Set Based probability Questions in Gujarati

(B) નિદર્શાવકાશ $S$ માં એવી ટિકિટો છે જેના અંકોનો ગુણાકાર $0$ થાય. અંકોનો ગુણાકાર $0$ ત્યારે જ થાય જો ઓછામાં ઓછો એક અંક $0$ હોય. આવી સંખ્યાઓ: $00, 01, 02, 03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 20, 30, 40$ છે.
કુલ ટિકિટોની સંખ્યા $n(S) = 14$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે અંકોનો સરવાળો $8$ થાય.
સંખ્યાઓ તપાસતા: $00 (0), 01 (1), 02 (2), 03 (3), 04 (4), 05 (5), 06 (6), 07 (7), 08 (8), 09 (9), 10 (1), 20 (2), 30 (3), 40 (4)$.
માત્ર $08$ એવી સંખ્યા છે જેના અંકોનો સરવાળો $8$ થાય છે.
તેથી,$n(A) = 1$.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{1}{14}$.

(C) નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી $n(S) = 6$.
ઘટના $A$ એ $3$ કરતા મોટી સંખ્યા મેળવવાની છે,તેથી $A = \{4, 5, 6\}$ અને $n(A) = 3$.
ઘટના $B$ એ $5$ કરતા નાની સંખ્યા મેળવવાની છે,તેથી $B = \{1, 2, 3, 4\}$ અને $n(B) = 4$.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જે $3$ કરતા મોટી અને $5$ કરતા નાની હોય,તેથી $A \cap B = \{4\}$ અને $n(A \cap B) = 1$.
યોગગણ $A \cup B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જે $A$ અથવા $B$ માં હોય,તેથી $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ અને $n(A \cup B) = 6$.
તેથી,$P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{6}{6} = 1$.

(C) કુલ ગુલાબની સંખ્યા = $4 + 3 + 5 + 8 = 20$.
લાલ ગુલાબની સંખ્યા = $4$.
સફેદ ગુલાબની સંખ્યા = $8$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (લાલ અથવા સફેદ) = $4 + 8 = 12$.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.

(C) ત્રણ સમતોલ પાસાને એકસાથે ઉછાળતા મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે. તેથી,$n = 216$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે ત્રણેય પાસા પર સમાન પૂર્ણાંક મળે.
સાનુકૂળ પરિણામો $A = \{(1,1,1), (2,2,2), (3,3,3), (4,4,4), (5,5,5), (6,6,6)\}$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $r = 6$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ થાય.

(A) જ્યારે પાસાને બે વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ $4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવવાની ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના શોધવી સરળ છે,જેનો અર્થ છે કે બંનેમાંથી એક પણ ઉછાળમાં $4$ ન આવે.
એક ઉછાળ માટે,$4$ ન હોય તેવા પરિણામો $\{1, 2, 3, 5, 6\}$ છે,જે $5$ પરિણામો છે.
બે ઉછાળ માટે,$4$ ન આવે તેવા પરિણામોની સંખ્યા $5 \times 5 = 25$ છે.
તેથી,એક પણ વાર $4$ ન આવવાની સંભાવના $P(E') = \frac{25}{36}$ છે.
$4$ ઓછામાં ઓછી એક વાર આવવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ થાય.

(C) ધારો કે $R_1$ એ પ્રથમ દડો લાલ હોવાની ઘટના છે અને $W_1$ એ પ્રથમ દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $R_2$ એ બીજો દડો લાલ હોવાની ઘટના છે અને $W_2$ એ બીજો દડો સફેદ હોવાની ઘટના છે.
આપણે તે સંભાવના શોધવી છે કે દડા ભિન્ન રંગના હોય,જેનો અર્થ છે કે પરિણામો $(R_1, W_2)$ અથવા $(W_1, R_2)$ છે.
કુલ દડાની સંખ્યા $6$ છે.
$P(R_1, W_2) = P(R_1) \times P(W_2 | R_1) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
$P(W_1, R_2) = P(W_1) \times P(R_2 | W_1) = \frac{3}{6} \times \frac{3}{5} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$.
કુલ સંભાવના $P(R_1, W_2) + P(W_1, R_2) = \frac{3}{10} + \frac{3}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ થાય.

(A) લીપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે.
$366$ દિવસ = $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો.
આ $2$ વધારાના દિવસો નીચે મુજબ હોઈ શકે છે: (રવિવાર,સોમવાર),(સોમવાર,મંગળવાર),(મંગળવાર,બુધવાર),(બુધવાર,ગુરુવાર),(ગુરુવાર,શુક્રવાર),(શુક્રવાર,શનિવાર),અથવા (શનિવાર,રવિવાર).
આ $2$ દિવસો માટે કુલ $7$ શક્યતાઓ છે.
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે,$2$ વધારાના દિવસોમાંથી એક રવિવાર હોવો જોઈએ.
આ $2$ કિસ્સાઓમાં શક્ય છે: (શનિવાર,રવિવાર) અને (રવિવાર,સોમવાર).
તેથી,સંભાવના $2/7$ છે.
વિધાન-$II$ એ લીપ વર્ષમાં વધારાના દિવસોની ગણતરી માટેનો આધાર પૂરો પાડે છે,તેથી તે વિધાન-$I$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(D) એક સમતોલ પાસા માટે નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ઘટના $A = \{4, 5, 6\}$ ($3$ થી મોટા પૂર્ણાંક).
ઘટના $B = \{1, 2, 3, 4\}$ ($5$ થી નાના પૂર્ણાંક).
ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નો યોગગણ $A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
તેથી,$P(A \cup B) = P(S) = 1$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{(1, 1), (1, 2), ..., (6, 6)\}$ છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
$(1)$ ધારો કે $E_1$ એ બંને પાસા પર સમાન સંખ્યા મળે તેવી ઘટના છે.
$E_1 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$.
$n(E_1) = 6$.
$P(E_1) = \frac{n(E_1)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$(2)$ ધારો કે $E_2$ એ સંખ્યાઓનો તફાવત $1$ હોય તેવી ઘટના છે.
$E_2 = \{(1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (3, 4), (4, 3), (4, 5), (5, 4), (5, 6), (6, 5)\}$.
$n(E_2) = 10$.
$P(E_2) = \frac{n(E_2)}{n(S)} = \frac{10}{36} = \frac{5}{18}$.

(A) ધારો કે $A, B,$ અને $C$ દ્વારા કોયડો ઉકેલવાની સંભાવના $P(A), P(B),$ અને $P(C)$ છે.
$P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/4$.
કોયડો કોઈના દ્વારા ઉકેલાતો નથી તેની સંભાવના એ છે કે ત્રણેય નિષ્ફળ જાય.
$P(\text{not } A) = 1 - 1/2 = 1/2$
$P(\text{not } B) = 1 - 1/3 = 2/3$
$P(\text{not } C) = 1 - 1/4 = 3/4$
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ કોયડો ન ઉકેલે તેની સંભાવના:
$P(\text{none solve}) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
કોયડો ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{none solve})$ છે.
$P(\text{solved}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.

(A) આપેલ છે: $P(A) = 0.25$,$P(B) = 0.50$,અને $P(A \cap B) = 0.14$.
આપણે $A$ અને $B$ માંથી એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના શોધવાની છે,જે $P(A^c \cap B^c)$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A^c \cap B^c) = P((A \cup B)^c) = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = 0.25 + 0.50 - 0.14 = 0.61$.
તેથી,$P(A^c \cap B^c) = 1 - 0.61 = 0.39$.

(B) ધારો કે $A$ અને $B$ એ ઘટનાઓ છે કે ક્રિષ્ના અને હરિ $10$ વર્ષમાં જીવિત છે.
આપેલ છે કે $P(A) = \frac{7}{15}$ અને $P(B) = \frac{7}{10}$.
ક્રિષ્ના મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - \frac{7}{15} = \frac{8}{15}$ છે.
હરિ મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(B^c) = 1 - P(B) = 1 - \frac{7}{10} = \frac{3}{10}$ છે.
બંને ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને મૃત્યુ પામે તેની સંભાવના $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \times P(B^c)$ થશે.
$P(A^c \cap B^c) = \frac{8}{15} \times \frac{3}{10} = \frac{24}{150}$.

(A) $X$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
$A$ અને $B$ પસંદ કરવા માટેની કુલ રીતો $2^n \times 2^n = 2^{2n}$ છે.
$X$ ના $r$ સભ્યો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા ${}^nC_r$ છે.
$A$ અને $B$ માં સમાન સભ્યો હોય તે માટે,જો બંનેમાં $r$ સભ્યો હોય,તો પસંદગીની રીતો $({}^nC_r)^2$ થાય.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $\sum_{r=0}^{n} ({}^nC_r)^2 = {}^{2n}C_n$ થાય.
તેથી,સંભાવના $= \frac{{}^{2n}C_n}{2^{2n}}$ છે.

(D) ધારો કે $b$ છોકરો અને $g$ છોકરી દર્શાવે છે.
ત્રણ કુટુંબ હોવાથી,નિદર્શાવકાશ $S$ એ દરેક કુટુંબમાંથી પસંદગીનો કાર્તેઝીય ગુણાકાર છે:
$S = \{b, g\} \times \{b, g\} \times \{b, g\}$
$S = \{bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb, ggg\}$
માત્ર છોકરીઓ પસંદ કરવાની ઘટના એટલે ત્રણેય કુટુંબમાંથી $g$ પસંદ કરવા.
તેથી,ઘટના $\{ggg\}$ છે.

(D) કુલ ઘોડાની સંખ્યા = $5$.
શ્રીમાન $A$ દ્વારા પસંદ કરાયેલ ઘોડાની સંખ્યા = $2$.
શ્રીમાન $A$ દ્વારા પસંદ ન કરાયેલ ઘોડાની સંખ્યા = $5 - 2 = 3$.
માત્ર $1$ જ વિજેતા ઘોડો છે.
વિજેતા ઘોડો શ્રીમાન $A$ દ્વારા પસંદ ન કરાયેલ $3$ ઘોડાઓમાં હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{વિજેતા ઘોડો પસંદ ન થયો}) = \frac{3}{5}$.
વિજેતા ઘોડો શ્રીમાન $A$ દ્વારા પસંદ કરાયેલ $2$ ઘોડાઓમાં હોય તેની સંભાવના:
$P(\text{વિજેતા ઘોડો પસંદ થયો}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.

(C) બે સમતોલ પાસાને એક સાથે ઉછાળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ બંને પાસા પર સમાન અંક મળે તે ઘટના છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $A = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 6$ છે.
ઘટના $A$ ની સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ છે.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
જ્યારે બંને પાસા પર સમાન અંક આવે ત્યારે તેને સમાન અંક (doublet) કહેવાય છે. સાનુકૂળ પરિણામો $(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
સમાન અંક મળવાની સંભાવના $= \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.

(C) $PROBABILITY$ શબ્દમાં કુલ $11$ અક્ષરો છે.
આ શબ્દમાં રહેલા સ્વરો $O, A, I, I$ છે.
કુલ સ્વરોની સંખ્યા $4$ છે.
સ્વર પસંદ કરવાની સંભાવના એ સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા અને કુલ પરિણામોની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
સંભાવના $= \frac{4}{11}$.

(B) એક પ્રયત્નમાં પક્ષીને મારવાની સંભાવના $P(H) = 1/3$ છે।
એક પ્રયત્નમાં પક્ષીને ન મારવાની (ચૂકી જવાની) સંભાવના $P(M) = 1 - 1/3 = 2/3$ છે।
ત્રણ પ્રયત્નોમાં ઓછામાં ઓછી એક વાર પક્ષીને મારવાની સંભાવના $1 - P(\text{ત્રણેય વાર ચૂકી જવાની સંભાવના})$ થાય।
ત્રણેય વાર ચૂકી જવાની સંભાવના $P(M)^3 = (2/3)^3 = 8/27$ છે।
તેથી, પક્ષીને મારવાની સંભાવના $1 - 8/27 = 19/27$ થાય।

(C) ઘટના $A$ પોતાની સાથે સ્વતંત્ર હોય જો $P(A \cap A) = P(A)P(A)$ થાય.
$A \cap A = A$ હોવાથી,આપણને $P(A) = P(A)^2$ મળે.
આથી $P(A)^2 - P(A) = 0$.
$P(A)(P(A) - 1) = 0$.
તેથી,$P(A) = 0$ અથવા $P(A) = 1$.

(D) કાર્ટેઝિયન ગુણાકાર $A \times B$ માં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 5 \times 4 = 20$ છે.
$a + b = 9$ થાય તેવી ક્રમિત જોડ $\{(1, 8), (3, 6), (5, 4), (7, 2)\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $r = 4$ છે.
ઘટનાની સંભાવના $P = \frac{r}{n} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5}$ છે.

(C) $52$ પત્તામાંથી $2$ પત્તા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{52}C_2$ છે.
ધારો કે $A$ એ બંને પત્તા લાલ હોવાની ઘટના છે.
ધારો કે $B$ એ બંને પત્તા રાજા હોવાની ઘટના છે.
આપણે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ શોધવાનું છે.
કુલ $26$ લાલ પત્તા છે,તેથી $2$ લાલ પત્તા પસંદ કરવાની રીતો $^{26}C_2$ છે.
$P(A) = \frac{^{26}C_2}{^{52}C_2} = \frac{325}{1326}$.
કુલ $4$ રાજા છે,તેથી $2$ રાજા પસંદ કરવાની રીતો $^4C_2$ છે.
$P(B) = \frac{^4C_2}{^{52}C_2} = \frac{6}{1326} = \frac{1}{221}$.
$A \cap B$ એ બંને પત્તા લાલ રાજા હોવાની ઘટના છે. $2$ લાલ રાજા છે (લાલનો રાજા અને ચોકટનો રાજા),તેથી $2$ લાલ રાજા પસંદ કરવાની રીતો $^2C_2 = 1$ છે.
$P(A \cap B) = \frac{^2C_2}{^{52}C_2} = \frac{1}{1326}$.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = \frac{325}{1326} + \frac{6}{1326} - \frac{1}{1326} = \frac{330}{1326}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{330}{1326} = \frac{55}{221}$.

(B) બે પાસા ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^2 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે ઓછામાં ઓછા એક પાસા પર $3$ કરતા મોટી સંખ્યા મળે.
પૂરક ઘટના $E'$ શોધવી સરળ છે,જેમાં બંને પાસા પર $3$ કે તેથી નાની સંખ્યા મળે.
આનો અર્થ એ છે કે બંને પાસા પર $\{1, 2, 3\}$ માંથી કોઈ એક અંક હોવો જોઈએ.
$E'$ માટેના પરિણામોની સંખ્યા $3 \times 3 = 9$ છે.
આ પરિણામો છે: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)$.
તેથી,$P(E') = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$.
માગેલ ઘટનાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.

(C) બે પાસા ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6^2 = 36$ છે.
$4$ ના ગુણક હોય તેવા સરવાળા $4, 8$ અને $12$ છે.
આ સરવાળા મેળવવા માટેની જોડીઓ $(x, y)$ નીચે મુજબ છે:
સરવાળો $= 4$ માટે: $(1, 3), (2, 2), (3, 1)$
સરવાળો $= 8$ માટે: $(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)$
સરવાળો $= 12$ માટે: $(6, 6)$
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $3 + 5 + 1 = 9$ છે.
માટે,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{9}{36} = \frac{1}{4}$ થાય.

(C) આપેલ છે કે ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બનવાની સંભાવના $P(A \cup B) = 0.6$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B') = 0.6$,તેથી $P(A' \cap B') = 0.4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cap B) = 0.3$.
સૂત્ર $P(A' \cup B') = P(A') + P(B') - P(A' \cap B')$ નો ઉપયોગ કરતા,
જ્યાં $P(A' \cup B') = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.3 = 0.7$.
કિંમતો મૂકતા: $0.7 = P(A') + P(B') - 0.4$.
તેથી,$P(A') + P(B') = 0.7 + 0.4 = 1.1$.

(D) ધારો કે ત્રણ સિક્કાના પરિણામો નિરપેક્ષ ઘટનાઓ $A, B,$ અને $C$ છે.
પ્રથમ સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(A) = 1/2$ છે.
બીજા સિક્કા પર કાંટો મળવાની સંભાવના $P(B) = 1/2$ છે.
ત્રીજા સિક્કા પર છાપ મળવાની સંભાવના $P(C) = 1/2$ છે.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,સંયુક્ત સંભાવના $P(A \cap B \cap C) = P(A) \times P(B) \times P(C)$ થશે.
$P(A \cap B \cap C) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.

(B) ધારો કે $P(A) = p$ એ $A$ ના મૃત્યુ પામવાની સંભાવના છે,તેથી $P(A') = 1 - p$ એ $A$ ના જીવિત રહેવાની સંભાવના છે.
ધારો કે $P(B) = q$ એ $B$ ના મૃત્યુ પામવાની સંભાવના છે,તેથી $P(B') = 1 - q$ એ $B$ ના જીવિત રહેવાની સંભાવના છે.
વર્ષના અંતે ફક્ત એક વ્યક્તિ જીવિત હોય તે ઘટનાનો અર્થ છે કે કાં તો ($A$ મૃત્યુ પામે અને $B$ જીવે) અથવા ($B$ મૃત્યુ પામે અને $A$ જીવે).
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,માંગેલ સંભાવના $P(A \cap B') + P(B \cap A') = P(A) \cdot P(B') + P(B) \cdot P(A')$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $p(1 - q) + q(1 - p) = p - pq + q - pq = p + q - 2pq$.

(A) $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6} \implies P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ અને $P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$,તેથી $P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{5}{6} = \frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$\frac{5}{6} = \frac{1}{2} + P(B) \implies P(B) = \frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે ચકાસણી: $P(A) \cdot P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4} = P(A \cap B)$.
કારણ કે $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$,ઘટનાઓ સ્વતંત્ર છે.
કારણ કે $P(A) = \frac{3}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$,$P(A) \neq P(B)$,તેથી તેઓ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી.

(B) નિદર્શાવકાશ $S$ માં $6 \times 6 = 36$ પરિણામો છે.
$E_1 = \{(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)\}$,તેથી $P(E_1) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$E_2 = \{(1, 2), (2, 2), (3, 2), (4, 2), (5, 2), (6, 2)\}$,તેથી $P(E_2) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$E_3$ એ ઘટના છે કે સરવાળો એકી છે,જે ત્યારે થાય છે જ્યારે એક પાસો બેકી અને બીજો એકી હોય. $P(E_3) = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
$E_1 \cap E_2 = \{(4, 2)\}$,તેથી $P(E_1 \cap E_2) = \frac{1}{36} = P(E_1)P(E_2)$. આમ,$E_1$ અને $E_2$ સ્વતંત્ર છે.
$E_1 \cap E_3 = \{(4, 1), (4, 3), (4, 5)\}$,તેથી $P(E_1 \cap E_3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = P(E_1)P(E_3)$. આમ,$E_1$ અને $E_3$ સ્વતંત્ર છે.
$E_2 \cap E_3 = \{(1, 2), (3, 2), (5, 2)\}$,તેથી $P(E_2 \cap E_3) = \frac{3}{36} = \frac{1}{12} = P(E_2)P(E_3)$. આમ,$E_2$ અને $E_3$ સ્વતંત્ર છે.
$E_1, E_2, E_3$ સ્વતંત્ર હોવા માટે,$P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = P(E_1)P(E_2)P(E_3)$ હોવું જોઈએ.
$E_1 \cap E_2 \cap E_3 = \{(4, 2)\} \cap E_3 = \emptyset$ કારણ કે સરવાળો $4+2=6$ બેકી છે. તેથી $P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) = 0$.
$0 \neq \frac{1}{72}$ હોવાથી,આ ઘટનાઓ પરસ્પર સ્વતંત્ર નથી.

(B) ધારો કે ગણ $S = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ છે.
બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = \binom{11}{2} = 55$ છે.
ધારો કે બે સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $x > y$.
શરત મુજબ $(x+y)$ અને $(x-y)$ બંને $4$ ના ગુણક હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $x$ અને $y$ બંને બેકી સંખ્યાઓ હોવી જોઈએ અને $x \equiv y \pmod{4}$ થવું જોઈએ.
ગણ $\{0, 2, 4, 6, 8, 10\}$ માંથી શક્ય જોડીઓ:
$x, y \equiv 0 \pmod{4}$ માટે: $(4, 0), (8, 0), (8, 4)$.
$x, y \equiv 2 \pmod{4}$ માટે: $(6, 2), (10, 2), (10, 6)$.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $n(E) = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{6}{55}$ છે.

(B) ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ હોવાથી,તેમની સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ થવો જોઈએ.
$\frac{1 - 3p}{2} + \frac{1 + 4p}{3} + \frac{1 + p}{6} = 1$
$6$ વડે ગુણતા,$3(1 - 3p) + 2(1 + 4p) + (1 + p) = 6$.
$3 - 9p + 2 + 8p + 1 + p = 6$
$6 = 6$,જે $p$ ના કોઈપણ મૂલ્ય માટે સાચું છે. જોકે,દરેક સંભાવના $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$1) \ 0 \le \frac{1 - 3p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 3p \le 2 \Rightarrow -1 \le -3p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{3}$.
$2) \ 0 \le \frac{1 + 4p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 4p \le 3 \Rightarrow -1 \le 4p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{4} \le p \le \frac{1}{2}$.
$3) \ 0 \le \frac{1 + p}{6} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + p \le 6 \Rightarrow -1 \le p \le 5$.
આ તમામ અંતરાલોનો છેદ લેતા: $[-\frac{1}{3}, \frac{1}{3}] \cap [-\frac{1}{4}, \frac{1}{2}] \cap [-1, 5] = [-\frac{1}{4}, \frac{1}{3}]$.

(A) ધારો કે $H$ એ સિક્કા પર છાપ મેળવવાની ઘટના છે,$P(H) = \frac{1}{2}$. છાપ ન મળે તેની સંભાવના $P(H') = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $D$ એ પાસા પર $5$ કે $6$ મેળવવાની ઘટના છે,$P(D) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. $5$ કે $6$ ન મળે તેની સંભાવના $P(D') = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ છે.
માણસ સિક્કાથી શરૂઆત કરે છે અને વારાફરતી પ્રયત્ન કરે છે. તે ત્યારે જીતે છે જો તેને $5$ કે $6$ મળે તે પહેલાં છાપ મળે.
આ નીચે મુજબની રીતે થઈ શકે છે:
$1$. તે પ્રથમ પ્રયત્ને છાપ મેળવે: $P_1 = \frac{1}{2}$.
$2$. તે પ્રથમ સિક્કાના ઉછાળમાં નિષ્ફળ જાય,પ્રથમ પાસાના ફેંકમાં નિષ્ફળ જાય અને બીજા સિક્કાના ઉછાળમાં છાપ મેળવે: $P_2 = (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}) \times \frac{1}{2}$.
$3$. તે પ્રથમ બે સિક્કાના ઉછાળમાં અને પ્રથમ બે પાસાના ફેંકમાં નિષ્ફળ જાય અને ત્રીજા સિક્કાના ઉછાળમાં છાપ મેળવે: $P_3 = (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3})^2 \times \frac{1}{2}$.
કુલ સંભાવના આ અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીનો સરવાળો છે:
$P = \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3}) \cdot \frac{1}{2} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3})^2 \cdot \frac{1}{2} + \dots$
$P = \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{3} + (\frac{1}{3})^2 + \dots]$
અનંત ભૂમિતિ શ્રેણીના સરવાળાના સૂત્ર $S = \frac{a}{1-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=1$ અને $r=\frac{1}{3}$:
$P = \frac{1}{2} \times \frac{1}{1 - 1/3} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2/3} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.

(D) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $X$ એ પ્રથમ પાસા પરનો અંક છે અને $Y$ એ બીજા પાસા પરનો અંક છે.
આપણે $P(X < Y)$ સંભાવના શોધવી છે.
$X < Y$ હોય તેવી શક્ય જોડીઓ $(X, Y)$ નીચે મુજબ છે:
જો $X=1$,તો $Y \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ ($5$ પરિણામો).
જો $X=2$,તો $Y \in \{3, 4, 5, 6\}$ ($4$ પરિણામો).
જો $X=3$,તો $Y \in \{4, 5, 6\}$ ($3$ પરિણામો).
જો $X=4$,તો $Y \in \{5, 6\}$ ($2$ પરિણામો).
જો $X=5$,તો $Y \in \{6\}$ ($1$ પરિણામ).
જો $X=6$,તો $Y$ માટે કોઈ શક્ય મૂલ્ય નથી જેથી $X < Y$ થાય.
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$.
માટે જરૂરી સંભાવના $\frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(D) ધારો કે $A, B$ અને $C$ એ ઘટનાઓ છે કે વિદ્યાર્થી અનુક્રમે કસોટી $I, II$ અને $III$ માં પાસ થાય છે. વિદ્યાર્થી સફળ થાય છે જો તે $(I \text{અને } II)$ અથવા $(I \text{અને } III)$ માં પાસ થાય.
આ ઘટના $(A \cap B) \cup (A \cap C)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
સંયોજનના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા,$P((A \cap B) \cup (A \cap C)) = P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(A \cap B) = P(A)P(B) = pq$,$P(A \cap C) = P(A)P(C) = p(\frac{1}{2})$,અને $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C) = pq(\frac{1}{2})$.
આમ,સફળતાની સંભાવના $pq + \frac{p}{2} - \frac{pq}{2} = \frac{pq}{2} + \frac{p}{2} = \frac{p}{2}(q + 1)$ છે.
સફળતાની સંભાવના $\frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{p}{2}(q + 1) = \frac{1}{2}$,જેનું સાદું રૂપ $p(q + 1) = 1$ થાય છે.
જો $p=1$ હોય,તો $1+q=1 \Rightarrow q=0$. જો $p=\frac{2}{3}$ હોય,તો $\frac{2}{3}(q+1)=1 \Rightarrow q+1=\frac{3}{2} \Rightarrow q=\frac{1}{2}$.
$p(q+1)=1$ ને સંતોષતી ઘણી જોડીઓ $(p, q)$ હોવાથી,$p$ અને $q$ ની અસંખ્ય કિંમતો શક્ય છે. તેથી,વિકલ્પો $A, B$ અને $C$ બધા સાચા છે.

(A) ધારો કે $P(W_i)$ અને $P(B_i)$ એ $i$-માં બોક્સમાંથી સફેદ અને કાળો દડો પસંદ કરવાની સંભાવના છે,જ્યાં $i = 1, 2, 3$.
$P(W_1) = \frac{3}{4}, P(B_1) = \frac{1}{4}$
$P(W_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, P(B_2) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
$P(W_3) = \frac{1}{4}, P(B_3) = \frac{3}{4}$
બે સફેદ અને એક કાળો દડો નીચેની ત્રણ રીતે પસંદ કરી શકાય:

$Way 1$	$W, W, B$
$Way 2$	$W, B, W$
$Way 3$	$B, W, W$

જરૂરી સંભાવના $= P(W_1)P(W_2)P(B_3) + P(W_1)P(B_2)P(W_3) + P(B_1)P(W_2)P(W_3)$
$= (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{3}{4}) + (\frac{3}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{4} \times \frac{2}{4} \times \frac{1}{4})$
$= \frac{18}{64} + \frac{6}{64} + \frac{2}{64} = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$.

(D) ગણ $\{1, 2, \dots, 15\}$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $15 \times 14 = 210$ છે.
$(0, 0)$ માંથી પસાર થતી અને $\frac{2}{3}$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y = \frac{2}{3}x$ છે,જે $2x = 3y$ થાય છે.
આપણે એવી જોડી $(x, y)$ શોધવાની છે કે જ્યાં $x, y \in \{1, 2, \dots, 15\}$ અને $2x = 3y$ હોય.
શક્ય જોડીઓ: $(3, 2), (6, 4), (9, 6), (12, 8), (15, 10)$.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $5$ છે.
સંભાવના $= \frac{5}{210} = \frac{1}{42}$ છે.

(A) કુલ દડાઓની સંખ્યા $= 5 + 4 + 3 = 12$.
ધારો કે $R_1, R_2, R_3$ એ ઘટનાઓ છે કે પ્રથમ,દ્વિતીય અને તૃતીય પ્રયત્નમાં ચોક્કસ લાલ દડો મળતો નથી,અને $E$ એ ઘટના છે કે ચોથા પ્રયત્નમાં ચોક્કસ લાલ દડો મળે છે.
સંભાવના $= \frac{11}{12} \times \frac{10}{11} \times \frac{9}{10} \times \frac{1}{9} = \frac{1}{12}$.

(C) અસમતા $\frac{(x - 10)(x - 50)}{(x - 30)} \geqslant 0$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે વેવી કર્વ મેથડ (ચિહ્ન યોજના) નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 10, 30, 50$ છે.
અંતરાલો તપાસતા:
$x > 50$ માટે,પદ ધન છે.
$30 < x < 50$ માટે,પદ ઋણ છે.
$10 < x < 30$ માટે,પદ ધન છે.
$x < 10$ માટે,પદ ઋણ છે.
અસમતા $\geqslant 0$ ને ધ્યાનમાં લેતા:
- $x = 10$ અને $x = 50$ પર પદ શૂન્ય થાય છે.
- $x = 30$ પર પદ અવ્યાખ્યાયિત છે.
- આમ,ઉકેલ ગણ $x \in [10, 30) \cup [50, 100]$ છે.
આ ગણમાં પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની ગણતરી કરતા:
- $[10, 29]$ માં,$29 - 10 + 1 = 20$ પૂર્ણાંકો છે.
- $[50, 100]$ માં,$100 - 50 + 1 = 51$ પૂર્ણાંકો છે.
- સાનુકૂળ પૂર્ણાંકોની કુલ સંખ્યા $= 20 + 51 = 71$.
ગણ $\{1, 2, ..., 100\}$ માં કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $100$ છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{71}{100} = 0.71$ છે.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}, P(B) = \frac{1}{3}, P(C) = \frac{1}{4}$.
તેથી $P(\overline{A}) = \frac{1}{2}, P(\overline{B}) = \frac{2}{3}, P(\overline{C}) = \frac{3}{4}$.
$\lambda$ એ બરાબર બે વ્યક્તિ લક્ષ્યને ભેદે તેની સંભાવના છે:
$\lambda = P(A)P(B)P(\overline{C}) + P(A)P(\overline{B})P(C) + P(\overline{A})P(B)P(C)$
$\lambda = (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{3}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{4}) + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4})$
$\lambda = \frac{3}{24} + \frac{2}{24} + \frac{1}{24} = \frac{6}{24} = \frac{1}{4}$.
$\mu$ એ ઓછામાં ઓછા બે વ્યક્તિ લક્ષ્યને ભેદે તેની સંભાવના છે:
$\mu = \lambda + P(A)P(B)P(C)$
$\mu = \frac{6}{24} + (\frac{1}{2} \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{4}) = \frac{6}{24} + \frac{1}{24} = \frac{7}{24}$.
$\lambda + \mu = \frac{6}{24} + \frac{7}{24} = \frac{13}{24}$.

(B) આપેલ અસમતા $x^2 - 13x - 30 \leq 0$ છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 15)(x + 2) \leq 0$ મળે છે.
આ ગુણાકાર શૂન્ય અથવા શૂન્યથી નાનો હોય તે માટે,$x$ એ $[-2, 15]$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ.
કારણ કે $x$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે $(x \in \mathbb{N})$,તેથી $x$ ની શક્ય કિંમતો ${1, 2, 3, \dots, 15}$ છે.
ગણ ${1, 2, \dots, 100}$ માં કુલ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓની સંખ્યા $100$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $15$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{15}{100} = \frac{3}{20}$ છે.

(D) ધારો કે $E_1, E_2, E_3, E_4$ એ પ્રથમ,બીજા,ત્રીજા અને ચોથા ગોળીબારમાં વિમાનને અથડાવવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(E_1) = 0.4, P(E_2) = 0.3, P(E_3) = 0.2, P(E_4) = 0.1$ છે.
કોઈપણ ગોળીબારમાં વિમાનને ન અથડાવવાની સંભાવના $P(E_i^c) = 1 - P(E_i)$ છે.
$P(E_1^c) = 1 - 0.4 = 0.6$
$P(E_2^c) = 1 - 0.3 = 0.7$
$P(E_3^c) = 1 - 0.2 = 0.8$
$P(E_4^c) = 1 - 0.1 = 0.9$
ગન વિમાનને ઓછામાં ઓછી એક વાર અથડાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈપણ ગોળીબારમાં વિમાનને ન અથડાવવાની સંભાવના})$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= 1 - (P(E_1^c) \times P(E_2^c) \times P(E_3^c) \times P(E_4^c))$
$= 1 - (0.6 \times 0.7 \times 0.8 \times 0.9)$
$= 1 - 0.3024$
$= 0.6976$

(A) આપેલ અસમતા $x + \frac{336}{x} \leq 50$ છે.
$x$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર $x$ વડે ગુણી શકીએ: $x^2 + 336 \leq 50x$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $x^2 - 50x + 336 \leq 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને $(x - 8)(x - 42) \leq 0$ મળે છે.
આ અસમતા $x$ ની $[8, 42]$ અંતરાલ માટે સાચી છે.
$x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $x$ ની શક્ય કિંમતો ${8, 9, 10, \dots, 42}$ છે.
આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $42 - 8 + 1 = 35$ છે.
$1$ થી $50$ સુધીના કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $50$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{35}{50} = \frac{7}{10}$ છે.

(A) $6$ બાળકો હોવાની કુલ રીતો $2^6 = 64$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી હોવાથી,આપણે બધા બાળકો છોકરા હોય તે કિસ્સો ($1$ રીત) બાદ કરીશું.
આમ,કુલ શક્ય પરિણામો $2^6 - 1 = 63$ છે.
$3$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓ હોવાની રીતો $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{20}{63}$ છે.

(C) આપણને નીચે મુજબની સંભાવનાઓ આપેલી છે:
$P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) = 0.6$
$P(A) = 0.8$
$P(\bar{A} \cap B \cap C) = 0.1$
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A) = P(A \cap \bar{B} \cap \bar{C}) + P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(A \cap B \cap C)$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$0.8 = 0.6 + P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(A \cap B \cap C)$
$P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(A \cap B \cap C) = 0.8 - 0.6 = 0.2$.
ઓછામાં ઓછી બે ઘટનાઓ બનવાની સંભાવના:
$P(\text{at least two}) = P(A \cap B \cap \bar{C}) + P(A \cap \bar{B} \cap C) + P(\bar{A} \cap B \cap C) + P(A \cap B \cap C)$.
ઉપર મેળવેલ સરવાળો અને $P(\bar{A} \cap B \cap C)$ ની કિંમત મૂકતા:
$P(\text{at least two}) = 0.2 + 0.1 = 0.3$.

(A) બે પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
ધારો કે $A$ એ પ્રથમ પાસાનું પરિણામ છે અને $B$ એ બીજા પાસાનું પરિણામ છે. આપણે એવા પરિણામો શોધવા માંગીએ છીએ જ્યાં $A > B$.
જો $A=2$,તો $B=1$ ($1$ પરિણામ).
જો $A=3$,તો $B=1, 2$ ($2$ પરિણામો).
જો $A=4$,તો $B=1, 2, 3$ ($3$ પરિણામો).
જો $A=5$,તો $B=1, 2, 3, 4$ ($4$ પરિણામો).
જો $A=6$,તો $B=1, 2, 3, 4, 5$ ($5$ પરિણામો).
કુલ સાનુકૂળ પરિણામો $= 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15$.
સંભાવના $= \frac{15}{36} = \frac{5}{12}$ છે.

(A) ધારો કે $P(A), P(B), P(C)$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B, C$ દ્વારા સમસ્યા ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(A) = \frac{1}{3}, P(B) = \frac{1}{4}, P(C) = \frac{1}{5}$.
કોઈપણ વિદ્યાર્થી દ્વારા સમસ્યા ન ઉકેલાય તેની સંભાવના:
$P(\text{not solved}) = (1 - P(A)) \times (1 - P(B)) \times (1 - P(C))$
$P(\text{not solved}) = (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{4}) \times (1 - \frac{1}{5})$
$P(\text{not solved}) = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{2}{5}$.
સમસ્યા ઉકેલાવાની સંભાવના:
$P(\text{solved}) = 1 - P(\text{not solved}) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$.

(A) $6$ બાળકો હોવાની કુલ રીતો $2^6 = 64$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરીએ છીએ જેમાં બધા બાળકો છોકરાઓ હોય.
ઓછામાં ઓછું એક બાળક છોકરી હોય તેવા સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $64 - 1 = 63$ છે.
$3$ છોકરાઓ અને $3$ છોકરીઓ હોવાની રીતો $\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!3!} = 20$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{20}{63}$ છે.

(D) $30$ માંથી બે ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{30}C_{2} = \frac{30 \times 29}{2} = 435$ છે.
$a^2 - b^2$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોય તે માટે,$(a-b)(a+b)$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
આ ત્યારે થાય છે જો $a \equiv b \pmod{3}$ અથવા $a \equiv -b \pmod{3}$ હોય.
$3$ વડે ભાગતા મળતી શેષ મુજબના ગણ:
$D_{1} = \{1, 4, 7, \dots, 28\}$ (કદ $10$,શેષ $1$)
$D_{2} = \{2, 5, 8, \dots, 29\}$ (કદ $10$,શેષ $2$)
$D_{3} = \{3, 6, 9, \dots, 30\}$ (કદ $10$,શેષ $0$)
સાનુકૂળ કિસ્સાઓ:
$1$. બંને $a, b$ એક જ ગણમાંથી હોય: $^{10}C_{2} + ^{10}C_{2} + ^{10}C_{2} = 45 + 45 + 45 = 135$.
$2$. એક $D_{1}$ માંથી અને એક $D_{2}$ માંથી હોય: $^{10}C_{1} \times ^{10}C_{1} = 100$.
કુલ સાનુકૂળ કિસ્સાઓ $= 135 + 100 = 235$.
સંભાવના $P = \frac{235}{435} = \frac{47}{87}$.

(D) ધારો કે $P(i)$ એ પાસા પર સંખ્યા $i$ મેળવવાની સંભાવના છે.
આપેલ છે કે $P(i) \propto \frac{1}{i}$,તેથી $P(i) = \frac{K}{i}$ જ્યાં $i = 1, 2, 3, 4, 5, 6$ અને $K$ એ અચળાંક છે.
બધી સંભાવનાઓનો સરવાળો $1$ હોવો જોઈએ,તેથી $\sum_{i=1}^{6} P(i) = 1$.
$K \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6} \right) = 1$.
સરવાળા માટે સામાન્ય છેદ શોધતા: $\frac{60+30+20+15+12+10}{60} = \frac{147}{60}$.
તેથી,$K \left( \frac{147}{60} \right) = 1 \Rightarrow K = \frac{60}{147} = \frac{20}{49}$.
$3$ મેળવવાની સંભાવના $P(3) = \frac{K}{3} = \frac{20}{49 \times 3} = \frac{20}{147}$ છે.