y^2 = 0$ है।

(B) मान लीजिए कि मूल बिंदु को $(p, q)$ पर स्थानांतरित किया जाता है ताकि नए अक्ष पिछले अक्षों के समानांतर हों। रूपांतरण समीकरण $x = x' + p$ और $y = y' + q$ हैं।
इन्हें दिए गए समीकरण $2x^2 + 3xy + 4y^2 + x + 18y + 25 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(x' + p)^2 + 3(x' + p)(y' + q) + 4(y' + q)^2 + (x' + p) + 18(y' + q) + 25 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$2(x'^2 + 2px' + p^2) + 3(x'y' + qx' + py' + pq) + 4(y'^2 + 2qy' + q^2) + x' + p + 18y' + 18q + 25 = 0$
$x'$,$y'$ और अचर पदों को समूहित करने पर:
$2x'^2 + 3x'y' + 4y'^2 + (4p + 3q + 1)x' + (3p + 8q + 18)y' + (2p^2 + 3pq + 4q^2 + p + 18q + 25) = 0$
इसकी तुलना दिए गए रूपांतरित समीकरण $2x^2 + 3xy + 4y^2 = 1$ से करने पर,$x'$ और $y'$ के गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4p + 3q + 1 = 0$ ... $(i)$
$3p + 8q + 18 = 0$ ... (ii)
इन समीकरणों को हल करने पर:
$(i)$ से,$p = 2$ और $q = -3$ प्राप्त होता है।

(B) माना नए निर्देशांक $(x', y')$ हैं। रूपांतरण समीकरण $x = x' + 2$ और $y = y' + 3$ हैं।
इन मानों को दिए गए समीकरण $x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0$ में रखने पर:
$(x' + 2)^{2} + (y' + 3)^{2} - 4(x' + 2) - 6(y' + 3) + 9 = 0$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x'^{2} + 4x' + 4) + (y'^{2} + 6y' + 9) - 4x' - 8 - 6y' - 18 + 9 = 0$
समान पदों को संयोजित करने पर:
$x'^{2} + y'^{2} + (4x' - 4x') + (6y' - 6y') + (4 + 9 - 8 - 18 + 9) = 0$
$x'^{2} + y'^{2} - 4 = 0$
अतः,नया समीकरण $x^{2} + y^{2} = 4$ है।