यदि अक्षों को $-\pi /3$ के कोण पर ऋणात्मक दिशा में घुमाया जाता है और नई प्रणाली में एक बिंदु के निर्देशांक $(4, 2)$ हैं,तो मूल प्रणाली में बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

जब मूल बिंदु को $(2,3)$ बिंदु पर स्थानांतरित किया जाता है और फिर निर्देशांक अक्षों को वामावर्त दिशा में $\frac{\pi}{3}$ कोण से घुमाया जाता है,तो $3 x^2+2 x y+3 y^2-18 x-22 y+50=0$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

जब अक्षों को $36^{\circ}$ के कोण पर घुमाया जाता है,तो $x^2+y^2=r^2$ का रूपांतरित समीकरण क्या होगा?

बिंदु $P(1,4)$ निम्नलिखित तीन रूपांतरणों से क्रमिक रूप से गुजरने के बाद क्रमशः $A, B$ और $C$ स्थान प्राप्त करता है:
$I$. रेखा $y=x$ के सापेक्ष परावर्तन।
$II$. $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा में $1$ इकाई की दूरी का स्थानांतरण।
$III$. मूल बिंदु के परितः वामावर्त दिशा में रेखा $OB$ का $\frac{\pi}{4}$ कोण पर घूर्णन। तो,$C$ के निर्देशांक क्या हैं?

$y$-अक्ष के सापेक्ष बिंदु $(2, -1)$ के परावर्तित बिंदु के नए निर्देशांक ज्ञात कीजिए,जब मूल बिंदु को स्थानांतरित किए बिना अक्षों को $45^{\circ}$ के कोण पर ऋणात्मक दिशा में घुमाया जाता है।

$(a, b)$ वह बिंदु है जिस पर मूल बिंदु को अक्षों के स्थानांतरण द्वारा स्थानांतरित किया जाना है ताकि समीकरण $2x^2 - 3xy + 4y^2 + 5y - 6 = 0$ से प्रथम-घात वाले पदों को हटाया जा सके। यदि समीकरण $ax^2 + 23abxy + by^2 = 0$ से $xy$-पद को हटाने के लिए अक्षों को मूल बिंदु के परितः धनात्मक दिशा में $\theta$ कोण से घुमाया जाता है,तो $\tan 2\theta =$