Set Based probability Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ માંથી ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = 0.6$ છે.
વળી,$A$ અને $B$ એકસાથે બને તેની સંભાવના $P(A \cap B) = 0.3$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = 1 - P(A' \cap B')$,તેથી $P(A' \cap B') = 1 - 0.6 = 0.4$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)')$.
આપણે $P(A') + P(B')$ શોધવાનું છે.
સૂત્ર $P(A' \cup B') = P(A') + P(B') - P(A' \cap B')$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P(A' \cup B') = P((A \cap B)') = 1 - P(A \cap B) = 1 - 0.3 = 0.7$.
કિંમતો મૂકતા:
$0.7 = P(A') + P(B') - 0.4$.
તેથી,$P(A') + P(B') = 0.7 + 0.4 = 1.1$.

(C) ગણના વિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,આપણી પાસે $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ છે.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય $P(X \cup Y) = P(X) + P(Y) - P(X \cap Y)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $X = (A \cap B)$ અને $Y = (A \cap C)$:
$P(A \cap (B \cup C)) = P((A \cap B) \cup (A \cap C))$
$= P(A \cap B) + P(A \cap C) - P((A \cap B) \cap (A \cap C))$
$= P(A \cap B) + P(A \cap C) - P(A \cap B \cap C)$.

(C) ત્રણ ઘટનાઓ $E_1, E_2, E_3$ માટે:
$1.$ $P(\text{માત્ર એક જ ઘટના બને}) = P(E_1\bar{E}_2\bar{E}_3 + \bar{E}_1E_2\bar{E}_3 + \bar{E}_1\bar{E}_2E_3)$. વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે.
$2.$ $P(\text{એક પણ ઘટના ન બને}) = P(\bar{E}_1 \cap \bar{E}_2 \cap \bar{E}_3) \neq P(\bar{E}_1 + \bar{E}_2 + \bar{E}_3)$. વિકલ્પ $(B)$ ખોટો છે.
$3.$ $P(\text{ઓછામાં ઓછી એક ઘટના બને}) = P(E_1 \cup E_2 \cup E_3)$. આ ઘટનાઓના યોગગણની વ્યાખ્યા છે. વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
$4.$ $P(\text{ત્રણેય ઘટનાઓ બને}) = P(E_1 \cap E_2 \cap E_3) \neq P(E_1 + E_2 + E_3)$. વિકલ્પ $(D)$ ખોટો છે.
તેથી,સાચું વિધાન $(C)$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટના $\bar{A} \cap B$ એ ઘટના $B$ બને છે પણ ઘટના $A$ બનતી નથી તે દર્શાવે છે.
આને $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ તરીકે લખી શકાય.
આપેલ છે કે $P(B) = y$ અને $P(A \cap B) = z$,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા.
તેથી,$P(\bar{A} \cap B) = y - z$.

(A) ધારો કે $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{4}$,અને $P(C) = \frac{1}{6}$ એ ત્રણ વિદ્યાર્થીઓ દ્વારા પ્રશ્ન ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
પ્રશ્ન ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી તેને ઉકેલે. પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $P(A \cup B \cup C) = 1 - P(\text{કોઈ પણ ઉકેલી ન શકે})$ છે.
વિદ્યાર્થી $A$ પ્રશ્ન ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
વિદ્યાર્થી $B$ પ્રશ્ન ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(\bar{B}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ છે.
વિદ્યાર્થી $C$ પ્રશ્ન ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(\bar{C}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ પ્રશ્ન ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) \times P(\bar{C}) = \frac{1}{2} \times \frac{3}{4} \times \frac{5}{6} = \frac{15}{48}$ છે.
તેથી,પ્રશ્ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - \frac{15}{48} = \frac{48 - 15}{48} = \frac{33}{48}$ છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે ઘટના $B$ ને બે પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓના યોગ તરીકે દર્શાવી શકાય છે: $B = (B \cap A) \cup (B \cap \bar{A})$.
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(B) = P(B \cap A) + P(B \cap \bar{A})$ થાય.
$P(\bar{A} \cap B)$ માટે પદોની ગોઠવણી કરતા,આપણને $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = 3/5$ અને $P(A \cap B) = 1/5$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A) + P(B) = P(A \cup B) + P(A \cap B) = 3/5 + 1/5 = 4/5$.
આપણે $P(A') + P(B')$ શોધવાનું છે.
કારણ કે $P(A') = 1 - P(A)$ અને $P(B') = 1 - P(B)$,
$P(A') + P(B') = (1 - P(A)) + (1 - P(B)) = 2 - (P(A) + P(B))$.
$P(A) + P(B)$ ની કિંમત મૂકતા,
$P(A') + P(B') = 2 - 4/5 = 6/5$.

(A) આપેલ છે: $P(A \cup B) = 3/4,$ $P(A \cap B) = 1/4,$ અને $P(\bar{A}) = 2/3.$
પ્રથમ,$P(A)$ શોધો:
$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - 2/3 = 1/3.$
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).$
$3/4 = 1/3 + P(B) - 1/4.$
$P(B) = 3/4 + 1/4 - 1/3 = 1 - 1/3 = 2/3.$
હવે,$P(\bar{A} \cap B)$ ની ગણતરી કરો:
$P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B).$
$P(\bar{A} \cap B) = 2/3 - 1/4 = (8 - 3)/12 = 5/12.$

(A) આપેલ છે કે $P(A) = P(B) = x$ અને $P(A \cap B) = \frac{1}{3}$.
વળી,$P(A' \cap B') = \frac{1}{3}$.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B) = \frac{1}{3}$.
તેથી,$P(A \cup B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{2}{3} = x + x - \frac{1}{3}$.
$\frac{2}{3} + \frac{1}{3} = 2x$.
$1 = 2x \Rightarrow x = \frac{1}{2}$.

(A) આપેલ છે કે $P(\overline{A \cup B}) = \frac{1}{6}$ અને $P(A \cap B) = \frac{1}{4}$.
$P(\bar{A}) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,$P(A) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$ મળે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{6} = 1 - [\frac{3}{4} + P(B) - \frac{1}{4}] = 1 - [\frac{1}{2} + P(B)] = \frac{1}{2} - P(B)$.
તેથી,$P(B) = \frac{1}{2} - \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
હવે,સ્વતંત્રતા માટે ચકાસણી: $P(A) \times P(B) = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{4}$.
$P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે.
$P(A) = \frac{3}{4}$ અને $P(B) = \frac{1}{3}$ હોવાથી,$P(A) \neq P(B)$,તેથી તેઓ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી.
આમ,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર છે પરંતુ સમાન સંભાવના ધરાવતી નથી.

(D) દરેક ઘટક $x \in S$ માટે,$A$ અને $B$ માં તેની હાજરી માટે $4$ શક્યતાઓ છે:
$1$. $x \in A$ અને $x \notin B$
$2$. $x \notin A$ અને $x \in B$
$3$. $x \in A$ અને $x \in B$
$4$. $x \notin A$ અને $x \notin B$
$n$ ઘટકો હોવાથી,બે ઉપગણો $A$ અને $B$ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $4^n = (2^2)^n = (2^n)^2$ છે.
શરત $A \cup B = S$ અને $A \cap B = \phi$ માટે,દરેક ઘટક $x \in S$ માટે,કાં તો ($x \in A$ અને $x \notin B$) અથવા ($x \notin A$ અને $x \in B$) હોવું જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે દરેક $n$ ઘટકો માટે,બરાબર $2$ પસંદગીઓ છે.
આમ,સાનુકૂળ કિસ્સાઓની સંખ્યા $2^n$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{2^n}{(2^n)^2} = \frac{2^n}{2^{2n}} = \frac{1}{2^n}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A') = 0.3$,તેથી $P(A) = 1 - 0.3 = 0.7$.
આપેલ છે કે $P(B) = 0.4$,તેથી $P(B') = 1 - 0.4 = 0.6$.
આપેલ છે કે $P(A \cap B') = 0.5$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B') = P(A) + P(B') - P(A \cap B')$.
કિંમતો મૂકતા,$P(A \cup B') = 0.7 + 0.6 - 0.5 = 0.8$.

(A) જ્યારે સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
બરાબર બે છાપ ધરાવતા પરિણામો $\{HHT, HTH, THH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે.
તેથી,બરાબર બે છાપ મળવાની સંભાવના $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{3}{8}$ છે.

(C) જ્યારે એક સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
'ઓછામાં ઓછી બે છાપ' નો અર્થ છે કે $2$ છાપ અથવા $3$ છાપ મળે.
સાનુકૂળ પરિણામો $\{HHH, HHT, HTH, THH\}$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{4}{8} = \frac{1}{2}$ છે.

(A) કારણ કે $\frac{1 + 3p}{3}, \frac{1 - p}{4}$ અને $\frac{1 - 2p}{2}$ એ ત્રણ ઘટનાઓની સંભાવનાઓ છે,દરેક સંભાવના $[0, 1]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$1$) $0 \le \frac{1 + 3p}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 + 3p \le 3 \Rightarrow -1 \le 3p \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le p \le \frac{2}{3}$
$2$) $0 \le \frac{1 - p}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - p \le 4 \Rightarrow -1 \le -p \le 3 \Rightarrow -3 \le p \le 1$
$3$) $0 \le \frac{1 - 2p}{2} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1 - 2p \le 2 \Rightarrow -1 \le -2p \le 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \le p \le \frac{1}{2}$
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,સંભાવનાઓનો સરવાળો $\le 1$ હોવો જોઈએ:
$\frac{1 + 3p}{3} + \frac{1 - p}{4} + \frac{1 - 2p}{2} \le 1$
$12$ વડે ગુણતા: $4(1 + 3p) + 3(1 - p) + 6(1 - 2p) \le 12$
$4 + 12p + 3 - 3p + 6 - 12p \le 12$
$13 - 3p \le 12 \Rightarrow -3p \le -1 \Rightarrow p \ge \frac{1}{3}$
બધી શરતોનો છેદ લેતા:
$p \in [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] \cap [\frac{1}{3}, \infty)$
છેદ $\frac{1}{3} \le p \le \frac{1}{2}$ મળે છે.

(A) $n$ ઘટકો ધરાવતા ગણ $X$ ના કુલ ઉપગણોની સંખ્યા $2^n$ છે.
બે ઉપગણો $A$ અને $B$ પસંદ કરવામાં આવે છે,તેથી $(A, B)$ ની જોડ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $2^n \times 2^n = 2^{2n}$ છે.
$A$ અને $B$ માં સમાન સંખ્યામાં ઘટકો હોય તે માટે,ધારો કે આ સંખ્યા $r$ છે,જ્યાં $0 \le r \le n$.
$r$ ઘટકો ધરાવતો ઉપગણ પસંદ કરવાની રીતો $^nC_r$ છે.
તેથી,$A$ અને $B$ એવી રીતે પસંદ કરવાની રીતો કે જેથી $|A| = |B| = r$ થાય,તે $(^nC_r)^2$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $\sum_{r=0}^{n} (^nC_r)^2$ છે.
નિત્યસમ $\sum_{r=0}^{n} (^nC_r)^2 = ^{2n}C_n$ નો ઉપયોગ કરતા,સાનુકૂળ રીતોની કુલ સંખ્યા $^{2n}C_n$ મળે છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{^{2n}C_n}{2^{2n}}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A) = 0.5$ અને $P(B) = 0.3$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cap B) = 0$.
$A$ કે $B$ બંનેમાંથી એક પણ ન બનવાની સંભાવના $P(\overline{A} \cap \overline{B})$ છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$P(\overline{A} \cap \overline{B}) = P(\overline{A \cup B}) = 1 - P(A \cup B)$.
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $1 - 0.8 = 0.2$ છે.

(A) ધારો કે $X_1, X_2, X_3, X_4$ એ ચાર પાસાના પરિણામો છે.
આપણે એવી સંભાવના શોધીએ છીએ કે દરેક $i = 1, 2, 3, 4$ માટે $2 \le X_i \le 5$ હોય.
દરેક પાસા માટે,શક્ય પરિણામો $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે,તેથી કુલ $6$ પરિણામો છે.
દરેક પાસા માટે સાનુકૂળ પરિણામો $\{2, 3, 4, 5\}$ છે,જે $4$ સાનુકૂળ પરિણામો આપે છે.
એક પાસા પર $2$ અને $5$ ની વચ્ચેની સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ છે.
ચાર પાસા સ્વતંત્ર હોવાથી,ચારેય પાસા પર $2$ અને $5$ ની વચ્ચેની સંખ્યા મળવાની સંભાવના $p^4 = (\frac{2}{3})^4 = \frac{16}{81}$ થાય.

(A) $4$ પ્રયત્નોમાં એક પણ કાંટો ન આવે તેની સંભાવના:
$P(\text{no tail}) = (1/2) \times (1/2) \times (1/2) \times (1/2) = 1/16$.
ઓછામાં ઓછો એક કાંટો આવે તેની સંભાવના:
$P(\text{at least one tail}) = 1 - 1/16 = 15/16$.

(C) ધારો કે બે પૂર્ણાંક $x$ અને $y$ છે. $(x, y)$ માટે શક્ય જોડીઓ (બેકી,બેકી),(બેકી,એકી),(એકી,બેકી),અને (એકી,એકી) છે.
દરેક જોડીની સંભાવના $1/4$ છે.
$1$. (બેકી,બેકી): ગુણાકાર બેકી મળે.
$2$. (બેકી,એકી): ગુણાકાર બેકી મળે.
$3$. (એકી,બેકી): ગુણાકાર બેકી મળે.
$4$. (એકી,એકી): ગુણાકાર એકી મળે.
આમ,$4$ માંથી $3$ કિસ્સામાં ગુણાકાર બેકી મળે છે.
તેથી,સંભાવના $3/4$ છે.

(A) ધારો કે $P(A) = 4/5$,$P(B) = 3/4$,અને $P(C) = 2/3$. નિશાન ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ $P(\overline{A}) = 1/5$,$P(\overline{B}) = 1/4$,અને $P(\overline{C}) = 1/3$ છે.
ચોક્કસ બે વ્યક્તિ નિશાન સાધે તે ઘટના ત્રણ અલગ કિસ્સાઓમાં બને છે: $(A \cap B \cap \overline{C})$,$(A \cap \overline{B} \cap C)$,અને $(\overline{A} \cap B \cap C)$.
$A, B$ અને $C$ નિરપેક્ષ ઘટનાઓ હોવાથી:
$P(A \cap B \cap \overline{C}) = (4/5) \times (3/4) \times (1/3) = 12/60$.
$P(A \cap \overline{B} \cap C) = (4/5) \times (1/4) \times (2/3) = 8/60$.
$P(\overline{A} \cap B \cap C) = (1/5) \times (3/4) \times (2/3) = 6/60$.
કુલ સંભાવના = $12/60 + 8/60 + 6/60 = 26/60 = 13/30$.

(C) ત્રણ સમચતુષ્ફલક ફેંકતા મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n = 4 \times 4 \times 4 = 64$ છે.
ધારો કે $A$ એ અંકોનો સરવાળો $5$ થાય તે ઘટના છે.
શક્ય પરિણામો $(2, 2, 1), (2, 1, 2), (1, 2, 2), (1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $r = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{6}{64} = \frac{3}{32}$ થાય.

(B) જ્યારે ત્રણ પાસા ફેંકવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
ત્રણેય પાસા પર સમાન સંખ્યા મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો: $(1, 1, 1), (2, 2, 2), (3, 3, 3), (4, 4, 4), (5, 5, 5), (6, 6, 6)$ છે.
આમ,કુલ $6$ સાનુકૂળ પરિણામો મળે છે.
તેથી,માંગેલ સંભાવના $P = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$ થાય.

(A) $P(A') = \frac{2}{3}$ આપેલ છે,તેથી $P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
સંભાવનાના સરવાળાના પ્રમેય મુજબ,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B)$ માટે ઉકેલતા: $P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
તેથી,$P(A' \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(B) બિન-લીપ વર્ષમાં $365$ દિવસ હોય છે.
$365$ દિવસ $= 52$ અઠવાડિયા અને $1$ દિવસ.
$52$ અઠવાડિયામાં $52$ રવિવાર હોય છે.
બાકી રહેલો $1$ દિવસ અઠવાડિયાના $7$ દિવસોમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે (સોમવાર,મંગળવાર,બુધવાર,ગુરુવાર,શુક્રવાર,શનિવાર,રવિવાર).
વર્ષમાં $53$ રવિવાર હોય તે માટે બાકી રહેલો $1$ દિવસ રવિવાર હોવો જોઈએ.
તેથી,સંભાવના $= 1/7$.

(B) માત્ર એક જ ઘટના $A$ અથવા $B$ બને તેની સંભાવના એટલે કે $A$ બને અને $B$ ન બને અથવા $B$ બને અને $A$ ન બને.
આને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય: $P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B)$
ગુણધર્મ $P(A \cap \bar{B}) = P(A) - P(A \cap B)$ અને $P(\bar{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા,
આપણને મળે: $P(A) - P(A \cap B) + P(B) - P(A \cap B)$
$= P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)$

(B) સિક્કો અને પાસો ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 12$.
ધારો કે $E$ એ સિક્કા પર છાપ $(H)$ અને પાસા પર $6$ મળે તેવી ઘટના છે.
$E = \{H6\}$
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(E) = 1$.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{1}{12}$.

(C) જ્યારે બે પાસા ઉછાળવામાં આવે ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
અંકોનો સરવાળો $5$ થાય તેવા સાનુકૂળ પરિણામો: $\{(1, 4), (4, 1), (2, 3), (3, 2)\}$.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $r = 4$ છે.
સંભાવના $P(A)$ નીચે મુજબ મળે:
$P(A) = \frac{r}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

(B) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
સરવાળો $7$ મળે તેવા પરિણામો: $(1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$ છે.
આવા કુલ $6$ સાનુકૂળ પરિણામો છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામો}}{\text{કુલ પરિણામો}} = \frac{6}{36}$.

(C) એક સમતોલ પાસાને ઉછાળતાં મળતા કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n = 6$ છે,જ્યાં નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
$1$ અથવા $6$ મળે તેવા સાનુકૂળ પરિણામો $\{1, 6\}$ છે,તેથી સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $r = 2$ છે.
સંભાવના $P$ શોધવાનું સૂત્ર $P = \frac{r}{n}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

(C) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામો $6 \times 6 = 36$ છે.
પ્રથમ ફેંક માટે,સરવાળો $10$ હોય તેવા પરિણામો $(4, 6), (5, 5), (6, 4)$ છે. તેથી,સાનુકૂળ પરિણામો $3$ છે. સંભાવના $P(10) = 3/36 = 1/12$.
બીજી ફેંક માટે,સરવાળો $11$ હોય તેવા પરિણામો $(5, 6), (6, 5)$ છે. તેથી,સાનુકૂળ પરિણામો $2$ છે. સંભાવના $P(11) = 2/36 = 1/18$.
ત્રીજી ફેંક માટે,સરવાળો $12$ હોય તેવું પરિણામ $(6, 6)$ છે. તેથી,સાનુકૂળ પરિણામ $1$ છે. સંભાવના $P(12) = 1/36$.
ત્રણેય ફેંક સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ સંભાવના $P(10) \times P(11) \times P(12) = (1/12) \times (1/18) \times (1/36) = 1/7776$ થાય.

(A) જ્યારે એક પાસાને $2$ વખત ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કુલ પરિણામોની સંખ્યા $6^2 = 36$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ મેળવવાની ઘટના છે.
પૂરક ઘટના $E'$ ની સંભાવના ગણવી સરળ છે,જે બંને ફેંકમાં $4$ ન મળવાની ઘટના છે.
એક ફેંકમાં $4$ ન મળવાની સંભાવના $\frac{5}{6}$ છે.
બંને ફેંક સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને ફેંકમાં $4$ ન મળવાની સંભાવના $P(E') = \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{36}$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક વાર $4$ મળવાની સંભાવના $P(E) = 1 - P(E') = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$ છે.

(B) થેલામાં કુલ દડાની સંખ્યા $= 6 + 5 + 4 = 15$ છે.
ધારો કે $A$ એ સફેદ દડો મળવાની ઘટના છે અને $B$ એ કાળો દડો મળવાની ઘટના છે.
સફેદ દડાની સંખ્યા $6$ છે,તેથી $P(A) = \frac{6}{15}$.
કાળા દડાની સંખ્યા $5$ છે,તેથી $P(B) = \frac{5}{15}$.
ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સફેદ અથવા કાળો દડો મળવાની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ થશે.
$P(A \cup B) = \frac{6}{15} + \frac{5}{15} = \frac{11}{15}$.

(C) શરૂઆતમાં,પાત્રમાં $2$ કાળા દડા છે.
$1$ સફેદ દડો ઉમેર્યા પછી,પાત્રમાં દડાની કુલ સંખ્યા $2 + 1 = 3$ થાય છે.
હવે પાત્રમાં $2$ કાળા દડા અને $1$ સફેદ દડો છે.
સફેદ દડો પસંદ કરવાની સંભાવના $P$ એ સફેદ દડાની સંખ્યા અને કુલ દડાની સંખ્યાનો ગુણોત્તર છે.
$P(\text{white}) = \frac{\text{સફેદ દડાની સંખ્યા}}{\text{કુલ દડાની સંખ્યા}} = \frac{1}{3}$.

(A) આપેલ છે: $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$ અને $P(\overline{A}) = \frac{2}{3}$.
$P(A) = 1 - P(\overline{A})$ હોવાથી,$P(A) = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$ મળે.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{4} = \frac{1}{3} + P(B) - \frac{1}{4}$.
$P(B) = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} - \frac{1}{3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
આપણે $P(\overline{A} \cap B)$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
$P(\overline{A} \cap B) = \frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{8 - 3}{12} = \frac{5}{12}$.

(B) કુલ પત્તાની સંખ્યા $= 52$.
રાજાની સંખ્યા $= 4$.
રાણીની સંખ્યા $= 4$.
ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા (રાજા અથવા રાણી) $= 4 + 4 = 8$.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $= \frac{8}{52} = \frac{2}{13}$.

(C) ધારો કે $P(A) = 1/2, P(B) = 1/3$ અને $P(C) = 1/4$ એ વિદ્યાર્થીઓ $A, B$ અને $C$ દ્વારા દાખલો ઉકેલવાની સંભાવનાઓ છે.
દાખલો ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછો એક વિદ્યાર્થી તેને ઉકેલે.
કોઈપણ વિદ્યાર્થી દ્વારા દાખલો ન ઉકેલાય તેની સંભાવના:
$P(\text{not solved}) = P(A') \times P(B') \times P(C')$
$P(\text{not solved}) = (1 - 1/2) \times (1 - 1/3) \times (1 - 1/4)$
$P(\text{not solved}) = (1/2) \times (2/3) \times (3/4) = 1/4$
દાખલો ઉકેલાય તેની સંભાવના:
$P(\text{solved}) = 1 - P(\text{not solved})$
$P(\text{solved}) = 1 - 1/4 = 3/4$

(B) ધારો કે $A$ એ પ્રથમ ફેંકમાં $4, 5$ અથવા $6$ મેળવવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $3$ છે. એક પાસા માટે કુલ પરિણામો $6$ છે. તેથી,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $B$ એ બીજી ફેંકમાં $1, 2, 3$ અથવા $4$ મેળવવાની ઘટના છે. સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $4$ છે. એક પાસા માટે કુલ પરિણામો $6$ છે. તેથી,$P(B) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
બે ફેંક સ્વતંત્ર ઘટનાઓ હોવાથી,બંને ઘટનાઓ સાથે બનવાની સંભાવના $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થાય.
$P(A \cap B) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.

(C) લિપ વર્ષમાં $366$ દિવસો હોય છે,જે $52$ અઠવાડિયા અને $2$ વધારાના દિવસો છે. આ $2$ વધારાના દિવસો માટે $7$ શક્યતાઓ છે:
$(i)$ (રવિવાર,સોમવાર),$(ii)$ (સોમવાર,મંગળવાર),$(iii)$ (મંગળવાર,બુધવાર),$(iv)$ (બુધવાર,ગુરુવાર),$(v)$ (ગુરુવાર,શુક્રવાર),$(vi)$ (શુક્રવાર,શનિવાર),$(vii)$ (શનિવાર,રવિવાર).
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે લિપ વર્ષમાં $53$ રવિવાર છે,અને $B$ એ ઘટના છે કે તેમાં $53$ સોમવાર છે.
તેથી $P(A) = 2/7$,$P(B) = 2/7$,અને $P(A \cap B) = 1/7$ (કારણ કે રવિવાર અને સોમવાર બંને હોય તેવી એક જ શક્યતા છે).
માગેલ સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ છે.
$P(A \cup B) = 2/7 + 2/7 - 1/7 = 3/7$.

(C) $A, B$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ હોવાથી,$P(A \cup B \cup C) = P(A) + P(B) + P(C)$.
વળી,$P(A \cup B \cup C) \leq 1$ હોવું જોઈએ.
તેથી,$0 \leq \frac{3x + 1}{3} + \frac{1 - x}{4} + \frac{1 - 2x}{2} \leq 1$.
$12$ વડે ગુણતા,$0 \leq 4(3x + 1) + 3(1 - x) + 6(1 - 2x) \leq 12$.
$0 \leq 12x + 4 + 3 - 3x + 6 - 12x \leq 12$.
$0 \leq 13 - 3x \leq 12$.
$13$ બાદ કરતા,$-13 \leq -3x \leq -1$.
$-3$ વડે ભાગતા (અસમતા ઉલટાવતા),$\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{13}{3}$.
વળી,કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,$0 \leq P(E) \leq 1$:
$1$) $0 \leq \frac{3x + 1}{3} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 3x + 1 \leq 3 \Rightarrow -1 \leq 3x \leq 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \leq x \leq \frac{2}{3}$.
$2$) $0 \leq \frac{1 - x}{4} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 1 - x \leq 4 \Rightarrow -1 \leq -x \leq 3 \Rightarrow -3 \leq x \leq 1$.
$3$) $0 \leq \frac{1 - 2x}{2} \leq 1 \Rightarrow 0 \leq 1 - 2x \leq 2 \Rightarrow -1 \leq -2x \leq 1 \Rightarrow -\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}$.
બધી શરતોનો છેદ લેતા: $x \in [\frac{1}{3}, \frac{13}{3}] \cap [-\frac{1}{3}, \frac{2}{3}] \cap [-3, 1] \cap [-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] = [\frac{1}{3}, \frac{1}{2}]$.

(B) ધારો કે $A, B$ અને $C$ એ અનુક્રમે પહેલા,બીજા અને ત્રીજા પ્રહારમાં વિમાનને તોડી પાડવાની ઘટનાઓ છે.
આપેલ સંભાવનાઓ $P(A) = 0.6, P(B) = 0.7, P(C) = 0.1$ છે.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,ત્રણેય પ્રહારમાં વિમાન ન તોડી પાડવાની સંભાવના $P(\overline{A}) \times P(\overline{B}) \times P(\overline{C})$ થાય.
$P(\overline{A}) = 1 - 0.6 = 0.4$
$P(\overline{B}) = 1 - 0.7 = 0.3$
$P(\overline{C}) = 1 - 0.1 = 0.9$
વિમાન ન તોડી પાડવાની સંભાવના = $0.4 \times 0.3 \times 0.9 = 0.108$.
તેથી,વિમાનને તોડી પાડવાની સંભાવના $1 - 0.108 = 0.892$ થાય.

(D) કુલ વસ્તુઓની સંખ્યા = $10 + 6 = 16$.
ધારો કે $E$ એ સારી અથવા ખામીવાળી વસ્તુ પસંદ કરવાની ઘટના છે.
બોક્સમાંની દરેક વસ્તુ કાં તો સારી છે અથવા ખામીવાળી,તેથી ઘટના $E$ એ ચોક્કસ ઘટના છે.
તેથી,સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{16}{16} = 1$.

(A) ધારો કે $A, B$ અને $C$ દ્વારા કોયડો ઉકેલવાની સંભાવના $P(A), P(B)$ અને $P(C)$ છે.
$P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/4$.
કોયડો કોઈના દ્વારા ઉકેલાતો નથી તેની સંભાવના એ છે કે ત્રણેય વિદ્યાર્થીઓ કોયડો ઉકેલવામાં નિષ્ફળ જાય.
$P(\text{not } A) = 1 - 1/2 = 1/2$.
$P(\text{not } B) = 1 - 1/3 = 2/3$.
$P(\text{not } C) = 1 - 1/4 = 3/4$.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કોઈ પણ કોયડો ઉકેલી શકતું નથી તેની સંભાવના:
$P(\text{none}) = P(\text{not } A) \times P(\text{not } B) \times P(\text{not } C) = (1/2) \times (2/3) \times (3/4) = 1/4$.
કોયડો ઉકેલાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{none})$ છે.
$P(\text{solved}) = 1 - 1/4 = 3/4$.

(A) કુલ પેન્સિલોની સંખ્યા = $12 + 6 + 2 = 20$.
ખામી વગરની (સારી) પેન્સિલોની સંખ્યા = $12$.
ખામી વગરની પેન્સિલ પસંદ કરવાની સંભાવના:
$P(E) = \frac{\text{સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{12}{20}$.
અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપતા:
$P(E) = \frac{3}{5}$.

(B) ધારો કે પતિની પસંદગી થવાની ઘટના $H$ અને પત્નીની પસંદગી થવાની ઘટના $W$ છે.
આપેલ છે કે $P(H) = 1/7$ અને $P(W) = 1/5$.
પતિની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(H') = 1 - 1/7 = 6/7$.
પત્નીની પસંદગી ન થાય તેની સંભાવના $P(W') = 1 - 1/5 = 4/5$.
બંને પૈકી માત્ર એકની પસંદગી થવાની સંભાવના $P(H \cap W') + P(H' \cap W)$ છે.
ઘટનાઓ નિરપેક્ષ હોવાથી,આ $P(H) \times P(W') + P(H') \times P(W)$ થશે.
$= (1/7 \times 4/5) + (6/7 \times 1/5) = 4/35 + 6/35 = 10/35 = 2/7$.

(D) ત્રણ સિક્કાને એકસાથે ઉછાળતા,કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^3 = 8$ છે. નિદર્શાવકાશ $S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$ છે.
'ઓછામાં ઓછી એક છાપ' મેળવવાની ઘટનામાં $TTT$ સિવાયના તમામ પરિણામોનો સમાવેશ થાય છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $8 - 1 = 7$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક છાપ મળવાની સંભાવના $P$:
$P = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{7}{8}$.

(C) બે પાસાને ઉછાળતા મળતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $= 6 \times 6 = 36$ છે.
પ્રથમ પાસા પર $1$ મળે તેવા પરિણામો: $(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $6$ છે.
તેથી,સંભાવના $= \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$ થાય.

(B) $50$ ઓવરની મેચમાં તમામ અયુગ્મ ક્રમાંકની ઓવરોનો ગણ $U = \{1, 3, 5, 7, \dots, 49\}$ છે.
અહીં કુલ $25$ અયુગ્મ સંખ્યાઓ છે,તેથી $n(U) = 25$.
આપણે એવી ઓવરો શોધવાની છે જે $9$ ના ગુણાંકમાં હોય અને અયુગ્મ હોય.
$9$ ના ગુણાંકો $9, 18, 27, 36, 45, \dots$ છે.
તેમાંથી અયુગ્મ ગુણાંકો $A = \{9, 27, 45\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 3$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(U)} = \frac{3}{25}$ થાય.

(A) ત્રણ પાસા ફેંકતા કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $n = 6 \times 6 \times 6 = 216$ છે.
સરવાળો $16$ મળે તે ઘટના $A$ ના પરિણામો:
$A = \{(6, 6, 4), (6, 4, 6), (4, 6, 6), (5, 5, 6), (5, 6, 5), (6, 5, 5)\}$.
સાધ્ય પરિણામોની સંખ્યા $r = 6$ છે.
તેથી,સંભાવના $P(A) = \frac{r}{n} = \frac{6}{216} = \frac{1}{36}$.