Set Based probability Questions in Gujarati

(A) આપેલ અસમતા $x + \frac{336}{x} \le 50$ છે.
$x$ એ $1$ થી $50$ વચ્ચેનો ધન પૂર્ણાંક હોવાથી,આપણે અસમતાની નિશાની બદલ્યા વગર $x$ વડે ગુણી શકીએ છીએ:
$x^2 + 336 \le 50x$
$x^2 - 50x + 336 \le 0$
દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવ પાડતા,આપણને મળે છે:
$(x - 8)(x - 42) \le 0$
આ અસમતા $x \in [8, 42]$ માટે સાચી છે.
$x$ પૂર્ણાંક હોવાથી,$x$ ની શક્ય કિંમતો $\{8, 9, 10, \dots, 42\}$ છે.
આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $42 - 8 + 1 = 35$ છે.
$1$ થી $50$ સુધીના કુલ પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $50$ છે.
તેથી,સંભાવના $P = \frac{35}{50} = \frac{7}{10}$ થાય.

(A) ધારો કે $P(P), P(Q), P(R)$ એ $P, Q, R$ દ્વારા લક્ષ્ય વીંધવાની સંભાવનાઓ છે.
$P(P) = \frac{3}{4}, P(Q) = \frac{1}{2}, P(R) = \frac{5}{8}$.
લક્ષ્ય ચૂકી જવાની સંભાવનાઓ $P(P') = \frac{1}{4}, P(Q') = \frac{1}{2}$ અને $P(R') = \frac{3}{8}$ છે.
લક્ષ્ય $P$ અથવા $Q$ દ્વારા વીંધાય પરંતુ $R$ દ્વારા નહીં તેની ઘટના $(P \cap Q' \cap R') \cup (P' \cap Q \cap R') \cup (P \cap Q \cap R')$ છે.
જરૂરી સંભાવના $= P(P)P(Q')P(R') + P(P')P(Q)P(R') + P(P)P(Q)P(R')$.
$= (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8}) + (\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times \frac{3}{8})$.
$= \frac{9}{64} + \frac{3}{64} + \frac{9}{64} = \frac{21}{64}$.

(D) આપેલ છે કે $P(A \cup B) = P(A \cap B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ શરત મૂકતા,$P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$,જેનો અર્થ છે કે $P(A) + P(B) = 2P(A \cap B)$.
વધુમાં,$P(A \cap B') = P(A) - P(A \cap B)$ અને $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = P(A \cap B)$ હોવાથી,$A = B$ થાય,તેથી $P(A) = P(B) = P(A \cap B) = P(A \cup B)$.
આમ,$P(A \cap B') = 0$ અને $P(A' \cap B) = 0$ સત્ય છે.
તેથી,$P(A) + P(B) = 1$ એ હંમેશા સાચું નથી.

(B) ધારો કે $S = \{x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\}$.
$S$ ના અરિક્ત ઉપગણોની કુલ સંખ્યા $2^7 - 1 = 127$ છે.
ધારો કે પસંદ કરેલ ઘટક $x_i$ છે. આપણે એવા અરિક્ત ઉપગણો $A$ ની સંખ્યા શોધવી છે જેમાં $x_i \in A$ હોય.
કોઈપણ ઉપગણ $A$ માટે,$7$ ઘટકોમાંથી દરેકને સમાવી શકાય અથવા બાકાત રાખી શકાય,જે કુલ $2^7$ ઉપગણો આપે છે.
જો આપણે $x_i$ ને ઉપગણમાં નિશ્ચિત કરીએ,તો બાકીના $6$ ઘટકોને સમાવી શકાય અથવા બાકાત રાખી શકાય,જે $2^6 = 64$ આવા ઉપગણો આપે છે.
$64$ એ શૂન્ય નથી,તેથી આ તમામ $64$ ઉપગણો અરિક્ત છે.
આમ,$x \in A$ હોય તેની સંભાવના $\frac{64}{127}$ છે.

(A) અમને અસમતા $\frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)} \ge 0$ આપેલ છે.
પદાવલિ $f(x) = \frac{(x-10)(x-50)}{(x-30)}$ માટે વેવી કર્વ પદ્ધતિ (ચિહ્ન યોજના) નો ઉપયોગ કરતા,નિર્ણાયક બિંદુઓ $x = 10, 30, 50$ છે.
વિવિધ અંતરાલોમાં $f(x)$ નું ચિહ્ન નીચે મુજબ છે:
- $x < 10$ માટે: $f(x) < 0$
- $10 \le x < 30$ માટે: $f(x) \ge 0$
- $30 < x < 50$ માટે: $f(x) < 0$
- $x \ge 50$ માટે: $f(x) \ge 0$
કારણ કે $x \in \{1, 2, \dots, 100\}$,આપણે અંતરાલો $[10, 30)$ અને $[50, 100]$ માં પૂર્ણાંક $x$ શોધીએ છીએ.
અંતરાલ $[10, 30)$ માં,પૂર્ણાંકો $\{10, 11, \dots, 29\}$ છે. આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $29 - 10 + 1 = 20$ છે.
અંતરાલ $[50, 100]$ માં,પૂર્ણાંકો $\{50, 51, \dots, 100\}$ છે. આવા પૂર્ણાંકોની સંખ્યા $100 - 50 + 1 = 51$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામોની કુલ સંખ્યા $20 + 51 = 71$ છે.
શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $100$ છે.
તેથી,$P(A) = \frac{71}{100} = 0.71$.

(C) કોઈપણ ઘટના $E$ માટે,સંભાવના $P(E)$ એ $0 \le P(E) \le 1$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
ઘટના $A$ માટે: $0 \le \frac{3x+1}{3} \le 1 \Rightarrow 0 \le 3x+1 \le 3 \Rightarrow -1 \le 3x \le 2 \Rightarrow -\frac{1}{3} \le x \le \frac{2}{3}$.
ઘટના $B$ માટે: $0 \le \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow 0 \le 1-x \le 4 \Rightarrow -1 \le -x \le 3 \Rightarrow -3 \le x \le 1$.
$A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક હોવાથી,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \le 1$.
$\frac{3x+1}{3} + \frac{1-x}{4} \le 1 \Rightarrow \frac{4(3x+1) + 3(1-x)}{12} \le 1 \Rightarrow 12x + 4 + 3 - 3x \le 12 \Rightarrow 9x + 7 \le 12 \Rightarrow 9x \le 5 \Rightarrow x \le \frac{5}{9}$.
બધી શરતોને જોડતા: $x \ge -\frac{1}{3}$,$x \le \frac{2}{3}$,$x \ge -3$,$x \le 1$,અને $x \le \frac{5}{9}$.
આ અંતરાલોનો છેદગણ $[-\frac{1}{3}, \frac{5}{9}]$ છે.

(A) ધારો કે ચાર વ્યક્તિઓ દ્વારા લક્ષ્યને વીંધવાની સંભાવનાઓ $P(A) = \frac{1}{2}$,$P(B) = \frac{1}{3}$,$P(C) = \frac{1}{4}$,અને $P(D) = \frac{1}{8}$ છે.
લક્ષ્ય વીંધાય તેની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈ પણ લક્ષ્યને વીંધી શકતું નથી})$ છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,$P(\text{કોઈ નહીં}) = P(\overline{A}) \cdot P(\overline{B}) \cdot P(\overline{C}) \cdot P(\overline{D})$.
$P(\overline{A}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$,$P(\overline{B}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$,$P(\overline{C}) = 1 - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}$,અને $P(\overline{D}) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
$P(\text{કોઈ નહીં}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{32}$.
તેથી,લક્ષ્ય વીંધાય તેની સંભાવના $1 - \frac{7}{32} = \frac{25}{32}$ છે.

(D) ધારો કે $P(A)$ અને $P(B)$ એ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ની સંભાવનાઓ છે.
બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $P(A) + P(B) - 2P(A \cap B) = \frac{2}{5}$ છે.
$A$ અથવા $B$ બને તેની સંભાવના $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = \frac{1}{2}$ છે.
બીજા સમીકરણમાંથી પ્રથમ સમીકરણ બાદ કરતા:
$(P(A) + P(B) - P(A \cap B)) - (P(A) + P(B) - 2P(A \cap B)) = \frac{1}{2} - \frac{2}{5}$.
$P(A \cap B) = \frac{5 - 4}{10} = \frac{1}{10} = 0.10$.

(A) ત્રણ સિક્કા ઉછાળવા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S$ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$,તેથી $n(S) = 8$.
ઘટનાઓ છે:
$E = \{HHH, TTT\} \implies P(E) = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$F = \{HHH, HHT, HTH, THH\} \implies P(F) = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$G = \{HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\} \implies P(G) = \frac{7}{8}$
છેદગણ:
$E \cap F = \{HHH\} \implies P(E \cap F) = \frac{1}{8}$
$E \cap G = \{TTT\} \implies P(E \cap G) = \frac{1}{8}$
$F \cap G = \{HHT, HTH, THH\} \implies P(F \cap G) = \frac{3}{8}$
સ્વતંત્રતા ચકાસતા $(P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B))$:
$1$. $(E, F)$ માટે: $P(E) \cdot P(F) = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{8} = P(E \cap F)$. તેથી,$(E, F)$ સ્વતંત્ર છે.
$2$. $(E, G)$ માટે: $P(E) \cdot P(G) = \frac{1}{4} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{32} \neq P(E \cap G) = \frac{1}{8}$. તેથી,$(E, G)$ પરતંત્ર છે.
$3$. $(F, G)$ માટે: $P(F) \cdot P(G) = \frac{1}{2} \cdot \frac{7}{8} = \frac{7}{16} \neq P(F \cap G) = \frac{3}{8}$. તેથી,$(F, G)$ પરતંત્ર છે.

(N/A) એક સિક્કો અને એક પાસો ઉછાળતા મળતો નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), (T, 1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6)\}$
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $n(S) = 12$ છે.
ધારો કે $A$ એ 'સિક્કા પર છાપ મળે' તેવી ઘટના છે:
$A = \{(H, 1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6)\}$
$P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $B$ એ 'પાસા પર $3$ મળે' તેવી ઘટના છે:
$B = \{(H, 3), (T, 3)\}$
$P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.
ઘટના $A \cap B$ એ 'સિક્કા પર છાપ અને પાસા પર $3$ મળે' તેવી ઘટના છે:
$A \cap B = \{(H, 3)\}$
$P(A \cap B) = \frac{n(A \cap B)}{n(S)} = \frac{1}{12}$.
હવે,નિરપેક્ષતા માટે ચકાસો:
$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}$.
અહીં $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ હોવાથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ નિરપેક્ષ છે.

(N/A) જ્યારે પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ધારો કે $A$ એ સંખ્યા બેકી હોવાની ઘટના છે,તેથી $A = \{2, 4, 6\}$.
આમ,$P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $B$ એ સંખ્યા લાલ હોવાની ઘટના છે,તેથી $B = \{1, 2, 3\}$.
આમ,$P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.
છેદગણ $A \cap B$ એ એવી સંખ્યાઓનો ગણ છે જે બેકી અને લાલ બંને છે,તેથી $A \cap B = \{2\}$.
આમ,$P(A \cap B) = \frac{1}{6}$.
હવે,$P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$ ગણો.
કારણ કે $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$ અને $P(A) \times P(B) = \frac{1}{4}$,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $P(A \cap B) \neq P(A) \times P(B)$.
તેથી,ઘટનાઓ $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર નથી.

(A) આપણને આપેલ છે કે $P(A) = \frac{1}{4}$,$P(B) = \frac{1}{2}$ અને $P(A \cap B) = \frac{1}{8}$.
આપણે $P(A' \cap B')$ શોધવાનું છે,જ્યાં $A'$ અને $B'$ એ ઘટનાઓ $A$ અને $B$ ના પૂરક છે.
ડી મોર્ગનના નિયમ મુજબ,$A' \cap B' = (A \cup B)'$.
તેથી,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
સરવાળાના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
$P(A \cup B) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{2+4-1}{8} = \frac{5}{8}$.
આમ,$P(A' \cap B') = 1 - \frac{5}{8} = \frac{3}{8}$.

(C) પાસાના એક ફેંકમાં એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(\text{Odd}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
પાસાના એક ફેંકમાં બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(\text{Even}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ છે.
જ્યારે પાસાને ત્રણ વાર ફેંકવામાં આવે,ત્યારે ત્રણેય ફેંકમાં બેકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $P(\text{Even, Even, Even}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$ છે.
ઓછામાં ઓછી એક વાર એકી સંખ્યા મળવાની સંભાવના $1 - P(\text{કોઈપણ ફેંકમાં એકી સંખ્યા ન મળે})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $1 - P(\text{ત્રણેય ફેંકમાં બેકી સંખ્યા મળે})$ ની બરાબર છે.
તેથી,સંભાવના $1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$ છે.

(C) ધારો કે $A$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $B$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{3}$ છે.
સમસ્યા ત્યારે ઉકેલાય છે જો ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિ તેને ઉકેલે.
બંનેમાંથી કોઈ પણ સમસ્યા ન ઉકેલે તેની સંભાવના $P(A') \times P(B')$ છે.
$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
સમસ્યા ન ઉકેલાય તેની સંભાવના $= P(A') \times P(B') = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.
સમસ્યા ઉકેલાય તેની સંભાવના $= 1 - P(\text{ન ઉકેલાય}) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.

(B) ધારો કે $A$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(A) = \frac{1}{2}$ છે.
ધારો કે $B$ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(B) = \frac{1}{3}$ છે.
તેથી,$P(A') = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ અને $P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$.
તેમાંથી માત્ર એક જ સમસ્યા ઉકેલે તેની સંભાવના $P(A \cap B') + P(B \cap A')$ દ્વારા મળે છે.
ઘટનાઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,આ $P(A) \cdot P(B') + P(B) \cdot P(A')$ બરાબર છે.
$= (\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}) + (\frac{1}{3} \times \frac{1}{2})$
$= \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

(A) જ્યારે બે પાસા ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
ધારો કે $E$ એ દરેક પાસા પર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની ઘટના છે.
દરેક પાસા પર $2$ આવવું જોઈએ,તેથી સાનુકૂળ પરિણામ $(2, 2)$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $1$ છે.
સંભાવના $P(E) = \frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{1}{36}$.
આમ,સાચો જવાબ $A$ છે.

(A) બે સિક્કા અલગ-અલગ હોવાથી (એક રૂપિયાનો સિક્કો અને બે રૂપિયાનો સિક્કો),આપણે પરિણામોને ક્રમયુક્ત જોડી $(C_1, C_2)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ,જ્યાં $C_1$ એ એક રૂપિયાના સિક્કાનું પરિણામ છે અને $C_2$ એ બે રૂપિયાના સિક્કાનું પરિણામ છે.
દરેક સિક્કા પર છાપ $(H)$ અથવા કાંટો $(T)$ મળી શકે છે.
શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. બંને સિક્કા પર છાપ: $(H, H) = HH$
$2$. પ્રથમ સિક્કા પર છાપ અને બીજા પર કાંટો: $(H, T) = HT$
$3$. પ્રથમ સિક્કા પર કાંટો અને બીજા પર છાપ: $(T, H) = TH$
$4$. બંને સિક્કા પર કાંટો: $(T, T) = TT$
તેથી,નિદર્શાવકાશ $S = \{ HH, HT, TH, TT \}$ છે.

(A) ધારો કે સિક્કાઓને તેમની કિંમત દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $1, 2, 5$.
તે એક પછી એક બે સિક્કા બહાર કાઢે છે,તેથી ક્રમ મહત્વનો છે.
પ્રથમ સિક્કો ત્રણમાંથી કોઈ પણ હોઈ શકે છે: $1, 2, 5$.
જો પ્રથમ સિક્કો $1$ હોય,તો બીજો $2$ અથવા $5$ હોઈ શકે. પરિણામો: $(1, 2), (1, 5)$.
જો પ્રથમ સિક્કો $2$ હોય,તો બીજો $1$ અથવા $5$ હોઈ શકે. પરિણામો: $(2, 1), (2, 5)$.
જો પ્રથમ સિક્કો $5$ હોય,તો બીજો $1$ અથવા $2$ હોઈ શકે. પરિણામો: $(5, 1), (5, 2)$.
આમ,નિદર્શાવકાશ $S = \{ (1, 2), (1, 5), (2, 1), (2, 5), (5, 1), (5, 2) \}$ છે.

(N/A) નિરીક્ષણના વર્ષ દરમિયાન વ્યસ્ત હાઈવે પર થતી અકસ્માતોની સંખ્યા $0$ (કોઈ અકસ્માત નહીં),$1$,$2$ અથવા અન્ય કોઈ ધન પૂર્ણાંક હોઈ શકે છે. તેથી,આ પ્રયોગ સાથે સંકળાયેલ નિદર્શાવકાશ $S = \{0, 1, 2, 3, \ldots\}$ છે.

(N/A) ધારો કે વાદળી દડાઓને $B_1, B_2, B_3$ અને સફેદ દડાઓને $W_1, W_2, W_3, W_4$ વડે દર્શાવીએ.
પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય પરિણામોનો સમૂહ છે.
જો સિક્કા પર છાપ $(H)$ આવે,તો આપણે $7$ દડામાંથી એક દડો પસંદ કરીએ છીએ. પરિણામો ${HB_1, HB_2, HB_3, HW_1, HW_2, HW_3, HW_4}$ છે.
જો સિક્કા પર કાંટો $(T)$ આવે,તો આપણે પાસો ફેંકીએ છીએ. પરિણામો ${T1, T2, T3, T4, T5, T6}$ છે.
આમ,નિદર્શાવકાશ:
$S = \{HB_1, HB_2, HB_3, HW_1, HW_2, HW_3, HW_4, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$ છે.

(A) આ પ્રયોગમાં,સિક્કો ત્યાં સુધી ઉછાળવામાં આવે છે જ્યાં સુધી છાપ $(H)$ ન આવે.
જો પ્રથમ પ્રયત્નમાં છાપ આવે,તો પરિણામ $H$ છે.
જો બીજા પ્રયત્નમાં છાપ આવે,તો પરિણામ $TH$ છે.
જો ત્રીજા પ્રયત્નમાં છાપ આવે,તો પરિણામ $TTH$ છે.
જો ચોથા પ્રયત્નમાં છાપ આવે,તો પરિણામ $TTTH$ છે,અને આ રીતે આગળ વધે છે.
આમ,નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય પરિણામોનો ગણ છે:
$S = \{ H, TH, TTH, TTTH, TTTTH, \dots \}$

(A) સિક્કાને બે બાજુ હોય છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
જ્યારે સિક્કાને ત્રણ વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^{3} = 8$ થાય.
તેથી,નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય પરિણામોનો ગણ છે:
$S = \{ HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT \}$

જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $1, 2, 3, 4, 5,$ અથવા $6$ છે.
જ્યારે એક પાસાને બે વાર ફેંકવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ ક્રમયુક્ત જોડીઓ $(x, y)$ નો ગણ છે જ્યાં $x$ અને $y$ અનુક્રમે પ્રથમ અને બીજા ફેંકના પરિણામો દર્શાવે છે,જેથી $x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
આ નિદર્શાવકાશમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$

જ્યારે એક સિક્કાને એક વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે બે શક્ય પરિણામો મળે છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
જ્યારે એક સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે કુલ શક્ય પરિણામોની સંખ્યા $2^{4} = 16$ થાય.
આમ,જ્યારે એક સિક્કાને ચાર વાર ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{ HHHH, HHHT, HHTH, HHTT, HTHH, HTHT, HTTH, HTTT, THHH, THHT, THTH, THTT, TTHH, TTHT, TTTH, TTTT \}$

(A) સિક્કાને બે બાજુઓ હોય છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
પાસાને છ બાજુઓ હોય છે જેના પર $1$ થી $6$ અંક લખેલા હોય છે.
તેથી,જ્યારે એક સિક્કો ઉછાળવામાં આવે અને એક પાસો ફેંકવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શ અવકાશ નીચે મુજબ મળે:
$S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$

(N/A) સિક્કાને બે બાજુઓ હોય છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
પાસાને $1$ થી $6$ સુધીના અંકિત કરેલા છ ફલક હોય છે.
પ્રયોગ મુજબ,જો કાંટો $(T)$ મળે,તો પાસો ફેંકવામાં આવતો નથી. જો છાપ $(H)$ મળે,તો પાસો ફેંકવામાં આવે છે.
તેથી,નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય પરિણામોનો ગણ છે:
$S = \{H1, H2, H3, H4, H5, H6, T\}$

(N/A) ધારો કે રૂમ $X$ માં રહેલા $2$ છોકરાઓ અને $2$ છોકરીઓને $B_{1}, B_{2}$ અને $G_{1}, G_{2}$ તરીકે દર્શાવીએ.
ધારો કે રૂમ $Y$ માં રહેલા $1$ છોકરા અને $3$ છોકરીઓને $B_{3}$ અને $G_{3}, G_{4}, G_{5}$ તરીકે દર્શાવીએ.
જ્યારે પહેલા રૂમ પસંદ કરવામાં આવે અને પછી વ્યક્તિ,ત્યારે શક્ય પરિણામો રૂમ અને તે રૂમમાં રહેલી વ્યક્તિઓના સંયોજનો છે.
આમ,જરૂરી નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{X B_{1}, X B_{2}, X G_{1}, X G_{2}, Y B_{3}, Y G_{3}, Y G_{4}, Y G_{5}\}$

પાસાને છ સપાટીઓ હોય છે જેના પર $1$ થી $6$ અંક લખેલા હોય છે,દરેક સપાટી પર એક અંક હોય છે. ધારો કે લાલ,સફેદ અને વાદળી પાસાને અનુક્રમે $R$,$W$ અને $B$ વડે દર્શાવીએ.
તદનુસાર,જ્યારે એક પાસો પસંદ કરવામાં આવે અને પછી ફેંકવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{R1, R2, R3, R4, R5, R6, W1, W2, W3, W4, W5, W6, B1, B2, B3, B4, B5, B6\}$

(A) $2$ બાળકો ધરાવતા પ્રયોગમાં,દરેક બાળક કાં તો છોકરો $(B)$ અથવા છોકરી $(G)$ હોઈ શકે છે.
જન્મના ક્રમને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે $2$ લંબાઈના તમામ શક્ય ક્રમ વિચારીએ છીએ.
શક્ય પરિણામો નીચે મુજબ છે:
$1$. પ્રથમ બાળક છોકરો,બીજું બાળક છોકરો: $BB$
$2$. પ્રથમ બાળક છોકરો,બીજું બાળક છોકરી: $BG$
$3$. પ્રથમ બાળક છોકરી,બીજું બાળક છોકરો: $GB$
$4$. પ્રથમ બાળક છોકરી,બીજું બાળક છોકરી: $GG$
તેથી,નિદર્શાવકાશ $S = \{ BB, BG, GB, GG \}$ છે.

(N/A) દરેક પરિવારમાં બાળકોની મહત્તમ સંખ્યા $2$ હોવાથી,પરિવારમાં $2$ છોકરીઓ,$1$ છોકરી અથવા $0$ છોકરી હોઈ શકે છે.
તેથી,છોકરીઓની સંખ્યા માટેનો નિદર્શાવકાશ $S = \{0, 1, 2\}$ છે.

(B) પેટીમાં $1$ લાલ દડો $(R)$ અને $3$ સમાન સફેદ દડા $(W)$ છે.
દડા પુરવણી વગર પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,પ્રથમ દડો લાલ અથવા સફેદ હોઈ શકે છે.
જો પ્રથમ દડો લાલ હોય,તો બીજો દડો સફેદ જ હોવો જોઈએ (કારણ કે લાલ દડો માત્ર $1$ જ છે).
જો પ્રથમ દડો સફેદ હોય,તો બીજો દડો લાલ અથવા સફેદ હોઈ શકે છે.
આમ,શક્ય પરિણામો છે:
$1$. પ્રથમ લાલ,બીજો સફેદ: $(R, W)$
$2$. પ્રથમ સફેદ,બીજો લાલ: $(W, R)$
$3$. પ્રથમ સફેદ,બીજો સફેદ: $(W, W)$
તેથી,નિદર્શાવકાશ $S = \{ RW, WR, WW \}$ છે.

(N/A) સિક્કાને બે બાજુઓ હોય છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
પાસાને છ બાજુઓ હોય છે જેના પર $1$ થી $6$ અંક હોય છે.
જો પ્રથમ ઉછાળમાં છાપ $(H)$ આવે,તો સિક્કો ફરીથી ઉછાળવામાં આવે છે,જેના પરિણામો $(HH)$ અથવા $(HT)$ મળે છે.
જો પ્રથમ ઉછાળમાં કાંટો $(T)$ આવે,તો પાસો ફેંકવામાં આવે છે,જેના પરિણામો $(T1), (T2), (T3), (T4), (T5),$ અથવા $(T6)$ મળે છે.
આમ,નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HH, HT, T1, T2, T3, T4, T5, T6\}$

(N/A) દરેક બલ્બ કાં તો ખામીયુક્ત $(D)$ અથવા બિન-ખામીયુક્ત $(N)$ હોઈ શકે છે,અને કુલ $3$ બલ્બ હોવાથી,દરેક બલ્બ માટે $2$ શક્ય પરિણામો છે.
કુલ પરિણામોની સંખ્યા $= 2^3 = 8$.
નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય પરિણામોનો ગણ છે:
$S = \{ DDD, DDN, DND, DNN, NDD, NDN, NND, NNN \}$

(N/A) જ્યારે સિક્કો ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$ છે.
જ્યારે પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામો $1, 2, 3, 4, 5,$ અથવા $6$ છે.
જો સિક્કા પર $T$ મળે,તો પ્રયોગ પૂર્ણ થાય છે.
જો સિક્કા પર $H$ મળે,તો પાસો ફેંકવામાં આવે છે. જો પરિણામ એકી $(1, 3, 5)$ હોય,તો પ્રયોગ પૂર્ણ થાય છે.
જો પરિણામ બેકી $(2, 4, 6)$ હોય,તો પાસો ફરીથી ફેંકવામાં આવે છે.
આમ,નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{T, H1, H3, H5, H21, H22, H23, H24, H25, H26, H41, H42, H43, H44, H45, H46, H61, H62, H63, H64, H65, H66\}$

(N/A) પાસા પર $1$ થી $6$ સુધીના અંકો હોય છે. જેમાં $2, 4,$ અને $6$ બેકી સંખ્યાઓ છે,જ્યારે $1, 3,$ અને $5$ એકી સંખ્યાઓ છે.
સિક્કાની બે બાજુઓ હોય છે: છાપ $(H)$ અને કાંટો $(T)$.
જો અંક બેકી હોય,તો પરિણામ (અંક,સિક્કાની બાજુ) મળે. જો અંક એકી હોય,તો પરિણામ (અંક,સિક્કાની બાજુ $1$,સિક્કાની બાજુ $2$) મળે.
નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{(2, H), (2, T), (4, H), (4, T), (6, H), (6, T), (1, H, H), (1, H, T), (1, T, H), (1, T, T), (3, H, H), (3, H, T), (3, T, H), (3, T, T), (5, H, H), (5, H, T), (5, T, H), (5, T, T)\}$

બોક્સમાં $2$ લાલ દડા અને $3$ કાળા દડા છે. ધારો કે $2$ લાલ દડાને $R_{1}, R_{2}$ અને $3$ કાળા દડાને $B_{1}, B_{2}, B_{3}$ તરીકે દર્શાવીએ.
આ પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ $S$ એ તમામ શક્ય પરિણામોનો સમૂહ છે.
જો સિક્કો છાપ $(T)$ બતાવે,તો આપણે બોક્સમાંથી દડો કાઢીએ છીએ,જેના પરિણામો: $TR_{1}, TR_{2}, TB_{1}, TB_{2}, TB_{3}$ મળે છે.
જો સિક્કો કાંટો $(H)$ બતાવે,તો આપણે પાસો ફેંકીએ છીએ,જેના પરિણામો: $H1, H2, H3, H4, H5, H6$ મળે છે.
તેથી,નિદર્શાવકાશ $S = \{TR_{1}, TR_{2}, TB_{1}, TB_{2}, TB_{3}, H1, H2, H3, H4, H5, H6\}$ છે.

(D) નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો છે: $S = \{(x, y) : x, y \in \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\}$.
$A = \{(1,1), (1,3), (1,5), (2,2), (2,4), (2,6), (3,1), (3,3), (3,5), (4,2), (4,4), (4,6), (5,1), (5,3), (5,5), (6,2), (6,4), (6,6)\}$
$B = \{(1,2), (2,1), (1,5), (5,1), (3,3), (2,4), (4,2), (3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (6,6)\}$
$C = \{(1,1), (1,2), (2,1)\}$
$D = \{(6,6)\}$
જો બે ઘટનાઓનો છેદગણ ખાલી ગણ $(\phi)$ હોય,તો તે પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ છે.
છેદગણ તપાસતા:
$A \cap B = \{(1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1), (6,6)\} \neq \phi$
$A \cap D = \{(6,6)\} \neq \phi$
$B \cap D = \{(6,6)\} \neq \phi$
$C \cap D = \phi$
આમ,$C \cap D = \phi$ હોવાથી,ઘટનાઓ $C$ અને $D$ પરસ્પર નિવારક છે.

(A) પ્રયોગનો નિદર્શાવકાશ (sample space) નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT\}$
ઘટનાઓ નીચે મુજબ છે:
$A = \{TTT\}$
$B = \{HTT, THT, TTH\}$
$C = \{HHT, HTH, THH, HHH\}$
નિઃશેષ ઘટનાઓ માટે ચકાસણી:
$A \cup B \cup C = \{TTT, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH, HHH\} = S$
કારણ કે ઘટનાઓનો યોગગણ નિદર્શાવકાશ $S$ છે,તેથી ઘટનાઓ નિઃશેષ છે.
પરસ્પર નિવારક ઘટનાઓ માટે ચકાસણી:
$A \cap B = \phi$
$A \cap C = \phi$
$B \cap C = \phi$
કારણ કે કોઈપણ બે ઘટનાઓનો છેદગણ ખાલી ગણ $\phi$ છે,તેથી ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે.
નિષ્કર્ષ:
હા,$A, B,$ અને $C$ પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ ઘટનાઓનો સમૂહ બનાવે છે.

(B) જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$
ઘટના $E$ (પાસા પર $4$ મળે છે):
$E = \{4\}$
ઘટના $F$ (પાસા પર બેકી સંખ્યા મળે છે):
$F = \{2, 4, 6\}$
$E$ અને $F$ પરસ્પર નિવારક છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેમનો છેદગણ શોધીએ:
$E \cap F = \{4\}$
અહીં $E \cap F \neq \phi$ હોવાથી,ઘટનાઓ $E$ અને $F$ પરસ્પર નિવારક નથી.

(D) જ્યારે એક પાસો ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ છે.
ઘટના $A$ એ $7$ થી નાની સંખ્યા છે,તેથી $A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$.
ઘટના $B$ એ $7$ થી મોટી સંખ્યા છે,તેથી $B = \emptyset$ (અશક્ય ઘટના).
ઘટના $C$ એ $3$ નો ગુણક છે,તેથી $C = \{3, 6\}$.
તેથી,$B \cup C = \emptyset \cup \{3, 6\} = \{3, 6\}$.

(A) જ્યારે પાસાની જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ માં $36$ પરિણામો હોય છે.
$A = \{(3,6), (4,5), (4,6), (5,4), (5,5), (5,6), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6)\}$
$B = \{(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (1,2), (3,2), (4,2), (5,2), (6,2)\}$
$C = \{(1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1), (3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)\}$
જો બે ઘટનાઓનો છેદગણ ખાલી ગણ $(\phi)$ હોય,તો તે પરસ્પર નિવારક છે.
$A \cap B = \phi$ (કોઈ સામાન્ય ઘટકો નથી).
$B \cap C = \{(2,5), (5,2)\} \neq \phi$.
$A \cap C = \{(3,6), (4,5), (5,4), (6,3), (6,6)\} \neq \phi$.
તેથી,માત્ર ઘટના $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક છે.

(N/A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ નીચે મુજબ મળે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
તેથી,
$A = \{HHH\}$
$B = \{HHT, HTH, THH\}$
$C = \{TTT\}$
$D = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$
બે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક હોય જો તેમનો છેદગણ ખાલી ગણ $(\phi)$ હોય.
$A \cap B = \phi$
$A \cap C = \phi$
$A \cap D = \{HHH\} \neq \phi$
$B \cap C = \phi$
$B \cap D = \{HHT, HTH\} \neq \phi$
$C \cap D = \phi$
આમ,પરસ્પર નિવારક જોડીઓ $(A, B)$,$(A, C)$,$(B, C)$ અને $(C, D)$ છે.

(B) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
જો કોઈ ઘટનામાં નિદર્શાવકાશનો માત્ર એક જ ઘટક હોય,તો તેને સરળ ઘટના કહેવામાં આવે છે.
$A = \{HHH\}$ ($1$ ઘટક ધરાવે છે,તેથી તે સરળ ઘટના છે)
$B = \{HHT, HTH, THH\}$ ($3$ ઘટકો ધરાવે છે,તેથી તે સંયુક્ત ઘટના છે)
$C = \{TTT\}$ ($1$ ઘટક ધરાવે છે,તેથી તે સરળ ઘટના છે)
$D = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$ ($4$ ઘટકો ધરાવે છે,તેથી તે સંયુક્ત ઘટના છે)
આમ,$A$ અને $C$ સરળ ઘટનાઓ છે.

(B) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
તેથી,ઘટનાઓ નીચે મુજબ છે:
$A = \{HHH\}$
$B = \{HHT, HTH, THH\}$
$C = \{TTT\}$
$D = \{HHH, HHT, HTH, HTT\}$
જો કોઈ ઘટનામાં એક કરતા વધુ નિદર્શ બિંદુઓ હોય,તો તેને સંયુક્ત ઘટના કહેવાય છે.
- ઘટના $A$ માં $1$ નિદર્શ બિંદુ છે (સરળ ઘટના).
- ઘટના $B$ માં $3$ નિદર્શ બિંદુઓ છે (સંયુક્ત ઘટના).
- ઘટના $C$ માં $1$ નિદર્શ બિંદુ છે (સરળ ઘટના).
- ઘટના $D$ માં $4$ નિદર્શ બિંદુઓ છે (સંયુક્ત ઘટના).
આમ,$B$ અને $D$ સંયુક્ત ઘટનાઓ છે.

(N/A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
બે ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક છે જો તેમની વચ્ચે કોઈ સામાન્ય પરિણામ ન હોય,એટલે કે $A \cap B = \emptyset$.
ધારો કે $A$ એ છાપ ન મળે તેવી ઘટના છે: $A = \{TTT\}$.
ધારો કે $B$ એ કાંટો ન મળે તેવી ઘટના છે: $B = \{HHH\}$.
કારણ કે $A \cap B = \emptyset$,તેથી આ બે ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે.

(N/A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
પરસ્પર નિવારક અને નિઃશેષ હોય તેવી ત્રણ ઘટનાઓ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$A$: એક પણ છાપ ન મળે.
$B$: બરાબર એક છાપ મળે.
$C$: ઓછામાં ઓછી બે છાપ મળે.
આ ઘટનાઓ નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$A = \{TTT\}$
$B = \{HTT, THT, TTH\}$
$C = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે કારણ કે $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \phi$.
તેઓ નિઃશેષ છે કારણ કે $A \cup B \cup C = S$.

(N/A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
પરસ્પર નિવારક ન હોય તેવી બે ઘટનાઓ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$A$: ત્રણ છાપ મળે
$B$: ઓછામાં ઓછી $2$ છાપ મળે
અહીં,ગણ:
$A = \{HHH\}$
$B = \{HHH, HHT, HTH, THH\}$
કારણ કે $A \cap B = \{HHH\} \neq \phi$,તેથી ઘટનાઓ $A$ અને $B$ પરસ્પર નિવારક નથી.

(N/A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે છે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ છે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
પરસ્પર નિવારક હોય પરંતુ નિઃશેષ ન હોય તેવી બે ઘટનાઓ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$A$: બરાબર એક છાપ મળે.
$B$: બરાબર એક કાંટો મળે.
અહીં,ગણ નીચે મુજબ છે:
$A = \{HTT, THT, TTH\}$
$B = \{HHT, HTH, THH\}$
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે કારણ કે $A \cap B = \phi$.
તેઓ નિઃશેષ નથી કારણ કે $A \cup B = \{HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH\} \neq S$.

(N/A) જ્યારે ત્રણ સિક્કા ઉછાળવામાં આવે,ત્યારે નિદર્શાવકાશ $S$ નીચે મુજબ મળે:
$S = \{HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT\}$
પરસ્પર નિવારક હોય પરંતુ નિઃશેષ ન હોય તેવી ત્રણ ઘટનાઓ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$A$: બરાબર ત્રણ છાપ મળે,એટલે કે $A = \{HHH\}$
$B$: બરાબર એક છાપ મળે,એટલે કે $B = \{HTT, THT, TTH\}$
$C$: બરાબર બે છાપ મળે,એટલે કે $C = \{HHT, HTH, THH\}$
આ ઘટનાઓ પરસ્પર નિવારક છે કારણ કે $A \cap B = \phi$,$B \cap C = \phi$,અને $C \cap A = \phi$.
તેઓ નિઃશેષ નથી કારણ કે $A \cup B \cup C = \{HHH, HTT, THT, TTH, HHT, HTH, THH\} \neq S$ (કારણ કે $TTT \notin A \cup B \cup C$).